Domácí úkol z 3. prosince 2015
Nechť p je prvočíslo a / číslo přirozené. Označme ¥q konečné těleso mající q = pf prvků. Nechť £ = e2m/'p G C je komplexní primitivní p-tá odmocnina z jedné a ip : ¥q —> Cx komplexní aditivní charakter tělesa ¥q určeny podmínkou tp(t) = CTr(í), kde TV : ¥q ->• ¥p je stopa, tj. Tr(í) = t + tp + • • • + tpf 1; přitom £TrM je korektně definováno, neboť každý prvek tělesa Fp lze považovat za zbytkovou třídu modulo p.
Pro každé a G ¥q je ipa '■ ¥q —> Cx, kde ipa(t) = ip(at) pro libovolné í £ Fg, komplexní aditivní charakter tělesa ¥q.
V semináři jsme ukázali, že ip je netriviální aditivní charakter a že {ýa, a £ IF^} je množina všech q komplexních aditivních charakterů tělesa ¥q, speciálně tedy pro libovolná a,b £ ¥q z a ^ b plyne ipa ^ -06•
Pro libovolný komplexní multiplikativní charakter x tělesa ¥q, tj. homo-morfismus grup x : Fx —?► Cx, definujeme Gaussovu sumu předpisem
1. Dokažte, že platí
E ^(*) = °-
tewq
2. Dokažte, že pro libovolné t G ¥q je
y^Mt) = lq je"lií = 0,
3. Dokažte, že je-li x netriviální multiplikativní charakter, pak Qq{x) = 0-
4. Dokažte, že pro libovolné a G ¥q, a ^ 0, je Qa(x) = x(a) 1 " Gi{x)i a tedy obě Gaussovy sumy Qa{x) a 0i(x) mají stejné absolutní hodnoty.
5. Dokažte, že je-li x netriviální multiplikativní charakter, pak absolutní hodnota |£i(x)| = y/q.
[Návody:
1. Využijte toho, že ij) je netriviální, a tedy existuje s£F, takové, že ij){s) 7^ 1. Přitom zobrazení í 1—> t + s je bijekcí naF,, a tedy uvažovaná suma se po vynásobení číslem ij){s) nezmění.
2. Pro libovolné í 6 Fg, í 7^ 0, je zobrazení       ta bijekcí na Fg. Pak lze použít 1.
3. Je možné postupovat analogicky jako v 1, jen pracovat s multiplikativní grupou místo s aditivní.
4. Využitím bijekce z 2 lze ukázat, že x(a) ' f?a(x) = Gi(x)- Zřejmě x(a)g 1 = 1> tedy |XW| = 1. _
5. Podle úloh 3 a 4 je J2aewq Ga{x)Ga{x) = (f? — (x)|2- Spočítejte tuto sumu jinak: dosaďte z definice za Qaix) a upravte tak, abyste mohli užít úlohu 2.
Budete-li potřebovat, můžete v knize Ireland, Rosen: A classical introduction to modem number theory v kapitole 8.2 najít podobné výpočty (až na drobné odlišnosti v definici jde o speciální případ / = 1 tohoto zadání).]