Zadání příkladů - cvičení č.l - 15-9-23
Příklad č.l (porovnání dvou typů modelů) (přednáška)
Model rozděleni pravděpodobností je modelem náhodné proměnné X, např. (1) model rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X šířka dolní čelisti, nebo (2) model rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X hrubost kožních řas u dospělých zdravých žen. Statistický model je modelem náhodné proměnné Y\X (Y kauzálně závisí na X), např. (1) model závislosti náhodné proměnné Y šířka dolní čelisti na proměnné X pohlaví, nebo (2) model závislosti náhodné proměnné Y hrubost kožních řas u dospělých zdravých žen na proměnné X BMI. Všimněme si, že náhodné proměnné označujeme X anebo Y podle toho, jaký model je charakterizuje.
Příklad č.2 (jednoduchý náhodný výběr)
V jednoduchém náhodném výběru o rozsahu n z populace s konečným rozsahem N má každý prvek stejnou pravděpodobnost vybrání. Pokud vybíráme bez vracení (opakování), mluvíme o jednoduchém náhodném výběru bez vraceni (Dalgaard, 2008). Pokud vybíráme s vracením, mluvíme o jednoduchém náhodném výběru s vracením. Mějme množinu M. s N = 10 prvky a chceme z ní vybrat n = 3 prvky (a) bez vracení, (b) s vracením. Kolik máme možností? Jak vypadá jedna takováto možnost, pokud M = {1,2,..., 10}? Zopakujte to samé pro N = 100, n = 30 a množinu M = {1,2,..., 100}.
Příklad č.3 (jednoduchý náhodný výběr)
Mějme skupinu lidí označených identifikačními čísly (ID) od 1 do 30. Vyberte (a) náhodně 5 lidí z 30-ti bez návratu, (b) náhodně 5 lidí ze 30-ti s návratem a nakonec (c) náhodně 5 lidí ze 30-ti bez návratu, přičemž lidé s ID od 28-mi do 30-ti mají pravděpodobnost vybrání 4x vyšší než lidé s ID od 1 do 27.
Příklad č.4 (normální rozdělení)
Mějme náhodnou proměnnou X (může to být např. výška postavy desetiletých dívek) a předpokládejme, že tato náhodná proměnná má normální rozdělení s parametry fi (střední hodnota) a a2 (rozptyl), což zapisujeme jako X ~ N(fi,a2), fi = 140.83, a2 = 33.79. Normální rozdělení představuje model rozdělení pravděpodobnosti pro tuto náhodnou proměnnou. Vypočítejte pravděpodobnost Pr(a < X < b) = Pľ(X < b) - PľX < a) = Fx{b) - Fx(a), kde a = - ka, b = + ka, k = 1, 2, 3. Nakreslete hustotu rozdělení pravděpodobnosti, vybarvěte oblast mezi body a a b a popište osy x a y tak, jako je uvedeno na obrázku 1.
1
Obrázek 1: Míry normálního rozdělení; křivka hustoty s vybarveným obsahem pod touto křivkou mezi příslušnými kvantily na ose x; obsah je rovný pravděpodobnosti výskytu subjektů s danou výškou v rozpětí těchto kvantilů.
Dostaneme pravidlo 68.27 — 95.45 — 99.73 (tzv. míry normálního rozdělení. Příklad č.5 (normální rozdělení)
Mějme X ~ N(fi, a2), kde fi = 150, a2 = 6.25. Vypočítejte a = fi — Xi_a/2<J a b = ^+Xi_a/20- tak, aby Pr(a < X < b) = 1 — a, byla rovná 0.9, 0.95, 0.99. Číslo Xi_a/2 je kvantil normovaného normálního rozdělení, t.j. Pr(Z = < xi-a, Z ~ N(0,1). Nakreslete hustotu rozdělení pravděpodobnosti,
vybarvěte oblast mezi body a a b a popište osy x a, y tak, jako je uvedeno na obrázku 2.
Obrázek 2: Upravené míry normálního rozdělení; křivka hustoty s vybarveným obsahem pod touto křivkou mezi příslušnými kvantily na ose x; obsah je rovný pravděpodobnosti výskytu subjektů s danou normovanou výškou v rozpětí těchto kvantilů.
Dostaneme pravidlo 90 — 95 — 99 (tzv.upravené míry normálního rozdělení. Použili jsme nerovnost Pľ(ua/2<z<u1_a/2 = Q{xi-a/2) — Q{xa/2) = 1 — «, kde $ je distribuční funkce normálního normovaného rozdělení a všeobecně (a G (0,1/2); v příkladě a = 0.1,0.05 a 0.01.
Příklad č.6 (normální rozdělení)
Předpokládejme model normálního rozdělení iV(130,132) pro systolický krevní tlak. Jaká část populace (v %) bude mít hodnoty vyšší než 160 mm Hg?
Příklad č.7 (binomické rozdělení)
Předpokládejme, že počet lidí upřednostňujících léčbu A před léčbou B se řídí modelem binomického rozdělení s parametry N (rozsah náhodného výběru) a p (pravděpodobnost výskytu), ozn. Bin(N,p), kde N = 20, p = 0.5, t.j. lidé preferují oba dva typy léčby stejnou měrou, (a) Jaká je pravděpodobnost, že 16 a více pacientů upřednostní léčbu A před léčbou Bl (b) Jaká je pravděpodobnost, že 16 a více a zároveň 4 a méně pacientů upřednostní léčbu A před léčbou Bl
Příklad č.8 (binomické rozdělení)
Předpokládejme, že Pr(-uir) = 0.533 = p\ je pravděpodobnost výskytu dermatoglyfického vzoru vír na palci pravé ruky mužů české populace a Pr(ostatni) = 0.467 = P2 je pravděpodobnost výskytu ostatních vzorů na palci pravé ruky mužů české populace, přičemž X je počet vírů a ľ je počet
2
ostatních vzorů, kde X ~ 5m(iV,pi) a Y ~ Bin(N,p2). Vypočítejte (1) Pr(X < 120), když iV = 300 a (2) Pr(Y < 120), když N = 300.
Příklad č.9 (parametry) (přednáška)
Příklady parametrů 9 - střední hodnota fi, rozptyl a2, korelační koeficient p, pravděpodobnost p výskytu nějaké události, rozdíl dvou středních hodnot pí — /x2, podíl dvou rozptylů <jf/a%, rozdíl dvou korelačních koeficientů p\ — p2, rozdíl dvou pravděpodobností p\ — p2 apod.
Příklad č.10 (binomické rozdělení) (přednáška)
Pokud X ~ Bin(N,8), 9 = p G (0; 1), potom 34> Je stejný pro všechny 9 a koinciduje s výběrovým prostorem y = {0,1,..., N}.
Příklad č.ll (počet členů v mnohorozměrném LRM) (z přednášky)
Mějme mnohorozměrný lineární regresní model C o 20-ti proměnných, ve kterém jsou obsaženy všechny možné interakce těchto proměnných (dvojné, trojné,...). Kolik členů (jednoduché regresory + všechny interakce) má takový model?
3