Domácí úloha z 4. prosince 2015 (odevzdává se 11. prosince 2015)
Je dán typ Q = {a}, kde a je unární operační symbol. Na množině přirozených čísel N je dána struktura f2-algebry unární operací : N —> N, která je pro libovolné n G N dána předpisem
1. Ukažte, že pro libovolnou kongruenci ~ na f2-algebře N platí: jestliže m ~ n pro nějaké m, n G N, m > n, pak také m ~ 1.
2. Popište svaz všech kongruenci na f2-algebře N.
[Návod - můžete postupovat například takto:
1. Nejprve ukažte indukcí vzhledem k ti, že pokud m,n,u G N splňují m > n > u a m ~ n, pak také m — u ~ n — u. Dále ukažte, že jestliže pro m e N platí u ~ 1, pak také pro každé v G N, f < u platí f ~ 1. Pak pro dané m, n G N, m > n, m ~ n označte k = m — n, vydělte číslo m — l číslem Ä; se zbytkem, tedy m — 1 = kq + r, 0 < r < q, r G Z, a ukažte, že pomocí předchozích výsledků lze indukcí dokázat pro libovolné t = 1, 2,. .. , q, že m ~ m—kt, tedy také m ~ r+1. Nakonec vysvětlete, proč tedy také m — r ~ 1 a jak odtud dostanete, žen~ 1.
2. Pokud pro zvolenou kongruenci ~ existuje přirozené číslo n, pro které neplatí n ~ 1, zvolte nejmenší takové.]
1