Procvičovací úkolu č.9 - Řešení příkladu č.3 Příklad č.3: Asymptotický interval spolehlivosti pro parametr 9 alternativního rozdělení Pro vybranou politickou stranu se v předvolebním průzkumu vyslovilo 60 z 1000 dotázaných osob. Stanovte 95 % asymptotický IS pro pravděpodobnost že tato politická strana ve volbách překročí 5 % hranici pro vstup do parlamentu. Řešení: V zadání se po nás jinými slovy chce, abychom stanovili 95% intervalový odhad parametru 9, tedy 95 % asymptotický interval spolehlivosti. Protože nás zajímá, zda strana překročí 5 % hranici, sestrojíme 95% levostranný IS pro parametr 9, který má obecný tvar (dh;oo) Protože stanovujeme jednostranný IS, bude mít dolní hranice tvar: i M(l — M) dh = M — \ —^-Lu^a v n Před výpočtem musíme ověřit Haldovu podmínku dobré aproximace. nc(l - c) > 9 -> 710(1 - 9) > 9 Protože přesnou hodnotu parametru 9 neznáme, musíme ji v Haldově podmínce nahradit výběrovým průměrem M. M = 60/1000 = 0.06 Hadlova podmínka má tedy tvar nc(l - c) = nM(l — M) = 1000 * 0.06 * 0.94 = 56.4 > 9, Tedy Haldova podmínka je splněna. Dolní hranice IS má tedy tvar: dh = M- \jM^1 n M\norm(0.95) = 0.06 - y ,0^'94 * 1.6448 = 0.04765 95 % asymptotický IS pro parametr 9 má tedy tvar: (0.04765;oo) (1) Odpověď Protože 95 % asymptotický interval spolehlivosti pro parametr 9 obsahuje i čísla menší než 0.05, může se stát, že politická strana ve volbách nepřekročí 5 % hranici pro vstup do parlamentu (Získá například jenom 4.81 % hlasů). Poznámka: Pokud by IS obsahoval pouze čísla větší než 0.05, např. by měl tvar (0.0523; oo), potom by závěr byl, že politická strana pravděpodobně překročí 5 % hranici pro vstup do parlamentu. HUpozornění!!: V zadání příkladu jsme měli pouze stanovit 95 % IS a na základě jeho tvaru určit, zda se politická strana do parlamentu dostane, nebo ne. V případě, že bychom chtěli otestovat hypotézu, že politická strana překročí pětiprocentní hranici a do parlamentu se dostane, bychom postupovali následovně. 1 Příklad č.3: Asymptotický interval spolehlivosti pro parametr 9 alternativního rozdělení Pro vybranou politickou stranu se v předvolebním průzkumu vyslovilo 60 z 1000 dotázaných osob. Na hladině významnosti a = 0.05 otestujte, zda politická strana překročí 5 % hranici pro vstup do parlamentu. H0:9< 0.05 Hi : 9 > 0.05 (pravostranná alternativa) Nejprve musíme zjistit, zda je splněna Haldova podmínka dobré aproximace nc(l - c) > 9 -> 710(1 - 9) > 9. O parametru 9 nyní předpokládáme, že jeho hodnota je známá, a sice, že 9 = 0.05, jak je řečeno v nulové hypotéze. Haldova podmínka dobré aproximace má tedy v tomto případě tvar: ri0(l - 9) = 1000 * 0.05 * (0.95) = 47.5 > 9. Haldova podmínka dobré aproximace je splněna a tedy můžeme přistoupit k testování. (a) Testování pomocí kritického oboru: Testovací statistika To má tvar M-9 o n 0.06 - 0.05 to = , = 1.450953. /0.05*0.95 1000 Proti pravostranné alternativě postavíme pravostranný kritický obor W = (ui_a; oo). Kritický obor má tedy tvar W = (1.644854; oo). Závěr testování: Protože to = 1.45 ^ W = (1.644854; oo), HO nezamítáme na hladině významnosti a = 0.05. (b) Testování pomocí intervalu spolehlivosti Proti pravostranné alternativě H\ postavíme 95 % levostranný interval spolehlivosti. (dh; oo), kde Mil-M dh = M — \ —i-ui_ n .'0.06*0.94 0.06 — \j-]_qqq—qnorm(0.95) '0.06*0.94 0.06 - \ /-* 1.6448 1000 = 0.047647 Závěr testování: Protože 0 G IS = (0.04764; oo), HO nezamítáme na hladině významnosti a = 0.05. 2 (c) Testování pomocí p-hodnoty V části a) jsme spočítali hodnotu testovací statistiky to = 1.450953 Protože máme pravostrannou alternativní hypotézu Hi, vypočítáme p-hodnotu podle vzorce p-val = P(T0 > t0) = 1 - P(T0 0.05 = a, H0 nezamítáme na hladině významnosti a = 0.05. Interpretace výsledků testování: Všechny tři testy vedly k nezamítnutí Hq; na hladině významnosti a = 0.05 tedy nezamítáme nulovou hypotézu o tom, že 9 < 0.05. Nemáme tedy dostatek indicií k tomu, abychom s jistotou řekli, že se politická strana do parlamentu dostane, (resp. Na základě testování jsme zjistili, že politická strana pravděpodobně nepřekročí 5 % hranici a do parlamentu se tedy nedostane). Poznámka: Slovo 1 poravděpodobně1 používáme proto, že pokud Ho nezamítáme, znamená to, že nemáme dostatek indicií, abychom Ho zamítli. To ale ještě neznamená, že Ho stoprocentně platí. Z toho důvodu při stanovování závěru o nulové hypotéze nikdy nepoužíváme slovní spojení 'Hq platí'', ale používáme spojení 'iJ0 nezamítáme1. 3