Kinematika a Hydrodynamika J. Klusoň i 1 Základní principy Hydrodynamika je teorií dynamiky tekutin. Tekutina je společný název pro následující fáze látky: • Kapaliny • Plyny Další forma látky, Plazma se obecně odlišuje od neutrálních tekutin. Ukazuje se, že hydrodynamika je vhodnou makroskopickou teorií pouze v případě slabě magnetizovaného plazmatu. Pro makroskopický popis magnetizovaného plazmatu existuje vlastní teorie známá jako magnetohydrodynamika. Je také důležité poznamenat, že mikroskopické teorie neutrálních tekutin a plazmatu jsou velmi rozdílné, což vyplývá ze skutečnosti, že nabité částice interagují pomocí dalekodosahových sil, zatím co v případě hydrodynamiky uvažujeme pouze kratkodosahové síly. Mechanika tekutin se zabývá popisem dynamiky kapalin a plynů. Protože z definice mechanika tekutin poskytuje makroskopický popis, uvažujeme tekutinu jako spojité médium. Jinými slovy řečeno, mechanika tekutin může a má být definována bez ohledu na potenciální mikroskopickou strukturu látky. Na druhou stranu je užitečné vyjít z představy o mikroskopické struktuře látky, kdy předpokládáme, že libovolně malý element tekutiny je dostatečně velký, že obsahoval statisticky významný počet molekul. Jinými slovy řečeno, musíme hovořit o fyzikálním infinitizemálně malém objemu, který je malý vzhledem k charakteristickým rozměrům tělesa, ale dostatečně velký vzhledem k charakteristickým vzdálenostem mezi molekulami. Pojmy jako částice kapaliny a bod v kapalině by měly být chápány podobným způsobem. Například, když hovoříme o posunutí částice kapaliny, nemyslíme samozřejmě posun jedné individuální molekuly, ale to, že objemový element, který v hydrodynamickém popisu obsahuje mnoho molekul, by měl být uvažován jako bod. Tyto pojmy jsou intuitivně jasné, protože kapaliny, jako například voda, či plyny, jako například vzduch, můžeme za normálních podmínek skutečně uvažovat jako kontinuum. Problém ovšem nastává v situacích, kdy máme velice řidký plyn, jako jsou například sluneční vítr či mezigalaktická hmota, která obsahuje několik částic na krychlový centimetr. Poté se můžeme ptát, jaké jsou nutné předpoklady pro platnost hypotézy kontinua? Ukazuje se, 2 že pro pochopení této myšlenky bychom měli být schopni odvodit rovnice hydrodynamiky z obecnější a fundamentálnější teorie. 1.1 Dynamické teorie Jak již bylo řečeno, našim cílem je formulovat hydrodynamiku jako teorii dynamiky tekutin, kde Dynamickou teorií myslíme teorii, která popisuje časový vývoj systému. Příkladem takových dynamických teorií je například klasická mechanika, klasická elektrodynamika, či kvantová mechanika. Pro každou z těchto dynamických teorií je základní předpoklad nějakým způsobem charakterizovat Stav systému. • Klasická dynamika: stav systému N částic je popsán jejich zobecněnými souřadnicemi qi,i = 1,..., N a sdruženými impulsy. • Klasická elektrodynamika: elektrické a magnetické pole —>E(x), —>B(x), kde x = (x1, x2, x3) a kde E = (E1, E2, E3), B = (Bu B2, B3). • Kvantová fyzika: Stav systému je popsán s pomocí vlnové funkce Dynamické teorie umožňují sledovat časový vývoj daného systému pomocí rovnic, které určují, jak se dané proměnné vyvíjejí v čase. Jinými slovy, jakmile známe stav systému v počátečním čase, jsme schopni s pomocí těchto rovnic určit stav systému v nějakém pozdějším čase. Tyto rovnice mají různou formu pro různé dynamické teorie: • Klasická mechanika: Hamiltonovy či Lagrangeovy či Newtonovy pohybové rovnice • Klasická elektrodynamika: Maxwellovy rovnice • Kvantová mechanika: Schrôdingerova rovnice Tedy, naši otázkou je, jaké jsou vhodné proměnné, které charakterizují mechaniku tekutin a jaký je jejich časový vývoj. Ukazuje se, že odpověď na tuto otázku závisí na hloubce studia problému. Ukážeme problematiku úrovní různých popisů na příkladu systému N kvantových částic, kde logiV ^> 1. Fundamentální popis, označme jej jako Úroveň 0, je dán pomocí kvantové mechaniky, kdy stav daného systému je 3 charakterizován vlnovou funkcí ip(?ti,..., x^r), kde časový vývoj této vlnové funkce je dán Schrôdingerovou rovnicí Druhá úroveň, označíme ji jako Úroveň 1 je dán pomocí N klasických částic. Stav je popsán pomocí zobecněných souřadnic qs a impulzů ps, jejichž časový vývoj je dán Hamiltonovými rovnicemi. . _ OH . _ OH Qs t; ľ ) Ps t\ ) ops oqs dL H({qs,ps},t) = L({qs,qs,t},t)=T-V , př = — . oqs (2) Kinetický popis částic je další úrovní popisu, kterou označíme jako Úroveň 2. V tomto případě je stav systému popsán pomocí rozdělovači funkce /(x, u), která splňuje Boltzmannovu rovnici —+X-V/ + V—= C(/) ,x = v,v =- . 3 ot ov m Od třetí úrovně již zbývá pouze poslední krok k popisu dané látky jako spojitého prostředí, což je mechanika kontinua. Označíme tuto úroveň jako Úroveň 3 . Stav tohoto systému je popsán pomocí polí p(x), T(x), v(x) a jejich dynamika je dána hydrodynamickými rovnicemi. Pro plné pochopení hydrodynamiky je dobré nastínit, jakým způsobem přecházíme mezi různými úrovněmi. 1.2 Úroveň 0 —> Úroveň 1 Je možné nahradit kvantový popis klasickým v případě, kdy hustota částic je dostatečně nízká tak, že kvantové interference jsou zanedbatelné. Uvažujme de Brogliho vlnovou délku h , . A = - , 4 p Na druhou stranu typická hybnost částice o hmotnosti m a při teplotě T je dána p2 i- E ~ ksT ~ — =^ p ~ y mksT . (5) m 4 Na druhou stranu předpokládejme, že máme hustotu částic n definovanou jako n = N/V, kde V je objem, v kterém se dané částice nacházejí. Poté je jasné, že veličina, která charakterizuje vzdálenost částic, je ~ rT1^ (Rozměr n je [m-3].) Tedy pokud platí A « n'1/3 1 » -== (6) \JmkBl můžeme zanedbat kvantovou interferenci různých částic. Je jasné, že tato podmínka je splněna pro zředěné plyny. Otázka je, zda-li také platí pro hustější plyny. Pro vzduch při pokojové teplotě T = 273 K a a standartním tlaku je pravá strana nerovnosti rovna 0.015. Dá se ukázat, že pro vodu při teplotě T = 293 K toto platí přibližně také. Jestliže je tato podmínka splněna, pak vlnová klubka částic se šíří podle Schrôdingerovy rovnice pro volnou částici lh^^ = H^, Ht = -^ + V^). (7) Poté střední hodnoty (xj) (t) a (pj) (t) mají časový vývoj, který je určený klasickými pohybovými rovnicemi, což je známý Ehrenfestův teorém. 1.3 Od Úrovně 1 k Úrovni 2 Na úrovni 1 je stav systému N klasických částic popsán jejich souřadnicemi (xi,..., x^v) a rychlostmi (u1;..., u^). Jejich dynamika je určena Newtonovými pohybovými rovnicemi. Fázový prostor T je 6iV dimensionální se souřadnicemi (x1;..., x^r, u1;..., Každý bod v prostoru T odpovídá rozdílnému stavu systému a zřejmě časový vývoj systému odpovídá křivce ve fázovém prostoru T. Pro velmi velké N je nemožné prakticky řešit 6iV pohybových rovnic, které jsou diferenciálními rovnicemi prvního řádu. Pro tyto systémy je právě vhodný statistický popis odpovídající úrovni 2. Na této úrovni zavedeme distribuční funkci /(x, u, t), která udává hustotu částic v šesti dimensionálním fi— prostoru (x, u). Jedná se tedy o jedno-částicovou distribuční funkci, obecnější případ bude diskutován níže. Poté jediný bod v T prostoru je zobrazen do N bodů v fi prostoru, kde každé částici odpovídá jeden bod odpovídající její souřadnici a rychlosti. Jinými slovy převedli jsme problém popisu časového vývoje N bodů na problém časového vývoje distribuční funkce, který je dán Boltzmannovou rovnicí. 5 Obecně hovoříme o iV-částicové rozdělovači funkci. Dynamika tekutin je popsána klasickou teorii pole, jejíž počátek sahá až do 19 století. Je pozoruhodné, že sdílí mnoho společného s Maxwellovou teorií elektromagnetického pole. Je užitečné ukázat, proč je studium hydrodynamiky tak zajímavé i z hlediska dnešní moderní fyziky. Je podstatné, že mechanika tekutin může být odvozena z konkrétní mikrospokické teorie pomocí vhodného vystředování. Můžeme například uvažovat Boltzmannovu rovnici pro distribuční funkci /(X, P,í), která splňuje rovnici kde X = (Xi,..., Xn) a P = (P1;..., Pn) i = 1,..., d jsou fázové souřadnice jedné částice o hmotnosti m a kde Fi je vnější síla působící na tuto částici. Dále, C(f) je srážkový integrál, který vyjadřuje změnu distribuční funkce způsobenou srážkou s ostatními částicemi. Bezsrážkový případ odpovídá situaci, kdy C(f) = 0. V tomto případě Boltzmannova rovnice je rovnicí pro distribuční funkci částice, která splňuje klasické pohybové rovnice. Ukazuje se, že najít řešení Boltzmnanovy rovnice je velmi obtížné. Obecně předpokládáme řešení ve formě / = /(0) + + ... kde /(0) = np je rovnovážná distribuční funkce, jejiž forma závisí na skutečnosti, zda se jedná o bosony či fermi-ony. Transportní koeficienty a pohybové rovnice kapaliny jsou poté určeny poruchovými opravami. Je dobré zdůraznit, že tento popis vystihuje podstatu problému, jak získat rovnice hydrodynamiky z fundamentální mikroskopické teorie, na druhou stranu má svá podstatná omezení. První je to, že takto zjednodušená Boltzmannova rovnice určuje pouze distribuční funkci jedné částice a druhé je to, že popis je čistě klasický, nebere do úvahy kvantové jevy. Co se týká prvního bodu, můžeme uvažovat obecnou N časticovou Liou-villovu rovnici pro distribuční funkci p(Xn, Pn),n = 1,2,... N. Jednočásticová distribuční funkce je poté dána integrálem j d/x^/-_ip(Xn, Pn), dvoučásticová distribuční funkce je dána integrálem j dfiN_2p(Xn, Pn) kde dp^ je objemový element iV—dimensionálního fázového prostoru. Poté Liouvillova rovnice vede k hiearchii tzv. BBGKY (Bogoljubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon) hiearchii, která zahrnuje korelační funkce vyšších řádů. Například pro jednočásticovou distribuční funkci dostáváme Boltzmanovu rovnici, kde ale kolizní integrál je určen dvoučásticovou distribuční funkcí. Je jasné, že výsledná teorie je velmi komplikovaná a většinou se omezujeme právě na studium jednočásticové 6 rozdělovači funkce. Co se týká problematiky fundamentální kvantové formulace hydrodynamiky, ukazuje se, že je opět v principu možné najít takovouto formulaci. Na druhou stranu abychom získali nějaké užitečné informace, je nutné přistoupit k semiklasické aproximaci, což opět vede k formalismu, jenž má limitovanou platnost. I když předchozí diskuse odvození hydrodynamických rovnic z fundamentálních teorií vede k zjištění, že hydrodynamika by měla mit platná pouze pro klasický popis systémů, které jsou blízko termodynamické rovnováhy. Na druhou stranu hydrodynamické rovnice mohou být odvozeny z obecných principů, což nás vede k zjištění, že tyto rovnice mají širší oblast platnosti, a my ve skutečnosti používáme tyto rovnice v tomto širším smyslu. Toto je známé pod pojmem universalita mechaniky tekutin. Ukazuje se, že dynamika tekutin má své místo v súčasné moderní fyzice v případě popisu velkého množství jevů. O některých z nich pohovoříme v této přednášce podrobněji. Jedno-komponentový plyn v termodynamické rovnováze je plně popsán dvěma termodynamickými proměnnými. Obecně vzato tekutina jako celek není v termodynamické rovnováze jako celek. Na druhou stranu malý element tekutiny v jeho klidové souřadnicové soustavě můžeme chápat jako element v lokální termodynamické rovnováze. Stav elementu tekutiny je dán dvěmi termodynamickými veličinami (hustotou p a teplotou T) a rychlostí v. Poté všechny elementy tekutiny tvoří kontinuum, kde nyní p(x), T(x), v(x) popisují celý systém. Hydrodynamické rovnice poté určují časový vývoj těchto proměnných. Tyto rovnice mohou být odvozeny z Boltzmanovy rovnice. 1.5 Hamiltonovský popis Úrovně 1 Nyní přistoupíme k podrobnějšímu studiu přechodu od Úrovně 1 k Úrovni 2. Abychom toto plně pochopili, musíme stručně shrnout několik základních fakt týkajících se hamiltonovské formulace klasické mechaniky. Uvažujme dynamický systém popsaný pomocí sdružených souřadnic (g1;..., qn,pi, . . . ,pn) a Hamiltonovou funkcí H(qs,ps,t). Pak 1.4 Od Úrovně 2 k Úrovni 3 dH _ dH s dps (9) dqs 7 Abychom uvedli nějaký příklad hamiltonovského systému, můžeme uvažovat konzervativní systém N stejných částic, kdy hamiltonian má tvar H = T + V = ^J2(pS)2 + V(qs) . (10) s Pro tuto Hamiltonovu funkci dostáváme z (53) qs = ps/m =>- ps = mqs , . _ dH _ dV oqs dqs (H) kde první rovnice vyjadřuje známý vztah mezi impulsem dané částice a její rychlostí a kde druhá rovnice není nic jiného než Newtonova pohybová rovnice. Přesněji, s použitím první rovnice dostáváme dV . . ™>Qs = t\ • (12) dqs 1.5.1 Dynamická reverzibilita Uvažujme systém, jehož hamiltonian je invariantní vůči změně směru času, tedy vůči záměně t —> —t. Nyní předpokládejme, že {q(t),p(t)} je trajektorie daného systému ve fázovém prostoru. Poté i {q(—t), — p(—£)} je řešením pohybových rovnic a tedy je také trajektorií ve fázovém prostoru. Abychom dokázali toto tvrzení, vyjdeme z Hamiltonových rovnic dps _ dH(t) dqs _ dH dt dqs ' dt dp Pomocí ť = —t dostáváme dps{t) _ dps _ dH{t) dť ~ ďt ~ dq3(ť) ' (13) (14) Když vyjdeme z předpokladu, že H(—t) = H(ť) = H(t) a zavedeme qs(t) = qs(—t) = qs{ť) a také ps{—t) = ps(t') = —ps(t), pak rovnice (14) má tvar dpřjť) dH(ť) dť dga(ť) ' 1 ' 8 což je jedna z Hamiltonových rovnic. Stejným způsobem budeme postupovat i s druhou rovnicí dqs{t) = dqs{t) = dH{t) = dt ~ dť ~ dps{ť) ~ dqs(ť) dH(ť) dqs(ť) dH(ť) dť dps(ť) dť dps(ť) (16) Tímto způsobem jsme tedy dokázali, že {q(—t), —p(—t)} je řešením Hamiltonových rovnic a tudíž definuje trajektorii ve fázovém prostoru. 1.5.2 Kanonické transformace Uvažujme transformaci souřadnic ve fázovém prostoru q,p^q',p'. (17) Aby tyto nové proměnné dávaly popis toho samého systému, pak musí zjevně platit ô / dtL(q,q) = 0 , 5 dtL(q',q') = 0 . (18) V případě, že je tato podmínka splněna, pak nazýváme transformaci od nečárkovaných k čárkovaným proměnným (17) jako kanonickou transformací. Je zřejmé, že rovnost variací daných v (18) je splněna, pokud existuje následující vztah mezi odpovídajícími lagrangiány L(q,q) = L(q\q') + d-^l. (19) Abychom dokázali tento vztah, použijeme (19) v definici a akce. Následně provedeme její variaci a čímž dostáváme ô ľ L(q,q)dt = 0 = 6 T Ltf^^dt + ÔG^q'^-ôdiq,^^ = ô Í 2 L(q', q')dt = 0 (20) 9 kde jsme využili skutečnost, že při odvozování pohybových rovnic požaduje, aby variace souřadnic byly rovny nule v časech t\ a t^. Je užitečné přepsat vztah mezi lagrangiány pomocí odpovídající hamil-tonovského formalismu formulace L(q, q) = $>gs - H(p, q) = - H'(p', q') + ^ií|M (21) s s což můžeme přepsat do ekvivalentního tvaru J2(PSd1s-p'Sdq's) - (H-H')dt = £ (^dqs + ^dq'}j +^dt . (22) Z předchozí rovnice dostáváme následující důležité vztahy P --Bi' P -~Wa' () Analyzujeme nyní strukturu těchto transformací podrobněji. Rovnice (23) budeme interpretovat jako vztah mezi (qs,ps) a q's,p's). Podrobněji, levá rovnice v (23) může být řešena pro q's = q's(qk,pk)- Samozřejmě, podmínka pro existenci tohoto řešení je det T^T * 0 • (24) dqidq'k Jakmile tedy najdeme q[ = q'i(qk,pk), pak pravá rovnice v (23) dává pa = pl(qk,pk)- Jako příklad spojité funkce q, q' která negeneruje kanonické transformace, uvažujme Gi(q,q') = f(q) + h(q') , (25) kde / and h jsou libovolné spojité funkce. Je zřejmé, že tato funkce nesplňuje (24) a tedy negeneruje kanonické transformace. Na druhou stranu uvažujme následující funkci Gi(g,g/) = -?«- (26) Pro tuto funkci z rovnice (23) dostaneme Ps = -6srq'r ,p's = 5srqs . (27) Vidíme, že souřadnice a impulsy si vyměnily role pomocí této generující funkce. Z toho důvodu se tato transformace nazývá transformace výměny. 10 Je dobré vědět, že můžeme najít další formy funkcí, které generují kanonické transformace. Pro naše účely je ale podstatné, že kanonické transformace jsou základem Liouvillova theorému, který má fundamentální význam v kinetické teorii. 1.6 Kanonické invarianty Kanonickým invariantem nazýváme dynamickou veličinu, která zůstává invariantní vůči kanonickým transformacím. Důležitým příkladem kanonického invariantu je Poissonova závorka mezi dvěma funkcemi A, B. Tedy, jestliže platí A(p,q)^A\q',p') B(q,p)^B'(q',p') (28) pak {A,B}q^{A>,B>}q,pl = {A,B}wJ (29) Uvažujme nyní případ, kdy B je Hamiltoniánem daného systému B = H. Pak definice časového vývoje fyzikální veličiny říká Na druhou stranu (29) nám říká = {A,H}qj) = {A'(q',p%H(q',p')} = d-^l . (31) Jinými slovy časová změna proměnné A je nezávislá na souřadnicích, které jsou použity na popis daného systému. 1.7 Konstanty pohybu a symetrie Zachovávající se veličiny mají úzký vztah k symetriím daného systému. Uvažujme systém, který je popsán souřadnicemi (g1; q2,..., qn) a předpokládejme, že platí |^ = 0. Pak z pohybové rovnice dostáváme pj = const. Jinými slovy, jestliže systém nezávisí na určité souřadnici, pak impuls sdružený s touto souřadnicí je konstantní. Takovéto souřadnice se nazývají cyklické souřadnice. 11 Invariance Hamiltoniánu vzhledem k určité souřadnici může být vyjádřena pomocí Hamiltonovských rovnic nebo pomocí Poissonových závorek. V tomto případě, jestliže H je nezávislý na souřadnici qj, pak dostáváme ^ = {Pj,H} = 0 (32) a tedy p>'je konstantní. 1.7.1 Liouvillův theorém V jedné svoji formulaci Liouvillův theorém říká, že jakobián kanonických transformací je roven jedné. Pro systém o N stupních volnosti, máme J Q ,P q, p d(q',p') d(g,p) dp'1 dp'N dqi dqi dqi dqi Qq[ dq'2 dp'1 dp'N dpN dpN ■ ■ dpN ■ ■ dpN (33) Na tomto místě je vhodné zdůraznit, že existuje celá řada formulací Liou-villova theorému. V této části naší přednášky dokážeme její čistě geometrický význam založený na vlastnostech kanonických transformací. Liovillův theorém má následující geometrický význam. Pro libovolnou transformaci (q,p) —> (q',p') se integrál ve fázovém prostoru transformuje takto dqdp J dq'dp1 (34) kde Q značí objem ve fázovém prostoru, ve kterém provádíme danou trans formaci. Nyní vidíme, ze v případě kanonických transformací máme dqdp = / dq'dp' . (35) Protože tyto veličiny nejsou nic jiného než objemové elementy ve fázovém prostoru dostáváme, že tyto objemové elementy fázového prostoru jsou invariantní vzhledem ke kanonickým transformacím. 1.7.2 Akce jako generátor kanonických transformací Jedním z nej důležitějších poznatků, které se týkají kanonických transformací je ten, že samotná akce může být uvažována jako generátor kanonických transformací. 12 Uvažujme akční integrál odpovídající pohybu v intervalu od t do t + T S(t,T) = £+Tdt'L(q,q) = = rTdť[YJP% -H] - ľ dť[Y^psqs - H] . (36) Jestliže nyní provedeme derivaci vzhledem k t dostáváme ^jf^ = l>v. - ps^ + (H - H') > (37) s kde jsme zavedli značení q's = qs(t + T), j/'=jr(t + T). (38) Jestliže budeme předpokládat, že H je integrál pohybu, tedy H(t+T) = H(t), pak dostáváme dS = J2(P'S(Í<1S-Psdqs) ■ (39) s Tento výsledek nám říká, že akce je generátor kanonických transformací. Jinými slovy řečeno časový vývoj systému může být uvažován jako kanonická transformace. Skutečnost, že časový vývoj systému ve fázovém prostoru, jenž je určen pohybovými rovnicemi, je jedna z forem kanonické transformace, je fundamentální předpoklad pro určení Liouvillovy rovnice. 1.8 Ansambl a fázový prostor Jak již víme, stav systému je reprezentován bodem ve fázovém prostoru. Tak, jak se systém vyvíjí s časem, tento bod se pohybuje po trajektorii (qi(t),..., qN(t),pľ(t),... ,pN(t)) kde nyní předpokládáme systém tvořený z N částic pohybujících se v jedném rozměru. Zobecnění na případ pohybu ve třech a vyšších dimensích provedeme později. Ansámbl je definován jako množina kopií téhož systému, které jsou identické ve všech svých vlastnostech až na to, že odpovídají rozdílným stavům systému v určitém časovém okamžiku. Z této definice je zřejmé, že každý prvek Ansámblu může být reprezentován bodem ve fázovém prostoru T v 13 určitém časovém okamžiku a jejich časový vývoj je reprezentován určitou trajektorií v tomto fázovém prostoru. Jinými slovy řečeno, když budeme předpokládat, že máme M kopií daného systému v Ansamblu, pak stav tohoto Ansamblu v čase t = 0 je reprezentován M body v prostoru V. Nechť uvažujeme funkci pans = pans( kde Poissnova závorka je definována jako N ' d f dg d f dg , s=l ^ ^ dqs dps dps dq, Vstah (51) vychází ze skutečnosti, že Hamiltonovy rovnice mají tvar dH , dH q--šp- p=-äí- (53) Jestliže nyní použijeme (53) v definici (51) dostaneme Du du f du du \ m=Tt+^i\Ms"s + WsPs) ■ (54) Pak je zřejmé, že Liouvillova rovnice má tvar dpam dt {Pans,H} = 0. (55) 1.9.1 Obecné řešení Liouvillovy rovnice Zde bychom rádi ukázali, jakým způsobem je možné najít nejobecnější řešení Liouvillovy rovnice. Nechť g(p,q,t) je zachovávající se veličina, t.j. a tedy g je řešením Liouvillovy rovnice. Na druhou stranu předpokládejme, že g je řešením Liouvillovy rovnice ft+{g,H} = o. (57) 16 Na druhou stranu víme, že levá strana této rovnice má tvar = 0 a tedy libovolné řešení Liouvillovy rovnice je také integrálem pohybu. Z tohoto výsledku dostáváme, že nejobecnějším řešením Liouvillovy rovnice je libovolná funkce všech zachovávajících se veličin, tedy ps = Ps(9i,---,92n) • (58) Jinými slovy řečeno, znalost nej obecnějšího řešení Liovillovy rovnice je ekvivalentní znalosti všech zachovávajících se veličin 91 = gi(p,q,t) 92 = 92ÍP,Q,t) 92N = 92N(q,P,t) (59) 1.9.2 Druhé odvození Liouvillovy rovnice Rádi bychom ukázali druhý způsob odvození Liouvillovy rovnice. Tento důkaz je založen na faktu, že Liouvillova rovnice může být zapsána ve tvaru % + f f%^ + ^Uo (60) dt V 9= / fNGdqdp . (75) 19 1.9.4 Řešení Liovillovy rovnice s počáteční podmínkou Nyní se zaměříme na určité možnosti, jak řešit Liouvillovu rovnice s určitou počáteční podmínkou. 1. Taylorův rozvoj Předpokládejme, že známe počáteční formu distribuční funkce f n fN(q,p,0) = fN(q,p) ■ (76) Nyní provedeme Taylorův rozvoj f'N(q,P,t) v okolí bodu t = 0 při pevných q a, p fN(q,p, At) = fN(q,p, 0) + ^(0, q,p)At +\^(^ ?,P)(Aí)2 + . . . (77) Víme, že f n splňuje Liouvillovu rovnici a tedy dfN _ ctt r- x dt d2ÍN d rrr , , írr 9fN dt* di{HjN} = \H' dt = {H,{H,fN}} , (78) kde předpokládáme, že H nezávisí explicitně na čase. S použitím těchto vztahů dostaneme fN(q,p,At) = fN(q,p,0) + At{H,fN(q,p,0)} + ^(At)2{H,{H,fN(q,p,0)}} l + At{H,} + ^2 {H, {H, }} + ... ) fN(q, p, 0) . Geometricky si můžeme představit jako časový vývoj funkce v pevném bodě q, p. Poznamenejme, že pro konečný časový interval můžeme tento vztah přepsat do formy n °° (At)n ^ fN(q,p,At) = fN(q,p,0) + yj^^{H,...,{H,{H,fN(q,p,0)}}} . (80) n=l Případ 2: Liouvillův operátor 20 Z předchozího popisu je zřejmé, že výraz {H, } má formu operátoru působící na f^- Proto je užitečné přepsat Liouvillovu rovnici do tvaru MÍN i{H,fN} = AfN (81) dt kde Je možné ukázat, že Ä je Hermiteovský operátor v prostoru spojitých normovaných funkcí na fázovém prostoru tak, že pro tuto funkcí platí ^>ďVp,q,t)=e-itidifKD{q,p,tí) , (86) 21 kde opět je nutné zdůraznit, že uvažujeme pevné p, q, jinými slovy, můžeme si představit, že p,q,t jsou nezávislé souřadnice na 6iV + 1 dimensionálním prostoru. Pro mále intervaly opět máme dťk ~ AíÁ (87) 'o a tedy (86) může být přepsána do tvaru D(p, q, t) = [l- iAtk + l-(-iMk)2 + ...]D(q,p,t) = (Ar) 2 l + At{H,} + ^-{H, {H,}} D(q,p,0) (88) což souhlasí s Taylorovým rozvojem, který byl nalezen v předchozí kapitole. Nyní přistoupíme k analýze s použitím vlastních vektorů a vlastních hodnot operátoru A. Opět musíme předpoládat, že počáteční forma rozdělovači funkce je známa ÍW(í/,p, 0) = f%(q,p). Dále musíme předpokládat, že známe vlastní vektory a vlastní hodnoty operátoru A, kdy budeme předpokládat časově nezávislé A Aifjn = unifjn . (89) Jestliže předpokládáme, že ipn tvoří bázi Hilbertova prostoru, můžeme psát počáteční rozdělovači funkci ve tvaru fN(q,P) =Y,Dn1>n (90) Vn kde koeficienty Dn je možné určit s pomoci predpokladane ortogonality vektoru 1pn Dn = (l>n\fN(q,p)) = J dNqdNqrn(q,p)fN(q,P) , dNqdNpíp*(q,p)ípm(q,p) = ónm . (91) Pak zřejmě dostáváme fN(q,P,t) = e-äAYJDn^n ■ (92) Vn 22 Tato rovnice, s použitím faktu, že ifjn je vlastním vektorem Ĺ, má řešení ve tvaru fN(q,p,t) = J2Dne-i^n. (93) Vn 1.9.5 Rozdělovači funkce ideálního plynu Uvažujme ideální plyn, který je dán N neinteragujícími molekulami a jenž je obsažen v krychli o velikosti hrany L. V tomto případě Hamiltonián je dán ve tvaru -.2 n H = y^J^ 0 < xf> < L (94) s=l Víme, že časový vývoj rozdělovači funkce má formu w = {^/} = -Läp:-^ = -Lv-^- os) s s Pak zřejmě operátor Á má tvar N s Äo = T" • 06) s=l Ä Vlastní vektory operátoru splňují rovnici Ä0^(k) = ^(k)^(k) , (97) kde (k) je posloupnost vlastních vektorů (k) = (ki,k2,...,kjv) • (98) Pak dostáváme Ao^(k) =-*2^—- -g^~ = "(k)^(k) • s=l s Budeme předpokládat řešení ve tvaru ^(k) = A exp ^ ks ■ xs j (99) (100) 23 pak po jeho vložení do předchozí rovnice dostaneme n ^(k) = V— -ks. (101) s=l Dále, hraniční podmínky nám dávají K = > (102) kde komponenty vektoru n jsou celá čísla. Konečně, konstanta A je zafixována normalizací a tedy dostáváme ^(k) = T^exP (iJ^K-Xs ) ■ (103) s=l Pak je zřejmé, že obecná forma iV— časticové rozdělovači funkce funkce má f(xN,pN) = ^D(k)(pAf)^(k)(xAf)e—«i . (104) (k) Abychom určili konečný tvar rozdělovači funkce J'q, musíme určit koeficienty D(ty(pN). Označíme si hodnotu rozdělovači funkce / v čase t = 0 jako f0 f0(xN,pN) = ^D(k)(pAf)^(k)(xAf) . (105) (k) Protože vektory ip^ jsou ortogonální, dostáváme 1 ľ N Ak)(p) = jjwf2 / IId3x*[exPHEks -x^/o(xW.pw) (106) ^ i=l s Tedy ze známe počáteční hodnoty distribuční funkce dostaneme obecné řešení Liouvillovy rovnice pro ideální plyn ve tvaru /(x,P,í) = I^EAk)(P>ťEiLlk-(Xi-"í) • (107) (k) Je užitečné poznamenat, že rozdělovači funkce závisí na 6 x N integrálech pohybu / Pl, P2, PN+\ /ino\ Pi,..., pat, xi--1, x2--1,..., xjv--1 (108) V m m m J 24 což je přesně v souladu s předchocí diskusí obecného řešení Liouvillovy rovnice. Explicitně, je jasné, že p±,... ,p^ jsou integrály pohybu pro systém definovaný hamiltoniánem (94). Dále ukážeme, že Qí = x« — splňuje rovnici zachování dt {gi m = - Pí + Y (Ô-^ ■ — - 1 S(-pi)5H\ m ^\5xí ôps m ôps 5xsJ m j-^ ôps (109) Je také užitečné poznamenat, že v případě ideálního plynu, můžeme operátor Á0 napsat jako Á0 = Y^^=i ^-o? kde |^-o> ^-o} = 0- Je zřejmé, že můžeme hledat řešení Liouvollovy rovnice ve tvaru f n = níli /i(xs> Ps> kde f\ je jednočásticová rozdělovači funkce, která v případě ideálního plynu je dána výrazem /i(xi,pi,í) = exp (-^0^) /i(xi,Pi,0) . (110) 1.10 Redukované distribuční funkce Pro jednoduchost zápisu zavedeme následující konvenci dl = d^idpi , d2 = ďx.2dp2 , ■ ■ ■ (111) která odpovídá částicím 1,2,.... Uvažujme nyní systém N stejných částic a zaměřme se na subsystém, který je tvořen s < N částicemi. Pravděpodobnost, že najdeme subsystém ve fázovém prostoru dld2.. .ds v okolí stavu (1,2,..., s) je .....s)d\...d.< . (112) Je zřejmé, že můžeme očekávat vztah mezi fs a f^. Poznamenejme, že udává pravděpodobnost, že se systém nachází v okolí bodu (l,...,s, s + 1,..., N). Poté je zřejmé, že jestliže se nazajímáme o situaci v okolí bodů s+1,..., N, musíme provést součet pravděpodobností, že je systém v daných bodech. Explicitně dostáváme fs(l,...,s)= / fN(l,...,N)d(s + l)...dN (113) 25 1.11 s-násobná distribuční funkce Tuto distribuční funkci, kterou si označíme jako Fs(l,..., s) definujeme následujícím způsobem. Výraz Fs(l,...,s)dl...ds (114) reprezentuje pravděpodobnost, že jedna z částic je ve fázovém prostoru dl v okolí bodu 1, jiná je ve fázovém prostoru d2 v okolí bodu 2 atd v daném časovém okamžiku. Je zde důležitý rozdíl vzhledem k distribuční funkci fs, protože Fs nerozlišuje, která konkrétní částice se nachází v okolí bodu 1 atd. Podrobněji, fs určuje s—časticový stav specifické skupiny částic. Na druhou stranu Fs také odpovídá stejnému specifickému stavu, ale je nezávislá na tom, které částice se nacházejí v tomto stavu. Například, /2(1,2) udává pravděpodobnost, že částice 1 je ve stavu 1 a částice 2 ve stavu 2, na druhou stranu F2(l,2) udává počet dvojic částic, které se nacházejí v daném stavu. Abychom našli vztah mezi Fs a fs musíme znát počet způsobů, jakým můžeme vybrat s částic z celkových N N \ N\ . . TT • (US) s\(N Jestliže předpokládáme, že dané částice jsou identické, pak každý takový výběr dává stejnou funkci fs. Pak dostáváme N s .fs, (116) kde čára nad Fs dává, že daný s—časticový stav byl započítán pouze 1. Je zřejmé, že musíme vzít do úvahy fakt, že s—částic můžeme distribuovat s! způsoby tak, že stále dávají s—časticový stav. Tento fakt dává konečný výsledek fi = s!ŕ- = s!(») = Äf/* (m) 2 Analýza Liouvillovy rovnice V této kapitole odvodíme posloupnost rovnic známou jako BBKGY rovnice. Toto jsou rovnice pro redukované distribuce a hrají klíčovou roli v kinetické teorii plynů a tekutin. Začneme s Liouvillovou rovnicí pro A^—časticovou distribuční funkci ^ + {fN,H} = 0 (118) 26 a přepíšeme ji do tvaru dfN LNfN = 0 , (119) kde což explicitně dává dt LN = {H,} (120) i=iv N 'dH d dH d kde čhti dpi dpi čhti dH d dH d dxi dpi dx^ Qp (0 (121) (122) kde x'1^ je i—tá komponenta polohového vektoru l—té částice a pf^je i—tá komponenta sdružené hybnosti. Hamiltonian iJ má tvar i=l i s + 1 dávají, při současné integraci, povrchové příspěvky a tudiž jsou rovny nule. Výsledkem dostáváme )/- = -E^ľ- d(s + l)...dN £ Gy/AT- (144) Toto je klíčová rovnice určující časový vývoj redukované distribuční funkce. Vidíme, že dynamika distribuční funkce fs(l,..., s) se zbývajícími částicemi v tekutině je dán pravou stranou rovnice (144). Abychom pokročili dále ve zjednodušení rovnice (144) musíme zavést předpoklad, že částice v tekutině jsou identické a tedy /s(l, 2,..., s) je symetrická při výměně jednodlivých stavů částic. Jinými slovy předpokládáme, že /3(1,2, 3) = /3(1,3, 2) = /3(3, 2,1) = /3(3,1, 2) = /3(2, 3,1) = /3(2,1, 3) . (145) Abychom ukázali ekvivalenci integrálů, když provádíme sumaci přes j, musí například platit J d2d3 ... G12fN(l, 2, 3,...) = J d2d3 ... G13fN(l, 2, 3,...) (146) 30 což můžeme, při provedení integrace přes A,..., N psát jako Jd2d3G12/3(l,2,3) = Jd2d3G13/3(l,2,3) . (147) Jestliže nyní provedeme na levé straně integraci přes d3 a pravou stranu přes d2 dostaneme (kde jsme využili předpoklad (145), tedy /3(1,2, 3) = /3(1,3,2)) Jd2Gi2/2(l,2) = Jd3Gi3/2(l,3) . (148) Jestliže nyní nahradíme integrační proměnnou na pravé straně 3 proměnnou 2 dostaneme rovnost. Pak tedy vidíme, že každý člen v (N — l)j sumě dává identický příspěvek a tedy dostáváme +- s) Ž <^ľ- / d(s + l)...dNGi,s+1fN = 0. (149) Nyní vidíme, že při integraci přes d(s + 2)... dN dostaneme fs+i, což nám dává fundamentální rovnici (jt - L^j fs+(N-s) Ž ^-'/ d(s+l)GitS+1fs+1 = 0 ,1 < s < N . (150) Tento systém N vázaných rovnice se nazývá BBKGY rovnice podle jejich autorů, kterými jsou N.N. Bogoliubov, M. Born, G. Kirkwood, H. S. Green and J. Yvon. Tyto rovnice se nazývají hierarchie. V následující diskuzi použijeme notaci BYS, abychom označili s— tou rovnici v této hierarchii. Nechť uvedeme následující vlastnosti tohoto systému • Toto je systém N rovnic, kde N—tá z nich je Liouvillova rovnice pro ÍN- • Definujeme ikst-Ĺ-': (151) pak z (150) dostaneme pro podskupinu s částic, kde s < N jjfŕO. (152) Jinými slovy, /s(l, 2,..., s) není konstantní podél trajektorie ve fázovém prostoru podprostoru odpovídajícímu s—částicím, což je důsledek interakce mezi s—částicemi a zbývajícími částicemi v souboru N částic. 31 • Třetí vlastnost má speciální význam pro kinematiku, která nás speciálně zajímá. Týká se první rovnice v daném systému BY\. Tato rovnice je obecnou formou všech kinetických rovnic. Kinetická rovnice je uzavřená rovnice pro /i(x, p,t). Abychom viděli původ této rovnice uvažujem první rovnici v (150), kterou přepíšeme do formy ^ + Ei~/i = -ii/2(l,2) (153) ot m oxi kde Ái vyplývá z (150). Kinetickou rovnici dostaneme, jestliže budeme schopni provést následující operaci Ä1f2(l,2) = J(f1) , (154) kde J se typicky nazývá kolizním integrálem, zobrazuje funkci na funkci. Nejjednodušší způsob, jak takový integrál zavést, je předpokládat, že f2(1,2) je funkcí /i(l). Například, ve Vlasovově aproximaci uvažujeme f2(1,2) = /i(l)/i(2). V případě obecnějšího Bogoliubovova ansatzu máme/s(l,2) = /2[l,2,/1]. 2.2 Vlasovova aproximace Uvažujme BYS rovnici v limitě, kdy N ^> s d m Ls)fs = IJS+1 , (155) kde " ' d(s + l)GM+i . (156) Předpokládejme, že tekutina je tvořena z N částic, které jsou obsaženy v objemu N. Pak je možné zavést charakteristický počet částic Dále předpokládejme, že můžeme zavést střední teplotní rychlost, C, a odpovídající teplotu T v tekutině, tak že mC2 = kBT , (158) 32 kde ks je Boltzmanova konstanta. Síla potenciálu a charakteristická délková škála r q jsou definovány jako $o - Gíj = —Gíj , (159) r0 kde Gíj je bezrozměrná veličina. Dále provedeme renormalizaci funkce fs, tak že Fs = Vsfs (160) V případě prostorově homogenního plynu dostaneme, že A(x,p) = ÍF1(p) . (161) Jestliže víme, že /i(x, p) udává pravděpodobnost, že jedna částice se nachází ve fázovém objemu v okolí bodu x, p o velikosti cř3x, d3p, pak je jasné, že hustota počtu částic v bodě x, kterou označíme jako n(x, t) je dána výrazem n(x,t) = N J fľd3p = n0 J F^p (162) Abychom dostali rovnici pro Fs, vynásobíme obě strany rovnice (155) Vs a dostaneme V i í — • — = > —p, • — = —K On = Ga ■ ( —--—— | = ——Ga ■ (ttt— „_ I =-tzÔíí 13 13 ' dpi dpj J r0C 13 \dpi dpj J mr0C 13 (167) a konečně máme Is = -NJ2t~- Íd3xs+1d3ps+1Gi,s+1 = = -noV^-—rl(mC)3ý2^-- f (ľ'x,. .<ľ'p,. G,. . = <Š>0r20(mC)2l . mC r0 dpi J (168) Nyní vložíme tyto výrazy do (163) a dostaneme 1 i 1, pak hovoříme o slabě interagujícím tekutině, jestliže platí a/7 1. Jinými slovy řečeno, Vlasovova limita odpovídá případu a = « 1 , 7-1 = n0r30 » 1 . (178) Kb± Je užitečné zavést parametr malosti ě c 1 s tím, že definujeme Vlasovovu limitu následujícím způsobem a -> ea , 7"1 -7-1 . (179) e Zjevně také máme a/7 = 0(1). V případě, kdy ksT ^> $0 můžeme očekávat, že korelace mezi částice v tekutině jsou malé. Matematicky můžeme toto vyjádřit tím, že vložíme faktor e ke každé korelační funkci. Explicitně máme /2 = /i/i + eC2 , fs = fifif+eJ2fiC^ + ^ (180) kde předpokládáme, že tyto rozdělovači funkci jsou bezrozměrné a tedy fs = Fs. Pak dostáváme jt + «i) F, = ^J1[F1(1)F2(2) + eC2(l, 2)] , Ž. + k2 - eaÓ12^j [F1(l)F2(2) + eC2(l,2)] = = -/2[F1(l)F1(2)F1(3) + eF1(l)C2(2,3) + 7 +eF1(2)C2(3,l) + eF1(3)C2(l,2)] (181) kde s ks = Y^K,. (182) 36 Porovnáním členů stejného řádu v e a když se omezíme na členy nej nižších řádů, dostaneme jt+k1^jF1(l) = %F1(1)F1(2), |- + k2Wl)F2(2) = -I2F1(1)F1(2)F1(3) , (183) Ukazuje se, že obecně dostaneme N rovnic pro jednu neznámou funkci Fi, což nám logicky dává, že N těchto rovnic musí být reduntantní. Dá se ukázat, že tomu je skutečně tak, neboli jestliže -F\(l) splňuje první rovnici v (181), pak všechny další rovnice jsou také splněny. Nyní přepíšeme tedy tuto první rovnici do plného tvaru s přesně danými rozměry fyzikálních veličin (! + v-^ *i(x>v>*) = "-T- /tóVG(x)x')F1(x)v)í)F1(x',v')í) \ot ox/ m ov J kde jsme použili rovnost F1(p)d3p = Fi(y)d?v. Tato rovnice se nazývá Vla-sovovou rovnicí Abychom získali větší fyzikální náhled na tuto rovnici, je vhodné použít hustoty počtu částic n(x',t) = N J dV/i^p',*) = y J d3wF1^'y,t) . (185) Poté zavedeme střední hodnotu síly G(x,í) = J d3x/n(x/,í)G(x,x/) . (186) což můžeme fyzikálně interpretovat jako sílu od všech částic v daném objemu působící na částici v bodě x. Pak integrál v (184) má tvar no_d_ m <9v d_ <9v J d3x'd3v/G(x, x')Fi(x, v, ť)Fi(x', v', ť) :Fi(x, v,ť) • J d3x'n(x/,í)G(x,x/) = ^F1(x,v,í)-G(x,í) . (187) 37 Vidíme tedy, že Vlasovovu rovnici (184) můžeme přepsat do tvaru dt ox m ov J Fyzikální interpretace této rovnice je následující. Časový vývoj -F\(x, v, í) je ovlivněn silovým polem, které je dané okamžitým působením všech částic v dané tekutině. Je velice zajímavé, že Vlasovova rovnice (184) je velmi podobná jednočásticové Líouvíllově rovnicí, která odpovídá částici pohybující se ve vnějším silovém poli. Hamiltonian pro tuto částici má tvar H = £. + *(x) (189) kde G = -|^$(x) je vnější síla. Liovillova rovnice pro tento systém má tvar dF _ OF OF dH OF dH _ dt ' dt <9x dp dp <9x dF dF dF ~ n ot ox op (190) Je lehké dokázat, že řešení jednočásticové Liouvillovy rovnice má tvar F = F[ů + $(x)] (191) neboť dF n OF ^f = F~ ,^f = ~F'G , (192) op m Ox kde samozřejmě je nutné poznamenat, že $ je potenciál vnější síly, zatím co v případě Vlasovovy rovnice máme || = -n0 J F(x', v', í)G(x, x')d3x'ďV (193) což znamená, že je možné určit $ za předpokladu, že známe funkci F. 2.3 Prigoginova analýza V této kapitole stručně nastíníme princip poruchové techniky řešení Liouvillovy rovnice. Jednou z důležitých aplikací této metody je odvození Bolt-zmanovy rovnice. 38 2.3.1 Poruchy Liouvillova operátoru Uvažujme opět Liouvillův operátor dfN _ f , Ot ĹN = {H,} N kde nebo explicitně N ^v = E^ + EEô*. i i ^kř-vř (200) kde v; = ^ a kde (k) = (ki, k2,..., k^-)- Poznamenejme, že periodické hraniční podmínky dávají k, = —n, , (201) 39 kde rij jsou celá čísla. Nyní použijeme tuto bázi pro hledání řešení obecné Liouvillovy rovnice, kde předpokládáme řešení ve tvaru fN(l,...,N) = ]Ta(k)(pV)^k)(x>—oo* . (202) (k) Nyní ukážeme, že toto řešení může být přepsáno do vhodného tvaru, kde koeficienty mají speciální fyzikální význam. Tento přepis má tvar f _ 1 a0(Pl\...,í) + iÉE"kipJ-n''k'x' j=l k N N ' ŤhEEE E X x«kí,kI(Pi,Pi|0,í)eť^^+k«-x«1e-^'í- V2 3=1 1=1 k'. k;,k3+k;^0 1 N N i i>EEEak,-k(P„PdO,í)e^-Xí) v j=l 1=1 k (203) kde čárka nad sumačním symbolem znamená, že provádíme sumu, kde dané vektory jsou nenulové, v opačném případe by tento koeficient měl být započítán do předchozího řádu. Koeficienty v tomto rozvoji mají tu důležitou vlastnost, že aki,...,k„(piV)í) obsahují n nenulových vektorů, například <2ki,k2 obsahuje 2 nenulové vektory. Dále,hybnosti, na kterých závisí dáná Fourierova komponenta, se rozdělují na dvě skupiny, rozdělené vertikální čarou. Vektory na levo od čárky odpovídají částicím, jejichž vlnové vektory jsou nenulové a napravo od čárky jsou uvedené všechny ostatní hybnosti. Konečně, objem V je definován jako V = V/(2tt)3. Cleny v druhé sumě, kdy k, + k; = 0 jsou důležité při tzv. limitě homogenity, která nám říká, že systém je homogenní, pak Jat je invariantní při posunu souřadnic (xř)^(x{) = (xř + b) (204) pak dostáváme ^a(k)e*Eki'Xi = ^a(k)e*Eki'Xieíb'Eki (205) (k) (k) Tato rovnost je splněna pro všechna k; cl Zel předpokladu, že ^2 k; = 0 pro všechny (k) sequence. 40 Nyní můžeme přistoupit k interpretaci koeficientů, které vystupují v (203) Nejdříve provedeme integraci přes xi . . .x^ d3xi ... erxjv/jv — / ď3Xl... Gř3XiV «o(pV) • f EE"ikm>v-'-"'kx' 3 k3 (206) Nyní v limitě velkého objemu můžeme nahradit sumu integrací což také dává eřkxd3x = 5(k) . (207) (205 což nám říká, že druhý člen v (206) dává S(k) při integraci přes dnN. Pak dostáváme, že všechny další příspěvky při integraci dávají nulu Jinými slovy J cřx! . . . d3xNfN = a0(pN,t) kde z definice normování funkce f^ platí J d3Pl...d3pNa0(pN,t) = 1 . (209) (210) Vidíme tedy, že a0(pN,t) je distribuční funkce rozložení hybnosti pro iV částic. Hustota počtu částic je dáná integrálem ľ ni(x) = »i(x;) = N fNd pi ... ď Ptv<Í Xirf x2 ... ďxŕ_iďx;+i ... ď Xat (211) zatím co distribuce dvojic je dáná integrálem n2(x,x') = n2(xs,xn) = N(N-l) ľa í s s 3 s s ' fNd Pi . . . ťfpAfífxi . . . ífxs_iíf Xa-+i ... d Xn-ld Xn+i . .. d3xN . (212) 41 Nyní určíme hodnoty těchto funkcí pro f n danou (203) N ľ -i—r ni(xs) = yw ^P1 • • • d3PN II^ 1 'N a0(p,t) + ^^^ak(pi|0,í)eí (213) V limitě velkého integrálu při integraci přes Xj,« ^ s dostáváme 5(kj), což nám dává k« = 0 , i 7^ s. Pak tedy všechny členy, pro které platí, že j 7^ s jsou rovny nule, protože z definice máme ai(0, p, t) = 0. Dále, každý člen v sumě, která obsahuje a2(k,', k;, p, £) obsahují buď ô(kj) nebo 5(kj) jako důsledek integrace J cř3Xj nebo J cř3x;. Pak dostáváme, že všechny členy v dané sumě jsou rovny nule díky tomu, že z definice máme a2(0,kř) = a2(kv0) = 0 . (214) Stejné argumenty můžeme použít pro členy vyšších řádu v rozvoji (203). Výsledkem dostaneme ( \ N ™l(X) = y ľ N 1+ / J]d3Píak(p|...,í)eík'xd3k J i=i (215) V limitě prostorové homogenity dostaneme k = 0, <2k(0, p, í) = 0 a tedy N V (216) 2.3.2 Pohybové rovnice pro koeficienty a(k) Nyní přejdeme k odvození pohybové rovnice pro koeficienty a(k). Jesliže vložíme (203) do Liovillovy rovnice dostaneme d_ dt 5>(k0e-(k')* |(k')> = (Ĺo + 6Ĺ) ]T <0OI a^e (217) (k') Provedeme derivaci vzhledem k času na levé straně rovnice, poté ji vynásobíme zleva vektorem ((k)| a s užitím ortogonality vektorů dostaneme pohybovou 42 rovnici pro a ve tvaru -a(k) = £ e*"oo* ((k) I ÔĹ |(k')> e-M V) • (218) (k') Další analýza této rovnice probíhá podobným způsobem jako v případě poruchového počtu v kvantové mechanice. Ukazuje se, že různé členy v poruchovém rozvoji mohou být reprezentovány graficky podobným způsobem, jako Feynmanovy diagramy. Tato analýza je ovšem velice složitá a nemůže být obsažena v této přednášce, pro podrobnější popis odkazuji na I. Prigogine, iVon-equilíbrium Statistical Mechanics. 2.4 Bogoliubova Hypotéza 2.4.1 Intervaly času a délky V této kapitole se budeme stručně zabívat Bogoliubovou hypotézou týkající se dosažení rovnováhy v původním nerovnovážném plynu. Týká se plynu v uzavřeném prostoru a definuje tři časové intervaly, které označíme jako Ti,T2 a T3. V časovém intervalu t\ se dvě molekuly nacházejí ve vzájemném interakčním dosahu. Interval r2 je střední doba mezi dvěma interakcemi. Konečně r3 je průměrná doba, za kterou molekula překoná vzdálenost mezi dvěma stěnami, které vymezují oblast, kde se daný plyn nachází. Je zřejmé, že mezi těmimto časovými úseky existuje následující souvislost n < r2 < r3 . (219) K těmto časovým intervalům můžeme přiřadit odpovídající charakteristické délky Ai,A2 and A3, kde Ai je charakteristická vzdálenost interakce, A2 je střední volná dráha a A3 je charakteristická rozměr oblasti, v které se nacházejí částice. Například pro plyn, kde střední molekulová rychlost je 300ms_1 a za standartních podmínek, kdy je plyn obsažen v nádobě o charakteristickém rozměru A3 = 3cm dostáváme Ai A2 A3 cm 3 x 1(T8 3 x 1(T5 3 73 sec 10-12 IQ-9 l0-4 43 Bogoljubova hypotéza se týká funkcionální závislosti iV—časticové distribuční funkce /at(1, ... ,N), která je závislá na relaxaci plynu směrem k rovnovážné konfiguraci. Tyto časové intervaly jsou definované následující tabulkou 0 < t < Ti počáteční fáze ri < t < r2 Kinetická fáze r2 < t Hydrodynamická fáze V počátečním intervalu neexistuje žádná srážky mezi molekulami a tedy počáteční nerovnovážný stav není ovlivněn žádnou silou, která popisuje interakci mezi srážkami. To znamená, že v počáteční fázi musíme použít celou, iV—časticovou distribuční funkci pro popsání stavu plynu. Během kinetické fáze dochází ke kolizím molekul a tedy existuje tendence k rovnovážné konfiguraci. V tomto případě je vyslovena hypotéza, že všechny s— časticové distribuční funkce jsou funkcionály jednočásticové distribuční funkce /, /,n.....>•/.:• (220) kde explicitní časová závislost vystupuje zcela v f\. Například, v případě, že molekuly jsou statisticky nezávislé, dostáváme s Konečně, během hydrodynamické fáze se předpokládá, že distribuční funkce je funkcí hydrodynamických veličin n, u a T, kde n je hustota částic, u je makroskopická rychlost tekutiny a T je její teplota. Jinými slovy máme následující popis. Jak systém relaxuje z původní nerovnovážného stavu do konečného rovnovážného stavu, dochází k redukci v úrovni popisu, která je odpovídající pro danou tekutinu. Na počátku je nutné znát obecnou iV—časticovou distribuční funci. V rovnovážném stavu je dostatečné znát n, u a T. 2.4.2 Bogoljubovy distribuční funkce Uvažujme opět distribuční funkci Fs = Vsfs . (222) 44 Poznamenejme, že pro homogenní tekutinu, Fs je funkcí pouze hybností. Jesliže přepíšeme s—tou Bogoljubovu rovnice pomocí této distribuce,dostaneme jt ~ Lsj Fs - —^ J ÔitS+1Fs+1d(s + 1) = 0 (223) kde Oíj má tvar ô-=-G« (w, - £) ■ (224) a kde, což je fundamentální fakt, Ls má tvar s s Ĺs = ~YJKl + YJÔtJ , (225) i=i í oo, V —> oo a současně platí N - s NI lim ——- = lim — = - , (226) N^oo,V^oo V V v kde v je specifický objem, který definujeme jako objem, jenž zaujímá jedna částice. V této limitě rovnice (223) má tvar (^-t-Ls)Fs-^J2Í Ôi,s+1Fs+1d(s + 1) = 0 ^ ' i=i (227) Nyní předpokládáme, že rozdělovači funkce má tvar Fa = Fa(l,...,s,F1) . (228) Protože explicitní časová závislost je zahrnuta do funkce Fi, dostaneme dFs ÔFsdF1 . . 45 Jako jednoduchý příklad uvažujme statisticky nezávislé molekuly, kdy máme s ^ = 11^(3) (230) 1=1 kde (228) dává dt £^II*e>- (231) k l+k Je důležité poznamenat, že Bogoljubova analýza je relevantní pro řidké plyny, kdy specifický objem v je velký. Pak je možné použít následující rozvoj Fa(l,...,s;F1) = F? + ±FM + \FV + ... . Jestliže vložíme tento rozvoj do BY\ rovnice (227) dostaneme ^-U\fx-^\ d2012F2 = 0 (232) dFi =_Pi m 1} dt m <9xi v 12 ,(o) -F (i) A(o) + ±A(D + ... J. v 12 v d2Č>12 (233) Vložením tohoto výsledku do parciální časové derivace Fs dostaneme dFs ÔFS dFl dt 5F1 dt ÔF (0) 5F1 -A® 1 l SFf (i) v \ 5F1 .AV>) ÔF (0) 5F1 .A(o) Nyní se vrátime k rovnici (227) kde použijeme rozvoj (232) dF^ dt Ff + -F« + ... v 1 s ~ Z, Ii,s+1 ni i J í=l ^s+l "I" vrs+l (234) (235) 46 Jestliže nyní vložíme (234) do (235) a porovánme členy stejného řádu v l/v dostaneme °ra 4(0) ÓF1 °ra 4(0) ÔFs ÓF1 óFi i=l (236) Tyto rovnice určuji posloupnost JFJn') j v rozvoji (232). Nyní uvažujme opět rovnici pro Fi ^ + El. = I f d2Ôl2Ff . (237) Nyní, když najdeme ^^(Fi), dostaneme uzavřenou rovnici pro F\. Z rovnice (236) dostaneme £>(°>F2(0) = L2F2(0) , (238) kde ^(o)F(o) = dJl-A^ . (239) 0-Ti Musíme vyřešit tuto rovnici pro ^^(Fi) s odpovídajícími hraničními podmínkami, které zvolíme takovým způsobem, že považujeme částice nekorelované v dostatečně vzdálené minulosti. Uvažujme nyní Liouvillův operátor Ls pro izolovaný systém s— částic dF -^ = {HS,FS} = LSFS . (240) která má řešení Fs(t) = etL'F3(0) = AÍs)Fs(0) (241) " (s) kde operátor At má následující vlastnosti A0 = l , AtlAÍ2 = Aíl+Í2 , dAt LsAt . dt s 1 (242) 47 Protože operátor At propaguje s-částicový systém v čase, je přirozené s jeho pomocí vyjádřit hraniční podmínku, že pro dostatečně dlouhý čas v minulosti částice nebyly korelované s lim Áís)Fs(l,...,s;Fi) = lim Ájs) TTFi(fc) . (243) i—>—oo i—>—oo fc=l Poznamenejme, že tyto hraniční podmínky platí pro všechny jednočásticové rozdělovači funkce. Pak také platí pro jednočásticovou rozdělovači funkci, která vznikne z F\ propagací pomocí jednočásticového operátoru F[{k) = lim^oo A^Fi(k). Vložením této podmínky do předchozího definice hraniční podmínky, dostaneme s lim A(ts)Fs(l,..., s; Fi) = lim Ájs) TT A^F^k) . (244) i—>—oo t—>—oo k=l Poznámka: Rozdělovači funkce ideálního plynu Uvažujme ideální plyn, který je dán N neinteragujícími molekulami a jenž je obsažen v krychli o velikosti hrany L. V tomto případě Hamiltonián je dán ve tvaru k 2 H = y^P^ 0 < < L (245) s=l Víme, že časový vývoj rozdělovači funkce má formu s s První krok je najít vlastní hodnoty operátoru /. Tyto hodnoty byly nalezeny v předchozím výkladu a tedy ■y ^(k)= jjm expH Ylks ■(247) s s vlastni hodnotou = i ^2^=1 vs • ks. Pak je zřejmé, že obecná forma N— časticové rozdělovači funkce funkce má tvar /(x", pN) = DM (PN)^(k) (xN)e^te^t . (248) (k) 48 neboť f + {/*,*} = ^%(PW)K) " Ev* • ks)JD(k)(pAf)^(k)(xAf)e^)ie-«i = 0 . (k) 3=1 (249) Abychom určili konečný tvar rozdělovači funkce J'q, musíme určit koeficienty D(ty(pN). Označíme si hodnotu rozdělovači funkce / v čase t = 0 jako f q fo(xN,pN) = ^Ak)(pAf)^(k)(xAf) . (250) (k) Protože vektory ip^ jsou ortogonální, dostáváme 1 ľ N Ak)(p) = JWf2 \ JlďMeMi^s-XsWx"^") (251) Tedy ze známe počáteční hodnoty distribuční funkce dostaneme obecné řešení Liouvillovy rovnice pro ideální plyn ve tvaru /(x,p,í) ^E^ÍpV2'^--" (252) (k) Vidíme tedy, že operátor A^Fi (k) můžeme interpretovat jako jednočásticovou funkci v čase t jenž má tvar -F\(x — — t, p) a tedy dostaneme m s lim Ájs) JJÁ^t-Piífc) fc=l S = hm Á^TTF^Xfc + ^pfc) Í->-OO J-J. m fc=l lim rTF1[Áís)(xfc + ^í),Áís)pfc] fc=i =n^(xís),Př)), fc=i (253) 49 kde x[s\mp^ jsou hodnoty fázových proměnych k—té částice v čase t = —oo, kdy jsme prováděli časový vývoj v opačném směru od proměnnýcch Xi- + —t a r>u. TYL Uvažujme opět tento výraz ĎÍ°)F(o)(1>..., s. Fl) = ^_A(o) = d-^-LlFl , (254) kde jsme využili toho, že Aq je rovno L\F\. Naším cílem je najít vhodnou reprezentaci funkcionální derivace,která vystupuje v předchozímv vztahu. Protože tento vztah platí pro všechna F±, musí platit i pro a^Fi. Pak tedy můžeme psát ĎWfío) (i,..., s. a^fl) = -^—la^F, , (255) což, s pomocí rovnice ^É1 = LAt můžeme přepsat do tvaru dt £)(o)F(o)fl s-A^F) = 5F°0) dAt1)Fl s (i'--"S'Ai rl) S[££)Fl] dt (256) která nám říká D(°)FJ°)(1,..., s; Á^FO = ..., s; A^Fl] . (257) Pak dostáváme z rovnice, kterou jsme odvodili výše £(0)^(0) = ĹsF(o) ^ |f(o) [i,..., s. tf)Fl] = iaF(o) [1;...; s. A(i)Fi] (258) Z definice operátoru dostáváme, že řešení předchozí rovnice má tvar [1,..., s; AÍ1)F1(0)] = Áís)Ff [1,..., s; F1(0)] (259) kde -Fi(O) je jednočásticová distribuční funkce vypočítaná v čase t = 0. Pak je zřejmé, že můžeme psat ..., s; F1(0)] = ÁÍS)FJ°)[1,..., s; A^F^O)] (260) 50 Protože levá strana je nezávislá na čase, můžeme přistoupit k limitě t —> — oo a s použitím hraničních podmínek daných nahoře dostaneme ..., s; F1(0)] = lim Áí'^l,..., s; A^)tF1( i—>—oo n^[4a),pn k=l (261) Vidíme tedy, že je dané jednočásticovými distribucemi s fázovými proměnnými x(s)p(s)? odpovídající polohám a impulsům částic, jenž se propagují zpět v čase a jejiž evoluce je dána s—časticovým Hamiltoniánem. Podrobněji toto uvidíme, když budeme studovat pohybovou rovnici pro souřadnici či impuls s—té částice ^ = K,iJ} ,^ = {Ps,H} . (262) Pak hodnota proměnné v čase t + Aí může být určena Taylorovým rozvojem 6?x 1 6?^x xs(í + Aí) = xs(í) + -^(í)Aí + ^^(Aí)2 + • • • S použitím pohybové rovnice dostaneme (263) a tedy 6?x 1 G?2x xs(í + Aí) = xs(í) + -^(*) Aí + ^^/(Aí)2 + xs(í) + {xs(í), H} Aí + i {{xs, #} , #} (Aí)2 + = xs(í) - {F,xs(í)} Aí + X- {H, {#,xs(r)}} (Aí)s xs(í) + ^{H,{H,..., {H, xs}}}(-Aí)ř n=l (264) 51 a tedy vidíme, že Á skutečně propaguje xs zpět v čase. 2.4.3 Odvození Boltzmanovy rovnice Poslední krok k odvození kinematické rovnice je nalezení operátoru L2 Ĺ2 = -K1-K2 + Ô12 = -k2 + Ô12 (265) kde = — ■ ^— + — • ^— , (266) m axi m ox2 S pomocí této rovnice dostaneme Ô12F2(0) = k2F2(0) + L2F2(0) . (267) Našim úkolem je najít formu výrazů, které se vyskytují na pravé straně předchozí rovnice. S použitím předchozího výrazu máme L2FJ°) = £>(°>F2(0) = 4lTA{0) > (268) oFi kde A® = _Ei . . (269) m oxi Nyní použijeme explicitní formu Ff = F1[^),P?]F1[^\p22}] (270) a tedy dostaneme (2) Q f(0)p(0) _ Pl p r (2) (2)n O p r (2) (2)1 -^2 -^2---^li^ )P2 J " TTTST^1^! 'Pl \ ~ (2) o P2 F[(2) Í2), O p r (2) (2)1 (271) 52 Našim cílem je najít alternativní tvar operátoru k2. Zavedeme proměnné (xi,x2,pi,p2) -ř (r,xi,g,pi) kde P2 - Pl r = x2 - xi , g =- m p2 = mg + pi , x2 = r + xi , (272) dostaneme / . Pu 9 pi d d «2 = (g + —) • tt- + — • (—^" + — = m or m or xi = g. « =/řfl + /ř1, or m oxi kde Kb = g • S použitím těchto výrazů dostaneme <9Fi pi dF1 1 f ň - ot m oxi v J ^ + ^ • ^ = - /á3P2á3x2(K2Ff + L2Ff) = oí m oxi -u y = - í<ř*2<řV2KBF2m + - f d3x2d3p2(L2 + K1)F2{0) v J v J (273) (274) Jestliže budeme předpokládat, že F2 je homogenní mimo interakční oblast, pak není funkcí Xi,x2 a jejich hodnot zpět v čase. Jinými slovy řečeno je funkcí pouze r. Pak druhý člen v předchozím výrazu na pravé straně je roven nule a srážkový člen má tvar jďW3x2J40) = jd3x2d3p2g • |-[Fi(pi2))Fi(p(2))] (275) kde g je relativní rychlost. Našim cílem je vypočítat tento prostorový integrál, který vystupuje v předchozím výrazu. Poznamenejme, že pro pevné xi máme cřx2 = dr. Zavedeme válcové souřadnice, kdy osa válce souhlasí se směrem vektoru g. Dále zavedeme projekci vektoru r na tuto osu z = i-^ . (276) 9 53 Pak dostaneme d3r = bd(f)dbdz (277) a «9 «9 g-ô-=0ô-- (278) ar oz kde jsme využili faktu, že vektor r může být rozložen do směru rovnoběžného s g a kolmého na g a skalární součin tohoto vektoru s g je roven nule. Pak dostaneme d3p2d3rg~[F1(pí2))F1(pí2))] = //•OO J dbdb j dz—iFiip^Fiip®)] = d3p2 j d06d6[F1(pS2))F1(p(2))(oo)-F1(p(2))F1(p(2))(-oo)] . (279) kde z = oo odpovídá oblasti po kolizi. Poznamenejme, že p^\p22^ jsou souřadnice určené pomocí Hamiltoniánu popisující interakci dvou částic, kdy uvažujeme jejich evoluci zpět v čase, tedy před kolizí. To jest tyto částice musí mít takové hybnosti, které označíme jako p[,p2, které vedou po interakci částic k jejich hybnostem pi, p2. Oblast z = — oo odpovídá oblasti před srážkou. Předpokládejme, že v této oblasti máme částice s danými Pi,P2 a chceme vědět, jaké hodnoty tyto částice mají, jestliže je budeme sledovat s pomocí dvoučásticového Hamiltoniánu zpět do minulosti. Protože v této oblasti nedochází k žádným interakcím, pohybují se jako volné částice a tedy jejich impulsy jsou stejné Pi,P2- Pak tedy dostaneme F1(pS2))F1(p(2))(oo)-F1(p(2))F1(p(2))(-oo) = F1(p'1)F1(p'2)-F1(p1)F1(p2) . (280) Jestliže použijeme tento vztah dostaneme dF1 pi dF1 _ 2tt dt m dxi v d3p2 J 6^[F1(p/1)F1(p2)-F1(Pl)F1(p2)] (281) což je slavná Boltzmanova rovnice. Jejímu dalšímu studiu a analýze srážkového členu budeme věnovat následující kapitoly. 54 Alternativní odvození Boltzmanovy rovnice Nyní podáme více fyzikálně intuitivní odvození Boltzmanovy rovnice. Dříve, než k tomuto přistoupíme, provedeme alternativní odvození BBGKY hierarchie. Začneme s 1-násobnou distribuční funkcí ľ N F1(-K,p,t) = N / J^cř3Xj(i3pí/Ar(x,X2,. .. ,XAr,p,p2,. .. ,Pat,í) . (282) i=2 kde jsme zavedli faktor N. Je důležité vědět, že budeme od počátku předpokládat, že všechny částice jsou identické a že tedy funkce Fn je úplně symetrickou funkcí vzhledek ke svým argumentům, a tedy tím, že jsme vybrali první částici pro definici jednočásticové distribuční není myšleno, že by tato částice byla něčím speciální. Poznamenejme, že díky faktoru N v definici Fi dostáváme J cř3X(i3pFi(x, p,í) = ľ N = N JJcř3Xícř3pí/Af(x,X2,. . . ,Xjv,P,P2,- • • ,pn,t) = N . 1=1 (283) Funkce F\ hraje fundamentální roli v kinetické teorii, protože její znalost je ve velkém množství případů dostačující pro popis stavu systému. Například, průměrná hustota částic je n(x,t) = j'd3pF!(x,p,í) (284) a průměrná rychlost je dána výrazem v(x,í)= /ďpž-Ffant) . (285) Vidíme tedy, že je užitečné znát pohybovou rovnici pro funkci F\. Z její definice dostáváme ir=n í n d^d^%=N í nd3x^ ^ v ■ (286) i=2 i=2 55 Uvažujme nyní Hamiltonian H pro N částic, kde vezmeme do úvahy možnost, že se dané částice pohybují ve vnějším poli 1 N N N i=l i=l i=l i' J i=s+l (297) tak zjistíme, že splňují rovnice 9FS _ [ ,3 ,3 9$iii+i(xi - xs+i) dFs+1 {HS,FS} + J2 J d3xs+1d3ps+1- dt < J <9xj dpi (295 kde s / 2 \ H» = E (|^ + v^n + E -• (2") Tímto způsobem jsme odvodili BBGKY hiearchii. Domácí úkol Dokažte předchozí rovnici Nyní přistoupíme, pomocí těchto rovnic, k alternativnímu odvození Bolt-zmanovy rovnice. Jako v předchozím případě budeme předpokládat, že když jsou částice dostatečně vzdálené, jejich distribuční funkce nejsou korelované. Pojem dostatečně vzdálené znamené, že vzdálenost mezi nimi je mnohem větší než atomový rozměr d, který určuje dosah interakce mezi jednotlivými molekulami. Pak očekáváme F2(xi,x2,pi,p2) -ř Fi(xi,pi)Fi(x2,p2) ,pro |n - r2| > d . (300) Na druhou stranu když napíšeme rovnice pro F\ a F2 d , Pi d \ t? ( *.\ _ ľ j3 j3 0$i2(|xi-x2|) dF2 -J Fi(xi,pi,í) = J d3x2d3p2- ot m axi / J axi <9pi d_ + pi _ _d_ + P2 _ _d_ _ 1 «9$i2(xx - x2) d___<9_ dt m 9xi m <9x2 2 xx <9pi <9p2 cř3x3cř3p3 2 j3 ^3 /'<9$i2(xi - X3) (9 <9$i2(x2 - X3) (9 <9xx <9pi <9x2 <9p2 (301) 58 tak vidíme, že pravá strana rovnice dává významný příspěvek pouze na vzdálenostech, kdy ď$12^2~XlD je nenulové, což je pouze na vzdálenostech X2 — xi < d. Z toho důvodu je nutné porozumět F2 na vzdálenostech, kdy částice jsou blízko sebe. Abychom tomuto porozuměli, musíme provést určité kvalitativní úvahy založené na dimensionální analýze. Cleny, které závisí na atomovém potenciálu, budou nutně mít co do činění s veličinou rcou, která charakterizuje časový interval, po který jsou částice ve vzájemné interakci d$i2 d p 1 dr dp d tcou kde p je charakteristická hybnost, která určuje škálu hybnosti v dané interakci. Podle Bogoljubovy hypotézy toto je nekratší časová škála, která se vyskytuje v daném problému. Z toho důvodu dostáváme, že je nej významnější Tcoll parametr, který vyustupuje v daných rovnicích a tedy ^J2- dávají nej významnější příspěvky a určují, jak rychle se mění distribuční funkce. Vidíme, že funkce F\ je speciální, protože její pohybová rovnice neobsahuje kolizní člen (člen úměrný ^J2- • J^) na levé straně rovnice, na rozdíl od odstatních rovnic pro funkce vyšších řádů Fn, například F2 má kolizní členy jak na pravé, tak na levé straně, je důležité, že pro řidké plyny, příspěvek na pravé straně je mnohem menší než na levé straně. Abychom tomu porozuměli, musíme porovnat f3 vzhledem k F2. Předně víme, že AT\ ľ N = {N _'3)! J II ^^Ín = (N- 2)F2 « NF2 . (303) Na druhou stranu na pravé straně rovnice (301) neprovádíme integraci přes celý prostor, protože máme pouze nenulový příspěvek úměrný d3. To znamená, že srážkový člen na pravé straně (301) je potlačen faktorem Nd3/V (304) kde V je objem, v kterém se daný systém nachází. Pro plyn za běžných podmínek dostáváme, že tento faktor je přibližně roven 10~3 — 10~4. Pak 59 můžeme ukončit hiearchii rovnic, tím, že řekneme, že pravá strana rovnice pro F2 je rovna nule d pi d p2 d 1 <9<3>i2(xi - x2) d d 0 . dt m <9xi m <9x2 2 <9xi |_<9pi $P2 (305) Vidíme tedy, že F2 se mění na vzdálenostech d a časové škále rco». Poznamenejme, že tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru —í + {F2,H2} = 0 (306) ot což můžeme interpretovat jak pohybovou rovnici pro systém dvou těles, kde Xi, x2, p1; p2 splňují odpovídající Hamiltonovy rovnice. Na druhou stranu z rovnice pro Fi stejným argumentem dostáváme, že pravá strana rovnice je potlačena faktorem a tedy F\ se mění na vetší časové škále r. Nechť studujme změnu F2 podrobněji. Je zřejmé, že pouze relativní pohyb bude ovlivněn srážkovým členem. Z toho důvodu je vhodné přejit do souřadnicové soustavy hmotného středu R= i(x2 + xi) ,r = xi-x2 . (307) a P = Pi + P2 ,P = ^(pi-p2) • (308) a uvažovat F2 = F2(R, r, P, p, í). Distribuční funkce se bude pomalu měnit s R a P, podobně, jak Fi závisí na souřadnici a hybnosti. Na druhou stranu předpokládáme silnou závislost na r a p, které se mění za časový interval rcou. Jinými slovy můžeme předpokládat, že F2 dosáhne své ustálené hodnoty, která pak ovlivňuje dynamiku F\. Jinými slovy, zanedbáme časový vývoj funkce F2, ^ = 0 a nahradíme rovnice pro F2 následující rovnovážnou rovnicí E.il_^.iLWo. (309) m or or op J 60 Pak pro srážkový člen dostáváme 'dF1 dt d3x2d3p2 cř3x2cř3p2 <9$i2(ri r2 <9xx d$12(r) dr dpi d d _<9pi <9p2 m cř3x2(i3p2(pi - p2) |x2-xi| d, kde Xio = Xi(ío),x2o = x2(ío)- Statistická nezávislost částic znamená, že v tomto časovém okamžiku dvoučásticová funkce je dáná součinem dvou jednočásticových funkcí, to jest F2(í,Xio,X20,PlO,P20,ío) — ^i(Xio,P20;M-^l(X20;P20;Č2) pak ale skutečnost, že F2 splňuje rovnici d ~d~t F2(í,xi,x2,pi,p2) dF2 dt {F2,H2} = 0 (311) (312) říká, že můžeme provést integraci této rovnice přes časový interval t0 do t a dostaneme F2(í,xi,x2,pi,p2) = Fi(í0,xio,Pio)F2(ío,x20,p2o) , (313) kde musíme porozumět počátečním hodnotám (x10, p2o) a (x20, p2o) jako hodnoty souřadnic a hybností, které musí mít částice v čase to, aby v čase t měly hodnoty xi,pi a x2,p2. Jinými slovy souřadnice a hybnosti v čase to Jsou dány souřadnicemi a hybnostmi v čase t, kdy provedeme zpětnou propagaci v čase pomocí dvoučásticového hamiltoniánu H2, přičemž hybnosti Pio,P20 jsou konstantní během volné propagace částic. 61 S použitím (313) dostáváme, že srážkový člen má tvar m 1 |x2-xi|<íž d3x2d3p2(pi - p2) • d_ dr Fl(to, x10> PlO^^Oj x20> P20) (314) kde všechny proměnné pod derivací r závisí na r. Toto vyplývá z faktu, že funkce Fľ se mění na vzdálenostech, které jsou mnohem větší než d, a tedy v prvním přiblížení můžeme uvažovat funkci, která vystupuje ve srážkovém členu, jako nezávislou na souřadnicích, a tedy F\ = Fi(ío,Pio)- Poznamenejme ale, že funkce nezávisí na souřadnicích Xoi,Xo2, ale závisí na Xi,x2, kde tato závislost vyplývá z faktu, že když máme zadané impulsy pio,P20 v čase t0, pak se propagují volně do oblasti interakce, kde plati |xx — xx| < d. Dále, z homogenity prostoru vyplývá, že tato funkce může záviset pouze na Po těchto úvahách můžeme jednoduše provést integraci ve srážkovém členu (314). Opět zavedeme válcové súradnice z,p,

0+ znamená, že SV je velmi malý vzhledem k celkovému objemu, ale že je také dostatečně velký tak, že obsahuje uvnitř velké množství částic. Pouze v případě, když tato limita existuje, můžeme přejít od úrovně 1 k úrovni 2. 3.2 Bezsrážková Boltzmannova rovnice Víme, že dynamika iV— částic je popsána Hamiltonovskými rovnicemi. Naše otázka nyní je, zda-li je možné získat rovnici podobné Liouvillové rovnici pro distribuční funkci / v fi— prostoru. Jestliže každá z N částic má Hamiltonián H = H (x., p, t) s p = mu, pak dostáváme dH dH . . mvi = -—, mx,t = — ,i = 1,2,3 (318) OXi OVi Df df df df , x kde nyní je implicitně daná sumace přes i. Tato distribuční funkce odpovídá N ne-interagujících částic pohybujících se ve vnějším potenciálu. Tato rovnice se nazývá bez srážková Boltzmannova rovnice. Je důležité poznamenat, že jakmile se částice dostanou do blízkého kontaktu tak, že interagují, tento vztah neplatí. Poté potenciální energie každé částice je nejen funkcí souřadnice částice, ale také závisí na vzdálenostech dané částice od ostatních částic. V tomto případě Hamiltonovská formulace v fi— není možná, samozřejmě, můžeme použit obecnou formulaci problému v T— prostoru. Neutrální plyny jsou charakteristické tím, že částice interagují pouze na krátké vzdálenosti, jinými slovy pouze, když dojde k jejich srážkám. Je pozoruhodné, že v tomto případě je relativně jednodduché modifikovat Boltzman-novu rovnici takovým způsobem, že efekt kolizí může být dodán na pravou stranu této rovnice. 63 3.3 Základni poznatky z rozptylu částic Uvažujme dvou časticový hamiltonián ff(Xl,x2,Pl,p2) = ^ + |Uv>) (320) kde hmotnosti částic jsou m\ a m2 a kde r = |x2 — xi|. Provedeme transformaci do souřadnicové soustavy spojené s hmotným středem mip2 - m2pi rrii + m2 r = x2 - xi , P = Pl + P2 , ■m-iTi + m2r2 R kde inverzní zobrazení má tvar ■m-i + m2 iíii Pi = P-;--P m-i + m2 P2 = P-^+P mi + m2 xx = R--r mi + m2 mi -r mi + m2 x2 = R S pomocí těchto výrazů dostaneme následující hamiltonián 2 p2 H = — + -T7 + V (r) , 2//. 2M 1 ; ' kde /x je redukovaná hmotnost (321) (322) (323) „ = (324) nii + m2 Has = ^ (325) 64 je kinetická energie hmotného středu. Zbývající část 2 Hrel = ^- + V{r) (326) je hamiltonián částice hmotnosti // v poli daném potenciálem V(r). Protože zjevně hamiltonián nezávisí na R dostaneme, že združená hybnost P se zachovává. Jinými slovy originálni úloha se redukuje na problém studia pohybu částice o hmotnosti // v centrálním poli V(r). Pro další studium je vhodné zavést sférické souřadnice r\ = r sin 9 cos a Pe Jsou hybnosti kanonicky sdružené s r, 0. Lépe řečeno našim cílem je najít rozptylový úhel. Konkrétně, rozdělíme rozptyl do tří po sobě následujících časových intervalů: před, během a po interakci. V intervalech před a po jsou částice volné a nejsou ve vzájemné interakci. Samozřejmě, tyto pojmy úzce souvisí s vlastnostmi potenciálu V(r), konkrétně s parametrem vq, který charakterizuje dosah interakce, například u interakcí dlouhého dosahu r0 —> oo. Pak interval před interakcí odpovídá vzdálenosti, kdy r > r0,kdy V(r) = 0, po interakci označuje interval, kdy r > r q. Je vhodné také zavést pojem relativní rychlosti před a po interakci. Předpokládejme, že zvolíme časovou osu takovým způsobem, že interakce proběhne v okolí časového okamžiku t = 0. Pak definujeme relativní rychlost g následujícím způsobem Protože před a po kolizi máme potenciál roven nule, dostaneme ze zákona zachování energie což nám říká, že velikost relativní rychlosti se zachovává při srážkách. V souřadnicové soustavě spojené s hmotným středem zavedeme tzv im-paktní parametr s který je definován jako L = figs. Impaktní parametr a také vektory relativní rychlosti gag' jsou vlastnosti, které se vztahují k asymptotickým stavům systému a které se zachovávají během srážek, Dále zavedeme vektor rmjn, což je bod odpovídající okamžiku, kdy ^ = 0. Definujeme úhel ip jako (333) g = ř , pro t = ±oo . (334) (335) (336) Pak rozptylový úhel je definovaný vztahem (337) 66 Je užitečné zavést proměnnou u = r 1. Dále, L = /igs vyjádříme pomocí energie ,2 T 2 2/í 2fis S použitím těchto výrazů dostaneme kde Íj = I dU , (339) 0 Jl-sW-V u = —,l- s2u2 - X® = 0 . (340) T'rnin ^ Pro potenciál ve tvaru V(r) = Kr-N = kuN (341) dostáváme Í> = / , ■ 342 Jo y/1 - s2u2 - (KuN/E) Je užitečné zavést bezrozměrný inversní poloměr (3 = su (343) a bezrozměrný impaktní parametr ([K] = kgm2+Ns~2) ^.(^ • (344) a pak dostaneme ^ d(3 o y/l - (52 - ((3/b) N (345) 67 3.3.1 Účinný průřez Nyní zadefinujeme diferenciální účinný průřez. Uvažujme homogenní tok částic o energii E, intensitě J, které dopadají na rozptylové centrum umístěné v počátku. Počet částic, které jsou rozptýlené do elementu díl v okolí prostorového úhlu Q je úměrné dopadající intensitě I a díl. Faktor úměrnosti je a, což je diferenciální účinný průřez. Jinými slovy řešeno, výraz Ia(íl)díl (346) udává počet částic, které jsou rozptýleny v úhlu Q, Q + díl za jednu sekundu. Tento počet je roven počtu částic, které projdou malým elementem válce o průřezu dssdcf) a tedy dostaneme IadVt = Id(f)sds . (347) Prostorový úhel je roven díl = sm9d9d(f) a pak tedy dostaneme a(E,0)^ = s(E.e)d-^§. (348) díl smtídO Poznamenejme, že s(E,9) je dán rozptylovým integrálem [u sdu ^ = / - . 349 Jo y/1 - - {V/E) Zatím co o určuje počet částic rozptýlených do daného prostorového úhlu, celková účinný průřez aT= adVt = Txr\ (350) udává celkový počet částic rozptýlených z původního svazku. Víme, že dosah interakce je dán parametrem r0, tak tedy částice, pro které platí, že s > r0, nejsou rozptýleny z daného svazku. Jinými slovy řešeno, celkový účinný průřez reprezentuje plochu, která je vložena do cesty nalétávajícímu svazku. Pak pro homogenní svazek , který má čelní plochu A > o^, veličina A/ut udává poměrný počet částic rozptýlených do všech směrů z daného svazku. Uvažujme nyní faktor, který je významným prvkem srážkového členu gasinôdô = gsds . (351) 68 Použijeme-li bezrozměrnou veličinu b = s (E jK)1^, dostaneme gasinOdO = gbdb í — J = (2fiK)^g^bdb . (352) Vidíme, že případ iV = 4 je speciální a říkáme, že molekuly, které interagují pomoci tohoto potenciálu, jsou Maxwellovské molekuly. Pro tyto molekuly je veličina gasinôdô nezávislá na g, což má za následek zjednodušení výpočtu linearizované Boltzmanovy rovnice. Coulombovský účinný průřez Vypočítáme nyní účinný průřez pro Coulombovský potenciál K V = — . (353) r Provedeme-li integraci rozptylového úhlu pro N = 1, dostaneme ^(6) = ľ df5 = - sin"1 I -j±- I , (354) ^ \/l " /?2 " W/b) \2b^Vi s použitím dx — ax a také to, že (3 je řešením rovnice ,2 0 „ . 7, 1 , /, , 1 l-(ffl<-!=0*/3=-- + yi + ip. (356) Pak dostáváme Zavedeme-li rozptylový úhel 9 pomocí vztahu ip = ZL7p dostaneme 1 cos2 srn 2 (355) 62 = h^j, • (357) &2 = -A-JÍ (358) 69 Pak z definice účinného průřezu dostaneme _ Í2K\2 1 b db \~) g^ú^ědl K\2 1 AEJ sin4(#/2) (359) což je Rutherfordův účinný průřez pro Coulombovské interakce. Účinný průřez pro dvě pevné koule Uvažujme srážky dvou ideálních koulí o poloměrech a01, a02. Je jasné, že tyto dvě koule se nemohou srazit, jestliže vzdálenost mezi středy těchto koulí je r > (o"oi + o"o2)/2. Pak dostame pro účinný průřez 0"12 Opi + Q-Q2 2 O-l2SÍlľ0 , 1 sds = o\2 sin-í/> cos tpdtp = —&12 sm (360) a tedy máme Pak tedy dostaneme aÍ2 a{9) = -f . (361) aT = 2nal2 . (362) Kinematika Uvažujme srážku dvou částic o hybnostech pi,P2- Zákon zachování hybnosti a energie má tvar Pl + P2 = PÍ + P2 , pI p\ p'2 p'2 2m1 2m2 2m1 2m2 (363) které se znatelně zjednoduší v případě, kdy ni\ = m2. Vl + v2 = ví + v2 , .2 , „.2 „,/2 , „12 J2 V ' (364) 70 Budeme řešit tyto rovnice vzhledem k v^,v2 vi = 2(V2 + Vl +W ' v2 = ^(vi + v2 - ge) , (365) kde e je libovoný jednotkový vektor, který vyjadřuje skutečnost, že máme čtyři rovnice pro šest neznýmých komponent vektorů v'1; v2 a kde p je velikost vektoru g = vx—v2. Jestliže budeme uvažovat rozdíl předchozích dvou rovnic, dostaneme g' = g - 2a(a ■ g) . (366) Ukazuje se, že dvě symetrie, které se vyskytují ve srážkách, hrají důležitou roli v kinetické teorii. Je vhodné mluvit o hybnostech (pi, p2) před srážkou, a impulsy po srářce označíme jako (p'1; p2). Pak charakterizujeme srážku jako [(Pi,P2)->(p'i,P2)]s, (367) kde dolní index s označuje, že impaktní parameter s je důležitou veličinou, která charakterizuje srážku. Je zřejmé, že inverzní k této srážce je srážka, kdy konečný stav je (pi, p2). Jinými slovy máme (pro pružné srážky, kdy se zachovává energie) ([(Pi, P2) -> (p'i, P^sT1 = [(p'i, p'2) -> (Pi, P2) • (368) Druhý typ srážek, které hrají důležitou roli, jsou zpětné srážky. Zpětné srážky jsou takové srážky, kdy konečný stav je (—pi, — p2), kdy pi, p2 jsou počáteční hybnosti vstupující do srážky. Opět, pro pružné srážky máme ([(Pi, P2) -> (p'i, p'2)]sf = [(-p'i, -p'2) -> (-Pi, -p2)] • (369) Je zřejmé, že tyto srážky jsou kinematicky ekvivalentní a tedy i jejich účinné průřezy jsou stejné. 3.4 Srážky ve zředěném plynu Uvažujme zředěnou tekutinu, kde celkový objem kapaliny je mnohem menší než objem, jenž zaujímá tato tekutiny na3 < 1 , (370) 71 kde n je hustota částic a kde a je poloměr jedné částice. Budeme uvažovat neutrální částice, kde neexistují síly dalekého dosahu (gravitaci můžeme zanedbat), tedy pak můžeme předpokládat, že k interakci mezi částicemi dochází pouze v okamžiku, kdy dojde k jejich srážce, jinými slovy v okamžiku, kdy vzdálenost mezi částiceme není o mnoho větší než d = 2a. Částice se pohybují volně mezi dvěmi kolizemi, kde průměrný vzdálenost mezi kolizemi je dána střední volnou drahou částice Je zřejmé, že ve zředěné tekutině platí A ^> d. Z toho vyplývá, že binární srážky jsou mnohem častější než srážky tří a více částic, které interagují ve stejný časový okamžik. Je také zřejmé, že srážky indukují změny v rozdělovači funkci /(x, v,í): Například, některá částice s počáteční rychlostí v může mít po srážkách jinou rychlost, což znamená, že Sf(y) < 0. Druhá možnost je, že některé částice s jinými počátečními rychlostmi mohou mít rychlost v po srážce, což si efektivně můžeme představit, jako zvýšení pravděpodobnosti, že danou částici najdeme s rychlostí v. Jinými slovy, máme ô f (v) > 0. Z toho důvodu je možné předpokládat, že časová změna jednočásticové distribuční funkce má tvar ^d3xd3u = -Cout + Cin , (372) kde Cout je dán příspěvkem od částic, které opustí interval rychlosti v okoli bodu v zatím co Cin je dán příspěvkem od částic, které vstoupí do daného intrevalu. Je jasné, že pro další studium kolizní Boltzmanovy rovnice musíme dát více podrobnější popis těchto příspěvků. Binární srážky Uvažujme srážku dvou stejně hmotných částic a předpokládejme, že jejich počáteční rychlosti jsou v,vi a konečné rychlosti jsou v', v^. Poté zákony zachování hybnosti a energie mají tvar V + Vi = v' + ví , I|V|2 + I|V|2 = I|V'|2 + I|VM2 21 1 21 1 21 1 21 11 (373) Dále budeme předpokládat, že interakce mezi částicemi má centrální charakter, relativní rychlost částic po srážce, g' = v' — v'x leží v rovině počáteční 72 relativní rychlosti, g = u — ux a počáteční relativní vektor mezi částicemi r = x — xi. Máme tedy pět podmínek pro šest neznámých veličin, kterými jsou čárkované vektory. Abychom tedy mohli tyto neznáme veličiny určit, musíme zavést šestou podmínku, která vychází z původu interakce mezi částicemi. Ukážeme, že tato šestá podmínka je dána pomocí diferenciálním účinným průřezem rozptylu. Uvažujme molekulu M, která v čase t má rychlost v. Můžeme si nyní vyznačit sféru okolo této molekuly o poloměru vq. Je zřejmé, že nalétávající částice je ovlivněna molekulou M za předpokladu, kdy bude procházet touto sférickou oblastí. Nyní předpokládejme, že existuje časový interval Aí, který splňuje následující dvě vlastnosti • Aí je mnohem větší než doba působení interakce rc. • Aí je mnohem menší, než relaxační doba rr, což je nutné pro zanedbání změny rozdělovači funkce během tohoto okamžiku, při pevném x a v. Dále budeme předpokládat, že daný systém je pouze lehce nehomogenní v prostoru. Jinými slovy, jesliže označíme v jako typickou molekulární rychlost, pak předpokládáme, že rozdělovači funkce v bodě x + vAí je stejná, jako rozdělovači funkce v bodě x. Uvažujme dva svazky srážejících se částic, kde označíme hustoty těchto částic jako n\ a n s rychlostmi vx a v. Můžeme přejít k souřadnicové soustavě spojené s částicí v druhém svazku a pak se tento problém redukuje na problém nalétávajících částic na částici M. Pak částice v druhém svazku, tedy částic o hustotě n a rychlostmi v jsou ovlivněny tokem částic z prvního svazku. Počet částic, které mají počáteční rychlost g a které se srazí s centrální částicí za čas Aí a nacházejí se v mezikruží o parametrech s a s + ds, je rovno Jestliže nyní vynásobíme tento výraz hustotou počtu částic, které mají rychlost v, /(x, v, í)cř3v, dostaneme počet srážek, v bodě x, které proběhnou za časový okamžik Aí s částicemi, které mají rychlost v intervalu v, v + dv f(x,v1,t)d3v12nbdbgAt . (374) / cř3v1/(x,v1,í)/(x, v,í)2tt|vi - v|2tt6Aí = Coutd3vAt . (375) 73 Podobným způsobem můžeme určit i hodnotu Cjn, která udává přírůstek počtu částic v intervalu cř3v. Jedná se o inversní proces k původnímu procesu, kdy částice, s počátečními rychlostmi v', v[ a se srážkovým parametrem s. Pak zjevně dostaneme J d3Vdsf(x, v'1; ť)/(x, v', t)2ngbdVAt = Cind3vAt . (376) Je podstatné, že počáteční a konečné rychlosti jsou řešením dynamického problému a tedy jsou vstáhnuty kanonickým zobrazením. Pak Liouvillův teorém dává ďVďVi = ďVďVi . (377) Samozřejmě, pro platnost tohoto teorému je důležitý předpoklad, že můžeme uvažovat srážku dvou částic jako izolovaný proces, kdy nemusíme brát do úvahy vliv ostatních částic. Jestliže tedy dáme všechny tyto výrazy dohromady, dostáváme slavnou Boltzmanovu rovnici 9í/(x,v,í)+vV/(x,v,í) = = J dv1ds2ngs (/(x, v',í)/(x, v[,t) - /(x, v,í)/(x, v1;í)) . (378) K analogickému výsledku můžeme dojít s pomocí definice účinného průřezu, kdy my víme, že a = -*r' (379) kde a (v, Vi| v', v'x) je diferenciální účinný průřez. Zákony zachování energie a hybnosti s požadavek, že rozptyl se uskuteční do daného prostorového úhlu díl určuje čárkované proměnné. Poznamenejme také, že v procesech, kde dochází k rozptylu molekul, předpokládáme, že tyto procesy jsou reverzibilní, tedy mohou probíhat i opačným směrem. Matematicky se toto vyjadřuje jako o-(v', v;|v, vi) = o-(v, vi|v', v!) . (380) Dále víme, že element prostorového úhlu Q je roven dVt = d(f)Án6de (381) a pak tedy dostaneme „ = ^ . (382) sin v dtí 74 Pak je konečně zřejmé, že můžeme vyjádřit sds pomocí diferenciálního účinného průřezu a tedy integrace přes 2irsds nahradíme integrací přes prostorový úhel díl a tím dostaneme Boltzmannovu rovnici ve tvaru Jt +V'V/ + ^'!v" = / d3vi / d^)\v-^\U'fi-fh)=CU) (383) kde pro jednoduchost zápisu jsme zavedli notaci / = /(x,v,í) ,f1 = f(x,v1,t) ,/' = /(x,v',í) JI = (x,v'1,í) . (384) a kde jsme nahradili x = v a F = mv, Je důležité zdůraznit, že F zahrnuje vnější sílu, jako například gravitaci, a ne mezičasticové interakce, které jsou modelovány srážkami, a tedy srážkovým integrálem. V předchozím zápisu jsme také předpokládali, že diferenciální účinný průřez je funkcí prostorového úhlu Q, tedy a = 0. (410) 81 Boltzmannova kinetická rovnice, která byla odvozena v roce 1872, byla tak úspěšná a je tak důležitá, že je z ní možné zavést entropii a také to, že entropie roste s časem. Jinými slovy Boltzmannova teorie byla první teorií, která vysvětlovala nevratnost na mechanické úrovni. Tato teorie je také známa pod pojmem H-teorem, protože Boltzmann použil funkci H = — s(x, t). O H teorému budeme hovořit dále. Uvažujme homogenní systém, kdy rozdělovači funkce /(x, u, t) není funkcí x. V tomto případě zavedeme budeme používat symbol 0(v, t) pro homogenní rozdělovači funkci. Přesněji, víme, že rozdělovači funkce / je normována následujícím způsobem N = J d3xd3u/(x,u,í) . (411) V případě homogenní rozdělovači funkce tato normovači podmínka dává N = V J d3uf(u,t) (412) a pak je tedy vhodné zavést funkci F(u, t) definovanou jako f(u, t) = n0 (421) : Důkaz Vidíme, že máme dvě možnosti. První, když x — y > 0 pak máme ^ > 0 a tedy ln £ > 0 c ž/ J y dostáváme, že | < 1 a ť Pak dostaneme výsledek | > 0 a tedy ln | > 0 což dokazuje tuto rovnici. Naopak, pro x — y < 0 dostáváme, že | < 1 a tedy ln | < 0, což opět dokazuje předchozí rovnici. dts(t) > 0 . (422) Maxwellowo rozdělení Původní odvození této rozdělovači funkce bylo provedeno Maxwellem s použitím předpokladu isotropie. Uvažujme rychlosti v x— směru, a předpokládejme, že jejich rozdělení je dané rozdělovači funkcí F(ux), která je normalizována jako /oo F(ux)dux = 1 -oo Princip isotropie říká, že zde není nic speciálního, co se táká x— směru, rychlosti v y— a v z— směru mají stejné rozdělení. Pak dostáváme, že pravděpodobnost, že najdeme částivic v intervalu duxduyduz je rovna 1 —f (u)duxduyduz = F(ux)duxF(uy)duyF(uz)duz (423) Na druhou stranu, jestliže / je isotropní distribuce, pak by měla záviset pouze na velikosti rychlosti, tedy ±/(u) = M + u2y + u\) = F{ux)F{uy)F{uz) . (424) Z toho dostáváme, že součet argumentů u2 v argumentu funkce / musí odpovídat součinu F(uí)', a to je možné pouze když funkce F(ux) je exponenciální funkcí u2 F(ux) = A1/3e-Bu* => /(u) = nAe-Bi-u"+u2y+u^ = nAe-Bu2 . (425) Konstanta A může být dán podmínkou normování funce F tak, aby byla rovna jedné. Abychom našli hodnotu parametru B, musíme určit střední hodnotu kinetické energie < ^mu2 >= ^KbT, které pak dává ^H^T^(-ä) (426) 84 Nyní ukážeme, že Maxwellovo rozdělení je řešením Boltzmannovy rovnice jako její rovnovážné řešení. Uvažujme homogenní plyn bez externích sil. Aby toto řešení bylo rovnovážné, pak dts = 0 a tedy dostáváme 0(u',í)0(uí,í) = 0(u, í)0(ui,í) => ln0(u',í) + ln0(uí,í) = ln0(u, ť) + ln0(ui,t) . (427) , Tento výraz pro Maxwellovo rozdělení dává u'2 + u'2 = u2 + u'2 (428) což je samozřejmě splněno v případě pružných srážek. Nyní budeme uvažovat obecnější případ nehomogenního systému, kdy / = /(x, u, t), kde ale pro jednoduchost nebudeme uvažovat interakci s vnějším polem. Nyní zavedeme lokální hustotu entropie jako pole s(x, t) = -kB J ďW3yč(x - y)/(y, u, t) ln /(y, u, t) + b . (429) Pak zjevně dostaneme dts(x,t) = -kB J dV3u5(x-y)[ln/(y,u,í) + l]<9í/(y,u,í) (430) což odpovídá obecnému předpisu provedenému v předchozí části, jestliže identifikujeme /3(y,u) = -fcB[ln/(y,u,í) + l] . (431) Samozřejmě ale vidíme, že toto není dynamická veličina, protože jednak explicitně závisí na čase, a dále je to veličina, která je definována pomocí rozdělovači funkce. Na druhou stranu jestliže použijeme Boltzmannovu rovnici, pak dostaneme cřV3u5(x-y)/3(y,u,í)[-^ —/(y,u,í) + /C/(u,y,í)] = (432) kde ^)(x,t) = J rfV^(x-y)^(^u'žl7(y,u,ŕ) (xf(x,í) = J dVV(x-y)/C/(y,u,í) (433) 85 a kde také budeme psát #;(x,ť) = #,(x,ť) + Ä(x,ť), *.(x,t) = -*fl/A«ŕUí(x-y)uln/(y,u,í)/(y,u,í), (f)Sjí(x,t) = -kB J d3yd3uó~(x - y)uif(y,u,t) . (434) Nyní vypočítáme příspěvek o's <7«(x,t) = -fcB / rfVWfr - y) ' r) ^/(y, u, t) = =-kB J d3yd3uó(x-y)ui—f(y,\i,t) = =-kBd,t Jd3yd3uó(x-y)uif(x,y,t) (435) a my vidíme, že tento příspěvek kompletně vyruší divergenci <9j0Sjj. Pak tedy dostáváme 0. (437) Jinými slovy, opět jsme dostali druhý termodynamický zákon v lokálním tvaru. Mikroskopické procesy na molekulární úrovni jsou reverzebilní, tedy mohou probíhat i v opačné časové posloupnosti, na druhou stranu makroskopické procesy nejsou. Když například rozdělení rychlosti relaxuje do Ma-xwellova rozdělení v důsledku srážek, pak je tento proces ireverzibilní. Je také zajímavé, že když jsme odvozovali Boltzmanovu rovnici, tak jsme předpokládali reverzebilitu na mikroskopické úrovni. Přesto můžeme ukázat, že vedou k ire-verzibilním procesům na makroskopické úrovni. Z odvození zákona růstu entropie aké ukazuje, že příčinou růstu entropie je pouze srážkový člen, zatím co volný pohyb a případné efekty vyvolané středním polem, jsou vratné procesy, které nemají vliv na růst entropie. 86 Je dobré podrobněji popsat, co myslíme nevratnými procesy, které můžeme rozdělit na dvě základní třídy. Jako přiklad procesu, který spadá do první třídy, uvažujme shluk vzájemně neinteragujících částic, které jsou na počátku lokalizovány v koutě krychle s dokonale odrážejícími stěnami. Předpokládejme, že částice mají na počátku rychlosti distribuované kompletně náhodným způsobem. Je jasné, že za nějaký dostatečně dlouhý časový interval částice, které jsou v daném shluku, jsou rozprostřeny spojitě po celé krychli díky volnému pohybu částic, kdy dopadají a odrážejí se od stěn. Zdá se, že se tento proces jeví jako nevratný. V závislosti na počátečním stavu daný systém se blíži ke stavu s homogenní hustotou částic, kde čas, který je potřebný k dosažení homogenní konfigurace, silně závisí na počátečních podmínkách. Například, jestliže budeme mit dostatečně široký interval počátečních rychlostí, pak homogenní stav dostaneme tím rychleji. Z mikroskopického pohledu je zřejmé, že volný pohyb částic nemá vliv na rozložení rychlosti, neboť částice se spolu nesrazí a jejich srážky se stěnami jsou dokonale pružné. Tento nevratný proces se také nazývá proces s fázovým míšením, které jsou charaktristické absencí určité časové škály, jenž nezávisí na počátečních podmínkách. Je zřejmé, že v takových procesech nedochází k růstu entropie. Položme si nyní otázku, co se stane, když připustíme srážky mezi částicemi. V takovém případě díky neregulérnosti a velkém množství srázech brzy dojde ke ztrátě informace o počátečním rozložení rychlostí. V tomto případě proces rozprostření v prostoru má jiný charakter (difúze), protože je nyní určen specifickými vlastnostmi interakce mezi částicemi a také obecnými vlasnostmi, jako je hustota a teplota. Tyto specifické parametry udávají relaxační čas, který je nezávislý od počátečního stavu systému. Rozdělení rychlostí se blíží k Maxwellovskému rozdělení a daný proces je spojen s růstem entropie.Tyto procesy se také někdy nazývají jako procesu disipatického typu. Je velice zajímavé, že jsme vyšli z předpokladu reverzibilní mikroskopické fyziky, ale končíme s veličinou H, která má nesymetrický časový vývoj. Můžeme to interpretovat jako objevení šipky času. Je dobré poznamenat, že H teorém někdy není interpretován jako růst entropie S. Zde, H je definována pro jednosloškový plyn, zatím co entropie může být definována pro komplikovanější systémy, běžná definice entropie je definována pouze pro systémy v termodynamické rovnováze či ve stavu ji blízké, zatím co H je definována pro nerovnovážné systémy. S existencí H theorému je spojen následující paradox. Předpokládejme, že v jednom časovém okamžiku obrátíme rychlosti částic v plynu. Pak částice 87 budou sledovat své původní trajektorie. To znamená, že jestliže jsme původně měli > 0 tak v situaci, která probíhá v opačném pozadí, bychom měli mít < 0, což je zřejmý paradox. Vysvětlení tohoto paradoxu leží v předpokladu týkající se dokazování H teorému. Implicitně jsme předpokládali, že neexistuje korelace mezi částicemi před jejich srážkami. Toto je známé jako molekulární chaos a tento předpoklad je implicitně skryt ve statistické formulaci interakcí pomocí sázkového účinného průřezu. Je jasné, že nemůžeme předpokládat, že molekuly nejsou v korelaci po srážkách. Tedy, v situaci, která by měla probíhat opačným směrem, molekuly nejsou nezkorelované po jejich srážkách, a tudiž předpoklady, které jsou skryté za odvozením Boltzmanovy rovnice, neplatí. Takže, ve skutečnosti, šipka času v Boltzmanově rovnici byla implicitně zvolena předpokladem, že rychlosti částic jsou nezkorelované před srážkami. 3.6.1 Poincarého theorém S pojmem nevratnosti úzce souvisí tz Poincarého rekurentní teorém, který říká, že trajektorie systému ohraničeného izolovaného systému o konečné energii se, po dostatečně dlouhé době, přiblíží libovolně blízko své počáteční pozici. Nastíníme stručný důkaz tohoto teorému. Uvažujme počáteční stav systému ve fázovém prostoru z0 = (qo,Po) a tento bod je obsažen v množině fázového prostoru Qq. Pak se systém vyvíjí na povrchu daným podmínkou konstantnosti energie. Pak tento teorém říká, že za dostatečně dlouhou dobu se systém opět dostane do množiny Qq. Nechť T je operátor, který propaguje Qq za jednotku času. Pak díky Liouvillovu teorému mají stejnou míru. Jestliže se tyto množiny neprotnou, pak povrch, na kterém se pohybují, by měl nekonečnou míru, což jev rozporu s předpokladem. Pak tedy můžeme psát pro nějaká přirozená čísla k, n. Dále, díky jednoznačnosti trajektorií dostáváme, že T je bijektivní zobrazení, což nám dovoluje psát Qq, ŤQq, Ť^Qi ■0 (439) (440) 88 Jestliže nyní budeme působit s T n na (439) dostaneme f-n(fk p| fnQ^ = f-nQ ^ Q (441) a když použijeme (440) dostaneme Ťk-nQ0f]Q0^0 . (442) Jinými slovy, za k — n časových jednotek množina í~ž0 má konečný průnik sama se sebou. Nyní, jestliže vezmeme míru í~ž0 libovolně malou, dostaneme Poincarého teorém. Je zřejmé, že tento teorém je založen na následujících předpokladech. Předně systém musí být omezen, například v případě mechanického systému musíme požadovat, aby tento systém byl v ohraničené prostorové oblasti, jinými slovy namůžeme dovolit, aby trajektorie částic směřovaly do nekonečna. A dále, musí platit Liouvillůt teorém. Je také zřejmé, že systém nemusí projít celým fázovým prostorem dříve, než se vrátí do původního stavu, kde systémy, které pokryjí celý fázový prostor během svého vývoje, se nazývají ergodickými systémy. 3.6.2 Boltzmannova a Gibbsova Entropie V předchozí části jsme definovali entropii pomocí rozdělovači funkce kinetické teorie. Nyní stručně podáme obecnější definici. Gibbsova entropie TÍn je definována pomocí A^—časticové rozdělovači funkce f n jako Abychom určili časový vývoj této veličiny, vyjdeme z Liouvillovy rovnice i=l (443) dfN + {fN,H} = 0. (444) dt 89 Pak časový vývoj této entropie je roven llpxA^l + ln/, at / -LJ- i=l r N / l[d3^d3p,t{fN,H}(l + \nfN) J i=i ÍTJ^ sr^ fdfN Pí dfN dV\ yndx,dp,g(^——.-j(1+ln/, i=l n n 'n í—' \ (7x. m í)d. (7x. / ' i=l n n 1 dfN\nfN dV dfN\nfjs (445) n^3 j3 / 1 vjníííJN uv ujniiíjn\ d *id pi >-----Pí ------- = 0 ^ \m dxi <9xj Op,, > kde jsme použili {fN,H} = J2Í i=l ^ 'dfN p, dfN av\ (44g) <9xj m dpi <9xj J a dále integraci po částech. Vidíme tedy, ze Gibbsonova entropie se zachovává a tedy splňuje reverzibilní rovnici. Tato entropie je vstáhnuta k termodynamické entropii následujícím způsobem S = -kBUN (447) což je kinetická definice entropie izolovaného systému. Druhý termodynamický zákon nám říká, že AS* > 0 pro izolovaný systém kdy rovnost platí pro reverzibilní procesy. Protože Liouvillova rovnice je reverzibilní, dostaneme, že výsledek S = konst je v souladu s druhým termodynamickým zákonem. V případe, kdy neexistují korelace mezi částicemi, máme n f n = ii m (44í i=l a tedy n n n n n n ^ = Žíl/ Ild3x^3Pfcŕl/i(j)ln/i(í) = = NU (449) i=l j=l k=l j=l i=l 90 kde U = J ťŕWp/iln/i . (450) Jak jsme viděli, pak kinetická rovnice dává Íri < 0 jako důsledek srážek v tekutině. Jinými slovy řečeno, při sledování jednočásticové funkce dostaneme, že daný proces je ireversibilní, na rozdíl od plného dynamického popisu, který je reversibilní. 3.6.3 Kolizní invarianty V této kapitole budeme definovat operátory, které mají význačné vlastnosti vhzhledem k časovému vývoji systému. Poznamenejme, že kolizní integrál je definován jako J(f) = J d3uľ J díí^u - Ul|(/7Í - //i) . (451) Budeme definovat operátor j[0(u)] = Jd3uj(/)0(u) = Jd3u Jd3Ul Jdniu-mK/'/í-z/o^u) . (452) Změna proměnných (u, ui) —> (ui, u) (453) dává J(0(u)) = J(0(Ul)) . (454) Jako další krok uvažujme operátor J(0(u')) = 1^1 d3ui J d^\u ~ uiK/7í " //i)0(u') (455) Poté změna proměnných (u, ui) —> (u',^) má jednotkový Jakobián jako důsledek Liouvillova theorému pro dvoučásticový systém, což nám dává d3ud3u[ = d3ud3Ul . (456) Dále je také jasné, že |u — ui|řrdíž je invariantnní vůči této transformaci a pak dostáváme J(0(u')) = J d3u' J d3^J díl'g'\u-u'1\(ff1-ff[)(f>(u') = -Í((f>(u)) . (457) 91 Konečně, změna proměnných (u'1;u') —> (u', u^) dává J(0(u')) = /(0K)) . (458) Když nyní zkombinujeme všechny tyto relace, dostaneme 4/(0(11)) = /(0(u)) + J(0(Ul)) - J(0(u')) - 1(0«)) . (459) Konečně, díky linearitě operátoru J, můžeme tento výsledek přepsat do tvaru J(0(u)) = i/(0(u) + 0(Ul) - 0(u') - 0K)) . (460) Nechť x(u) je srážkový invariant, t.j. X(u)+XN = X(U')+XK) • (461) Pak pro tuto veličinu dostáváme z (460) J(0) = 0 . (462) Nechť x(u) je veličina, jenž se zachovává při srážkách. Pak je jasné, že obecná funkce, která se zachovává při srážkách, má tvar f(u) = C0 + J2xr(n) . (463) r kde Xr jsou všecny nezávislé veličiny, které se zachovávají při srářkach. Zákon zachování energie a všech tří komponent hybnosti implikují /(u) = C0 + ClU2 + C2xux + C2yUy + C2zmz = -B(u - u0)2 . (464) Je zřejmé, že existence pěti nezávislých srážkových invariantů je obecným důsledkem kinetických rovnic, protože jsou svázány s dynamickými zákony zachování počtu částic, energie a hybnosti při srážkách. Tyto zákony nám říkají, že jedna molekula během srážky ztrácí hybnost a energii, zatím co druhá je získává. Na druhou stranu srážkový invariant potřebuje trochu obecnější přístup. Uvažujme zdrojový člen ve tvaru (xf)(x) = j d3udV(x-y)0(u,y) J dílag(f f[ - f h) = = J dld25(x-y)^(u,y)5(y-yi) J dQag(f(y, u', ŕ)/(yi, iľ1; t) - f (y, u, ŕ)/(yi, u1; t)) (465) 92 kde jsme zavedli integraci přes y1? abychom dostali symetrické fázové body. Je zřejmé, že výraz se nezmění, jestliže zaměníme 1 a druhou fázovou proměnnou oo. Například, toto platí pro rozdělovači 95 funkcí exponenciálního typu. Poté, když zadefinujeme pro libovolnou veličinu Q n(Q)= í (fuQf (481) dostáváme rovnici, která určuje časový vývoj veličiny (x) |(nW» + ^(»W)-n(«<§)^(^)-i(^).0. (482) Tato rovnice nám říká, jak hustota nx = n (x) libovolné veličiny jenž se zachovává v dvoučásticových srážkách, se vyvíjí v čase. Tato forma rovnice se bude často opakovat při odvození hydrodynamických rovnic 3.8 Odvození hydrodynamických rovnic Rovnice (482) určuje přechodod mikroskopického popisu (pomocí molekulární veličiny x) k makroskopické veličině, dáné množstvím veličiny x v jednotkovém objemu, n (x). V následujícím budeme předpokládat, že síla F nezávisí na rychlostech. Rovnice zachováni hmoty Tato rovnice vyjadřuje zachování hmoty ve srážkových procesech. Jinými slovy předpokládáme, že x = m- Pro tuto volbu (482) má tvar — {nm) + -(m {u')) = 0 . (483) kde jsme využili faktu 1 / Tfli ľ (m) = - / d3ufm = — d3uf = m . (484) n J n J Jestliže zadefinujeme hustotu hmoty jako p = nm (485) pak rovnice (483) má tvar rovnice spojitosti ^ + V-(pv) = 0, (486) kde v = (v) je střední rychlost částic. 96 Zákon zachováni hybnosti Nyní uvažujme \% = Ttiiŕ. Pak dostáváme 0 d ■ I du% \ 0 = —(nm(uY) + ——: (nm (u^u1)) — n ( ——r) dtv w ' dx3 x ' \ dvP / d d (487) kde jsme použili |^ = ô* a dále skutečnosti, že pro sílu, která nezávisí na rychlostech, máme (Fi) = - í d3uFif = — í d3uf = Fi . (488) n J n J zavedeme tensor tlaku definovaný vzhledem ke klidové soustavě ptj =m d3uulujf = n (mu1 v?) . (489) Pak momentová rovnice má tvar hw+eŕ-i*'- <490> Zákon zachováni energie V případě, kdy máme jednosloškový plyn, translační kinetická energie se zachovává při srážkách a můžeme tedy uvažovat X = \mu2 . (491) Pak definujeme ex jako střední hodnotu kinetické energie /Tfli I 1 d3\i—u2f(u,x,í) =n( -mu Pro tuto veličinu má momentová rovnice tvar (492) r^ä?'9*'-™^™^ 0 (493) 97 což dává známý výsledek ž-(eK) +-^(q*) =-Z-rvi , (494) ot oxl m kde jsme zavedli vektor toku energie 771 q% = I d3u-M2«7 . (495) 3.8.1 Relativistické makroskopické proměnné Nyní přepíšeme tyto zachovávající se rovnice pomocí více fyzikálních relativních proměnných, což jsou proměnné odpovídající odchylce od středních hodnot. Označíme odchylku vektoru rychlosti od střední hodnoty pomocí symbolu c c = u - v . (496) Pak definujeme relativní tensor tlaku, Pij = m J (řuédf = p ((?/ - v1)^ - vj)) = = p((itV) - (ui)vi - v1 (uj) + (wV)) = = p((wV) - -uV - v>vl + -uV) = p((wV) - -uV) (497) a tedy p (MV) = pij = Pij + pvlvj . (498) Stejným způsobem definujeme relativní tok tepla Q1 = J d3u^mc2cl(řvL = n (^mc2c^j (499) explicitně dostaneme Ql = l cřvi{—u2ul - —u2vl - mujulVi + mu3 v3 v1 + — v2ul - —v2vl) = ^ J v 2 2 3 2 2 ' = q{ - vleK - PijVj + pv2vi . (500) 98 Dále zavedeme vnitřní energii e(x,t) = Jd3u^mc2f(u,x,t) (501) která souvisí s energií následujícím způsobem 771 I 1 e = — / d3u(ul - v1)(uí - Vi)f = eK - -pv2 . (502) Pak také máme = + v*e + pvVj +vlí-v2 . (503) Z (498) vidíme, že absolutní tlak je větší než relativní, na druhou stranu toto není to, co my myslíme tlakem. Tlak měříme v souřadnicové soustavě spojené s tekutinou, jinými slovy je to tlak, který nezávisí na makroskopické rychlsti v. Nyní, když použijeme (498),(500) a (502) v rovnicích (490) a (493) tak dostaneme ot ot ox1 ox1 ox1 m (504) kde jsme užili faktu, že výraz vl(dtp + di(pvl) je roven nule jako důsledek zákonu zachování. —e + — i - —Flv dt K dx'1^ m 1 dte + d4 + diiv'e) + PijdiVj + + \v2 (dp + dt(pvt)) + -vodiví + tfditf) + diPij - ^Fj] = 0 => dte + d4 + ditfe) + PijdiVj = í (505) 99 3.8.2 Souhrn momentových rovnic Závěrem dáme přehled všech momentových rovnic dp djpv') = Q dt dx% ' gvi gvi igpij pi dt dxi p dxi m ' dte + d4 + ditfe) + PijdiVj = 0 . (506) Vidíme, že máme pět rovnic. Neznámými jsou následující momenty rozdělovači Vidíme, že máme 1+3 + 6 + 1 + 3 = 14 neznámých funkcí. Z toho vidíme, že momentové rovnice netvoří dynamickou teorii kapalin. V principu bychom mohli zavést více momentových rovnic tím, že vezmeme vyšší momenty Boltzmanovy rovnice. Na druhou stranu tyto rovnice by vždy zavedly vyšší momenty distribuční funkce díky členu iŕdif v Bolt-zmanově rovnici. Jinými slovy musíme najít způsob, jak nějakým způsobem získat dynamickou teorii kapalin z kinetické teorie. Jinými slovy, abychom odvodili dynamickou teorii kapalin, musím najít vztahy mezi 14 neznámými p, v\ , e a q% takovým způsobem, že dostaneme uzavřený systém rovnic. Nejdříve musíme zdůraznit, že srážky jsou jediný způsob předávání hybnosti a energie v tekutině, která je složena z neutrálních částic, což je podstatné pro její vlasnosti. 3.8.3 Teplota:Variace distribuce rychlosti Teplota tekutiny, který je tvořen molekulami bez vnitřních stupňů volnosti, je dán výrazem funkce / (507) 100 Význam definice teploty dané touto rovnicí je následující. Uvažume molekuly, které jsou všechny v klidu. Nechť se tekutina pohybuje jako pevné těleso s rychlostí v. Vidíme z rovnice (508), že v tomto případě T ~ e = 0, což je očekávaný výsledek. Vidíme také, že (508) může být přepsána do tvaru n ! 2 m (u - (u))2) , (509) která dokazuje, že 3fc^T je míra variace hustoty pravděpodobnosti rychlosti. Je zřejmé, že můžeme obecně definovat další makroskopické proměnné k již definovaným n, v, T, e, Q\ , například následující tensor nAilÍ2,...,in = JGř3u/(c,x,t)cixci2 ...cin . (510) kde proměnná A(x, t) je tensor n—tého řádu ve třech dimensích. 3.8.4 Statistická rovnováha Vrátíme se opět k obecné analýze Boltzmanovy rovnice a budeme zkoumat otázku, za jakých podmínek dojde k vynulování kolizního integrálu. Vidíme, že toto je splněno za předpokladu, kdy ff[ = ffi ■ (511) Tato podmínka se nazývá podmínkou statistické rovnováhy. Explicitně, tato podmínka říká, že množství částic, které přitečenou do elementu CXD dxxe-{x-v)2/h = / dx(x - v)e-{x-v)2/h + t/ —CXD +v / dxe-(x-v)2/b = vVb^ . (515) Je nutné rozlišit dva druhy Maxwellovského rozdělení: Absolutní Maxwellovské rozdělení, které označíme jako J'q, kde n,v,T jsou konstantní, a Lokální Maxwellovské rozdělení, které označíme jako /°, kde n,v,T závisí na souřadnicích x a čase t. Je ale zřejmé, že toto není rovnovážná distribuční funkce, neboť i když je srážkový člen roven nule pro toto rozdělení, tak ještě stále neplatí dtf = 0, protože víme, že časový vývoj rozdělovači funkce je jednak zapříčiněn srážkovým členem, a jednat členem v kinetické rovnici, který obsahuje tok a dále interakci s vnějším polem. 102 Nyní přijdeme k důležitému závěru, který říká, že lokální Boltzmanovo rozdělení je rovnovážně rozdělení ve smyslu, že pro něj platí f(/°H0. (516) Abychom toto ukázali, budeme uvažovat obecnější formu Boltzmanovy "H-funkce U = J d3xd3u/(x,u,ť)m/(x,u,ť) . (517) Víme, že když necháme tekutinu v klidu samu o sobě, během určitého časového okamžiku se tento systém dostane do stavu termodynamické rovnováhy. Tento jev je právě popsán klesáním H funkce. Když nyní provedeme derivaci této funkce, dostaneme ™= J d3xd3u(l + \nf)dtf (518) Jestliže nyní použijeme Boltzmanovu rovnici, dostanem f = - / ,3X,3U + I*Q (1 + ln/) + J Míl + ln/) = = J d3x/(l + ln/) , (519) kde jsme použili í d3xd3uu^-(l + ln J) = í d3xd3uď(u/ln/) = í d3u í uHflnfídSi -> 0 J «9x J <9x J JSoo íd3xd3u-^-(l + \nf)= íd3x f d3u-^-^- = [d3x [ —/ln fdS,t -> 0 J J J m u J Js(uU m (520) Kde jsme předpokládali, že funkce / se blíží nule na hranici daného objemu, což je dané sférou Soo a také, že funkce / se blíží nule na hranicích rychlostního objemu. Nyní s použitím předchozím úprav dostáváme 4/(1 + ln /) = 7(1 + ln /) + 7(1 + ln A) - 7(1 + ln /') - 7(1 + ln f[) = /(ln4fU-/ (\nf[f fífj V fif (521) 103 Nyní diskuse stejná jako v předchozí části dokazuje platnost H-teorému pro obecnou rozdělovači funkci, která splňuje Boltzmanovu rovnici. Vidíme, že jak absolutní, tak lokální Maxwellovské rozdělení splňují, že srážkový člen je roven nule a tedy pro ně platí Z tohoto důvodu mohou být obě rozdělení nazvány jako rovnovážné distribuční funkce. Na druhou stranu termodynamická rovnováha pro tekutinu, která není vystavena vnějším polím, implikuje, že všechny makroskopické veličiny jsou konstantní. Z tohoto důvodu je tato situace popsána pomocí absolutní Maxwellovské rozdělovači funkce J'q. Můžeme ale předpokládat, že před dosáhnutím termodynamické rovnováhy, plyn je ve stavu lokální teplotní rovnováhy, a tedy je popsán pomocí lokální Maxwellovské rozdělovači funkce f°. Jinými slovy můžeme si představit situaci, kdy máme tekutinu v obecném stavu. Během časového vývoje, při kterém neprovádíme na dané tekutině nějaké vnější zásahy, dochází k poklesu "H funkce až do té doby, dokud stav systému je popsán pomocí lokální Maxwellovské rozdělovači funkce, kdy je ustanovena lokální termodynamická rovnováha v každém malém objemu tekutiny, zatím co tekutina jako celek se nenachází ve stavu globální termodynamické rovnováhy. Poté bude docházet k dalším procesům uvnitř tekutiny, kdy dochází k relaxaci všech makroskopických veličin do stavu, kdy tyto veličiny mají konstantní hodnoty v celém objemu tekutiny. Poté se tekutina nachází ve stavu globální termodynamické rovnováhy. 3.8.5 Lokální termodynamická rovnováha a makroskopické proměnné Ukázali jsme, že lokální Maxwellovské rozdělení splňuje podmínku lokální termodynamické rovnováhy, což má za následek, že srážkový integrál je roven nule. Na druhou stranu, jestliže vložíme toto rozdělení do Boltzmanovy rovnice, je jasné, že levá strana je nenulová pro obecné hodnoty parametrů. Na druhou stranu je zřejmé, že prostorová a časová závislost lokálního Ma-xwellovského rozdělení je vyjádřena prostřednictvím funkcí n, v,T, vidíme, že abychom našli kompletní lokální rovnovážné řešení je dostačující najít závislost těchto funkcí na prostorových souřadnicích. Dále také ukážeme, že lokální Maxwellovské rozdělení je důležitý prvek v Chapman-Enskogově rozvoji Boltzmanovy rovnice. V tomto procesu f° jako řešení nejnižšího řádu, kde n, v a T jsou funkcemi x, t. 0 . (522) dt dt 104 3.8.6 Barometrická rovnice Uvažujme, že máme tekutinu ve vnějším poli, které je konservativní a tedy se dá vyjádřit pomocí skalárního potenciálu <9$ (523) Označíme rovnovážnou distribuci pro tuto konfiguraci jako f0 a budeme dfo dt požadovat, že ^ = 0. Zbývající členy na levé straně rovnice dávají dfo , Fofr o mv <9x m dul dfo = d$dfo <9x <9x <9v 0 (524) Budeme předpokládat, že obecnější forma řešení statické rovnováhy má tvar -A(v - v0)2 + \nB- 2Aý(x) In f o m (525) Je zřejmé, že toto řešení splňuje podmínku statické rovnováhy (511). Na druhou stranu dosazením do levé strany Boltzmanovy rovnice dostáváme — ■u= — -(u <9x <9x (526) a my vidíme, že můžeme ztotožnit i/j(x) = $(x) za předpokladu, když ^ • v = 0. Když poté budeme postupovat standartním způsobem dostaneme rozdělovači funkci ve tvaru fo n0 (2nkBT0y/2 exp [m(u - v)2/2 + $(x)] kBTo (527) kde nyní n0, v a T0 jsou konstanty. Je také důležité, že v je normální k V$. Díky této rozdělovači funkci můžeme určit rovnovážnou hustotu částic jako $(x)- n(x) = J cř3u/o(x, u) = uq exp (528) 105 která nám říká, že n0 je hodnota hustoty částic v bodě, kde $(x) = 0. Rovnovážná teplota je dána výrazem -fcBT(x)n(x) d3u-m(u - v)2/0 3n(x)T(x) = 3n0T0exp £(x)' (529) Jestliže do předchozího výrazu dosadíme hodnotu hustoty částic n(x, t), kterou jsme určili v (528), dostaneme 3n(x)T(x) = 3n0T0 exp 3n(x)T (530) z čehož plyne, ž můžeme stotožnit Tq s T. Nakonec tedy můžeme psát /o(x,u) n(x) exp (u-v)ž 2kbT (531) (27T/ÍBT)3/2 Pro homogenní gravitační pole dostáváme $(x) = mi/(z - 2b) . (532) Vložením tohoto potenciálu do předpis pro hustotu částic dostáváme mg(z - Zq)' n(z) = n0 exp kBT (533) Tento exponenciální úbytek hustoty částic je znám jako barometrická rovnice. 3.9 Transportní koeficienty 3.9.1 Odezva na poruchy Uvažujme systém, který je v rovnováze s odpovídajícími konstantními hodnotami n,v,T. Jakmile se objeví vnější poruchy, tyto hydrodynamické veličiny se změní odpovídajícím způsobem. Z pozorování je jasné, že tekutina odpoví 106 na tyto změny takovým způsobem, kterým se snaží obnovit rovnováhu. Tedy, když definujeme 1Z jako odezva, dostaneme 1Z[dtn] = nví U[diVj] = Sij n[dtT] = Qt (534) Jinými slovy, pohyb tekutiny je odpověď na objevení gradientu hustoty, komponenty deformačního tensoru jsou odpovědí na objevení se gradientů v rychlosti tekutiny. Dále, teplotní tok je odpovědí na vznik gradientu teploty. Koeficienty, které vyjadřují úměrnost mezi gradienty poruch k odpovídajícím tokům, se nazývají transportní koeficienty. Koeficient difúze Tento koeficient se vyskytuje v relaci odezvy mezi gradientem hustoty a rychlostí a má tvar nv = —DVn . (535) Tento vztah nám říká, že při objevení změny hustoty v kapalině od homogenní k nehomogenní konfiguraci, začne v tekutině probíhat transport částic proti růstu hustoty částic, jinými slovy řečeno tok probíhá takovým způsobem, aby došlo k obnovení homogenní konfigurace. Termálni kondukce Tento koeficient se vyskytuje v relaci Qt = -ndiT . (536) Intepretace tohoto vztahu je stejná jako v předchozím případě. V případě objevení nehomogenity v rozložení teploty dochází k transportu tepla z místa s vyšší teplotou do oblasti s nižší teplotou, kde transport teplaje zprostředkován tokem Q i. A konečně, koeficient viskozity odvedeme z následující úvahy. Je užitečné rozepsat tensor tlaku ve formě pij = 5l]p - Sl] . (537) V tomto výrazu, p je skalární tlak a SÍJ označuje komponenty tensoru tlaku, které odpovídají jako odezva na gradient rychlosti. Předpokládáme, že SÍJ splňuje následující dvě vlastnosti 107 SÍJ neobsahuje jiné členy než diUj, protože požadujeme, SÍJ = 0 za předpokladu, když diUj = 0. Dále požadujeme, aby platilo SÍJ = 0 pro tekutinu v rovnoměrném rotačním pohybu. Rovnoměrný rotační pohyb je charakterizován kon-statním vektorem úhlové rychlosti íl% tak, že makroskopický pohyb elementu kapaliny je dán v = O x x . (538) Tato vlastnost nám říká, že SÍJ = 0 pro v = O x x. Tensor, který toto splňuje, má obecný tvar dxi + dxi J «( — + —)+ , (539) kde a a b jsou libovolné konstanty. Toto vyplývá z následujícího — + — (pro v' = e^%xk) = eifeí93-(í)ferrř) + e^d^m) = = eiklVLk5] + ejklnkôl = etkjQk + ejkiQk = etkjQk - etkjQk = 0 (540) a také d.tv% = eijknjdi(xk) = e^íl^ = ekjkíl3 = 0 . (541) Pomocí tohoto výrazu dostáváme, že můžeme napsat tensor Sij ve tvaru *-íô*&-Wä)*«£- (542) Konstanty, které vystupují v tomto výrazu, jsou i], známá jako koeficient smykové viskozity, zatím co ( je koeficient objemové viskozity. Poznamenejme také, že tekutina je nestlačitelná, jestliže platí diV1 = 0. Tensor můžeme také napsat s pomocí symetrického deformačního tensoru kde z definice dostáváme TrA = A^ô1"1 = diV1. Pak můžeme napsat tensor tlaku ve tvaru Píj = gijp _ Síj = ôíjp _ 2r](Aij - -ôijdkvk) - (ôijdkvk (544) 3 108 která má následující vlastnost TrPij = Pijôji = 3p- 2r](TrAij - diVl) - 3(0^ = 3p - 3(0^ , (545) která, v případě nestlačitelné tekutiny, má tvar TrPij = 3p . (546) Síla, která působí na element tekutiny okolní tekutina, je vyjádřena tensorem tlaku Pz:>, který pro nestlačitelnou tekutinu má tvar pij = Síjp _ 2r]^ . (547) Uvažujme nyní tekutinu, která se pohybuje ve směru osy x s rychlostí, která je funkcí z v=[vx(z),0,0]. (548) Pak síla působící na plochu o obsahu AxAy s normálnou n = [0, 0,1] je rovna Fx = PxzAxAy = (-2r]Axz)AxAy = -v-^AxAy . (549) Vidíme tedy, že síla působí opačným směrem, než je růst rychlosti. Poznamenejme také, že tensor deformace vystupuje v mechanice pevných látek, kdy ovšem uvažujeme vektor posunutí místo vektoru rychlosti, což odpovídá vynásobení vektoru deformace daného výše elementem Aí. Obecně můžeme říci, že deformace spojitého prostředí je výsledkem napětí, které na ně působí. Důležitou vlastností transportních koeficientů je ta, že díky vztahům, kterými jsou definovány, dostáváme dodatečné rovnice, které slouží k uzavření momentových rovnic. Například, s pomocí (542) má momentová rovnice rychlosti v1 tvar p (dtvl + v3djVl) + d,p - r]djd3vl - r]d,djv3 - (C + \)dld]v1 = . (550) Toto jsou tři rovnice pro pět neznámých v\p,p. Rovnice spojitosti spolu s další skalární rovnicí dělá z tohoto systému systém uzavřených rovnic. Další rovnicí myslíme rovnici vyjadřující vztah mezi hustotou a tlakem. Touto rovnicí se budeme věnovat později při dalším výkladu hydrodynamiky. 109 3.9.2 Formulování transportních koeficientů V této kapitole popíšeme, jak je možné najít transportní koeficienty. Uvažujme malý objem tekutiny v rovnováze s hustotou částic n. Zavedeme střední rychlost částic C (v2) = C2 . (551) Pro bodové částice ekvipartační teorém dává \mC2 = \kBT . (552) Uvažujme střední tok částic T v libovolném ze šesti směrů (osa x, —x, y, —y, z, —z) a v lobovolném časovém okamžiku t. Nyní si představme, že máme válec o výšce C a jednotkové ploše. Protože střední rychlost částic je C, pak 1/6 částic v daném válci projde povrchem horní podstavy za sekundu. Jestliže si označíme tento směr jako z, dostaneme Yz = \nC . (553) 6 Dalším důležitým pojmem je střední volná dráha /. Implicitně předpokládáme, že k předávání hybností a energie mezi molekulami dochází pouze při srážkách. Například, dosažení rovnováhy hustoty částic je zprostředkováno srážkami, kdy částice z oblasti s větší hustotou jsou přenášeny do oblasti s menší hos-totou. Jak my již víme, s pojmem srážek se váže pojem účinný průřez, kdy můžeme najít následující odhad nul ~ 1 , (554) který vyplývá z toho, že střední rovná dráha je nepřímo úměrná jak počtu částic n, tak účinnému průřezu. Nyní můžeme přistoupit k odvození koeficientu vlastní difúze. Uvažujme, že máme částice jednoho druhu a dále, že zde existuje gradient hustony n ve směru osy z. Pak tok částic, které se pohybují ve kladném směru osy z a které protnou rovinu z, je roven počtu částic, které se nacházejí v místě n — l. Na druhou stranu počet částic, které se pohybují v záporném směru osy z a které protnou rovinu z, je roven počtu částic v bodě z + l. Pak celkový tok částic v bodě z je roven rz = rz_i — Yz+i, (555) 110 což, s pomocí (553), dává Tz = \c[n(z-l)-n(z + l)} 6 21C ~6~ n(z — l) — n(z + /) 21 1 On 3Cdz~- (556) Na druhou stranu my víme, že tok částic v daném bodě z ve směru osy z je dán výrazem Tz = nvz a tedy 1 On nvz = --IC— . (557) 3 Oz Poznamenejme, že definice koeficientu difúze je dána výrazem Oti nv = —D'Vn =^ nvz = —D— . (558) Oz Pak porovnáním těchto dvou rovnic dostaneme hledaný výraz pro koeficient difúze D = -\lC . (559) Viskozita Uvažujme tekutinu, která se pohybuje jedním směrem s rychlostním profilem v= [vx(z),0,0] (560) Je zřejmé, že pro tuto konfiguraci máme nenulové následující komponentu p Q Pxz = ~SXZ = -V^r ■ (561) Oz Každá částice na ploše z — l, která se srazí a pohybuje se ve směru osy +z, unáší střední komponentu hybnosti ve směru osy x z oblasti z — l, to jest mvx(z — /). Tok těchto částic je roven Tz = -nC . (562) 6 111 Pak tedy střední hodnota x—komponenty toku hybnosti napříč rovinou z díky transportu částic ve směru osy z je rozdíl mezi kladným příspěvkem a její ztrátou 1 T,t = -nCmvJz — l) (563) p 6 r- = -nCmvx(z + l) . (564) 6 Pak změna hybnosti na ploše z ve směru x je rovna p p 1 -nCrri2l 6 vx(z - l) - vx(z + /) 21 (565) Tento rozdíl můžeme interpretovat jako sílu, působící ve směru osy x na ploše z, což je Pxz = ~\pCl^f ■ (566) což nám dává klasický Maxwellův výsledek V = \pCl ■ (567) Termální kondukce Stejným způsobem můžeme pokračovat s transportem kinetické energie. Uvažujme změnu kinetické energie £k{z)- Pak stejným způsobem, jako v předchozí části, kdy definujeme TQ = \nCeK{z -l) ,TQ = -nCeK{z + /) (568) dostaneme následující výraz pro změnu kinetické energie r+-r0 = -W|^. (569) 112 Jestliže si nyní uvědomíme, že máme vztah = e+^pv a budeme předpokládat, dz dz že v a n nezávisí na z, pak máme í%iž- = jf- a tento rozdíl je roven toku tepla ve smeru osy z 1 Q Qz = -~nCl^ . (570) 3 dz Nyní definujme cy jako specifické teplo na jednu částici - ĚL Cv~df- Pak dostaneme (571) n 1 r,de 1 r,dedT 1 r, dT (572) a tedy 1 k = -nClcy ■ (573) 3.10 Momentové rovnice a hydrodynamické rovnice-Pokračování Jak jsme také ukázali, srážky implikují, že distribuční funkce se blíží rovnovážnému Maxwellovskému rozdělení s možnou nenulovou střední rychlostí. Nechť předpokládejme, že distribuční funkci ve tvaru '<*•u- ť> - »<*■ ť» fe)3/2 ^ • <574) což je Maxwellovo rozdělení s lokálními středními hodnotami rychlosti, hustoty a teploty. Nechť pomocí této funkce vypočítáme PlJ'(x, t) 73 = m / dóu(u% - v%)(uJ - vJ)f(u - v) > 3/2 „ / 2 (575) kde p(x,í) = n(-K,t)kBT(-K,t) 113 je tlak kapaliny. Při odvozování tohoto vztahu jsme využili faktu, že oo 2 dxxe x* = 0 , / dxx2e ^ = . (576) oo Stejným způsobem dostáváme e = jí d3uc2f = \nkBT . (577) Q* = \J d3udc2f = 0 , (578) kde e je vnitřní energie pro jednočásticový plyn. Konečně pfc'Ay = pí%ť = . (579) Díky těmto předpokladům dostáváme momentové rovnice v nultém řádu ! + V.(pv) = 0, — + v • Vv = —Vp + —F , ot p m de — + di(v%e) = -pV ■ v ot (580) což je pět rovnic pro šest veličin p,v,p a e. Na druhou stranu tři termodynamické veličiny mohou být vyjádřeny jako funkce hustoty částic a teploty, tedy 3 p = mn , p = nkBT , e = -nkBT . (581) Jinými slovy dostáváme, že číslo nezávislých rovnic je shodné s číslem nezávislých proměnných a tudíž tento systém je uzavřený a má formu dynamické teorie kapalin. Na druhou stranu této dynamické teorii chybějí některé důležité vlastnosti jako teorii reálných tekutin. • Protože Q1 = 0 dostáváme, že neexistuje transport vnitřní energie. Jinými slovy řečeno, v této tekutině neexistuje konvence. 114 • Protože is diagonální, tato tekutina je charakterizována absencí viskozity. Jinými slovy řečeno, v této formulaci dynamiky tekutin chybí vlastní popis transportních jevů. Je vhodné si položit otázku, co je příčinou, že jsme nebyli schopni popsat tyto jevy vhodným způsobem. Ukazuje se, že lokální Maxwellova distribuce je příliš restriktivní. Jestliže zde existuje teplotní gradient, částice, které přicházejí na určité po směru gradientu mají určitě vyšší energii než částice, které sem přicházejí z opačného směru gradientu. Je jasné, že tyto transportní jevy jsou úzce svázaný s opuštěním předpokladu Maxwellovo rozdělení. 3.11 Chapman-Enskogův Rozvoj 3.11.1 Kolizní frekvence Srážkový integrál v Boltzmanově rovnici může být napsán ve tvaru J(/|/) = -/(u) J J dQa\u-U1\f(u1) + J d3!!! J dQ\u - U^f f[ (582) Uvažujme následující výraz v(u) = J ďV J dí)o-|u-ui|/(vi) . (583) Protože tento výraz je úměrný relativní rychlosti, účinnému průřezu a počtu nalétávajících částic daný funkcí /(ui) a následnou integrací přes Ui a Q můžeme tento výraz interpretovat jako počet srážek s částicí o rychlosti u, tedy můžeme ho nazvat Kolizní frekvencí Necht' napíšeme Boltymanovu rovnici ve tvaru D f d f Ftdf d f f m = m+md^ + ud? = If> (584) která nám definuje kolizní integrál-operátor J. Protože u (y) je srážková frekvence, její fyzikální rozměr je s-1, z čehož vyplývá, že oprátor I ma tu samou fyzikální dimenzi. Pak je užitečné napsat operátor I ve tvaru I = vQÍ (585) 115 kde I je nyní bezrozměrný operátor a kde z/0 Je konstanta o fyzikálním rozměru s_1. Pomocí této terminologie dostáváme Boltzmanovu rovnici ve tvaru = vjf ■ (586) Chapman-Enskogův rozvoj může být proveden v oblasti s velkými srážkovými frekvencemi, což ekvivalentně znamená v oblastech s malou střední volnou drahou. Explicitně, jestliže C je střední termální rychlost částic, pak je řejmé, že tato rychlost je dána jako podíl střední volné dráhy a doby mezi dvěma srážkami, což je převrácená hodnota srážkové frekvence, a tedy C~lv . (587) První krok k provedení této expanse je napsat Boltzmanovu rovnici ve tvaru ! + *)/ = 7'/. t™) kde d F d , . D = u • — + - • — , 589 ox m ou a kde předpokládáme bezrozměrný malý parametr ě<1, kde si ale musíme uvědomit, že tento parametr byl zaveden pro korektně definovaný rozvoj s tím, že by měl být položen jedné na závěr této analýzy. Ve druhém kroku Champman-Enskogově rozvoji provedeme následující rozvoj f = f(0) + e/(l) + e2/(2) + _ _ (590) Normalizujeme funkci / takovým způsobem, aby splňovala n(x, t) = J cŕuf , n(x, í)v(x, í) = J cř3uu/ , \n(x,t)kBT(x,t) = / cru^(u- v)2/ . 3 -1 2 (591) V Chapman-Eskogově rozvoji předpokládáme, že (n,v,T) jsou veličiny 0(1) řádu v expansi podle parametru e a tedy jsou dány f(°\ zatím co členy v 116 rozvoji vyšších řádu, f^\i > 0 odpovídají vyšším momentům v Q1 a v P'1^ n(x,í) = J d3u/(0) , n(x,t)v(x,t) = J d3uu/(0) , ^n(x,í)fcBT(x,í) = |d3u|(u-v)2/(0) , y d3u/«=y d3u/(í)c=y t^v^c2=o, i i J (592) Jako další krok přistoupíme k rozvoji V a kolizního integrálu J V f = Vf{0) + eVf{1) + ... (593) a pro srážkový integrál oo oo oo oo jw) = ^(Eeř/(0iEen/(n)) = EEfí+nj(/(í)i/(n)) • Z=0 n=0 Z=0 n=0 (594) Ukazuje se, že je vhodné zavést tzv. uspořádaný operátor i(s)(/(0),/(1),---,/(s)) = E E ^(/ÍOi/(n))- (595) n l,n+l=s Pomocí této veličiny můžeme přepsat (594) do tvaru J(f,f) = J(/(0)|/(0)) + eJ(1)(/ÍO)l/(1)) + (596) Například Í(1)(/(0)J(1)) = ^(/(0)l/(1)) + Af{1)\f{0)) • (597) 117 3.11.2 Rozvoj časové derivace Další krok v Chapman-Enskogově rozvoji se týká časové derivace, která vystupuje v Boltzmanově rovnici. Budeme předpokládat, že časová závislost rozdělovači funkce závisí pouze díky hydrodynamických rovnic n(x, t), v(x, T) a T(x, £), tak že dl = dldn d£ 9v 9/ÔT <9t <9n dt dv ' dt dT dt 1 } Jako další krok provedeme časovou derivaci d on di 9d2 / \ m = i+f-i+ti+-- (599) která má následující fyzikální význam. Vyjdeme z momentových rovnic dp d(pvl) = dt dx'1 Qví Qvi IQpij pí dt dxi p dxi m (600) Na pravé straně těchto rovnic vystupují makroskopické proměnné, které jsou získány středováním přes distribuční funkci. Protože tato distribuční funkce je také dána rozvojem distribuční funkce, dostáváme obecné vztahy ^ = $n(n,v,T) = ^eř<|.(ř)(n,v,T) , 9V - $v(n,v,T) = ^eř$«(n,v,T) , dt ^ = $T(n,v,T) = ^eř<|.?)(n,v,T) . (601) 118 Pak dostáváme d f _ d f dn d f dv d f dT _ ~dt ~ ďň~ ~dt + dv" ' ~dt + dŤ ~dt ~ E' <9v di di d U(0 T e-_ _ = _$(0 + — . $(0 + (602) Jestliže použijeme tyto rozvoje pro /, ^-,Ť>f a J(f\f) do Boltzmanovy rovnice a dostaneme 9 dt >V f = -J(f\f) (/(o) + efW + _} + + eI)/ f(i) d0 di j(°)(f(°)\f(°)) + ej(i)(f(°)\fW) + ... (0) f(i) (603) Porovnáním koeficientů stejného řadu parametru e dostáváme 0 = j(o){ŕo)lŕ)) + fW = JW(f<°\fW), | + x>) /(1) + |/(0) = J(2)(/(0),/(1),/(2)) Vidíme, že rovnice nultého řádu má formu Aŕ)\ŕ)) = o. (604) (605) Jak jsme již uvedli v předchozích kapitolách, řešením této rovnice je lokální Maxwellovské rozdělovači funkce, která může být definována pomocí následujících momentů n = / ďV(0) v = — / duu/ n (0) T m ?>nks d3uc2/(°) . (606) 119 Explicitně, tato funkce má tvar /<°>(x„t)=n(x,t) 2nkBT(x,t) 3/2 exp m(u — v(x, £)) 2fcBT(x,t) 21 (607) Pomocí této rozdělovači funkce můžeme vypočítat teplotní kondukci Q% a tensor P%\ které jsou definovány jako m = m / dóuc%c>f (60É tedy pro /(0) dostaneme (Q(0)y = o, (609) Vložením těchto výrazů do momentových rovnic dostaneme Eulerovy rovnice — + V(nu) = 0 d_ dt v • Vv P -V p m p n 5/3 (610) Řešením těchto rovnic dostaneme explicitní veličiny n = n(x, t), v = v(x, t) a T = T (x, í) které, po vložení do (607) kompletně určují /(°). Každá následující iterace v Chapman-Enskogově rozvoji vede k více podrobnější skupině hydrodynamických rovnic, které více a více započítávají prostorové fluktuace v tektutině. Iterace nultého řádu dávají Eulerovy rovnice. Rovnice, které vzniknou pomocí iterací prvního řádu, vedou k Navíer-Stokesovým rovnicím. Iterace druhého řádu dávají Burnettovy rovnice. 120 3.11.3 Řešení prvního řádu Toto řešení odpovídá druhé rovnici v (604) 'd0 3í+Pj/(0) = Í(1)(/(0),/(1)) (611) Zavedeme funkci $ následujícím způsobem j(i) = $j(o) _ (612) Pak dostáváme J(1)(/(0),/(1)) = ^(/(0)l/(1)) + ^(/(1)l/(0)) = = jdmjdQalu - Ul|(7,(0)/Íí0) - /(0)A(0)$) + + Jdu1J(l + $) . (619) Obecné řešení rovnice (618) je lineární kombinací homogenní $>h a nehomogenního $j řešení, kde Ó$h = 0 (620) a kde $j je partikulární řešení (618). Když budeme blíže zkoumat strukturu operátoru □ vidíme, že jeho řešením může být dáno jako lineární kombinací srážkových integrálů $h = a + j3'lm{ul — v1) + -^m{ul — v1){uí — Ví) . (621) kde a,/3,7 jsou libovolné konstanty. Abychom našli partikulární řešení rovnice (618) uvažme, že její levá strana má tvar 2kBT m 1/2 <9j lnT + Yij(£)diVj . (622) 122 Protože □ je lineární operátor a $ je skalární funkce, předchozí výraz indukuje, že bychom měli hledat partikulární řešení ve formě $ť = J^h^TAld% ln T + 2Bij(£)divj . (623) V m Jinými slovy, abychom našli nehomogenní řešení, musíme najít vektorovou funkci A1 a tensorovou funkci BÍJ. Pak, vložením předpokládané řešení (623) a porovnáním různých koeficientů, které se vyskytují u V ln T a diVj dostáváme následující rovnice pro A% a pro B^ (624) Víme, že jediné proměnné, které vystupují v A1 jsou a T. Pak je jasné, že jediný vektor, který může být vytvořen z těchto proměnných, je samotný vektor £. Pak tedy budeme předpokládat, že A1 = A{?)ě . (625) Stejným způsobem můžeme argumentovat, že tensor B^ má tvar (626) Pak jasně dostaneme, že tyto funkce splňují integrálně diferenciální rovnice □ (b(é2)(?éj'-^2)) = (Ve-^ (627) Když se nyní vrátíme k homogennímu řešení vidíme, že konstanty a, (3 a 7 jsou určeny podmínkami (592). Jinými slovy, jestliže vložíme /(1) = /(0)(S* + S0 (628) 123 do těchto podmínek, dostaneme á3u/(0)(« + 7^mc2) = 0 ďufWlAffidi ln T + mP]m(? = 0 1 1 d3uf(°\a + -mc27)-mc2 = 0 (629) Pak je zřejmé, že první rovnice v (629) dává a = 7 = 0 (630) zatím co druhá rovnice říká, že (3% je úměrné di InT a tedy může být zahrnuto do členu 9« InT. Pak je možné ukázat, že celkové řešení Boltzmanovy rovnice do prvního řádu má tvar / = /(0)[1 + \^^Aidi\nT + 2Bi^divj] m = fi0)[l + ^^4(0£flnT + 2B(0 (Ve - ^e^j díVj] . (631) kde A(£),B(£) jsou řešením rovnic (627). 3.11.4 Termální kondukce a tensor napětí S pomocí řešení Boltzmanovy rovnice do prvního řádu je možné určit odpovídající nenulové příspěvky ve vektoru teplotní kondukce Q% a P%K Tyto příspěvky dostaneme, když vložíme řešení Boltzmanovy rovnice do jejich definice a uvážíme, že lokální Maxwellovo rozdělení dává nulový příspěvek qí = l-m^j^.T J ďučďf = 0 + q™ , p13 = 2kBr J d3ucef = siip - , e = 2^y(« - vý. (632) 124 S použitím řešení Boltzmanovy rovnice do prvního řádu dostáváme Qi=(l*l{L íd3uf°Z4APA\ VT (633) a tedy dostáváme následující výsledek pro koeficient termální konduktivity k = 4— / dsufťA% . (634) ó m J Stejným způsobem postupujeme v případě tensoru napětí, kde dostáváme Když tedy definujeme koeficient napětí následujícím způsobem (635) PtJ = -2r] ( Aij - ^slidiVl ) (636) pak porovnáním s (782) dostaneme 2 kBT J (ŕufB&Bij . (637) Vidíme, že transportní koeficienty závisejí na integrálelch před vazebný operátor □. Tyto výpočty jsou ve své podstatě velmi komplikované a požadují další matematické znalosti. Například, pro částice, které nemají žádnou vnitřní strukturu, dostáváme 75 klTn2 , . k =---b—— , 638 8 mAn v ; kde Au závisí na detailním popisu interakcí mezi částicemi. Na druhou stranu se ukazuje, že explicitní tvar tohoto parametru může být napsán ve formě integrace přes rozptylové parametry, kde pak dostáváme An = -4n2Q2'2 (639) kde v případě jednokomponentového plynu oo poo 2 fi(ři9) = /47TKBT , , 2,+3(1 _ CQSl d)sdsdy (64Q) V m J0 J0 Stejným způsobem budeme postupovat v případě koeficientu napětí a dostáváme 5 knTn2 ^=-o^— > (641) kde se dá ukázat, že Bu = -4n2fi(2'2) . (642) 125 3.11.5 Srážkový integrál v prvním přiblížení-Alternativní postup Začneme s následujícím zobecněním rozdělovači funkce /(x, u, t) = /(°) (x, y, t) + <7(x, y, t) , (643) kde g je malá porucha. Nyní uvažuje srážkový integrál C[f] = J j dfi|u - uMmfiň - ffi) ■ (644) Protože víme, že g je malá porucha, je přirozené předpokládat, že srážkový integrál závisí na této poruše pouze lineárně. Budeme tedy předpokládat, že distribuční funkce, přes které provádíme integraci (f',f[,f\) mohou být reprezentovány lokálním Maxwellovským rozdělením f^' , f[0^ , f[0^. Dále využijeme vlastnosti, že pro Maxwellovské rozdělení platí /^'/í°^ = f^fi°^ která vyplývá z exponenciální formy Maxwellovské rozdělovači funkce a ze zákona zachování energie, který platí v dvou časticových srážkách. Pak dostáváme C[f] « J ďV JdQ\u- u1|(7(fi)(/(°)/1(0) - //<°>) = = (/(0) -f) f d3Ul j díl\u - uMQ)fÍ0) = = -0(X,U,í) J dtt0-(tt) J d3n1\nrel\f°\x,Vi1,t) = = -atotn{urd) g(x,u,t) , (645) kde (ureř) (|u|,T) je střední relativní rychlost mezi srážejícími se částicemi a tedy (|ureř|) notot udává střední srážkovou změnu částic o rychlosti |u|. Výsledkem dostáváme C[f] = -atotn{urel)(f-f^) . (646) Tento výsledek vedl (Bhatnagara,Grosse a Krooka) v roce 1954 k formulování tzv. BGK rovnice, která popisuje systém, jenž není příliš daleko od lokální termodynamické rovnováhy reprezentované lokální Maxwellovskou rozdělovači funkci /(°) a srážky způsobují jeho návrat do této rovnováhy. Tato rovnice má tvar — + U-V/ + — • — =--, 647 ot m ou t 126 kde r je tzv. relaxační doba. Abychom našli fyzikální význam /, uvažujme distribuční funkci /, která závisí pouze na čase. Pak (647) dává df f~ f{0) dt t Je jednoduché najít řešení této rovnice a dostáváme / - /(o) = Ke-T , (649) kde K je integrační konstanta. Vidíme, že distribuční funkce se blíží Ma-xwellovské distribuční funkci v limitě t —> oo. Z této rovnice je také jasný význam relaxační doby r, která může být interpretována jako parametr dané teorie. Ukážeme, že transportní jevy mohou být kvalitativně popsány pomoci BKG rovnice, ale s omezením, že hodnoty transportních koeficientů nejsou exatní. Důvod, proč tomu tak je, je ten, že Boltzmannův srážkový integrál ve skutečnosti závisí na 1/r oc (|ure;|), což je funkcí u a tudíž není konstantní. Na druhou stranu, i když hodnoty transportních koeficientů nejsou zcela přesné, tento model poskytuje jasné schéma a postup, jak mohou být tyto transportní koeficienty určeny. (648) 3.11.6 Odklon od Maxwellovského rozdělení Jako první krok určíme jak velký je odklon daného rozdělení od Maxwellovského. Pak KGB rovnice dává f-f(0) |u|/(°) \g\ u • V/ = ----— J—^— « — => t L t \g\ « J^I/(0) « A/(0) ; (650) kde L je charakteristická škála, na které se mění daný systém, a kde A je střední dráha mezi srážkami. Vidíme, že modifikace Maxwellovského rozdělení bude malá za předpokladu, když střední volná dráha mezi srážkami je mnohem menší než škála změny daného systému. Když zavedeme parametr a jako a = y (651) 127 můžeme psát rozdělovači funkci / ve formě Taylorovy řady podle parametru a f = f{0) + + «2/(2) + • • • (652) kde /« jsou veličiny, které nezávisí na parametru a a tedy stejného řádu. Jestliže vložíme tento rozvoj do BKG rovnice dostaneme rekurzivní relaci pro každý příspěvek /W. Například v prvním řádu dostáváme 9 = af (i) dt m du) Poznamenejme, že rozdělovači funkce /(0) má tvar m(u — v)2 ~2kBT(x,t) (653) /<°>=n(x,t) 2nkBT(x,t) 3/2 exp (654) a tedy dfw _ dndfW { dTdfw { dvldfQ) .0/(0) <9ŕ dn dt dT dt dvi ' tdndfW ,<9T<9/(°) tdv'dfW dx'1 dn dx'1 dT dx'1 dvi (655) a s použitím (654) dostáváme <9/(°) /l<9n í 3 u dt .O/W dx% n dt 1 9n , T m 2\dT t dvl mci \ (0) 2kBT2 J dt dt kBT m --T -2 ' 2kBT2 dT dvl ma; c I —— + w ——r- dx'1 dx1 kBT /(O). (656) Dosadíme tyto pomocné výpočty do rovnice (653) dostaneme explicitní formu poruchy rozdělovači funkce ve tvaru 9 kde 1 dT Tdx* \2kBT m 5 m , -Au cV -(TV c = u — v /(0) (657) (658) 128 3.11.7 Teplotní tok Našim cílem je vypočítat momenty pomocí funkce / = /(0) + g, kde n = J cŕuf , nv = J cŕuvf , 3nkxT = m J d3uu2f , (659) a také q\ P^. V případě q1 dostáváme Q1 = I d3wéc2g m 9T í d^c2 (-^c2 - 5-) /m J 1 \2kBT 2jJ 2 dxi (660) Protože tento integrál má stejnou hodnotu pro všechna i = 1,2,3, můžeme ho nahradit jednou třetinou sumy přes i. Pak dostaneme q% = -KdiT , (661) kde Tento integrál může být explicitně zintegrován a dostáváme K = STn!%L ; (663) 2 m což je koeficinet termální kondukce. Jinými slovy odvodili jsme pomocí mikroskopické fyziky Fourierův zákon teplodní kondukce. 3.11.8 P tensor Uvažujme tensor P^, který je definován jako (664) kde ti%j = m j d3clcjg m2 . u, /".,„•„■, 1 Akl / d3ucici(ckcl--ôHc2)f^ . kBT J 3 (665) 129 Vidíme, že irn = O, jež vyplývá ze skutečnosti, že integrand je lichý pro i ^ j, zatím co pro k = j integrand výrazu v závorce je roven nule. Protože je tento tensor lineární funkcí A^-, můžeme psát 1 dv% 7T,-,- = -2/i(Ai3- - ^TrA) = -2/i I Kj ~ gTJ— (666) Vidíme, že tedy platí tííjÓ^ = — 2//(Aý-(Pl — h.^1) = 0. Koeficient — 2/i můžeme vypočítat například z tohoto výrazu 7T12 -2/iAi2 ,2 KbŤ J dóuclC2 yckci - -Skicr ) f( rm kBT (Ai2 + A21) y d3uc2c2/(0) = -2A12™A;BT což dává ji = TTIKbT . (667) (668) 3.11.9 Momemtové rovnice prvního řádu Když nyní vyjádříme P^ a q1 jako funkce n,T and v můžeme napsat momentové rovnice, které zahrnují transportní jevy. Jestliže vezmeme fi jako konstantu, dostáváme 9Py dp dxi dp dxi dp dxi li d_ dxi d (dvi - 1 ^SijdiV% dv% li dx% \dx% dxi <9V 2/x <9 3 cte-? <9xfc dxtdx,i 3ä^ a tedy dostáváme pohybovou rovnici / dv% P[-dJ v3djV% d2 dxkdxk -Mdkvk = -dip + /i Podobným způsobem dostaneme PijKj = pčíjKj + ^ijKj = l'd,r' - 2fi.\,J.\,J pF* m (div i\2 (669) (670) (671) 130 a tedy následující pohybovou rovnici ) spolu s rovnicí zachování dp di (673) Rovnice (670) a (672) tvoří uzavřený systeém rovnic a tudíš nám definují dynamickou teorii tekutin. 3.11.10 Hydrodynamické rovnice Předchozí momentové rovnice jsou parciálními differenciálními rovnicemi, které mají složitou strukturu. Proto typicky uvažujeme jejich zjednodušení,které mají následující formu • Zanedbáme prostorové variace p, což už jsme samozřejmé implicitně provedli, když jsme odvozovali rovnici (670). • Zanedbáme efekt stlačitelnosti {diV1) ve viskózni síly v rovnici (670). • Zanedbáme efekt viskózni produkce tepla v rovnici vyjadřující zákon zachování energie (672). • Konečně, budeme psát F% —> F% jm. Jinými slovy budeme psát intenzity pole místo síly pole. Poté dostáváme následující hydrodynamické rovnice (674) kde druhá rovnice je slavná Navier-Stokesova rovnice. 131 Závěrem shrneme postup, jakým způsobem jsme odvodili tyto rovnice. Našim základním předpokladem bylo to, že distribuční funkce má být chápána jako malá porucha od Maxwellovského rozdělení. Jinými slovy předpokládali jsme malý odklon od lokální statistické rovnováhy, kde je možné použít BGK rovnici. Ukázali jsme, že tento předpoklad platí, jestliže střední volná dráha je mnohem menší než škála, na které se mění makroskopické vlastnosti systému. Pak je také jasné, že hydrodynamické rovnice přestanou platit v okamžiku, kdy tato podmínka nebude splněna. Samozřejmě, že je možné psát dále momentové rovnice, když budeme vycházet z obecného Chapman-Enskogova rozvoje, ale obecně všechny členy v daném rozvoji budou stejného řádu a tudiž není možné provést zanedbání členů vyšších řádů. 3.12 Další poznámky k nevratnosti V této kapitole se vrátíme opět k nevratnosti systému, zavedeme pojmy jako ergodičnost a také míchání. 3.12.1 Ergotický tok My víme, že objemy ve fázovém prostoru jsou invariantní vůči kanonickým transformacím, kterými je i přirozený časový vývoj systému. V případě izolovaného systému je jasné, že se jeho energie zachovává a má smysl uvažovat pohyb po energetické ploše ve fázovém prostoru T, na které zavedeme invariantní míru vzhledem ke kanonickým transformacím ďĽ. Pak invariantní míra množiny A, která je podmožina energetické plochy, je dána integrálem fj,(Ä) = f ďĽ . (675) J AeE Pak invariantní míra bodů na energetické ploše je dána integrálem /i(E) = í d£ . (676) Je Nechť přirozený pohyb množiny A je dán operátorem T, který definuje časový vývoj systému. Pak za časový interval t dostaneme A -+ A' = Ť(t)A . (677) Protože míra ďĽ je invariantní vůči kanonickým transformacím a protože časový vývoj je kanonická transformace, dostaneme fi(A') = n(A) . (678) 132 3.12.2 Ergodická hypotéza Ergodická hypotéza říká, že téměř všechny orbity na energetické ploše procházejí každou oblastí konečné míry a zůstávají v této oblasti po časový interval rovný podílu jejich míry k míře energetické nadplochy E. Stejné tvrzení se týká průměrné hodnoty dynamické proměnné g. Je zřejmé, že ergodická hypotéza říká, že všechny oblasti stejné míry na energetické ploše jsou stejně pravděpodobné. Odpovídající distribuční funkce je tedy /(z) = -1- ,prozeH = E (679) která splňuje normalizační podmínku /(z)d£ = 1 . (680) H=E Stejně můžeme definovat střední hodnotu dynamické veličiny g{z) přes fázový prostor T=—— g(z)dĽ . (681) 1*{E) JH=E V rovnovážném případě můžeme definovat časovou střední hodnotu jako 't0 < g >T= lim - / g[z(ť)]dt (682) r^°°r J ta Ergodický teorém se snaží dokázat rovnost < g >r s < g >T. Je zřejmé, že nutnou podmínkou pro platnost této rovnosti je to, že < g >T nezávisí na počátečním čase to a počáteční hodnotě z(0). Tento teorém se nazývá Bir-khoffův teorém. Tento teorém je založen na předpokladu, že T(t) je metricky transitivní, což znamená, že množina, která je invariantní vůči působení T(t) na energetické ploše, je buď ceá množina nebo množina míry 0. Alternativně řečeno říkáme, že energetický povrch je metricky nerozdělitelný, jestliže nemůže být rozdělen do dvou invariantních části pozitivní míry. Invariantní částí fázového je taková část, kde všechny body v tomto prostoru zde zůstávají během časové evoluce systému. S těmito předpoklady Birkhoffův teorém říká, že limita < g >T existuje v každém bodě na energetické ploše a že tato limita je nezávislá na počátečním čase a počátečním bodě z0. Tento teorém také implikuje ((9)t)t = <9)t ■ (683) 133 Protože (g)r nezávisí na z0 a tedy je konstantní na energetické ploše, dostaneme (g)T = A = konst (684) a tedy ({9)r)r = A= (9)T ■ (685) Pak ale z (683) dostaneme (9)r = (9)t ■ (686) Je podstatné, že tento výsledek platí pro rovnovážný stav systému. Dále, každý ohraničený systém, kde jedinou zachovávající se veličinou je energie, je ergodický, což můžeme dokázat následujícím způsobem. Předpokládejme, že je zde další zachovávající se veličina, kterou označíme jako B. Pak se systém pohybuje na podprostoru, který je průnikem plochy B = konst a H = E. Tento průnik je podprostorem energetické nadplochy, na které se daný systém pohybuje a tedy daný pohyb není ergodický. Tedy vidíme, že ergodický systém při pohybu na energetické nadploše prochází oblastmi stejné míry se stejnou frekvencí a žádná oblast není privilegovaná. Typický přiklad ergodického systému může být posuv na kružnici. Tento posuv může být dán zobrazením T Tr(0i) = 0i+wt (687) kde úhel @! se vlivem transformace Tr změní na úhel 02 + wt, kde r můžeme považovat za časový úsek. Stejným způsobem můžeme uvažovat translaci elementu oblouku, který si označíme jako Aa±. Tento element prochází všemi částmi kruhu, který definuje náš ohraničený fázový objem a kde neexistují části křivky /, kam by transformace T nedosáhla. Směšovací tok Směšovací tok vede k tomu, že počáteční distribuce je rozprostřena na celé energetické nadploše. Obecně, směšovací tok je vždy ergodický ale opačně to neplatí, ergodický tok není vždy směšovací. Podrobněji, řekneme, že systém je směšovací, jestliže pro libovolné dvě funkce na fázovém prostoru /(z), h(z) a definované na nadploše H = E platí hm -J- / h(z)f(z(t))dZ :^±00 píE) JH=E í^ioo fi(E) JH=E = JH=E/^(z)cřS/H=E/(z)cřS (68É 134 Uvažujme následující důsledek této hypotézy. Nechť jednou z funkcí, která vystupuje v této definici, je nerovnovážná distribuční funkce /(x) normalizována jako /(z)d£ = 1 . (689) = í h(z)f(z(t))dĽ-> —í— í h(z)dZ . (690) Jh=e KE) Jh=e Jinými slovy, v případě směšovacího toku, střední hodnota veličiny h se blíží v limitě t —> oo střední hodnotě počítané pomocí rovnovážné distribuční funkce / = 77p). 4 Relativistická kinetická teorie V této kapitole budeme studovat základní principy relativistické kinetické teorie, které má důležité uplatnění v astrofyzice či pro popis jistých aspektů kontrolované termonukleární fůze. Náš výklad začneme se stručným shrnutím základních poznatků týkajících se teorie relativity. 4.1 Postuláty teorie relativity Základními postuláty jsou princip kovariance, který říká, že ve všech soustavách mají fyzikální zákony stejný tvar, a princip konstantní rychlosti světla. Všechny události jsou reprezentovány body v prostoročase, kterými je čtyřrozměrná varieta s metrickým tensorem g^v tak, že délkový element mezi dvěma blízkými body prostoročasu má tvar ds2 = g^vdx^dxv . (691) Princip relativity nám říká, že velikost délkového elementu je stejná pro všechny pozorovatele. Matematicky toto znamená, že při změně souřadnic x'* = x'»(xa) (692) máme ds2 = g'tMU(x')dx'fJ'dx"/ = gap(x)dxOLdx13 = gap(x) / dx'^dx'11 (693) 135 a porovnáním těchto dvou rovnic dostaneme transformační vztah pro metrický tensor ^M=^W^äF- (694) Poznamenejme, že inverzní g^v je tensor gucr, pro který platí g^gva = s; . (695) Uvažujme nyní akci pro bodovou částici S = -J,ncV^FäX, (696) kde A parameterizuje křivku cŕ = xtl(X) (697) a kde x^ =- . 698 d\ Z této akce dostaneme následující hybnosti óI-j Cl Pu = ~rr.— = mc /-J^- (699) 5x» ^/-gfllyX^xu Z předchozího výsledku dostaneme následující podmínku uv 2 2^ iJiiv-L 2 2 Pu.g pv = m c - .—r- = —m c . (700) Což je známá podmínka pro hybnosti. Na druhou stranu z definice Hamilto-nianu dostaneme, že je identicky roven nule H = ť% - L = 0 . (701) Na druhou stranu se dá ukázat, že daná akce odpovídá systému s vazbami, který vyžaduje speciální diskuzi, proto nyní opustíme problematiku Hamil-toniánu pro relativistickou částici s tím, že budeme mít v paměti podmínku (700). Poznamenejme, že v případě, kdy A = cr, kde r je vlastní čas definovaný vztahem -c2dr2 = giíVdxiídxv (702) 136 dostaneme S^^fjr^r = _c • Tak, jako v nerelativistickém případě, bude základní veličinou lokální hustota částic n(x, t), kde n(x, t) A3 x udává průměrné číslo částic v prostorovém objemu A3x v okolí bodu x v čase t. Podobným způsobem definujeme tok částic j(x, t). V teorii relativity tyto veličiny tvoří komponenty čtyřvektoru kde fi = 0,1,2, 3 a kde x = x^ = (cí, x) je prostoročasový bod. Konečně, c je rychlost světla. Nyní uvažujeme systém relativistických část o hmotě m, kde z předchozí diskuze víme, že pro ně platí V rovném prostoročase máme g^v = i]^ = diag(—1,1,1,1) a g^v = rf = (—1,1,1,1). Pak předchozí podmínka dává Pro velký počet částic má smysl zavést funkci f(x,p), která udává rozdělení čtyřhybnosti p = = (po;p) v každém prostoročasovém bodě x. Její definice je taková, že f(x,p)A3xA3p udává počet částic, které jsou umístěny v objemovém elementu A3x v okolí bodu x a které mají hybnost v intervalu (p, p + Ap) v čase t. Tato definice opět předpokládá, že počet částic v objemu A3x je velké, na druhou stranu předpokládá, že A3x je malý vzhledem k makroskopickým rozměrům. Stejným způsobem jako v nerelativistickém případě definujeme s pomocí distribuční funkce hustotu a tok částic (703) 2 2 = — m c (704) (705) (706) kde (707) 137 je rychlost relativistické částice s hybností p. Toto vyplývá ze skutečnosti, že čtyřvektor hybnosti v Minkowskem prostoročase je definován jako rinjydx^ dx^ dt m dxv kde jsme použili v2 -c2dr2 = -c2dt2 + dx%dxi => dr2 = dt2(l - —) (709) c2 Pak z (708) dostaneme g nic ■ mv p = i ,p = , 'i-4 \h "2 i pc p = ~t ■ Pak je možné napsat psát N°(x) = cra(x,t) = c J d3pP-^f(x,p) N* (x) = /(x,í)= / d3p%f(x,p) a tedy v kovariantním zápisu (710) (711) N" = CJ yrťnxiP) ■ (712) Poznamenejme, že p° = a/p + m?c2. Pak zavedeme integraci přes nezávislou proměnnou p° s pomocí zavedení delta funkce ó~(p° — \/p2 + m2c2) —^p^ô(p° - Jp2 + m2c2)f(x,p) . (713) 138 Toto není plně kovariantní forma toku. Abychom ho našli, začneme s následující vlastností Dirakovy delta funkce %(*)) = E ttŤtt' ^ i \9'{xi)\ kde Xi jsou kořeny rovnice g(x) = 0. Například pro g{x) = x2 — a2 dostaneme 5(x2 - a2) = —r[5(x + a) + 5(x - a)] . (715) 2\a\ V našem případě ale musíme vzít pouze kladný kořen pq = a/p2 + m2c2, což zajistíme pomocí funce 9{p°), která je rovna jedné pro p° > 0 a 0 pro p° < 0. Pak tedy dostáváme konečný vztah 0(p°)5(p2 + m2c2) = — 5(p° - Vp2 + m2c2) (716) 2 y p2 + rri2c2 a tedy N»{x) = 2c í d4p9(p°)ó(p2 + m2c2)p^f{x) . (717) Protože A^^ se musí transformovat jako čtyřvektor,vidíme, že f(x) je skalární funkce vzhledem k Lorentzovým transformacím, protože d4p je invariantní objemový element, b~(p2 + m2c2) je také invariantní a to samé platí pro 9 funkci. Nyní můžeme přistoupit k formulaci relativistické kinetické rovnice 4.1.1 Relativistická kinetická rovnice Jak víme, kinetická rovnice je uzavřená rovnice pro prostoročasový vývoj jednočásticové distribuční funkce, jejiž forma je založena na mnoha podmínkách. Předně, jak víme, srážkový člen v kinetické rovnici je založen na binárních srážkách. Dále, abychom mohli mít makroskopický popis, musíme předpokládat, že rozdělovači funkce se nemění na mikroskopických škálách. Dalším předpokladem je tzv molekulární chaos, což je absence korelací před každou individuální kolizí. Nyní se pokusíme pomocí těchto předpokladů odvodit relativistickou formu kinetické rovnice. Předpoklady Základní předpoklad je existence relativistické distribuční funkce f(x,p), která je skalární funkcí souřadnic x^ = (cí,x) a vektoru čtyřhybnosti p^ = 139 (p°, p), kde samozřejmě máme částice na hmotové slupce p° = ^/rrfic2 + p2. Abychom odvodili pohybovou rovnici pro tuto rozdělovači funkci, zavedeme stejné předpoklady jako v případě nerelativistické rozdělovači funkce kde navíc požadujeme, že daná pohybová rovnice je kovariantní. Explicitně • Uvažujeme pouze dvoučásticové interakce. • Předpokládáme hypotézu molekulárního chaosu, což je statistický předpoklad týkající se počtu dvoučásticových srážek, kdy předpokládáme, že tento počet je úměrný součinu distribuční funkce srážejících se částic a účinného průřezu. • Distribuční funkce se pomalu mění v prostoru a čase, kde její změny na charakteristických interakčních délkách a během charakteristického interakčního času jsou zanedbatelně malé. Bezsrářková rovnice Uvažujme čtyřvektor toku kde iV° je rovno nc a kde N% reprezentují tok částic měřený vzhledem k souřadnicové soustavě spojené s pozorovatelem. Zde f(x, p) a ^ jsou skalární funkce. Uvažujme nyní skalární hustotu kde d3afl je plošný element povrchu o s normálním časupodobným vektorem o^, povrch A3a je malý element lokalizovaný v bodě x. Pak tedy máme V souřadnicové soustavě, kde vektor d3afl má pouze časovou komponentu, máme d3afl = (cř3x, 0,0, 0), kde pak dostaneme (719) (720) (721) 140 Je zřejmé, že tento výraz udává počet částic v objemovém elementu A3x. Tomuto výsledku můžeme dát relativistickou interpretaci následujícím způsobem. Zavedeme počet světočar, které protínají element A3a a mají směr odpovídající hybnostem z intervalu A3p v okolí bodu p AN(x,p)= í í d3a^p»f(x,p) . (722) Pro kontrolu, jestliže uvažujeme tradiční situaci, kdy A3a je čistě prostorový objem, pak normálový vektor má pouze časovou komponentu a tedy d3aflpfl = p°d3x a tedy AN(x,p) = / d3xd3pf(x,p) . (723) JA^X j£3p Nyní je jasné, že tyto stejné částice protnou prostorový element A3a za nějaký časový okamžik t a tedy můžeme psát / / d3a^p»f(x,p)- [ [ d3a^p»f(x,p) = 0 (724) Uvažujme nyní element Minkowskeho prostoročasu A4x, který je vymezen povrchovými elementy A3a, A3a a obalem světočar uvažovaných částic. Protože uvažujeme idealizovaný případ bezkolizního vývoje, pak žádná světočára částic nemůže procházet obalem dané trubice. Jinými slovy rovnice (724) vyjadřuje tu skutečnost, že celkový tok přes plochu vymezují objem A4x je roven nule / / <ŕv^pľf(x,p) = 0. (725) S pomocí Gaussovy věty můžeme tento výsledek přepsat do tvaru ľ ľ (rxfRpřdllf(x,p)= 0. (726) JA4x JA^p P Protože A4x a A3p jsou libovolné,dostaneme konečný výsledek p»dflf(x,p)=0 . (727) V případě, když použijeme = -J^ = (c_1dt, <9j), můžeme přepsat předchozí 141 rovnici do tvaru 0ldf(x,p) | jdf(x,p) = Q ^ c dt dx% dtf(x,p)+u*d,tf(x,p) = 0,u* = ^r. (721 Samozřejmě, reálná situace je popsána kolizní kinetickou rovnicí. Srážková relativistická kinetická rovnice Tak, jako v případě nerelativistické kinetické rovnice se musíme zaobírat srážkovým integrálem. Označíme si počet částic, které se změní v intervalu A4xA3p v důsledku srážek jako A4x^-C(x,p) (729) pU kde C(x,p) je skalární funkcejejiž tvar musíme nalést pomocí předpokladů, které byly uvedeny v předchozí diskuzi. Uvažujme srážku mezi dvěmi částicemi, které mají počáteční čtyřhybnosti pf,Pi a konečné čtyřhybnosti p,fl, p^1. Předpoklad molekulárního chaosu nám říká, že průměrný počet těchto srážek v elementu A4x v okolí bodu x, t.j. v časovém intervalu At v okolí bodu íav objemovém elementu A3x v okolí bodu x je úměrný následujícím veličinám • Hustotě počtu částic s hybnostmi v intervalu (p, p+Ap), tedy A3pf(x,p). • Hustotě počtu částic s hybnostmi v intervalu (pi,pi + Api), tedy A3p1f(x,p1). • Velikostí elementů A3p', A3p[ a A4x. Označíme si faktor úměrnosti jako ^ÍP,Pi|p',p'i) o o\o /o > (73°) kde W(p,Pi\p',p[) je funkcí pouze čtyřhybnosti před a po srážce a ke tato veličina je skalární funkcí vzhledem k Lorentzovým transformacím. Jestliže budeme předpokládat, že rozdělovači funkce se pomalu mění na vzdálenostech odpovídající charakteristické délce interakcí a odpovídajících 142 časových škál, pak rozdělovači funkce pro částice před a po srážce je definována ve stejném prostoročasovém bodě. Jinými slovy máme, že rozdělovači funkce závisí na x^ jako f(x,p), f(x,pi), zatím co předpokládáme, že W nezávisí na x^ W(p,pi\p',p[). Hypotéza molekulárního chaosu nám říká, že počet částic v elementu Minkowského prostoročasu A4x a s hybnostmi v intervalu (p, p +Ap), které odcházejí z tohoto intervalu v důsledku srážek, je získána integrací přes počet srážek s částicemi s hybnostmi pi. Zavedeme také faktor 1/2 jako důsledek faktu, že koncový stav s hybnostmi (p', p[) je nerozlišitelný od stavu (p'1; p'). Pak počet částic, které odejdou z daného intervalu, je roven A3p f d3pi d3p' d3p[ -A4 x 2 P° J Pi p'° Pi xf(x,p)f(x,p1)W(p,p1\p',p[) . (731) Stejným způsobem určíme přírůstek částic do daného intervalu jako důsledek srážek částic s počátečními hybnostmi (p', p[) a konečnými hybnostmi (p, px) 1 A4 A3p ľ d3Pl d3p' d3p[ -A x- ' c(x,p) = - I -^-^-^[f(x,p')f(x,p'1)w(p',p'1\p,p1y 2 P° J Pi p'° pf x/Í^pO/Í^pD^Íp'jPÍIPjPi) • (732) Poté, stejně jako v nerelativistickém případě, dostáváme pro celkovou změnu počtu částic v intervalu A X db A p rovnu 1 ľ d3Pl d3p'd3p[ 2 J p\ p'° pf -f(x,p)f(x,p1)W(p,p1\p',p'l)} . (733) S pomocí tohoto výrazu můžeme napsat explicitní tvar kinetické rovnice se srážkovým členem í í éx^d,f(x,p) = A4x^fc(x,p). (734) Protože intervaly A4x a A3p jsou libovolné, dostaneme pro dostatečně hladkou distribuční funkci pudllf(x,p)=C(x,p) , (735) 143 kterou můžeme přepsat do tvaru podobném nerelativistické kinetické rovnici (dt + irdi) f(x,p) = = \Jd3Pid3p'd3PÍ[/7Xp',PÍ|p,Pi)-//i^(P,Pi|p',PÍ)] , (736) kde / = f{x,p)J1 = f{x,p1),f = f{x,p')J[{x,p'l) a kde ™(p,Pl|p,Pl)= nO^O • (73?) P PlP Pl Nyní můžeme interpretovat veličinu w(jp, Pi|p', p'^^p'd3^ jako hustotu pravděpodobnosti přechodu ze stavu, kdy dvě počáteční čáctice mají hybnosti p, px a přecházejí do stavu s konečnými hybnostmi v intervalech (p', p' +Ap') a (p'1; p[ + Ap'x). Diferenciální účinný průřez Veličina W(p,pi\p',p[) byla definována jako skalární funkce, která je funkcí deseti skalárních invariantů, které mohou být vytvořeny z čtyřhybnosti p^,p^,p'^ a p^. Zjevně čtyři z těchto skalárů jsou dané parametry díky normalizaci p2 = —m2c2. Dále máme čtyři rovnice vyjadřující zákon zachování čtyřhybnosti p11 + p* = p* + p'f , (738) které redukují počet volných parametrů na dva. Zavedeme dva známe invarianty s = (p + pi)2 , t = (p-p')2 . (739) Je zjevné, že tyto veličiny jsou invariantní vůči Lorentzovým transformacím. Poté s použitím zákona zachování můžeme předpokládat, že W(p,pi\p',p[) má tvar W(p,p1\p',p'1) = sa(s,e)ô^(p + Pl-p'-p[) , (740) kde a(s, 0) je funkce energie a rozptylového úhlu. Má rozměr m2 a ve skutečnosti odpovídá diferenciálnímu účinnému průřezu. 144 4.2 Relativistická kinetická teorie v křivém prostoročase V této kapitole budeme studovat relativistickou teorii v křivém prostoročase. Jako první krok zavedeme jednočásticovou rozdělovači funkci pomocí alternativního popisu. Začneme s nerelativistickou definicí j ednočásticové rozdělovači funkce fnr(t, x kde z definice fnr(t, x, p) A3xA3p udává průměrný počet částic, které najdeme v objemovém elementu A3x v okolí bodu x s hybnostmi v malém, ale konečném elementu A3p v okolí bodu p. Opět požadujeme, aby prostorový objem A3x byl dostatečně velký, aby obsahoval velké množství molekul, na druhou stranu musí být dostatečně malý, abychom mohli uvažovat rozdělovači funkci v daném elementu konstantní. Uvažujme velký makroskopický systém s částicemi r = 1,2,3,..., kde xr(í) popisuje trajektorii r—té částice. Dále, nechť pr(í) je hybnost r—té částice v čase t. Uvažujme nyní následující výraz ]Tč(x-xr(íMp-pr(í)), r 3 S(x-xr(t)) = '[[ô(xÍ-xÍ(t)) . i=l (741) Jestliže nyní provedeme integraci přes prostorové a objemové elementy A3x, A3p pak daný výraz udává počet částic v čase t, které se nacházejí v elementu A3x v okolí bodu x s hybnostmi v elementu A3p v okolí bodu p. Říkáme, že dvě tekutiny jsou makroskopicky ekvivalentní, jestliže jejich makroskopické veličiny jsou stejné. Samozřejmě, dvě makroskopické tekutiny se mohou lišit na mikroskopické úrovni. Uvažujme nyní velký počet makroskopicky ekvivalentních nerovnovážných systémů, které nazýváme ansámblem nerovnovážných systémů. Pak můžeme s každým takovým systémem spojit výraz (741). Jestliže nyní provedeme sumaci přes všechny tyto výrazy a následně je vydělíme číslem udávající počet systému v ansámblu, dostaneme průměrnou hustotu částic (průměr provedený přes ansámbl). Označme tuto střední hodnotu jako <>av Pak definujeme jednočásticovou distribuční funkci následujícím výrazem /nr(x,p,í) = (]Tč(x-xr(íMp-pr(í)) ) • (742) 145 Tento výraz nazveme matematickou definicí nerelativistické distribuční funkce /nr(t,x, p), která bude také určující definicí relativistické distribuční funkce f*(t,x\pi). Nechť M je prostoročasová varieta s metrikou g^^x), kde g = det g je detrminant metriky v bodě x. Uvažujme tekutinu tvořenou identickými částicemi 1,2,... v okolí bodu x. Nechť xzr(t) a Pír(t) jsou souřadnice a hybnosti r—té částice v čase t. Nyní definujeme /*(£, x\pi) stejným způsobem jako v nerelativistickém případě Mt,x\Pi) = (^5(xi-xÍ)5{pi-pir(t))^ . (743) Abychom ukázali, že daný výraz je skalár, zavedeme funkci h(x,p) = 20(po)ô(p2 - m2c2)Ut,x\pt) (744) where p2 = g^vp^pv.Protože je zjevné, že 9(p$) a b~(p2 + m2c2) jsou skalární funkce, tak když dokážeme, že 1* je skalární funkcí, pak i f*(x,p) je skalární funkcí. Abychom dokázali, že 1* je skalár, použijeme identitu ô(H(z)) = Yjjj^yl^-zk) , (745) kde suma je provedena přes kořeny rovnice H (z) = 0. V našem případě H{Po) = Q^PfiPv ~ i7i2c2 a tedy dH dz z=po = 2g00p0 + 2g0tpt = 2p° (746) a kořen rovnice H (z) má tvar gmpl + 2gQipQpi + gijPiPj + m2c2 = 0 => p*0(x,pi) = Q (-g0t(x)pi + sj(g0iPí)2 - gm{x)(g^(x)piPj + m2c2) g [xj (747) a tedy dH I- — (p*Q) = 2^(g0iPi)2 - g00(x)(gii(x)pipj + m2c2 (74Í 146 Pak je zřejmé, že 1 20(po)ô(p2 + m2c2) = ——-ô(p0 - p0(x, t)) . (749) P0{x,Pí) Pak dostaneme k(x,p) = /^-^-^^-<(í))54(p-p,r(í))\ (750) \ r I av kde Pr(Pri(t)) =p°(t,xÍr(t),pri(t)) ,pr0(Pri(t)) = p0 (í, x\ (t), Pri (t) ) , (751) kde funkce pq je dána rovnicí (747).Jako další krok zavedeme další Diracovu distribuční funkci ô(t — tr) a současně zavedeme integraci vzhledem k tr, čimž dostaneme p) = i J ^^j5(í-ír)^-<(ír))5(4)(p-pr(ír))dír\ (752) Z definice 4— hybnosti víme, že dxr dx^ q dxr /l—pr^\ Pfír = m9nv-^T ^Pr = 9 Pvr = m~^T ^ Pr = m~^T (753) kde rr je vlastní čas podél trajektorie r—té částice. Pak tedy dostáváme drr = nu \ dtr ,tr = — ■ (754) Poté, když nahradíme integrační proměnnou v (752) dtr dostaneme L(x,p) = ±J/^5(4)(x-xr(ír(rr)))5(4)(p-pr(ír(rr)))\ drr (755) \ r I av Je možné ukázat, že 5^{x — xr)/\/— detg a \/— det gó(p — pr) jsou skalární funkce. Pak (755) je skalární funkce a tedy i f*(x,pi) je skalární funkce. Pak je tedy možné definovat f*(x,pi) jako jednočásticová distribuční funkce v sedmi dimensionálním prostoru (x,pi). Poté je možné najít stejný tvar Boltzmanovy rovnice jako v předchozí kapitole a z tohoto důvodu nebudeme dané výpočty ukazovat. 147 5 Ideální tekutina Matemacký popis dynamické kapaliny je dán funkcí, která popisuje rychlost tekutiny v1 = v%(x\t) kde x\i = l,...,d kde x% jsou souřadnice prostoru Rd a kde t odpovídá časové souřadnici. Tato funkce v1 = vl{x'l,t) popisuje rozložení rychlosti v celém prostoru v určitém časovém okamžiku t však ještě ne zcela dostatečně popisuje kapalinu. Pro její další charakteristiku zavádíme jednu z následujících termodynamických veličin, například tlak p = p(x\t) a hustota p = p(xl,t).Všechny termodynamické veličiny jsou poté určeny těmito veličinami dohromady se stavovou rovnicí. Jinými slovy řečeno, když známe rozložení rychlosti popsané d funkcemi v\ dále tlak p a hustota p, pak stav tekutiny je plně určen. Před tím, než přistoupíme k podrobnějšímu výkladu, uvedeme dva různé druhy časových derivací. • Eulerovská časová derivace: Jedná se o částečnou časovou derivaci počítanou v daném pevném bodě v prostoru, kdy bereme x jako konstantu. • Lagrangeovská časová derivace: Jedná se o totální časovou derivaci J^, kterou provedeme v bodě, která sleduje element kapaliny pohybující se rychlostí v. Uvažujme veličinu Q(x, t) definovanou pro danou tekutinu, například teplotu, hustotu a komponentu rychlosti. Za velmi malý časový okamžik St element tekutiny, který v čase t se nachází v bodě x, se posune do bodu x + vôt. Tedy dQ , Q(x + v5t,t + 5t) - Q(x,í) —— = hni -;-= dt st^o ot lim g(X't] + ^(X't)Ôt + ^(X't)vÍÔt + 0{-Ôt2) ~ g(X't] st^o St ot 5.1 Rovnice spojitosti Nyní odvodíme základní rovnice mechaniky tekutin. Pro jednoduchost začneme s rovnicí, která vyjadřuje zákon zachování hmoty. Uvažujme libovolný objem (756) 148 Vq. Hmota látky obsažené v tomto objemu je dána integrálem fv pdV, kde p je hustota tekutiny. Hmota tekutiny, tekoucí za jednotku času skrz element dSi povrchu, který ohraničuje objemový element Vq je rovna pv%dSi, kde velikost vektoru dSi je rovna ploše tohoto povrchového elementu a jeho směr je dán normálou k danému elementu. Zavedeme konvenci, že tato normála směřuje ven z daného elementu. Následně dostáváme, že pvldSi > 0 pro tok kapaliny vytékající z dané oblasti, zatím co je negativní v případě, když kapalina vtéká do daného objemu. Poté dostáváme, že celková hmota kapaliny vytékající z daného objemu je dána následujícím integrálem pvldSi (757) So kde So označuje oblast, která ohraničuje objem Vq. Dále, úbytek hmoty v daném objemu za jednotku času je roven d_ dl pdV . V0 Je jasné, že (757) a (758) se musí rovnat d_ dt pdV Vo pvldSí So Jestliže použijeme Greenovu větu pvldSi So Vo d_ dx1 (pv^dV (758) (759) (760) dostáváme z rovnice (759) Vo dp d . ,: dV = 0 (761) Protože tato rovnice platí pro libovolný objem dostáváme, že samotný integrant musí být roven nule, a tedy dostáváme rovnicí spojitostí dp d , í + 6*W = 0 • Je také užitečné zavést vektor toku hustoty definovaný jako f = pvl ■ (762) (763) 149 Poznamenejme, že rovnici spojitosti (762) může být zapsána také ve formě ?E + v%p + pdiVi = á± + pdiVi = o . (764) Je intuitivně jasné, že můžeme definovat nestlačielnou tekutinu jako tekutinu, pro kterou platí ^ = 0 . (765) dt y ' Vidíme, že nestlačitelná kapalina je také charakterizována podmínkou diVl = 0 . (766) 5.2 Eulerova rovnice V této kapitole odvodíme Eulerovu rovnici. Začneme s definicí s hustotou hybnosti která je definována jako ý = pv* (767) a tedy celková hybnost obsažená v určitém objemu V je dána integrálem P*= / p*dV (768) Jvo Nyní určíme změnu celkového impulsu v daném objemu. První příčinou změny impulsu je dán tokem impulsu přes hranici daného objemu, který je dán výrazem - í pvWrijdS (769) J So Další změna celkového impulsu je vyvolána působením tlaku z vnějšího objemu v každém bodě plochy ohraničující daný objem. Tato síla je rovna integrálu - í prřdS (770) J So kde - znaménko je dáno konvencí, kde normální vektor směřuje ven z dané plochy. Shrnutím všechny tyto skutečnosti dohromady dostáváme d_ dt — j ptfdV = - j pvWrijdS - j prřdS (771) Vo J So J So 150 Aplikace Gaussovy věty pro předchozí integrál není možný, neboť prŕ není vhodný výraz. Abychom toto vyřešili, zavedeme Kroneckerovo-delta 5{ ,5{ = 1 ,pro i = 1 , 5{ = 0 ,pro i ^ j . (772) Poté můžeme psát prŕ = pôfaj a tedy d_ dt — / PvidV = - j [pvWrijdS + pôijnj]dS Vo J So d — pVídV = - djlpv'v1 + pôtJ] Ot Jy0 Jy0 (773) Protože tato rovnice platí pro libivolný objem, musí nutné platit také pro integrand a tedy dostáváme následující parciální diferenciální rovnici dt(pvl) + djipuW + Sijp) = 0 (774) Je jasné, že daný problém se dá zobecnit, když zahrneme objemovou sílu působící na kapalinu. Pro gravitaci je daná síla daná gradientem skalárního potenciálu, a tedy zobecnění rovnice (774) má tvar dt(pvl) + dj(pvlv3 + Sl3p) = -pdl(f) . (775) Poznamenejme, že můžeme přepsat předchozí rovnici jako (dtp + djipv^y + p(dtvl + djvV + -fldjp + <9>) = 0 , (776) která, s pomocí rovnice spojitosti, vede ke slavným Eulerovým rovnicím 5.2.1 Alternativní odvození pohybových rovnic (777) Uvažujme element kapaliny o objemu SV a hmotnosti pSV. Urychlení tohoto elementu kapaliny tak dostaneme, že Newtonův druhý pohybový zákon aplikovaný na tento element kapaliny má tvar .dv Vidíme, že síla je rozdělena na dvě části. pSV— = ÔF = ÔFtel + ÔFpovr . (778) 151 • Objemová síla: Tuto sílu je možné vyjádřit jako ÔFtel = pôVF a jedná se o sílu, která působí na všechny molekuly v daném objemovém elementu. V případě neutrálního plynu se jedná o vnější sílu. • Plošná síla: Jedná se o sílu dF%pov = —P^dSj, která působí na element tekutiny přes povrchový element dS daného malého objemu SV. Pak celková povrchová síla je dána integrálem přes hranici elementu SV ľ ľ fípv BP-- (6Fpmry = - / FidSj = - / -Ť-r#V = -^j-SV . (779) Jasv Jsv d& d& Poté dostáváme pohybové rovnice ve tvaru d v'1 fíP^ 5.2.2 Povrchové síly pro statické kapaliny. Eulerova rovnice Je experimentálně dokázáno, že pro kapalinu ve statické rovnováze platí, že ďFpOOT,||n dFpovr = —pndS , (781) kde p je tlak, což je skalární veličina. V tomto případě můžeme psát Pij = pôij . (782) Je důležité říci, že tento jednoduchý zákon platí pouze v případě, že kapaliny jsou v klidu a nebo v případě, že rychlost kapaliny v je konstantní veličina v celé kapalině. Na druhou stranu je užitečné uvažovat tekutinu, kde (782) platí bez ohledu na dynamiku tekutiny. V tomto případě pohybová rovnice má tvar Q i 1 JJ- + tfdjtf = —dip + Fl (783) ot p což není nic jiného než slavná Eulerova rovnice a rovnice, které ji splňují, jsou známy jako ideální tekutiny. 152 5.3 Něco málo termodynamiky Abychom plně pochopili termodynamické vztahy, které jsou nutné pro plné pochopení hydrodynamických rovnic, budeme se věnovat v této kapitole základním termodynamickým pojmům. Uvažujme jednočásticový systém, kde kombinace prvního a druhého zákonu termodynamiky dává rovnici dE = TdS - pdV + pdN , (784) kde U je vnitřní energie, T je teplota, S je entropie a p je chemický potenciál, význam ostatních veličin je zřejmý. Předpokládejme, že máme stavovou rovnici, která nám říká E = E(S, V, N) kde T= — dS dE V,N dV _ dE ' ^ ~ dŇ S,N Uly (785) sy Celková energie E, entropie S, objem V a počet částic N jsou extensivní veličiny, tj. když zdvojíme entropii, objem a počet částic, zdvojíme také vnitřní energii. Na druhou stranu teplota T, tlak p a chemický potenciál fi jsou intensivní veličiny, které nezmění své hodnoty, jestliže objem, počet částic a entropie jsou zdvojnásobeny. Podíváme se nyní na danou problematiku z matematického hlediska. Označme veličiny s vlnovkou, jestliže jsou změněny stejnou hodnotou, to jest Š = XS , V = XV , Ň = XN . (786) Nyní tvrzení, že vnitřní energie je extensivní veličina, má následující matematické vyjádření Ě(Š, V, Ň) = XE(S, V, N) . (787) zatím co pro intensivní veličiny platí T = T , p = p , Ji = p, (788) Pak tedy dostavme dĚ = XdE + EdX = ŤdŠ - pdV + pdŇ = = X(TdS - pdV + pdN) + (TS - pV + pN)dX (789) 153 Porovnáním veličin u diferenciálu dX dostáváme Eulerovu relaci E = TS - pV + fiN (790) Nechť nyní definujeme následující hustoty: JV (791) ESN s = — , n V 1 V 7 V Zavedením těchto veličin můžeme přepsat Eulerův vztah do tvaru e + p = Ts + pri (792) Zajímavou vlastností extensivního systému je fakt, že počet parametrů nutných pro kompletní specifikaci termodynamického stavu může být redukován o jeden parametr takovým způsobem, že pouze dostaneme intensivní parametry. Abychom toto ukázali, nechť máme A = l/V=>Š = s , V = 1 , Ň = n . Poté E = E/V = e a také e = e(s, n) protože e = Ě(Š, V, Ň) = Ě(S/V, 1,N/V) = Ě(s, n) . Poté první zákon termodynamiky má tvar dĚ = ŤdŠ - pdV + jldŇ => de = Tds + fidn . Protože e = e(s,n) dostáváme z předchozího vztahu následující relace: (793) (794) (795) T= I" os de ^ dn (796) Pomocí Eulerovy rovnice můžeme poté vyjádřit tlak jako funkce hustoty entropie a částic de p=—e[s,n) + s— +n de -e(s,n) + s — ds dn (797) Můžeme brát vztah e = e(s, n) jako stavovou rovnici, která může být brána v každém bodě prostoru. Obecně, v případě termodynamických úvah v křivém 154 prostoročasu, můžeme hovořit o termodynamických relacích v malé oblasti, kde změny gravitačního pole jsou zanedbatelné, na druhou stranu dostatečně velké, aby obsahoval dostatečný počet částic, tak že hydrodynamické úvahy mohou být uplatněny. Poté předchozí termodynamické vztahy jsou nutné pro pochopení hydrodynamiky tekutin. Ačkoliv tekutina není obecně v termodynamické rovnováze, první zákon termodynamiky může být použit pro malý element tekutiny o hmotnosti 5m. Pak je možné definovat extensivní proměnné pomocí proměnných definovaných na jednotku hmoty vynásobené 5m dQ = ômdq , dU = ômde , dV = ómd ( — ) = —óm-^ .PJ P2 (798) kde je dobré si uvědomit, že p je hustota hmoty, tedy hodnota hmoty v jednotce objemu. Jinými slovy m dVm — V dm 1 , . . p = — ^---= -—dp (799) V mz pz což pro m = ôm, dôm = 0 dává dV = —ôm-^dp. Alternativně, víme, že objem vztáhnutý k jednotce hmoty je v = K Pak je jasné, že element dv je roven dv = —j^dp. S použitím těchto veličin dostáváme první terodynamický zákon ve tvru dq = de- ^-dp (800) P2 Když podělíme tento výraz dt dostaneme de dq p dp dt dt p2 dt (801) S použitím rovnice spojitosti dP o i dostaneme Pjt = -pdrf - C , (802) 155 kde L = —p^ft je teplotní ztráta na jednotku objemu (Podrobněji, ^ je ztráta tepla na jednotku hmotnosti, což vynásobeno p dává ztrátu tepla na jednotku objemu). Víme, že teplo teče od teplejších k chladnějším částem systému úměrně rozdílu teplot. Tedy, teplotní tok je dán výrazem qt = -KdtT , (803) kde K je koeficient thermální kondukce a kde g« je teplotní tok na jednotku objemu. Poté změna tepla způsobená kondukcí v objemovém elementu 5V přes jeho povrch je rovna qidS* = í diqid3x . (804) dSV Jsv Vidíme tedy, že teplotní úbytek na jednotku objemu je dán výrazem C = ditf = -d,(KdlT) . (805) Použitím všech těchto výsledků dostáváme zákon zachování vnitřní energie P (S + = ~pdlVl + d^KďT^ (806) 5.4 Zákon zachování energie-Konservativní forma Energie existuje v mnoha formách. V případě hydrodynamiky se hlavně zabýváme dvěma formami energie: specifická termální energie, kterou označíme jako e a která odpovídá makroskopickému popisu příspěvku od mikroskopické struktury látky, a dále kinetická energie elementu kapaliny ekin = \pv2. Nyní vypočítáme časovou derivaci celkové hustoty energie etot = pe + -pv2 . (807) S použitím pohybových rovnic dostaneme detot dt -dt(pv*)e - P{vldie) - pdiV1 + diiK&T) 1 1 -^9i(pv%)v2 - p(v3djVl + -dip)v% Z p -di p{^v2 + wy - KdlT (808) 156 kde jsme definovali specifickou enthalipii na jednotku hmoty w = e + - . (809) P Jinými slovy, nechť definujme tok energie jako .1 Jln = P(^2 + "O"' " Kd*T ■ (81°) Pak dostaneme následující zákon zachování energie detot dt dtj:n = 0. (811) Nyní uvažujme celkovou energii systému danou jako objemový integrál hustoty celkové energie etot dd*petot . (812) >V0 Pak je jasné, že k úbytku celkové energie v daném objemu přispívá následující tok energie přes plochu ohraničující daný objem ^ / dVpetot = - f d^LdV = - í j:ndntdS . (813) út JVo JVo JS*-1 Vidíme, že úbytek energie v daném objemu je roven toku energie přes plochu, ohraničující daný objem. Shrnutí makroskopického odvození Hydrodynamických rovnic Makroskopické odvození hydrodynamických rovnice vychází ze základní hypotézy, že hmota spojitě vyplňuje prostor. Tato tekutina může být rozdělena na malé myšlené elementy, kde každý element má rychlost v a je nositelem fyzikálních veličin jako například hustoty p a teploty T. Poté zákon zachování hmoty okamžitě vede k rovnici ^ + 9í(p^)=0. (814) ot Newtonův druhý pohybový zákon použitý na element tekutiny dává rovnici diŕ p— = -d.P11 + pFl (815) dt 157 kde je tensor druhého řádu, který reprezentuje povrchovou sílu na jednotku plochy daného elementu tekutiny, která je vyvolána tekutinou obklopující daný element. V případě lokální termodynamické rovnováhy nám naše empirická zkušenost říká, že P%i = pó~ÍJ. Dále, když budeme opět předpokládat lokální termodynamickou rovnováhu a budeme uvažovat první termodynamický zákon, dostaneme energetickou rovnici pro tekutinu ve formě 9<~k = ~pdiiji ~diqi' (816) kde e je vnitřní energie na jednotku hmotnosti a kde q% je teplotní tok na jednotku hmotnosti. Vidíme, že máme 14 proměnných p,Vi, Pij,e,qi. Na druhou stranu máme pět rovnic, tudíž je nutno vyjádřit těchto 14 proměnných pomocí pěti nezávislých proměnných. Při makroskopickém popisu tekutiny P^, e a Qí musí být vyjádřeny pomocí v1 a dvou termodynamických proměnných s pomocí základních rovnic, které v makroskopickém popisu jsou určeny empirickými relacemi. Relace Pij = pó~íj a qí = —KdíT jsou příklady takových to vztahů, které samozřejmě závisí na materiálních vlastnostech tekutiny. 5.4.1 Vířivost Uvažujme Eulerovu rovnici pro systém, kde vnější síla je konservativní, t.j. Fi = —diť . (842) 162 Tato rovnice má následující fyzikální interpretaci, jenž nám říká, že malý element kapaliny mění svou hustotu za předpokladu, že pohyb kapaliny je konvergentní. Jinými slovy, komprese elementu kapaliny je dána výrazem —div'1. Podobným způsobem můžeme postupovat v případě Eulerových rovnic: a(1, + vít.v = -^v,P-av. p (843) která s použitím unášivé časové derivace je rovna Dtv* = --ôijVip- <9> . P (844) Opět tato rovnice má fyzikální interpretaci, která říká, že element kapaliny je urychlován silou, která je dána gradientem tlaku a také gradientem potenciálu objemové síly. 6 Lagrangeovský a Eulerovský popis tekutiny a jejich vzájemný vztah Lagrangeovský popis tekutiny je založen na popisu dynamiky a souřadnic individuálních částic kapaliny. Tyto částice splňují Newtonovy pohybové rovnice, alespoň v jejich nerelativistickém případě. Na druhou stranu Eulerova formulace je založena na popisu, kdy tekutina je popsána hustotou p, rychlostí v\ které jsou vzájemně svázaný rovnicí spojitosti, zatím co Eulerovy rovnice popisují jejich dynamiku. Eulerova metoda je založena na pojmu pole, které má fundamentální význam v moderní teoretické fyzice. Je velice užitečné studovat vztah mezi těmito dvěma popisy. Pro jednoduchost uvažujme částici, která má hmotnost m a je popsána pomocí souřadnicové funkce X%(t), jejiž časová závislost je dána rovnicí X\t) = —Fi(X(t)) . (845) m Toto je Lagrangeovský popis dynamiky částice, nyní napsaný v její Newto-novské formě. Jako další krok zavedeme Eulerovu jedno-částicovou hustotu 163 (poznamenejme, že se nyní jedná o souřadnici teorie pole) p(r,x) =m R3. Jestliže budeme předpokládat, že uvažujeme konservativní systémy, kdy se trajektorie částic nepřekrývají, pak dostáváme, že toto zobrazení je diffeomorfismus s tím, že existuje jeho inverzní zobrazení x = x(X, t) tak, že X(x, t) U^pcí) = X , x(X, t) |x=x(x,t) = x . (857) Dynamika částice je opět popsána pomocí Newtonovy pohybové rovnice X(í,x) = — F(X(í,x)) . (858) m Hustota a rychlost jsou definovány jako p(í,x) = po j áV(X(í,y)-x) , j(í,x) = v(í,x)p(í,x) = p0 JdDyX(t,y)ó(X(t,y)-x) . (859) Hustota po je konstatní hustota hmoty, tak že objemový integrál funkce p(í, x) je celková hmotnost kapaliny. Samozřejmě předpokládáme, že funkce v(í,x) je hladkou spojitou funkcí, čož je fundamentální předpoklad v teorii kapalin. Nyní odvodíme rovnici spojitosti a Eulerovu rovnici pro tyto hustoty a tok. Časová derivace hustoty dané (859) je rovna „ .ť9í(X(í,y)-x) <9íp(í,x)=p0 J dDyX dXi -po J dDyX\t,y dx* ~ po J dDyXí(í,y)5(X(í,y)-x) ■3ď(*,x) (860) čož je rovnice spojitosti ve tvaru dtp(t,x) + divj(í,x) = 0 . (861) 166 Co se týká Eulerových rovnic, postupujeme následovně dij(t, x) = dtv(t, x)p(r, x) + v(í, x)«9íp(í, x) = 05(X(t,y)-x) j dDyp0(X(í, y)5(X(t, y) - x) + X(í, y)X*(r, y)- (862) Nyní opět použijeme rovnici spojitosti na levé straně, zatím co na pravé straně použijeme pohybovou ročnici, čímž dostáváme dtv(t, x)p(í, x) - v(í, x)div(v(í, x)p(í, x)) = j dDyp0(X(t, y)ď(X(t, y) - x) + X(t, y)X% y) ~ X)) = = J ^yp0(F(í,y)5(X(í,y)-x)-^- | dDyp0X(í, y)X*(r, y)5(X(í, y) - x)) = (863) Nyní definujeme sílu jako -F(í, x)p(í, x) = ^ / dDy(F(í, y)í(X(í, y) - x) (864) m m J tak, že pravá strana má tvar 1 d -F(í,x)p(í,x) - — [v(ŕ,xK(ŕ,x)p(ŕ,x)] = 1 d -F(í,x)p(í,x)-v(í,x)— [^(í,x)p(í,x)] -<9íV(í,xK(í,x)p(í,x) (865) Porovnáním levé a pravé strany dostáváme Eulerovy rovnice ve tvaru dtv(t,x) + ^(í,x)9ív(í,x) = —F(í,x) . (866) m Je nutné ale vysvětlit definici síly dané v této rovnici. Pro vnější síly je F(í, x) je známá síla, která je funkcí pouze x. Na druhou stranu, jestliže vezmeme do úvahy možnost, že tato síla také závisí na vnitřní struktuře kapaliny, pak tato síla muže být nelokální síla závislá na distribuci částic kapaliny. Budeme tedy postulovat, že mezi časticové síly jsou krátko dosahové a tudíž závisí pouze 167 na distribuci částic bezprostředně sousedících s danou částicí. Pro takové síly, F závisí pouze na hustotě částic a jejich derivací v bodě x. Poté je jasné, že tato síla je dána gradientem tlaku v bodě x, takže nahradíme pravou stranu výrazem — ^Vp, kde p je tlak. Poté, je-li dána stavová rovnice mezi tlakem a hustotou p = p(p), dostáváme následující uzavřený systém rovnic <9íP(r,x) + V(v(í,x)p(r,x)) = 0 , 0tv(t,x) + (v(í,x) • -V)v(í,x) = --Vp(p) . P (867) Jak již víme z předchozích kapitol, tyto rovnice popisují ideální tekutinu. 6.1 Lagrangián a Hamiltonián pro mechaniku tekutin Jak již víme, pro popis tekutiny máme dva druhy popisů: První, známý jako Eulerovský, používá prostorově závislé pole rychlostí, hustoty a některých termodynamických proměnných. Na druhou stranu Lagrangeovský popis používá souřadnice částice X%(^\t), kde £l označuje souřadnice částice v čase t = 0. Tyto počáteční souřadnice, stejně, jako souřadnice X%(^\t) vyplňují stejnou oblast D C Rd. Jestliže uvažujeme pouze konservativní systémy, kde trajektorie různých částic se neprotínají, pak je jesné, že funkce X% = definují diffeomorphismus z D C Rd a také, že existuje inverzní funkce t), která splňuje následující podmínky: x\e,t)\e=e{t,xr} = xi, e(x3,t)\x=xm = e (868) Prostorová hustota částic v čase t je rovna p(x, t) = J dd£po(05(x - X(í, 0) • (869) kde po(0 je počáteční hustota v čase t = 0. Pole rychlosti v, jako funkce x, t v(x,í) = X(f(x,í),í) (870) kde £l je inverzní funkce dáná v (868). Tuto funkci můžeme také přepsat do t Vclľ VI V(X'" = /#í«,(í)í(x-X(í,í)) (871) 168 nebo ekvivalentně p(x, ŕ)v(x, t) = J dd£p0(O*(£, - X(e, *)) • (872) Abychom viděli ekvivalenci mezi (870) a (871) provedeme integraci přes £ v (871)dostaneme £ = £(x, t), jak vyplývá z definice zobrazení (868). Je opět jednoduché najít rovnici kontinuity v tomto popisu. Když vezmeme časovou derivaci hustoty definované v (869) podle času dostaneme 9íP(x,í) = |^p(£)^(x-X(£,í)) = = -/ ^Po(£)X(£,í)^(x-X(£,í)) = = "£(/ ^A)(OX(e,*)í(x-X(e,í))) = -£(p(x,t)v(x,t)) (873) Nyní přejdeme k Lagrangeovské formulaci hydrodynamiky. S použitím souřadnic X(£, t) jako konfiguračních proměnných můžeme uvažovat nejjednodušší možnost jak popsat pohyb tekutiny pomocí Lagrangiánu L = Jď^(|x2(£,ŕ)-V(X)) , (874) kde V(X) je potenciál, jehož specifický tvar odvodíme níže. Pak s pomocí tohoto Lagrangiánu můžeme lehce najít pohybové rovnice pro kapalinu v Lagrangeovské formulaci, když provedeme variaci vzhledem k X mMO = "^y = F(X(0) , F(X(0) = -VV(X(0) • (875) Je také zřejmé, že je možné jednoduše přejít k Hamiltonovské formulaci tekutiny. Zavedeme-li združené impulsy P(0 = mX(0 (876) pak můžeme jednoduše najít odpovídající Hamiltonián H = JddZ (P(0X -L)= j ddš (^P2(0 + V(X(0)) • (877) 169 Fundamentálním objektem v kanonickém formalismu jsou následující Poiss-novy závorky {X\0,PAO}=SM-O- (878) Vidíme, že fázový prostor tekutiny je dán proměnnými X%t), m,t) . (879) Nyní přejdeme k detailnímu popisu potenciálu V. Jak víme, funkce X(£, t) definují diffeomorfismus na prostoru R3. Pak je jasné, že matice 4&*) = ^P^ (880) je negenerativní pro libovolné £l a t. Nechť nyní uvažujeme následující potenciál V(X) = /(detA(£(X,t),t)) . (881) Variace tohoto potenciálu je rovna = /'(det A)5-^ = j d^f\detA)6^(A-%detA = dd^ {(A-1)' det A f(det A)) (882) Pak je jasné, že pohybové rovnice v Lagrangovské formulaci mají tvar mXi&t) - J- (£,í)/'(det A) det A) = 0 . (883) Abychom našli pohybové rovnice v Eulerovské formulaci uvažujme časovou derivaci následujícího výrazu -(p(x,í)v(x,í)) = J ď*£p0(OX(£,t)5(x-X(£,t)) + + Játpo(OX(e,í)^(x-X(e,í)) . (884) S použitím následujícího výrazu |í(x - X(£, *)) = • £í(x - X(£, *)) (885) 170 a dále s použitím pohybové rovnice (883) dostáváme ^(P(x, *y (x, t)) + ^(P(x, *y (x, ty (x, t)) = = /^^^((^^(^^/(det^detA) Í(x-X(£,ť)) . (886) Nyní použijeme následující úpravu / d^^P~Wk í)//(det A) det A) 5(x " x(e'í)} = = "- /dd^k(po(Oč(x-nU)))(A-1)k(tt)f(detA)detA = m J ot, 1 í* Q =--/ ddš—p0ô(x-X(t,t))(A-1)k(t,t)f(detA)detA + m J ot, +- J ddtp0 — (A-1)kdlô(x-X)f(detA)detA = (887) Nechť nyní předpokládejme, že máme počáteční homogenní rozložení hustoty částic po(0 = const. Budeme také normalizovat tuto hustotu tak, že je rovna Po (Q = 1, což odpovídá efektivně jedné částici v elementárním objemu. Pak první integrál daný v (887) je roven nule. Konečně když použijeme -Q^{A-lt = Alk{A-l)k = 5\ (888) dostaneme i r prví ~ / ddšp0 —(A^d^-X) f (det A) det A = m J ot, = - / dd^—ô{^ - X)/'(det Ä) det A = m J oxl = -dt ídd^p0ô^-X^,t))f\detA)detA=-dlf(detA)\e=e{Xjt) m J m (889) kde faktor det A se vyruší z faktorem ^j-^ vystupující při výpočtu delta funkce. 171 Kombinací těchto výsledků dostaneme pohybovou rovnici (890) Je zřejmé, že když identifikujeme — ^/'(det A(£, t))\^i=ui^x^ s tlakem p(x, t) rovnice (890) má tvar Eulerovy rovnice r(x,t)g + «*(x,t)^)«*(x,ť) = -JJp(x,ť). (891) Je dobré zdůraznit, že tlak p(x, t), který vystupuje v této rovnici, není vyvolán vnější silou ale je důsledkem interakcí mezi částicemi. Důležité je ale zdůraznit následující fakt, Navier-Stokesova rovnice nemůže být určena z variačního principu, jinými slovy není možné najít odpovídající Lagrangián. Toto vyplývá ze skutečnosti, že Navier-Stokesova rovnice obsahuje disipativní část, která není časově symetrická. Poznamenejme, že je také nemožné najít Lagrangeovskou formulaci pro disipativní síly v klasické fyzice. 7 Viskózni kapalina V kapitole týkající se mikroskopické formulaci teorite tekutin jsem odvodili následující formu tensoru tlaku Pij = pSij + ttíj , (892) kde -Kij je tensor s nulovou stopou, který lineárně závisí na Aíj = ^(díVj+djVi). V případě ideální tekutiny máme, že tt^ = 0. Na druhou stranu víme, že tento předpoklad vede k nefyzikálním výsledkům. Pokusíme se nyní určit fyzikální význam tohoto tensoru čistě pomocí makroskopických úvah. Ze zkušenosti víme, že v reálné tekutině existuje vnitřní tření. Toto tření je známé jako Viskozita kapaliny působí proti relativnímu pohybu sousedících vrstev tekutiny. Uvažujme tekutinu, kde její vrstvy v zx rovině se pohybují ve směru osy x. Pro pole rychlosti se smykem je známo, že vrstvy, které se pohybují menší rychlostí vx a které jsou položeny níže pod danou vrstvou xz, budou působit proti pohybu této vrstvy xz, která je položena výše. Na druhou stranu toto platí i naopak, že tedy vrstva s položená výše a která se pohybuje vyšší rychlostí urychluje níže položenou vrstvu. Vidíme tedy, že tato síla musí působit ve směru osy x aby způsobovala změnu rychlosti. Na 172 druhou stranu je jasné, že musí působit podél celé roviny xz. Vime, že sila podél elementu plochy s normálou rŕ je rovna (dFpovrch)i = -PijUjdS = -pdSi - TVijdSj . (893) Protože tato síla musí působit podél rovniny xz, normála je dána vektorem ny a protože tato sila má komponentu ve směru osy x je zřejmé, že tato sila je způsobena komponentou tensoru 7rxy. Tato síla je rostoucí funkcí gradientu rychlosti, to znamená musí být úměrná Tento předpoklad vedl Newtona k formulaci smykové síly ve tvaru vxy = , (894) kde fi je koeficient viskozity. Tekutiny, pro které platí tento vztah mezi tensorem smyku a gradientem rychlosti jsou známy jako Newtonovské tekutiny. Jak bude vyplývat z následující úvahy, tensor smyku musí mít komplikovanější tvar než ten, který je uveden víše. Toto můžeme názorně demonstrovat na případu rotaci tekutiny jako pevného tělesa. Uvažme těleso rotující s úhlovou rychlostí O = (0, 0, O), což vede k následujícím komponentům rychlosti v = O x x = (-yíl, xíl, 0) . (895) Pak jasně dostaneme Kxy = -P-Q^J- = (896) které je nenulový ačkoliv můžeme předpokádat, že zde neexistuje smyk v případě rotace tekutiny jako rotace tuhého tělesa. Na druhou stranu dostáváme, že p(dyvx + dxvy) = 0. Obecně můžeme psát dv1 1 dv'1 dv3 1 dv'1 dv3 1 ^ = 2fe + + šfe -d?) = ^ + 2e-kUk' (897) kde u)k = ekrsdrvs je vířivost. Vidíme, že Aíj vyjadřuje deformaci, zatím co druhý člen odpovídá rotaci. Z tohoto důvodu tensor smyku pro Newtonovské kapaliny by měl raději záviset na symetrické části gradientu rychlosti, což je Aíj, než na samotném gradientu rychlosti. Nechť tedy uvažujme nejobecnější formu tensoru druhého řádu, který je lineární funkcí symetrické kombinaci gradientu rychlosti dv1 dv3 \ dv k ) + b^—5ÍJ = 2aAÍJ + bAkk5ÍJ . (898) dxi dx'1) dxk 173 Poté můžeme tedy napsat nejobecnější formu tensoru tlaku ve tvaru 1 „ . \ / u dvk x \_ f dvi dvj 2 dvi (899) pij = Pk~2P ( - 3%Afcfc J -CAkkSij =[p- J -/x ^ — + — - -l což můžeme napsat v ekvivalentním tvaru 1 Pij = pSíj + iiij , p = p- (TrA , iiij = -2/x(Aý- - -%TrA) . (900) Zde 7Tjj je bezestopý tensor viskozního napětí způsobený rychlostním smykem. Koeficient fi je koeficient dynamické viskozity. Na druhou stranu první člen je roven P=\Pkk=P~ (d^ = p + , (901) ó p at kde jsme použili rovnici spojitosti dp dv% ■ dp dv% 1 dp , . Koeficient ( je znám jako koeficient objemové viskozity, který je způsoben viskozními silami odpovědné za objemové deformace. Ukazuje se, že objemová viskozita je důležitá pouze v případě, kdy stlačitelnost tekutiny je důležitá, například v případě rázových vln. Nyní bychom rádi ukázali alternativní postup, které vede k formulaci dynamiky viskózni tekutiny. Tento postup je založen na efektu disipace energie během pohybu tekutiny na samotný pohyb dané tekutiny. Tento proces je výsledkem termodynamické nevratnosti, který vždy existuje v reálné tekutině a je výsledkem vnitřního tření a teplotní kondukce. Abychom formulovaci pohyb viskózni tekutiny, je nutné dodat další členy do pohybové rovnice pro ideální tekutinu. Je jasné, že rovnice spojitosti musí platit pro libovolnou tekutinu, buď viskózni, nebo ideální. Na druhou stranu Eulerova rovnice musí být modifikována. Poznamenejme, že Eulerova rovnice může být zapsána ve tvaru (bez vnějších sil) =-ff • <««> kde Uij je hustotat toku hybnosti, která má tvar nífc = pSik + pViVk . (904) 174 Abychom dokázali, že (903) vede k Eulerovým rovnicím, dosadíme (904) do (903), tak dostaneme Ov ■ -dk(pvk)ví + p-^ = -dip - dkViVkp - Vidk(pvk) 9ví 1 — + okViVk = —dip ot p (905) kde jsme v prvním kroku použili rovnici spojitosti. Pohybové rovnice pro viskózni tekutinu mohou být tedy určeny z rovnice (903), kde provedeme modifikaci její pravé strany. Jinými slovy musíme zavést dodatečné členy do , které vezmou do úvahy efekt viskozního přenosu hybnosti v tekutině. Budeme tedy psát Yiij = pôij + pViVj - a'i:j = -Gij + pViVj . (906) Formu tensoru a'- je možné určit pomocí následujících úvah. Proces vnitřního tření vzniká za předpokladu, když rozdílné částice tekutiny se pohybují rozdílnými rychlostmi. Pak je zřejmé, že a'^ může být funkcí pouze prostorových derivací rychlosti. Jestliže také jsou tyto derivace malé, může předpokládat, že viskózni transfer hybnosti závisí pouze na prvních derivacích rychlosti. Vidíme, že o^- nemůže obsahovat členy, které nezávisejí na diVj, neboť o^-musí být roven nule pro v = const. V případě rovnoměrného rotačního pohybu můžeme použít stejné argumenty, jako jsme použili v předchozí diskuzi. Pak je jasné, že o'ik má tvar f dvi dvj 2 dvk\ dvk kde koeficienty p, £ nezávisí na rychlosti, ale mohou záviset na souřadnicích, případně jiných termodynamických veličin. Je možné ukázat, že koeficienty p a ( musí být kladné p > 0 , C > 0 . (908) Nyní, když jsme odvodili tvar tensoru toku hybnosti, můžeme jednoduše určit pohybové rovnice pro viskózni tekutinu, když dosadíme (906) spolu s (907) 175 do (903), což nám dává (Ov- Ov- \ %P dxj^\dxj dxi 3 13dxkJ dxi \ Ox^j (909) Toto je nejobecnější forma viskózni tekutiny. Koeficienty p, ( jsou funkcemi tlaku a teploty, které obecně nejsou konstantní, a tudiš tyto veličiny nemohou být vyneseny mimo parciální derivace. Na druhou stranu v mnoho případech koeficienty viskozity mohou být brány jako konstanty. Poté rovnice (909) má tvar (Ov- Ov- \ 0 (0v-\ 1 0 (0v^\ -ôí+ôŕkVk) = ~diP+^ [oů )+ (c+r]ô? [d*) (910) Toto je slavná, Navíer-Stokesova rovníce. Ukazuje se také, že v mnoha případech je možné uvažovat tekutinu jako nestlačitelnou O^v1 = 0, a tedy poslední člen na pravé straně (910) je roven nule. Pak rovnice (910) se zjednoduší do tvaru ^ + rPd-v = --Op + u—(^\ (911) 0t+ 31 plP+ Oxi \dxi) ' 1 ' kde v je koeficient kinematické viskozity fi v = — P 7.0.1 Porovnání Navier-Stokes a Eulerovy rovnice Je užitečné provnat Navier-Stokesovu rovnici (Budeme uvažovat její zjednodušenou formu danou rovnicí (911)) s Eulerovou rovnicí. Vidíme, že tyto rovnice se odlišují pouze dodatečným členem v Navier-Stokesově rovnici z/Tjffe {§^k)i který ovšem kompletně změní fyzikální podstatu teorie. Tento dodatečný člen obsahuje prostorové derivace druhého řádu, zatím co Eule-rova rovnice obsahuje derivace prvního řádu. Vidíme tedy, že potřebujeme více hraničních podmínek, abychom nalezli řešení N-S rovnice, než v případě Eulerovy rovnice. V případě Eulerovy rovnice, běžná hraniční podmínka říká, (912) 176 že komponenta rychlosti, kolmá na zafixovanou pevně danou hraniční plochu, je rovna nule. Tato podmínka pak vede k jednoznačnému řešení. Na druhou stranu N-S rovnice, která obsahuje prostorové derivace druhého řádu, dovoluje uložit podmínku v = 0 na pevných hranicích, což je charakteristická podmínka pro viskózni tekutinu. Tato podmínka má hluboký fyzikální význam, protože dovoluje studovat efekt tření tekutiny na tělesa vnořená do ní. Otázka je proč hraniční podmínka v = 0 na hranicích je ta správná. Můžeme podat následující fyzikální vysvětlení. Víme, že jistě exitují přitažlivé síly, mezi molekulami tekutiny a molekulami, které tvoří povrch ohraničující danou tekutinu. Tyto síly mají za následek, že vrstva tekutiny, která přiléhá k danému povrchu se nemůže pohybovat a tedy jev klidu. Tudiž je přirozené položit hraniční podmínku v = 0 na hranici. 7.0.2 Rovnice pro vířivost pro viskózni tekutiny V případě, že provedeme rotaci N-S rovnice, dostaneme rovnici pro vířivost ve tvaru = V x (v x oj) + vV2u , (913) kde V2 = . (914) dxl dxl v ' Jako další krok zavedeme Cirkulaci definovanou jako r(C) = j v-ds , (915) kde C je uzavřená materiální křivka, t.j. křivka protínající sousední elementy tekutiny a která sleduje jejich pohyb. Pomocí Stokesova věty můžeme napsat T(C) =lvds = í (V x v) • cřS = í u-dS = T(S(t),t) , (916) J J s J s kde S je libovoný povrch, který je ohraničen C. Tedy, cirkulace je rovna toku vířivost i. S pojmem cirkulace je spojen následují teorém, známý jako Kelvinův teorém:. Tento teorém v případě ideální tekutiny říká, že ^[imr(s,tl)-r(s.t)^o dt íi^í t\ — t 177 Nyní vysvětlíme význam jednotlivých pojmů. Význam S je zřejmý a není to nic jiného než libovolný povrch v kapalině, který je ohraničen křivkou C. Pak povrch S\ je tvořen body tekutiny, které se vyvíjejí pomocí svých dynamických rovnic z bodů na ploše S. Nyní provedeme důkaz tohoto teorému. Nechť máme vektorové pole Q, které splňuje rovnici div Q = 0 . (918) Nechť toto pole splňuje pohybovou rovnici ^ = V x (v x Q) A konečně definujme T = j' Q • dS a počítejme dT , — = lim dt st^o T(S1,t1)-T(S,t) ôt ,ti=t + 5t (919) (920) Pak máme ros-!,*!; / Q(x,t + 5t) -dS = / [Q(x,í) + 5í^(x,í)]-dS Í Q(x,í) -dS + 5t /"^(x,í) -dS + Oiôt2) . (921) Pak máme T^t + ôt) - T(S,t) St 1 St J Q(x,í)-dS + J Q(x,í)(-dS) + y^(x,í)-dS 5i Q-dS dV ' S Q-dS Cd f d3x(divQ- í Q(x,í)-dS = - í Q(x,í)-dS Jv Jed Jed (922) kde V je objem, jehož hranice dV je dána následujícím sjednocením dV = S1\JS\J Cd (923) 178 Jinými slovy povrch CC\ je vytvořen body na křivce, která se pohybuje ze své počáteční konfigurace C do konfigurace C±, přičemž body sledují své pohybové rovnice. Poznamenejme také, že při přechodu z druhého na třetí řádek v (922) jsme nejdříve použili Gaussovu větu a pak jsme využili předpokladu (918). Pro další postup je důležité si uvědomit, že normální vektor k ploše CC\ je dán dS = -5tv(x,t) x dl , (924) kde dl je dráhový element definovaný na křivce S. Pak dostaneme í Q • dS = f Q (-5tv(x, t) x dl) = JCd JCd 5t . 2 ' po' 1 tK1 tKdxk (933) kde jsme využili skutečnosti, že v případě nestlačitelné tekutiny platí dkvk = 0. Vidíme, že výraz v závorce je tok hustoty energie, kde pv(|-u2 + je tok energie zprostředkovaný skutečným transportem hmoty a je stejný jako tok energie v případě ideální nestlačitelné tekutiny. Druhý člen, daný jako v%o'i-je tok energie zprostředkovaný vnitřním třením. Nyní, když provedeme integraci (933) přes objem, dostaneme 9 f ,3 1 2 v ^ Jav pQVk{-V +—)- Vi Explicitně dostáváme dxp = dyp = 0 , 3^ = fj,^- . (939) dz dzx Protože levá strana této rovnice závisí pouze na z, zatím co pravá strana závisí pouze na x dostaneme, že obě strany se musí rovnat konstantě. Tedy d2v dv 1 1 2 /i— = cx — = -cxx + ci , v = —cxx + cxx + c0 . (940) dzx dx p 2p kde cx=dJ. (941) dz Abychom určili integrační konstanty, použijeme podmínky, že pro x = 0, v = 0 a že pro x = h,v = V. První podmínka dává c0 = 0 (942) zatím co druhá vede k rovnici 1 1 dv V = —cxh2 + ci=>hc1 = V----h2 . (943) 2/i 2/i dz Výsledkem dostaneme následující profil rychlosti " = rdix ~ Ifc>+ x ■ <944> 182 7.0.5 Škálování a Reynoldsovo číslo Je zajímavé, že při studiu dynamiky viskózni tekutiny je možné získat množství důležitých vlastností pomocí jednoduchých argumentů týkajících se dimenze různých fyzikálních veličin. Uvažujme například pohyb tělesa určitého tvaru v dané tekutině. V případě, že dané těleso není koule, je nutné také specifikovat směr pohybu. Pak říkáme, že tělesa stejného tvaru jsou geometricky podobné, jestliže mohou být získaný jedno z druhého díky jednoduché změně jeho lineárních rozměrů ve stejném poměru. Jinými slovy řečeno, jestliže je dán tvar tělesa, pak je dostačující specifikovat libovolný z jejich lineárních rozměrů, například poloměr sféry či válcové trubice, abychom kompletně určili její dimenze. Budeme také uvažovat ustálený tok, například, když budeme uvažovat tok okolo pevného tělesa, rychlost musí být konstantní. Dále budeme předpokládat, že tekutina je nestlačitelná. Víme, že parametr, který charakterizuje nestlačitelnou tekutinu, je kinematická viskozita v = ^. Pohybové rovnice musí být řešeny pro neznámé v a p/p kde p je konstantní. Dále, tok závisí, díky hraničním podmínkám, na tvaru a rozměrech tělesa, které se pohybuje v tekutině a na jeho rychlosti. Protože předpokládáme, že tvar tělesa je předem dán, jeho geometrické vlastnosti jsou určeny jedním lineárním rozměrem, který označíme jako L, který může být také interpretován jako charakteristický rozměr tělesa. Označme také rychlosti hlavního toku jako V, kterou můžeme interpretovat jako typickou rychlost tekutiny. Pak libovolný tok je speficikován třemi parametry, v, V a L a také charakteristickou časovou škálou L/V. Poznamenejme, že tyto parametry mají fyzikální rozměr [u] = mV1 , [L] = m , [V] = ms'1 . (945) Nechť nyní předpokládejme, že budeme měřit vzdálenosti jako násobky L, rychlosti jako násobky V a konečně času jako L/V. Jinými slovy, máme x = x'L , v = vV,í = ť L/V , u = JV/L , (946) kde nyní všechny čárkované proměnné jsou bezrozměrné. Vidíme tedy, že rovnice pro vířivost může být napsána pomocí bezrozměrných veličin jako ^ = roť(v' x J) + J-W , (947) 183 kde V' = ^7 = L4- = L V a kde isme definovali bezrozměrnou veličinu LV Re = — , (948) která je známá jako Reynoldsovo číslo. Pro dva geometricky podobné toky, bezrozměrná struktura jejích toků je podobná, což může být splněno za předpokladu, když jejich Reynoldsova čísla jsou stejná. Alternativně, protože vidíme, že jedinou bezrozměrnou veličinou v teorii je Reynoldsovo číslo, dostaneme, že řešením pohybové rovnice nestlačitelné tekutiny musí mít následující tvar v = Re) . (949) Z tohoto výsledku je zřejmé, že ve dvou rozdílních tocích toho samého typujako například tok okolo dvou koulí o dvou rozdílních poloměrech tekutinami o různých viskozitách, rychlosti v' jsou stejnými funkcemi x', jestliže Reynoldsova čísla pro tyto dva rozdílné toky souhlasí. Toky, které mohou být získaný pomocí jiných toku díky jednoduché změně jednotek souřadnich a rychlostí, se nazývají podobnými. Tedy toky toho samého typu s těmi samými Rey-noldsovými čísly jsou podobné. Tomuto výsledku se říká Zákon podobnosti, formulovaný O. Reynoldsem v roce 1883. Je také dobré diskutovat případ nestacionárního pohybu. Tyto toky nejsou charakterizovány pouze z/, V, L ale také charakteristickou časovou škálou r, která je charakteristickým časovým intervalem, za které se změní vlastnosti toku. Například v případě oscilačního pohybu je přirozenou časovou škálou perioda pohybu. Ze čtyř veličin z/, L, V, r můžeme konstruovat dvě bezrozměrné veličiny, kterým může být Reynoldsovo číslo a také Strouhalovo číslo S = Vr/L . (950) 7.0.6 Tok v případě malého Reynoldsova čísla Ukázali jsme, že pro nestlačitelnou tekutinu, pohybová rovnice pro bezrozměrné veličiny má tvar ^ = V'x(v'x z 20 dostaneme, že se objeví dva viry za válcem, na druhou stranu v případě ideální tekutiny není možné objevení vírů z důvodu zachování virových prstenců v ideální tekutině. Když budeme poté zvyšovat Reynoldsovo číslo, viry se budou střídavě objevovat na obou dvou stranách za válcem. Konečně, pro Re >z 104 dostáváme turbulentní pohyb kapaliny. 7.1 Turbulence 7.1.1 Co je turbulence Turbulence je stav tekutiny, který je charakterizován náhodnou a chaotickou tří dimenzionální vířivostí. Turbulence je také charakteristická velkou disipací energie, míšením, přenosem tepla. Je zřejmé, že turbulence vykazuje velké množství náhodnosti, otázkou ale je, co je jejím původem. Základní fyzikální principy nám říkají, že toky okolo nás jsou řešením pohybových rovnic. Na druhou stranu z podstaty turbulence není zřejmé, zda-li tyto rovnice sami o sobě nemají nějaký skrytý člen, který VV = 0 (955) 185 generuje náhodnost, například šum. Druhá možnost je, že pohybové rovnice samy o sobě jsou čistě deterministické, ale pouze jejich řešení může vykazovat prvky náhodnosti. Ukazuje se, že teprve moderní přístup ke studiu silně nelineárních dynamických systémů nám dává odpověď na tyto otázky. Dokonce i v případě jednoduché nelineární rovnice s deterministickými řešeními a danými počátečními podmínkami je možné najít chaotické a náhodné chování. Například, ve struktuře turbulentního toku vidíme prostorovou a časovou neurčitost, di-sipaci, závislost na okamžitém pohybu a dokonce téměř fraktální distribuci škál. 7.2 Popis turbulence Ukazuje se, že pro popis turbulentních jevů je nutné opustit čistý rámec hydrodynamického popisu. Uvažujme trajektorie dynamického systému ve fázovém prostoru okolo nestabilního rovnovážného bodu P. Klasicky, jestliže systém bude v čase t = 0 v tomto bodě, pak zde zůstane stále.Na druhou stranu, jakákoliv malá porucha má za následek, že systém se bude exponenciálně vzdalovat od tohoto bodu a za konečný časový okamžik je systém leží v velmi vzdáleném bodu fázového prostoru. Pak je prakticky nemožné deterministicky předpovědět stav systému za konečný časový interval. Jinak řečeno, očekáváme, že v případě nestabilního stavu tekutiny, rostoucí fluktuace mohou vést ke ztrátě naší schopnosti předpovědět další vývoj systému. Přesněji řečeno, pro libovolný viskózni tok, daný hraničními podmínkami, zde existuje přesné stabilní řešení pohybových rovnic viskózni tekutiny. Tyto řešení formálně existuje pro všechna Reynoldsovo čísla. Přesto ne každé řešení, dokonce i když je přesné, se ve skutečnosti objevuje. Aby tomu skutečně tak bylo, tak jakákoliv malé porucha, která se objeví v systému, se musí s časem zmenšovat. Naopak, když nějaká malá porucha, která se nevyhnutelně musí objevit v toku, s časem roste, tok je nestabilní a není možné, aby ve skutečnosti existoval. Matematický popis stability daného toku vzhledem k nekonečně malým poruchám se provádí následujícím způsobem. Libovolné řešení odpovídající stabilnímu toku Vo(x) porušíme časově a prostorově závislou poruchou Vi(x, £), která musí být taková, že výsledná rychlost v = Vo + vi splňuje pohybové rovnice. Pohybovou rovnici pro vx obdržíme, když vložíme v = v0 + vi , p = po + Pi (956) 186 do N-S rovnice pro nestlačitelnou tekutinu + (v • V)v = —Vp + zA72v , divv = 0 , (957) ot p kde Vo,p splňují časově nezávislou N-S rovnici (v0 • V)v0 = —Vp0 + zA72v0 , divv0 = 0 . (958) P Jakmile se omezíme na členy lineární v v1? dostaneme následující rovnici pro Vl + (v0 • V)vi + (vi • V)v0 = —Vpi + z/V2Vl , diWx = 0 ot p (959) s hraničními podmínkami, že vi je rovno nule na hranici systému. Vidíme tedy, že vx splňuje systém homogenních lineárních diferenciálních rovnic, kde koeficienty závisejí pouze na prostorových souřadnicích. Obecné řešení těchto rovnic může být representováno jako suma partikulárního řešení, kde Vi závisí na na čase jako kde uj není samozřejmě libovolné, ale jsou určeny řešením rovnice (959) s vhodnými hraničními podmínkami. Obecně, tyto frekvence mohou být komplexní. Jestliže pak najdeme takové u, jehož imaginární části jsou kladné, pak e~lwt bude neomezeně růst s časem. Jinými slovy, tyto poruchy budou růst a tok bude nestabilní vzhledem k těmto poruchám. Pak je jasné, že nutná podmínka stabilního toku je ta, že imaginární část jakékoliv možné frekvence je záporná. Ukazuje se, že tento matematický popis podmínek stability je extrémně komplikovaný a ve skutečnosti plně vyvinutý aparát pro teoretický popis stability ustáleného toku okolo těles konečných rozměrů ještě nebyl vypracován. Je jasné, že ustálený tok je stabilní pro dostatečně malá Reynold-sova čísla. Dále je experimentálně ověřeno, že když Re bude růst, může dosáhnout své kritické hodnoty Rekr, za kterou je tok nestabilní vzhledem k nekonečně malým poruchám. Jinými slovy řečeno, pro dostatečně velká Reynoldsova čísla Re > Re^r není možné mít ustálený tok okolo pevného tělesa. Je jasné, že kritické Reynoldsovo číslo není univerzální konstanta, ale 187 má rozdílné hodnoty v závislosti na druhu toku. Tyto kritické hodnoty leží v intervalu 10 -< Rekr ^ 100. Například, v případě toku v trubici se ukazuje, že Rekr = ^7 = 30, kde d je průměr trubice. Nechť nyní diskutujme podstatu nestabilního toku podrobněji. Budeme analyzovat vlastnosti toku pro Reynoldsova čísla, která nejsou o moc vyšší než Re^r- Pro Re < Re^ imaginární části komplexní frekvence u = Ui + *7i jsou záporné, pro všechny možné poruchy 7X < 0. Pro Re = Re^ zde existuje jedna frekvence s nulovou imaginární částí. Pro Re > Rekr imaginární část frekvence je kladná, ale protože Re je blízko Rekr můžeme předpokládat, že 71 je malé vzhledem k reálné části uj\. Na tomto místě je vhodné poznamenat, že množina všech možných poruchových frekvencí pro daný typ toku obsahuje jak separované izolované body , tzv. diskrétní spektrum, tak celé intervaly frekvencí, tzv. spojité spektrum. Ukazuje se ale, že tok okolo těles o konečných rozměrech, frekvence, pro které platí 71 > 0, se vyskytuje pouze v diskrétním spektru. Funkční závislost vi odpovídající této frekvenci má tvar Vl = A(í)/(x) , (960) kde / je obecně komplexní funkce a A(t) má tvar A{t) = Ce^e'™1* . (961) Je jasné, že tento vztah je platný pouze pro krátký časový interval po porušení ustáleného toku, protože exponent e7lí rychle roste s časem a tudíž je za krátký okamžik porovnatelný s neporušeným řešením Vo a tedy předpoklady, pomocí kterých jsme odvodili rovnici pro vi. Je také jasné, že ve skutečnosti modulus \A\ neroste neomezeně, ale dosáhne určité konečné hodnoty. Pro Re blízko Re^r tato konečná hodnota je malá a můžeme jí určit následujícím způsobem. Začneme s určením časové derivace veličiny \A\2. Pro velmi malé t, kdy platí (961)dostaneme ^-=27l|A|2 (962) kde samozřejmě můžeme interpretovat pravou stranu jako první člen v mocninné řadě A a A*. Je jasné, že jakmile \A\ roste (ale stale uvažujeme, že je malý), tak další členy v rozvoji by měly být uvažovány. Další členy tedy budou členy třetího řadu v A. Na druhou stranu nás nezajímá přesné řešení této rovnice, ale pouze její časová střední hodnota, kterou budeme počítat přes časový interval mnohem větší než perioda 2-k/uji. Poznamenejme, že tato 188 perioda je malá vzhledem k času I/71, za kterou se projeví časová změna modulusu. To vyplývá z předpokladu uj\ ^> 71. Protože ale tyto mocniny třetího řádu musí obsahovat exponenciální faktor e~ÍUJlt, které dávají nulový příspěvek, když počítáme časové střední hodnoty. Pak člen čtvrthého řádu dává A2A*2 = \A\4, který bude dávat nenulový příspěvek, když budeme počítat časovou střední hodnotu. Pak tedy dostáváme ^ = 27l|A|2-a|A|4, (963) kde a je tzv. Landauova konstanta, kde budeme předpokládat, že a > 0. Dále čára nad levou stranou této rovnice znamená časové středování přes intervaly, které jsou krátké vzhledem k hodnotě I/71, a tudiž na těchto intervalech se časové změny veličin \A\2, \A\4 dostatečně neprojeví. Ze stejného důvodu můžeme vypustit symbol časového středování nad levou stranou této rovnice a můžeme přistoupit k jejímu řešení, které má tvar W = ň+ Ce"7" • (964) Vidíme tedy, že asymptoticky \A\2 dosahuje konečné hodnoty \A\2max = 27i/« • (965) kde 71 je funkcí Reynoldsova čísla. Blízko Rekr můžeme vyjádřit tuto závislost jako mocnnou řadu v parametru Re—Rekr- Na druhou stranu z definice máme 7(i?efcr) = 0, což nám dává vyjádření pro 71 do prvního řádu 71 = K(Re - Rekr) . (966) Když vložíme tuto závislost do rovnice (965) dostaneme, že maximální amplituda závisí na Re následujícím způsobem \Amax\ ~ \/Re- Rekr . (967) Tento výsledek má následující fyzikální interpretaci v případě nestacionárního toku, který se objeví v případě Re > Rekr. Víme, že tento stav je důsledek nestability systému vzhledem k malým poruchám. Pro Re blízko Rekr, tento tok může být reprezentován jako suporpozice stacionárního řešení v0(x) a periodického toku Vi(x, t), s malou ale konečnou amplitudou, která ale 189 roste s rostoucím Reynoldsovým číslem. Rozložení rychlosti v tomto toku má tvar kde {3i je počáteční fáze. Ukazuje se, že pro velké Re — Rej-r rozdělení rychlosti na stacionární v0 a na fluktuační část vx už není příliš smysluplné. Jednoduše dostáváme periodický tok s frekvencí uji. Když zavedeme fázi 0 je malý a leží blízko bodu, kde ^y(k) je maximální, tedy kde ^ = 0. Představme si, že se objevila malá porucha v toku, její vlnové klupko má tvar superpozice komponent (971). Za určitý časový okamžik komponenty s ^y(k) > 0 jsou zesíleny, zatím co ostatní jsou tlumeny. Zesílené amplitudy tvoří vlnové klubko o grupové rychlosti které je neseno po proudu toku. Protože uvažujeme vlny, jejiž vlnová čísla leží v malém intervalu okolo bodu ^ = 0, pak rychlost je reálná a tedy skutečně odpovídá aktuální rychlosti vlnového klubka. Skutečnost, že kladné u implikuje zesílení poruch, které jsou neseny po proudu toku, vede ke dvou možnostem. V prvním případě, bez ohledu na pohyb vlnového klubka, poruchy rostou bez omezení během časového vývoje v libovolném pevně zafixovaném prostorovém místě. Tento druh nestability vzhledem k malým poruchám, se nazývá jako absolutní nestabilita. V druhém případě, vlnový balík je tak rychle unášen, že v libovolném pevném bodě v prostoru porucha se blíží k nule v limitě t —> 00. Tento druh nestability se nazývá proudovou nestabilitou. Rozdíl mezi těmito dvěmi případe je relativní ve smyslu, že závisí na souřadnicové soustavě, ve které danou nestabilitu sledujeme. Nestabilita, která se jeví jako proudová v jedné souřadnicové soustavě, se jeví jako absolutní nestabilita v druhé soustavě, která se pohub uje s daným klubkem. Na druhou stranu absolutní nestabilita se bude jevit jako proudová nestabilita v soustavě, která se pohubuje dostatečně rychle od daného klubka. Na druhou stranu v případě proudění tekutiny v trubici existuje preferovaná souřadnicová soustava, což je soustava, ve které trubice jev klidu. Závěrem bych rád zdůraznil, že kompletní teoretický popis dané nestability je velmi komplikovaný a zatím nebyl zcela vyřešen. 7.3 Pohybové rovnice pro střední hodnoty Uvažujme rovnici pro nestlačitelnou viskózni tekutinu (972) dk dk (973) 191 kde v = ^. Poznamenejme, že tuto rovnici můžeme přepsat do tvaru kde 2/í[Aí <9p (974) (975) Tato druhá forma pohybové rovnice má tu výhodu, že můžeme přesně sledovat vliv viskozního smyku. Nyní budeme studovat tuto rovnici podrobněji s ohledem na turbulentní chování. Jak víme, turbulentní tok odpovídá chaotickému stavu, který je řešením předchozí rovnice pro vysoká Reynoldsova čísla. Ačkoliv je známo, že laminární řešení předchozí rovnice, které jsou konsistentní s hraničními podmínkami, existují, poruchy, jakkoliv malé, vedou k jejich přeměně na turbulentní proudění. Abychom tomuto lépe porozumněli, je vhodné studovat tok ve dvou částech, střední komponentu rychlosti a fluktuační část. Jinými slovy zavedeme následující notaci Ví Ui p = P + p T- • = T- • (976) kde Vi,P,Tij reprezentují střední hodnoty a u,i,p,r,ij odpovídají fluktujícím hodnotám. Poznamenejme, že tato technika rozdělení veličin se nazývá Rey-noldsovo rozdělení. Poznamenejme, že když definujeme střední hodnoty jako střední hodnoty v ansamblu, pak jsou obecně časově závislé. Dále předpokládáme, že hustota je konstantní a tedy její fluktuace jsou nulové. Nyní tedy vložíme předchozí rozdělení veličin do pohybové rovnice a dostaneme P d(Vt + ut) MVí + Uí) + (Vj + uj) dt dxj d(P + P) f d(ŤtJ+TtJ) dxj dxj (977) Nyní můžeme provést středování dané rovnice, abychom dostali rovnici pro střední hodnoty. Z definice je zřejmé, že operace středování a diferencování komutují, to jest střední hodnota derivace je stejná jako derivace střední 192 hodnoty. Také střední hodnota fluktuující veličiny je nula, jak vyplývá z definice (v) = {V} + (u) V = V + (u) {u} = 0 . (978) Pak tedy dostaneme pohybovou rovnici pro střední pohyb P mm dt jdxi dP dT^ p (U duj 3 dxj (979) kde jsme přesunuji střední hodnotu fluktuačního členu na pravou stranu, abychom vyjádřili jeho vliv na dynamiku střední hodnoty. Samozřejmě, je otázkou, zda-li tento člen je rovné nule a odpověď závisí na korelaci členů, které vystupují v součinu. Obecně tyto korelace jsou nenulové. Stejným způsobem můžeme postupovat v případě zákonu zachování d(Vj + Uj) dx% 0 Jestliže vezmeme její střední hodnotu, tak dostaneme dx% 0 . (980) (981) Poznamenejme, že díky těmto dvěma rovnicím dostaneme zachovávající se rovnici pro fluktuační rychlost duj dxi 0 . (982) Jestliže nyní vynásobíme tuto rivnici u j a provedeme její středování, tak dostaneme dxi 0, což tedy můžeme přidat do výrazu (ujjpj) a tedy dostaneme Uj- dui xi Ui du3 dxi d dxj (UiUj) . (983) (984) kde jsme opět použili fakt, že operace středování a derivace komutují. Poté rovnice pro střední rychlost má tvar P mm dt jdxi dP d t- (985) 193 Členy na práve straně mají dimensi napětí. První člen je napěťový člen. Druhý člen vyjadřuje příspěvek fluktuací k nelineárním členům na levé straně. Teno tvar ukazuje, že alespoň co se týká středního pohybu, střední hodnota vystupujú tak, jako by se jednalo o napětí, proto se někdy nazývá jako Reynoldsovo napětí. Ve skutečnosti Reynoldsovo napětí je důvod, proč je problém turbulence tak obtížný. Ačkoliv je nazýváno napětím, jeho původ je velmi rozdílný od viskozního napětí. Víme, že smykové napětí je přímo spojeno s vlastnostmi tekutiny a je definován přímo z mikroskopické kinetické teorie. Na druhou stranu Reynoldsovo napětí je důsledkem samotného pohybu tekutiny. Dále, škály fluktuačního pohybu, které vedou k jeho vzniku, jsou právě škály, které nás zajímají. Jinými slovy dostáváme se k problému turbulence: • Pohybové rovnice pro střední hodnoty nejsou uzavřené. • Jednoduché hypotézy, jak dodat další rovnice obecně nefungují. Jinými slovy, když budeme schopni nějakým způsobem dodat rovnice pro konkrétní tok, například tok v trubici, nebudeme schopni předpovědět stav v trochu rozdílné konfiguraci. Jak víme, turbulentní tok se objeví z laminárního toku při zvyšování Rey-noldsova čísla. Tuto skutečnost je možné popsat pomocí rovnic, které jsme odvodili výše, kdy ale budeme předpokládat následující rozdělení rychlosti, kdy provedeme rozdělení na základní tok-laminární a poruchový tok, který reprezentuje fluktuační část nad základní část. Toto je postup, který jsme prováděli v předchozích odstavcích. Na druhou stranu, aby laminární tok byl skutečně laminárním tokem, pak rovnice pro střední hodnoty musí vytvářet ten samý laminární tok, který byl součástí původního předpokladu. Toto je ale možné pouze za předpokladu, kdy Reynoldsovo napětí je identicky rovno nule. Toto je samozřejmě pouze možné, když poruchy jsou velmi malé a tedy tyto extra členy mohou být zanedbány, to jest tyto poruchy nemohou růst. Jinými slovy tyto poruchy mohou růst pouze do konečné velikosti. Abychom toto určili, musíme najít rovnice pro tyto poruchy. Tyto rovnice můžeme určit, když z rovnice pro okamžitou rychlost odečteme rovnice pro základní pohyb. Jestliže toto provedeme, dostaneme rovnici dt dxi dp Otíj_ _ . dUi_ _ ( díM I duj dxj dxj ^Ujdxi ^ \ j dxj \ J' dx« (986) 194 Nyní musíme pečlivě vysvětlit členy v této rovnicic. Na levé straně je derivace fluktuační rychlosti, která sleduje střední rychlost. První dva členy na pravé straně mají stejnou formu jako v případě středního pohybu a representují gradient fluktuačního tlaku a fluktuačního viskozního námětí. Třetí člen na pravé straně je nový a jeho důsledkem je to, že fluktuace extrahují energii ze středního pohybu. Poslední člen je kvadratický ve fluktuačních rychlostech. Poznamenejme, že tato rovnice je identicky rovna nule, když provedeme její středování. Otázka je, když poruchy jsou malé. V tomto případě můžeme zanedbat poslední člen v předchozí rovnici, který je kvadratický ve fluktuacích a dostaneme lineární rovnici pro poruchy. Tyto rovnice jsou analyzovány v teorii lineární stability dynamiky tekutin. Je zřejmé, že tyto rovnice jsou uzavřeny, protože zde neexistuje žádné Reynoldsovo napětí. Je také zřejmé, že tyto rovnice popisují pouze velmi krátké okamžiky od počátku, kdy poruchy začnou růst, protože pak již nelze zanedbat Reynoldsovo napětí. Pak dostáváme, že rovnice pro střední rychlost jsou modifikovány a je zjevné, že dané řešení už není možné identifikovat s laminárním prouděním. Jinými slovy, teorie stability může předpovědět, kdy tok se stane nestabilním, ale mnoho neříká o přechodu k turbulenci, protože tento proces je vysoce nelineární. 7.3.1 Plně vyvinutá turbulence Turbulentní tok v případě velkého Reynoldsova čísla je charakterizován extrémně nepravidelnou změnou rychlosti v každém bodě během časového vývoje. Tento stav tekutiny je znám jako Plně vyvinutá turbulence. Rychlost spojitě fluktuuje okolo nějaké střední hodnoty rychlosti. Podobná náhodná variace rychlosti existuje mezi body v toku a daném okamžiku, jinými slovy když se podíváme na tekutinu v určitém časovém bodě jako celek, pak rozložení rychlosti v prostoru je naprosto nepravidelné. Ukazuje se, že plná teorie turbulence ještě není formulována, na druhou stranu je možné získat množství důležitých kvalitativních výsledků. Jinými slovy v praxi se často setkáváme s tekutinami, kde se zdá, že rozloženi rychlosti v prostoru a v čase je náhodné. Takový stav systému je znám jako turbulence. Zavedeme koncept střední rychlosti, což je veličina získaná středovaním přes určitý dlouhý časový interval rychlosti v daném bodě. Diky tomuto vystředování jsou všechny nepravidelnosti vyhlazeny a rychlost se mění spojitě v prostoru. V následujícím budeme označovat střední rychlost jako v. 195 Pak rozdíl v' = v - v (987) což je definováno jako rozdíl mezi skutečnou rychlostí a střední rychlosti. Tato rychlost se mění náhodně v závislosti na charakteru turbulence. Ze své podstaty není možné najít deterministickou teorii turbulence, a proto je nutné najít statistický popis tekutiny založený na středních hodnotách. V principu máme dva druhy středních hodnot. Časová střední hodnota, kdy studujeme jeden systém a určujeme střední hodnoty jako hodnoty přes určitý časový interval. Nebo máme ansámbl systémů a středování se provádí v tomto ansámblu. V případě ergodických systémů tyto dva statistické popisy jsou ekvivalentní. Budeme dále předpokládat, že se zabýváme er-godickými systémy a označíme statistické střední hodnoty vodorovnou čarou na dané proměnné. Studujme nyní detailněji vlastnosti tohoto nepravidelného pohybu, který je superponován nad středním tokem. Ukazuje se, že tento pohyb může být chápán jako souhr turbulentních virů o různé velikosti, velikostí víru myslíme vzdálenost, na kterou se dostatečně změní rychlost. Při růstu Reynoldsova čísla nejdříve se objevují velké víry, později víry o menší charakteristické velikosti. Pro velmi velká Reynoldsova čisla se objevují viry všech velikostí. Důležitou roli při turbulentním proudění hrají viry o největší velikosti, jejichž velikost (základní nebo také vnější škála turbulence je řádově rovna velikosti oblasti, v které probíhá daný turbulentní tok. Označme tuto škálu jako L. Rychlosti ve víru jsou porovnatelné se změnou střední rychlosti na vzdálenost charakteristické délky L. Označíme si hodnotu této změny rychlosti jako Av, kde nyní uvažujeme řád dané velikosti, nemluvíme o střední hodnotě rychlosti, ale o její změně Av, což je veličina, která charakterizuje rychlost turbulentního toku. Samozřejmě, střední hodnota může mít libovolné volikosti v závislosti na souřadnicové soustavě. Frekvence odpovídající těmto virům jsou řádu v/L. Poznamenejme, že tyto frekvence jsou definovány pomocí střední rychlosti, ne její změny Av. Frekvence nám určují periodu, za kterou se opakuje struktura toku v dané souřadnicové soustavě. Samozřejmě, v závislosti na dané souřadnicové soustavě, celá struktura je unášena tokem o střední rychlosti v. Když budeme uvažovat také malé viry, ukazuje se, že mají daleko větší frekvenci a mohou být chápány jako jemné detaily struktury, která doplňuje fundamentální velké viry. Je podstatné, že pouze malá část kinetické energie je uložena v malých virech. Pomocí obrázku turbulence, jak byla nastíněna v předchozích řádcích, si 196 můžejem udělat závěr týkající se variace fluktuační rychlosti od bodu k bodu v určitém, pčvném časovém okamžiku. Na velké vzdálenosti, porovnatelné s L, změna fluktuační rychlosti je dána změnou rychlosti velkých virů a tudíš je porovnatelná s Av. Na malé vzdálenosti(když porovnáváme vzhledem k L), je určena malými viry a je tedy malá, když ji porovnáváme s Av. Ten samý obrázek dostaneme, když pozorujeme změnu rychlosti s časem v daném pevném bodě. Přes krátké časové okamžiky, malé vzhledem k T ~ L/v se rychlost znatelně nemění. Na druhou stranu pro větší časové intervaly její změna je přibližně Av. Délka L je charakteristická délková škála, která se objevuje v Reynoldsově čísle, které určuje vlastnosti daného toku. Kromě Reynoldsova čisla můžeme také zavést kvalitativní koncept Reynoldsových čísel pro turbulentní viry různých velikostí. Jestliže A je řádově velikost daného viru a v\ velikost rychlosti, pak odpovídající Reynoldsovo číslo je Vidíme, že toto číslo klesá s velikostí viru. Pro velké Reynoldsovo číslo jsou Reynoldsova čísla Re\ velkých virů také velká. Na druhou stranu velké Reynoldsovo číslo je ekvivalentní malé viskozite. Vidíme tedy, že pro velké viry, které jsou základem turbulentního proudění, viskozita nehraje velkou roli. Jinými slovy, neexistuje zde významná disipace energie v případě velkých virů. Situace se samozřejmě změní v případě nej menších virů jejichž Reynoldsova čísla jsou řadově rovna jedné. Označíme velikost těchto viru jako Ao-Je zajímavé, že právě v těchto nej menších virech, které nejsou důležité z hlediska obecné struktury turbulentního toku, dochází k disipaci energie. Nyní můžeme přistoupit k následujícímu popisu disipace energie v turbulentním toku. Energie je přenášena od největších virů k nejmenším, prakticky bez disipace energie během tohoto procesu. Můžeme tedy říci, že zde je spojitý tok energie od velkých virů k malým, kde kinetická energie se přeměňuje na teplo. Abychom zachovali stabilní stav, musíme nutně zavést vnější zdroje energie, kteří spojitě dodávají energii velkým virům. Protože viskozita je důležitá pouze pro nejmenší viry, můžeme říci, že žádná z veličin,které příslušejí virům o velikostech A > Ao nemůže záviset na v. Tato okolnost redukuje počet veličin, které určují vlastnosti turbulentního toku, a výsledkem je to, že argumenty založené na podobnostních úvahách, jsou velmi důležité, když studujeme vlastnosti turbulence. 197 Použijeme tyto argumenty, když se budeme snažit určit řádovou hodnotu disipace energie v turbulentním toku. Nechť e je střední hodnota disipace energie za jednotku času na jednotku hmotnosti tekutiny, kde nyní e odpovídá disipativní energii, né její vnitřní energii. Tato energie je získána z velkých virů a pak je spojitě přenášena na menší víry dokud není disipována ve vírech o velikosti ~ Ao- Protože tedy nedochází ke ztrátě energie od virů největší velikosti k nejmenším, můžeme odhadnout energii e z veličin, které charakterizují největší viry, ačkoliv k disipaci energie dochází na nej menších škálách. Tyto veličiny jsou hustota tekutiny p, délka L a rychlost Av. Z těchto tří veličin můžeme vytvořit veličinu, která má dimensi e jako (Avf/L . (98É Tato veličina určuje velikost disipace energie v turbulentním toku. Z určitého pohledu můžeme charakterizovat turbulentní tekutinu pomocí tzv turbulentní viskozity Vturb, která se liší od kinematické viskozity v. Protože Vturb charakterizuje vlastnosti turbulentního toku, jeho velikost musí být určena p, Av a L. Jediná veličina, která může být vytvořena z těchto veličin a která má dimensi kinematické viskozity, je LAv a tedy dostáváme vturh ~ LAv . (989) Vidíme tedy, že podíl vtUrb k v je roven ^ ~ Re (990) a roste se zvětšujícím se Reynoldsovým číslem. Pak energie disipace může být vyjádřena pomocí Vturb jako vturb{Av/Lf (991) což je v souladu s běžnou definicí viskozity. Zatím co, v určuje disipaci energie díky členům, které závisejí na prostorových derivacích skutečné rychlosti, vturb se vztahuje ke gradientu (~ Av/L střední rychlosti. Podobnými arguemty můžeme určit velikost změny tlaku v prostoru vyplněném turbulentním tokem. Jediná veličina, která má rozměr tlaku a která může být vytvořena z p,L a Av je p{Av)2. Tedy Ap ~ p(Av)2 . (992) 198 Nyní uvažujme vlastnosti vírů o velikosti A, které jsou malé vzhledem k fundamentální škále L. Tyto vlastnosti se nazývají lokálními vlastnostmi turbulence. Budeme dále předpokládat, že tyto viry jsou daleko od pevných hranic, které vymezují tekutinu. Pak je možné předpokládat, že taková malá turbulence je homogenní a isotropní, což znamená, že na vzdálenostech, které jsou malé vzhledem k L, nejsou vlastnosti turbulence závislé na směru. Konkrétně, nezávisejí na směru střední rychlosti. Je důležité zdůraznit, že když mluvíme o vlastnostech turbulence v malé oblasti toku, tak máme na mysli relativní pohyb částic tekutiny v této oblasti a nemyslíme absolutní pohyb této oblasti jako celek, který je způsoben velkými viry. Nechť nyní studujme lokální vlastnosti turbulence , které byly poprvé získány Kolmogorovem v roce 1941. Pro plné porozumnění tohoto problému musíme najít veličiny, které nám dávají informace o oblastech, které jsou malé vzhledem k L, ale na druhou stranu jsou velké vzhledem k Ao, kde efekt viskozity je významný. Parametry, které máme k dispozici, je hustota tekutiny p a dále energie e, což je energie disipována za jednotku času na jednotku hmoty tekutiny. Přednesli jsme argumenty, že tento tok energie spojitě přechází od větších virů k menším. Jinými slovy, ačkoliv disipace energie je způsobena výhradně disipací energie a probíhá na úrovni nejmenších virů, energie e určuje vlastnosti větších virů. Pak je přirozené předpokládat, že pro dané p a e lokální vlastnosti turbulence jsou nezávislé na rozměru L a rychlsti Av. Jinými slovy viskozita tekutiny nemůže vystupovat v libovolné z těchto veličin, neboť se zajímáme o jevy na délkových škálách A ^> \q. Určeme nyní velikost rychlosti v\, což je turbulentní rychlost na délkové škále A. Je jasné, že může záviset pouze na e a na A. Z těchto veličin můžeme vytvořit pouze jednu veličinu, která má rozměr rychlosti, a to (eA)1/3. To vyplývá ze skutečnosti, že rozměr e je [e] = mV3 . (993) neboť e je definována jako hustota energie na jednotku hmoty za jednotku času. pak je jasné, že vx = KďX1 ^ M = [m] : 1 = 2p + q , [K]+p[e]+q[X]^ [s] : -1 = -3p =>• 1 1 P=3 q=3 (994) 199 kde K je bez rozměrná veličina [K] = 0. Poté dostáváme vx ~ (eA)1/3 . (995) Tato závislost je známá jako Kolmogorův zákon. Můžeme také interpretovat Vx jako rychlost turbulentních virů, jejichž velikost je řádově rovna A. To vyplývá z faktu, že variace střední rychlosti na malých vzdálenostech je malá vzhledem ke změně fluktuační rychllsti na tyto vzdálenosti, a tedy může být zanedbána. Podívejme se nyní na daný problem z druhého hlediska a určíme velikost vT změny rychlosti v daném bodě za časový interval r, který je malý vzhledem k časové škále T ~ L/v, která charakterizuje tok jako celek. Uvažme, že díky existenci středního toku, libovolný kousek tekutiny je posunut za časový interval r do vzdálenosti rv, kde v ]e střední rychlost. Tedy část tekutiny, která je v daném bodě v čase r, byla ve vzdálenosti rv v počátečním okamžiku. Poté dostaneme vT tím, že vložíme A = rv do Kolmogorova zákona vT ~ (erv)1'3 . (996) Konečně, s použitím e ~ (Av)3/L, dostaneme vx ~ Av^X/L)1'3 , vT ~ Av(r/T)1/3 . (997) Položme si nyní otázku, pro jaké vzdálenosti začne viskozita tekutiny hrát důležitou roli. Tyto délkové škály Ao také určují velikost nej menších virů v turbulentním toku a proto jsou také nazývány jako vnitřní škály turbulence. Poznamenejme, že vnější škála turbulence je charakteristická délka L. Abychom určili Ao, zavedeme lokální Reynoldsovo číslo Rx Rx ~ vxX/v ~ AvXA/3/vL1/3 ~ R(X/L)A/3 (998) kde jsme zavedli Reynoldsovo číslo R ~ LAv/v (999) pro tok jako celek. Definujme škálu Ao jako vzdálenost, kde R\0 ~ 1. Z této podmínky dostaneme ~ —j (1000) f?4 200 Ten samý výraz můžeme vytvořit z e a v. Jediná kombinace, kterou můžeme vytvořit y těchto veličin a která má rozměr délky, je A0 ~ (z^/e)1/4 . (1001) Vidíme tedy, že vnitřní škála turbulence se rychle snižuje se zvětšujícím se Reynoldsovým číslem. Rozsah délkových škál, kde A ~ L se nazývá energetický interval, kde většina kinetické energie toku je koncentrována právě na těchto škálách. Hodnoty, kdy A >- Ao tvoří disipativní interval. Toto je interval, kdy dochází k disipaci kinetické energie. Pro velmi velká Reynoldsova čísla, tyto dva intervaly jsou od sebe velmi vzdáleny. Interval, který leží mezi těmito dvěma intervaly, se nazývá vnitřní interval. Kolmogorův zákon může být také formulován v ekvivalentní spektrální formě. Nahradíme škálu A odpovídajícím vlnovým číslem k ~ j- daného viru. Nechť poté definujme E(k)dk jako kinetická energie na jednotku hmoty tekutiny ve virech s hodnotami vlnového vektoru k v intervalu (k, k + dk). Funkce E{k) má rozměr [E(k)\ = m3s-2 (1002) a tedy jediná veličina, která může být zformulována z e a A; má formu E = Kepkq => m : 3 = 2p — q , s : -2 = -3p => 2 5 P =3'g = "3 a tedy E(k) ~ e2/3AT5/3 . (1004) Tento vztah je v souladu s Kolmogorovým zákonem v\ ~ (eA)1/3, neboť v\ řádově udává velikost celkové energie ve virech o velikosti A nebo menších. Tento samý výsledek ale dostaneme, když provedeme následjící integraci / E(k')dk' ~ -e2l3[k'-2'3}™ = e2'3^2'3 =~ {e\)2'3 = v\ (1005) Jk kde jsme užili vztah k ~ \. (1003) 201 7.3.2 Korelační délka Rychlost v každém bodě x může být napsána jako v = v + v' (1006) kde v je statistická střední hodnota a kde v' je fluktuační část. Z této definice je zřejmé, že v' = 0 . (1007) Vidíme tedy, že je nutné použít komplikovanější objekt na popis fluktuací, abychom popsali jejich statistické vlastnosti. Ukazuje se, že jednou z nejjed-nodušších modifikací je následující střední hodnota fluktuací v'(x,í) • v'(x + r,ť) . (1008) Pro r = 0 tento výraz je roven i/2(x,t) což je úměrné hustotě průměrné kinetické energie fluktuací. Pro r —> oo fluktuačními rychlostmi jsou nezko-relovány a tedy lim v'(x, t) ■ v'(x + r, t) = v'(x, t) ■ v'(x + r, t) = 0 . (1009) Vidíme tedy, že v'(x, t) ■ v'(x + r, t) nabývá podstatných hodnot pouze v intervalu r >z konečná hodnota. Tato vzdálenost se nazývá Korelační délka turbulence. Vidíme tedy, že tato střední hodnota v'(x, t) ■ v'(x + r,t) obsahuje informace o síle turbulence a zároveň o korelační délce turbulence a tudíž ji můžeme považovat za vhodnou míru vlastností turbulence. Víme také, že variace rychlosti na malých vzdálenostech je způsobena malými viry. Na druhou stranu vlastnosti lokální turbulence nezávisejí na průměrném toku. Můžeme tedy předpokládat zidealizovaný případ, kdy isotropie a homogenita není pouze na malých škálách, ale na velkých škálách, kde průměrná rychlost je pak nula. Korelační tensor Korelační tensor rychlosti pro turbulentní tok je definován následujícím způsobem Rij(rr,x,t) = ^(x,í)^.(x + r,í) . (1010) Obecně tento tensor má devět nezávislých komponent, ale díky symetriím je možné velmi redukovat počet nezávislých komponent. 202 V předchozí části jsme argumentovali, že v případě nestabilní rovnováhy je nemožné přesně určit okamžité hodnoty fluktuucích polí. Na druhou stranu je možné se ptát, zda-li není možné určit alespoň hodnoty korelatoru Rij(r, x) nebo korelačních funkcí vyšších řádů Vj(xi), Wj(x2)wfc(x3), jestliže známe počáteční a hraniční podmínky na střední hodnoty a statistiku fluktuací. Ukazuje se ale bohužel, že taková teorie nebyla dosud formulována. V následujícím budeme uvažovat případ nestlačitelné, homogenní a isotropní turbulence. Druhý předpoklad znamená, že korelační tensor nezávisí na x. Třetí předpoklad znamená, že medium nemá žádný preferovaný směr, t.j. jediný vektor, na kterém korelační tensor může záviset, je vektor r. Toto implikuje také to, že v = 0. (1011) Předpoklady homogenity a isotropie implikují Ríj(r) = Rtj(r, x) = Ríj(r, x - r) = ^(x - r)^-(x) = vi(x)ví(x - r) = Rji(-r) dRij ( A<9-u,-(x + r) — -—-- dRji ar, v'^aFT = ",(X)(V'v)(x + r) = ° °* *7 = ° (1012) kde jsme využili předpoklad nestlačitelnosti tekutiny. Formu korelačního tensoru pro případ isotropní turbulence můžeme určit následujícím způsobem. Uvažujme kartézský systém souřadnic K, kde jeden z bázových vektorů, řekněme ěz, souhlasí s vektorem korelace r = rě. Označíme korelační funkci jako 1^7 i?33 = č3(x)53(x + re3) = -v2f(r) , (1013) s podmínkou /(O) = 1. Díky symetrii, korelační funkce komponent rychlosti kolmé k r musí souhlasit, Rn = ^(x)^(x + rě3) = -v2g{r) (1014) s i = j = 1,2 a s g(0) = 1. Mimo diagonální komponenty R^ musí být rovné nule v dané souřadnicové soustavě, protože můžeme předpokládat, že fluktuace komponent rychlosti jsou na sobě nezávislé ^2 / 9(r) 0 0 Říj = v-\ 0 g(r) 0 | (1015) V 0 0 f(r) 203 Při transformaci do jiné souřadnicové soustavy danou bází e-j, která je vstáhnutá k první bázi pomocí relace ěj = M/e,- dostaneme pro libovolný vektor v v = v'et = vrej = Vivijtik ,iviiki\ikj — "ij což dává Pak dostaneme v1 = rM/j , /,'„ = MikMj[Rki . (1016) (1017) Rt3 = j[(MtlMjl + Mt2Mj2)g(r) + Ml3Mj3f(r)} = ^P[MikMjkg(r) + Ml3Mj3(f(r) - g(r))] = = ^% 1 . (1031) v (1032) e ~ — =>- v = (1033) 206 Tento předpoklad můžeme použít i na menší škály, což dává L ÍL^1/A h V v3 L3V3\ 1/4 1 f ) ld lj \ vdJ l\ v (1034) Konečně, s použitím předpokladu, že e ~ V3/L dostaneme Re3'4 id ' ' ' V /I/4\1/4 , „ , , (1035) Díky těmto relacím můžeme nyní určit približnou formu energetického spektra E(k). Z předpokladu máme, že nejvetší viry mají charakteristický rozměr L, což můžeme interpretovat jako maximální délkovou škálu. Pak je jasné, díky vztahu mezi maximální délkovou škálou a minimálním impulsem, dostaneme, že minimální impuls je roven kL ~ . (1036) Na druhou stranu, nejmenší viry mají velikost d, což nám dává maximální impuls roven kd ~ r ■ (1037) Interval impulsů — < k < kd = Re3/4kL (1038) kL (kde jsme využili skutečnosti, že j- ~ se nazývá vnitřní rozsah. Očekáváme, že v tomto intervalu energetické spektrum závisí pouze na e a k, což nám dává E{k) = Ce2/3AT5/3, kL^k^kd . (1039) jako jedinou možnou formu spektrální funkce. Konstanta C je bezrozměrné číslo známé jako Kolmogorova konstanta. Je dobré říci, že toto Kolmogorovo spektrum nebylo určeno pomocí rigorózní analýzy. Na druhou stranu bylo ověřeno mnohými experimenty. 207 8 Relativista hydrodynamika Hmotné medium je popsáno v relativistické fyzice pomocí tensoru energie hybnosti, který vystupuje na pravé straně Einsteinových rovic G»v = , (1040) kde G je gravitační konstanta a c je rychlost světla. Formulace relativistické hydrodynamiky musí splňovat základní předpoklad, že rovnice jsou kovariantní. Jinými slovy řečeno, mají stejný tvar ve všech souřadnicových soustavách. Z toho důvodu musí být formulována pomocí (D+l)— vektoru rychlosti. Také je velmi dobře známo, že kovariantní veličina, která popisuje dynamiku pole, je Tensor energie impulsu T^, který vystupuje na pravé straně rovnice (1040). Nyní odvodíme důležitou rovnici, který musí tento tensor splňovat. Uvažujme Bianchiho identitu pro Riemannův tensor VPR\V + VvR\pp + V,R\vp = 0 . (1041) Nyní provedeme kontrakci indexů A and fi a z definice R^api/ = Rav dostaneme identitu VpJRCT, - VuRp(T + VxR\up = 0 . (1042) Následně provedeme kontrakci této rovnice s pomocí gpa a dostaneme 0 = VPR"V - WVR + VxRXl/ = 2V(f^ - ^VR) = 0 . (1043) Jinými slovy, že kovariantní derivace tensoru Gpv = Rpv — \gpvR je identicky rovna nule. Pak z rovnice (1040) dostaneme V^Tt = 0 . (1044) Poznamenejme, že toto musí platit bez ohledu, zda-li jsou splněny pohybové rovnice pro tekutinu. Je také možné uvažovat obecnější formu kapaliny, která je charakterizována nejen tensorem energie hybnosti, ale take jinými zachovávajícími se náboji, které v relativistické hydrodynamice jsou definovány 4-vektory toku VpJf ,/ = (l,2,...), (1045) kde index I označuje všechny konservativní náboje, které charakterizují daný systém. 208 8.1 Konstrukce tensoru energie-hybnosti V této kapitole nastíníme postup, jak zformulovat tensor energie hybnosti pro ideální tekutinu. Víme, že v nerelativistickém případě máme jasně definovaný časový vývoj, čas má rozdílnou roli než prostorové souřadnice. Samozřejmě, toto je vhodné pro studium časového vývoje systému, na druhou stranu je zřejmé, že daný popis není kovariantní, kde princip kovariance je základním principem všech relativistických teorií. Na druhou stranu je možné ukázat, že i v případě kovariantních teorií je možné studovat časový vývoj systému, kdy zavedeme tzv 3 + 1 formalismus, který spočívá v rozdělení variaty na systém tří rozměrných prostorových podprostorů, každý parametrizovaný skalární funkcí, která také parametrizuje časový vývoj systému. Nyní přistoupíme podrobněji ke konstrukci tensoru energie hybnosti. Uvažujme pozorovatele, který se pohybuje s časupodobnou čtyřrychlostí U11 (pro pozorovatele v klidu vzhledem k dané soustavě máme U° = c Projekce do prostorupodobného směru kolmého na časupodobný vektor U11 je definována projektorem -L^ = K + \u^Uv , (1046) cz pro který platí -L^ř/" = o. (1047) Vidíme tedy, že můžeme provést projekci ve směru pozorovatele, která je dána kontrakcí příslušné veličiny s vektorem U^, nebo projekci ve směru kolmém. Pak definujeme hustotu energie, jak je vnímána pozorovatelem, dána výrazem e = ^T^UW , (1048) zatím co prostoročasová hustota hybnosti je dána kovariantním výrazem Vp = --L/ř/"Tp„ . (1049) Nakonec definujeme prostorupodobný smyk S,v = ±f±°Tpa . (1050) 209 Je zřejmé, že tento tensor má pouze prostorupodobné komponenty, protože jeho kontrakce s časupodobným vektorem U11 je rovno nule. Je zřejmé, že můžeme psát tensor energie hybnosti v následujícím tvaru T,v = 5^T^ = {L^-^U^){LJ-^Uvlľr)Tpa = = ^U^Uve + n = (uQm) • (1053) Vidíme, že je zde rozdíl mezi T^M a Tpv. První popisuje stav systému vzhledem k element tekutiny, zatím co druhý popisuje stav elementů tekutiny vzhledem k systému. Podrobněji, můžeme uvažovat soustavu definovanou vektorem u^, vzhledem ke které je pozorovatel v klidu, a je tedy možné ztotožnit vř = Ulí. Je také jasné, že vzhledem k této soustavě spojené s tekutinou neexistuje tok hybnosti a tedy = 0. Prostorový smyk je symetrický tensor, který může být vytvořen z a g^y. Protože také musí platit, že u^Spv = 0 a tedy najdeme 1 1 Jestliže identifikujeme p = S/3, dostaneme Stiv = ^S(gpv + — u^uv) . (1054) 1 T^v = ^2 (e + p)u^uv + pg^ , (1055) 210 což je konečný tvar tensoru energie hybnosti ideální tekutiny. Díky stavové rovnici p = p(e), dostáváme, že máme 4 nezávislé proměnné pro ideální tekutinu, protože také platí u^u^ = —c2. Je zřejmé, že ve své lokální klidové soustavě, kdy u% = 0,Qíj = ó~ij, dostaneme Jinými slovy platí lokální Planckův zákon. Dále, protože relativistickou tekutinu popisujeme pomocí tensoru energie hybnosti dostaneme, že její pohybové rovnice jsou dány zákonem zachování energie Shrňme tedy základní principy pro formulování relativistické hydrodynamiky. Specifikujeme daný systém pomocí tensoru energie hybnosti a možných daných toků pomocí vektoru a potencilně pomocí dalších veličin. Protože hydrodynamický popis má pouze smysl, když daná mikroskopická teorie je ve stavu lokální termodynamické rovnováhy, je jasné, že abychom plně charakterizovali daný systém, musíme použít lokální termodynamické veličiny. Dále musíme popsat, jak různé části tekutiny, které jsou v lokální termodynamické interakce, spolu vzájemně interagují. Abychom toho dosáhli, uvažujme element tekutiny, který je v lokální termodynamické rovnováze a tudíš je popsán lokálními termodynamickými veličinami. Protože si tento element vyměňuje základní termodynamické veličiny se svým okolím, je zřejmé, že bychom měli s ním spojit vektor u^, který popisuje tok tekutiny a tudíž i transport různých termodynamických veličin. Ukazuje se, že lokální termodynamické proměnné spolu s rychlostí plně popisují tekutinu. Podrobněji, uvažujme tok hybnosti přes plošný element dí, což není nic jiného než síla působící na tento element. Jinými slovy TÍJ dfj je i— tá komponenta síly působící na povrchový element. Uvažujme objemový element v souřadnicové soustavě, kde je v klidu, která je známa jako lokální klidová soustava. V této soustavě platí Pascalův zákon, který nám říká že tlak v daném elementu tekutiny je stejný ve všech směrech a síla je kolmá na plochu, na kterou působí. Pak můžeme napsat Tíj — pó~ij ,i, j — 1,..., 3 . . (1056) (1057) T^dfj=pdf a tedy T%3 = po13 . (1059) 211 Je také jasné, že v lokální klidové soustavě jsou komponenty T0í jsou rovny nule, neboť v této soustavě je hustota hybnosti nulová. Komponenta T00 je vnitřní hustota energie, kterou označíme jako e. Jinými slovy, v lokální klidové soustavě dostáváme tensor energie hybnosti v případě ideální tekutiny ve tvaru rppv 0 o o o \ p o o o o p o \ 0 0 0 p ) Pak je zřejmé, že v libovolné soustavě dostaneme (1060) rppv — (e + p)u^uh cz pg (1061) Komponenty tohoto tensoru v třírozměrné formě mají tvar V> = -(e + p) v v- "(e + p)r v2 je2 V2 j Č V2/C2 (e + p) pôtJ p ■ (1062) Nerelativistický případ odpovídá situaci, kdy nCca malé rychlosti mikroskopického pohybu částic tekutiny. Poznamenejme, že relativistická vnitřní energie e zahrnuje také klidovou energii nmc2, kde m je klidová hmotnost jedné částice. Dále, hustota částic odpovídá hustotě částic v lokální klidové soustavě. Na druhou stranu v nerelativistickém popisu používáme hustotu energie v laboratorní soustavě, tedy máme mn —> p^/l — v2 j'c2pv2/'2kde p je nerelativistká hustota hmoty. Pak tedy dostaneme T00 —> pc2 + pe + \pv2. 8.2 Relativistická supertekutina Uvažujme relativistickou teorii pole se zachovávajícím se ř7(l) nábojem s odpovídajícím se tokem JM a dále s tensorem energie hybnosti T^v. Tyto veličiny splňují rovnice = 0 , = 0 . (1063) Dále budeme předpokládat, že tento systém je studován při konečné teplotě T a chemickým potenciálem p. 212 9 Relativistická viskózni hydrodynamika 9.1 Relativistická Navier-Stokesova rovnice Ideálni tekutina je definována jako tekutina, kde je vliv viskozity zanedbán. Jestliže chceme vzít do úvahy efekt viskozity, musíme modifikovat tensor energie hybnosti následujícím způsobem = Tg) + IP" , (1064) kde TfiV(Qj je tensor energie impulsu, který má tvar tensoru pro ideální tekutinu. Tvar tohoto tensoru můžeme odvodit následujícím způsobem. Tento tensor musí být funkcí hydrodynamických stupňů volnosti, jmenovitě loren-tzovských skalárů e,p, dále čtyřvektoru rychlosti definovaný jako doc^1 . , ir = — , 1065 ar kde r je vlastní čas, který je definován z definice invariance čárového elementu 1 doo doo o r v č^^t^t1 = ~ [1~72 Pak dostaneme -c2dr2 = -c2dt2 + dédxi = -dt2\l - ——---^1 = -dt2\l - — ] . (1066) dtdx" 1 ' c x 7(í;)( °t ) . (1067) 1 _ Ol \V C2 v nerelativistické limitě v je -vřd^e + (p + e)3/ = 0 , (1078) 214 kde jsme použili u^vr = — c2, což nám dává d^uvuv = ^d^{uvuv) = 0 (1079) Také musíme ukázat, že d^uv = d^uv) - A^d^uv = = -d^ir - d^ďv!1 = -d^ir . (1080) Pro následující projekci dostaneme A a O rpiíV = ^(Aavd^uv + Aavuvd^e + Aaveu^d^uv) + +A* d^pA"" + A>^A^ = = \(e + p)u^daua + A^daP => c2 (e + p^d^u" + A^d^p = 0 , kde jsme použili (1081) 1 1 —uauv)-c2 CÁ c2 c2 c2 (1082) Dále zavedeme následující notaci D = u^d^ , Va = A^d^ (1083) a tedy pohybové rovnice mají tvar De+ (e + p)d^ = 0 , (e + p)Dua + A> = 0 (1084) což jsou fundamentální rovnice relativistické ideální tekutiny. Abychom jim lépe porozumněli, uvažujme nerelativistickou limity «/c< la tedy v prvním 215 přiblížení u° ~ c, u% ~ v1 kdy dostaneme d ■ d ^ cdt+ dx* °t + V°^ A° = /ŕ^-Udt + v'di) , (1085) Dále uvažujeme nerelativistickou limitu, kdy pCea kdy vnitřní energie je dominována hustotu e ~ p pak první rovnice dává dtp + v1 d p + poď = dtp + diiv'p) = 0 (1086) což je zjevně rovnice spojitosti. Stejným způsobem dostaneme ze druhé rovnice 1 p(dtvl + v3djVl) + dip = 0 =>- (dtvl + iŕdjV1) = —d,ip (1087) což je Eulerova rovnice. Po shrnutí základních pojmů týkající se relativistické formulace ideální tekutiny přejdeme k problému formulace relativistické viskózni hydrodynamiky. 9.2 Relativistická viskózni tekutina V případě, kdy nebudeme zanedbávat efekt viskozity, musíme uvažovat obecnější tvar tensoru energie hybnosti. Uvažujme tedy tensor ve tvaru Tnv = T»v + Wv ^ (108g) kde je tensor energie hybnosti ideální tekutiny a IP" je viskózni část, která zahrnuje efekt disipace. Dále je nutné uvažovat obecnější tvar čtyřvektoru toku = nu^ + z/4 , (1089) 216 kde T^v a splňují rovnice = 0 , d^rr = 0 . (1090) Nyní je důležité diskutovat význam čtyřrychlosti vř. V relativistické mechanice tok energie nutně zahrnuje také tok hmoty. Na druhou stranu v případě, že existuje tok tepla, pak definice rychlosti pomocí hustoty toku hmoty není přesný význam. Raději definuje rychlost podmínkou, že v lokální klidové soustavě libovolného elementu tekutiny, je hybnost elementu nulová a energie, vyjádřena pomocí ostatních termodynamických veličin, je vyjádřena stejným způsobem, jako když disipativní procesy nejsou přítomny. Jinými slovy, v lokální klidové soustavě komponenty tensoru II00 a II0í jsou rovny nule. Protože v této soustavě platí, že iř = 0, dostáváme v lilbovolné soustavě tensorovou rovnici UllWv = 0 . (1091) Podobná podmínka musí platit v případě vektoru v^vř = 0 , (1092) protože n° komponenta vektoru musí v lokální klidové soutavě být rovna hustotě částic n. Pomocí těchto argumentů dostaneme u^v = _euv _ (1093) Poznamenejme, že podmínku (1091) je možné chápat jako výběr soustavy pro definici 4— rychlosti tekutiny. Někdy se tato podmínka nazývá Landau-Lifšic soustavou. Tomuto můžeme lépe porozumět, když si uvědomíme, že pro systém se zachovávajícím se nábojem zde existuje odpovídající tok n11, který může být použit alternativně k definici rychlosti tekutiny, což je tzv. Eckertův systém kdy u^rť = n. Tyto možnosti odrážejí naší volnost v definování lokální klidové soustavy buď jako soustavy, kde buď hustota energie (Landau-Lifšic) či hustota náboje (Eckart) jsou v klidu. Protože fyzika nesmí záviset na výběru soustavy, je možné ukázat, že difuse náboje v jedné souřadnicové soustavě odpovídá toku tepla v druhé soustavě. Formu tensoru IP" a vektoru je možné určit z požadavku, že každá hydrodynamická teorie musí odrážet zákon růstu entropie, který musí být obsažen v pohybových rovnicích. Vyjdeme z projekcí rovnice d^T^ defino- 217 váných v předchozím výkladu uvd^v = -9/(e + p) - vřd^e + ^fylF" = 0 , A* fyT"" == i(e + pK<9X + A^fyp + A* fylF" = 0 . (1094) Tuto rovnice je možné dále zjednodušit s pomocí následujícího výrazu uvd^Wv = d^(uvWv) - Wvd^uv = -I(IP"fy^ + WdvuJ = -Wvd(^uv) (1095) a také s použitím identity fy = UflD + VM (1096) Pak tedy dostáváme konečný tvar pohybových rovnic pro relativistickou viskózni tekutinu 9/(e + p) + De + IP^fy^) = 0 , ^(e + pK<9X + A^fyp + A^fyn^ = 0 . (1097) V tomto okamžiku je viskózni tensor energie hybnosti ještě neurčen. Ukazuje se, že obecně tento tensor může mít různý tvar a tím dostáváme různé teorie viskózni hydrodynamiky. Našim cílem je najít formu tensoru IP". Vyjdeme z druhého termodynamického zákona, který říká, že entropie musí lokálně růst. Z předchozího výkladu známe základní vstahy mezi hustotami vnitřní energie, tlaku v případě absence zachovávajících se nábojů (nulový chemický potenciál) e + p = Ts ,Tds = de . (1098) Druhý termodynamický zákon můžeme napsat v kovariantním tvaru > 0 , (1099) kde jsme zavedli 4—vektor etropie, který ve stavu lokální teromodynamické rovnováhy má tvar (1100) 218 Pomocí termodynamických relací můžeme přepsat druhý termodynamický zákon do tvaru d pír = ďd^s + sd^vŕ = e + v Ds + \De + = -^n^9(/luv) > 0 (1101) Je vhodné rozdělit IP" na dvě části, ', která má nulovou stopu i]^^^ = 0 a zbytek s nenulovou stopou IP" = tt"" + -A^n , n = f^rr" (1102) 3 protože máme A^n = (4 + -1 3 c Zavedeme nový výraz pro bezestopou část d^uv) ■n^w = -77^A""n = (4 + -a/)n = n . (1103) A = 2d{fluu) - ^A^daua (1104) která skutečně splňuje rfvA = 2dX ~ 20X = 0 . Poznamenejme také, že platí = -—n»vA - Tmau« > o (1105) Wvuv = ^vuv + ^A^ííJI = w^Uv (1106) a tedy z podmínky U^u^ = 0 dostaneme, že 7T^=0. (1107) Pak konečně dostaneme (1108) 219 Vidíme, že tato podmínka je splněna, jestliže platí 7T n (daua , 77 > 0 , C > 0 (1109) protože pak dostáváme = r] + C > 0 . (1110) Je zjevné, že můžeme stotožnit rj a ( s koeficientem smykové a objemové viskozity. Ze stejných důvodů můžeme nazývat systém rovnic (1097),(1102) a (1109) jako relativistickou Navier-Stokesovou rovnicí. Ačkoliv je tato rovnice přitažlivě jednoduchá, ukážeme, že se vyznačuje patologickým chováním pro trochu složitější profily toku. 9.3 Problém akauzálního chování v relativistické Navier-Stokesově rovnici Uvažujme malé poruchy hustoty energie a rychlosti tekutiny v systému, který byl na počátku v rovnováze a v klidu kde pro jednoduchost budeme předpokládat, že porucha závisí na jedné souřadnici. Pak relativistická Navier-Stokesova rovnice určuje pohybovou rovnici pro tyto poruchy. Podrobněji se zajímáme o rovnici Abychom našli její linearizovanou formu, uvažme, že tensor IP" má tvar ^(e + p)u^d^ua + A^dfj) + A^IP" = 0 . (1112) IP" > .OL (1113) and tedy xy komponenta daného tensoru má tvar (1114) 220 kde jsme zanedbali členy vyšších řádů v ôu a kde r]0 je hodnota r\ v základním stavu. Pak dostáváme ^(e + pK<9X + + A^IF" = 0 ^ 2 .9^^ - VoC d2Juy = 0 . e0 +Po (1115) Abychom zkoumali individuální mody, uvažujme fluktuační pole ve tvaru 5uV(t,x) = e-i»t+ikxfu,,k. (1116) Vložením tohoto předpokládaného řešení do linearizované rovnice dostaneme u = ^—k2. (1117) e0 +Po Pomocí této rovnice najdeme grupovou rychlost . , du 2rinC2 Mk) = -rr = —~—k , 1118 dk e0 + p0 a my vidíme, že lineárně závisí na vlnovém čísle a tedy pro větší a větší vlnová čísla grupová rychlost bez omezení roste. Jinými slovy, pro dostatečně velká k tato grupová rychlost překročí rychlost světla a tedy dojde k porušení kauzality. Jinými slovy, relativistická Navier-Stokesova rovnice není kauzální teorií. Jinými slovy, relativistická Navier-Stokesova rovnice vykazuje nefyzikální chování pro krátké vlnové délky a tedy dává platný popis pouze v případě dlouhých vlnových délek. Samozřejmě, můžeme říci, že toto není principiální problém, protože když se díváme na hydrodynamiku jako na efektivní teorii pro dlouhé vlnové délky, pak bychom mohli říci, že její platnost je omezená nějakou minimální vlnovou délkou. Na druhou stranu teorie s omezením platnosti se vyznačuje praktickým omezením při výpočtech. Na druhou stranu víme, že mody s velkým vlnovým číslem jsou spojeny s nestabilitami a teorie musí být nějakým způsobem regulována. Dále, uvažujme mód, který v jedné souřadnicové soustavě se pohybuje rychlostí vyšší než je rychlost světla 221 v jedné souřadnicové soustavě se pohybuje zpět v času v jiné souřadnicové soustavě. Jak víme, hydrodynamika je teorie, která požaduje dobře definovanou množinu počátečních podmínek. Na druhou stranu zde jsou módy, které se pohybují zpět v čase a tedy počáteční podmínky nemohou být libovolné. Tento fakt má za následek, že není možné řešit N-S rovnici ani numericky. 9.4 Můller-Israel-Stewart theory V předchozí části jsmem odvodili relativistickou NS rovnici z druhého termodynamického zákona d^s^ > 0, kdy jsme implicitně použili formu rovnovážného toku entropie = su^. Na druhou stranu obecně neplatí, že tok entropie musí mít tvar odpovídající rovnovážnému tvaru v případě disipativního toku, který je mimo termodynamickou rovnováhu. Jestliže opustíme tento předpoklad, pak můžeme připustit, že nerovnovážný entropický tok má příspěvek z viskozniho tensoru. Tento model se také někdy nazývá jako rozšířená nevratná termodynamika. Jestliže tedy budeme předpokládat, že odklon od termodynamické rovnováhy není velký a tedy korekce vyšších řádů mohou být zanedbány, pak můžeme psát .a/3 (1119) kde /3q, 02 jsou koeficienty. Poté dostaneme = d^su* + sdx - ^ (^j u^ir - - |y ^nn - (1120) kde jsme opět použili dusu^ + sduu^ 222 Vidíme tedy, že tato nerovnost je splněna, když bude platit = -f] ( V + n^TD + 2ß2Dnflv + ß2nß„daua n = c ( daua + l-YiTD + ß0DU + ^110^ (1122) kde tyto vztahy souhlasí s Navier-Stokesovou rovnicí v limitě ßo,ß2 —> 0. Tyto rovnice definuji tzv. Muller-Israel-Stewart teorií. Je možné studovat dynamiku poruch okolo rovnovážného stavu stejně jako v předchozím případě. Ukazuje se, že v dané teorii se neobjevuje problém kauzality, za předpokladu, kdy ßo,ß2 nejsou příliš malé. Na druhou stranu i tento formalismus není zcela uspokojující, neboť neznáme původ ßo,ß2 a také, zda-li předpoklad, že entropický tok je kvadratickou funkcí hydrodynamických stupňů volnosti je správný. Je zřejmé, že je žádoucí mít fundamentálnější způsob, jak obdržet relativistickou viskózni hydrodynamiku. 9.5 Relativistická viskózni hydrodynamika z kinetické teorie Víme, že relativistická rozdělovači funkce splňuje rovnici jřd^f = C[f] ,p>m = -m2c2 (1123) kde C je srážkový člen, jenž je funkcionálem / a závisí na interakci mezi částicemi. Pro systém v globální rovnováze /(p, x, t) = /(o)(p) a tedy Bolt-zmanova rovnice dává p^/(0) = 0 = C[/(0)] (1124) což nám opět říká, že srážkový člen je roven nule v případě globální rovnováhy. Na druhou stranu rovnice p^d^f = 0 může platit pro dva rozdílné oblasti platnosti: První, kdy můžeme ignorovat srážky, kdy je systém typicky daleko od rovnovážného stavu, a za druhé, kdy jsou srážky tak silné, že je systém v rovnováze a tedy srážkový člen je roven nule. První případ se typicky projevuje v situacích, kdy časová škála spojená s časovým vývojem systému je tak krátká, že efekt časticových interakcí může být zanedbán. Ovšem, koneckonců, srážky částic později se začnou projevovat a jejich efekt vede k tomu, že se systém začne blížit termální rovnováze. Právě tento případ, 223 který je také někdy definován jako limita velkých vlnových délek a malých frekvencí, který odpovídá hydrodynamickému popisu. Pomocí jednočásticové distribuční funkce definujeme tensor energie hybnosti jako d p přpv5{jpupll + m2ď)20{p{,)f{p,x) = . (1125) (2tt)3j 9.6 Relativistická ideální tekutina z kinetické teorie Pro jednoduchost budeme uvažovat ultrarelativistický případ, kdy můžeme zanedbat klidovou hmotnost částice. Pak z předchozí rovnice dostaneme / ^^(P2)2^0)/^) = 0 ^ T; = 0 . (1126) Pro další účely zavedeme konvenci /# = /tJ^(^)2%°)- (1127) Jestliže nyní vezmeme první moment Boltzmanovy rovnice, dostaneme d&p»d,f(p,x) = - [ d^C[f] = dj d^přf{p,x) = d,T^ . (1128) Jak víme, pro interakce, při kterých se zachovává energie a hybnost, integrál přes srážkový člen je roven nule J d£PvClf] = 0. (1129) Pak tedy dostáváme, že první moment Boltzmanovy rovnice vede k základní rovnici relativistické hydrodynamiky ve tvaru dvTv>í = 0. Uvažujme rovnovážnou distribuční funkci feq(x,p,t) = feq(P^) , (1130) kde Vtř je 4—vektor, který se redukuje do tvaru —> (c, 0) v klidové soustavě teplotního rezervoáru o teplotě T. Pak dostaneme Tfä = j dZrtfU (j^j = anuW + a21A^ , (1131) 224 kde koeficienty a20 a a2i závisí pouze na teplotě a jejich hodnotu získáme, když provedeme kontrakci předchozí rovnice s u^uv a j dWA,vfeq (gi) = 3a21 «21 = \ f dt(jŕPli + ^U,Wuv))feq (10>I , (1132) V případě, kdy vř souhlasí s vektorem čtyřrychlosti tekutiny, pak dostáváme, že má tvar tensoru energie hybnosti ideální tekutiny, kde a2n = J- a a2\ = p. Poznamenejme, že v případě nehmotných částic, dostaneme a21 = |a2o, což dává p = |e. Abychom vypočítali koeficienty a2o,a2i? musíme konkrétně specifikovat rovnovážnou distribuční funkci feq. Uvažujme případ Boltzmanovy rozdělovači funkce, kdy fp^uA _ hq\kBT) ~ V tomto případě můžeme a2n vypočítat v soustavě, kdy ir = (c, 0), kdy dostaneme «20 = / 7|^(p0)2í(p>í-(p0)2)2^(p0)e-é = JL dpp3e-^T = ||t4 . (1134) 9.7 Nerovnovážný stav Z předchozí diskuze je zřejmé, že v případě, kdy distribuční funkce závisí pouze na kombinaci p^u^, pak tensor energie hybnosti definovaném pomocí kinetické teorie je stejný, jako v případě ideální relativistické tekutiny. Jestliže systém je lokálně v termodynamické rovnováze, pak feq je kompletně charakterizována vektorovou funkcí, která specifikuje lokální klidovou soustavu termálního rezervoáru u(x) a lokální teplotou. Jinými slovy, systém, který je v lokální termodynamické rovnováze, je popsán s pomocí relativistické ideální tekutiny. Odklon od termodynamické rovnováhy vede k odklonu od kuT (1133) 225 ideální relativistické tekutiny a tedy se dostáváme k viskozní relativistické teorii. Uvažujme tedy následující tvar rozdělovači funkce f(p,x) = feq(^A [l + í/(p,x)] , (1135) M?, kde ôf(p,x) feq = -^r^pvfeq (1146) 227 s použitím toho, že Navier-Stokesova rovnice je platná v prvním přiblížení. Jinými slovy předchozí výraz dává vztah mezi srážkovým členem a viskózni hydrodynamikou do prvního přiblížení. S pomocí takto formulované kinetické teorie se můžeme podívat na Muller-Israel-Stewart teorii z nového pohledu. Jako první krok poznamenejme, že v případe zachovávajících se srážek máme j d\C = 0 a tedy nulový moment Boltzmanovy rovnice dává dxp^f = dßJ dxp^f = dX = 0 , (1147) což je zákon zachování toku. Stejným způsobem první moment Boltzmanovy rovnice dává zákon zachování tensoru energie hybnosti, jak vyplává ze vstahu J dxpaC = 0. Konečně druhý moment Boltzmanovy rovnice dává informaci ohledně nerovnovážné hydrodynamiky systému. Tyto komplikované výpočty vedou k rovnici n^ + ^^[A^AußDnaß + P^npßVpua + n^d^ + n^D\nT] = r,V , a42 (1148) kde PZ = A^A^ + AgA* - 2-A^Aaß . (1149) Vidíme tedy, že tt^ splňuje komplikovanou rovnici obsahující gradienty čtyřrychlosti. Obecně máme následující pohled na relativistickou hydrodynamiku jako teorii v mocninách gradientů. Podrobněji, tensor energie hybnosti má tvar = + , (1150) kde v případě ideální tekutiny tt^ neobsahuje žádné gradienty (nulový řád) a tedy 7T^ = 0. (1151) Navier-Stokesova rovnice obsahuje gradienty prvního řádu tt»" = vV . (1152) Konečně Muller-Israel-Steward teorie obsahuje gradienty druhého řádu tt^ = vV + rn[A^AußDnaß + ...] (1153) 228 10 Relativistká hydrodynamika, kvark gluo-nov plazma a AdS Relativistické srážky těžkých iontů, t.j. nukleonů, jejichž atomová váha je větší než uhlík.Parametr, který charakterizuje srážky těžkých iontů, je srážková energie v soustavě spojené s hmotným středem na každý nukleonový pár a/s a geometrie srážejících se jader, protože například jádra zlata jsou typicky větší než jádra měďi. Říkáme, že srážky jsou relativistické, jestliže \/š/2 je větší než hmotnost jádra. Pro Lorentzův faktor tedy dostáváme ™^ = ^ = ^ (1154) mcz m ZGeV a tedy typicky platí 7 > 1. Experimenty v Národní laboratoři v Brookha-venu(AGS,RHIC) a v CERNu(SPS) poskytly množství dat pro Au + Au srážky (AGS,RHIC) a Pb + Pb srářky (SPS), které probíhaly na intervalech energií a/s ~ 2.5 — A.3GeV v AGS a a/š ~ 8 — 17.5GeV v SPS a konečně a/s ~ 130 — 200GeV v RHIC. Bylo zjištěno, že hustota částic, které jsou produkovány v těchto srážkách, roste významně s a/s, což dále vede k vyšším hustotám energie, což nám dovoluje studovat atomovou hmotu za mezí de-confimentu. Pro Au+Au srážky v RHIC, dva svazky jader zlata byly urychleny v opačných směrech a pak dojde k jejich srážkám, jakmile každý svazek dosáhne předepsané energie. Poté těsně po srážce vývoj ve směru kolmém na počáteční směr paprsku (transversální směry) mohou být považován jako statický, zatím co dynamika je dominována lingituální expansi systému. Podrobněji, můžeme rozdělit vývoj do čtyř fází vlastního času. Ve fázi I, která následuje těsně po srážce, je před rovnovážná fáze charakterizovaná silnými gradienty a velkými kalibračními poli, kdy hydrodynamický popis není možný. Doba trvání tohoto procesu je neznámá, neboť nerozumíme procesu, kdy se kvantová hydrodynamika pro konečné hodnoty vazebné konstanty blíží rovnovážnému stavu. Fáze II je fáze blízko rovnovážnému stavu, který je charakterizován malými gradienty, kdy je možný hydrodynamický popis, jestliže lokální teplota je nad teplotou deconfinementu. Tato fáze trvá asi 5 — 10fm/c,5 — 10((5 — 10) x 10~15m/(3 x 108ms-1)), dokud systém nebude natolik zředěný, kdy vstoupí do fáze Fáze III , která se nazývá fází hadronového plynu. Hadronový plyn je charakterizován velkým koeficientem viskozity, což vede k tomu, že hydrodynamický popis není možný, na druhou 229 stranu je dobře popsatelný kinetickou teorií. Tato fáze skončí, jakmile účinný průřez rozptylu hadronů bude tak malý, že částice přestanou vzájemně inter-agovat. Konečně ve Fázi IV hadrony se pohybují po rovných čarách, dokud nedoputují do detektoru. Jestliže tedy budeme přepokládat, že systém, který je vytvořen relativistickými srážkami dvou inotů dosáhne téměř rovnovážného stavu v časovém okamžiku r = r0 měřeném ve vlastním čase, pak odpovídající dynamika ve fázi II by měla být popsatelná pomocí hydrodynamických rovnic. Abychom tohoto byli schopni, je nutné specifikovat hodnoty hydrodynamických stupňů volnosti e, p, u^, -k^v v čase r = tq, stavovou rovnici p = p(e), transportní koeficienty a současně také proceduru, kdy fáze II přechází do fáze III. Bohužel žádný z těchto údajů není znám z prvních principů, proto je nutné se omezit na některé modely. 10.1 Bjorkenův tok Fyzika relativistických srážek těžkých iontů je založena na Bjorkenově předpokladku, že v longituální vzdálenosti z od bodu (a po čase t) od srážky, hmota by se měla pohybovat s rychlostí vz = |. Jako první krok zanedbáme dynamiku ve směrech kolmých na srážky vx = vy = 0. Uvažujeme velmi energetické nukleony, které se k sobě blíží blízko hranic světelného kuželu směřujícího do minulosti, a které se srazí v čase t = 0 v bodě z = 0. Definujme vlastní čas jako r = Ví2 - z2 . (1155) Oblast prostoročasu, pro který r2 = t2 — z2 > 0 je nazývána časupodobná oblast, zatím co r2 = t2 — z2 < 0 se nazývá prostorupodobná oblast. Prosto-rupodobná oblast není dostupná pro fyzikální částici, zatím co pro hmotnou částici je dostupná pouze časupodobná oblast. Uvažujme nyní Lorentzovu transformaci do soustavy souřadnic pohybující se rychlostí V. Tato trasnformace má tvar ť \ _ ( 1 -h \ { * \ (U56) z' J \ —f3j 7 I \ z tzův faktor. Uvažujme nyní proměnnou y, známou jako uhlovou rychlost, definovanou kde 7 = J-— je Lorentzův faktor. 230 jako y = - ln —-—JL_Ei = - in —Pz/[— = tanh 1 (-^- \ = tanh 1 cBj , y 2 c-^E -pz 2 1 - cpz/E V E ) ' L ' (1157) kde ^ mu c^ = ^r = - = /3. (H58) Uhlová rychlost má výhodu, že je aditivní při longituálním boostu. Jinými slovy částice, které uhlovou rychlost y v jedné souřadnicové soustavě, má úhlovou rychlost y + dy v druhé souřadnicové soustavě, která se pohybuje relativně k první souřadnicové soustavě s rychlostí — dy ve směru osy z. Toto je možné lehce vidět z výrazu pro relativistické skládání rychlostí Vi + v2 v = - 1 + J2i|a ' kde «1,^2 jsou rychlosti ve směru osy z. Alternativně můžeme psát (1159) 1 + P\P2 C Uvažujme nyní vstah pro hyperbolický tangens ^K^^1) = ^^^K- (1161) v ,; 1+tanh(a)tanh(7) v ; Pak je zřejmé, že aditivní zákon má tvar zákona pro skládání hyperbolických tangensů, jestliže zavedeme rychlost y jako y = tanh_1(/3) . (1162) Jinými slovy, při Lorentzových transformacích dostáváme, že uhly rychlosti se jednoduše sčítají. Alternativně, je možné ukázat, že Lorentzova transformace odpovídá hyperbolické rotaci v Minkowském prostoročasu. Pomoci úhlu rychlosti můžeme psát /3 = tanh y ,7 = Jl - /32 = —— . (1163) coshy 231 a tedy rovnice pro transformaci souřadnic může být napsána jako ť \ / coshy — sinhy \ í t > I - \ ■ h v, n I ■ (1164) ' 1 sinnj/ cosny J \ z 1 Je také dobré vědět, že úhlová rychlost je analogie nerelativistické rychlosty. Podrobněji, v nerelativistické limitě, kdy p mc můžeme zanedbat hmotnost m a pak dostáváme 1 p + p cos 9 9 y = - ln-- = — ln tan - = ri (1167) y 2 p-pcos9 2 1 K J kde ?y se nazývá pseudoúhel rychlosti. Toto je vhodný paremetr pro experimenty, kdy detaily částice, jako hmotnost, hybnost, jsou neznámé, pouze známe úhel rozptylu. Za velice krátký okamžik po srážce, excitované stupně volnosti slabě inter-agují, ale jejich distribuce není termální, a tedy se pohybují volně s rychlostí v z od centra srážky, což se označuje jako před rovnovážná fáze. Tyto trajektorie odpovídají rovným čarám s rychlostmi z/t. Poté, za čas r0 ~ 3.3 x 10~24s interakce budou dostatečně silné, aby dokázaly obnovit lokální termodynamickou rovnováhu a kdy hmota v čase r je ve formě termální směsy kvarků, 232 antikvarků a gluonů. Právě tato fáze může být popsána v jazyku hydrodynamiky, kde máme pět zachovávajících se rovnic d^N* = 0 , dpT^ = 0 . (1168) Jestliže tedy známe počáteční stav tekutiny a stavovou rovnici p = p(e), můžeme v principu řešit tyto rovnice numericky a tím obdržet prostoročasovou evoluci tekutiny. V hydrodynamickém popisu srážek těžkých iontů je vhodné použit souřadnice (r,x,y,r/) místo (t,x,y,z) = (ct,x,y,z) xm = (r,x,y,r/) , t = r cosh i],r = \Zc2t2 — z2 , 1, ct + z z = t sinn rj , rj = - In- 2 ct — z (1169) V těchto souřadnicích (r, x, y, rj) dostaneme metriku ds2 = -c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 = = -dr2 + dx2 + dy2 + r2drj2 . (1170) Nyní má tedy metrika tvar diag(—1,1,1, ^). Poznamenejme, že nyní máme nenulové Christoffelovy symboly + dm) 'jk T V ^ dx kde v souřadnicích (r, x, y, rj) máme tyto nenulové symboly 1 Tr = r Tv = - TjT 1 TTj r (1172) Poznamenejme, že kovariantní derivace mají tvar ViAj = diAj + T)kAk , diAjk = dJAk + Y\mTmk + TkmTmi . (1173) 233 Pak dostáváme následjící rovnice d^N» = dTNT + dxNx + dyNy + dvNn + -N7 d^T = dTTTT + dxTTX + dyTTy + d„TT'n + rTw + -Trr r = dTTTy + + dyTyy + d„Tyr> + -T™ + <9rTrí/ + + dyTyy + d„Tyri + -í-T^ d^Tm = dTTTr> + ^T*" + 9j,Tw + <9„TW + ^-Tr>T (1174) V principu je možné řešit tyto rovnice numericky. My se ale omezíme na jednodimensionální Bjorkenův tok, kdy čtyřrychlost má tvar = (1, 0, 0, 0) a odpovídající komponenty tensoru energie hybnosti mají tvar Kde jsme použili a tedy TTT = e , Txx = p , Tyy = p , T'm = -^r . (1175) = \(e + p)u^uu +pg^ (1176) 1 TTT = — (e + p)c2 - p = e cz TW=pgrr = _p 1 (1177) Pak tedy dostáváme V„T^ = dTTTT + rTw + -TTT = t de e + p = — + —- = 0 ot t (1178) Jestliže nyní budeme konstantní rychloszt zvuku cs, kdy p = cse, pak dostaneme analytický výsledek ^ + (l±Éh = 0^e(T)^W)r^'. (1179) or t Vr/ 234 Vidíme tedy, že hustota energie klesá od své počáteční hodnoty s exponentem, který závisí na hodnotě rychlosti zvuku. Pro ideální plyn relativistických částic máme c2s = |, což nám pak dává e ~ r~4/3 . (1180) Ke stejnému závěru můžeme dospět, když vezmeme do úvahy, že kvark glu-onové plazma může mít nulovou stopu tensoru energie hybnosti, a což nám dává T^g^ = l(e + p)(M%)+4p= -e + 3p = 0 (1181) a tedy máme stavovou rovnici ve tvaru p = |e a opět dostáváme Bjorkenův zákon const e-^. (H82) Je zřejmé, že dalšího zpřesnění daného výsledku může být dosaženo zahrnutím efektů viskozity, kdy obecně dostaneme e = e(r). Je zjevné, že hydrodynamický popis je velmi užitečný i v této, na první pohled velmi vzdálené oblasti teoretické fyziky. Daleko pozoruhodnější je skutečnost, že tento hydrodynamický popis může mít duální podobu pomocí slavné AdS/CFT korespondence. 11 Nelineární dynamika tekutin z gravitace Dá se ukázat, že každá hydrodynamická teorie je charakterizována konečným počtem transportních koeficientů, které mohou být určeny pomocí mikroskopické teorie, alespoň z principu. Na druhou stranu, jestliže máme systémy, které z principu jsou silně interagující, je velmi obtížné získat tyto hodnoty pomocí mikroskopické teorie a proto hledáme jiné metody, jak tyto koeficienty určit. Jednou z těchto možností je hypotetický vstah mezi strunovou teorií na Anti-deSitterově prostoru a konformní teorií na jeho hranici. Uvažujme d-dimensionální teorii pole na variatě 13d, která je holograficky duální strunové teorii na pozadí, jenž asymptoticky se blíží AdSd+i- Klasickým příkladem je dualita mezi Type IIB strunovou teorií na AdS§ xS5a dynamickou N = 4 SYM na hranici. N = 4 SYM má dva bezrozměrné parametry, 'tHooft vazební konstantu A = #yM A" a dimensi kalibrační grupy N. Předpokládá se, že v limitě velkého N a velkého A je dynamika této teorie popsána klasickou gravitací na AdS$, 235 protože duální teorie má slabou vazebnou konstantu a dále máme makroskopicky velký AdS§. Jinými slovy máme popis pomocí gravitace vázané na hmotná pole na asymptoticky AdS^ pozadí. Pro jednoduchost se omezíme na dynamiku gravitačního pole, což má za následek, že v duální teorii pole budeme studovat pouze dynamiku tensoru energie hybnosti. Začneme tedy se strunovým pozadím ve formě AdSd+i x X, kde X je kompaktní vnitřní varieta, která zajišťuje, že máme konsistentní strunový základní stava. Zajímáme se tedy o dynamiku Einteinovy gravitace se zápornou kosmologickou konstantou Sbulk = Y^ďTT J dd+1x^G(R - 2A) , (1183) kde používáme konvenci, kde (M, N,...) označují vnitřní souřadnice, zatím co (/i, v,...) odpovídají souřadnicím v teorii pole či na hranici. Konečně, ...) označuje prostorové souřadnice na hranici. Nyní z akce (1183) dostaneme Einsteinovy rovnice 1 Rmn — -GmnR + AGmn = 0 . (1184) Provedeme-li kontrakci této rovnice s gMN dostaneme R=24±vA (1185) d-1 v ' a tedy když zvolíme A = — dostaneme, že řešením Einsteinovy rovnice je Anti-deSitterův prostor s křivostí d(d+l) R =--Z ' ■ 1186 a2 Jinými slovy AdSd+i je řešením Einsteinových rovnice a je interpretován jako základní stav v duální teorii pole. Poznamenejme, že globální AdSd+i má hranici Einsteinův statický vesmír R x Sd~ľ. Na druhou strunu rozdílné hranice dostaneme, když budeme uvažovat různé souřadnice popisující AdSs+i-Například, při použití Poincarého suřadnic, které samozřejmě nepokrývají AdSd+i kompletně, dostaneme hranici ve formě Minkowského prostoročasu Rd-^ a tedy můžeme uvažovat duální teorii definovanou na tomto prostoročase. Uvažujme tedy, že máme mentriku g na hranici Bd- Pak vnitřní geometrie má metriku (v nultém přiblížení Fefferman-Grahamově rozvoje) ds2 = ^{dz2 + gtwdx»dxv) . (1187) z2 236 Prostoročasy, s touto metrikou, se označují jako asymptotické AdSd+i prostoročasy. Zajímá nás popis teorie pole, kdy je daná teorie popsána pomocí kanonického ansámblu, přesněji, kdy je daná teorie pole v lokální termodynamické rovnováze. Na druhou stranu se ukazuje, že fázová struktura teorie pole na hraniční varietě je B d je velmi zajímavá, což může být vysvětleno pomocí skutečnosti, že je možné mít bezrozměrné podíly, které charakterizují netriviální geometrii pozadí. Klasickým příkladem je hraniční varieta Bd = Rx Sd~ľ, kde nízko teplotní fáze je popsána jako vazebná fáze s volnou energií řádu 0(1), zatím co vysoce teplotní fáze odpovídá bezvazebné situace, kdy volná energie je řádově 0(N2). První fáze je duální termálnímu plynu v AdSd+i, zatím co druhá má geometrický popis pomocí Schwarzschildovy černé díry v AdSd+i- Hydrodynamický popis je možný v případě velkých vlnových délek, což je možné pouze v odvázané fázi, která může nastat pouze za vysokých teplot. Toto je možné vidět ze skutečnosti, že fázová struktura konformní teorie pole je určena bezrozměrným podílem následujících délkových škal: Jestliže Bd má křivost Rc a zajímá nás situace v kanonickém ansamblu o teplotě T, pak fázová struktura závisí na RCT. Na druhou stranu střední volná dráha systému je lmfp ~ 1/T vidíme, že Taylorův rozvoj v gradientu bude dobře definován, když RCT ^> 1, což může být ekvivalentně vyjádřeno jako požadavek, aby variace v křivosti pozadí byly malé v jednotkách lokální teploty, což nám také říká, že můžeme aproximovat hraniční metriku metrikou, která je lokálně rovná. Tato analýza je v souladu se skutečností, že pro CFT na Minkowského prostoročace, kde neexistuje žádná délková charakteristická škála, dostáváme triviální fázovou strukturu. Teorie je vždy odvázaná na Rd~1,1. Jinými slovy, abychom konstruovali teorii duální hydrodynamice na hraniční varietě Bd, můžeme uvažovat jako počáteční bod hranici s rovnou metrikou a zahrnou členy obsahující křivost, když provedeme expanzi v gradientech. Ukazuje se, že viskózni hydrodynamika v prvním přiblížení nezávisí na křivosti hranice, která se objeví až v druhém přiblížení. 11.1 Schwarzschildova černá díra v AdSd+i Uvažujme geometrii, která je duální termální teorii pole na Minkowského prostoročase. Tato teorie je Schwarzschildova-AdSd+i černá díra , jejiž délkový 237 element má tvar dr2 „ „.,.„■., , 1 ds2 = -r2f(br)dť + r2^br^ + r25ijdxldx3 , f(r) = 1 - — . (1188) Toto je jednoparametrické řešení, jehož horizont událostí má velikost r+, který také určuje teplotu černé díry T=^—. (1189) Nyní můžeme generovat d— parametrickou skupinu řešení tím, že provedeme Lorentzovu transformaci podél translačně invariantních souřadnic x\ čímž dostaneme řešení dv 2 ds2 = "T77TT + r2(-f(br)Ulluv + PiíV)dx^dxv , (1190) rzj(br) kde ^TřV"'^' (M1) kde teplota T a rychlosti /3j jsou konstanty s /32 = a P'4" = -u^-u" + r]^v'. Tyto řešení jsou generovány souřadnicovou transformací s následující fyzikální interpretací. Grupa isometrií AdSd+i prostoru je SO(d, 2), kde Poin-carre algebra spolu s dilatací tvoří význačnou podalegbru této grupy. Rotace SO(d) a translace R1,d~1, které patří do této podalgebry, jasně zachovávají formu metriky danou v rovnici (1188). Na druou stranu, další symetrie této grupy, kterými jsou Lorentzovy rotace a dilatace, působí netriviálně na dané řešení a generují d parametrickou množinu řešení. Tyto parametry, které charakterizují řešení uvnitř AdS, jsou přesně hydrodynamické stupně volnosti, to jest teplota a rychlost. Řešení (1190) je asymptoticky AdSd+i, které má holografický tensor energie hybnosti na hranici. Protože řešení (1190) obsahuje konstantní parametry, odpovídá situaci, kdy na hranici máme teorii v globálním termální rovnováze. Abychom dostali plný hydrodynamický popis, musíme porušit teorii z dané globální rovnováhy, což se dá provést, když budeme předpokládat, že termodynamické proměnné závisí na souřadnicích x^, které parametrizují hranici, kdy můžeme pedpokládat, že i metrika na hranici je funkcí souřadnic, abychom vzali do úvahy vazby s křivostí. Jestliže budeme předpokládat, že tyto změny jsou velmi pomalé, mžeme konstruovat řešení jako poruchový rozvoj v derivacích vzhledem k souřadnicím, které parametrizují hranici. 238 Nyní je nutné zdůraznit jeden důležitý bod. Zatím co je zjevné, že je celkem jednoduché provést zobecnění, kdy b a fy jsou funkcemi t,x\ je zde ale problém s regularitou Schwarzschildových souřadnic, které nejdou regulární na horizontu událostí. Je zjevné, že daleko vhodnější by bylo pracovat se souřadnicemi, které jsou regulární kdekoliv mimo bod r = 0. Ve skutečnosti se dá ukázat, že tensor energie hybnosti tekutiny generují regulární prostoročasy odpovídající černé díře v asymptotickém AdSd+i- Podrobněji, uvažujme opět Fefferman-Grahamovu pdobou AdSd+i metriky ds2 = \[dz2 + g^dz^dz") . (1192) z2 Abychom našli asymptotický AdSd+i prostoročas s danou hranicí Bd, je nutné předepsat jak metriku gpv na hranici Bd, tak i hraniční tensor energie hybnosti Tfj,u. Pomocí těchto veličin můžeme konstruovat vnitřní řešení jako poruchový rozvoj v Feffermann-Graham radiální proměnné z. Řešení v prvním přiblížení má tvar l ds2 = —{dz2 + (gpv + azdTpv)dx^dxv) . (1193) Toto schéma pro konstrukci vnitřního prostoročasu s pomocí dat na hranici je velmi dobře vyvinuto ve fomalismu známém jako holografická renorma-lizace. Na druhou stranu tento postup né vždý generuje regulární vnitřní prostoročasy. Abychom tomu porozumněli, uvažujme jednotlivé stupně volnosti. Bezestopý, symetrický tensor na Bd má áíÉllí _ \ stupňů volnosti. Na druhou stranu dynamické pohybové rovnice jsou V^T^" = 0, kterých je d, z čehož vyplývá že máme neurčený systém pro d > 2, jak vyplývá z jednoduchých počtů dJá±H.1.d = iá±H(i.2) (1194) Na druhou stranu tensor energie hybnosti pro tekutinu je popsán d stupni volnosti, teplotou a rychlostí. Abychom dostali regulární řešení, ukážeme, jak konstruovat gravitační řešení duální libovolnému toku tekutiny pomocí souřadnic, které jsou regulární na horizontu událostí. Uvažujme tedy Lorentzovsky transformované Schwarzschild-AřiSd+i řešení ds2 = -lu^dx^dr - r2 f(br)uiíuvdxiídxv + r2PiíVdxiídxv , (1195) kde jsme použili Eddington-Finkelstein souřadnice. 239 12 Konformní hydrodynamika V této kapitole se zaměříme na jednu z moderních oblastí současné hydrodynamiky, kterou je studium konformní tekutiny. Jako první krok začneme s Weylovými transformacemi různých veličin, které definují tekutinu. Poznamenejme, že Weylova transformace je transformace metriky ve tvaru 9»v{x) = e2^~9iíV{x) , g^(x) = e-2^g^(x) , (1196) kde g^v je původní metrika, zatím co g^v je nová metrika. Začneme s Chris-toferrovým szmbolem r% = \g^{dv9tTp + dp9tTV - dagvp) (1197) Pak máme následující vstah mezi a vp vp 1 — ( 2 = + 5^ + SZdp - g^dvfávp Kp = ^ra(dAe2%p) + dp{^gm) - da(e2*gvp)) (1198) Nechť je 4— rychlost popisující pohyb tekutiny. Protože platí g^ď = -1 = ~QiíVvruv = -1 (1199) dostáváme vľ" = e-*vř . (1200) Pak dostaneme, že projektor P^v jak ppv = gpu + upuv = e-2^pv + ~„~Vj = e-2§ppv _ ^1201^ Transformace kovariantní derivace má tvar v/ = + r>CT = (1202) 240 S pomocí této rovnice dostaneme transformační vstahy pro další důležité hydrodynamické veličiny ů = VX = e-*\ů + duada(j) - uada(j)} , ů Av = av —-—-uv = Av + dv(f) a — 1 (1203) Definujem Weylovu kovariantní derivaci X> následujícím způsobem. Nechť Q^- je tensorová veličina, která se při Weylově transformaci chová jako Poté kde Qtz = e~w*Q$::. (1204) VxQZz = e-^vxQ^[ (1205) vxQZz = VxQZz+wAxQZz + MgxaAf*-5xíAa-5ZAx]Qau;: + ... -\9auAa-ôZAv-ôZAx]QZ;;.-... (1206) Dá se ukázat, že tato kovariantní derivace je kompatibilní s metrikou T>xgfll/ = 0. S pomocí této kovariantní derivace můžeme přepsat konformní hydrodynamiku do konformně invariantního tvaru. Explicitně, máme X>X = VX + " \9^AV - Ó^Aa - 5vaAJ\ua = ů (1207) kde jsme zadefinovali cŕv = ^{P^vxuv + Puxvxu^) - jLjŮP>*v = ^(v^uu + vvir) = e-^d^ -(P^Va^ - PuXVxu^) = -(W - Vvvř) = e ""v (1208) 241 Konformní tekutina je charakterizována čtyřrychlostí a teplotou T a různými chemickými potenciály /ij, které odpovídají různým zachovávajícím se veličinám. Tyto veličiny se transformují při Weylově transformaci jako T=e-*Ť, iii = e-^lii. (1209) Dále definujeme Vi = j± = Pak dostaneme (1210) Dále dostaneme (1211) a také VxVaT = e-tVxĎrŤ . (1212) Je důležité poznamenat, že nyní všechny pozorovatelné veličiny v konformní hydrodynamice je možné formulovat pomocí následujících veličin Ví i T , , , , VxVaUi ,VxVaT , J>, = VMA - ,Vxapv ,Vxupv , (1213) where 7Z^xa je tensor křivosti asociovaný s Weylovou kovariantní derivací T>\. Můžeme definovat tento tensor jako komutátor dvou kovariantních de-rivcí X>. Pro kovariantní vektorové pole = e~w^Vií dostaneme [V„,VV]VX = wF^Vx - n^xava, T = V A — V A K^xa = V + ^Á9xvAa - 5XAU - S°Ax] - Vx[gx,Aa - 5axA, - 5«AX] + + \gxvAf} - 8{AV - 5pvAx]\gPtíAa - Ô^A, - S^Ap] - -[gx^A? - 5^ - 5^Ax][gPuAa - b%A, - 5?A/3] (1214) 242 kde jsme zavedli dva nové Weyl-invariant ní tensory = F^v , 7Z^xa = • (1215) Jako další veličinu zavedeme konformní tensory, což jsou Weyl-kovariantní tensory, které nezávisejí na rychlosti tekutiny, kde poznamenejme rychlost tekutiny je obsažena v definici A^. Například definujeme Weylovu křivost CfivXa = Tl^vXa + ^9v\[\^Sap = C^v\a — F^vQXa = e2^Č^v\a , (1216) kde Schoutenův tensor je definován následujícím způsobem S^ = JZ^ " 2(d-"l)) = S^-^^A-+A^A--Y9^~aT^2 = Štw ' (1217) Nyní přejdeme k vlastní formulaci konformní hydrodynamikz. Poznamenejme, že základní hydrodynamické rovnice mají tvar V^T"" = 0 , = 0 . (1218) nejsou kovariantní vzhledem k Weylově transformaci. Poznamenejme, žev vzhledem k Weylovým transformacím tensor energie a hybnosti a tok transformují následujícím způsobem T"" = e-{d+2)Ť^ + ... , J^ = e-^> . (1219) kde ... znamená příspěvek odpovídající Weylově anomálii = W. První klasický příspěvek v transormačním předpisu pro tensor energie hybnosti plyne přímo z definice Ttív = 2 SS = c-(d+2)4> 2 ÔS = e-(d+2)fiiu _ (1220) y/detg ôg^u y/g ôg^ Konformní anomálie znamená, že teorie, která je klasicky invariantní vůči Weylově transformaci, nemusí být invariantní na kvantově mechanické úrovni. Poznamenejme, že pro T^v a JM máme následující kovariantní derivace V^T*"7 = V^T^ + (d + 2)AflT 0 . (1224) Reference 244