Faktorová analýza testu S. Harterové
Cíl
Zabýváme se využitím metod explorativní faktorové analýzy při statistickém zpracování
výsledků testu S. Harterové, v němž třídní učitelé hodnotí děti v patnácti položkách na
čtyřbodové stupnici. Datový soubor byl získán v rámci grantového projektu GAČR
406/02/D143 a obsahoval údaje o šedesáti dětech.
Úvod
Institut výzkumu dětí, mládeže a rodiny při FSS MU se mimo jiné zabývá problematikou
rozumově nadaných dětí tj. těch, jejichž IQ je aspoň 130. Výzkumný tým vedený Mgr. Šárkou
Portešovou, Ph.D shromáždil v rámci grantu GAČR údaje o několika desítkách nadaných dětí
vybrané věkové skupiny a také kontrolní skupiny dětí, které nesplňují kritéria pro zařazení
mezi rozumově nadané děti. V průběhu podrobného klinického vyšetření dítěte byly získány
údaje týkají se např. intelektových schopností dětí, jejich sociálních, emocionálních a
osobnostních charakteristik (sebepojetí, sebehodnocení a vědomí vlastní účinnosti) a dále bylo
zaznamenáno hodnocení dětí učiteli a matkami.
V tomto příspěvku se zaměříme na jednu oblast tohoto rozsáhlého a v ČR ojedinělého
výzkumu, a to na oblast hodnocení dětí jejich třídními učiteli. Pro tyto účely byl použit v USA
velmi rozšířený test S. Harterové nazvaný Teacher's Rating Scale of Child's Actual Behavior
(Harter, 1985). V 15 položkách hodnotil učitel každé dítě na škále od 1 do 4 bodů. Metodami
faktorové analýzy se prokázalo, že v pozadí těchto 15 položek stojí 5 faktorů, které odpovídají
školním a pohybovým dovednostem dítěte, jeho sociální akceptaci, fyzickému vzhledu a
chování.
Popis datového souboru
Datový soubor obsahuje údaje o 60 dětech. Průměrný věk dětí je 8 let a 9 měsíců, směrodatná
odchylka je 9 měsíců, minimum je 7 let a 1 měsíc, maximum 10 let. V souboru je 28 chlapců,
32 dívek.
Sledované proměnné jsou:
U1 … schopnost zvládnout školní práci
U2 … schopnost snadno se skamarádit
U3 … schopnost dobrého zvládání sportů
U4 … pěkný vzhled
U5 … schopnost dobře se chovat
U6 … kvalita paměti
U7 … množství přátel
U8 … schopnost hrát dobře sportovní hry
U9 … hezký fyzický vzhled
U10 …vhodnost chování
U11 … schopnost odpovídat na otázky ve škole
U12 … oblíbenost mezi vrstevníky
U13 … šikovnost při hraní nových her
U14 … nepěkné vizuální působení
U15 … potíže kvůli provozování nevhodných činností
Výsledky faktorové analýzy a jejich psychologická interpretace
Při výpočtech byly použity statistické programové systémy SPSS a STATISTICA. Prvotní
informace o korelační struktuře datového souboru získáme z realizace výběrové korelační
matice uvažovaných patnácti proměnných.
Prom. U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
U11
U12
U13
U14
U15
1,00 0,13 0,15 0,48 0,47 0,77 0,08 0,08 0,39 0,43 0,59 0,20 0,25 0,37 0,30
0,13 1,00 0,31 0,18 -0,03 0,32 0,67 0,21 0,04 0,02 0,29 0,31 0,34 0,14 0,06
0,15 0,31 1,00 0,15 -0,00 0,12 0,44 0,85 0,15 0,09 0,05 0,36 0,49 -0,11 0,09
0,48 0,18 0,15 1,00 0,49 0,47 0,24 0,10 0,81 0,47 0,39 0,38 0,22 0,55 0,38
0,47 -0,03 -0,00 0,49 1,00 0,26 0,18 -0,02 0,49 0,88 0,33 0,47 0,06 0,28 0,78
0,77 0,32 0,12 0,47 0,26 1,00 0,08 0,13 0,33 0,23 0,66 0,16 0,31 0,43 0,15
0,08 0,67 0,44 0,24 0,18 0,08 1,00 0,35 0,14 0,22 0,20 0,64 0,35 -0,01 0,18
0,08 0,21 0,85 0,10 -0,02 0,13 0,35 1,00 0,09 0,01 0,01 0,29 0,43 -0,23 -0,04
0,39 0,04 0,15 0,81 0,49 0,33 0,14 0,09 1,00 0,48 0,29 0,36 0,20 0,42 0,47
0,43 0,02 0,09 0,47 0,88 0,23 0,22 0,01 0,48 1,00 0,33 0,53 0,13 0,22 0,78
0,59 0,29 0,05 0,39 0,33 0,66 0,20 0,01 0,29 0,33 1,00 0,22 0,32 0,27 0,25
0,20 0,31 0,36 0,38 0,47 0,16 0,64 0,29 0,36 0,53 0,22 1,00 0,31 0,18 0,46
0,25 0,34 0,49 0,22 0,06 0,31 0,35 0,43 0,20 0,13 0,32 0,31 1,00 0,12 0,15
0,37 0,14 -0,11 0,55 0,28 0,43 -0,01 -0,23 0,42 0,22 0,27 0,18 0,12 1,00 0,31
0,30 0,06 0,09 0,38 0,78 0,15 0,18 -0,04 0,47 0,78 0,25 0,46 0,15 0,31 1,00
Vidíme, že korelace kolísají od -0,23 (korelace mezi U8 a U14) až po 0,88 (korelace mezi U5
a U10). Vysoké vzájemné korelace mají tyto skupiny proměnných: U1, U6, U11; U2, U7; U3,
U8; U4, U9, U14; U5, U10, U15. Proměnná U12 sice vysoce koreluje s U7 a U10, avšak
korelace mezi U7 a U10 je velmi slabá. Proměnná U13 má nízké korelace se všemi ostatními
proměnnými. Zdá se tedy možné, že v pozadí těchto 15 proměnných stojí 5 společných
Pro posouzení, zda má vůbec smysl provádět faktorovou analýzu, použijeme Kaiserovu –
Meierovu – Olkinovu statistiku. Její hodnota je 0,73, tedy provedení faktorové analýzy se jeví
jako středně užitečné.
Testová statistka Bartlettova testu sféricity nabývá hodnoty 588,274, počet stupňů volnosti je
105, odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0, tedy hypotézu, že realizace výběrové korelační
matice 15 uvažovaných proměnných je jednotková matice, zamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
Podívejme se nejprve na vlastní čísla realizované výběrové korelační matice R a na procento
vysvětleného rozptylu:
vl. číslo 5,273 2,719 1,845 1,218 1,046 0,646 0,531 0,449 0,339 0,242 0,227 0,154 0,124 0,109 0,078
% celk. roz. 35,15 18,13 12,30 8,12 6,98 4,31 3,54 2,99 2,26 1,61 1,51 1,03 0,83 0,73 0,52
kumul. % 35,15 53,28 65,58 73,70 80,68 84,98 88,52 91,51 93,77 95,39 96,90 97,93 98,75 99,48 100,00
Pro větší názornost ještě zakreslíme sutinový graf:
0 5 10 15
0
1
2
3
4
5
6
Počet m společných faktorů stanovíme pomocí Kaiserova kritéria : za m zvolíme počet těch
vlastních čísel realizace matice R, která jsou větší než 1, v našem případě 5.
Pro extrakci faktorů zvolíme metodu hlavních faktorů. Vlastní čísla výběrové redukované
korelační matice 'ΛΛ
))
a procento vysvětlené variability máme uvedeny v následující tabulce:
vl. číslo 5,028 2,499 1,609 1,004 0,801
% celk. roz. 33,52 16,66 10,73 6,69 5,34
kumul. % 33,52 50,18 60,91 67,60 72,94
První společný faktor tedy vysvětluje 33,52% variability obsažené v patnácti sledovaných
proměnných U1, …, U15, druhý 16,66% atd. Celkové procento vysvětlené variability je
72,94%. Rotaci faktorů provedeme metodou varimax a opět uvedeme vlastní čísla rotované
výběrové redukované korelační matice a procento vysvětlené variability:
vl. číslo 2,861 2,303 2,099 1,868 1,810
% celk. roz. 19,08 15,35 13,99 12,45 12,07
kumul. % 19,08 34,43 48,42 60,88 72,94
Odhady komunalit: .
proměnné U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15
poč. odhad 0,722 0,636 0,807 0,777 0,841 0,771 0,737 0,795 0,711 0,825 0,523 0,629 0,376 0,522 0,724
po extr. faktorů 0,710 0,600 0,836 0,930 0,892 0,928 0,934 0,911 0,726 0,898 0,539 0,587 0,354 0,423 0,672
Např. odhad komunality proměnné U1 je 0,71, což lze interpretovat tak, že 71 % variabilty
proměnné U1 lze vysvětlit působením pěti společných faktorů. U jednotlivých proměnných
procento variability vysvětlené působením společných faktorů značně kolísá – od 35,4 %
u proměnné U13 až po 93,4 % u proměnné U7.
Odhad matice rotovaných faktorových zátěží:
Proměnná
Faktor
1
Faktor
2
Faktor
3
Faktor
4
Faktor
5
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
U11
U12
U13
U14
U15
Výkl.roz
Prp.celk
0,276 0,104 0,758 -0,027 0,218
-0,085 0,132 0,239 0,719 0,039
0,041 0,881 0,027 0,237 0,031
0,267 0,102 0,274 0,125 0,871
0,896 -0,033 0,208 -0,007 0,211
0,021 0,092 0,927 0,088 0,230
0,187 0,263 -0,028 0,910 0,040
-0,016 0,947 0,012 0,110 -0,032
0,354 0,129 0,152 0,009 0,749
0,913 0,031 0,178 0,051 0,171
0,183 0,005 0,669 0,197 0,139
0,496 0,260 0,023 0,484 0,194
0,047 0,427 0,271 0,294 0,099
0,124 -0,200 0,328 0,067 0,505
0,781 -0,006 0,094 0,081 0,217
2,861 2,303 2,099 1,868 1,810
0,191 0,153 0,140 0,125 0,121
(Červeně jsou zvýrazněny zátěže větší než 0,4.)
Vidíme, že první faktor má vysoké korelace s proměnnými U5, U10, U15 a značně nižší
s proměnnou U12. Druhý faktor vysoce koreluje s proměnnými U3 a U8, slaběji s U13. U
třetího faktoru pozorujeme vysoké korelace s U1, U6 a U11. Čtvrtý faktor má vysoké korelace
s U2 a U7, slabší s U12 a pátý faktor vysoce koreluje s U4 a U9, slaběji s U14. Po rotaci
připadá na první faktor 2,861 celkového rozptylu (ten je roven 15, tj. počtu uvažovaných
proměnných), což je 19,1 %. Na druhý faktor připadá 2,303 celkového rozptylu, tj. 15,3 % atd.
Interpretace faktorů:
1. faktor … oblast chování
2. faktor … pohybové dovednosti
3. faktor … školní dovednosti
4. faktor … sociální akceptace
5. faktor … fyzický vzhled
Poněkud problematická se jeví proměnná U12, která vyjadřuje oblíbenost dítěte v kolektivu
posouzenou učitelem. Tato proměnná by podle psychologických kritérií měla spíše korelovat
s faktorem sociální akceptace než s faktorem vztahujícím se k oblasti chování, jak se to
projevilo v našem konkrétním datovém souboru. Zřejmě by otázka týkající se položky U12
měla být formulována jinak.
Kvalitu získaného faktorového modelu posoudíme též pomocí odhadnuté korelační matice a
reziduální korelační matice.
Odhadnutá korelační matice:
Prom. U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
U11
U12
U13
U14
U15
0,71 0,16 0,12 0,48 0,45 0,77 0,04 0,09 0,39 0,43 0,58 0,21 0,28 0,37 0,33
0,16 0,60 0,29 0,18 -0,03 0,30 0,67 0,21 0,06 0,01 0,29 0,35 0,33 0,11 0,02
0,12 0,29 0,84 0,16 0,02 0,13 0,46 0,86 0,16 0,09 0,08 0,37 0,46 -0,13 0,05
0,48 0,18 0,16 0,93 0,48 0,48 0,22 0,08 0,80 0,45 0,38 0,40 0,25 0,55 0,43
0,45 -0,03 0,02 0,48 0,89 0,26 0,16 -0,05 0,50 0,89 0,33 0,48 0,10 0,29 0,77
0,77 0,30 0,13 0,48 0,26 0,93 0,09 0,10 0,33 0,23 0,67 0,14 0,34 0,41 0,16
0,04 0,67 0,46 0,22 0,16 0,09 0,93 0,35 0,13 0,23 0,20 0,61 0,39 0,04 0,22
0,09 0,21 0,86 0,08 -0,05 0,10 0,35 0,91 0,10 0,02 0,03 0,29 0,44 -0,20 -0,02
0,39 0,06 0,16 0,80 0,50 0,33 0,13 0,10 0,73 0,48 0,27 0,36 0,19 0,45 0,45
0,43 0,01 0,09 0,45 0,89 0,23 0,23 0,02 0,48 0,90 0,32 0,52 0,14 0,26 0,77
0,58 0,29 0,08 0,38 0,33 0,67 0,20 0,03 0,27 0,32 0,54 0,23 0,26 0,33 0,25
0,21 0,35 0,37 0,40 0,48 0,14 0,61 0,29 0,36 0,52 0,23 0,59 0,30 0,15 0,47
0,28 0,33 0,46 0,25 0,10 0,34 0,39 0,44 0,19 0,14 0,26 0,30 0,35 0,08 0,11
0,37 0,11 -0,13 0,55 0,29 0,41 0,04 -0,20 0,45 0,26 0,33 0,15 0,08 0,42 0,24
0,33 0,02 0,05 0,43 0,77 0,16 0,22 -0,02 0,45 0,77 0,25 0,47 0,11 0,24 0,67
(Diagonální prvky této matice jsou komunality příslušných proměnných.)
Odhadnutá reziduální korelační matice:
Proměnná U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 U10 U11 U12 U13 U14 U15
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
U11
U12
U13
U14
U15
-0,04 0,02 0,00 0,02 0,01 0,04 -0,01 0,00 0,00 0,01 -0,01 -0,03 0,00 -0,03
-0,04 0,02 -0,00 -0,00 0,02 0,01 -0,00 -0,02 0,00 -0,00 -0,04 0,01 0,03 0,04
0,02 0,02 -0,01 -0,02 -0,02 -0,02 -0,01 -0,00 -0,00 -0,03 -0,01 0,03 0,02 0,03
0,00 -0,00 -0,01 0,02 -0,01 0,02 0,02 0,01 0,02 0,02 -0,02 -0,03 0,00 -0,05
0,02 -0,00 -0,02 0,02 0,00 0,02 0,03 -0,01 -0,01 -0,00 -0,01 -0,04 -0,01 0,01
0,01 0,02 -0,02 -0,01 0,00 -0,01 0,03 -0,00 0,00 -0,01 0,01 -0,03 0,02 -0,01
0,04 0,01 -0,02 0,02 0,02 -0,01 0,00 0,01 -0,01 -0,00 0,03 -0,03 -0,05 -0,05
-0,01 -0,00 -0,01 0,02 0,03 0,03 0,00 -0,01 -0,01 -0,01 0,01 -0,01 -0,03 -0,02
0,00 -0,02 -0,00 0,01 -0,01 -0,00 0,01 -0,01 -0,01 0,01 -0,00 0,01 -0,02 0,01
0,00 0,00 -0,00 0,02 -0,01 0,00 -0,01 -0,01 -0,01 0,01 0,01 -0,00 -0,03 0,01
0,01 -0,00 -0,03 0,02 -0,00 -0,01 -0,00 -0,01 0,01 0,01 -0,01 0,06 -0,05 -0,01
-0,01 -0,04 -0,01 -0,02 -0,01 0,01 0,03 0,01 -0,00 0,01 -0,01 0,01 0,03 -0,01
-0,03 0,01 0,03 -0,03 -0,04 -0,03 -0,03 -0,01 0,01 -0,00 0,06 0,01 0,04 0,05
0,00 0,03 0,02 0,00 -0,01 0,02 -0,05 -0,03 -0,02 -0,03 -0,05 0,03 0,04 0,07
-0,03 0,04 0,03 -0,05 0,01 -0,01 -0,05 -0,02 0,01 0,01 -0,01 -0,01 0,05 0,07
Rezidua jsou vcelku malá, kolísají od –0,05 po 0,07. Pouze dvě z nich (tj. 1 %) jsou
v absolutní hodnotě větší než 0,05.
Pro několik prvních dětí, které jsou zařazené v datovém souboru, uvedeme ještě odhad
faktorového skóre získaný regresní metodou:
f1 f2 f3 f4 f5
objekt 1
objekt 2
objekt 3
...
0,6171 0,5131 0,8618 0,4504 0,7838
-0,4883 -0,2984 0,2990 0,4514 0,1564
1,3841 -0,4361 2,1124 -1,4735 0,4277
... ... ... ... ...
Spojnicový graf pro první tři děti:
Případ 1
Případ 2
Případ 3
f1 f2 f3 f4 f5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Vidíme, že první dítě má vcelku vyrovnaná skóre u všech pěti faktorů. Druhé dítě se vyznačuje
nízkým skóre v oblasti chování, nejvyššího skóre dosahuje v sociální akceptaci. Třetí dítě má
nízké skóre u faktoru 4, který reprezentuje sociální akceptaci dítěte jeho vrstevníky a rovněž
u faktoru 2 – pohybové dovednosti. Naopak dosahuje vysokého skóre u faktoru 3 – školní
dovednosti.
Zhodnocení nalezených společných faktorů:
Metoda hlavních faktorů nalezla pět společných faktorů stojících v pozadí patnácti
sledovaných proměnných. Faktory vztahující se k pohybovým dovednostem, školním
dovednostem a fyzickému vzhledu jsou velmi dobře určeny lineárními kombinacemi vždy tří
skupin proměnných, zatímco faktory vztahující se k oblasti chování a sociální akceptace
nejsou tak jednoznačně určeny kvůli proměnné U12, která vyjadřuje oblíbenost dítěte
v kolektivu posouzenou učitelem. Jako vhodné řešení tohoto problému se jeví jiná formulace
této položky.
Závěr
Posoudíme kvalitu faktorového modelu z několika různých hledisek:
- KMO statistika = 0,733 (provedení faktorové analýzy se jeví jako středně užitečné).
- Testová statistika Bartlettova testu sféricity = 588,274, počet stupňů volnosti = 105, phodnota
velmi blízká 0 (korelační matice sledovaných 15 proměnných je s rizikem omylu nejvýše
5 % různá od jednotkové matice).
- Odhad modelu založený na metodě hlavních faktorů vysvětluje 72,94 % variability obsažené
v datovém souboru.
- Komunality (tj. podíly variability jednotlivých proměnných vysvětlené působením pěti společných
faktorů) kolísají od 35,4 % u proměnné U13 až po 93,4 % u proměnné U7.
- Reziduální korelační matice má velmi malé prvky, pouze dva z nich jsou v absolutní hodnotě
větší než 0,05.
Literatura
[1] J. Anděl. Matematická statistika. SNTL/ALFA Praha, 1978.
[2] S. Harter. Self-Perception Profile for Children. Denver. University of Denver, 1985.
[3] P. Hebák, J. Hustopecký. Vícerozměrné statistické metody s aplikacemi. SNTL/Alfa, Praha
1987.
[4] R. A. Johnson, D. W. Wichern. Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice Hall
International, Inc. 1992.
[5] R.P. McDonald. Faktorová analýza a příbuzné metody v psychologii. Academia Praha,
1991.
[6] SPSS/PC+ StatisticsTM
4.0. SPSS Inc. 1990.
[7] STATISTICA for Windows. StatSoft, Inc. 2000.
[8] K. Überla. Faktorová analýza. ALFA Bratislava, 1974.