1   10-Analýza rozptylu jednoduchého třídění, ANOVA, Jed-nofaktorová analýza rozptylu
1.1   Nová látka
1.1.1 Testování homogenity rozptylů u r náhodných výběrů
• homogenita (stej noro dost) rozptylů u většího množství náhodných výběrů je důležitým předpokladem, který musí být splněn, abychom mohli provést tzv. ANOVU - jedno faktorovou analýzu rozptylu (viz dále).
• předpokládejme, že máme r > 2 náhodných výběrů
• testujeme nulovou hypotézu H0 : o\ = o\ = ■ ■ ■ = o2r = a2 oproti alternativní hypotéze H\ : alespoň jedna dvojice rozptylů se liší
• testy rozptylu
1. Levenův test
— levene.test(D,K) knihovna lawstat ; D... vektor dat, K... typ skupiny
— je založen na analýze rozptylu absolutních hodnot centrovaných pozorování
— výpočet je založen na 'hraní si' s odhady středních hodnot
2. Brownův-Forsytův test
— je modifikací Levenova testu
— je založen na mediánu (namísto střední hodnoty)
— při větších rozsazích náhodných výběrů (rii > 20) jej lze použít i na data, které nejsou z normálního rozdělení
— v Rku ho používat nebudeme, ale je dobré, abyste o něm aspoň slyšeli
3. Bartlettův test
— bartlett.test(D,K) knihovna stat
— můžeme jej použít, pouze pokud jsou rozsahy všech výběrů větší než 6
— nelze jej použít, pokud je více náhodných výběrů z výrazně nenormálního rozložení
1.1.2 ANOVA - Jednofaktorová analýza rozptylu
• zkoumá závislost intervalové/poměrové proměnné X na nominální proměnné A, které má alespoň dvě varianty
• A... faktor, varianty A... úrovně faktoru
• závislost X na A se projeví tím, že existuje statisticky významný rozdíl v průměrech proměnné X v náhodných výběrech, které vznikly tříděním podle variant proměnné A.
• motivační příklady
— má metoda výuky (faktor A) vliv na počet bodů (intervalová proměnná X) dosažených studenty v závěrečném testu?
1
— má typ potravy pračlověka (A) vliv na šířku stoliček (X)?
— má způsob života (A: na stromu-šplh; na zemi - šplhá málo) vliv na intenzitu svalových úponů na rukou (X)?
— má pohlaví (A) vliv na hmotnost člověka (X), nebo na šířku očnic (X)? • trocha matematiky
— předpokládáme, že faktor A má r > 2 úrovní A1}... Ar, přičemž i-té úrovni odpovídá fa pozorování Xil}... Xin.. Tato pozorování tvoří náhodný výběr z N (fa, <J2),i = 1,..., r. Celkový počet pozorování je n = Yľí=iní- Jednotlivé náhodné výběry jsou stochasticky nezávislé.
— !!! Před samotnou ANOVOU musíme vždy ověřit předpoklady normality všech výběrů (r testů) a homogenity rozptylů (1 hromadný test)
— Tečková anotace
* součet hodnot v i-tém výběru
* výběrový průměr v i-tém výběru
Mi. = -Xi.
- klasický aritmetický průměr dat z i-té skupiny, jen trochu jinak zapsaný * součet hodnot všech výběrů
i=i j=i
* celkový průměr všech r výběrů
M
- klasický aritmetický průměr všech dat * celkový součet čtverců
Sr = X)E(*y-M")2
i=l j=l
- charakterizuje variabilitu jednotlivých pozorování kolem celkového průměru
- stejný princip jako výběrový rozptyl, akorát ho nedělíme počtem pozorování
- má počet stupňů volnosti fr = n — 1
* skupinový součet čtverců
r
SA = Y,n*(Mt.-M..)2
i=l
- charakterizuje variabilitu mezi jednotlivými náhodnými výběry
- má počet stupňů volnosti f a = r — 1
2
* reziduálni součet čtverců
r rii
se = J2J2^-m^2
í=i j=i
- charakterizuje variabilitu uvnitř jednotlivých výběrů - má počet stupňů volnosti fE = n-r
— lze dokázat St = s a + Se-
1.1.3   Testování hypotéz o shodě středních hodnot
• na hladině významnosti a testujeme nulovou hypotézu, která tvrdí že všechny střední hodnoty jsou stejné H0 : fiľ = ■ ■ ■ = fir, proti alternativní hypotéze H\ : Alespoň jedna dvojíce středních hodnot se významně liší.
• jiná definice nulové a alternativní hypotézy (z pohledu faktoru A): H0: Vliv faktoru A není významný; H\. Vliv faktoru A je významný.
• Testovací statistika má tvar
FA = ^f±~F{T-\,n-r). (1)
oe/je
• Hq zamítáme na hladině významnosti a, pokud Fa G {Fi-a(r — l,n — r), oo)
• případně Hq zamítáme na hladině významnosti a, pokud p-hodnota< a (testování Hq přes p-hodnotu jsme na hodině nedělali).
• výsledky výpočtů lze zapsat do přehledné tabulky:
Zdroj variability	součet čtverců	stupně volnosti	průměrný čtverec	FA
skupiny	SA	f a = r - 1	Sa/f a	Sa/f a Se/ f e
reziduálni	Se	fE = n-r	Se/f e	-
celkový	St	f t = n - 1	-	-
1.1.4   Post-hoc metody mnohonásobného porovnávání
— zamítneme-li nulovou hypotézu o shodě středních hodnot, chceme zjistit, která dvojice středních hodnot se významně liší na hladině významnosti a
— 2 metody: Tukeyova, Scheffého
— Tukeyova metoda
* používá se, mají-li všechny výběry týž rozsah (tento rozsah značíme p)
* rovnost středních hodnot fii = fík zamítneme na hladině významnosti a, pokud
\Mk.-ML\>qi_a(r,n-r)^, (2)
kde kvantily qi-a najdeme ve statistických tabulkách a S* je z minulé hodiny známý vážený průměr výběrových rozptylů. Lze jej ale zjednodušeně vypočítat podle vzorce
c2 _ se
f E
3
* existuje i modifikace Tukeyovy metody pro nestejné rozsahy výběrů tzv. Tukey HSD metoda
— Scheffého metoda
* používá se, pokud nejsou rozsahy všech výběrů stejné
* rovnost středních hodnot     a ii\ zamítneme na hladině významnosti a, když
\Mk. - M,| > S J (r -!){— + -) F^a{r -l,n- r). (3) y \nk nij
* S2 = fa
* JE
* metody mnohonásobného porovnávání jsou slabší, než ANOVA, proto se může stát, že ANOVOU zamítneme Hq o shodě středních hodnot ale metody mnohonásobného porovnávání u žádné dvojice vyznaný rozdíl nenajsou.
* dochází tomu tehdy, když p-hodnota pro ANOVU je jen o málo nižší než zvolená hladina významnosti
• POSTUP TESTOVÁNÍ ANOVY:
1. ověření normality
— Q-Q plot + test (Shapiro, Lillie, Ad)
— slabé porušení nevadí, anova na to není příliš citlivá
2. ověření rozptylu
— krabicový graf - je šířka krabic stejná?; + test (Levenův, Bartlettův)
— na slabé porušení homogenity rozptylu není anova příliš citlivá
3. testování shody středních hodnot
4. dojde-li k zamítnutí Hq o shodě středních hodnot, použijeme post-hoc metody (Tukeyova, Scheffého)
• Zajímavost k testování homogenity rozptylů:
Parametr a2 není znám a je třeba testovat hypotézu Hq : \i\ = ■ ■ ■ = fir. Na první pohled by se zdálo, že tento problém lze snadno převést na testování dvou nezávislých výběrů, a to tak, že vytvoříme dvojice souborů a na každou dvojici aplikujeme dvouvýběrový t-test na hladině významnosti a. Jestliže alespoň jedna dvojice dá signifikantní výsledek (tedy zamítáme hypotézu o shodnosti středních hodnot vybrané dvojice), zdá se, že můžeme zamítnout hypotézu Hq. A současně hned vidíme, které dvojice se od sebe signifikantně liší. Tento postup však nesplňuje podmínku, že pravděpodobnost chyby prvního druhu má být a. Je-li totiž nulová hypotéza správná, pak každý t-test dá signifikantní výsledek, tj. zamítne hypotézu o shodě středních hodnot, s pravděpodobností a. My však chceme Hq zamítnout, když alespoň jeden ze všech testů dá signifikantní výsledek. Takže pravděpodobnost zamítnutí H0, je-li správná, bude při I > 3 větší než a.
4