Domácí úkol z 8. října 2015
Zapište podrobně následující kroky v konstrukci p-adické T-funkce Tp ze semináře pro libovolné pevně zvolené prvočíslo p.
1. Předpokládejme, že prvočíslo p / 2.
(a) Dokažte indukcí, že pro každé n G N platí
(1 + pf"'1 = 1 + pn (modpn+1).
Užitím tohoto výsledku určete řád prvku v grupě (Z/pnZ)
(b) Protože (Z/pZ)x je grupa jednotek konečného tělesa, je cyklická. Nechť s G 7L je zvoleno tak, že [s]p je generátor této grupy. Užitím (jediného existujícího) homomorfismu okruhů 7Ljpn7L —> TLjpTL odvoďte, že řád prvku [s]pn v grupě (Z/pnZ)x je dělitelný číslem p — 1.
(c) Pomocí vhodných vět z Algebry I ukažte, že grupa (Z/pnZ)x je cyklická.
(d) Odvoďte, že součin všech prvků grupy (Z/pnZ)x je roven [—
2. Nyní se zabývejme případem, kdy prvočíslo p = 2.
(a) Dokažte indukcí, že pro každé n G N, n > 2, platí
52n~2=l + 2n (mod2n+1).
Pomoci tohoto výsledku určete řád prvku [5] 2n v grupě (Z/2nZ)x.
(b) Předpokládejme, že n > 3. Pomoci vhodných vět z Algebry I ukažte, že grupa (Z/2nZ)x je součinem cyklické podgrupy generované prvkem [5] 2n a cyklické podgrupy generované prvkem [-1]2».
(c) Odvoďte, že v případě n > 3 je součin všech prvků grupy (Z/2nZ)) roven [1]2».
3. Nechť nadále je prvočíslo p libovolné. Pro libovolné n G N definujme
rp(n) =       •   n i.
l<i<n,p\i
Dokažte, že tyto hodnoty je možné na okruhu 7LV všech celých p-adických čísel jednoznačně proložit spojitou funkci rp : 7LV —> Zx, kde Zx =7LV — p7Lv je grupa jednotek okruhu Zp.