1   Extrémy funkcí dvou proměnných
Naše znalosti získané při hledání extrémů funkcí jedné proměnné rozšíříme o další dimenzi na funkce dvou proměnných. Lokální extrémy funkcí více proměnných jsou definovány analogicky extrémům funkcí jedné proměnné. Tak jako jsme při hledání podezřelých bodů u funkcí jedné proměnné užívali první derivaci funkce, budeme v tomto případě užívat analogické parciální derivace podle jednotlivých proměnných. A stejně jako dříve, využijeme pravidla, že ve stacionárních (podezřelých) bodech jsou parciální derivace funkce rovny 0. Pro rozhodování je-li funkce ve svém maximu, nebo minimu, využijeme vlastností druhých derivací funkce. Pro funkci dvou proměnných existují 4 parciální derivace druhého řádu, z toho dvě jsou identické. Uspořádáním těchto derivací do matice získáme tzv. Hessovu matici funkce a její determinant nazýváme Hessiánem. Je-li Hessián v podezřelém bodě kladný, má vyšetřovaná funkce extrém. Je-li záporný v podezřelém bodě daná funkce extrém nemá. V případě, že je v podezřelém bodě Hessián rovný 0, neumíme rozhodnout nachází-li se v bodě lokální extrém nebo ne. O tom, je-li extrém maximum nebo minimum rozhoduje znaménko druhé derivace funkce podle proměnné x v podezřelém bodě. Je-li kladná, má zde funkce minimum, je-li záporná jedná se o maximum. Hessova matice má pro funkci dvou proměnných má tvar:
<-yx ^yy
Determinant příslušné Hessovy matice - Hessián - má tvar:
Zxx ' Zyy      %xy ' Zyx      %xx ' Zyy
Nyní si ukážeme postup při hledání extrémů funkce dvou proměnných v praxi.
1.1   Řešené příklady
Příklad 1. Vyšetřete lokální extrémy funkce z = x3 + 3xy2 — 15x — 12y + 5.
Řešení. Vyšetřovaná funkce je definovaná na celém M2. Nejprve určíme první derivace funkce podle jednotlivých proměnných. Při derivování hledíme na druhou proměnnou jako na konstantu.
dz
zx = — = 3x2 + 3y2 - 15 - 0 + 0 = 3x2 + 3y2 - 15
dx
dz dy
Obě parciální derivace položíme rovny 0 a vyřešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.
oy - — - 0 + 6xy - 0 - 12 + 0 = 6xy - 12
3x2 + 3y2 - 15 = 0 6xy -12 = 0
Z druhé rovnice vyplývá, že y = | a dosazením do první rovnice dostaneme rovnici:
x4 - hx2 + 4 = (x2 - í)(x2 - 4) = 0
Tato rovnice má čtyři kořeny xi = —1, X2 = 1, x$ = —2, X4 = 2. Dosazením do druhé rovnice vypočítáme odpovídající hodnoty proměnné y. Tedy y\ = —2, y2 = 2, y3 = — 1 a y^ = 1. Máme zde tedy čtyři podezřelé body se souřadnicemi: A[-l;-2], B[l;2], C[-2;-l] a D[2;l]. Nyní určíme druhé parciální derivace:
°xx
£z_
dx2
6x
1
dxdy d2z
Z;
■yx —
dydx
Parciální derivace zxy a zyx jsou vždy stejné, tento fakt nám může sloužit jako kontrola správnosti výpočtů derivací.
Hessova matice má tedy tvar:
Determinant Hessovy matice - Hessián má tvar 36x2 — 36y2. Dosazením souřadnic podezřelých bodů do Hasiánu ověříme, jedná-li se o lokální extrémy. Pro bod A[-l;-2] je Hessián roven -108. Zde tedy podle definice nemá vyšetřovaná funkce extrém.
Pro bod B[l;2] je Hessián roven opět -108. Ani zde nemá vyšetřovaná funkce extrém. Dosazením souřadnic bodu C[-2;-l] získáme hodnotu Hessiánu rovnu 108. V tomto bodě se tedy nachází extrém zxx = —12 jedná se tedy o maximum. Dosazením souřadnic bodu D[2;l] získáme hodnotu Hessiánu rovnu 108. V tomto bodě se tedy nachází extrém zxx = 12 jedná se tedy o minimum.
Graf funkce je znázorněn na následujícím obrázku.
Obrázek 1: Graf funkce z = xs + 3xy2 — 15x — 12y + 5 s vyznačeným minimem v bodě D[2; 1] a maximem v bodě C[—2; —1]
Příklad 2. Nalezněte lokální extrémy funkce z = x3 +y3 — 3xy + 6
fixy) 5g
Řešení. První parciální derivace:
zx = 3x2 — 3y zy = 3y2 — 3x
Obě derivace položíme rovny 0 a vypočítáme souřadnice podezřelých bodů:
3x2 - 3y = o 3y2 - 3X    = o
x2 = y y2   = x
4
y   = y
y(y3-í)   = 0 yi = 0   ,   y2 = i
X\ = 0      ,      2ľ2 = 1
Nyní určíme druhé derivace:
zyy = 6y
Hessián má tedy tvar: 6x ■ 6y — (—3)2
Po dosazení souřadnic bodů A[0;0] a B[l;l] získáme hodnotu Hessiánu -9 pro bod A a 25 pro bod B. Je tedy zřejmé, že v bodě A není extrém, ale v bodě B ano. Podle hodnoty zxx, v bodě B je rovna 6, je zde minimum.
Graf funkce je znázorněn na následujícím obrázku.
Obrázek 2: Graf funkce z = xs + ys — 3xy + 6 s vyznačeným minimem v bodě B[l; 1]
Příklad 3. Určete lokální extrémy funkce z = x3 + 3x2 + Axy + y2
Řešení. První parciální derivace:
zx = 3x2 + 6x + 4y zy = Ax + 2y
3
3x2 + 6x + 4y 4x + 2y
3x2 + 6x + 4y 2x + y
y
3x2 + 6x — 8x
x(3x — 2) x\ = O
J/i = 0
Druhé derivace jsou:
Zxx = 6x + 6
Hessián má tedy tvar 12x + 12 — 16 = 12x — 4. Dosazením souřadnic dostáváme pro bod A[0; 0] hodnotu -4 a pro bod £?[§; —|] hodnotu 4. V bodě A tedy nemá zadaná funkce extrém. V bodě B se extrém nachází a jedná se o minimum (hodnota zxx je rovna 10). Graf funkce je znázorněn na následujícím obrázku.
200 150
f(xy) 1°C 50 0 -50 -100
-4
Obrázek 3: Graf funkce z = xs + 3x2 + Axy + y2 s vyznačeným minimem v bodě        —|]
Příklad 4. Určete lokální extrémy funkce z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2
Řešení. První derivace:
zx = 6x2 + y2 + ÍOx zy = 2xy + 2y
= 0
= 0
= 0
= 0
= -2x
= 0
= 0
= o
2
4
6x2 + y2 + ÍOx 2xy + 2y
2y(x + 1)
y = o
Pro y = 0:
6x2 + ÍOx =
x(3x + 5) = x\ = 0 ,
Pro x = — 1:
6 + y2-10    = 0
y2   = 4 j/i = 2    ,    i/a--2
Získali jsme tedy 4 body se souřadnicemi: A[0; 0], £[-§; 0], C[-l; 2] a D[-í; -2]. Druhé derivace funkce jsou:
2^ = Í2x + 10
^a-y ~ ^y
Zyx 2y
Hessián má tedy tvar: (Í2x + 10)(2x + 2) — 4y2. Dosazením souřadnic podezřelých bodů dostáváme následující hodnoty: pro A je Hessián 20, pro B pro C a pro D je -16. V bodech C a D tedy není extrém. V bodě A je minimum, protože zde je hodnota zxx 10, v bodě B je maximum, protože zde je hodnota zxx -10.
Graf funkce je znázorněn na následujícím obrázku.
1.2   Příklady na procvičení
Určete lokální extrémy funkce:
1. z = x2 + y2 - 2x - 4y + 12
2. z = x2y2 — x2 — y2
3. z= (3x - x3)(y2 + 1)
4. z = xy{A — x — y) Výsledky:
1. z = x2 + y2 - 2x - 4y + 12
(a) zx = 2x — 2 zy = 2y-A
0
x
-1
0 0
o
x2
5
Obrázek 4: Graf funkce z = 2x'i +xy2 + 5x2 +y2s vyznačeným minimem v bodě A[0; 0] a maximem v bodě S[-|;0
(b) Podezřelý bod je A[l;2]
(c) Zxx 2
^xy 0 Zyx 0
zyy = 2
(d) Hessián má tvar: 2-2 — 0.
(e) bod A[l;2] je lokální minimum.
2. z = x2y2 — x2 — y2
(a) zx = 2xy2 — 2x zy = 2yx2 - 2y
(b) Podezřelé body: A[0;0], B[l;l], C[l;-1], D[-l;l], E[-l;-l]
(c) zxx =2y2 -2
%xy 4:Xy
Zyx 4:Xy
(d) Hessián má tvar: (2y2 - 2)(2x2 - 2) - Í6x2y2.
(e) Lokální maximum v bodě A[0;0].
3. z= (3x - x3)(y2 + 1)
(a) zx = (3 - 3x2)(y2 + 1) zy = 2y(3x — x3)
(b) Podezřelé body: A[1;0], B[-1;0]
(c) zxx = -6x(y2 + 1) zxy = 2y(3 — 3x2) Zyx = 2y(3 - 3x2)
(d) Hessián: (6x(y2 + l))(2(3x - x3)) - (2(3x - x3))2
(e) Extrém není v žádném bodě.
4. z = xy(A — x — y)
6
(a) zx = y(4 - x - y) - xy Zy = x{A — x — y) — xy
(b) Podezřelé body: A[0;4], B[4;0], C[0;0], §].
(c) zxx = -2y
Zxy = 4 - 2y - 2x Zyx = 4 - 2y - 2x
(d) Hessian: Axy - (4 - 2y - 2x)2
(e) Lokální minimum v bodě £>[§; |]-
7