zahlavi-IBA logo-IBA logo-MU
© Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
Úvod do matematického modelování
Prof. RNDr. Jiří Hřebíček, CSc.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þffgf
Účetnictví a reporting udržitelného rozvoje..., Brno
2
levy-panel-IBA
1. Úvod do matematického modelování a jeho členění.
2. Definice problému, biologický model, zjednodušující předpoklady, počáteční a okrajové podmínky.
3. Návrh matematického modelu, posouzení jeho korektnosti a návrh způsobu řešení.
4. Naprogramování modelu s využitím moderních ICT (Maple) a jeho přibližné řešení na počítači.
5. Vyhodnocení přibližného řešení s využitím počítačové vizualizace a odhad chyby přibližného
řešení..
logo-IBA-transparent logo-MU logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þffgf
Účetnictví a reporting udržitelného rozvoje..., Brno
3
levy-panel-IBA
6. Metodika postupu zpřesnění matematického modelu s využitím moderních ICT a zdrojů informací
(Maplesoft, Internet, elektronické knihovny, atd.).
7. Příklady vybraných biologických problémů a metodika jejich řešení
8. Zadání projektu
9. Diskuse výsledků, vliv zjednodušujících předpokladů na výsledek, vizualizace a animace (Maple)
výsledků.
logo-IBA-transparent logo-MU logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
qDefinice: Model je záměrně zjednodušený obraz reality (reálných objektů).
þ
þ
Úvod do matematického modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
5
Základní pojmy
þModelování a simulace označují aktivity spojené s vytvářením modelů objektů reálného světa a
experimentováním s těmito modely.
>

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
6
qModelování je soubor aktivit vedoucích k vývoji matematického modelu, který současně reprezentuje
strukturu a chování reálného systému.
qSimulace je soubor aktivit sloužících k ověření správnosti modelu a získání nových poznatků o
činnosti reálných systémů.
Základní pojmy

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
7
þReálný objekt
è= zkoumaná část reálného světa;
èmůže být
þ přirozený (květina, včelí roj,kardiovaskulární systém člověka, ...) nebo
þ umělý (počítač, tok materiálu ve výrobním podniku);
þ existující nebo plánovaný
þ = zdroj dat o svém chování
Základní pojmy

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
8
þModel
qzjednodušený abstraktní popis reálného objektu (soubor vztahů, resp. instrukcí pro generování dat
popisujících chování reálného objektu;
þ inverzní problém
þ (při tvorbě modelu se vyskytují mnohá omezení - neúplná data díky nedokonalému vzorkování, resp.
nevhodnému počtu nebo nepřesně stanoveným podmínkám provedených experimentů)‏
Základní pojmy

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
9
Základní pojmy
þreálný objekt a jeho model jsou navzájem propojeny dvěma relacemi - abstrakcí a interpretací.
>

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
10
þAbstrakce znamená zobecnění (generalizaci) - uvažování  nejdůležitějších složek reálného systému a
ignorování méně důležitých rysů. Důležitost je v tomto případě posuzována podle relativního vlivu
prvků systému na jeho dynamiku (umí zpravidla technici a matematici)‏
þInterpretace znamená výklad vztahu mezi modelem (s jeho prvky, vlastnostmi a chováním) a reálným
systémem. Pokud nelze parametry modelu interpretovat, pak nelze na reálném systému měřit jejich
vlastnosti (umí zpravidla biologové)‏
Základní pojmy

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
11
þRealizace (implementace) modelu
þ (většinou počítačem, ale může být i fyzikální, geometrický, ...)‏
þ na zařízení schopném zpracování dat, resp. signálů, má-li k dispozici vhodně zakódované instrukce
popisující model
Základní pojmy

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þReprezentace nebo abstrakce reality pomocí modelu předpokládá použití vhodných zobrazovacích
prostředků. Podle typu zobrazení reality do modelu rozlišujeme tři základní typy modelů:
þ1) Modely ikonické. Jedná se o fyzikální repliky reálného systému (předmětu). Jsou přesné, nebo
zjednodušené, ve zmenšeném, nebo zvětšeném měřítku.
Příklady: modely strojů, modely staveb, model atomu.
þ2) Modely analogické. Jedná se o mechanické a elektronické analogy systémů.
Příklady: plány měst, mapy, plány inženýrských sítí, analogový model Steiner-Weberovy úlohy,
chemické vzorce.
þ3) Modely matematické. Soustavy funkcí, soustavy rovnic, soustavy funkcionálů. Matice a grafy.
Speciální programy počítačů.
Příklady: Rovnice speciální teorie relativity. Vzorec pro výpočet rychlosti volného pádu tělesa ve
vakuu. Model růstu populace apod.
Klasifikace modelů

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þV každém matematickém modelu můžeme rozlišit tři základní skupiny objektů, ze kterých se model
skládá.
Jsou to :
I.proměnné a parametry,
II.matematické struktury,
III.řešení.
Základní prvky matematického modelu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
uProměnné a parametry identifikované (pojmenované). Identifikovaná proměnná nebo parametr
představuje konkrétní vlastnost reálného objektu, což se projevuje názvem a mírou.
þ Příklady: xk je výměra pšenice ozimé v ha, xr produkce pšenice ozimé v katastru “U křížku” v
t, náhodná doba čekání sedmé jednotky v systému hromadné obsluhy v pátém kanálu obsluhy v minutách,
cik vzdálenost dodavatele Di od spotřebitele Sk v km.
1.
uProměnné a parametry neidentifikované (pomocné). Slouží pro formalizaci matematického zápisu, chod
algoritmů apod.
Proměnné a parametry

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
uRozhodovací proměnné. Představují zpravidla nejdůležitější procesy modelovaného systému, které se
v matematickém modelování nazývají aktivity nebo entity nebo rozhodovací proměnné.
þ Příklady:
þV modelu optimalizace portfolia proměnné x1, ..., xn představují počty akcií podniků P1, ..., Pn .
þV modelu I = U/R představují U a R aktivity a odpor v příslušných jednotkách. Těmito dvěma
aktivitami je určen proud.
þV systému hromadné obsluhy např. jednotka tj představuje se svými charakteristikami tjk,
tjn entitu.
Proměnné a parametry

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
uVstupní proměnné a parametry, výstupní proměnné a konstanty (endogenní a exogenní proměnné a
parametry).
u
uHeuristické proměnné a parametry. Představují procesy, jejichž míry nelze zjistit.
Příklady: Velikost míry inflace v chaotických a nestandardních podmínkách nelze popsat ani pomocí
pravděpodobnosti ani pomocí fuzzy míry.
V modelech situací “ad hoc” jsou charakteristiky počasí nekontrolovatelné konstanty nebo proměnné,
protože nelze využít počtu pravděpodobnosti pro jejich popis.
u
uVýsledné proměnné a konstanty. Udávají hodnoty řešení, popisují výslednou informaci.
Proměnné a parametry

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þ V matematických modelech se matematické struktury nazývají omezující podmínky. Dělíme je podle
použitého matematického aparátu z některého odvětví matematiky:
uAnalytické struktury. Jedná se o objekty z odvětví Matematické analýzy, Lineární algebry a dalších
odvětví matematiky.
Příklad: soustavy rovnic (lineární, nelineární, skalární, vektorové, diferenciální, integrální,
maticové, atd.), soustavy nerovnic (lineární, nelineární, se smíšenými omezeními, atd.), funkce
(elementární, složené, holomorfní, stochastické, fuzzy, atd.), funkcionály, atd.
uGeometrické struktury. Model je popsán grafickými prostředky: body, přímkami, rovinami, křivkami.
Příklad: Geometrická interpretace a řešení úloh v modelech lineárního programování. Grafická
interpretace rovnováhy nabídky a poptávky v ekonometrických modelech, atd.
Matematické struktury

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þ V matematických modelech se matematické struktury nazývají omezující podmínky. Dělíme je podle
použitého matematického aparátu z některého odvětví matematiky:
uTopologické struktury. Modely jsou vytvářeny pomocí objektů matematické teorie grafu.
Příklad: Modely maximálních toků v sítích, nejspolehlivější cesty v grafu/síti. Dopravní a
distribuční systémy zobrazené grafem. Logistické systémy popsané pomocí grafů a schémat.
Topologické modely lze zpravidla ekvivalentně zobrazovat pomocí tzv. incidenčních matic (tabulek,
matic souslednosti, apod.).
Matematické struktury

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
uArteficiální struktury. Modely jsou popsány prvky programovacího jazyka.
Příklad: Model systému zásob popsaný vývojovým diagramem (simulačním jazykem SIMULA 67, objektově
orientovaným jazykem Smalltalk, atd.).
uKvalitativní struktury. Model je popsán pomocí kvalitativních rovnic, kvalitativních nerovností
nebo vágně.
Příklad: kvalitativní matice, kvalitativní graf, jazykový operátor "velmi" v teorii fuzzy množin,
atd.
þ
þ   Některé speciální a především již standardní struktury matematického modelu mají specifické
názvy.
Příklady: Cobb-Douglasova funkce. Účelová funkce. Podmínky nezápornosti. Lagrangeova funkce.
Wolfeho podmínky.
Matematické struktury

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þ Řešení modelu klasifikujeme podle hlediska cílů modelování:
uPřípustné řešení, nepřípustné řešení - řešení vyhovuje, řešení nevyhovuje omezujícím podmínkám.
uMaximální řešení, minimální řešení - řešení splňuje maximalizační nebo minimalizační cílovou
podmínku.
uOptimální řešení - řešení vyhovuje nejlépe požadovanému cíli podle představ a požadavků manažera
(tj. nemusí být nutně maximální či minimální).
uVýchozí řešení - řešení zpravidla zadané odhadem nebo sestrojené vhodným jednoduchým algoritmem.
Není optimální, používá se jako start v algoritmech typu “step by step”, které jsou založeny na
postupném zlepšování výchozího řešení až do jeho optimálního tvaru.
Řešení

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þŘešení modelu klasifikujeme podle hlediska cílů modelování:
uVýsledné řešení - řešení, které může být vybráno jako optimální. Výsledných řešení může být k
disposici konečně nebo i nekonečně mnoho. Z množiny výsledných řešení (alternativ) vybírá manažer
řešení pro praxi nejvhodnější (optimální).
uAlternativní řešení - řešení, které je podle předem zadaných kriterií rovnocené s jiným řešením.
Příklad: Dvě strategie investic do vybavení podniku předpokládají sice různé technologie, ale
garantují dosažení stejné výše zisku.
uAproximativní řešení - řešení vyhovuje omezujícím podmínkám přibližně nebo se k cíli pouze
přibližuje (zpravidla se požaduje, aby termín "přibližně" byl vhodným způsobem determinován, např.
byla známa výše ztráty, když řešení použijeme).
Řešení

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
uModely deskriptivní. Slouží k zobrazení prvků a vztahů v systému a k analýze základních vlastností
systému. Pomocí těchto typů modelů se odvozují další vlastnosti systému, určuje se jeho rovnovážný
stav, stabilní stav, vliv změn uvnitř i ve vnějším okolí systému na jeho chování.
uPříklady: Rovnice E = mc2, soustava diferenciálních rovnic modelující procesy narození a úmrtí,
simulační model modelující výskyt škůdců porostu, rovnice nabídky a poptávky v konkurenčním
prostředí.
u
uModely normativní. Slouží k analýze a řízení systému tak, aby byl splněn nějaký cíl nebo množina
cílů. Zajímá nás cílové chování systému. Normativní model bývá často doplněn tzv. cílovou
(účelovou) funkcí nebo soustavou takových funkcí. Nutnou součástí normativního modelu je extremální
(minimální / maximální) řešení, které dává návod, jak požadovaného cíle (resp. cílů) dosáhnout.
Normativní modely, jejichž cílem je nalezení optimálního řešení, se nazývají optimalizační modely.
Klasifikace matematických modelů

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þ Modely deskriptivní i normativní jsou dále děleny podle typu systému, k jehož modelování slouží,
nebo podle typu matematických složek (proměnné, struktury, řešení) jež obsahují:
1.Modely statické. Model zobrazuje a analyzuje systém bez zřetele k jeho časovému vývoji. Zobrazení
se týká zpravidla určitého časového intervalu (týden, měsíc, rok, apod.).
2.Modely dynamické. Model zobrazuje a analyzuje systém v průběhu času. Zobrazení může být typu “ex
post” nebo “ex ante” a respektovat krátký či delší časový horizont.
3.Modely dynamizované. Zpravidla se jedná o vyjádření časového prvku ve statickém modelu pomocí
speciálních modelových technik. Dynamizované modely se používají v případě, kdy odpovídající
dynamický model je velmi složitý nebo jej nedovedeme soudobými modelovými technikami spolehlivě
konstruovat.
Klasifikace normativních a deskriptivních modelů

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þ Modely deskriptivní i normativní jsou dále děleny podle typu systému, k jehož modelování slouží,
nebo podle typu matematických složek (proměnné, struktury, řešení) jež obsahují:
1.Modely deterministické. Všechny proměnné, konstanty a funkce v modelu jsou deterministické
(nenáhodné) veličiny nebo funkce.
2.Modely stochastické. Alespoň jedna proměnná, konstanta nebo funkce v modelu je náhodná veličina
nebo náhodná funkce.
3.Fuzzy modely. Některé proměnné, konstanty nebo funkce jsou fuzzy veličiny, nebo fuzzy funkce.
Klasifikace normativních a deskriptivních modelů

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þNejistotou při zobrazení systému pomocí matematického modelu rozumíme situaci, kdy nemáme k
disposici všechnu potřebnou informaci nebo kdy některé z informací jsou nespolehlivé.
þModelování při riziku předpokládá, že některé informace jsou náhodné veličiny, nebo že některé
procesy jsou popsány náhodnými funkcemi.
èV případě modelů s rizikem můžeme velikost rizika při přijetí řešení popsat pomocí
pravděpodobnostních charakteristik.
èAnalogicky můžeme považovat modelování za rizika i v případě použití fuzzy veličin, nebo fuzzy
funkcí. Velikost rizika lze potom vyjádřit buď pomocí vhodné fuzzy míry nebo tuto fuzzy míru
transformovat na subjektivní pravděpodobnost.
Modelování nejistoty (neurčitosti) a rizika

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þKlasicky chápaný proces matematického modelování studovaného objektu má 4 etapy (Pospíšil):
1.Sestavení modelu (pomocí matematických termínů),
2.Matematická analýza modelu a teoretický rozbor,
3.Validace matematického modelu (zda teoretické výsledky souhlasí s praxí) a jeho přijetí,
4.Následná analýza modelu a jeho vylepšení.
Vývoj matematického modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þSestavení modelu :
Klasifikace matematických modelů:
ãspojité x diskrétní,
ãdeteministické x stochastické,
ãstatické x dynamické
þMatematická analýza modelu a teoretický rozbor:
ãpředpoklady, korektnost, existence řešení, stabilita řešení
þValidace matematického modelu a jeho přijetí.
þNásledná analýza modelu a jeho vylepšení.
Vývoj matematického modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
1.Identifikace složek modelu s využitím odborné literatury (knihy,časopisy,..), komunity a ICT
2.Sestavení modelu (vývoj matematických rovnic  a formulí) včetně matematické analýzy (korektnost,
konsistence, stabilita a konvergence řešení),
3.Implementace modelu s využitím ICT (konsistence, stabilita, konvergence, programování, ladění,
atd.)
4.Řešení implementovaného modelu s využitím ICT (analytické, numerické, atd.)
5.Verifikace řešení (zda výsledky souhlasí s chováním objektu, vizualizace, atd.) a publikace
výsledků,
6.Modifikace modelu a jeho vylepšení.
Vývoj matematického modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
1.Formulace problému. Správná formulace problému je velmi důležitá pro další postup řešení. Je
třeba vyjít z chování systému, z celkové jeho analýzy a stanovených cílů.
2.Zavedení systému. Realita je složitá, je třeba ji vymezit a pro účely modelu zjednodušit. Proto
definujeme na realitě systém, tj. prvky, vazby, vstupy a výstupy, funkci. Jde o proces simplifikace
(zjednodušení) problému, kdy nepodstatné oddělujeme od podstatného.
3.Konstrukce modelu. Pro konstrukci modelu je rozhodující účel, který sledujeme. Ten rozhoduje o
tom, co budeme v ekosystému pokládat za významné a co zahrneme do modelu a co jako podružné
ponecháme mimo model a mimo naše úvahy. Tvorba modelů patří k tvůrčí činnosti a vyjadřuje kromě
dobré znalosti modelové techniky také dobrou znalost věcné problematiky. Každý model musí vycházet
z konkrétní hypotézy odvozené ze skutečnosti.
Postup při matematickém modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
4.Testování modelu. Model je jen přibližným obrazem reality. Je dobrý, jestliže umožní přesně
sledovat důsledky změn ve vstupních informacích systému na výslednou efektivnost systému. Cílem
testování modelu je prověření správné struktury modelu, jeho vypovídací schopnosti, formálních
kvantitativních vlastností modelu včetně odstranění formálních chyb. Testování modelu provádíme
tak, že modely naplníme empirickými číselnými údaji, dosažené výsledky analyzujeme a porovnáváme s
reálnou skutečností. Ověřování lze promítat i do minulosti (“ex post”) i do budoucnosti (“ex
ante”).
5.Kvantifikace modelu. Je naplnění modelu konkrétními údaji a daty. Je třeba dbát na jejich
hodnověrnost.
Postup při matematickém modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
6.Výpočet modelu. Existují dva způsoby odvození řešení z modelu:
Analytická metoda spočívá v nalezení řešení pomocí analytických matematických metod (řešení soustav
rovnic, řešení úlohy na vázaný extrém apod.).
Numerická metoda se používá při řešení modelů, u kterých neumíme problém řešit analyticky, nebo v
případech, kdy je analytické řešení obtížné a komplikované (metody Monte Carlo, simulace na
počítači apod.).
7.Interpretační analýza. Ta představuje převod výsledků do reálného ekosystému. Je to aktivní
proces, při kterém je třeba provádět neustále logickou kontrolu smyslu řešení, vyhnout se nebezpečí
mechanického používání modelové techniky. Významným prvkem interpretace je promítnutí výchozích
hypotéz a předpokladů do výsledku řešení.
Postup při matematickém modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
6.Syntéza poznatků. Shrnutí získaných poznatků včetně všech aspektů, které nebyly do matematického
modelu zahrnuty.
7.Implementace. Implementace je volba postupu aplikace vybraného řešení v praxi.
Postup při matematickém modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þObecné zásady, které je třeba při matematickém modelování biologických systémů respektovat, lze
velmi zjednodušeně popsat následujícími kroky:
1.Identifikace problému z hlediska matematického modelování.
èRozhodnutí, zda se jedná o problém standardní, již řešený a volba standardního modelu.
èRozhodnutí, zda se jedná o nový, dosud neznámý problém a zda použijeme upravený standardní model
nebo vytvoříme model nový. K tomu je třeba zpravidla vytvořit tvůrčí odborný tým.
èRozhodnutí, zda model bude statický, dynamický, dynamizovaný, deterministický, stochastický. Zda
bude deskriptivní, nebo normativní. Zda systém bude modelován jedním modelem či více modely a jak
budou vzájemně uspořádány (propojeny).
2.Konstrukce modelu.
èOrganizace dat
èValidita modelu.
3.Výpočet řešení modelu.
èVolba algoritmu řešení.
èVýběr variant řešení.
Obecné zásady při matematickém modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þ
4.Výběr užší skupiny dostatečně dobrých řešení.
èVýběr vhodných řešení se provádí v rámci algoritmu řešení.
èVýběr vhodných řešení provádí výzkumník (vědec).
èVýběr vhodných řešení provádí vědec s pomocí spolupracujících expertů a vědců .
5.Experimentování s vybraným řešením.
è"What-if" analýza, "Goal seeking".
èScénáře.
6.Výběr optimálního řešení.
7.Implementace.
èMonitoring implementace.
èSledování zpětné vazby.
èÚpravy modelu a nová implementace.
Obecné zásady při matematickém modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
Cyklus “Identify-Develop-Implement-Solve-Analyse-Modify“
semmering-fig2-final

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
1.Úspora času. Operace probíhající v reálném čase po léta mohou být simulovány pomocí modelu během
několika minut (Simulace).
2.Jednodušší manipulace s modelem než s realitou (Simplicita).
3.Cena za chybné rozhodnutí při práci s modelem je nepatrná ve srovnání s chybou v reálném systému
(Spolehlivost).
4.Možnost kalkulace rizika spojeného s přijetím rozhodnutí (Stabilita).
5.Cena za analýzu chování systému pomocí modelu je mnohem menší než cena za analýzu reálného
systému (Spořivost).
6.Modelováním se uživatel učí (Sebevzdělávání).
7.Možnost analýzy a posouzení velkého množství (i nekonečného počtu) alternativ řešení
(Selektivita).
Sedm výhod (S) matematického modelu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
uMatematické programování (Mathematical programming).
uDynamické programování (Dynamic programming).
uModely hromadné obsluhy (Waiting/queuing models).
uModely zásob (Inventory models).
uModely obnovy (Renewal models).
uMarkovovy řetězce (Markov chains).
uSíťové modely (Network models).
uHeuristické/Stochastické programování (Heuristic/Stochastic programming).
uSimulační modely (Simulation models).
uMetody větví a hranic (Branch and bound).
uRozhodovací modely (Decision models, Decision tables/trees )
uModely teorie her (Game theory).
uSystémy pro podporu rozhodování (Decision support systems).
uExpertní systémy (Expert systems).
Přehled matematických modelů a modelových technik

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þ
þVšechny standardní matematické modely jsou řešitelné pomocí software, který je k disposici na trhu
pro různé úrovně použití - od pedagogických (školních) programů až po vysoce profesionální
programy. Mnoho úloh lze řešit v produktech MS-Excel, SAS, Maple, aj.
Přehled matematických modelů a modelových technik

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
1.Znalost metod a prostředků matematické analýzy a algebry. Je důležitá při volbě správné metody a
modelu.
2.Znalost techniky modelování. Úsilí vynaložené na konstrukci a využití určitého matematického
modelu musí být úměrné jeho přínosu.
3.Existující ekologický (biologický) systém. Musí mít dostatečný prostor pro vlastní modelování
(iniciativa) a musí být (studijní,výzkumná) zainteresovanost na využití modelové techniky
(motivace).
4.Informační a komunikační technologie. Všechny tři stránky ICT, tj. hardware, software a
komunikace musí být v rovnováze.
5.Informační základna. Každý model je třeba zaplnit vstupními údaji, které vycházejí z konkrétních
hodnověrných údajů, zdůvodněných norem a normativů. Údaje musí být ve formě vhodné pro kvantifikaci
modelu. Je třeba vytvářet specifické informační systémy (banky dat).
Předpoklady úspěšného modelování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þ http://smub.st-and.ac.uk/jason_matthiopoulos/page5.html :
þI. Academic and research institutes
þII. Societies
þIII. Publishers of Related Books and Journals
þIV. Electronic and interactive documents
þV. Personal Web Pages
þVI. Mathematics Software
þVII. On-line journals
þVIII. Registers of ecological Models
Linky k webovským stránkám Mathematical Biology

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þBritish Ecological Society
þNetherlands-Flemish Ecological Society
þThe Ecological Society of America
þThe Ecological Society of Australia
þEuropean Society for Mathematical and Theoretical Biology (ESMTB)
þThe IMA (UK) Forum for Mathematics in Medicine and Biology (Dead link?)
þThe IMA (US) initiative for mathematics in biology
þInternational Biometric Society
þInternational Society for Ecological Modelling (ISEM)
þThe Israeli Society for Theoretical and Mathematical Biology
þNetherlands society for Theoretical Biology
þResource Modeling Association
þThe Society for Mathematical Biology
þSociety for Computer Simulation
Odborné společnosti

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þ   Society for Mathematical Biology, http://www.smb.org/
þEuropean Conference for Mathematical and Theoretical Biology, Dresden, Germany, July 18-22, 2005,
http://www.ecmtb05.org
þBulletin of Mathematical Biology,
http://www.elsevier.com/wps/find/journaldescription.cws_home/622802/description#description
þ    Topics:
ãDevelopmental Biology
ãEcology
ãEpidemiology
ãImmunology
ãMolecular Biology
ãMorphology
ãNeurobiology
ãPharmacology
ãPhysiology
ãPopulation Biology
ãComputational Biology and Bioinformatics
Odborné společnosti

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þ    - Advances in Applied Mathematics
þ    - American Naturalist
þ    - Applied Mathematical Modelling
þ    - The Ecologist
þ    - Ecological Modelling
þ    - Ecological Monographs
þ    - Ecology
þ    - IMA Journal of Mathematics applied in Medicine and biology
þ    - Journal of Mathematical Biology
þ    - Journal of Animal Ecology
þ    - Journal of Theoretical Biology
þ    - Mathematical Biosciences
þ    - Nature
þ    - New Scientist
þ    - Oikos
þ    - Rivista di Biologia /Biology Forum
þ    - Science
þ    - Theoretical Population Biology
þ    - TREE
On-line časopisy

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þWWW server pro ekologická modelování,
þhttp://dino.wiz.uni-kassel.de/ecobas.html:
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
Výhody matematického modelování s využitím ICT
semmering-fig1-final

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
Poznámky o modelování měkkých systémů
þSystémový přístup při řešení ekologických a biologických  problémů respektuje nejširší souvislosti
mezi jevy, a to se projevuje zcela novým, kvalitativním uvažováním a kvalitativní analýzou systému,
kdy se soustřeďujeme i na oblasti zdánlivě s řešeným problémem nesouvisející: na souvislosti
sociální, ekologické, ekonomické, na tradice a zvyklosti. Systém, ve kterém se respektují při
rozhodování tyto a podobné vlivy, se nazývá měkký systém. Modelování měkkých systémů musí splňovat
i všechny zásady modelovacího procesu, tak jak byly popsány v předchozích odstavcích, zabývajících
se problémy analýzy "tvrdých systémů". Modelování v měkkých systémech ovšem vyžaduje zvláštní
postupy a speciální podporu..
þMěkký systém je semi-strukturovaný, ale ne každý semi-strukturovaný systém je měkký. Z hlediska
teorie modelování sice při řešení problému probíhají všechny fáze modelovacího procesu, ale
techniky používané při identifikaci problému, řešení, výběru řešení a implementaci jsou obecně jiné
a obecně složitější.
Metody OR/MS, statistické a jiné kvantitativní metody se také v měkkých systémech užívají, ale
podstatně se mění metodologie jejich použití.
Měkký systém vymezujeme od tvrdého systému výčtem vlastností a zpravidla se odlišné vlastnosti
staví vedle sebe.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
Jenkinsův akční výzkum
þAkční výzkum podle Jenkinse obsahuje čtyři fáze, připomínající Simonovo členění. Jsou to:
1.identifikace,
2.projekt,
3.implementace,
4.sledování provozu a
þpřípadně nový projekt a nová implementace.
þ
þV každé fázi se respektují strategická pravidla:
(1)identifikace se provádí kombinací tvrdých i měkkých postupů, využívá se expertů,
(2)problém konfliktních situací se řeší metodami vah nebo jako vícekriteriální problém,
(3)problém se strukturuje, postupuje se v iteracích,
(4)konečný výstup se ověřuje v praxi pomocí experimentálního ověření, nebo pomocí expertů.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
Checklandova metodologie měkkých systémů
þCheckland vycházel ve své metodologii z Jenkinsových zkušeností. Na rozdíl od Jenkinse
předpokládá, že jeden a týž problém může být řešen a hodnocen z různých pohledů různě a při řešení
je tedy třeba současně postupovat nejméně ve dvou úrovních. Tyto dvě úrovně jsou:
(i)vhodný model reality s aktivním zapojením a angažovaností lidí (tj. nemusí se jednat o formální
matematický model),
(ii)abstraktní model vyšší úrovně.
þ
þPo obou úrovních se postupuje souběžně ve vzájemné interakci. Postup je rozpracován do 7 fází :
(1)popis problémové situace,
(2)strukturování a identifikace problému,
(3)vymezení subsystémů, jejichž analýza povede k řešení problému - realizace CATWOE,
(4)tvorba projektu, modelu,
(5)tvorba koncepce, konceptuálního modelu,
(6)výběr řešení a implementace,
(7)sledování zpětné vazby a opravy řešení.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þMetodologie tvrdých systémů vychází z matematických principů a matematických přístupů k analýze
systému.
þV případě měkkých systémů se naopak hledají prostředky jak problém dokonale popsat a systém
zobrazit, třeba i nematematickými prostředky a za vágních předpokladů.
þSkupiny takových metod a postupů se nazývají metametodologie.
þPrvním a nejdůležitějším úkolem metametodologie je popis postupu, který bychom mohli nazvat jako
vytvoření metodologie metodologií. Od takového postupu se potom odvozují další metakonstrukce v
systémové vědě jako jsou metametodologické dotazování, modelování, apod.
þNěkteré postupy metametodologie lze popsat matematicky, některé je nutno vyjádřit empiricky. Mezi
empirické metody patří např. expertní analýza, vyjádření skutečnosti pomocí subjektivní
pravděpodobnosti, použití fuzzy jazykových operátorů, simulace.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
Úvod do matematického modelování       © Matematická Biologie 2010/2011
logo_sci-black recetox-cerna-kulate-CZ
þffgf
Účetnictví a reporting udržitelného rozvoje..., Brno
51
levy-panel-IBA
Děkuji za pozornost
Otázky?
logo-IBA-transparent
logo-MU