Cvičení 11: Hodnocení kontingenčních tabulek
Úkol 1.: Testování hypotézy o nezávislosti, měření síly závislosti
V roce 1950 zkoumali Yule a Kendall barvu očí a vlasů u 6800 mužů.
Barva vlasůBarva očí
světlá kaštanová černá rezavá
modrá 1768 807 180 47
šedá nebo zelená 946 1387 746 53
hnědá 115 438 288 16
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti barvy očí a barvy
vlasů. Vypočtěte Cramérův koeficient. Simultánní četnosti znázorněte graficky.
Postup ve STATISTICE:
Otevřeme datový soubor oci_vlasy.sta o 12 případech a třech proměnných (OCI, VLASY,
CETNOST).
Před provedením testu je zapotřebí ověřit podmínky dobré aproximace:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif. tabulky – List 1
OCI, List 2 VLASY, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Očekávané četnosti – Výpočet.
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (oci_vlasy.sta)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 1088,15, sv=6, p=0,00000
OCI VLASY
světlá
VLASY
kaštanová
VLASY
černá
VLASY
rezavá
Řádk.
součty
modrá 1167,259 1085,976 500,902 47,8622 2802,000
šedá nebo zelená 1304,731 1213,875 559,895 53,4990 3132,000
hnědá 357,010 332,149 153,202 14,6388 857,000
Vš.skup. 2829,000 2632,000 1214,000 116,0000 6791,000
Podmínky dobré aproximace jsou splněny. Všechny teoretické četnosti jsou větší než 5. Nyní
budeme testovat hypotézu o nezávislosti proměnných OCI, VLASY.
Návrat do Výsledky; kontingenční tabulky – na záložce Detaily zaškrtneme Pearsonův & M-L
Chi - kvadrát, Phi & Cramerovo V – Detailní výsledky – Detailní 2 rozm. tabulky.
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
1088,149 df=6 p=0,0000
1155,669 df=6 p=0,0000
,4002923
,3716246
,2830494
Ve výstupní tabulce najdeme mj. hodnotu testové statistiky (Pearsonův chí-kv = 1088,149)
s počtem stupňů volnosti (sv = 6) a odpovídající p-hodnotou (p = 0,0000), dále Cramérův
koeficient (V = 0,283). Protože p-hodnota je mnohem menší než 0,05, nulovou hypotézu o
nezávislosti barvy očí a barvy vlasů zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient svědčí o slabé závislosti barvy očí a vlasů.
Pro grafické znázornění četností se vrátíme do Výsledky; kontingenční tabulky – Detailní
výsledky – 3D histogramy.
Dvourozměrné rozdělení: OCI x VLASY
svetla
kastanova
cerna
rezava
VLASYmodra
seda nebo zelena
hneda
O
CI
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Početpozorování
Úkol k samostatnému řešení: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti
pedagogické hodnosti a pohlaví a vypočtěte Cramérův koeficient vyjadřující intenzitu
závislosti pedagogické hodnosti na pohlaví, jsou-li k dispozici následující údaje:
pedagogická hodnostpohlaví
odb. asistent docent profesor
muž 32 15 8
žena 34 8 3
Výsledek: Podmínky dobré aproximace jsou splněny, pouze jediná teoretická četnost klesne
pod 5. Testová statistika K nabývá hodnoty 3,5, p = 0,1739, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o nezávislosti pedagogické hodnosti a pohlaví.
Cramérův koeficient: V = 0,187.
Úkol 2.: Fisherův faktoriálový test
100 náhodně vybraných mužů a žen bylo dotázáno, zda dávají přednost nealkoholickému
nápoji A či B. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
pohlavípreferovaný nápoj
muž žena
A 20 30
B 30 20
Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí Fisherova faktoriálového testu hypotézu, že
preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Návod: Otevřeme datový soubor napoje AB.sta
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif. tabulky – List 1
NAPOJ, List 2 POHLAVI, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Fisher exakt, Yates, McNemar (2x2) – Detailní výsledky – Detailní 2-rozm.
tabulky.
Statist. : NAPOJ(2) x POHLAVI(2) (napoje AB.sta)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
Fisherův přesný, 2-str.
McNemarův chí-kv. (A/D)
McNemarův chí-kv. (B/C)
3,240000 df=1 p=,07186
p=,03567
p=,07134
,0250000 df=1 p=,87437
,0166667 df=1 p=,89728
Ve výstupní tabulce je mimo jiné uvedena p-hodnota pro oboustranný a jednostranný test.
V našem případě se jedná o oboustranný test (nevíme, zda muži více preferují nápoj A či
nápoj B než ženy), zajímáme se tedy o Fisherův přesný, 2-str. Ta je 0,07134. Protože phodnota
je větší než 0,05, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný
typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Úkol 3.: Podíl šancí
Pro údaje z úkolu 2 vypočtěte podíl šancí a sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti
pro podíl šancí. Pomocí tohoto intervalu spolehlivosti testujte na asymptotické hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Návod: Nejprve zopakujme teorii:
Ve čtyřpolních tabulkách používáme charakteristiku
bc
ad
OR = , která se nazývá podíl šancí
(odds ratio). Můžeme si představit, že pokus se provádí za dvojích různých okolností a může
skončit buď úspěchem nebo neúspěchem.
okolnostiVýsledek pokusu
I II
nj.
úspěch a b a+b
neúspěch c d c+d
n.k a+c b+d n
Poměr počtu úspěchů k počtu neúspěchů (tzv. šance) za 1. okolností je
c
a
, za druhých
okolností je
d
b
. Podíl šancí je
bc
ad
OR = . Považujeme ho za odhad skutečného podílu šancí
oρ. Pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro logaritmus skutečného
podílu šancí ln oρ lze na asymptotické hladině významnosti α testovat hypotézu o nezávislosti
nominálních veličin X a Y.
Upozornění: Musí být splněny podmínky dobré aproximace.
Asymptotický 100(1-α)% interval spolehlivosti pro přirozený logaritmus skutečného podílu
šancí má meze:
2/1u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORln α−+++± . Jestliže interval spolehlivosti nezahrne 0, pak hypotézu o
nezávislosti zamítneme na asymptotické hladině významnosti α.
V našem případě podíl šancí vypočteme ručně: 4,0
9
4
3030
2020
bc
ad
OR ==
⋅
⋅
== .
Dolní a horní mez intervalu spolehlivosti pro ln oρ zjistíme pomocí STATISTIKY.
Ověříme splnění podmínek dobré aproximace a zjistíme, že všechny teoretické četnosti jsou
25.
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných DM a HM a dvou případech. Do Dlouhého
jména proměnné DM napíšeme vzorec pro dolní mez:
=log(4/9)-sqrt(1/20+1/30+1/30+1/20)*VNormal(0,975;0;1)
a analogicky do Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme vzorec pro horní mez:
=log(4/9)+sqrt(1/20+1/30+1/30+1/20)*VNormal(0,975;0;1)
1
DM
2
HM
1 -1,61108 -0,01078
Výsledek: -1,61108 < ln oρ < -0,01078 s pravděpodobností přibližně 0,95. Protože tento
interval spolehlivosti neobsahuje 0, na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme
hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta. Ke stejnému výsledku
dospějeme, pokud použijeme Pearsonův chí-kvadrát test o nezávislosti.
Tento výsledek je v rozporu s výsledkem, ke kterému dospěl Fisherův přesný test. Je to
způsobeno tím, že test pomocí asymptotického intervalu spolehlivosti a Pearsonův chí-kvadrát
test jsou pouze přibližné.
Úkol k samostatnému řešení: 36 mužů onemocnělo určitou chorobou. Někteří z nich se
léčili, jiní ne. Někteří se uzdravili, jiní zemřeli. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční
tabulce.
léčenípřežití
ano ne
ano 10 6
ne 12 8
Vypočtěte a interpretujte podíl šancí. Pomocí intervalu spolehlivosti pro podíl šancí testujte na
asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že přežití nezávisí na léčení proti tvrzení,
že léčení zvyšuje šance na přežití.
Výsledek: 1,1OR = , nulovou hypotézu nezamítáme asymptotické hladině významnosti 0,05,
protože levostranný 95% asymptotický interval spolehlivosti pro logaritmus podílu šancí je
(-1,03; ∞).
Úkol 4.: Testování hypotézy o symetrii ve čtyřpolní tabulce (McNemarův test)
Máme náhodný výběr 18 pacientů, kteří byli léčeni dvěma různými antihypertenzívy A a B.
Každý pacient dostával po dobu jednoho měsíce lék A a po odeznění jeho případných účinků
dostával po dobu jednoho měsíce lék B. Výsledek byl klasifikován jako úspěch nebo
neúspěch. Za úspěch byl pokládán pokles krevního tlaku alespoň o 15 mm Hg. Každý jiný
výsledek byl považován za neúspěch. Lék A byl úspěšný u 4 pacientů, přičemž u jednoho
z nich byl úspěšný i lék B. Lék B byl úspěšný u 10 pacientů. Na asymptotické hladině
významnosti 0,05 testuje hypotézu, že pravděpodobnost úspěchu je stejná pro oba léky.
Návod:
Údaje z textu úlohy uspořádáme do čtyřpolní kontingenční tabulky.
Lék BLék A
Úspěch ano Úspěch ne
Úspěch ano 1 3
Úspěch ne 9 5
Podmínky dobré aproximace McNemarova testu jsou splněny, b + c = 12 > 8.
Testová statistika:
( ) ( ) 3
93
93
cb
cb
K
22
=
+
−
=
+
−
= .
Kritický obor: ( ) ) ( ) ) )∞=∞χ=∞χ= α− ,841,3,1,1W 95,0
2
1
2
.
Protože K∈W, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Nepodařilo se
tedy prokázat, že pravděpodobnost úspěchu se pro léky A a B liší.
Postup v systému STATISTICA:
Otevřeme datový soubor leky AB.sta
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif. tabulky – List 1
LEK, List 2 USPECH, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Fisher exakt, Yates, McNemar (2x2) – Detailní výsledky – Detailní 2-rozm.
tabulky.
Dostaneme výstupní tabulku:
Statist. : LEK(2) x USPECH(2) (leky AB.sta)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
Fisherův přesný, 2-str.
McNemarův chí-kv. (A/D)
McNemarův chí-kv. (B/C)
,6790178 df=1 p=,40993
p=,20588
p=,27451
1,500000 df=1 p=,22067
2,083333 df=1 p=,14891
Zajímá nás poslední řádek označený McNemarův chí-kv. (B/C). Testová statistika nabývá
hodnoty 2,0833 (systém STATISTICA používá při výpočtu testové statistiky tzv. opravu na
nespojitost:
( )
2112
2
2112
nn
1nn
K
+
−−
= ). Odpovídající p-hodnota je 0,1489, tedy na asymptotické
hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že pravděpodobnost úspěchu je stejná pro
oba léky.
Úkol k samostatnému řešení: Při výuce angličtiny byla použita speciální metoda pro
zrychlení konverzace. Tato metoda byla aplikována u 100 studentů s následujícími výsledky:
z 52 studentů, kteří byli před aplikací metody rychlí v konverzaci, se jich zlepšilo 24 a ze 48
studentů, kteří byli pomalí v konverzaci, se jich zlepšilo 12. Na hladině významnosti 0,05
testujte hypotézu, že speciální metoda nemá vliv na rychlost reakce v konverzaci.
Výsledek: Testová statistika 6,4 je větší než kritická hodnota 3,84, nulovou hypotézu
zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Další úkoly k samostatnému řešení:
1. Následující kontingenční tabulka ukazuje výsledky velmi slavného lékařského experimentu
ze čtyřicátých let, který se zabýval účinkem streptomycinu při léčbě plicní tuberkulózy. Údaje
z radiologického hodnocení po 6 měsících byly porovnány s tím, zda pacient patřil do léčené,
nebo kontrolní skupiny. Lze na hladině významnosti 0,05 prokázat vztah mezi léčbou a
výsledkem?
Výsledek: Testová statistika 26,96 je větší než kritická hodnota 15,09, nulovou hypotézu
zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
2. V průzkumu o kuřáctví bylo dotázáno 92 osob. Z 64 mužů jich kouří 19 a z 28 žen jich
kouří 6.
a) Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že kouření se vyskytuje stejně často u
mužů a žen. Použijte Pearsonův chí-kvadrát test i Fisherův přesný test.
b) Vypočtěte a interpretujte podíl šancí a stanovte meze 95% intervalu spolehlivosti pro podíl
šancí.
Výsledek:
Ad a) Před provedením Pearsonova chí-kvadrát testu je zapotřebí ověřit splnění podmínek
dobré aproximace. Je to v pořádku, všechny čtyři teoretické četnosti jsou větší než 5. Testová
statistika Pearsonova chí-kvadrát testu je 0,6714, což je menší než kritická hodnota 3,84,
nulovou hypotézu nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Pro Fisherův přesný test vyjde p-hodnota 0,4576, což je větší než hladina významnosti 0,05,
nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Ab b) Podíl šancí je 1,55, což znamená, že u mužů je šance na kouření 1,55 x vyšší než u žen.
0,5418 < oρ < 4,4239 s pravděpodobností aspoň 0,95.