Kongruence na Ω-algebře Poznámka. Při faktorizaci grup (resp. okruhů) jsme pomocí normální podgrupy (resp. ideálu) sestrojili rozklad na nosné množině grupy (resp. okruhu), a to tak, aby bylo možné korektně definovat operace na tomto rozkladu pomocí reprezentantů tříd. V této situaci byla normální podgrupa (resp. ideál) jednou ze tříd rozkladu, ostatní třídy rozkladu totiž bylo možné odvodit z této jediné třídy (a korektnosti definice operace na rozkladu pomocí reprezentantů). Avšak v případě Ω-algeber nepostačí znát jen jednu ze tříd, ale je nutné zadat všechny třídy, tedy celý rozklad. To lze provést tak, že zadáme jemu odpovídající ekvivalenci. Definice. Nechť A je univerzální algebra typu Ω, nechť ∼ je relace ekvivalence na nosné množině A. Řekneme, že ∼ je kongruence na Ω-algebře A, jestliže pro každý n-ární operační symbol f ∈ Ω a pro každé a1, . . . , an ∈ A, b1, . . . , bn ∈ A platí a1 ∼ b1, . . . , an ∼ bn =⇒ fA(a1, . . . , an) ∼ fA(b1, . . . , bn). Kongruence a homomorfismy Poznámka. Následující věta popisuje vztah mezi homomorfismy Ω-algeber a kongruencemi na Ω-algebrách: každý homomorfismus zadává kongruenci. Později dokážeme, že i naopak každá kongruence vzniká tímto způsobem z vhodného homomorfismu. Věta. Nechť A, B jsou univerzální algebry téhož typu Ω, ϕ : A → B homomorfismus Ω-algeber. Pak relace ∼ na nosné množině A definovaná předpisem: pro každé a, b ∈ A platí a ∼ b ⇐⇒ ϕ(a) = ϕ(b) (1) je kongruence na Ω-algebře A. Definice. Nechť A, B jsou univerzální algebry téhož typu Ω, ϕ : A → B homomorfismus Ω-algeber. Kongruence ∼ definovaná na Ω-algebře A předpisem (1) předchozí věty se nazývá jádro homomorfismu ϕ. Poznámka. Zdůrazněme, že jádro homomorfismu není podmnožina množiny A, ale kongruence na Ω-algebře A. Důkaz věty Věta. Nechť A, B jsou univerzální algebry téhož typu Ω, ϕ : A → B homomorfismus Ω-algeber. Pak relace ∼ na nosné množině A definovaná předpisem: pro každé a, b ∈ A platí a ∼ b ⇐⇒ ϕ(a) = ϕ(b) je kongruence na Ω-algebře A. Důkaz. Zřejmě je ∼ ekvivalencí příslušnou zobrazení ϕ. Stačí tedy ukázat, že splňuje implikaci v definici kongruence. Zvolme libovolně n-ární operační symbol f ∈ Ω a prvky a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ A tak, že a1 ∼ b1, . . . , an ∼ bn. Odtud plyne ϕ(a1) = ϕ(b1), . . . , ϕ(an) = ϕ(bn). Pak ovšem z definice homomorfismu ϕ(fA(a1, . . . , an)) = fB(ϕ(a1), . . . , ϕ(an)) = fB(ϕ(b1), . . . , ϕ(bn)) = = ϕ(fA(b1, . . . , bn)), což znamená dokazované fA(a1, . . . , an) ∼ fA(b1, . . . , bn). Faktorová algebra Definice. Nechť A je univerzální algebra typu Ω, nechť ∼ je kongruence na Ω-algebře A. Označme R = A/∼ rozklad daný ∼. Pro každý n-ární operační symbol f ∈ Ω definujme n-ární operaci na R takto: pro každé X1, . . . , Xn ∈ R zvolme reprezentanty a1 ∈ X1, . . . , an ∈ Xn a definujme fR(X1, . . . , Xn) tím, že je to třída obsahující prvek fA(a1, . . . , an). Množina R spolu s právě zavedenými operacemi se nazývá faktorová algebra Ω-algebry A podle kongruence ∼, značí se A/∼. Věta. Předchozí definice je korektní. Důkaz. Zachovejme veškeré označení z definice a zvolme ještě další reprezentanty: nechť též b1 ∈ X1, . . . , bn ∈ Xn. Patřit do stejné třídy rozkladu znamená být ekvivalentní, tedy platí a1 ∼ b1, . . . , an ∼ bn. Z definice kongruence pak fA(a1, . . . , an) ∼ fA(b1, . . . , bn), což znamená, že fA(a1, . . . , an) a fA(b1, . . . , bn) patří do stejné třídy rozkladu, totiž do třídy fR(X1, . . . , Xn). Příklad: faktorizace svazů Poznámka. Univerzální algebra nám dává návod, jak faktorizovat libovolnou Ω-algebru, tedy například svaz. Příklad. Nechť (S, ∨, ∧) je svaz. Kongruence na něm je ekvivalence ∼ na množině S splňující: pro každé a, b, c, d ∈ S a ∼ c, b ∼ d =⇒ a ∨ b ∼ c ∨ d, a ∧ b ∼ c ∧ d. Je-li ∼ kongruence na svazu (S, ∨, ∧), pak faktorsvaz S/∼ je svaz, jehož nosná množina je rozklad množiny S příslušný ekvivalenci ∼, operace na něm jsou definovány pomocí reprezentantů. Pro libovolné třídy T, R ∈ S/∼ zvolíme a ∈ T, b ∈ R, definujeme: T ∨ R je třída obsahující a ∨ b, T ∧ R je třída obsahující a ∧ b. Projekce na faktorovou algebru Věta. Nechť A je univerzální algebra typu Ω, ∼ kongruence na Ω-algebře A. Pak zobrazení π : A → A/∼ určené předpisem a ∈ π(a) pro libovolné a ∈ A (tedy π(a) je třída obsahující prvek a) je surjektivní homomorfismus Ω-algeber. Důkaz. Zobrazení π je surjekce, neboť každá třída rozkladu X ∈ A/∼ je neprázdná, existuje tedy a ∈ X, pro které π(a) = X. Zvolme libovolně n-ární operační symbol f ∈ Ω a prvky a1, . . . , an ∈ A. Označme X1 = π(a1), . . . , Xn = π(an). Pak tedy a1 ∈ X1, . . . , an ∈ Xn a fA/∼(X1, . . . , Xn) je určeno tím, že obsahuje prvek fA(a1, . . . , an), tj. π(fA(a1, . . . , an)) = fA/∼(X1, . . . , Xn) = fA/∼(π(a1), . . . , π(an)), a tedy π je homomorfismus Ω-algeber. Definice. Homomorfismus Ω-algeber π : A → A/∼ z předchozí věty se nazývá projekce Ω-algebry A na faktorovou algebru A/∼. Jádro projekce na faktorovou algebru Věta. Nechť A je univerzální algebra typu Ω, ∼ kongruence na Ω-algebře A. Nechť π : A → A/∼ je projekce Ω-algebry A na faktorovou algebru A/∼. Pak platí: jádrem projekce π je kongruence ∼. Důkaz. Označme ≈ jádro π. Podle definice jádra homomorfismu pro libovolné a, b ∈ A platí a ≈ b právě tehdy, když π(a) = π(b), což podle definice projekce znamená, že a a b patří do téže třídy rozkladu A/∼, neboli a ∼ b. Poznámka. Jádro libovolného homomorfismu Ω-algeber je podle definice kongruencí. Platí to však i naopak: Důsledek. Nechť A je univerzální algebra typu Ω. Pak každá kongruence ∼ na Ω-algebře A je jádrem vhodného homomorfismu Ω-algeber vycházejícího z Ω-algebry A. Důkaz. Kongruence ∼ je jádrem projekce π : A → A/∼. Vztah kongruencí a podalgeber Poznámka. Každá ekvivalence na množině A je relace na A, tedy podmnožina množiny A × A. Vždyť a ∼ b znamená (a, b) ∈ ∼. Věta. Nechť ∼ je ekvivalence na nosné množině Ω-algebry A. Pak platí: ∼ je kongruence na Ω-algebře A, právě když je ∼ podalgebrou Ω-algebry A × A. Důkaz. „⇒ Zvolme libovolný n-ární operační symbol f ∈ Ω a prvky (a1, b1), . . . , (an, bn) ∈ A × A. Jestliže všechny tyto uspořádané dvojice patří do ∼, pak platí a1 ∼ b1, . . . , an ∼ bn, podle definice kongruence fA(a1, . . . , an) ∼ fA(b1, . . . , bn). Tedy dvojice (fA(a1, . . . , an), fA(b1, . . . , bn)) je také prvkem ∼. „⇐ Zvolme libovolně n-ární operační symbol f ∈ Ω a prvky a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ A takové, že a1 ∼ b1, . . . , an ∼ bn. Pak dvojice (a1, b1), . . . , (an, bn) jsou prvky podalgebry ∼, tedy také fA×A((a1, b1), . . . , (an, bn)) = (fA(a1, . . . , an), fA(b1, . . . , bn)) patří do podalgebry ∼, neboli fA(a1, . . . , an) ∼ fA(b1, . . . , bn). Svaz kongruencí na dané Ω-algebře Nechť A je Ω-algebra, ∼ a ≈ kongruence na Ω-algebře A. Pak ≈ ⊆ ∼, právě když pro každé a, b ∈ A platí implikace a ≈ b =⇒ a ∼ b. Systém všech kongruencí na A je uspořádán inkluzí. Uvažme libovolnou neprázdnou množinu K kongruencí na Ω-algebře A. Průnikem všech kongruencí ∼ ∈ K je relace ≈ na množině A, pro kterou platí: pro libovolné a, b ∈ A je a ≈ b právě tehdy, když pro každé ∼ ∈ K platí a ∼ b. Relace ≈ je zřejmě reflexivní, symetrická a tranzitivní, je tedy také ekvivalencí na množině A. Z předchozí věty a odpovídající věty o průnicích podalgeber pak plyne, že ≈ je kongruencí na Ω-algebře A. Existuje také největší ze všech kongruencí na Ω-algebře A, totiž relace A × A. Proto množina všech kongruencí na Ω-algebře A uspořádaná inkluzí tvoří úplný svaz. Průnik množiny kongruencí Věta. Nechť A je univerzální algebra typu Ω, K neprázdná množina kongruencí na Ω-algebře A. Nechť relace ≈ na množině A je průnikem všech kongruencí z množiny K, tj. pro libovolné a, b ∈ A klademe a ≈ b právě tehdy, když pro každé ∼ ∈ K je a ∼ b. Uvažme součin Ω-algeber B = ∼∈K A/∼. Pro každé ∼ ∈ K označme π∼ : B → A/∼ projekci ze součinu a µ∼ : A → A/∼ projekci Ω-algebry A na faktorovou algebru A/∼. Podle věty o součinu existuje jediný homomorfismus Ω-algeber ϕ : A → B takový, že π∼ ◦ ϕ = µ∼. Pak platí: jádrem homomorfismu ϕ je kongruence ≈. B π∼ '' π ++ . . . A/∼ . . . A/ · · · (∼, , . . . ∈ K) A µ∼ 77 µ 33ϕ OO Důkaz věty B π∼ '' π ++ . . . A/∼ . . . A/ · · · (∼, , . . . ∈ K) A µ∼ 77 µ 33ϕ OO Důkaz. Označme jádro homomorfismu ϕ. Pro libovolné a, b ∈ A platí a b právě tehdy, když ϕ(a) = ϕ(b), což podle definice součinu Ω-algeber nastane právě tehdy, když pro každé ∼ ∈ K platí π∼(ϕ(a)) = π∼(ϕ(b)), což vzhledem k π∼ ◦ ϕ = µ∼ znamená právě µ∼(a) = µ∼(b), neboli a ∼ b. Dokázali jsme, že pro libovolné a, b ∈ A platí a b právě tehdy, když pro každé ∼ ∈ K je a ∼ b, což však podle definice relace ≈ nastane, právě když a ≈ b. Hlavní věta o faktorových algebrách Věta. Nechť A, B jsou univerzální algebry téhož typu Ω, ϕ : A → B homomorfismus Ω-algeber s jádrem ∼. Nechť ≈ je libovolná kongruence na Ω-algebře A, přičemž ≈ ⊆ ∼. Označme π : A → A/≈ projekci Ω-algebry A na faktorovou algebru A/≈. Pak platí A ϕ // π !! B A/≈ ϕ == Existuje jediné zobrazení ϕ : A/≈ → B takové, že ϕ ◦ π = ϕ. Toto zobrazení ϕ je homomorfismus Ω-algeber. Homomorfismus ϕ je injektivní, právě když jsou obě kongruence ∼ a ≈ stejné (tj. ∼ = ≈). Homomorfismus ϕ je surjektivní, právě když homomorfismus ϕ je surjektivní. Důkaz věty A ϕ // π !! B A/≈ ϕ == Existuje jediné zobrazení ϕ : A/≈ → B takové, že ϕ ◦ π = ϕ. Důkaz. Sestrojme zobrazení ϕ : A/≈ → B tak, aby ϕ ◦ π = ϕ. Zvolme libovolně X ∈ A/≈. Existuje a ∈ X, tedy π(a) = X. Pak ϕ(X) = ϕ(π(a)) = (ϕ ◦ π)(a) = ϕ(a). Pokud nějaké zobrazení ϕ : A/≈ → B splňující ϕ ◦ π = ϕ existuje, je jediné. Definujme tedy ϕ : A/≈ → B tímto jediným způsobem: pro libovolné X ∈ A/≈ tedy zvolíme a ∈ X a klademe ϕ(X) = ϕ(a). Ověřme korektnost této definice, neboli nezávislost na volbě a ∈ X. Mějme další b ∈ X, pak oba prvky a, b leží v téže třídě X rozkladu A/≈, odkud a ≈ b. Protože ≈ ⊆ ∼, plyne odtud a ∼ b. Ovšem ∼ je jádrem homomorfismu ϕ, proto poslední znamená ϕ(a) = ϕ(b). Je tedy skutečně definice zobrazení ϕ korektní. Důkaz věty A ϕ // π !! B A/≈ ϕ == Zobrazení ϕ je homomorfismus Ω-algeber. Důkaz. Zvolme libovolně operační symbol f ∈ Ω arity n a prvky X1, . . . , Xn ∈ A/≈. Zvolme a1, . . . , an ∈ A, aby π(a1) = X1, . . . , π(an) = Xn. Protože π a ϕ jsou homomorfismy Ω-algeber, platí ϕ fA/≈(X1, . . . , Xn) = ϕ fA/≈(π(a1), . . . , π(an)) = = ϕ π(fA(a1, . . . , an)) = = (ϕ ◦ π)(fA(a1, . . . , an)) = = ϕ(fA(a1, . . . , an)) = = fB(ϕ(a1), . . . , ϕ(an)) = = fB((ϕ ◦ π)(a1), . . . , (ϕ ◦ π)(an)) = = fB(ϕ(π(a1)), . . . , ϕ(π(an))) = = fB(ϕ(X1), . . . , ϕ(Xn)). Důkaz věty A ϕ // π !! B A/≈ ϕ == ϕ je injekce ⇐⇒ ∼ = ≈. Důkaz. „⇐ Nechť X1, X2 ∈ A/≈ jsou libovolné prvky splňující ϕ(X1) = ϕ(X2). Zvolme a1, a2 ∈ A, aby π(a1) = X1, π(a2) = X2. Pak ϕ(a1) = (ϕ ◦ π)(a1) = ϕ(π(a1)) = ϕ(X1) = = ϕ(X2) = ϕ(π(a2))(ϕ ◦ π)(a2) = ϕ(a2), odkud z definice jádra homomorfismu plyne a1 ∼ a2, a proto a1 ≈ a2, což znamená, že prvky a1 a a2 leží v téže třídě rozkladu, kterou je X1 = X2. „⇒ Stačí ověřit ∼ ⊆ ≈, neboť ≈ ⊆ ∼ předpokládáme. Nechť tedy jsou a, b ∈ A takové, že a ∼ b. Pak ϕ(a) = ϕ(b), tedy ϕ(π(a)) = ϕ(π(b)). Protože předpokládáme, že ϕ je injektivní, máme π(a) = π(b). Podle definice projekce na faktorovou algebru leží a a b v téže třídě rozkladu A/≈, tedy a ≈ b. Důkaz věty A ϕ // π !! B A/≈ ϕ == ϕ je surjekce ⇐⇒ ϕ je surjekce. Důkaz. „⇐ Pro každé b ∈ B existuje a ∈ A tak, že b = ϕ(a) = (ϕ ◦ π)(a) = ϕ(π(a)), a tedy ϕ je surjekce. „⇒ Složení dvou surjekcí je surjekce. Důsledek. Nechť A, B jsou univerzální algebry téhož typu Ω, ϕ : A → B surjektivní homomorfismus Ω-algeber s jádrem ∼. Pak Ω-algebra B je izomorfní s faktorovou algebrou A/∼. Důkaz. Stačí užít předchozí větu pro ≈ = ∼. Definice termu typu Ω Abychom mohli definovat například grupu nebo okruh, potřebujeme rovnosti. Příkladem rovností jsou komutativní, asociativní, distributivní a další identity, se kterými jsme se setkali. Jde vždy o rovnost mezi dvěma výrazy, které obsahují nějaké proměnné spolu svázané operacemi. Tyto výrazy nazýváme termy. Je jasné, že vždy máme v rovnosti jen konečně mnoho proměnných. Proto bude stačit pracovat s proměnnými x1, x2, x3, . . . Definice. Nechť Ω je typ, pro každé nezáporné celé číslo n označme Ωn množinu všech operačních symbolů z Ω, které jsou n-ární. Položme M0 = Ω0 ∪ {x1, x2, x3, . . . } a pro každé i ∈ N označme Mi = Mi−1 ∪ {f (t1, . . . , tn); n ∈ N, f ∈ Ωn, t1, . . . , tn ∈ Mi−1}. Pak F(Ω) = ∞ i=0 Mi nazýváme množinou všech termů typu Ω, jejím prvkům říkáme termy typu Ω. Termy Poznámka. Termy jsou tedy konečné posloupnosti symbolů z abecedy, která se skládá z množiny proměnných, množiny Ω, kulatých závorek a čárky, tedy slova nad touto abecedou. Jsou to právě ta slova, která lze zkonstruovat konečně mnoha aplikacemi následujících pravidel: Pro libovolné přirozené číslo n je proměnná xn term typu Ω. Pro libovolný nulární operační symbol f ∈ Ω je f term typu Ω. Pro libovolné přirozené číslo n, libovolný n-ární operační symbol f ∈ Ω a libovolné termy t1, . . . , tn typu Ω je výraz f (t1, . . . , tn) term typu Ω. Poznámka. Definici termu nebudeme užívat dogmaticky. Je-li Ω = {+}, pak je termem například +(x1, +(x2, x3)). Je jasné, že tento zápis nevyhovuje svou nepřehledností. Proto budeme i nadále tento term psát ve tvaru x1 + (x2 + x3). Podobně pro Ω = {∨, ∧, } budeme term ∨(x1, (x1)) psát raději nepřesně ve tvaru x1 ∨ x1. Arita termu Definice. Řekneme, že term t typu Ω je n-ární, jestliže se při jeho konstrukci nevyužilo žádné proměnné xm pro m > n. Příklad. Term x2 je binární, ovšem je též 3-ární a také 4-ární atd. Není však unární, přestože v něm vystupuje jen jedna proměnná. Příklad. Nulární term typu Ω je term, při jehož konstrukci se nepoužila žádná proměnná. Je jasné, že takové termy existují jen pro typy obsahující alespoň jeden nulární operační symbol. Poznámka. Každý n-ární term t typu Ω nám v libovolné Ω-algebře A zadává n-ární operaci: místo proměnné xk dosadíme prvek ak a provedeme naznačené operace. Například pro Ω = {+, ·} s binárními operačními symboly term t = (x1 + x2) · x3 na libovolné Ω-algebře A určuje 3-ární operaci tA(a1, a2, a3) = (a1 + a2) · a3, kde bychom správně měli psát operace +A a ·A místo operačních symbolů + a ·. Chceme-li však tento jasný fakt definovat přesně, je nutné užít opět induktivní definici. Operace na Ω-algebře určená termem typu Ω Definice. Nechť t je n-ární term typu Ω, nechť A je Ω-algebra. Definujeme n-ární operaci tA určenou termem t na Ω-algebře A následujícím způsobem. Nechť a1, . . . , an ∈ A jsou libovolné prvky. Je-li t = xk, pak tA(a1, . . . , an) = ak. Je-li termem t nulární operační symbol f ∈ Ω, pak tA(a1, . . . , an) = fA. Je-li t = f (t1, . . . , tn), kde f ∈ Ω je k-ární, k ≥ 1, a t1, . . . , tk jsou n-ární termy typu Ω, pak tA(a1, . . . , an) = fA((t1)A(a1, . . . , an), . . . , (tk)A(a1, . . . , an)). Příklad. Je-li n-ární f ∈ Ω, pak (f (x1, . . . , xk))A = fA pro každou Ω-algebru A. Poznámka. Protože libovolný n-ární term typu Ω lze považovat též za m-ární term typu Ω pro libovolné m ≥ n, dopustili jsme se v předchozí definici jisté nepřesnosti: stejným symbolem tA označujeme různé operace! Nezávislost operace na zbytečně vysoké aritě termu Příklad. Jestliže Ω obsahuje binární operační symbol + a my považujeme term x1 + x2 za binární, pak podle předchozí definice platí (x1 + x2)A(a1, a2) = a1 + a2, pokud tento term však považujeme za 3-ární, pak (x1 + x2)A(a1, a2, a3) = a1 + a2. Obecně, pro libovolné n ≥ 2, je-li term x1 + x2 považován za n-ární, pak (x1 + x2)A(a1, . . . , an) = a1 + a2. Věta. Nechť t je n-ární term typu Ω, nechť přirozené číslo m > n. Pak pro libovolnou univerzální algebru A typu Ω a libovolné a1, . . . , am ∈ A platí tA(a1, . . . , an) = tA(a1, . . . , am), kde symbolem tA rozumíme vlevo n-ární operaci určenou termem t na A, kdežto vpravo m-ární operaci určenou termem t na A. Důkaz indukcí vzhledem ke složitosti termu t. Popis podalgebry generované podmnožinou Věta. Nechť A je univerzální algebra typu Ω, M podmnožina nosné množiny A. Pak podalgebra M Ω-algebry A generovaná množinou M je tvaru M = {tA(a1, . . . , an); n ∈ Z, n ≥ 0, t je n-ární term typu Ω, a1, . . . , an ∈ M}. Důkaz. Označme N množinu na pravé straně. Nejprve dokážeme M ⊆ N, stačí vzít n = 1 a unární term x1, neboť pro libovolné a ∈ M je (x1)A(a) = a. Nechť H je libovolná podalgebra Ω-algebry A obsahující množinu M. Indukcí vzhledem ke složitosti n-árního termu t lze snadno ukázat, že tA(a1, . . . , an) ∈ H. Zbývá ukázat, že N je podalgebra Ω-algebry A. Zvolme libovolně k-ární operační symbol f ∈ Ω a k libovolných prvků b1, . . . , bk ∈ N a ukažme, že fA(b1, . . . , bk) ∈ N. Ovšem pro každé j = 1, . . . , k existuje nj -ární term tj typu Ω a nj prvků aj,1, . . . , aj,nj ∈ M tak, že bj = (tj )A(aj,1, . . . , aj,nj ). Potřebujeme prvky b1, . . . , bk získat jako hodnoty operací příslušných nějakým termům typu Ω na stejné n-tici prvků množiny M. Proto položme n = n1 + · · · + nk a uvažme n-tici (a1,1, . . . , a1,n1 , . . . , ak,1, . . . , ak,nk ) vzniklou poskládáním zmíněných nj -tic za sebe. Označme tj term, který vznikne z termu tj tím, že se indexy všech proměnných v něm použitých zvětší o číslo n1 + · · · + nj−1 (tedy speciálně t1 = t1). Platí tedy pro každé j = 1, . . . , k bj = (tj )A(aj,1, . . . , aj,nj ) = (tj )A(a1,1, . . . , a1,n1 , . . . , ak,1, . . . , ak,nk ), a proto fA(b1, . . . , bk) = (f (t1, . . . , tk))A(a1,1, . . . , a1,n1 , . . . , ak,1, . . . , ak,nk ). To je ale dle definice množiny N prvek N, což se mělo dokázat. Rovnost typu Ω Definice. Nechť t1, t2 jsou termy typu Ω. Výraz t1 = t2 nazýváme rovností typu Ω. Poznámka. Zdůrazněme, že v předchozí definici je užito symbolu = jen jako dalšího znaku abecedy, který oba termy spojil do jediného slova. V žádném případě tímto zápisem není myšleno, že jsou termy t1 a t2 stejné. Příklad. Nechť Ω = {·}, kde · je binární operační symbol, pak rovností typu Ω je například rovnost x1 · x2 = x2 · x1. Tato rovnost psána naprosto formálně je tvaru ·(x1, x2) = ·(x2, x1), ale je jasné, že není třeba si zbytečně komplikovat život přehnanou snahou po formálnosti, podstatné je to, že víme, jak formálně rovnost vypadá, a jsme schopni v případě potřeby ji správně formálně přepsat. Příklad. Uvažme typ Ω = {·, −1, 1}, kde operační symbol · je binární, symbol −1 je unární a symbol 1 je nulární. Příklady rovností jsou (x1 · x2) · x3 = x1 · (x2 · x3), x1 · x−1 1 = 1, atd. Ω-algebra splňuje rovnost typu Ω Definice. Nechť t1 a t2 jsou termy typu Ω, nechť A je univerzální algebra typu Ω. Nechť n je nejmenší přirozené číslo takové, že oba termy t1 a t2 jsou n-ární. Řekneme, že rovnost t1 = t2 platí v Ω-algebře A (neboli Ω-algebra A splňuje rovnost t1 = t2), jestliže termy t1, t2 určují stejnou n-ární operaci na Ω-algebře A, tj. pro každé a1, . . . , an ∈ A platí (t1)A(a1, . . . , an) = (t2)A(a1, . . . , an). Poznámka. Díky nezávislosti operace na aritě termu lze za n vzít libovolné přirozené číslo takové, že oba termy t1 a t2 jsou n-ární. Příklad. Nechť Ω = {·}, kde · je binární operační symbol, pak rovnost x1 · x2 = x2 · x1 platí v Ω-algebře A, právě když je A komutativní grupoid. Příklad. Nechť t1 = t2 je libovolná rovnost typu Ω. Pak v libovolné jednoprvkové Ω-algebře A platí rovnost t1 = t2. Jestliže existuje prázdná Ω-algebra (tj. jestliže typ Ω nemá žádný nulární operační symbol), pak v této prázdné algebře rovnost t1 = t2 také platí. Příklad. Rovnost x1 = x2 neplatí v žádné Ω-algebře A mající alespoň dva prvky.