MULTIVARIÁTNA ANALÝZA 2 1. Kvadratické formy Deflni cia 1.1. Nech X\,X^, ...,Xn sú nezávislé, N(0, 1) rozdelené náhodné veličiny. Potom Y = Xl+X22+... + X2n má rozdelenie Xn (centrálne chi kvadrát rozdelenie s n stupňami volnosti). Veta 1.2. Nech Y ~ xl- Y má hustotu Íl _JL Hl ———re !»i pre y > 0, 2*r(f) 0 mde. Dôkaz. Pozri [Anděl, str. 79]. Poznámka. Xn rozdelenie je špeciálny pripad gama rozdelenia s parametrami a, p (a > 0,p > 0), ktoré má hustotu /(.) = < WÝ^^1 pre x > °' 0 inde. Označujeme ho T(a,p). Piati, že Xn Je rozdelenie T q, (r(P) = j^e-^-Mt, P>o.) Definícia 1.3. JVec/i Xi,X2,...,X„ sm nezávislé, Xi ~ A(/íí,1), z = 1,2, ...,n. iVec/i A = J^ľ=i M? 7^ 0- Náhodná veličina Y = Xl+Xl + ... + X2n má necentrálne x2 rozdelenie s n stupňami volnosti a koeficientom necentrality A. Označujeme ho Xn \ - Veta 1.4. Nech Xi, X2, Xn sú nezávislé, Xi ^ N(iii,í), i =1,2,...,n. Rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny Y = 5^ľ=i -^f, (teda x2n \ , kde A = 5^ľ=i/ii/' závisi len od n a X (nezávisí od jednotlivých /ii, ...,/in). Dôkaz. Pozri [Anděl, str. 80]. Lema 1.5. Nech X ~ A (/i, 1). Náhodná veličina X2 má hustotu e^i + Ô + ^ + ...) t>0, 0 t O •y/i Preto je hladaná hustota pre t > 0 /V* ^ , _ .2 -Ji V2tt /x2 (t) = -^-^ = —F—^e--5- + —F—^e--5- = ^/2Ť^^/ŕ Samozrejme pre í 5= 0 je fx2(t) = 0. □ Poznámka. Použili sme vzorec 2^/ŕ^/2Ť^ \ 2! 4! / - / f(x,y)dx = 2ILMdx + P'(y)f\p(y),y]-a'(y)f[a(y),y]. dy Ja(v) Ja(v) ôv Počítajme teraz charakteristickú funkciu náhodnej veličiny £ = X2. í-OO ^í(í) = f (ei4í) = / étxf(:{x)dx = o Postupne pre prvý člen 1 f°° itx x+ľ2 -i , e 2 j _x(i_it\ _i = / e e 2 x 2(ir=^^=- / e l2 2 dx = 2tt Jo V2n (substitúcia aľ(| — iť) = w) ...i-i . =dw =---e-^T{\). e 2 r00 _ W2 1 , 1 _ / e — flW = -^=^= 2 Pre druhý člen 1 r00 _, ..2 , ,,2„. ,,2 e e 2 x 2Ľ—dx=-—==- / e l2 "^2 V^Vo 21 2!v/2Ťř 70 (substitúcia 2ľ(| — iŕ) = w) „1P-4- ľ00 tni-1 n2 „2 = ^-^ e"" ^ rfW = -M e-^r(f). 2!v2tt 7o a/(í-íí)3 2!^j(i-íí)3 3 Pre treti člen 1 -h±í£ -l(/j.2)2x2 '27t 70 (substitúcia x (i — ít) = w) 4! dx 2\2„-4r r°° 4!V2¥ (M2) 2\2 = e-1rr(i)) atď. Dostávame r (I) (m2)0 , r (f) (m2)1 , r(|)(M2)2 0!(|-i*)5 2!(I-it)* 4! (é -i*)1 y/ŤŤi/l - 2it 2\0 v^(m2) 0!(|-it)° ' 2.1! (f-it)1 ' 4.3.2! (I-zí)2' 2 2 2' 6.5.4.3! (i - íí)3 8.7.6.5.4! (§ - íí)4 VI - 2zí (M2)0 (M2)1 (M2) ,2\2 -—-ň H--—-f H--—- 0!4°(|-ií) 1I41 (±-it) 2!42(±-íí) (1.1) e— — e2(i-2it) e1-2** VI - 2zí VI - 2iť Ak máme Ai, X2, ■ Xj- nezávislé, Xi ~ N(/Aí, 1), tak charakteristická funkcia (1.2) el-2l,t VI - 2ít a charakteristická funkcia náhodnej veličiny Y = X\ + X\ + ... + X\ je (1.3) Vy (í) = ýx?(Wx'(t)---ýx'At) (l-2žŕ)f (l-2žŕ)§ kde A = Ej=iM2- 4 Veta 1.6. Nech náhodné premenné Xi, X2, ■■■jXn sú nezávislé, Xi ~ N(/Ai, 1), i n n T = Y/^Xf + 2Y/bíXl + c 1,2,n. Potom má xi s rozdelenie práve vtedy ak (i) 7i = O alebo 1 pre i = 1,2,n, (ii) ak 7i = O =>■ 6j = O pre i = 1, 2,n, Ak sú podmienky (i),(ii) a (iii) splnené, tak k = J^ľ=i li a $ = 5^ľ=i lÁ^i + Mi)2-Dôkaz. Porovnáme charakteristické funkcie iJjt(-) a i/>y(.), kde y ~ %| á. Piati ^T(í) = £(eítT) =£ í V 5ľ}=l 7i^2+2E"=i b3X3+c+2 5:™=1 73#0 73#0 73=0 £"=1 7i(^ + ^-)^+c-E ,=1 S7+2S =1 'Í=l 73#0 i=i 73#0 . j=l "ó^-ó 73=0 73#0 £ e 73=o i=i 73#0 itlj[Xj + ^- c 2^ j=\ -y. ■ 3 = 7^0 i=i 73=0 i=i 73#0 kde & ~ ÍV (^i + 1) ak 7i ^ 0 a & ~ ÍV (/íí, 1) ak 7i = 0. Podlá (1.2) je (1.4) i>T(t) = e \ 73#o /e 73=0 73=o ; 1 n"=i v1 - 73#0 Podlá (1.3) pre charakteristickú funkciu y ~ x| s piati 1 ita e 73#0 (1.5) lby (t) n-=1 ^/^^2l 5 Porovnaním (1.4) a (1.5) musí platit pre každé t G 72 n k i=i i=l a súčasne iť (<=-£"=! |) *2t£™=1 M^-2t2£™=1 b? Jt 5ľ j=l Zfef^ e V 7j#0 /e 7j=0 7j=0 g 7^0 _ ei-2it ; z čoho je jasne vidiet, ako dokončime dôkaz. □ Veta 1.7. Nech ~ Nn(fj,,V), A.n,n je symetrická, b G 72.™ a c G 72. Náhodná premenná T = £'A£, + 2b'^ + c má \\ s rozdelenie práve vtedy ak (i) A2 = A; (ii) b G /í (A), fmj c = b'b. ^4fc sú podmienky (i),(ii) a (iii) splnené, tak k = h(A), S = (b + /x)'A(b + /x). Dôkaz. Pre A existuje ortogonálna matica P, že piati P'AP = A (diagonálna matica), P'P = PP' = I (pozri napr. Rao, str. 62). Potom 77 = P'£ ~ N(P'(jl,I) a £ = Pi?. Preto T = £'A£ + 2b'| + c = í?'P'APí? + 2b'Pí? + c = í?'Aí? + 2b'Pí? + c. Podlá vety 1.6 má T rozdelenie x\ s práve vtedy ak (i) {A}ll = 0 alebo 1 pre'í = 1,2,...,n <ř=> A2 = A ^ P'APP'AP = P'A2P = P'AP <ŕ=> A2 = A, (ii) {A}a = 0 =>• {P'b}i = 0, čo je ekvivalentné s tým, že P'b G /z(A) •<=> PP'b = b G m(PP'AP) = /i(AP) = /z(A), (iii) c = (b'P)P'b = b'b. Ak sú podmienky (i),(ii) a (iii) splnené, potom podlá vety 1.6 k = 5^™=i{A}m = trA = h(A) = h(PAP') = h(A) a ô = Eľ=i{Ak({p'b}í + {PW*)2 = (b'P + /x'P)A(P'b + P'/x) = (b + /x)'PAP'(b + /x) = (b + /x)'A(b + /x). □ Veta 1.8. Nech ~ Nn(fi,'S), An,n je symetrická, b G 72™ a c G 72. Náhodná premenná T = A£, + 2b'^ + c má x2. á rozdelenie práve vtedy ak (i) SAEAE = SAS ^ (SA)3 = (SA)2, (ii) S(A/x + b) G /i(SAS), fmj (A/x + b)'S(A/x + b) = /x'A/x + 2b'/x + c. Ak sú podmienky (i),(ii) a (iii) splnené, tak k = ír(AS) aS= (b +A/x)'SAS(b + A/x). Dôkaz. Faktorizujeme maticu S = JJ', kde J je typu n x h(S) (pozri Anděl, str. 64). Vieme, že P{£ = /x + J í?} = 1, kde rj ~ A^(S)(0,1) (Anděl, str. 76). Teda T = £'A£ + 2b'í + c = (/x + J»7)'A(/x + Jjy) + 2b'(/x + Jjy) + c = = jy'J'AJjy + 2(A/x + b)'Jí? + /x'A/x + 2b'/x + c. Podia vety 1.7 má T rozdelenie \k s práve vtedy ak (1) J'AJJ'AJ = J'AJ, (2) J'(A/x + b) e m(J'AJ), (3) (A/x + b)'JJ'(A/x + b) = /x'A/x + 2b'/x + c. Ďalej piati J'AJJ'AJ = J'AJ JJ'AJJ'AJJ' = JJ'AJJ', čiže SASAS = SAS, a tiež naopak SASAS = SAS => JJ'AJJ'AJJ' = JJ'AJJ' => (J'J) ij'.JJ'AJJ'AJJ'.JtJ'J) 1 = (J'J) ij'.JJ'AJJ'.JtJ'J) \ čiže J'AJJ'AJ = J'AJ, čo dokazuje prvú časí (i). Ekvivalencia SASAS = SAS ^ (SA)3 = (SA)2 je jedným smerom (=>•) zrejmá. Ku opaku potrebujeme nasledovné tvrdenie (1.6) 3 DKj„ : SAS = SASAD. Tvrdenie (1.6) dokážeme takto: /i(SAS) = /i(JJ'AJJ') ^ ^((J'J^J'.JJ'AJJ'.J^'J)-1) = /i(J'AJ). Podia Anděl, str. 62 je (1.7) /i(J'AJ) = /i(J'AJJ'AJ) ^ /i(JJ'AJJ'AJ) = /i(SASAJ), ale /i(SASAJ) = /i(JJ'AJJ'AJ) ^ /i((J'J)-1J'.JJ'AJJ'AJ) = (1.8) = /i(J'AJJ'AJ) = /i(J'AJ), a preto z (1.7) a (1.8) /i(SAS) = /i(SASAJ) S /i(SASA) ^ /i(SAS), teda /i(SASA) = /i(SAS). Pretože zrejme /i(SASA) C /i(SAS) a hodnosti matic vytvárajúcich tieto pod-priestory sa rovnajú, piati /i(SASA) = m(SAS) 7 a dostávame vztah (1.6). Z predpokladu (SA)3 = (SA)2 pomocou (1.6) dostávame SASASAD = SASAD => SASAS = SAS, čim sme (i) úplne dokázali. Podme teraz dokázat (ii), čiže dokázat, že J'(A/x + b) e /z(J'AJ) ^ S(A/x + b) e /z(EAE). Ak J'(A/x + b) e m(J'AJ), tak JJ'(A/x + b) e m(JJ'AJ) = /z(EAJ) = = ^(EAJJ'AE) = ^(EAEAE) = /j(SAS) (podlá (i)). Naopak ak E(A/x + b) e /z(EAE), tak (J'J) 1 J'.JJ'(A/x + b) = J'(A/x + b) e /i((J'J)_1 J'.JJ'AJJ') = /i(J'AJJ') C /i(J'AJ), čim sme dokázali (ii). Samozrejme (iii) už máme dokázané (je ekvivalentné (1)). Dôkaz vety už dokončime jednoducho. Podlá vety 1.7 je totiž k = /i(JJ'A) = ŕr(EA) = ŕr(AE) a S = ([J'(A/x + b)]'J'AJ[J'(A/x + b)]) = (A/x + b)'SAS(A/x + b). □ Uvedieme bez dôkazu vety o nezávislosti kvadratických foriem. Podrobnejšie pozri [Rao, Mitra, kapitola 9]. Veta 1.9. Nech Y ~ Np((jl, S) a Qľ = Y'AY, Q2 = Y'BY dve kvadratické formy. Nutné a postačujúce podmienky nezávislosti Q\ a Q2 sú (a) SASBS = 0,SASB/x = 0, SBSA/x = 0 a /x'ASB/x = 0, ak A a B sú symetrické, nemusia byt pozitivně semidefinitné, pričom S nemusi byt regulárna. (b) ASBS = 0, ASB/x = 0, ak A je pozitivně semidefinitná. (c) ASB = 0, ak A aj B sú pozitivně semidefinitné. (d) ASB = 0, ak S je regulárna, A a B sm symetrické, nemusia byt pozitivně semidefinitné. Veta 1.10. AWi Y - ATp(/x, S) a Q1 = Y'AY+2a'Y+a, Q2 = Y'BY+2b'Y+/3 dve lineárne-kvadratické formy. Nutné a postačujúce podmienky nezávislosti Q\ a Q2 sú (a) SASBS = 0, SASb = 0, SBSa = 0 a a'Sb = 0, ak /x = 0, pričom S nemusi byt regulárna. (b) ASB = 0,BSa = 0, ASb = 0 a a'Sb = 0, ak S je regulárna, pričom /x môže byt aj nenulový vektor. 2. WlSHARTOVO ROZDELENIE 2.1. ÚVODNÉ POZNÁMKY A DEFINÍCIA Majme Uj ~ Np(fii,T,), í = 1,2, ktoré sú nezávislé, S je pozitivně deŕinitná matica. Označme Uj = (í/h, L^í, Upi)', Y j = (Uji, Uj2, Ujk)', j = 1,2, ...,p a /Uu U12 U13 ... Ulk\ U21 U22 U23 ■■■ U2k V Upi up2 up3 ... upk I 8 Teda w iu,:u,:...:u/,: Vy'/ ďalej označme Ml / Mu M12 Mi3 ■ ■ ■ Mife ^ M21 M22 M23 ■ ■ ■ M2fe (/xi:/x2: ■ ■ ■ :/ife)- V /ipl /ip2 Mp3 ■ ■ ■ Mpfe / Pre pevný vektor 1 G 1ZP sú náhodné veličiny l'Ui - ÍV(1'mí, l'Sl = crf), i = 1,2,A; nezávislé (lebo Uj sú nezávislé). Náhodný vektor U\ = íY^i je lineárna kombinácia normálne rozdelených nezávislých náhodných vektorov, pričom (2.1) lY-iVfcíMl.ffflfc.fc). ak b = (bi, 62, frfc)' Je vektor konštánt, tak (2.2) U'b = 61U1 + ... + ĎfcUfc - ATp(M'b, b'bS). Poznámka. Nech / «ii «21 din \ &2n V «ml Kroneckerov súčin matic A a B je ; Br,s /&11 Ď21 \6ri b2s * br„ J A (g) B = / anB ai2B a2iB &22B Vami B am2B ai„B \ «2nB «mnB / mr Vlastnosti Kroneckerovho súčinu matic pozri napr. v [Rao]. ak napíšeme "pod seba" stĺpce matice K, povieme, že sme vykonali na matici operáciu vec. Teda U2 » wecW = UfcPji = w 9 Ukážte, že (2.3) vecU' = U ~ Nkp(vecM', Ifcjfc ® a (2.2) sa dá zapisat ako (2.4) U'b = (b' IptP)vecUŕ - A^((b' (g) IPtP)vecM'', (b' 0 Ip,p)(Ip,p ® EP,P)(b 0 IPjP)). Poznámka. Nech bi 7^ b2, bi,b2 G 7?.fe. Piati cov(U'b1,U'b2) = (b[ (g>Ip,p)(I(g> S)(b2 ® Ip,P) = b;b2®S = b^E. ak b^b2 = 0, t.j. ak bi a b2 sú ortogonálně, tak Wbi a Wb2 sú neskorelované, t.j. v tomto prípade nezávislé. Podlá predchádzajúcej poznámky lahko dokážeme nasledujúcu lemu Lema 2.1. Ak bi,b2, ...,br, r ^ k tvorí ortonormálny systém v 7Zk, tak Vi = U'b1,...,Vr =U'br sú navzájom nezávislé a majú normálne rozdelenie, pričom Vj ~ Aŕp(M'bj, S), lahko dostaneme aj nasledujúci dôsledok Dôsledok 2.2. Ak f$k,k Je ortogonálna matica (BB' = B'B = I), tak Vj = (Ui:...:Ufc){B}.i = U'iB}., ~ Wp(M'{B},,£), z = 1,2,..., Ä; a co^V*, V,-) = ({B};4 0 IPjP)(I 0 £)({B}.j 0 I) = {B};i{B}.J- ® £ = 0 pre i ^ j, réda V1;Vfc sm nezávislé. Definícia 2.3. Združené rozdelenie prvkov matice Spp = EÍLi U^U^ = U'IÁ sa nazýva Wishartovo rozdelenie s k stupňami volnosti a znači Wp(k, E, M). Ak M = 0, jedná sa o centrálne rozdelenie, označujeme ho Wp(k,'S). Poznámka. (i) {S}„- = {ZÍLi UjU;} = Eti UuUji = Y[Y3 = {U'U}lv lebo ( Eti^i' Ef=i^i^2í ... Y,LiUuUpl\ c — (ii) Pre p = 1 a /zn = /ii2 = ... = Mife = 0 sú U, = C/H ~ ÍV(0, cr2), z = 1, 2,k nezávislé, W'W = E*=i Ul ~ Wi(*> ^ Pretože ^ ~ JV(0,1), má £ti $ - X2, rozdelenie a W'W ~ íj2Xfc rozdelenie. (iii) Pre k p existuje hustota Wp(k, S, M) rozdelenia, ináč nie. Dôkaz je naznačený v [Rao, str. 641]. 10 2.2. Niektoré vlastnosti Wishartovho rozdelenia Lema 2.4. Nech S ~ Wp(Ä;,S,M) a 1 G W je vektor konštánt. Potom ľSl ~ „2^2 /_2 _ |/yi r _ l'M'Ml ) °lXfc,ä (^1 "12jli " —--J- Dokaz. S = EtiUiUÍ. Preto ľS1 = Eti^UiUÍ1 = EtiO'Ui)2 = iY' iY ~ (T?xl,s> kde 5 = ''^2M1, lebo iY - Nk(Ml, aflk%k). ak M = 0, tak S = 0. □ Lema 2.5. Nech Uj ~ -/Vp(0, S), z = 1,2, sm nezávislé, Akjc reálna symetrická matica. W AU ~ Wp(r, S) prátje vtedy ak\f l elZp \Y'A \Y ~ ofx2, (°f = ľSl, iY = U\). V tomto prípade r = h(A) = tr(A). Dôkaz. Zlemy2.4 vyplýva, žeakWAW - Wp(r,S), takVl G 7ep iY'A iY - a\xl-Samozrejme z (2.1) XY ~ JVfc(0, <72Ifcjfc), čiže £ - Nk(0,IkJ:). Teda podlá vety 1.8 Xr <=>■ A2 = A a v tom prípade r = /i(A) = tr(A). Naopak ak V 1 G W {Y'A {Y = ľU'AUl ~ afxl, čo je podlá vety 1.8 ekvivalentné tomu, že A2 = A, pričom v tom prípade h(A) = ŕr(A). A je reálna symetrická matica, idempotentná a h(A) = r. Teda A je pozitivně semideŕinitná a preto existuje ortonormálny systém vektorov bi,G 7?.fe, že A = Ej=i Ajbjbj, I = Ej=i bjbj (reálne čisla Ai ^ A2 ^ ... ^ Ar > 0 sú vlastné čisla matice A a bi,br im prislúchajúce charakteristické vektory). Z rovnosti A2 = A dostávame r r r E AA-b; E A*b*b* = E A*b*b*< j=l s=l t=l Afbibí + AÍ;b2b2 + ...A2brb; = Aibibi + A2b2b2 + ...Arbrb;, z čoho vyplýva, že A2 = \, i = 1,2, čiže Ai = A2 = ... = Ar = 1 (lebo Aj > 0). Môžeme písat A = E^=i bibí a tiez "'AW = E^i^'b^W = Ej=iVjví, pričom podlá lemy 2.1 Vj ~ ^(0, S) a Vi, V2,T^. sú nezávislé. Z definície preto W AU ~ Wp(r, S). □ Veta 2.6. JVec/i S ~ Wp(k, S) a BPíg matica konštánt. Potom B'SB ~ Wq(A;, B'SB). Dófcaz. B'SB = B'W'WB, kde /U'A ' Uí > WB /Vi \ B V V'/ Uj ~ ^(0, S) sú nezávislé. Preto /Vi\ /UÍB\ ' ^' 1 ' U2B > V vi/ má riadky nezávislé, ccw(B'Ui, B'Uj) = B'cov(Ut, U,) B = 0 a B'U4 - atg(0, B'SB). Platí B'SB = EÍ=i v4V^ - Wq(k, B'SB) (priamo z definície). □ 11 Dôsledok 2.7. (a) Diagonálne submatice matice S majú tiež Wishartovo rozdelenie, lebo ak g _ / Sn S12 kde Sn je rozmeru l x ž, žafc (IM O^^) =Sn. (b) ak S - WpO,I) a afc P^e Bp,g platí H'H = I, potom B'SB ~ Wg(A:,I). Veta 2.8. JVec/i S ~ Wp(k, S) a a G 7?.p je žafcý vektor konštánt, že a'Sa 7^ 0. a Sa q Potom ——— ~ yŕ. a'Sa A/" Dôkaz. Podia vety 2.6 piati, že a'Sa ~ Wi(fc,a'Sa), čo znamená podlá poznámky a'Sa (ii) pod definíciou 2.3, že -~ y2.. ^ a'Sa Veta 2.9. Nech U1; U„ je náhodný výber z Np(0, S) (teda U'U ~ Wp(n, S)), je symetrická matica. Piati U'CU ~ Wp(r, S) <ŕ=> C2 = C. K takomto prípade r = tr(C). Dôkaz. Podlá lemy 2.5 je W'CW ~ Wp(r, E) ^ V 1 e 7?.p iY'C iY - cr2y2, (cr2 = l'Sl, iY = U\). V tomto prípade r = /i(C) = ŕr(C). Pretože podlá (2.1) je Y Y' Y 1 Np(0,T), je podlá vety 1.7 iY'C iY - cr2y2 ^ -J=C^L= - y2 ^ Vl'Sl ' 1 Vl'Sl Vl'Sl C2 = C. V tomto prípade r = h(C). □ Lema 2.10. JVec/i S]^ ~ Wp(n1, S), S2 ~ Wp(n2, S). Si a S2 sm nezávislé. Potom S! + S2 - Wp(n!+n2,S). ^ôfcaz. Si = wíwi, s2 = w£w2, kde w{ = íu,;...;u„ :. w2 = (u„1+1:...:u„1+„2) a U, ~ Np(0,T,),í = 1,2, + n2 sú nezávislé. Preto ak označíme U' = (WÍÍW£)p,ni+n2, tak Si + S2 = (WÍWi + Z^W2) = W'W - Wp(ni + n2, S). □ Veta 2.11. Nech Cn,n = C je p.s.d. matica konštánt, Uj ~ -/Vp(0,S),z = 1, 2,n nezávislé. Piati, že U'p nCU ~ 5^™=i (1, S), fcdeAi,...,A„ sú vlastné čisla matice C a Wp^l, S),Wpn\l, S) sm nezávislé. Dôkaz. Môžeme pisat C = E™=1AíPíPÍ, I = Eľ=iPíPÍ' pričom Ai ^ ... ^ A„ ^ 0 sú vlastné čisla matice C a pi, ...p„ ortonormálně vektory. Teda U'CU = Eľ=i Wvív'íU = Eľ=i ^iviví> kde v» ~ ^(0- s) a sú nezávislé (lema 2.1). Z vety 2.9 vieme, že W'p.p^W = V,V^ - Wp(i)(l, S). □ 12 Lema 2.12. Pre matice príslušných rozmerov piati (2.5) vecABC = (C A)vecB, ír A B = (uecB')WA. Dôkaz. Lemu dokážte ako cvičenie. Veta 2.13. Nech Uj ~ A^/x, E), z = 1,2,..., n, U1; U2, U„ sm nezávislé, Ci, C2 symetrické a idempotentné. hi'Cihi a U'C^U sú nezávislé •<=> C1C2 = 0. Dôkaz, ak W'Ci a WC2 sú nezávislé, tak sú nezávislé aj IÁ'C\IÁ a WC2U. WC\ a WC2 sú nezávislé práve vtedy ak sú nezávislé JLÍ'Ci a K/C2 a to je práve vtedy ak sú nezávislé veciVJ'Cx) a i>ec(K/C2), čiže podlá lemy 2.12 ak sú nezávislé vektory (C[ TjvedA', ktoré sú podlá (2.3) normálne rozdelené, pričom vedA' ~ Nnp(0, I„,„ 0 EPjP). Pretože (Ci <8> I)(I 0 E)(C2 0 I) = (CiC2 0 S) = 0, sú W'Ci a W'C2 nezávislé. Teraz už lahko dokončime dôkaz. □