Část I Lineární algebra Veronika Švandová Masarykova univerzita, 2012 1 Vektory S vektory jste se již setkali na střední škole, proto by Vám neměly dělat problémy. Vektory jsou základem lineární algebry, proto doporučujeme, abyste si v nich udělali jasno - k tomu by Vám měl pomoci náš výukový text. Máte-li potřebné znalosti ze střední školy, můžete rovnou přejít k následující kapitole - maticím. 1.1 Teorie 1.1.1 Základní vlastnosti vektorů a operace s vektory V chemii pracujeme s různými veličinami. Tyto veličiny mohou být buď skalární - mají jedinou složku představující velikost (např. hmotnost, teplota), nebo vektorové - mohou popisovat kromě velikosti také směr a orientaci (např. síla, okamžitá rychlost...), nebo mohou představovat data (např. časová řada, souřadnice, pozice, ...). Vektor se na střední škole většinou zavádí zvlášť pro nenulový vektor a zvlášť pro nulový vektor. Stručně si zopakujeme běžně uváděné definice. Nenulovým vektorem je označována množina všech nenulových orientovaných úseček (tj. úseček, u nichž je určen počáteční a koncový bod), které mají stejnou velikost a stejný směr. i; Obrázek 1: Nenulový vektor Směr je definován pouze pro nenulové orientované úsečky - dvě takové úsečky AÉ a CĎ mají stejný směr, jestliže přímky určené těmito úsečkami jsou rovnoběžné a body B, D leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC (obr. 2 vlevo), nebo přímky určené těmito úsečkami jsou totožné a průnikem polopřímek AB a CD je opět polopřímka (obr. 2 vpravo). Nulovým vektorem bývá označována množina všech nulových orientovaných úseček (úsečky, jejichž počáteční bod je totožný s koncovým, tj. mající nulovou velikost). 1 Obrázek 2: Směr Každá orientovaná úsečka tedy určuje nějaký vektor (je prvkem množiny orientovaných úseček tvořících tento vektor). Vektory se označují malými písmeny se šipkou nahoře (např. u, v), v učebnicích se můžete setkat s jejich označením pomocí tučného písma (např. u, v). Nulový vektor se většinou označuje písmenem "o" - o , resp. o. V obrázcích se označení pro konkrétní vektor (dejme tomu u) může zapsat u každé úsečky, která má stejnou velikost a stejný směr jako úsečka určující vektor u. Obrázek 3: Označení vektorů Jsou-li body A, B dány souřadnicemi A[ai,a2] a B[61,62], resp. v prostoru J4[ai,a2,ft3] a B\b\,b2,bž\, přičemž a\, a>2, &3, b\, &2 a ^3 jsou reálná čísla a je-li vektor u určen orientovanou úsečkou AĚ, nazývají se čísla Mi = b\ — a\ a U2 = &2 — 0-2, resp. v prostoru i ČÍSI0W3 = 63 — &3 (1-1) souřadnice vektoru u. Zapisujeme u= (u\, u2), resp. u = (u\, u2, u3). Středoškolské pojetí vektorů nyní rozšíříme nejen na dvou a tří-složkové vektory. Množinu Rn uspořádaných n-tic reálných čísel s operacemi definovanými: u + v = (ui,u2, ...,un) + (vi,v2, ... ,vn) = (ui + vi,u2 +v2,...,un+ vn) (1.2) k - u = k ■ (ui,u2, ■ ■ ■ ,un) = (k ■ ui,k ■ u2, ■ ■ ■ ,k ■ un) (1.3) pro všechna k e R a, ů, v e Rn nazýváme reálným algebraickým vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. uspořádané n-tice reálných čísel u = (ui, 112,. .. , un), nazýváme algebraickými vektory1. Číslům u\, 112, ■ ■ ■, Un říkáme složky vektoru u, vektoru u + v říkáme součet vektorů u a v, vektoru k ■ u říkáme součin čísla k s vektorem u, číslu n říkáme dimenze prostoru Rn, vektoru o = (0, 0,..., 0) říkáme nulový vektor. existují i jiné vektorové prostory než jen "reálné algebraické". Přívlastkem "Reálný algebraický "máme na mysli, že množina vektorů je tvořena uspořádanými n-ticemi reálných čísel. Obecně však tyto n-tice nemusí být tvořeny pouze reálnými čísly, ale např. čísly racionálními. Vektory dokonce nemusí být jen uspořádané n-tice, ale množinou vektorů může být např. množina všech polynomů. Důležité je, aby vektory a čísla splňovaly tzv. axiomy vektorového prostoru. V tomto textu dále budeme pracovat především s reálným algebraickým vektorovým prostorem a algebraickými vektory a nebude-li řečeno jinak, budeme je stručně nazývat jako vektorový prostor a vektory. 2 Vektory tedy sčítáme (resp. odečítáme) "po složkách". Protože v jednotlivých složkách pracujeme se sčítáním reálných čísel, přenáší se komutativita a asociativita sčítání reálných čísel na sčítání vektorů. Násobení vektoru číslem provádíme rovněž "po složkách". 1.2 Řešené příklady Příklad 1. Vypočtěte a + b, je-li a = (1,2,1) a b= (3,0,-1). Řešení Sčítání vektorů provedeme postupně, po jejich jednotlivých složkách (podle (1.2)): a + b = (1,2,1) + (3,0,-1) = (1 + 3,2 + 0,1 - 1) = (4,2,0). Příklad 2. Vypočtěte 2 • b, je-li b = (3, 0, -1). Řešení. Vynásobení vektoru číslem provedeme postupně, po složkách (podle (1.3)): 2 • b = 2 • (3, 0, -1) = (2 • 3, 2 • 0, 2 • -1) = (6,0,-2). Příklad 3. Vypočtěte a + 2-b-c, je-li a= (1,2, í),b= (3,0, -l),c = (2,1,0). Řešení Nejdříve vynásobíme b dvěma (podle (1.3)) a následně všechny vektory sečteme (resp. odečteme - podle (1.2)): a + 2 • b - c = (1, 2,1) + 2 • (3, 0, -1) - (2,1, 0) = (1,2,1) + (6, 0, -2) - (2,1,0) = = (1 + 6-2, 2 + 0-1,1-2-0) = (5,1,-1). 1.3 Příklady k procvičení 1.3.1 Základní vlastnosti vektorů a operace s vektory 1. Vypočtěte: a) a + o, je-li a = (1, 2,1), b) k-a + k-b-k-c, je-li a = (1,2, l),b= (3, 0,-1), c = (2,1,0), A: = 0, c) a + b-2-c, je-li a= (1,2,1),6= (3,0,-l),c= (2,1,0), d) ki ■ úi + k2 ■ u2 + k3 ■ u3, je-li úi = (3, 1,4),m2 = (2, 0, -5),u3 = (-2,1, -1), ki = 2, k2 = 3,/j3 = -1, e) ki ■ úi + k2 ■ ú2 + k3 ■ u3, je-li ui = (1,1,1, í),ú2 = (2, -1,3, í),u3 = (0, 0,1,2), kx = 2, k2 = -2,k3 = 3. Výsledky 1. Vypočtěte: a) (1,2,1), tj. a, b) (0,0,0), c) (0,0,0), d) (14,1,-6), e) (-2,4,-1,6). 3 2 Matice Celá řada úloh z praxe vede na řešení soustav rovnic. V této kapitole si ukážeme, jak se takové soustavy řeší. K tomuto účelu zavedeme základní pojmy lineárni algebry: matice, hodnost matice a determinant matice. Ukážeme si dvě metody řešení soustav lineárních rovnic, a to Gaussovu eliminační metodu a Cramerovo pravidlo. 2.1 Teorie Již ze střední školy umíte řešit soustavu dvou lineárních rovnic ax + by = c, dx + ey = f pro neznámé x, y a nějaká daná reálná čísla a, b, c, d, e, /. Řešení se provádí metodou sčítací, dosazovací, porovnávací, nebo graficky. Podobně nás může zajímat hledání řešení soustavy 3 nebo více lineárních rovnic. Hledání řešení soustavy lineárních rovnic je základní úlohou lineární algebry. Soustava dvou rovnic má buď • právě jedno řešení, nebo • nekonečně mnoho řešení, nebo • žádné řešení. Stejně tak může u soustavy více rovnic nastat pouze jedna z těchto tří možností. Která z nich nastane? Na tuto otázku nám pomohou odpovědět pojmy matice a její hodnost. 2.1.1 Pojem matice Matice typu m/n je tabulka m ■ n čísel sestavená do m řádků a n sloupců. Označujeme ji A resp. Am/n ČÍ ^«12 «12 •• ain ^ A = Amjn = (aij) = a21 a22 a2n (2.1) Reálná čísla a^, i = 1,m, j = 1,n, m, n e N nazýváme prvky matice. Je-li m = n, nazývá se matice A čtvercová matice a číslo n řád této matice. Je-li m # n, říkáme matici A obdélníková. Prvky an, ČI22, G33, ajj leží na tzv. hlavní diagonále matice. Hlavní diagonála je tedy tvořena všemi prvky , kde i = j. Prvky alrt, a2íTt_i, a3 „_2; ■■■ leží na tzv. vedlejší diagonále. Pokud se hovoří o diagonále matice, je tím obvykle myšlena hlavní diagonála. 4 Příklad 2 1 3 2 je čtvercová matice řádu 2. Prvky 2, 2 tvoří hlavní diagonálu matice, prvky 1, 3 diagonálu vedlejší. Příklad / 2 1 5 -2 \ 3 6-1 1 15-2-2 je obdélníková matice typu 3/4. Prvky 2, 6, —2 tvoří hlavní diagonálu matice, prvky —2, —1, 5 diagonálu vedlejší. Matice Am/n, která má všechny prvky rovny nule, se nazývá nulová matice. Příklad o o 0 \ / o o a I jsou dvě různé nulové matice. 0 0 0 / \ 0 0 Čtvercová matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky a jinde má všechny prvky nulové, se nazývá jednotková matice a značí se E. Příklad Příkladem jednotkové matice může být třeba matice E ( 1 0 0 \ 0 1 o 0 0 1 2.1.2 Operace s maticemi Součinem matice A = (a^) s konstantou k eW. nazveme matici C = (c.ý), kde Cij k • CLij . (2.2) Zapisujeme C = kA. Příklad Matici tedy vynásobíme konstantou tak, že každý její prvek vynásobíme danou konstantou: 2 1 5-2 3 6-1 1 6 3 15 -6 9 18 -3 3 5 Nechť A = (dij), B = (bij) jsou matice téhož typu m/n. Součtem matic A a, B nazveme matici C = (cíj), kde Gij (lij + bij (2.3) Zapisujeme C = A + B. Příklad Matice tedy sčítáme "po odpovídajících si prvcích": í2 -1 2 íl -2 1 ' 2+1 -1 + (-2) 2 + 1 ( 3 -3 3 \ 3 1 -2 + 0 1 3 = 3 + 0 1 + 1 -2 + 3 = 3 2 1 V 2 0 1 ) l2 4 1 ) v 2 + 2 0 + 4 1 + 1 ) l4 4 2 Pro sčítání matic a násobení matice konstantou platí asociativní, komutativní a distributivní zákon. Nechť A = ( 1) jsou lineárně závislé, je-li aspoň jeden z nich lineární kombinací zbývajících vektorů.2 2Stačí si uvědomit, že pokud jsou vektory LZ, musí ve vektorové rovnici k\ ■ u\ + ki ■ U2 + ■ ■ ■ + k„ ■ u„ — o existovat nenulové fcj. Příslušný vektor Ui pak můžeme z rovnice vyjádřit jako lineární kombinaci zbývajících vektoru: Ui —--■ u\ H---■ u2 + ■ ■ ■ H---■ u„. ki k^ ki 7 Z této věty přímo plyne, že vektory u\, U2,... ,un jsou lineárně závislé např. pokud • jeden z vektorů je násobkem jiného vektoru, • jsou mezi nimi dva vektory stejné, • je mezi nimi alespoň jeden vektor nulový. Jak ale určíme v obecném případě, kolik ze zadaných vektorů může být lineárně závislých/nezávislých? K tomu nám pomůže pojem hodnost matice. Řádky matice totiž můžeme chápat jako vektory. Místo lineární ne/závislosti vektorů pak v případě matic mluvíme o lineární ne/závislosti řádků matice. Hodností matice A rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme h{A). A jsme u klíčové otázky: Jak určíme hodnost matice? 1. Pomocí tzv. ekvivalentních úprav převedeme matici do tzv. schodovitého tvaru. Řekneme, že matice a je ve schodovitém tvaru, jestliže v matici A každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než řádek předcházející. Příklad Mějme dvě matice: / 2 1 0 A = 0 3 1 0 0-2 a B = 0 1 -2 -2\ 5 2 J Matice A je ve schodovitém tvaru (pod hlavní diagonálou jsou samé nuly). Matice B ve schodovitém tvaru není, protože 2. a 3. řádek začínají stejným počtem nul. Hodnost matice B, která vznikne z matice A některou z následujících úprav: a) záměnou řádků, b) vynásobením libovolného řádku nenulovým číslem, c) přičtením některého řádku, nebo jeho násobku, k jinému řádku, d) vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků,3 je rovna hodnosti matice A. Vyjmenované úpravy nazýváme ekvivalentními úpravami a zapisujeme A ~ B.A 2. Hodnost původní matice určíme z hodnosti matice ve schodovitém tvaru podle následující věty. Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. 3Možnost d - vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků může např. znamenat vynechání řádku složeného ze samých nul, resp. vynechání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo který je násobkem jiného řádku. Tyto úpravy však pro samotné určení hodnosti matice není nutné provádět. Stačí převést kterýkoli z těchto řádků na řádek sestávající se ze samých nul, který se do hodnosti matice nezapočítává. 4Někdy se též tyto úpravy nazývají jako elementární řádkové úpravy. 8 Příklad Mějme dvě matice: A = 2 1 O 3 O O a B = Matice A je ve schodovitém tvaru (pod hlavní diagonálou jsou samé nuly). Obsahuje 3 nenulové řádky a proto h(A) = 3. Matice B ve schodovitém tvaru není, protože 2. a 3. řádek začínají stejným počtem nul. Proto je třeba tuto matici nejdříve do schodovitého tvaru převést. Toho dosáhneme např. tak, že 2. řádek vynásobíme číslem (-3) a přičteme ho k třetímu řádku: B = ( V 2 1 0 0 1 1 0 3-2 V 2 1 0-2 0 11 5 0 0-5 -13 \ Matici B jsme převedli do schodovitého tvaru, ve kterém jsou 3 nenulové řádky. Proto h{B) = 3. 2.1.4 Determinant matice Uvažujme čtvercovou matici A řádu n. Ke každé takové matici přiřadíme jistým způsobem číslo, které nazveme determinantem matice A. Determinant matice se hodí např. k řešení soustav rovnic. V následující definici se omezíme jen na matice řádu 2 a 3, i když samozřejmě existuje obecná definice i pro matice řádu n. Buď A čtvercová matice řádu n. Determinant matice A je číslo \ A\ přiřazené matici následujícím způsobem: a) je-li n = 2: \A\ = all a12 = ana22 — ai2a2i (2-10) a21 a22 - tzv. křížové pravidlo, b) je-li n = 3: all a12 a13 1-4.1 = a21 a22 a23 — alla22a33 + a12a23a31 +a13a21a32 ~a13a22a31 — alla23a32 ~a12a21a33 a31 a32 a33 (2.11) - tzv. Sarussovo pravidlo. Zapamatovat si vzorec pro výpočet determinantu matic řádu 2 není žádný problém. Pro matice řádu 3 se vyplatí uplatnit následující pomůcku: vedle zadaného determinantu opište znovu jeho 1. a 2. sloupec. Cleny determinantu s kladným znaménkem dostanete vynásobením prvků matice na hlavní diagonále a diagonálách s ní rovnoběžných, členy determinantu se zápor- 9 ným znaménkem dostanete vynásobením prvků matice na vedlejší diagonále a diagonálách s ní rovnoběžných: «12 «13 «11 «12 1-4.1 = «21 «22 «23 «21 «22 «31 «32 «33 «31 «32 — «11«22«33 + «12«23«31 + «13«21«32 ~ «13«22«31 — «11«23«32 ~ «12«21«33- 2.1.5 Soustavy lineárních rovnic Již ze střední školy umíte řešit soustavy (systémy) dvou lineárních rovnic o dvou neznámých (viz úvod k maticím). Nyní budeme uvažovat o řešení obecné soustavy m lineárních rovnic. Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x\, x2, ■ ■ ■, xn nazýváme soustavu rovnic anxi + aí2x2 + ■■■ + ainxn = bi (2-12) a21xl + «22^2 + ' ' ' + Cl2nXn = b2 «ml^l + «m2^2 +----1" amnXn = bm. Reálné číslo clíj, i = l,...,m,j = 1, ...,n,m,n e N nazýváme koeficient (v i-té rovnici u j-té neznámé), reálné číslo bi nazýváme absolutní člen í-té rovnice. Řešením soustavy rovnic (2.12) je každá uspořádaná n-tice reálných čísel (ki, k2, ■ ■ ■, kn), která dané soustavě vyhovuje, tj. po dosazení čísel k j za neznámé x j (j = l,...,n) do všech rovnic soustavy jsou všechny tyto rovnice splněny. Protože pro řešení soustav rovnic jsou podstatné pouze jednotlivé koeficienty, zavedeme následující definice, které nám umožní zapisovat soustavu (2.12) zjednodušeně. Matici ^ «11 «12 <2i „ \ A - «21 «22 • ' «2 n (2.13) \ «ml «m2 nazýváme maticí soustavy (2.12) Matici «11 «12 bi \ A = «21 «22 a2n b2 (2.14) l "ml «m2 bm ) nazýváme rozšířenou maticí soustavy (2.12). 10 Poznámka. Označíme-li X seně v maticovém tvaru x2 a B ( h \ b2 V xn J \bm ) AX = B můžeme soustavu (2.12) zapsat zjednodu- (2.15) Frobeniova věta: Soustava m lineárních rovnic o n neznámých AX = B má řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. h(A) = h(A). (2.16) Gaussova eliminační metoda Řešení soustavy m lineárních rovnic o n neznámých pomocí tzv. Gaussovy eliminační metody spočívá v tom, že soustavu rovnic nahrazujeme postupně jinými soustavami, které mají stejnou množinu řešení. Toto provádíme tak dlouho, dokud nedojdeme k soustavě, kterou umíme vyřešit. Při řešení postupujeme takto: 1. Zapíšeme rozšířenou matici zadané soustavy a pomocí ekvivalentních úprav ji převedeme na schodovitý tvar. 2. Na základě Frobeniovy věty určíme, zda je soustava řešitelná a s pomocí následující věty určíme počet jejích řešení. Soustava m lineárních rovnic o n neznámých AX = B a) nemá žádné řešení, pokud hodnost matice soustavy není rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. pokud h(A) # h(A). (2.17) b) má právě jedno řešení, pokud hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy a navíc je rovna počtu neznámých, tj. pokud h(A) = h(Ä) = n. (2.18) c) má nekonečně mnoho řešení, pokud hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy a navíc je tato hodnost menší než počet neznámých, tj. pokud h(A) = h(A) < n. (2.19) Tato řešení lze vyjádřit pomocí n—h(A) tzv. volných neznámých - neznámých, za které můžeme volit libovolná čísla. 3. Pokud je soustava řešitelná (tj. pokud nastane jeden z případů 6 či c), vypočítáme postupně jednotlivé neznámé z rovnic odpovídajících řádkům matice ve schodovitém tvaru, které jsou ekvivalentní původním rovnicím. Vyjadřování provádíme odspodu soustavy. Platí-li v soustavě (2.12) bi = b2 = ■ ■ ■ = bm = 0, nazývá se soustava (2.12) homogenní. 11 Homogenní soustava rovnic má vždy řešení. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x\ = 0, x2 = 0,..., xn = 0, tj. (xi, X2, ■ ■ ■, xn) = (0, 0,..., 0) je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Cramerovo pravidlo Cramerovo pravidlo lze použít pro řešení soustavy n lineárních rovnic o n neznámých. Tj. takových soustav, v nichž je počet neznámých roven počtu zadaných rovnic. My si uvedeme toto pravidlo v zjednodušené podobě - pro soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých. Cramerovo pravidlo: Nechť AX = B je soustava tří lineárních rovnic o třech neznámých a\\x + a\2y + 113Z = b\ a2ix + a22y + a23z = b2 a31x + a32y + a33z = b3. Nechť determinant matice této soustavy je různý od nuly, tj. \A\ =£ 0, \A\ = (2.20) G11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Nechť Aj je matice, která vznikla z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem absolutních členů rovnic, j = 1, 2, 3. Pro determinanty matic Aj tedy platí: l^i| = bi a±2 ai3 b2 a22 a23 b3 a32 a33 \A2\ = an b± a±3 a2i b2 a23 a31 ^3 a33 l^3| = an ai2 bi a21 a22 b2 a31 a32 ^3 Pak soustava má jediné řešení (x, y, z) přičemž platí: \A\ \A\ \A\ (2.21) Je-li \A\ = 0, pak tato soustavu buď nemá řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení. 2.2 Řešené příklady 2.2.1 Operace s maticemi Příklad 4. Vypočtěte součin matic: Řešení. Připomeňme, že násobení matic je definováno (podle (2.4)) pouze v případě, že první z matic má tolik sloupců, jako druhá řádků. V našem případě je součin definován a platí, že např. prvek na místě 1,1 v nové matici získáme vynásobením prvků 1. řádku matice A prvky 1. sloupce 12 matice B - a tyto součiny sečteme: 2 • 1 + 1 • 1 2 • (-1) + 1-1 3-1 + 2-1 3 • (-1) + 2-1 Příklad 5. Vypočtěte součin matic: ( 1 2 3 \ / -1 -2 2 4 6 3 6 9 -1 -2 -4 1 2 4 -4\ Řešení. Matice vynásobíme podle vzorce (2.4): 2 3 4 6 6 9 -1 -2 -4 -1 -2 -4 1 2 4 \ 1 -2 + 3 -2-4 + 6 -4 -8 + 12 2 -4 + 6 -4-8+12 -8- -16 + 24 3 -6 + 9 -6-12 + 18 -12 -24 + 36 v / o o o \ 0 0 0 0 0 0 Výsledkem je tedy nulová matice. Příklad 6. Vypočtěte AB - BA, je li ( 1 2 1 \ ( 4 1 1 \ A = 2 1 2 1 2 3 -4 2 0 1 2 1 Řešení. Nejdříve vypočteme součiny matic (podle (2.4)): AB = BA = 1 2 1 2 1 2 1 2 3 y 4 1 1 -4 2 0 1 2 1 4 1 1 -4 2 0 1 2 1 2 1 1 2 2 3 4-8+1 1+4+2 1+0+1 8-4+2 2+2+4 2+0+2 4-8+3 1+4+6 1+0+3 4+2+1 8+1+2 4+2+3 -4 + 4 + 0 -8 + 2 + 0 -4 + 4 + 0 1 + 4+1 2 + 2 + 2 1 + 4 + 3 -3 7 2 \ 6 8 4 -1 11 4 ' 7 11 9 0-6 0 6 6 8 A nyní vypočtené matice odečteme (podle (2.3)): AB — BA ( -3 7 2 6 8 4 -1 11 4 (7 n ( -10 -4 -7\ 0 -6 0 = 6 14 4 V 6 6 8 ) \ -7 5 -4 ) 13 Příklad 7. Vypočtěte f (Ä), je li f (x) = x2 - bx + 3 a A = Řešení Naším úkolem je najít funkční hodnotu zadané funkce / v bodě A, přičemž tímto bodem je zadaná matice A. Funkční hodnotu v bodě zjistíme klasicky dosazením tohoto bodu do předpisu funkce, tj. dosazením x = A do f (x). Místo čísla 3 zapíšeme do maticové rovnice 3E: f (A) = AA-5A + 3E. 2-1 Do získaného předpisu dosadíme zadanou matici A = | |. Protože sčítání matic -3 3 je (podle (2.3)) definováno jen pro matice stejného typu, musí být E řádu 2, tj. dosadíme E 1 0 0 1 Í{A) Součin matic AA vypočítáme podle (2.4), součiny 5A a 3E podle (2.2) a takto vypočtené matice sečteme resp. odečteme podle (2.3): - , , 10 -5 \ / 3 0 \ / 0 0 -15 15 / \ 0 3 / \ 0 0 2.2.2 Hodnost matice Příklad 8. Určete hodnost matice A = V -5 -7 -8 1 -1 3\ 2 7 -5 6 / Řešení Zadanou matici převedeme do schodovitého tvaru. Toho dosáhneme např. tak, že první řádek matice opíšeme a zbývající řádky upravíme pomocí ekvivalentních úprav tak, abychom pod prvkem au = 4 měli samé nuly. Vynásobíme 1. řádek číslem (-2) a přičteme ho k 2. řádku, pak vynásobíme 1. řádek číslem (-1) a přičteme ho k 3. řádku, dále vynásobíme 1. řádek číslem (-1) a přičteme ho k 4. řádku a nakonec vynásobíme 1. řádek číslem (-2) a přičteme ho k 3. řádku: -5 -7 -8 1 -1 3\ 2 7 -5 6 / 0 o o V° 3\ -4 4 -8 -12 14 Shodou okolností se nám objevily samé nuly i pod prvkem a22 = 0. Všechny řádky od druhého počínaje začínají dvěma nulami — 1. a 2. řádek opíšeme a pomocí ekvivalentních úprav se pokusíme získat samé nuly pod prvkem 0,23 = 3. Nejdříve 2. řádek přičteme k 3. řádku, dále 2. řádek vynásobíme číslem (-2) a přičteme k 4. řádku a nakonec 2. řádek vynásobíme číslem (-3) a přičteme k 5. řádku: 4 3 -5 2 3 \ / 4 3 -5 2 3 \ 0 0 3 0 -4 0 0 3 0 -4 0 0 -3 0 4 0 0 0 0 0 0 0 6 0 -8 0 0 0 0 0 v 0 0 9 0 -12 7 V 0 0 0 0 0 7 Tím se nám povedlo převést matici do schodovitého tvaru. V této matici jsou dva nenulové řádky, a proto hodnost zadané matice je dva: h(A) = 2. Příklad 9. Určete hodnost matice A V 0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 7 Řešení. Zadanou matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav do schodovitého tvaru. První řádek začíná nulou - bude vhodnější ho umístit jako 2. řádek. Jako první řádek bude nejvýhodnější umístit 4. řádek začínající číslem 1 - jeho násobením čísly (-4) a (-10) a přičítáním k 2. a 3. řádku snadno vytvoříme samé nuly pod prvkem au: 0 4 10 1 \ / 1 7 17 3 \ 4 8 18 7 0 4 10 1 10 18 40 17 0 -20 -50 -5 v 1 7 17 3 7 V 0 -52 -130 -13 7 3. a 4. řádek matice zjednodušíme, aby se nám s nimi lépe počítalo. 3. řádek vydělíme číslem 4, 4. řádek vydělíme číslem 13: 1 7 17 0 4 10 0 -20 -50 v 0 -52 -130 3 1 -5 -13 \ 1 7 17 3 \ 0 4 10 1 0 -4 -10 -1 v 0 -4 -10 -1 7 Nyní vytvoříme samé nuly i pod prvkem CL22 = 4 - stačí 1. a 2. řádek opsat a 2. řádek 15 přičíst k 3. a 4. řádku: 1 7 17 0 4 10 0 -4 -10 v 0 -4 -10 3\ 1 -1 -1 1 7 17 3 \ 0 4 10 1 0 0 0 0 v 0 0 0 0 / Tím se nám povedlo převést matici do schodovitého tvaru. V této matici jsou dva nenulové řádky, a proto hodnost zadané matice je dva: h{Á) = 2. 2.2.3 Determinant matice Příklad 10. Vypočtěte determinant: a) b) c) 5 2 7 3 cos a — sin a sin a cos a 1 1 1 1 2 3 1 3 6 Řešení. a) Zadaný determinant vypočteme pomocí křížového pravidla (2.10): 5 2 7 3 = 5-3-2-7 = 15-14= 1. b) Zadaný determinant je opět řádu 2 - použijeme také křížové pravidlo (2.10): cos a — sin a sm a cos a cos a — (— sin a) = cos a + sin a = 1. c) Zadaný determinant je řádu 3 - použijeme také Sarussovo pravidlo (2.11). Pro snadnější výpočet využijeme pomůcky - opsání prvních dvou sloupců determinantu (viz vysvětlení pod de- finicí determinantu): 1 1 1 1 2 3 1 3 6 1 1 1 2 = 1-2-6+1-3-1 + 1-1-3-1-2-1-1-3-3-1-1-6 = 1 3 12 + 3 + 3- 2- 9- 6= 18-17= 1. 16 2.2.4 Soustavy lineárních rovnic Příklad 11. Řešte soustavu lineárních rovnic: — 2x2 + x3 + X4 — x5 = 0 + x2 - x3 - X4 + x5 = 0 X\ + 7x2 - 5x3 - 5x4 + 5x5 = 0 3xi — x2 - 2x3 + X4 — x5 = 0 Řešení Napíšeme rozšířenou matici soustavy a pomocí ekvivalentních úprav ji převedeme na schodovitý tvar. První řádek opíšeme a poté jej postupně vynásobíme čísly (-2), (-1) a (-3) a tyto násobky postupně přičteme k 2., 3. a 4. řádku: íl 1 1 -1 -1 -5 -5 -2 1 \ íl ) třetí řádek zjednodušíme vydělíme ho číslem 3: í 1 -2 1 1 0 5-3-3 0 3-2-2 0 5-5-2 V a třetí řádek prohodíme s druhým řádkem: íl 2 1 1 -2 -2 -3 -3 -5 -2 1 1 -3 -3 -6 -6 0 o o \ Abychom vytvořili pod prvkem a22 = 3 samé nuly, mohli bychom 2. řádek vynásobit číslem (Ťp) a přičíst k 3. a 4. řádku. To bychom však museli sčítat zlomky. Druhou možností je vynásobit 2. řádek číslem (—5) a přičíst ho k trojnásobku 3. a 4. řádku. Abychom se nespletli, můžeme provést výpočet ve dvou krocích - nejdříve vynásobit 3. a 4. řádek číslem 3 a poté k nim přičíst (—5)-násobek 2. řádku: íl -2 1 1 -1 0 \ íl -2 1 1 -1 o\ 0 3 -2 -2 2 0 0 3 -2 -2 2 0 0 15 -9 -9 9 0 0 0 1 1 -1 0 15 -15 -6 6 0 / 0 -5 4 -4 17 a nakonec 3. řádek vynásobíme číslem 5 a přičteme ho ke 4. řádku: íl -2 0 3 0 0 y o o i -i -2 2 1 -1 9 -9 o\ 0 o o Vidíme, že hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. h(A) = h(A) = 4. Podle Frobeniovy věty to tedy znamená, že soustava má řešení. Zadaná soustava má 5 neznámých (n = 5), a protože h{A) < n, bude mít nekonečně mnoho řešení. Zvolíme n — h(A), tj. 1 volnou neznámou. Nechť 15 = í;íe R. Ze 4. řádku upravené matice dostáváme rovnici: 9x4 — 9x5 = 0 9x4 - 9r = 0. X4 = t Ze 3. řádku upravené matice dostáváme rovnici: X3 + X4 — X5 = 0 x3 + t - t = 0. x3 = 0 Ze 2. řádku upravené matice dostáváme rovnici: 3x2 — 2x3 — 2x4 + 2x5 = 0 3x2 - 0 - 2t + 2t = 0. x2 = 0 Z 1. řádku upravené matice dostáváme rovnici: xi — 2x2 + X3 + X4 — X5 = 0 X!-0 + 0 + í- í = 0. xi = 0 Zkoumaná soustava má nekonečně mnoho řešení tvaru (0, 0, 0, t, í); t e Příklad 12. Řešte soustavu lineárních rovnic: Xl + x2 - 3x3 = -1 2xi + x2 - 2x3 = 1 X! + x2 + x3 = 3 Xl + 2x2 - 3x3 = 1 18 Řešení Napíšeme rozšířenou matici soustavy a pomocí ekvivalentních úprav ji převedeme na schodovitý tvar. První řádek opíšeme a poté jej postupně vynásobíme čísly (-2), (-1) a (-1) a tyto násobky postupně přičteme k 2., 3. a 4. řádku. Analogicky budeme postupovat v dalších krocích: 1 1 -3 -1 \ (l 1 -3 -1 \ (l 1 -3 -l\ /l 1 -3 -1 \ 2 1 -2 1 0 -1 4 3 0 -1 4 3 0 -1 4 3 1 1 1 3 0 0 4 4 0 0 4 4 0 0 4 4 v 1 2 -3 1 / v° 1 0 2 / v° 0 4 57 v° 0 0 1 / Vidíme, že hodnost matice soustavy není rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. h(A) = 3 ¥= h(A) = 4. Podle Frobeniovy věty to tedy znamená, že soustava nemá řešení. Příklad 13. Řešte soustavu lineárních rovnic: + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 11 2xi + 3x2 + 4x3 + X4 = 12 3xi + 4x2 + lx3 + 2x4 = 13 4xi + x2 + 2x3 + 3x4 = 14 Řešení. Napíšeme rozšířenou matici soustavy a pomocí ekvivalentních úprav ji převedeme na schodovitý tvar - analogicky, jako v předchozích dvou příkladech: 1 2 3 4 11 \ / 1 2 3 4 11 / i 2 3 4 11 ) 2 3 4 1 12 0 - 1 -2 -7 - 10 0 1 2 7 10 3 4 1 2 13 0 2 -8 -10 - 20 0 2 8 10 20 v 4 1 2 3 14 J l 0 7 -10 -13 - 30 ) V 0 7 10 13 30 j í l 2 3 4 11 \ / 1 2 3 4 11 \ / 1 2 3 4 11 \ 0 1 2 7 10 0 1 2 7 10 0 1 2 7 10 0 0 4 -4 0 0 0 4 -4 0 0 0 1 - 1 0 1° 0 -4 -36 -40 ) l 0 0 0 -40 40 / l 0 0 0 1 1 / Vidíme, že hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj. h(A) = h(A) = 4. Podle Frobeniovy věty to tedy znamená, že soustava má řešení. Zadaná soustava má 4 neznámé (n = 4), a protože h{A) = n, bude mít právě jedno řešení. Ze 4. řádku upravené matice dostáváme rovnici: X4 = 1. Ze 3. řádku upravenématice dostáváme rovnici: X3 — X4 = 0 x3 - 1 = 0. x3 = 1 19 Ze 2. řádku upravené matice dostáváme rovnici: 2ľ2 + 2x3 + 7x4 = 10 X2 + 2 + 7 = 10. 2ľ2 = 1 Z 1. řádku upravené matice dostáváme rovnici: x\ + 2x2 + 3aľ3 + 4aľ4 = 11. xx + 2 + 3 + 4 = 11 xi = 2 Zkoumaná soustava má právě jedno řešení (2,1,1,1). Příklad 14. Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla: —3x + y + z = 1 x — 3y + z = 1 ■ x + y — 3z = 1 Řešení Nejprve vypočteme determinant matice A: -3 1 1 \A\= 1 -3 1 1 1 -3 -27+1 + 1 + 3 + 3 + 3 = -16. Vypočtený determinant je různý od nuly, a proto bude mít soustava jediné řešení, které určíme podle Cramerova pravidla. Kdyby se vypočtený determinant rovnal nule, nemohli bychom o počtu řešení rozhodnout a soustavu bychom řešili Gaussovou eliminační metodou. Abychom mohli Cramerovo pravidlo uplatnit, vypočteme determinanty |-Ai|, I-A2I, \A^\: h «12 «13 1 1 1 \Ai\ = «22 «23 = 1 -3 1 =9+1+1+3-1+3= 16 «32 «33 1 1 -3 «11 bi «13 -3 1 1 \A2\ = «21 b2 «23 = 1 1 1 =9+1+1-1+3+3= 16 «31 «33 1 1 -3 «11 «12 bi -3 1 1 \A3\ = «21 «22 b2 = 1 -3 1 =9+1+1+3+3-1= 16. «31 «32 1 1 1 Dostáváme tak: \A\ \A\ -1, z -1, V Zkoumaná soustava má právě jedno řešení (—1, —1, —1) \A\ -1. 20 2.3 Příklady k procvičení 2.3.1 Operace s maticemi 1. Vypočítejte 2A — 3B pro matice: A = Í2 3\ 1 -1 V° 5 J a B 2 3-4 2. Vypočítejte AB a BA pro matice: A = I \ a, B 1 2 5 3. Vypočítejte AB a BA pro matice: v4 3 2 1 -1 a B = 4. Vypočítejte B2 pro matici _B 4 2 2 0 6 6 8 -4 -2 5. Vypočítejte A + B, 2A a 3B — A pro matice: , i 2 \ /o 1 a) A = a B = -13/ \ 2 -1 b) A = ( 5 1 -2 \ 7 1 -3 3 2 0 a B ( 3 2 1 \ 2 2 1 1 3 3 6. Nalezněte matici C = A2 + A + E, je-li A (■2 1 l\ 1 2 1 1 1 2 Výsledky l -2 V u x/ 2. 1 -5 1 19 B.A = ( 0 1 14 \ 3 5 1 3 6 15 21 3. A.B - součin není definován, B.A = Í5 5\ 3 2 y 5 io y 4. B2 = B.B 5. a) A + B = b) A + B f 32 12 16 \ 48 12 24 16 0 -4 1 3 \ / 2 4 2A = I |, 3B — A = 1 2 8 3-1 9 3-2 4 5 3 ( 9 6 6 \ 6 9 6 6 6 9 2A^ -2 6 / 10 2 -4 \ 14 2 -6 6 4 0 2.3.2 Hodnost matice Určete hodnost matice A: c) A = í 2 7 7 ^ í 1 1 -3 -l\ 3 7 2 2 1 -2 1 •t b) A = •t 1 3 2 1 1 1 3 v 1 4 7 y l1 2 -3 1 / 1 0 3 2 \ 1 - -1 0 0 0 1 -2 1 0 -1 ď)A = 1 1 -2 -1 1 3 1 0 1 -1 v -12 9 4 ) l 0 1 0 Výsledky a) h(A) = 3, b) h(A) = 4, c) h(A) = 2, d) h(A) = 3 2.3.3 Determinant matice 1. Vypočtěte determinant: 22 1 7 4 1 2 3 a) 3 2 0 , b) 2 1 3 6 5 0 1 4 5 c) 1 + V3 3-V5 3 + V5 1-V3 2. Vypočtěte determinant a vyřešte algebraickou rovnici: a) 9-x 12 12 16 -x 0, b) 5 — x 2 2 — x d) a + 1 a a a — 1 e) 3 0 3 3 3 0 0 3 3 Výsledky 1. a) 12, b) 0, c) -6, d) -1, e) 54 2. a) x\ = 0, X2 = 25, b) x\ = 4, x2 = 9 2.3.4 Soustavy lineárních rovnic 1. Řešte nehomogenní soustavu lineárních rovnic: 2xi + x2 + x3 = 2 Xi + 3x2 + x3 = 5 Xl + x2 + 5x3 = •t -7 2xi + 3x2 - 3x3 = 14 Xl - 2x2 + 2x3 -9 3xi + 5x2 + 4x3 10 5xi + 12x2 + 6x3 29 3xi + 2x2 = 12 5xi + 4x2 + x3 = 27 , Xl + 2x2 + 5x3 = 33 Xl - 3x2 - 4x3 - 2x4 = 3 2xi - 2x2 - 2x3 - x4 = 0 2xi - 3x2 - 3x3 - 2x4 = 1 3xi - 4x2 - 3x3 - 2x4 = 2 2xi + x2 - x3 + x4 = 2 2xi - x2 + 2x3 = 2 3xi + x3 - x4 = 2 2xi + x2 - x3 = 1 3xi - 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2 7xi - 4x2 + x3 + 3x4 = 5 •t 5xi + 7x2 — 4x3 — 6x4 = 3 23 2xi — X2 + x% — 2x4 = ~2 —3xi — 2x2 + 2x3 — 2x4 = —18 g) xi + x2 — x3 + 2x4 = 8 —2xi — X2 + X3 = —10 2xi — X2 — X3 + 3x4 = 1 2xi — X2 + 2x3 — 12x4 = 10 h) 4xi — 3x2 — x3 + X4 = 5 6x1 — 3^2 — X3 — X4 = 9 2. Reste homogenní soustavu lineárních rovnic: xi + x2 + x3 + X4 = 0 x\ + 2x2 + 3^3 + 4x4 = 0 a) xi + 3x2 + 6x3 + IOX4 = 0 xi + 4x2 + 10x3 + 20x4 = 0 xi + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 Xl + X2 + 2x3 + 3x4 = 0 b) xi + 5x2 + X3 + 2x4 = 0 xi + 5x2 + 5x3 + 2x4 = 0 xi — 2x2 + 2:3 + X4 — X5 = 0 2xi + X2 — X3 — X4 + X5 = 0 c) xi + 7x2 — 5x3 — 5x4 + 5x5 = 0 3xi — X2 — 2x3 + X4 — X5 = 0 3. Za využití Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic: 2xi + 3x2 + 2x3 = 9 a) xi + 2x2 - 3x3 = 14 , 3xi + 4x2 + X3 = 16 Xi + X2 — X3 = —2 b) xi - 4x2 + 2x3 = -1 , xi — x2 + x3 = 0 2xi + 5x2 — 2x3 = 4 c) 2xi + x2 = 2 ■ 3xi — X2 + 4x3 = ~ 1 Výsledky 1. Nehomogenní soustavy lineárních rovnic: 24 a) x\ = 1, X2 = 2, x3 = —2 b) xi = -25i08t ^ X2 = 37_t2t ^ x3 = í kde íet c) x\ = 2, x2 = 3, x3 = 5 d) X! = O, x2 = —3, x3 = 2, x4 = 2 e) x\ = O, x2 = 4, x3 = 3, X4 = 1 f) soustava nemá řešení g) x\ = 2, X2 = 6 + í, x3 = t, X4 = 0, kde íe I h) xi = 2 + t, X2 = 0, x3 = 3 + 5í, X4 = t, kde íet 2. Homogenní soustavy lineárních rovnic: a) x\ = X2 = x3 = X4 = 0 b) xi = x2 = x3 = x4 = 0 c) xi = x2 = x3 = 0, x4 = x5 = í, kde íe I 3. Cramerovo pravidlo: a) xi = 2, x2 = 3, x3 = —2 b) X! = —1, x2 = 1, x3 = 2 c) Xi = 1, x2 = 0, x3 = —1 25