Domácí úkol z 21. 9. 2015
Příklad 1. Nalezněte matici přechodu od báze U k bázi V, je-li:
• U = {u1; u2; u3} = {(2, 1, 0); (0, 3, 5); (5, −10, 6)}
• V = {v1; v2; v3} = {(2, −5, −10); (−6, 25, −7); (19, −28, 18)}
Řešení. Z definice matice přechodu hledáme koeficienty a, b, c, d, e, f, g, h, i ∈ R takové, že
bude splněna soustava rovnic
v1 = au1 + bu2 + cu3 (2, −5, −10) = a(2, 1, 0) + b(0, 3, 5) + c(5, −10, 6)
v2 = du1 + eu2 + fu3 ⇐⇒ (−6, 25, −7) = d(2, 1, 0) + e(0, 3, 5) + f(5, −10, 6)
v3 = gu1 + hu2 + iu3 (19, −28, 18) = g(2, 1, 0) + h(0, 3, 5) + i(5, −10, 6)
Rozepsáním rovnic získáme tři soustavy rovnic, kde má každá soustava tři rovnice a tři
neznámé.
2 = 2a + 5c −6 = 2d + 5f 19 = 2g + 5i
−5 = a + 3b − 10c 25 = d + 3e − 10f −28 = g + 3h − 10i
−10 = + 5b + 6c −7 = + 5e + 6f 18 = + 5h + 6i
Je vidět, že se prakticky jedná o jednu soustavu s odlišnými absolutními členy a jiným
označením neznámých. Proto můžeme řešit všechny tři soustavy naráz úpravou levého
bloku následující matice na schodovitý tvar, popř. až na jednotkovou matici:


2 0 5 2 −6 19
1 3 −10 −5 25 −28
0 5 6 −10 −7 18

 ∼ · · · ∼


1 3 −10 −5 25 −28
0 5 6 −10 −7 18
0 0 1 0 −2 3

 ∼ · · ·
· · · ∼


1 0 0 1 2 2
0 1 0 −2 1 0
0 0 1 0 −2 3


Pravý blok upravené matice (oddělený dvojitou čarou) je zřejmě hledanou maticí přechodu
od báze U k bázi V, neboť se vlastně jedná o matici řešení soustav ve tvaru:


1 0 0 a d g
0 1 0 b e h
0 0 1 c f i

 , (pokud nedošlo k výměně sloupců!)
Hledaná matice přechodu je tedy


1 2 2
−2 1 0
0 −2 3

.