Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Příklad 1.: Ve 12 náhodně vybraných prodejnách ve městě byly zjištěny následující ceny
určitého výrobku (v Kč): 102, 99, 106, 103, 96, 98, 100, 105, 103, 98, 104, 107. Těchto
12 hodnot považujeme za realizace náhodného výběru X1, ..., X12 z rozložení, které má střední
hodnotu µ a rozptyl σ2
.
a) Určete nestranné bodové odhady neznámé střední hodnoty µ a neznámého rozptylu σ2
.
b) Najděte výběrovou distribuční funkci F12(x) a nakreslete její graf.
Řešení:
Vypočteme realizaci výběrového průměru
( ) 75,10110799102
12
1
m =+++= K Kč
Vypočteme realizaci výběrového rozptylu:
( ) ( ) ( )[ ] 39,1275,10110775,1019975,101102
11
1
s
2222
=−++−+−= K Kč2
Pro usnadnění výpočtu hodnot výběrové distribuční funkce F12(x) uspořádáme ceny podle
velikosti: 96, 98, 98, 99, 100, 102, 103, 103, 104, 105, 106, 107.
Číselnou osu rozdělíme na 11 intervalů a v každém intervalu stanovíme hodnotu výběrové
distribuční funkce.
1)x(F:071x
691,0
12
11
)x(F:107x106
38,0
12
10
)x(F:106x105
75,0
12
9
)x(F:105x104
6,0
12
8
)x(F:104x103
5,0
12
6
)x(F:103x102
641,0
12
5
)x(F:102x001
3,0
12
4
)x(F:001x99
25,0
12
3
)x(F:99x89
308,0
12
1
)x(F:98x96
0)x(F:96x
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
=≥
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
==<≤
=<
96 98 99 100 102 103 104 105 106 107
x
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
F12(x)
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné (nazveme ji X) a 12 případech. Do proměnné
X napíšeme zjištěné ceny.
Výpočet realizace výběrového průměru a výběrového rozptylu:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Detailní
výsledky – vybereme Průměr a Rozptyl – Výpočet. Dostaneme tabulku:
Popisné statistiky (Tabulka15)
Proměnná Průměr Rozptyl
X 101,7500 12,38636
Výpočet hodnot výběrové distribuční funkce:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Tabulky četností – OK – Proměnné X – OK – Možnosti
– ponecháme zaškrtnuté pouze Kumulativní relativní četnosti – Výpočet.
Ke vzniklé tabulce přidáme jeden případ před první případ (do sloupce Kategorie napíšeme
95, do sloupce Kumulativní rel. četnost napíšeme 0 ) a jeden případ za poslední případ (do
sloupce Kategorie napíšeme 107, do sloupce Kumulativní rel. četnost napíšeme 100). Proměnnou
Kumulativní rel. četnost podělíme 100: do jejího Dlouhého jména napíšeme =
v2/100.
Kreslení grafu výběrové distribuční funkce:
Nastavíme se kurzorem na proměnnou Kumulativní rel. četnost, klikneme pravým tlačítkem –
Grafy bloku dat – Spojnicový graf: celé sloupce. Ve vytvořeném grafu odstraníme značky,
spojnici změníme na schodovitou a upravíme měřítko na vodorovné ose od 1 do 12.
Příklad 2.: Přírůstky cen akcií v % na burze v New Yorku u 10 náhodně vybraných společností
dosáhly těchto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4.
Odhadněte střední hodnotu a směrodatnou odchylku růstu cen akcií a dále odhadněte pravděpodobnost
růstu cen akcií aspoň o 8,5 %.
Výsledky: Průměrný růst cen akcií odhadujeme na 8 % se směrodatnou odchylkou 3,97 %.
Dále, u 40 % akcií vzrostla cena aspoň o 8,5 %.
Příklad 3.: Bylo zkoumáno 9 vzorků půdy s různým obsahem fosforu (veličina X). Hodnoty
veličiny Y označují obsah fosforu v obilných klíčcích (po 38 dnech), jež vyrostly na těchto
vzorcích půdy.
číslo vzorku 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X 1 4 5 9 11 13 23 23 28
Y 64 71 54 81 76 93 77 95 109
Těchto 9 dvojic hodnot považujeme za realizace náhodného výběru (X1,Y1), ..., (X9,Y9)
z dvourozměrného rozložení s kovariancí σ12 a koeficientem korelace ρ. Najděte bodové odhady
kovariance σ12 a koeficientu korelace ρ.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných X a Y 9 případech. Do proměnných X a Y
zapíšeme zjištěné hodnoty obsafu fosforu v půdě a v obilných klíčcích.
Výpočet výběrové kovariance: Statistiky – Vícerozměrná regrese – Proměnné – Závisle proměnná
Y, nezávisle proměnná X – OK – OK – Residua/předpoklady/předpovědi – Popisné
statistiky – Další statistiky – Kovariance. Dostaneme tabulku:
Kovariance (Tabulka18)
Proměnná X Y
X
Y
91,7500 130,0000
130,0000 284,2500
Vidíme, že výběrová kovariance veličin X, Y se realizuje hodnotou 130. (Výběrový rozptyl
proměnné X resp. Y nabyl hodnoty 91,75 resp. 284,25.)
Výpočet výběrového koeficientu korelace: V menu Další statistiky vybereme Korelace.
Korelace (Tabulka18)
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,804989
0,804989 1,000000
Výběrový koeficient korelace veličin X, Y nabyl hodnoty 0,805, tedy mezi veličinami x, Y
existuje silná přímá lineární závislost.
Upozornění: Výběrový koeficient korelace lze pomocí systému STATISTICA vypočítat i
jiným způsobem: Statistika – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 1 seznam
proměnných – X, Y – OK – Výpočet. Ve výsledné tabulce máme též realizace výběrových
průměrů a směrodatných odchylek.
Korelace (Tabulka18)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
N=9 (Celé případy vynechány u ChD)
Proměnná Průměry Sm.odch. X Y
X
Y
13,00000 9,57862 1,000000 0,804989
80,00000 16,85972 0,804989 1,000000
Příklad 4.: Pět mužů zjistilo a zapsalo svou hmotnost (v kg) a výšku (v cm):
Číslo muže 1 2 3 4 5
Hmotnost 76 86 73 84 79
Výška 170 177 169 174 175
Najděte nestranný bodový odhad rozptylu hmotnosti, rozptylu výšky a kovariance hmotnosti
a výšky. Vypočtěte rovněž realizaci výběrového koeficientu korelace hmotnosti a výšky.
Výsledky: Výběrový rozptyl hmotnosti se realizuje hodnotou 29,3, výběrový rozptyl výšky
11,5 a výběrová kovariance hmotnost a výšky se realizuje hodnotou 16,5.
Výběrový koeficient korelace hmotnosti a výšky nabývá hodnoty 0,8989.
Příklad 5.: Při kontrolních zkouškách životnosti 16 žárovek byl stanoven odhad m = 3000 h
střední hodnoty jejich životnosti. Z dřívějších zkoušek je známo, že životnost žárovky se řídí
normálním rozložením se směrodatnou odchylkou σ = 20 h. Vypočtěte
a) 99% empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti
b) 90% levostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti
c) 95% pravostranný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti.
Upozornění: Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo a vyjádřete v hodinách a minu-
tách.
Řešení:
ad a)
1,298757583,2
16
20
3000u
n
md 995,0 =−=
σ
−= ,
9,301257583,2
16
20
3000u
n
mh 995,0 =+=
σ
+=
2987 h a 6 min < µ < 3012 h a 54 min s pravděpodobností 0,99
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných d, h a jednom případu.
Do Dlouhého jména proměnné d napíšeme vzorec =3000-20/sqrt(16)*VNormal(0,995;0;1)
Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme vzorec =3000+20/sqrt(16)*VNormal(0,995;0;1)
ad b)
6,299328155,1
16
20
3000u
n
md 9,0 =−=
σ
−=
2993 h a 36 min < µ s pravděpodobností 0,9
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné d a jednom případu.
Do Dlouhého jména proměnné d napíšeme vzorec =3000-20/sqrt(16)*VNormal(0,9;0;1)
ad c)
8,300995996,1
16
20
3000u
n
mh 975,0 =+=
σ
+=
3009 h a 48 min > µ s pravděpodobností 0,95
Výpočet pomocí systému STATISTICA
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné h a jednom případu.
Do Dlouhého jména proměnné h napíšeme vzorec =3000+20/sqrt(16)*VNormal(0,975;0;1)
Užitečný odkaz: na adrese http://www.prevody-jednotek.cz je program, s jehož pomocí lze
převádět různé fyzikální jednotky, v našem případě hodiny na minuty.
Příklad 6.: Víme, že výška hochů ve věku 9,5 až 10 let má normální rozložení s neznámou
střední hodnotou µ a známým rozptylem σ2
= 39,112 cm2
. Dětský lékař náhodně vybral 15
hochů uvedeného věku, změřil je a vypočítal realizaci výběrového průměru m = 139,13 cm.
Podle jeho názoru by výška hochů v tomto věku neměla přesáhnout 142 cm s pravděpodobností
0,95. Lze tvrzení lékaře akceptovat?
Řešení: Testujeme H0: µ = 142 proti H1: µ < 142 na hladině významnosti 0,05.
a) Test provedeme pomocí kritického oboru.
Pro úlohy o střední hodnotě normálního rozložení při známém rozptylu používáme pivotovou
statistiku U =
n
M
σ
µ−
~ N(0, 1). Testová statistika tedy bude T0 =
n
cM
σ
−
a bude mít rozložení
N(0, 1), pokud je nulová hypotéza pravdivá. Vypočítáme realizaci testového kritéria:
t0 = 7773,1
15
112,39
14213,139
−=
−
.
Stanovíme kritický obor: W = ( ( ( ( 6449,1,u,u,u, 95,005,0 −∞−=−∞−=∞−=∞− α .
Protože -1,7773 ∈ W, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05. Tvrzení lékaře lze tedy
akceptovat s rizikem omylu 5 %.
b) Test provedeme pomocí intervalu spolehlivosti.
Meze 100(1-α)% empirického pravostranného intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu µ
při známém rozptylu σ2
jsou: (-∞, h) = (-∞, m +
n
σ
u1-α).
V našem případě dostáváme: h = 139,13 +
15
112,39
u0,95 = 139,13 +
15
112,39
1,645 = 141,79.
Protože 142 ∉(-∞; 141,79), H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05.
c) Test provedeme pomocí p-hodnoty
p = P(T0 ≤ t0) = Φ(-1,7773) = 0,0378
Jelikož 0,0378 ≤ 0,05, nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Při řešení tohoto příkladu použijeme systém STATISTICA pouze jako inteligentní kalkulátor.