Domácí úkol z 24. září 2015
Zapište podrobně následující kroky v důkazu věty ze semináře, v níž p je libovolné pevně zvolené prvočíslo.
Předpokládejme, že zobrazení / : N —> <Qp splňuje podmínku
Vs G N:3t G N:Vx G N: Vy G N: \x-y\p < p~ť \f(x)-f(y)\p < p~s ■ (*)
1. Vysvětlete, proč pro každou posloupnost {xn}^=1 přirozených čísel, která je Cauchyovská v metrice dané p-adickou normou, je posloupnost {f(xn)}^=i také Cauchyovská.
2. Pro dvě v Qp konvergentní posloupnosti {a;n}^_1 a {yn}^Li přirozených čísel, které mají stejnou limitu, vysvětlete, proč také posloupnosti {f{xn)}c^=i a {./(y»)}í?=i Jsou v Qp konvergentní a mají zde stejnou limitu.
3. Pro libovolné a £ Zp zvolme posloupnost {.t,í}^L1 přirozených čísel splňujících lim„_>oo xn = a a definujme g{a) = limn^oo f{xn) (obě limity jsou vzhledem k p-adické metrice). Odvoďte podmínku
Vs G N:3ŕ G N:Vx G Zp:Vy G Zp:\a-(3\p < jT* => \g(a)-g(/3)\p < p~s
znamenající, že g : 7Lp —> Qp je spojitá funkce.