Procvičovací úkol č.4 - Řešení
Stará látka
1. Lékaře zajímalo, kolik pacientů k němu denně přichází do ordinace. Po 110 dní sledoval, kolik pacientů ho za den navštívilo. Výsledky si zapsal do následující tabulky
počet pacientů	5   6   7 8	9 10	11	12 13
počet dní	2   5   8 13	14 25	29	10 4
(a) určete o jaká data se jedná (nominální, ordinální, intervalová)
(b) vypočtete ručně medián a interpretujte 10
(c) vypočítejte l.kvartil (nemusí být ručně) a interpretujte 8
2. Byl proveden průzkum zastoupení leváků a praváků mezi ženami a muži. 100 mužů a žen bylo dotázáno, zda jsou leváci nebo praváci:
	praváci	leváci	celkem
muži	43	9	52
ženy	44	4	48
celkem	87	13	100
(a) hodnota koeficientu korelace vyšla 0.1035609. Určete, jaký koeficient korelace jsme použili a interpretujte výsledek.
Nová látka
1. Vypočítejte ručně:
Hodili jsme třikrát mincí. Náhodná veličina X udává počet líců, které nám ve všech třech hodech celkem padly. Realizace náhodné veličiny x může tedy nabývat hodnot 0,1,2,3. (Ve třech hodech mohl líc padnout celkem Ox, mohl padnout celkem lx, mohl padnout celkem 2x, i 3x).
(a) stanovte hodnoty pravděpodobnostní funkce
(b) stanovte hodnoty distribuční funkce
Návod: Vypište si všechny kombinace rubů a líců, které mohly ve třech hodech nastat. Pak z nich vyberte ty, které odpovídají situaci, že ve třech hodech líc padnul Ox. (Analogicky pro lx, 2x, a 3x).
2. V rodině je 10 dětí. Předpokládejme, že chlapci i dívky se rodí s pravděpodobností 0.5 a pohlaví se formuje nezávisle na sobě.
(a) Určete pravděpodobnost, že v rodině je
i. právě 6 chlapců 0.2050781
ii. nejvýše 1 chlapec (ručně nebo Rkem) 0.01074219
iii. alespoň 9 chlapců, (ručně nebo Rkem) 0.01074219
1
(b) výsledky interpretujte (odpovídejte celou větou)
(c) nakreslete pravděpodobnostní funkci
(d) nakreslete distribuční funkci
Binomické rozloženi - pstni fce Binomické rozloženi - distr.fce
■o—>
02468 02468 10
počet chlapců v jedné rodine počet chlapců v jedné rodine
Poznámka: Vždy popište postup a zdůvodněte, proč jste postupovali, jak jste postupovali, proč jste si k výpočtu zvolili danou Rkovou fci atp.
3. Je pravděpodobnější vyhrát se stejně silným soupeřem (právě) tři partie ze čtyř, nebo (právě) pět partií z osmi, když nerozhodný výsledek je vyloučen a výsledky her jsou na sobě nezávislé? 0.9375; 0.8554688
Poznámka: Pokud je soupeř stejně silný, předpokládáme, že pravděpodobnost výhry je 0.5. Příklad vyřešte pomocí Rka, ale zdůvodněte, proč jste zvolili vybraný příkaz. Výsledek interpretujte.
2
Nápověda - nakreslení grafu pravděpodobnostní a distribuční funkce
Graf pravděpodobnostní funkce:
x<-seq(0,30) dens<-dbinom(x,30,0.12) n<-length(x)
plot(x,dens,type='n',xlab='pocetupojistnychuudalostiuzpusobenychuvloupanim', ylab='pravdepodobnost' ,main='Binomickeurozlozeniu-upstniufce ' , pch = 19,lwd=2,col='reď)
f or (i  in  1 : n) {
lines(c(x[i],x[i]),c(0,dens[i]))}
points(x,dens,col='red',pch=19)
Návod:
• nejprve si musíme vygenerovat posloupnost všech možných výsledků x (0,30)... v daném měsíci mohlo nastat 0 poj.ud. vloupáním, 1 poj.ud. vloupáním, ... 30 poj.ud. vloupáním; celkem tedy 0-30 čísel
• dále musíme pro každou možnost spočítat hodnotu pravděpodobnostní funkce: (příkaz dbinom{))
• připravíme prázdný graf, do kterého se nám vejde všech 30 možností a jejich hodnoty pstní fce
• pomocí cyklu for() nakreslíme svislé čáry od 0 do výšky hodnoty pstní fce. Příkaz line{) pracuje následovně: line(c(xpocatecni,xkmcovy),c(ypocatecni,ykoncovy)). Například /me(c(0,0), c(l, 2)) by nakreslil svislou čáru začínající v bodě (0,1) a končící v bodě (0,2). K posunu dojde pouze po ose y.
• pomocí příkazu points dokreslíme červené body. Graf distribuční funkce:
x<-seq(0,30)
distr<-pbinom(x,30,0.12) n<-length(x)
plot(x,distr,type='n' ,xlab='pocetupoj istnychuudalostiuzpusobenychuvloupanim' , ylab='distribucniufce',main='Binomickeurozlozeniu-udistr.fce', pch=19,lwd=2,xlim=c(0,30))
f or (i  in  1 : n) {
lines(c(x[i] ,x[i + 1]) ,c(distr[i] ,distr[i]))
}
points(x [2:30] ,distr[2:30] ,pch = 19,col='red ' ) points(x [2:30] ,distr[l:29] ,pch = 19,col='white') points(x [2:30] ,distr[l:29] ,pch = l,col='red ' ) arrows(x[n] ,distr[n] ,x[n]+l,distr [n] ,length=0.15) arrows(x[2] ,distr[l] ,-0.1,distr[l] , length = 0 .15)
Návod:
• opět potřebujeme posloupnost všech možných výsledků x
3
• dále potřebujeme pro každou možnost 0-30 spočítat hodnotu její distribuční funkce (pbinom())
• připravíme si prázdný graf, do kterého následně zakreslíme distribuční funkci
• pomocí cyklu for() nakreslíme vodorovné linky délky 1 (příkaz line(c(0,l),c(2,2))) nakreslí vodorovnou čáru začínající v bodě (0,2) a končící v bodě (1,2) (k posunu došlo pouze ve směru osy x).
• pomocí příkazů pointsi) nakreslíme červené body a bílé body s červeným okrajem
• příkaz arrows(a, b, c, ď) nakreslí šipku vedoucí z bodu (a,b) do bodu (c,d). Velikost šipky upravujeme pomocí parametru length
Binomické rozloženi - pstni fce Binomické rozloženi - distr.fce
0 5 10 15 0 5 10 15
počet pojistných události způsobených vloupanim počet pojistných události způsobených vloupanim
4