Oceňování finančních derivátů
Doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D.
Mgr. Lenka Křivánková
1
Tento učební text vznikl za přispění Evropského sociálního fondu a státního
rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro
konkurenceschopnost v rámci projektu Univerzitní výuka matematiky v měnícím
se světě (CZ.1.07/2.2.00/15.0203).
2
Obsah
1 Základní vlastnosti opcí 7
1.1 Dělení opcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Základní typy použití opcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Jištění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Pákový efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Put-Call parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Opční strategie 14
2.1 Strategie s jednou opcí a jednou akcií . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Upsání kryté call opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Pojistný put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Strategie s více opcemi stejného typu . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Bull spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Bear spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.3 Butterfly spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Kombinace put a call opcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Bottom straddle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Top straddle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Strip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.4 Strap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Calendar a diagonal spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Pojištěná investice do rizikového aktiva . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
3 Horní a dolní odhad cen opcí 23
3.1 Horní odhady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Dolní odhady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Uplatnění americké call opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Analýza citlivosti Black-Scholesova vzorce 29
4.1 Proměnné ovlivňující hodnotu opce . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Black-Scholesův vzorec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1 Jištění opční pozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.2 Delta a ∆-hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.3 Theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.4 Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.5 Taylorův rozvoj hodnoty portfolia v parametrech . . . 36
4.3.6 Vega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.7 Rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.8 Vztah mezi ∆, Θ a Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Implikovaná volatilita 41
5.1 Měření volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Odhad volatility z historických dat . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Implikovaná volatilita a volatility smile . . . . . . . . . . . . . 44
5.3.1 Opce na směnné kurzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.2 Opce na akcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Plocha implikované volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Exotické opce 48
6.1 Packages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 Nestandardní americké opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3 Složené opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.4 Chooser options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4
6.5 Bariérové opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.6 Binární opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.7 Look back opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.8 Shout options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.9 Asijské opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.10 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Deriváty úrokových měr 55
7.1 Tržní cena rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 Numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Rozšíření Black-Scholesova modelu pro stochastickou úrokovou
míru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4 Oceňování derivátů úrokových měr . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4.1 Blackův model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4.2 Opce na dluhopisy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 Numerické metody oceňování evropských opcí 66
8.1 Explicitní metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2 Metoda binomického stromu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.3 Implicitní metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.4 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9 Stochastické modely pro vývoj úrokových měr 72
9.1 Vašíčkův model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.2 Model CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.3 Model Hulla a Whitea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10 Americké opce 75
10.1 Ocenění amerických opcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10.2 Iterační metoda řešení soustav lineárních rovnic . . . . . . . . 77
10.3 Lineární komplementarita pro americké opce . . . . . . . . . . 79
10.4 Řešení úlohy o lineární komplementaritě . . . . . . . . . . . . 79
10.4.1 Projektovaná SOR metoda . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.5 Numerické metody pro americké opce . . . . . . . . . . . . . . 81
5
10.6 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11 Pravděpodobnostní rozdělení se silnými chvosty 84
11.1 Charakterizace chvostů distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11.2 Charakterizace pomocí funkce přežití . . . . . . . . . . . . . . 85
11.3 Charakterizace pomocí funkce rizika . . . . . . . . . . . . . . . 86
11.4 Stabilní distribuce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.5 Limitní rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.6 Lévyho procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
12 Měření rizika 91
12.1 Vlastnosti míry rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.2 Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12.3 Tail-Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
12.4 Příklady nekoherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13 Rozdělení extrémních hodnot 95
13.1 Maxima náhodných veličin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
13.2 Gumbelovo rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.3 Fréchetovo rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
13.4 Weibullovo rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
13.5 Zobecněné rozdělení extrémních hodnot . . . . . . . . . . . . . 98
13.6 Stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14 Konvergence rozdělení maximálních hodnot 101
14.1 Oblasti přitažlivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
14.1.1 Oblasti přitažlivosti pro Fréchetovo rozdělení . . . . . . 102
14.1.2 Oblasti přitažlivosti pro Gumbelovo rozdělení . . . . . 104
15 Optimální jištění opční pozice 106
15.1 Statické zajištění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
15.2 Dynamické jištění opční pozice . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6
Kapitola 1
Základní vlastnosti opcí
Myšlenka opčního kontraktu jako pojistky proti nepříznivému vývoji je velice
přirozená. Opce se v různých podobách vyskytovaly ve starověku i ve středověku.
Obchodování ve velkých objemech a standardizované obchody na
burze nicméně začínají až s nástupem počítačů. S call opcemi se na burze
poprvé obchodovalo v Chicago v dubnu roku 1973. Put opce byly na burzu
uvedeny až o čtyři roky později, v roce 1977.
Ve stejné době kdy vznikla první opční burza v Chicagu, se také objevily
články Blacka, Scholese a Mertona, které odvodily vzorec pro hodnotu
evropské call a put opce. Historie teoretického zkoumání oceňování opcí je
ale mnohem starší. První pionýrskou prací byla dizertace kterou vypracoval
v roce 1900 Louis Bachelier, pod vedením Henriho Poincaré.
Definice 1.1. Opce je právo koupit (v případě call opce) nebo prodat (put
opce) podkladové aktivum za pevně stanovenou cenu, která se nazývá realizační
cena (strike price, excercise price) v pevně stanovené době (expirační
doba).
Jako podkladové aktivum pro opce mohou sloužit akcie, komodity, cizí
měny, akciové indexy, futures, swapy . . . . Podkladovým aktivem může být i
opce, pak jde o složenou opci (viz. kapitola o exotických derivátech).
1.1 Dělení opcí
Podle typu použití opce rozlišujeme
7
- call opce - nákupní opce . . . . . . právo nakoupit
- put opce - prodejní opce . . . . . . právo prodat
Podle doby ve které mohou být uplatněny rozlišujeme
- Evropské opce - mohou být uplatněny jen v době expirace
- Americké opce - mohou být uplatněny kdykoli po dobu životnosti opce,
nejpozději v čase expirace
Existují i opce které nemají stanovenu expirační dobu, mohou být uplatněny
kdykoliv. Takové opce se nazývají perpetuální (některé firmy je využívají jako
bonus pro své zaměstnance).
Speciálním typem opcí z hlediska doby uplatnění jsou bermudské opce,
které je možné uplatnit pouze v určité předem stanovené dny.
Podle typu obchodování rozlišujeme dva typy opcí:
- standardní opce - obchodované na burze
- opce ”na míru” - opce obchodované přes přepážku (over-the-counter,
OTC)
Ten, kdo právo (t.j. opci) kupuje, musí prodávajícímu zaplatit cenu za
toto právo, která se nazývá prémie.
Prémie má 2 složky:
- vnitřní hodnotu
- časovou hodnotu
8
Pro call opci je vnitřní hodnota v čase t rovna
Vnitřní hodnota := max(St − K, 0),
kde St je okamžitá cena akcie v čase t, K je realizační cena opce.
Pro put opci je vnitřní hodnota
Vnitřní hodnota := max(K − St, 0).
Časová hodnota je definována jako zbývající hodnota do opční prémie (okamžité
ceny opce v čase t), tedy
Časová hodnota = prémie − vnitřní hodnota
Podle vztahu současné a realizační ceny rozlišujeme:
- opce mimo peníze (out of the money):
St < K pro call opci, St > K pro put opci
- opce na penězích (at the money):
St = K pro put i call opci
- opce v penězích (in the money):
St > K pro call opci, St < K pro put opci
Příklad 1. Jako příklad uveďme skutečné hodnoty amerických opcí na akcie
Intelu, dne 29.5.2003. Cena akcie tento den byla S0 = 20, 83.
call June July October
20 1,25 1,60 2,40
22,5 0,20 0,45 1,15
put June July October
20 0,45 0,85 1,50
22,5 1,85 2,20 2,85
1.2 Základní typy použití opcí
V dalším textu budeme používat následující označení:
9
S0 . . . cena akcie v současnosti
St . . . cena akcie v čase t
ST . . . cena akcie v čase expirace
T . . . čas expirace
r . . . úroková míra
K . . . realizační cena opce
C . . . cena evropské call opce
P . . . cena evropské put opce
c . . . cena americké call opce
p . . . cena americké put opce
Výplatní funkce evropské call opce je rovna max(ST − K, 0). Její graf je
znázorněn na následujícím obrázku.
0
zisk
vyplata
Obrázek 1.1: Call opce
10
1.2.1 Jištění
Hlavním smyslem použití opcí a dalších derivátů je změnit rizikový profil.
Podle povahy účastníka trhu je možné riziko jak zmenšit, tak zvětšit.
Příklad 2. V září 2009 máme 10 akcií KB. Současná cena je S0 = 280 Kč
za akcii. Chceme se pojistit proti poklesu ceny na příští 2 měsíce. Koupíme
10 listopadových put opcí s realizační cenou 275 Kč. Nechť P = 10 Kč.
Zaplatíme 10 · 10 = 100 Kč (cena jistící strategie).
- Pokud cena klesne pod 275 Kč, uplatníme opci, dostaneme 275 · 10 =
2750, celkem máme zisk 2750 − 100 = 2650.
- Pokud cena bude větší než 275 Kč, prodáme akcii na trhu, opět máme
víc než 2750 − 100 = 2650.
1.2.2 Pákový efekt
Vedle jištění, tedy snížení rizika, je možné použít opci k přesně opačnému
účelu, k násobení potenciálního zisku (a samozřejmě také ztráty).
Příklad 3. Investor si myslí, že akcie Citibank v příštích 2 měsících porostou
a má 2000$ na investici. Nechť S0 = 20$ a nechť 2-měsíční call opce s
realizační cenou 22,5$ stojí 5$. Porovnejte 2 strategie:
1. koupit 100 akcií
2. koupit 400 call opcí
Uvažujme dva možné scénáře. V prvním cena akcie v době expirace vzroste
na 35$. Ve druhém klesne na 15$. Výplaty obou strategií jsou zapsány v
tabulce:
15$ 35$
Akcie −500$ 1500$
Opce −2000$ 3000$
S rostoucí cenou nad realizační cenu opce roste zisk z akcie i opce úplně
stejně. Rozdíl je v tom že opce je daleko levnější. Naopak, pokud cena akcie
11
klesne pod realizační cenu, ztrácí investor v opčním portfoliu ihned celou
investici.
1.3 Put-Call parita
Put-Call parita je základní vztah mezi hodnotami call a put opce, který platí
vždy, bez ohledu na předpoklady našeho modelu. V opačném případě existuje
snadno realizovatelná arbitráž.
Pro odvození put-call parity uvažujme portfolio obsahující jednu call opci
nadlouho a jednu put opci se stejnými parametry nakrátko. Pro hodnotu
takového portfolia máme
C − P = max(ST − K, 0) − max(K − ST , 0) = ST − K,
neboli
C + K = ST + P.
Odtud vidíme, že C − P − ST je bezrizikové portfolio, pro než platí
C − P − ST = K.
Z neexistence arbitráže plyne, že jeho hodnota v čase 0 musí být K · e−rT
.
Celkem tedy dostaneme
C + K · e−rT
= P + S0
Tento vztah platí nezávisle na předpokladech Black-Scholesova modelu.
Put-call paritu můžeme ověřit také porovnáním hodnot dvou portfolií odpovídajících
levé a pravé straně předchozí rovnice:
C + K · e−rT
P + S0
ST < K 0 + K = K K − ST + ST = K
ST ≥ K ST − K + K = ST 0 + ST = ST
Tedy
VT (C + K · e−rT
) = VT (P + S0) = max(K, ST ),
kde VT je hodnota portfolia v čase T. Z neexistence arbitráže plyne, že hodnota
těchto dvou portfolií musí být stejná i v čase t = 0, odkud plyne put-call
parita.
12
1.4 Příklady
Příklad 4. Koupili jsme evropskou call opci na akcii za 50 Kč. Současná
cena akcie je 900 Kč a realizační cena je 870 Kč.
– Za jakých okolností bude opce uplatněna?
– Za jakých podmínek budeme mít zisk?
– Znázorněte graficky závislost našeho zisku na ceně akcie v době expirace.
Příklad 5. Upsali jsme evropskou put opci na akcii za 30 Kč. Současná cena
akcie je 480 Kč a realizační cena je 500 Kč.
– Za jakých okolností bude opce uplatněna?
– Za jakých podmínek budeme mít zisk?
– Znázorněte graficky závislost našeho zisku na ceně akcie v době expirace.
Příklad 6. Zakoupili jsme evropskou put opci na akcii s realizační cenou 35
Kč za 2 Kč a call opci na stejné aktivum s realizační cenou 40 Kč za 3 Kč.
Znázorněte graficky závislost našeho zisku z této pozice na ceně akcie v době
expirace.
Příklad 7. Vysvětlete, proč je hodnota americké opce vždy nejméně rovna
hodnotě příslušné evropské opce se stejnými parametry.
Příklad 8. Cena call opce s realizační cenou 15 Kč na akcii jejíž současná
cena je 14 Kč stojí 1 Kč. Úroková míra je 5% ročně. Najděte cenu evropské
put opce se stejnými parametry.
Příklad 9. Vysvětlete, proč je hodnota americké call opce na akcii která
vyplácí dividendu vždy rovna alespoň její vnitřní hodnotě. Platí totéž i pro
evropskou call opci?
Příklad 10. Vysvětlete, proč není nikdy optimální uplatnit předčasně americkou
call opci na akcii která nevyplácí dividendy.
13
Kapitola 2
Opční strategie
2.1 Strategie s jednou opcí a jednou akcií
Nejdříve budeme uvažovat dvě nejjednodušší strategie, které lze vytvořit s
pomocí opce a akcie.
2.1.1 Upsání kryté call opce
Upsání kryté call opce znamená že upíšeme call opci na akcii kterou vlastníme.
Jde tedy o dlouhou pozici v akcii + krátkou pozici v call opci.
akcie
call
S K0
Obrázek 2.1: Krytá call opce
14
2.1.2 Pojistný put
V této strategii vlastníme akcii a chceme si její hodnotu pojistit zakoupením
put opce. Jde tedy o dlouhou pozici v akcii + dlouhou pozici v put opci.
K
Obrázek 2.2: Pojištěná put opce
Z put-call parity plyne, že pojistný put má stejný profil jako call opce jen
posunutý o konstantu, protože platí
ST + P = C + K.
2.2 Strategie s více opcemi stejného typu
Strategie tohoto typu se obvykle označují výrazem spread. Podle typy investora
rozlišujeme dva základní druhy těchto strategií.
2.2.1 Bull spread
V této strategii koupíme call opci s realizační cenou K1 a upíšeme call opci
s realizační cenou K2 > K1. Takovou strategii použije investor který věří
v růst ceny akcie, odtud název bull spread. Výplatní profil je znázorněn na
obrázku.
Alternativně, bull spread můžeme také vytvořit s použitím put opcí.
15
K1 K2
Obrázek 2.3: Bull spread
2.2.2 Bear spread
Tuto strategii vytvoříme přesně naopak. Koupíme call s realizační cenou K2
a prodáme call opci s realizační cenou K1 < K2. Výplatní profil je znázorněn
na obrázku.
Strategii použije naopak investor, který věří v pokles ceny akcie. Stejně
jako bull spread, můžeme bear spread vytvořit s použitím put opcí namísto
call.
K K1 2
Obrázek 2.4: Bear spread
16
2.2.3 Butterfly spread
Pro sestavení této strategie uvažujme tři opce s různými realizačními cenami:
Koupíme 1 call opci s real. cenou K3 (vysokou) a 1 call opci s real. cenou
K1 (nízkou) a upíšeme 2 call opce s real. cenou K2, mezi K1 a K3 a blízko
S0. Tato strategie obvykle představuje malou investici. Investor očekává jen
minimální pohyb v ceně akcie.
Obrázek 2.5: Butterfly spread
2.3 Kombinace put a call opcí
2.3.1 Bottom straddle
V této strategii koupíme call a put se stejnou realizační cenou K. Výplata je
znázorněna na následujícím obrázku.
Při použití této strategie investor předpokládá velký pohyb ceny akcie,
ale neví jakým směrem. Taková situace může nastat například očekává-li se
výsledek soudního sporu firmy která vydala akcie.
Pokud takový názor sdílí většina účastníku trhu, bude cena takové strategie
na trhu vysoká. Obecně platí, že investor může využít svůj odhad vývoje
trhu jen za předpokladu že se realizuje a navíc je odlišný od názoru většiny
ostatních investorů.
17
K
Obrázek 2.6: Bottom straddle
2.3.2 Top straddle
Ve strategii top straddle naopak prodáme call a put se stejnou realizační
cenou K.
K
Obrázek 2.7: Top straddle
V této strategii naopak investor neočekává velký pohyb ceny akcie. Ve
srovnání s motýlkem je tato strategie daleko rizikovější, případná ztráta v
případě růstu ceny není vůbec omezená zdola.
18
2.3.3 Strip
V této strategii koupíme 1 call a 2 put opce. Výplatní funkce bude následující.
Obrázek 2.8: Strip
Použití této strategie je podobné jako u bottom straddle, investor předpokládá
velký pohyb ceny akcie. V tomto případě si ale myslí že pohyb dolu
je pravděpodobnější než pohyb nahoru. Podobně jako u bottom straddle, zisk
ze strategie není omezen zhora.
2.3.4 Strap
V této strategii koupíme 2 call a 1 put na akcii, se stejnými parametry.
Dostaneme tak výplatu znázorněnou na obrázku.
Analogicky, tato strategie je opět podobná bottom straddle. Investor
předpokládá velký pohyb ceny akcie, ale myslí že pohyb nahoru je pravděpodobnější
než pohyb dolu.
2.4 Calendar a diagonal spread
Tato strategie používá namísto opcí s různou realizační cenou opce s různým
časem expirace. Koupíme opci s realizační dobou T1 a upíšeme opci s
19
Obrázek 2.9: Strap
realizační dobou T2 > T1. V čase T1 pak pozici uzavřeme, tedy opci s realizační
dobou T2 prodáme. Výplatní funkce této strategie je podobná strategii
motýlek, je ale nelineární.
Další strategií s nelineární výplatou je diagonal spread. V této strategii
zakoupíme dvě call opce s různou dobou realizace, i s různou dobou splat-
nosti.
Obecně můžeme vytvořit v principu libovolný po částech lineární profil
výplaty, pokud existují opce s libovolnou realizační cenou.
2.5 Pojištěná investice do rizikového aktiva
S využitím call opcí můžeme za určité situace vytvořit portfolio, které bude
profitovat z růstu akcie, stejně jako kdybychom koupili samotnou akcii, přitom
ale jeho hodnota v čase expirace bude vždy nejméně rovna vkladu který
jsme do investice vložili.
Uvažujme akcii se současnou cenou S0 = 100 Kč, do které chceme investovat
na dobu T = 1 rok. Předpokládejme pro jednoduchost že bezriziková
úroková míra r kterou vyplácí např. dluhopisy je taková, že platí
S0e−rT
= 90.
Klíčovým předpokladem, který umožňuje strategii vytvořit je, že akcie vy-
20
plácí kladný dividendový výnos D. Portfolio sestavíme tak, že za 90 Kč koupíme
dluhopisy. Dále zakoupíme call opci na penězích, tedy s K = 100.
Cena takové call opce bude záviset na volatilitě akcie. Pro dostatečně
malou volatilitu bude cena opce menší než 10 Kč, celková investice se tedy
vejde do 100 Kč.
Pokud opce vyprší v penězích, bude zisk z ní stejný, jako kdybychom
investovali do akcie. Rozdíl je samozřejmě v tom, že na rozdíl od majitele
akcie nebudeme v průběhu investice dostávat dividendy.
Pokud opce vyprší mimo peníze, budeme mít díky dluhopisům přesně
naši počáteční investici, tedy 100 Kč.
Jak je vidět, taková strategie bude možná jen v případě zavedené, málo
volatilní akcie, která navíc vyplácí dividendy.
Pokud akcie nevyplácí dividendy, pak víme ze základního dolního odhadu
pro cenu opce že
C ≥ S0 − Ke−rT
,
tedy takovou strategii není možné sestavit.
21
2.6 Příklady
Příklad 11. Koupili jsme evropskou call opci na akcii s realizačními cenami
15 Kč, 17 Kč a 19 Kč se stejnou expirační dobou za 3 měsíce. Jejich ceny byly
3 Kč, 2 Kč a 0,5 Kč. Popište jak lze opce použít k vytvoření butterfly spread.
Znázorněte graficky závislost našeho zisku na ceně akcie v čase expirace.
Příklad 12. Opce na akcii s realizační cenou 20 Kč a 23 Kč stojí 3 Kč, resp.
5 Kč. Ukažte jak s pomocí těchto opcí sestrojit bull spread a bear spread.
Nakreslete závislost zisku a výplaty pro obě opční strategie.
Příklad 13. Na trhu se prodávají evropská call opce na akcii s realizační
cenou 30 Kč za 2 Kč a evropská put opce na stejnou akcii s realizační cenou
27 Kč za 3 Kč. Popište jak lze opce použít k vytvoření strangle. Znázorněte
graficky závislost našeho zisku na ceně akcie v čase expirace.
Příklad 14. Najděte opční strategii jejíž výplatní funkce je dána lineární
lomenou funkcí spojující body (0, 0), (5, 0) (7, 2), (8, 2) a (9, 0).
Příklad 15. Popište výplatní funkci strategie diagonal spread, která se
skládá z dvou call opcí s různou realizační cenou i různým časem expirace.
Příklad 16. Najděte opční strategii jejíž výplatní funkce je dána lineární lomenou
funkcí spojující body (0, 10), (15, 10), (20, 5), (25, 5), (30, 15) a (45, 0).
Příklad 17. Znázorněte graficky výplatu ze strategie calendar spread s použitím
dvou call opcí. První má čas expirace T1 = 3 měsíce, druhá T2 = 6
měsíců. Výplatu znázorněte v čase expirace první opce.
22
Kapitola 3
Horní a dolní odhad cen opcí
V této kapitole odvodíme základní horní a dolní odhad pro ceny opcí, které
stejně jako v minulé kapitole nezávisí na předpokladech modelu. Jsou odvozeny
jenom z následujících předpokladů:
1. na trhu neexistuje arbitráž
2. neexistují transakční náklady
3. všechny zisky jsou zdaněny stejnou sazbou
4. existuje stejná bezriziková úroková míra pro vklady i půjčky
3.1 Horní odhady
Pro call opci
Call opce znamená právo koupit akcii za určitou cenu, nemůže tedy mít
hodnotu větší než akcie. Máme tedy
C ≤ S0.
Podobně pro americkou opci platí
c ≤ S0.
V opačném případě existuje arbitráž: koupíme akcii a upíšeme opci.
23
Horní odhad který jsme právě uvedli je optimální, v tom smyslu že pro hodnoty
K blížící se 0 se bude cena opce C skutečně blížit k S0.
Pro put opci
Put opce znamená právo prodat akcii za cenu K. Opce tedy nemůže mít
vyšší cenu než K (i kdyby cena akcie klesla téměř na nulu). Pro evropskou
put opci tedy platí v čase realizace
P ≤ K.
Odtud plyne, že v čase v čase t = 0 musí platit
P ≤ K · e−rT
.
V opačném případě existuje arbitráž: upíšeme put opci, a uložíme zisk na
bezrizikový vklad. V čase T máme P · erT
> K, existuje tedy arbitráž.
Stejně jako pro call opci je tento odhad optimální. Pro S0 → 0 se bude cena
opce P blížit ke K.
3.2 Dolní odhady
Pro call opci má základní dolní odhad tvar
C ≥ S0 − K · e−rT
.
Před tím než jej dokážeme, ilustrujme si jej nejdříve na příkladu.
Příklad 18. Nechť S0 = 20$, K = 18$, r = 10% ročně, T = 1 rok. Máme
tedy
S0 − K · e−rT
= 20 − 18 · e−0,1
= 3, 71$
Nechť C = 3$. Tvrdíme, že existuje arbitráž: koupíme call opci a prodáme
akcii nakrátko. Máme ihned 20 − 3 = 17$. Tuto hotovost uložíme, v čase
T = 1 pak máme 17 · e0,1
= 18, 79.
Snadno ověříme že za všech scénářů budeme v zisku, neboť
– Je-li ST > 18, uplatníme opci, uzavíráme krátkou pozici a máme zisk
24
18, 79 − 18 = 0, 79.
– Je-li ST < 18, koupíme akcii na trhu, uzavřeme krátkou pozici, máme
zisk > 0, 79.
Obecně uvažujme 2 portfolia:
A: 1 call + hotovost K · e−rT
B: 1 akcie
V čase T je hodnota A rovna:
– Je-li ST < K · · · K + 0 = K.
– Je-li ST > K · · · K + (ST − K) = ST .
Tedy
VT (A) = max(K, ST ).
Pro portfolio B je
VT (B) = ST .
Platí tedy VT (A) ≥ VT (B) za všech scénářů. Stejný vztah musí platit i v čase
0 (jinak by existovala arbitráž). Tedy
C + K · e−rT
≥ S0
a odtud
C ≥ S0 − K · e−rT
Důsledek 3.1. Pro vnitřní hodnotu opce platí
C ≥ S0 − K · e−rT
> S0 − K
Cena evropské call opce je tedy vždy větší než její vnitřní hodnota.
Totéž platí pro americkou call opci:
c ≥ C > S0 − K.
Pro put opci je základní dolní odhad tvaru
P ≥ K · e−rT
− S0.
K důkazu tohoto vztahu uvažujme opět 2 portfolia:
25
C: 1 put + 1 akcii
D: hotovost K · e−rT
Výplaty obou portfolii v závislosti na scénáři zapíšeme do tabulky:
C D
ST < K (K − ST ) + ST = K K
ST > K ST K
Platí tedy
VT (C) = max(ST , K) ≥ VT (D) = K.
Odtud plyne
V0(C) ≥ V0(D)
a nakonec
P + S0 ≥ K · e−rT
.
Celkem tedy
P ≥ K · e−rT
− S0
3.3 Uplatnění americké call opce
Příklad 19. Uvažujeme americkou call opci s S0 = 50 Kč, K = 40 Kč, T = 1
měsíc. Opce je hluboko v penězích. Zdálo by se vhodné opci hned uplatnit,
ale není tomu tak.
- Pokud chceme akcii koupenou za opci držet víc než 1 měsíc, pak je lepší
měsíc počkat a uložit 40 Kč do banky, kde přináší úrok. (Navíc pokud
cena klesne pod 40 Kč, budeme rádi, že jsme opci neuplatnili.)
- Pokud akcii chceme hned prodat (např. myslíme, že je nadhodnocená),
pak je lepší opci prodat než uplatnit. Opci si koupí někdo kdo akcii
chce držet (takový investor existuje, jinak by cena nebyla 50 Kč). Cena
opce bude větší než její vnitřní hodnota, t.j. 50 − 40 = 10 Kč.
26
Odtud plyne, že americká call opce má stejnou hodnotu jako evropská
call opce.
Důvody pro neuplatňování americké call opce před časem expirace:
- Call opce je pojištění, pokud ji prodáme, přijdeme o něj.
- Časová hodnota peněz.
U americké put opce jsou tyto 2 důvody proti sobě.
Příklad 20. Uvažujme put opci s K = 10$ a nechť S0 je velmi blízko 0. Čím
dříve opci uplatníme, tím lépe (peníze za prodej uložíme do banky).
Platí tedy:
• Americká put opce má větší hodnotu než evropská put opce, tedy
p > P.
• Existují situace kdy hodnota evropské put opce je menší než její vnitřní
hodnota (tedy časová hodnota je záporná).
27
3.4 Příklady
Příklad 21. Uvažujme call opci na akcii bez dividendy . Současná cena akcie
je 35 Kč, realizační cena je 32 Kč, úroková míra je 10% ročně. Najděte dolní
odhad ceny takové opce.
Příklad 22. Uvažujme put opci na akcii bez dividendy . Současná cena akcie
je 100 Kč, realizační cena je 105 Kč, úroková míra je 5% ročně. Najděte dolní
odhad ceny takové opce.
Příklad 23. Popište dva důvody proč není optimální uplatnit americkou call
opce před dobou její expirace.
Příklad 24. Může mít evropská call opce na akcii s dividendou cenu nižší
než
S0 − Ke−rT
?
Pokud ano, uveďte příklad takové situace.
Příklad 25. Může mít evropská put opce na akcii s dividendou cenu nižší
než
S0Ke−rT
− S0?
Pokud ano, uveďte příklad takové situace.
28
Kapitola 4
Analýza citlivosti
Black-Scholesova vzorce
V této kapitole budeme analyzovat podrobně Black-Scholesův vzorec. Pro
praktické použití je důležité umět odhadnout rychlost změny cen opcí při
změně hodnot jednotlivých parametrů modelu.
4.1 Proměnné ovlivňující hodnotu opce
Podle Black-Scholesova modelu závisí hodnota opce na celkem pěti pro-
měnných:
K . . . realizační cena
S0 . . . současná cena
σ . . . volatilita
T . . . čas
r . . . bezriziková úroková míra
Uvažujme nejdříve směr závislosti na jednotlivých proměnných. + bude
označovat “přímou úměrnost” (rostoucí závislost) , − “nepřímou úměrnost“
(klesající závislost). Výsledky jsou obsaženy v následující tabulce:
29
Call Put
S0 + −
K − +
T + +
r + −
σ + +
+ . . . rostoucí závislost
− . . . klesající závislost
Některé směry závislosti jsou zřejmé, některé si zaslouží podrobnější komen-
tář:
r: Put opce je potencionální příjem v budoucnosti. Pokud tedy roste r,
jeho současná hodnota klesá a tím i hodnota opce.
Call opce je potencionální výdej v budoucnosti, závislost je tedy opačná,
ze stejného důvodu.
σ: S rostoucí volatilitou šance velkého růstu i velkého poklesu rostou. Pro
majitele akcie se tyto vlivy kompenzují, ale majitel call (resp. put) opce
profituje z růstu (resp. poklesu), zatímco při poklesu (resp. růstu) je
jeho ztráta omezena opční prémií.
Odtud plyne, že pokud σ - roste, pak C také roste (a stejně tak i P
roste).
T: Delší čas znamená větší nejistotu (podobně jako u volatility), tedy
stejný argument jako pro σ ukazuje, že C a P rostou s rostoucím časem
do expirace T.
V souvislosti s předchozími argumenty připomeňme, že v Black-Scholesově
vzorci vystupuje jen součin σ
√
T, tedy vliv σ a
√
T je stejný.
4.2 Black-Scholesův vzorec
Připomeňme, že Black-Scholesův vzorec pro evropskou call má tvar
C = S0 Φ(d1) − K e−rT
Φ(d1 − σ
√
T),
30
kde Φ je distribuční funkce N(0, 1) a
d1 =
ln S0
K
+ (r + σ2
2
)T
σ
√
T
.
Pro put opci máme
P = K e−rT
Φ(−d1 + σ
√
T) − S0 Φ(−d1).
4.3 Greeks
Závislost rychlosti změny ceny opce na změně jednotlivých parametrů popisují
parciální derivace Black-Scholesova vzorce podle jednotlivých proměnných.
Používá se pro ně standardní označení pomocí řeckých písmen (greeks).
4.3.1 Jištění opční pozice
Jako motivaci uveďme příklad na jištění opční pozice.
Příklad 26. Banka prodala call opce na 100 000 akcií za 300 000 Kč. Přitom
S0 = 49, K = 50, r = 0, 05, σ = 0, 2, T = 20 týdnů (0,38 roku). Cena opcí
je 240 000. Banka tedy prodala o 60 000 dráž než je teoretická hodnota. Jak
se může pojistit proti rizikům a zaručit si zisk?
Řešení. Uvažujme dvě strategie:
1. 1. strategie: nedělat nic (nekrytá pozice, naked position)
ST < 50 ⇒ neplatí nic, má zisk 300 000
ST > 50 ⇒ musí zaplatit 105
· (ST − 50)
2. 2. strategie: krytá pozice. Banka v čase t = 0 koupí 100 000 akcií.
Je-li ST > 50, např. ST = 51, pak prodá za 50, ale koupila za 49. Má
tedy další zisk.
Je-li ST < 50, např. ST = 40, na portfoliu ztratí 900 000 (z opcí má
zisk jen 300 000)
Podle Black-Scholesova vzorce by cena jištění v průměru měla být 240 000,
ale strategie 1 a 2 mají velké výkyvy. Pokud se chceme držet blízko 240
31
000, musíme použít dynamické jištění. První dynamická strategie se může na
první pohled zdát ideální.
3. strategie: dynamická stop-loss strategie:
- koupíme akcii pokud cena vzroste nad K
- jakmile klesne cena pod K, opět prodáme
Pro St < K tedy máme nekrytou pozici, pro St > K máme krytou
pozici.
Tato strategie zdánlivě produkuje stejnou výplatu jako opce. Cena strategie
je pro S0 > K rovna S0, jinak je-li
S0 < K,
pak je cena 0. Celkem tedy za strategii zaplatíme
max(S0 − K, 0).
Praktická realizace takové strategie ale naráží na zásadní problém: Je-li
St = K, nevíme zda cena poroste nebo bude klesat (hypotéza efektivního
trhu). Prakticky tedy musíme kupovat pro K + a prodávat pro K − . Pro
→ 0 očekávaný počet obchodů půjde do ∞. Přitom každá dvojice obchodů
znamená pro nás ztrátu 2 . Připomeňme ještě teoretickou vlastnost Brownova
pohybu, totiž že jeho trajektorie protne osu x nekonečně mnohokrát v
libovolně malém okolí 0.
Lemma 4.1. Je-li Wt0 = K, kde Wt je Brownův pohyb, pak s pravděpodobností
1 trajektorie Wt nabývá v intervalu (t0, t0 + δ) hodnoty K nekonečně
mnohokrát pro libovolně malé δ.
4.3.2 Delta a ∆-hedging
∆ měří rychlost změny opční ceny vzhledem ke změně ceny akcie, tedy
∆ =
∂C
∂S
,
kde C je cena call opce a S je cena akcie.
32
Příklad 27. Nechť ∆ = 0, 6 pro S0 = 100 a C = 10. Upsání 20 call opcí
můžeme tedy jistit koupením 0, 6 · 20 = 12 akcií. Zisk (ztráta) za opce je
jištěna ztrátou (ziskem) z pozice akcií.
Například pokud akcie vzroste o 1 Kč, pak máme zisk 12 Kč na akciích a
ztrátu −20 · 0, 6 = −12 Kč na opcích (každá opce jde dolů o 0,6 Kč).
∆ opční pozice je 0, 6 · (−20) = −12.
∆ pozice v akciích je 12 · 1 = 12.
Celková ∆ portfolia je −12 + 12 = 0.
∆ = 0 . . . ∆-neutrální portfolio
Hodnota takového portfolia se nemění při malém pohybu ceny akcie.
∆ se ale s časem mění, závisí na S. Musíme tedy provádět dynamický hedging.
Platí
∆(call) = Φ(d1),
kde
d1 =
ln(S0/K) + (r + σ2
/2)T
σ
√
T
.
Z put-call parity máme
P + S = C + K · e−rT
Derivováním podle S dostaneme
∂
∂S
:
∂P
∂S
+ 1 =
∂C
∂S
+ 0,
tedy
∆(put) = ∆(call) − 1 = Φ(d1) − 1
Analogicky definujeme Delta portfolia. Nechť π je hodnota portfolia A.
Pak
∆(A) =
∂π
∂S
.
Nechť portfolio obsahuje wi i-té opce, pak
∆(A) =
i
wi · ∆i,
33
kde ∆i je ∆ i-té opce (z linearity derivace).
Příklad 28. Česká banka má 3 pozice v opcích na euro:
1. dlouhou pozici na 105
call opcí s K = 27 Kč a T = 3 měsíce. ∆ = 0, 533,
2. krátkou pozici na 2·105
call opcí s K = 28 Kč a T = 5 měsíců. ∆ = 0, 468,
3. krátkou pozici na 5·104
put opcí s K = 28 Kč a T = 2 měsíce. ∆ = − 0, 508.
Celkové delta portfolia tedy bude ∆(1+2+3) = 105
·(0, 533)−2·105
(0, 468)−
5.104
(−0, 508) = −14 900 Banka může tedy udělat portfolio ∆-neutrální
nakoupením 14 900 Euro.
∆ závisí na S, musíme tedy portfolio dynamicky ”rebalancovat,” aby bylo
∆-neutrální (prodej akcií + nákup opcí, nebo naopak).
Transakční náklady: pro 1 opci je ∆-hedging neúnosně drahý kvůli transakčním
nákladům. Pro velké portfolio je ale schůdný, je třeba jen jedna transakce
pro celé portfolio (v daném čase).
4.3.3 Theta
Θ měří citlivost portfolia (hodnoty opce) na změnu času, tedy
Θ =
∂C
∂T
.
Θ(call) = −
S0 · Φ (d1) · σ
2
√
T
− rK e−rT
Φ(d2),
kde Φ (d1) = 1√
2π
e−
d1
2
2 .
Θ je jiný typ parametru než ∆, protože čas je deterministická proměnná,
proti plynutí času se nemá smysl jistit. Θ se v praxi používá jako náhražka
za Γ.
4.3.4 Gamma
Γ měří rychlost změny ∆ vzhledem ke změně ceny S, tedy
Γ =
∂∆
∂S
=
∂2
C
∂S2
.
34
Malé Γ znamená, že ∆ se mění pomalu, není třeba tak často rebalancovat
pro udržení ∆-neutrálního portfolia.
Velké Γ naopak říká, že ∆ je citlivé na změny S. Je tedy nutné častější
rebalancování.
Γ měří křivost grafu závislosti ceny opce na ceně podkladového aktiva. Pro
∆-neutrální portfolio platí přibližně:
∆π = Θ ·∆t + ∆ ·∆S
=0
+1
2
Γ · (∆S)2
+ o(∆t).
Γ-neutrální portfolio:
Pozice v akcii má Γ = 0. Je třeba nástroj (např. opce), který má Γ = 0, tedy
který závisí nelineárně na ceně akcie.
Je-li ΓA gamma portfolia A a gamma opce je ΓO, pak přidáním wT počtu
opcí do portfolia máme Γ = ΓA + wT ΓO. Pro
wT =
−ΓA
ΓO
dostaneme Γ = 0, tedy Γ neutrální portfolio.
Přidáním opce se změní ∆ portfolia, nebude tedy ∆-neutrální. Proto
musíme ještě změnit pozici v akciích Tím se nezmění Γ-neutralita, protože
Γ(akcie)=0.
Portfolio s ∆ = 0 a Γ = 0 je imunní i proti větším výkyvům ceny podkladové
akcie.
Příklad 29. Uvažujeme ∆-neutrální portfolio s Γ = −3000. ∆ a Γ opce jsou
0,62 a 1,5. Pak portfolio bude Γ-neutrální, jestliže přidáme dlouhou pozici
v 3000
1,5
= 2000 call opcích. Tím se změní ∆ portfolia z 0 na 2000 · 0, 62 =
1240. Musíme ještě prodat 1240 akcií, abychom dostali portfolio, které je
∆-neutrální (a současně Γ-neutrální).
Přímým výpočtem dostaneme hodnotu Γ,
Γ(call) =
∂Φ(d1)
∂S0
=
Φ (d1)
S0σ
√
T
.
Pro dlouhou pozici je Γ > 0.
35
4.3.5 Taylorův rozvoj hodnoty portfolia v parametrech
Připomeňme, že Taylorův polynom 2. stupně pro funkci 2 proměnných má
tvar
f(x, y) ˙=f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x − x0) +
∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0) +
1
2
∂2
f
∂x2
(x − x0)2
+
∂2
f
∂x∂y
(x − x0)(y − y0) +
1
2
∂2
f
∂y2
(y − y0)2
Označme
∂f = f(x, y) − f(x0, y0) . . . přírůstek funkce
∂x = x − x0 . . . přírůstek x
∂y = y − y0 . . . přírůstek y
Pak máme
∂f =
∂f
∂x
∂x +
∂f
∂y
∂y +
1
2
∂2
f
∂x2
(∂x)2
+
∂2
f
∂x∂y
∂x∂y +
1
2
∂2
f
∂y2
(∂y)2
Nechť π je hodnota portfolia, kde r, σ bereme konstantní. Uvažujeme tedy
π jen jako funkci S a t. Dosazením dostaneme
∂π ˙=
∂π
∂S
=∆
∂S +
∂π
∂t
=Θ
∂t +
1
2
∂2
π
∂S2
=Γ
(∂S)2
+
∂2
π
∂t∂S
∂t∂S +
1
2
∂2
π
∂t2
(∂t)2
Tedy (po zanedbání členů vyššího řádu)
∂π ˙=∆∂S + Θ∂t +
1
2
Γ(∂S)2
Speciálně, pro ∆-neutrální portfolio máme
∂π ˙=Θ∂t +
1
2
Γ(∂S)2
,
Pokud je portfolio ∆ i Γ neutrální, pak dostaneme
∂π ˙=Θ∂t.
36
4.3.6 Vega
V měří citlivost na změnu volatility ( vega není řecké písmeno, v matematicky
orientované literatuře se původně používalo písmeno ν). Máme
V(call) =
∂C
∂σ
.
Platí
V(call) = S0 ·
√
T · Φ (d1).
Velké vega znamená velkou citlivost portfolia na změny volatility. Pozice
v akcii má vega rovno 0. Γ-neutrální portfolio má obvykle nenulové V a na-
opak.
K sestavení Γ i V neutrálního portfolia jsou potřeba nejméně dva různé deriváty
na podkladovou akcii.
Příklad 30. Uvažujme ∆-neutrální portfolio A s
Γ(A) = −5000, V(A) = − 8000.
Obchodovaná opce O má gamma 0, 5, vega 2, 0 a delta 0, 6. Sestavte
gamma neutrální portfolio.
Řešení. Portfolio bude V-neutrální pokud koupíme 8000/2 = 4000 opcí. To
zvýší ∆ na 4000 · 0, 6 = 2400, tedy je třeba prodat 2400 akcií, aby bylo opět
∆-neutrální. Γ se změní na −5000 + 4000 · 0, 5 = −3000.
Pro Γ a současně V neutrální portfolio musíme mít k dispozici ještě další
opci.
Příklad 31. Nechť navíc další obchodovaná opce O2 má gamma 0, 8, vega
1, 2 a delta 0, 5. Sestavte gamma i vega neutrální portfolio.
Řešení. Máme-li w1 opcí O a w2 opcí O2 pak chceme:
Γ : −5000 + 0, 5w1 + 0, 8w2 = 0
37
V : −8000 + 2, 0w1 + 1, 2w2 = 0
Odtud dostaneme:
w1 = 400
w2 = 6000
Tedy koupíme-li 400 opcí O a 6000 opcí O2, pak portfolio bude Γ i V neutrální.
Jeho ∆ bude 400 · 0, 6 + 6000 · 0, 5 = 3240. Tedy musíme ještě prodat 3240
akcií, aby bylo portfolio i ∆-neutrální.
Taylorův rozvoj v proměnných S, t, σ bude mít tvar
∂π ˙=
∂π
∂S
∂S +
∂π
∂t
∂t +
∂π
∂σ
∂σ +
1
2
∂2
π
∂S2
(∂S)2
=∆∂S + Θ∂t + V∂σ +
1
2
Γ(∂S)2
4.3.7 Rho
ρ měří změnu hodnoty opce (portfolia) v závislosti na změně úrokové míry.
ρ(call) =
∂C
∂r
Přímým výpočtem dostaneme
ρ(call) = K · T · e−rT
· Φ(d2).
4.3.8 Vztah mezi ∆, Θ a Γ
Připomeňme si tvar Black-Scholesovy rovnice pro cenu derivátu f (například
f = C, P, . . . ):
∂f
∂t
+ r · S ·
∂f
∂S
+
1
2
σ2
· S2
·
∂2
f
∂S2
= r · f.
Pro hodnotu π portfolia derivátů (na jednu stejnou podkladovou akcii) tedy
dostaneme
∂π
∂t
+ r · S ·
∂π
∂S
+
1
2
σ2
· S2
·
∂2
π
∂S2
= r · π.
Odtud
Θ + r · S · ∆ +
1
2
σ2
· S2
· Γ = r · π.
38
Pro ∆-neutrální portfolio máme
Θ +
1
2
σ2
· S2
· Γ = r · π.
Je-li Θ velké kladné, pak Γ je velké záporné a naopak. V ∆-neutrálním portfoliu
lze tedy Θ použít jako náhražku Γ.
39
4.4 Příklady
Příklad 32. Uvažujeme ∆-neutrální portfolio s Γ = 700. ∆ a Γ opce jsou
0,35 a 2,1. Sestrojte Γ-neutrální portfolio).
Příklad 33. Investor vlastní ∆-neutrální portfolio které má Γ(π) = 250 a
V(π) = −600. Sestavte gamma i vega neutrální portfolio s využitím dvou
opcí, z nichž první má gamma 0, 3, vega 1, 0 a delta 0, 7 a druhá opce má
gamma 0, 5, vega 0, 8 a delta 0, 3.
Příklad 34. Dokažte, že platí vztah
S0Φ (d1) = Ke−rT
Φ (d2)
Příklad 35. S využitím předchozího příkladu dokažte, že platí
∆call = Φ(d1).
Příklad 36. Dokažte vztah pro Θ call opce,
Θcall = −rKe−rT
Φ(d2) −
S0Φ (d1)σ
2
√
T
.
40
Kapitola 5
Implikovaná volatilita
Mezi všemi parametry Black-Scholesova modelu, tedy S0, K, T, r, σ,
je σ je jediný parametr, který nelze pozorovat. Existují dva základní způsoby
počítání s volatilitou:
- odhad z historických dat
- používání implikované volatility
Volatilita σ měří naši nejistotu ohledně zisku z akcie. V Black-Scholesově
modelu předpokládáme
dSt = µSt dt + σSt dWt
tedy
dSt
St
= µ dt + σ dWt
Z Itôova lemmatu dostaneme
St = S0 exp σWT −
σ2
2
T + µT ,
odtud zlogaritmováním
ln ST − ln S0 = σWT −
σ2
2
T + µT.
ln ST − ln S0 má tedy rozdělení
N µ −
σ2
2
T, σ2
T ,
41
odpovídající Brownově pohybu s driftem. Odtud plyne že ln ST má střední
hodnotu
ln S0 + µ −
σ2
2
T
a rozptyl σ2
T. Náhodná veličina ST má log-normální rozdělení, jinak řečeno,
ln ST má normální rozdělení.. Máme
ST = S0 exT
,
kde
x =
1
T
· ln
ST
S0
a x má rozdělení
N µ −
σ2
2
,
σ2
T
,
Střední směrodatná odchylka x je tedy σ√
T
.
Definice 5.1. Veličina x se nazývá míra zisku akcie,
x ∼ N µ −
σ2
2
,
σ2
T
.
5.1 Měření volatility
Volatilita je míra nejistoty o výnosech akcie. Typické hodnoty σ jsou 0,15-
0,60.
Z předchozího víme, že x ∼ N µ − σ2
2
, σ2
T
, tedy σ je střední směrodatná
odchylka míry zisku akcie za 1 rok.
Pro malé T =∆t máme
∆S
S
∼ N (µ∆t, σ2
∆t) .
Odtud plyne, že σ
√
T je tedy střední směrodatná odchylka relativní změny
ceny akcie za čas T.
42
Příklad 37. Předpokládejme, že σ = 0, 3 (30% ročně) a S0 = 50 Kč.
Střední směrodatná odchylka procentuální změny ceny akcie za 1 týden je
pak
30 ·
1
52
˙= 4, 16%.
Tedy pohyb o 1 odchylku je 50 · 0, 0416 ˙= 2, 08 Kč.
5.2 Odhad volatility z historických dat
Označme
n + 1 . . . počet pozorování
Si . . . cena akcie na konci i-tého intervalu, i = 0, 1, . . . , n
τ . . . délka časového intervalu v letech
Dále nechť
ui = ln(
Si
Si−1
)
a nechť s je střední směrodatná odchylka ui,
s =
1
n − 1
n
i=1
(ui − ¯u)2,
kde ¯u je střední hodnota ui.
Víme, že střední směrodatná odchylka ui je σ ·
√
τ a je tedy odhadem
σ
√
τ. Odhad σ je pak
ˆσ =
s
√
τ
Obchodní × kalendářní dny:
V praxi se ignorují dny, ve kterých se neobchoduje, tedy
volatilita za rok = volatilita za 1 obch. den · počet obch. dnů za rok.
Životnost opce se s touto konvencí počítá jako
T =
počet obch. dnů do expirace
počet obch. dnů za rok (=252)
.
43
5.3 Implikovaná volatilita a volatility smile
Připomeňme, že podle předpokladů Black-Scholesova modelu ceny akcie sledují
geometrický Brownův pohyb, tedy pravděpodobnostní rozdělení cen akcie
St je lognormální.
Empirické výsledky naopak ukazují významnou odchylku od tohoto předpokladu.
Následující tabulka obsahuje procenta dnů kdy pohyby kursů jsou
větší než 1, 2, 3, 4, 5, 6 středních směrodatných odchylek.
realita (% dnů) lognormální B.-S. model (% dnů)
> 1 SSO 25,00 32,00
> 2 SSO 5,00 5,00
> 3 SSO 1,30 0,27
> 4 SSO 0,30 0,01
> 5 SSO 0,08 0,00
> 6 SSO 0,03 0,00
Jak toho využít? V začátcích používání Black-Scholesova vzorce šlo na této
velké odchylce profitovat. Stačilo nakoupit opce hluboko mimo peníze, podle
Black-Scholesova modelu jsou velmi levné, a čekat. Protože velké výkyvy mají
daleko větší pravděpodobnost než v lognormálním modelu, některé opce se
dostaly do peněz.
Při použití Black-Scholesova modelu v praxi se dovolí, aby volatilita závisela
na realizační ceně opce a čase do expirace.
Ze skutečných tržních cen opcí dopočítáme volatilitu v Black-Scholesově
vzorci, která vede k této ceně. To je implikovaná volatilita.
Pokud by Black-Scholesův model beze zbytku platil, pak by tato volatilita
byla stejná pro všechny realizační ceny K. Ve skutečnosti ale σ závisí na K
(volatility smile, skew).
Tvar této závislosti závisí na povaze podkladového aktiva. Budeme uvažovat
dva základní případy.
44
Obrázek 5.1: Volatility smile Obrázek 5.2: Volatility skew
5.3.1 Opce na směnné kurzy
Připomeňme, že hodnota opce v čase t = 0 je rovna diskontovanému očekávání
hodnoty opce v čase expirace t = T, vzhledem k risk-neutrální pravděpodobnostní
míře.
Levý i pravý chvost skutečného rozdělení je ”těžší” (větší) než u lognormálního
rozdělení.
Uvažujeme call opci s realizační cenou K2. Opce bude v penězích pro ST >
K2. Pravděpodobnost toho, že ST > K2 je větší pro skutečné rozdělení než
pro lognormální. Z toho plynou následující důsledky:
Větší pravděpodobnost ⇒ větší očekávání ⇒ větší cena opce ⇒ větší volatilita
⇒ zvednutí grafu implikované volatility ⇒ ”půlka” volatility smile.
Tak dostaneme levou půlku volatility smile. Analogicky pro K1 uvažujeme
put opci s realizační cenou K1. Z put-call parity plyne, že implikovaná volatilita
je stejná pro put i call opci se stejnými parametry.
Stejným argumentem dostaneme druhou půlku volatility smile.
5.3.2 Opce na akcie
Levý chvost je u skutečného rozdělení větší než u lognormálního rozdělení,
pravý chvost je menší.
Dostaneme tedy jen levou půlku volatility smile, celkově dostaneme graf
směřující šikmo dolů, který se nazývá skew.
45
Ukazuje se, že velké rozšíření stejných jistící strategií sice snižuje riziko každému
jednotlivému investorovi, ale vede naopak k větší volatilitě celého trhu.
Mechanismus který ∆-hedging působí funguje takto:
pohyb ceny nahoru ⇒ nákup ⇒ další růst ceny
pohyb ceny dolů ⇒ prodej ⇒ další pokles
Jištění tedy zesiluje pohyb cen a tím zvyšuje celkovou volatilitu na trhu.
5.4 Plocha implikované volatility
Jak se ukazuje, u skutečných ceny opcí nezávisí implikovaná volatilita jen
na realizační ceně, ale také na čase expirace. Tak vzniká ”časová struktura“
volatility (volatility term structure).
Volatilita bývá rostoucí funkcí času pokud je současná volatilita historicky
nízká. Důvodem je očekávání investorů že dojde k jejímu nárůstu. Naopak,
pokud je současná volatilita historicky vysoká, pak volatita bude klesající
funkcí času, opět kvůli očekávání jejího poklesu.
Plocha implikované volatility dává současně závislost implikované volatility
na čase a na realizační ceně. Když obchodník s opcemi chce ocenit nový
opční kontrakt, požije příslušnou volatilitu kterou mu dává plocha implikované
volatility.
Jednotlivými časovými řezy plochy volatility dostaneme volatility smiles
pro různé doby expirace. Jak čas do expirace roste, volatility smile obvykle
bývá méně výrazný.
V souvislosti s předchozími fakty se nabízí otázka jaká je reálná role
Black-Scholesova modelu při praktickém oceňování opcí. Podle některých
názorů slouží především jako interpolační nástroj, který pomáhá k tomu, aby
konkrétní opce (zejména OTC opce) byly oceněny konzistentně s ostatními
opcemi dostupnými na trhu.
46
5.5 Příklady
Příklad 38. Jaký typ volatility smile budeme pravděpodobně pozorovat
pokud oba chvosty pravděpodobnostního rozdělení cen akcie jsou lehčí než u
lognormálního rozdělení?
Příklad 39. Jaký typ volatility smile budeme pravděpodobně pozorovat
pokud pravý chvosty pravděpodobnostního rozdělení cen akcie je těžší a levý
lehčí než u lognormálního rozdělení?
Příklad 40. Dokažte, že implikovaná volatilita je stejná pro put i call opci
se stejnými parametry (využijte k důkazu put-call paritu).
Příklad 41. Jaký typ volatility smile budeme pravděpodobně pozorovat při
skocích v cenách podkladového aktiva? Bude výraznější pro opce s kratší
nebo delší dobou splatnosti?
Příklad 42. Použijte reálná data pro opce na zvolenou akcii (například
z databáze Bloomberg) a vypočtěte implikovanou volatilitu v závislosti na
realizační ceně a na čase do expirace. Znázorněte graficky výslednou plochu
implikované volatility.
47
Kapitola 6
Exotické opce
V této kapitole se budeme zabývat méně obvyklými opčními kontrakty, pro
které se ujalo označení exotické opce
Evropské a americké opce se obvykle označují jako plain vanilla (obyčejné).
Mají standardní vlastnosti a obchodují se ve velkém množství. Ostatní
méně standardní produkty se označují jako exotické.
6.1 Packages
Jako první příklad uveďme balíčky, představující portfolia složená z evropských
opcí, forwardů, podkladových akcií, hotovosti.
S příklady balíčků jsme se již setkali v části věnované opčním strategiím.
Jako příklad takového balíčku uveďme flexibilní forward
Příklad 43. Flexibilní forward sestavíme z jedné put opce nakrátko s realizační
cenou K1 a jedné call opce nadlouho s realizační cenou K2 > K1.
- krátká pozice: zaručuje, že podkladové aktivum můžeme prodat za nějakou
cenu mezi K1 a K2
- dlouhá pozice: zaručuje, že podkladové aktivum můžeme koupit za nějakou
cenu mezi K1 a K2
48
6.2 Nestandardní americké opce
Nestandardní americké opce jsou charakterizovány omezením na dobu uplatnění.
Připomeňme, že standardní americké opce můžeme uplatnit kdykoli do
času expirace.
Uveďme několik příkladů typických omezení na dobu uplatnění:
a) uplatnění opce je omezené na určitá data (Bermudské opce)
b) uplatnění opce je možné jen po část životnosti opce, např.: od jistého data
c) realizační cena se může měnit během životnosti opce
6.3 Složené opce
Složené opce jsou opce, jejichž podkladovým aktivem je opět opce. Dávají
tedy právo koupit, případně prodat podkladovou opci s danými parametry
ve stanovaném čase za stanovenou cenu.
V závislosti na typu jak opce samotné tak její podkladové opce rozlišujeme
4 typy složených opcí
– call na call
– call na put
– put na call
– put na put
K popsání takové opce tedy potřebujeme 2 realizační ceny a 2 realizační
data. Tyto opce se dají ocenit za předpokladů Black-Scholesova modelu,
pomocí 2-dimenzionálního normálního rozdělení
Uvažujme pro konkrétnost ocenění opce Call na call. Pro ostatní typy je
situace zcela analogická.
V čase 1. expirace T1 má držitel právo koupit call opci za cenu K1, která
mu dává v čase T2 právo koupit podkladové aktivum (akcii) za cenu K2.
Evropská call na call má v čase t = 0 hodnotu
V0 = S0 ·M(a1, b1; T1/T2)−K2 · e−rT2
M(a2, b2; T1/T2)− e−rT1
·K1 ·Φ(a2),
49
kde
a1 =
ln(S0/S ) + (r + σ2
/2)T1
σ
√
T1
, a2 = a1 − σ T1,
b1 =
ln(S0/K) + (r + σ2
/2)T2
σ
√
T2
, b2 = b1 − σ T2,
M(a, b; ρ) je sdružená distribuční funkce 2-dimenzionálního normálního rozdělení
s korelačním koeficientem ρ, tedy
M(a, b; ρ) = P(X ≤ a & Y ≤ b),
kde X a Y mají 2-dimenzionálního normální rozdělení s korelačním koeficientem
ρ.
S je cena aktiva v čase T1 pro kterou je cena call opce v čase T1 rovna K1.
Tedy pokud S1 > S složená opce bude uplatněna (v čase T1),
S1 < S složená opce bude uplatněna (v čase T1).
6.4 Chooser options
Chooser options jsou opce ”na výběr” (alternativní anglický název – ”as you
like it“) V předem daném čase T1 se držitel rozhodne, zda jde o call nebo put
opci. Tedy hodnota v čase T1 je
max(C, P),
kde C je hodnota příslušné call opce a P je hodnota příslušné put opce.
Pokud realizační ceny obou jsou stejné, rovny K, potom máme podle put-call
parity:
max(C, P) = max(C, C +K e−r(T2−T1)
−S1) = C +max(0, K e−r(T2−T1)
−S1).
Tedy chooser opce je ekvivalentní dvěma opcím:
- 1 call opci s realizační cenou K a dobou expirace T2
- 1 put opci s realizační cenou K · e−r(T2−T1)
a časem expirace T1.
Tyto dvě opce můžeme ocenit podle Black-Scholesova modelu.
50
6.5 Bariérové opce
Bariérové opce rozlišujeme jednak podle typu bariéry, podle toho zda její
dosažení aktivuje nebo deaktivuje opci, a dále podle vzájemné polohy bariéry
a současné ceny.
Knock-in:
opce začíná platit jen pokud cena akcie dosáhne bariéry H v čase 0 až T.
Knock-out:
opce je bezcenná pokud cena akcie dosáhne bariéry H v čase 0 až T.
Podle polohy bariéry a současné ceny rozlišujeme opce v závislosti na tom,
zda H > S0 (bariéra shora), nebo H < S0 (bariéra zdola).
H < S0 : down-and-in H > S0 : up-and-in
down-and-out up-and-out
Pro konkrétnost uvažujme hodnotu Cdi down-and-in call opce. Hodnota v
čase t = 0 této opce je
Cdi = S0
H
S0
2λ
· Φ y − K · e−rT H
S0
2λ−2
· Φ y − σ
√
T ,
kde
λ =
r + σ2
/2
σ2
, y =
ln (H2
/S0 · K)
σ
√
T
+ λ σ
√
T.
Platí
C = Cdi + Cdo
odkud plyne, že call down-and-out opce má hodnotu
Cdo = C − Cdi.
Analogick0 vztahy platí pro Cui a Cuo (up-and-in, up-and-out call opce).
6.6 Binární opce
Binární opce je charakteristická nespojitou výplatní funkcí.
51
Opce typu Cash-or-nothing call má výplatu
V =
0 pokud ST < K
Q pokud ST > K
,
kde Q je pevně daná hodnota.
Vzhledem k risk-neutrální míře je pravděpodobnost, že cena v čase expirace
bude větší než K, rovna Φ(d2).
Tedy cena cash-or-nothing call opce je rovna:
e−rT
· Q · Φ(d2).
Analogicky cash-or-nothing put opce má hodnotu
e−rT
· Q · Φ(−d2).
Dalším typem binární opce je Asset-or-nothing call, který má výplatní funkci
V =
0 pokud ST < K
ST pokud ST > K
.
Obyčejná call opci je zřejmě rovna asset-or-nothing − cash-or-nothing,
pro Q = K.
6.7 Look back opce
Výplata look back opce závisí na maximu (případně minimu) ceny aktiva
během života opce. Pro evropskou look back call opci bude výplata rovna
ST − min
t∈(0,T)
St.
Tedy opce nám umožní koupit akcii za minimální cenu dosaženou během
života opce.
52
Pro put opci je výplata
max
t∈(0,T)
St − ST .
Opce nám umožňuje prodat za maximální cenu dosaženou během života opce.
Pro stanovení maxima, případně minima musí být v opčním kontraktu
stanoven přesný algoritmus ze kterých hodnot se maximální (minimální) hodnota
určuje. Například to mohou být uzavírací ceny podkladové akcie každý
obchodovací den na konkrétním trhu.
6.8 Shout options
Držitel shout opce má možnost 1-krát za dobu života opce ”zavolat” na
prodejce opce. Na konci obdrží buď obvyklou výplatu, nebo vnitřní hodnotu
opce v čase zavolání. Označme čas zavolání τ. Výplata tedy je
max(0, ST − Sτ ) + (Sτ − K).
Hodnota v čase τ je tedy současná hodnota (Sτ −K) plus hodnota evropské
call opce s expirační cenou Sτ .
Další postup ocenění je analogický jako u americké opce.
6.9 Asijské opce
Výplata u asijských opcí závisí na průměru ceny aktiva za období životnosti
opce. Jedním z důvodů používání těchto opcí je fakt, že znemožňují velkým
investorům manipulovat s cenami podkladového aktiva těsně před vypršením
opčního kontraktu.
Asijská call opce má výplatní funkci
max(0, Sprůměr − K)
Asijská put opce má výplatní funkci
max(0, K − Sprůměr)
Pro geometrický průměr existuje oceňovací formule zatímco pro aritmetický
průměr neexistuje.
53
6.10 Příklady
Příklad 44. Odvoďte alternativní rozklad chooser option na call opci s expirací
v čase T1 a put opci s expirací v čase T2.
Příklad 45. Bude lookback call opce hodnotnější nebo méně hodnotná když
se zvýší frekvence pozorování ceny aktiva pro výpočet minima?
Příklad 46. Bude down-and-out call opce hodnotnější nebo méně hodnotná
když se zvýší frekvence pozorování ceny aktiva pro určení zda byla překročena
hranice?
Příklad 47. Vysvětlete, proč je možné obyčejnou evropskou call opci zapsat
jako součet down-and-out a down-and-in evropské call opce.
Příklad 48. Vyjádřete standardní evropskou put opci jako součet dvou bariérových
opcí typu up-and-out a up-and-in
54
Kapitola 7
Deriváty úrokových měr
V předchozích kapitolách jsme předpokládali, že úroková míra r je konstantní.
Teď tento zjednodušující předpoklad opustíme a dovolíme, aby se r měnilo v
čase.
7.1 Tržní cena rizika
Uvažujeme derivát, jehož hodnota závisí na jediné proměnné θ. Předpokládejme,
že θ se řídí stochastickou diferenciální rovnicí
dθ
θ
= m · dt + s · dW,
kde W je standardní Wienerův proces, m a s mohou záviset na θ a na t.
θ může být např. cena akcie, cena ropy, . . .
Nechť f1 a f2 jsou ceny 2 derivátů závislých jen na θ a t. Jejich výplata
je funkcí θ v nějakém budoucím čase. Předpokládejme, že f1 a f2 splňují
rovnice
df1
f1
= µ1 dt + σ1 dW,
df2
f2
= µ2 dt + σ2 dW,
55
kde µ1, µ2, σ1, σ2, jsou funkce θ a t. W je tentýž proces ve všech třech
rovnicích. Náhodný člen ∆W můžeme vhodnou kombinací f1 a f2 eliminovat:
∆f1 = µ1f1∆t + σ1f1∆W / · σ2f2
∆f2 = µ2f2∆t + σ2f2∆W / · (−σ1f1)
Uvažujme portfolio, které obsahuje množství σ2f2 1. derivátu a množství
−σ1f1 2. derivátu. Nechť π je hodnota tohoto portfolia. Pak
π = σ2f2f1 − σ1f1f2
a
∆π = σ2f2∆f1 − σ1f1∆f2 = µ1f2σ2f1∆t − σ1f1µ2f2∆t
Takové portfolio je tedy bezrizikové a musí platit (z neexistence arbitráže)
∆π = r · π ·∆t,
kde r je bezriziková úroková míra.
Dosazením dostaneme:
∆π = σ2f2∆f1 − σ1f1∆f2 = r(σ2f2f1 − σ1f1f2)∆t
(σ2µ1f1f2 − σ1µ2f2f1)∆t = r(σ2f2f1 − σ1f1f2)∆t
σ2µ1 − µ2σ1 = rσ2 − rσ1
σ2(µ1 − r) = σ1(µ2 − r)
µ1 − r
σ1
parametryf1
=
µ2 − r
σ2
parametryf2
⇒ závisí pouze na θ
Dokázali jsme tedy, že je-li cena derivátu závislého jen na θ a t rovna f,
splňující rovnici
df
f
= µ dt + σ dW,
pak
µ − r
σ
= λ .
platí pro všechny takové deriváty.
56
Definice 7.1. λ se nazývá tržní cena rizika veličiny θ
Obecně je λ funkcí θ a t. Hodnota
µ − r = λ · σ
je míra rizika související s θ obsažená v f. Máme tedy: λ
. . . cena rizika
pravá strana = míra rizika · cena rizika
levá strana = očekávaný zisk přidaný k bezrizikové míře, který kompenzuje
toto riziko
Příklad 49. Uvažujme derivát, jehož hodnota je závislá na ceně ropy (v
kladném směru; t.j. roste-li cena ropy, roste cena derivátu) a nezávisí na jiných
proměnných. Předpokládejme, že očekávaný zisk je 12% ročně, volatilita
je 20% ročně a nechť r = 8%. Tržní cena rizika ropy je tedy
0, 12 − 0, 08
0, 2
= 0, 2.
Připomeňme, že výměnou pravděpodobnostní míry za ekvivalentní můžeme
dosáhnout změny koeficientu driftu (Cameron-Martinova věta pro konstantní
drift, Girsanova věta pro obecný stochastický drift).
Používá se také následující alternativní terminologie: výběr pravděpodobnostní
míry určuje ”svět,” ve kterém platí určitá cena rizika (”míra” ∼ cena
rizika).
Cena rizika = 0 pak odpovídá risk-neutrálnímu světu.
Nechť opět f je cena derivátu závislého na proměnné θ. Předpokládejme,
že se řídí stochastickou diferenciální rovnicí
df = µf dt + σf dW,
kde W je standardní Wienerův proces, µ a σ jsou funkce t a θ.
57
Hodnota µ závisí na vztahu investora vůči riziku. Ve světě, kde cena rizika
je rovna 0 (risk-neutrální svět), máme
λ =
µ − r
σ
= 0 ⇐⇒ µ = r,
tedy
df = rf dt + σf dW.
To platí v standardním risk-neutrálním světě (cena rizika odpovídá výběru
pravděpodobnostní míry). Připomeňme si v této souvislosti ještě matematický
popis vztahu investora k riziku.
Příklad 50.
Volba I: dostaneme s jistotou 50 Kč
Volba II: s pravděpodobností 1
2
dostaneme 100 Kč, s pravděpodobností 1
2
dostaneme 0 Kč
Očekávání je pro obě volby stejné (50 Kč). Volba I má rozptyl 0 (nulové
riziko), volba II má nenulové riziko.
Investor je
1. rizikově neutrální, pokud obě volby jsou ekvivalentní
2. rizikově averzní, pokud volba I je pro něj lepší (většina investorů)
3. vyhledávající riziko, pokud volba II je pro něj lepší (hazardní hráči)
Jiné předpoklady o tržní ceně rizika dávají ”jiné světy.” Obecně máme
µ = r + λσ
a
df = (r + λσ) · f dt + σf dW. (7.1)
Tržní cena rizika tedy určuje míru růstu všech derivátů závislých na dané
proměnné. Při přechodu od jedné ceny rizika k jiné se mění koeficient růstu,
ale volatilita zůstává stejná.
58
Pro určitou hodnotu ceny rizika dostaneme reálný svět, to co pozorujeme
v praxi.
Připomenutí: Itôův proces je martingal právě tehdy, když koeficient u dt
je identicky rovný nule, tedy
dθ = σ(t, θ) · dW.
Víme, že pro martingal platí
E(θT ) = θ0
7.2 Numeraire
Pojem numeraire zachycuje volbu jednotek které použijeme pro vyjádření
ceny aktiva.
Nechť f a g jsou ceny obchodovatelných aktiv, závisející na jednom zdroji
nejistoty.
Definice 7.2. Hodnota
Φ =
f
g
.
se nazývá relativní cena f vzhledem ke g.
Φ můžeme chápat jako cenu f vyjádřenou v jednotkách g, namísto korun.
Aktivum g se nazývá numeraire.
Věta 7.3. Za předpokladu neexistence arbitráže je Φ martingal pro nějakou
volbu tržní ceny rizika. Touto volbou je volatilita g.
Důkaz. Nechť volatility f a g jsou σf a σg. Z rovnice 7.1 máme (za tržní cenu
rizika bereme volatilitu g, tedy σg):
df = r + σg · σf f dt + σf f dW
dg = r + σg
2
g dt + σg g dW.
59
Itôovo lemma (použité na funkci ln) dává
d ln f = r + σg · σf −
σf
2
2
dt + σf dW
d ln g = r +
σg
2
2
dt + σg dW.
Tedy
d ln f − ln g = σg · σf −
σf
2
2
−
σg
2
2
dt + σf − σg dW
d ln
f
g
= −
1
2
σf − σg
2
dt + σf − σg dW.
Aplikací Itôova lemmatu na proces f
g
a funkci ln dostaneme
d
f
g
= σf − σg ·
f
g
dW.
Tedy Φ = f
g
je martingal.
Svět, ve kterém je cena rizika rovna volatilitě g, budeme nazývat (forward)risk-neutrální
vzhledem k g.
Podíl
f
g
je tedy martingal, odkud plyne
f0
g0
= Eg
fT
gT
a
f0 = g0 Eg
fT
gT
,
kde Eg je očekávaná hodnota v risk-neutrálním světě vzhledem ke g.
Volby numeraire:
1. Peněžní trh jako numeraire:
Peněžní trh je aktivum, které v čase t = 0 má hodnotu 1 Kč a získává okamžitou
bezrizikovou míru r v libovolném čase, (kde r může být stochastické).
60
Je-li g hodnota peněžního trhu, pak
dg = r · g · dt
Drift je stochastický, ale volatilita g je rovna 0. V risk-neutrálním světě vzhledem
ke g je tedy cena rizika rovna 0.
Máme
f0 = g0 E
fT
gT
,
kde E je očekávání ve standardním risk-neutrálním světě. Dále
g0 = 1 a gT = e
T
0 r dt
tedy
f0 = E e− T
0 r dt
· fT ,
neboli
f0 = E e−¯rT
· fT ,
kde
¯r =
1
T
T
0
r dt
je aritmetický průměr hodnoty r mezi časy 0 a T.
2. Bezkuponový dluhopis jako numeraire:
Nechť P(t, T) je cena v čase t bezkuponového dluhopisu, který vyplatí 1$ v
čase T. Položme g rovno P(t, T).
ET bude označovat očekávání ve světě, který je risk-neutrální vzhledem k
P(t, T).
Protože gT = P(T, T) = 1 a g0 = P(0, T), rovnice
f0 = g0 · Eg
fT
gT
dává
f0 = P(0, T) · ET (fT ) . (7.2)
Tedy oproti peněžnímu trhu je diskontování (pomocí P(0, T)) mimo operátor
očekávání. To zjednoduší oceňování derivátů, které závisí jen na hodnotách
v čase T.
61
Nechť θ je stochastická proměnná, různá od úrokové míry. Forwardový
kontrakt na θ se splatností v čase T je definován jako kontrakt s výplatou
θT − K
v čase T, kde θT je hodnota v čase T a K je realizační cena. Nechť f označuje
hodnotu kontraktu. Dále máme
f0 = P(0, T) · [ET (θT ) − K].
Forwardová cena F je ta hodnota K, pro kterou je f0 = 0. Tedy
P(0, T) · [ET (θT ) − F] = 0
odkud plyne
F = ET (θT ).
Tedy forwardová cena proměnné θ je očekávání budoucí ceny ve světě riskneutrálním
vzhledem k P(t, T).
7.3 Rozšíření Black-Scholesova modelu pro stochastickou
úrokovou míru
Uvažujeme evropskou call opci s časem expirace T. Podle (7.2) máme
C = P(0, T) · ET [max(ST − K, 0)],
kde ST je cena akcie v čase T, K je realizační cena opce.
Nechť R je zero rate (T-roční okamžitá úroková míra T-roční),
P(0, T) = e−RT
,
tedy
C = e−RT
· ET [max(ST − K, 0)].
Předpokládejme, že ST je lognormální v risk-neutrálním světě vůči P(t, T) se
střední směrodatnou odchylkou W. Dostaneme (jako při odvození standardního
Black-Scholesova vzorce)
ET [max(ST − K, 0)] = ET (ST ) · Φ(d1) − K · Φ(d2),
62
kde
d1 =
ln[ET (ST )/K] + W2
/2
W
, d2 =
ln[ET (ST )/K] − W2
/2
W
.
ET (ST ) je forwardová cena akcie pro kontrakt se splatností v čase T.
Z neexistence arbitráže plyne, že
ET (ST ) = S0 · eRT
.
Celkem tedy
C = S0 · Φ(d1) − K · e−RT
· Φ(d2),
kde
d1 =
ln[S0/K] + RT + W2
/2
W
, d2 =
ln[S0/K] + RT − W2
/2
W
.
Platí-li W = σ ·
√
T, pak dostaneme přesně Black-Scholesův vzorec s r
nahrazeným R.
7.4 Oceňování derivátů úrokových měr
Výplata takových derivátů závisí na úrovni úrokové míry. Oceňování je složitější
než u opcí, protože
- pro řadu produktů je třeba mít model, který popisuje chování celé
výnosové křivky,
- úrokové míry jsou použity jak pro diskontování, tak pro definici výplaty
z derivátu.
7.4.1 Blackův model
Mějme evropskou call opci na proměnnou V . Označme:
63
T . . . čas do expirace opce
F . . . forwardová cena V na kontrakt s expirací v čase T
F0 . . . hodnota F v čase 0 (kontrakt uzavřený v čase 0)
K . . . realizační cena opce
P(t, T) . . . cena v čase t dluhopisu vyplácejícího 1$ v čase T
VT . . . hodnota V v čase T
σ . . . volatilita F
Pro oceňování opce:
1. Předpokládejme, že ln VT má normální rozdělení se střední hodnotou
F0 a směrodatnou odchylkou σ
√
T.
2. Diskontujeme očekávanou výplatu pomocí T-roční okamžité úrokové
míry (což je ekvivalentní vynásobení výplaty faktorem P(0, T)).
Výplata z opce je
max(VT − K, 0).
Z lognormálního rozdělení dostaneme (jako u Black-Scholesova vzorce):
E(max(VT − K, 0)) = E(VT ) · Φ(d1) − K · Φ(d2),
kde E(VT ) je očekávaná hodnota VT a
d1 =
ln[ET (VT )/K] + σ2
T/2
σ
√
T
, d2 =
ln[ET (VT )/K] − σ2
T/2
σ
√
T
= d1 − σ
√
T.
Protože předpokládáme, že E(VT ) = F0, máme
C = P(0, T) · [F0 Φ(d1) − K Φ(d2)], (7.3)
kde
d1 =
ln[F0/K] + σ2
T/2
σ
√
T
, d2 = d1 − σ
√
T.
Podobně pro put opci:
P = P(0, T) · [K Φ(−d2) − F0 Φ(−d1)].
V tomto modelu nepředpokládáme geometrický Brownův pohyb pro vývoj
ceny (uvolnění předpokladů Black-Scholesova modelu).
64
7.4.2 Opce na dluhopisy
Některé dluhopisy mají opce ”zabudované v sobě.”
Callable bond: dluhopis, který dovoluje firmě, která ho vydala, odkoupit
jej zpátky za určenou cenu, v určených časech v budoucnosti.
Tedy držitel vlastně prodává call opci na tento dluhopis firmě, která ho vy-
dala.
Na ocenění evropské call opce na dluhopis použijeme Blackův model.
Předpokládejme, že cena dluhopisu v čase T je lognormální.
Rovnici (7.3) můžeme použít (s F0 rovnou forwardové ceně dluhopisu FB a
σ rovno forwardové volatilitě dluhopisu σB). Dostaneme
C = P(0, T) · [FB Φ(d1) − K Φ(d2)]
pro call a
P = P(0, T) · [K Φ(−d2) − FB Φ(−d1)],
pro put, kde
d1 =
ln[FB/K] + σB
2
T/2
σB
√
T
a d2 = d1 − σB
√
T.
FB se vypočítá podle vztahu
FB =
B0 − I
P(0, T)
,
kde I je současná hodnota kuponů a B0 je cena dluhopisů v čase 0.
65
Kapitola 8
Numerické metody oceňování
evropských opcí
V této kapitole ukážeme jak oceňovat evropské opce numericky. V tomto případě
máme explicitní vzorec pro jejich hodnotu a numerické metody použít
nemusíme. Nicméně v případě amerických opcí nemáme jinou možnost než
použít numerické metody, které jsou založeny právě na rozšíření příslušných
numerických metod pro evropské opce. Tomu se budeme věnovat v následující
kapitole.
8.1 Explicitní metoda
Black-Scholesovu rovnici nejdříve převedeme na standardní rovnici vedení
tepla (viz. Stochastická analýza). Uvažujme tedy rovnici
∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
(8.1)
na oblasti R × (0, T), s počáteční podmínkou (transformovanou výplatní
funkcí příslušné opce)
u(x, 0) = ψ(x) (8.2)
a přetransformovanými okrajovými podmínkami pro x → ±∞ (připomeňme
že například pro hodnotu call opce V (S, t) platí V → 0 pro S → 0 a V → S
pro S → ∞).
Jako první krok budeme diskretizovat oblast R × (0, T). Zvolíme prostorový
krok h > 0 a časový krok k > 0. Předpokládejme, že k = T
m
, jinak
66
řečeno m je počet dělících podintervalů intervalu (0, T). V oblasti R × (0, T)
uvažujme síť mřížových bodů
xi = ih, i ∈ Z, tj = jk, j = 0, . . . , m. (8.3)
Aproximaci řešení v mřížovém bodě (xi, tj) označme uj
i , tedy
uj
i ≈ u(xi, tj). (8.4)
Parciální derivace budeme aproximovat příslušnými diferencemi. Uvažujme
Taylorův rozvoj 2. řádu v bodě (xi, tj) . Máme xi+1 − xi = xi − xi−1 = h,
tedy
u(xi+1, tj) = u(xi, tj) +
∂u
∂x
h +
1
2
∂2
u
∂x2
h2
+ O(h3
) (8.5)
a analogicky
u(xi−1, tj) = u(xi, tj) −
∂u
∂x
h +
1
2
∂2
u
∂x2
h2
+ O(h3
). (8.6)
Odečtením
uj
i+1 − uj
i−1 = 2
∂u
∂x
h + O(h3
) (8.7)
a vydělením h
∂u
∂x
(xi, tj) ≈
uj
i+1 − uj
i−1
2h
(8.8)
s chybou O(h2
) pro h → 0. To je aproximace první derivace pomocí centrální
diference.
Sečtením rovnic (s přidáním členů 3. řádu, které se vyruší) dostaneme po
úpravě a vydělení h2
aproximaci druhé derivace
∂2
u
∂x2
(xi, tj)) ≈
uj
i+1 − 2uj
i + uj
i−1
h2
. (8.9)
Pro časovou derivaci použijeme aproximaci pomocí dopředné diference.
Máme
u(xi, tj+1) = u(xi, tj) +
∂u
∂t
k + O(k2
) (8.10)
Odtud
∂u
∂t
(xi, tj) ≈
uj+1
i − uj
i
k
(8.11)
67
s chybou O(k).
Dosazením aproximací do rovnice vedení tepla dostaneme pro uj
i rovnici
uj+1
i − uj
i
k
=
uj
i+1 − 2uj
i + uj
i−1
h2
(8.12)
s chybou O(k + h2
) pro h, k → 0. Tedy hodnotu na časové vrstvě j + 1 lze
explicitně vyjádřit pomocí hodnot na vrstvě j,
uj+1
i = γuj
i−1 + (1 − 2γ)uj
i + γuj
i+1, (8.13)
kde γ = k
h2 .
Pro konečnost výpočtu musíme ještě omezit obor proměnné x. Zvolíme N
tak velké, abychom hraniční hodnoty uj
−N a uj
N mohli aproximovat pomocí
okrajových podmínek.
Označme uj
vektor řešení na časové vrstvě j, tedy
uj
= (uj
−N+1, . . . , uj
−1, uj
0, uj
1, . . . , uj
N−1) (8.14)
je vektor v R2N−1
. V maticovém zápisu tak dostaneme
uj+1
= Auj
+ bj
(8.15)
pro j = 0, . . . , m − 1, kde A je tridiagonální matice tvaru
A =






1 − 2γ γ
γ 1 − 2γ γ
γ . . .
. . . γ
γ 1 − 2γ






(8.16)
a
bj
=







γuj
−N
0
...
0
γuj
N







(8.17)
Pokud platí takzvaná Courant-Lewy-Fridrichsova podmínka stability
0 < γ ≤
1
2
, (8.18)
68
tedy
k
h2
≤
1
2
, (8.19)
pak je explicitní metoda stabilní. To znamená, že přibližná řešení konvergují
pro h, k → 0 k přesnému řešení.
8.2 Metoda binomického stromu
Pokud zvolíme
h =
√
2k (8.20)
bude γ = 1
2
a člen s koeficientem 1 − 2γ = 0 v (8.13) vypadne. Metoda pak
má tvar
uj+1
i =
1
2
uj
i−1 +
1
2
uj
i+1, (8.21)
tedy uj+1
i je aritmetický průměr hodnot řešení ve vrstvě tj.
Výpočet je tedy analogický oceňování opce pomocí binomického modelu,
tak jak je probírán v předcházejícím textu.
8.3 Implicitní metoda
V implicitní metodě pro aproximaci časové derivace namísto dopředné diference
použijeme zpětnou diferenci,
∂u
∂t
(xi, tj) ≈
uj
i − uj−1
i
k
(8.22)
s chybou O(k). Tedy uj
i splňuje rovnici
uj
i − uj−1
i
k
=
uj
i+1 − 2uj
i + uj
i−1
h2
(8.23)
opět s chybou O(k + h2
) pro h, k → 0. Tedy
−γuj
i−1 + (1 + 2γ)uj
i − γuj
i+1 = uj−1
i (8.24)
kde γ = k
h2 . Omezíme se opět na konečnou posloupnost prostorových bodů
xi, i = −N + 1, . . . N − 1. Pak dostaneme soustavu rovnic
Auj+1
= uj
+ bj
(8.25)
69
pro j = 0, . . . m−1, kterou vyřešíme vhodnou numerickou metodou (obvykle
iterační metodou, viz. níže). A je v tomto případě matice
A =






1 + 2γ γ
γ 1 + 2γ γ
γ . . .
. . . γ
γ 1 + 2γ






(8.26)
a b je vektor
bj
=







γuj
−N
0
...
0
γuj
N







(8.27)
kde hodnoty řešení v krajních bodech x−N a xN aproximujeme pomocí okrajových
podmínek.
Hlavní výhodou implicitní metody je stabilita pro libovolnou hodnotu γ.
Posloupnost přibližných řešení tedy vždy konverguje k přesnému řešení.
70
8.4 Příklady
Příklad 51. Odvoďte diskretizaci obyčejné diferenciální rovnice
y + y = x2
Příklad 52. Odvoďte diskretizaci parciální diferenciální rovnice
Fxx − Fyy + F = 0
Příklad 53. Odvoďte tvar diskretizace druhé derivace s využitím dopředné
diference.
Příklad 54. Pomocí Taylorova polynomu čtvrtého stupně odvoďte vztah
pro diskretizaci třetí derivace reálné funkce jedné proměnné.
Příklad 55. Najděte cenu strategie strangle, vytvořené pomocí call opce s
realizační cenou K = 20 Kč a put opce s realizační cenou K = 18 Kč. Ostatní
hodnoty parametrů jsou S = 20 Kč, r = 0, σ = 0, 3.
71
Kapitola 9
Stochastické modely pro vývoj
úrokových měr
Tato kapitola poskytuje přehled základních typů modelů které se používají
pro modelování pohybu úrokových měr. První takový model zavedl Oldřich
Vašíček, americký matematik českého původu.
9.1 Vašíčkův model
Vašíčkův model předpokládá, že okamžitá úroková míra se vyvíjí podle stochastické
diferenciální rovnice
drt = a(b − rt) dt + σ dWt
kde Wt je Wienerův proces, rt je hodnota okamžité úrokové míry v čase
t a a, b, σ jsou parametry modelu. Tato rovnice má vlastnost mean reversion,
tedy úroková míra má tendenci se vracet k jakési dlouhodobé průměrné
hodnotě, popsané parametrem b. Parametr a měří intenzitu (rychlost) této
tendence.
Parametr σ pak popisuje okamžitou volatilitu tohoto procesu.
Význam jednotlivých parametrů modelu ilustruje také dlouhodobé chování
procesu. V limitě platí
lim
t→∞
E(rt) = b
a
72
lim
t→∞
V ar(rt) =
σ2
2a
.
Hodnota
σ2
2a
tedy hraje roli jakési dlouhodobé volatility.
Vašíčkův model je prvním modelem který zachycuje vlastnost návratu k
průměru. Nevýhodou tohoto modelu je, že navzdory vlastnosti mean reversion
dovoluje hodnotám okamžité úrokové míry nabývat záporné hodnoty.
Tuto nevýhodu odstraňuje CIR model.
9.2 Model CIR
Tento model zavedli Cox, Ingersoll a Ross. Rovnice má v tomto případě tvar
drt = a(b − rt) dt + σ
√
rt dWt
s analogickým významem parametrů jako ve Vašíčkově modelu.
Koeficient driftu stejně jako ve Vašíčkově modelu způsobuje mean reversion.
Koeficient voaltility σ
√
rt ale zabraňuje hodnotám rt dostat se do
záporných hodnot. Pokud hodnota úrokové míry klesne na nulu, pak je volatilita
nulová, a rovnice se stává deterministickou s kladným driftem. Úroková
míra se tedy s jistotou vrátí do kladných hodnot.
Pro tento model je možném spočítat explicitně pravděpodobnostní rozdělení
budoucích hodnot úrokové míry.
9.3 Model Hulla a Whitea
Jednofaktorový model Hulla a Whitea dovoluje závislost parametrů na čase.
Rovnice má tvar
drt = [θ(t) + α(t)rt] dt + σdW(t)
Řešením rovnice můžeme odvodit pravděpodobnostní rozdělení pro rt - normální
rozdělení se střední hodnotou
73
e−αt
r(0) +
θ
α
(1 − e−αt
)
a rozptylem
σ2
2α
(1 − e−2αt
).
Další používaný model zavedli Ho a Lee. Tento model předpokládá, že
vývoj úrokové míry je popsán stochastickou diferenciální rovnicí
drt = θt dt + σ dWt.
Tento model nemá mean reversion, ani mechanismus jak zabránit záporným
hodnotám úrokové míry. Je ale možné jej volbou funkce θ nakalibrovat tak,
aby souhlasil se současnou výnosovou křivkou.
74
Kapitola 10
Americké opce
V této kapitole se budeme zabývat americkými opcemi a jejich oceňováním.
Jak již víme, s americkou call opcí bez dividendy je situace jednoduchá. Její
hodnota je vždy rovna hodnotě příslušné evropské call opce, a můžeme k jejímu
ocenění použít Black-Scholesův vzorec. Na druhé straně, pro oceňování
amerických put opcí, a také call opcí na akcie vyplácející dividendy, neexistuje,
alespoň zatím, žádná analytická teorie. Proto se k oceňování těchto opcí
používají numerické metody.
Připomeňme, že americká kupní opce je kontrakt který dává majiteli
právo koupit podkladové aktivum kdykoliv v časovém intervalu [0, T] za realizační
cenu K, kde T je čas expirace opce.
Označme V AC
resp. V EC
hodnotu americké, resp. evropské call opce, a
analogicky pro put opce. Zřejmě platí
V AC
(S, t) ≥ V EC
(S, t) (10.1)
a stejně tak pro put opci. Navíc cena americké call opce musí splňovat
V AC
(S, t) ≥ max(St − K, 0). (10.2)
Opravdu, jinak by existovala zřejmá arbitráž : koupíme opci a okamžitě ji
uplatníme. To dá zisk St − K, celkem pak máme St − K − V AC
> 0.
Graf ceny americké call opce tedy nikdy neprotne graf výplatní funkce
opce. Na druhé straně, ukážeme že pro evropskou put opci i pro call s dividendou
graf ceny protne graf výplatní funkce.
75
Pro evropskou put opci (bez dividendy) máme
V EP
(S, 0) = Ke−rT
N(−d2) − SN(−d1) (10.3)
tedy
V EP
(0, 0) = Ke−rT
< K = K − S. (10.4)
Podobně pro evropskou call opci na akcii s dividendovou mírou d máme
V EC
(S, 0) = Se−dT
N(d1) − Ke−rT
N(d2). (10.5)
Tedy
lim
S→∞
V EC
S
= e−dT
< 1 (10.6)
a tedy
V EC
(S, 0) < S − K (10.7)
pro dostatečně velké S >> K.
Hodnota americké put opce je tedy větší než hodnota příslušné evropské
opce a totéž platí pro call opci s dividendou.
10.1 Ocenění amerických opcí
Pro ocenění americké put opce, případně call opce s dividendou musíme vedle
hodnoty řešení V AC
najít také funkci Su(t) která popisuje hranici předčasného
uplatnění. Ta má následující vlastnosti:
— Je-li S < Su(t) pak V AC
(S, t) > max(S − K, 0) a opci budeme dále držet.
Pro malou změnu času platí stejný jistící argument jako pro evropskou opci.
Tedy v oblasti 0 < t < T a S < Su(t) platí Black-Scholesova rovnice.
— Je-li S ≥ Su(t), pak V AC
(S, t) = max(S − K, 0) a opci uplatníme
Matematická formulace vypadá následovně:
Chceme najít funkci V AC
(S, t) společně s funkcí Su(t) popisující hranici
předčasného uplatnění, tak, aby platilo
— Funkce V = V AC
(S, t) splňuje Black-Scholesovu diferenciální rovnici.
∂V
∂t
+
σ2
2
∂2
V
∂S2
+ (r − d)S
∂V
∂S
− rV = 0 (10.8)
76
na časově proměnné oblasti 0 < t < T a S < Su(t).
— jsou splněny koncové podmínky pro call opci
V (S, T) = max(ST − K, 0) (10.9)
— jsou splněny okrajové podmínky pro americkou call opci
V (0, t) = 0 (10.10)
V (Su(t), t) = Su(t) − K (10.11)
∂V
∂S
(Su(t), t) = 1 (10.12)
(pro odvození třetí podmínky viz. cvičení). V další části si ukážeme jak tuto
úlohu řešit numericky.
10.2 Iterační metoda řešení soustav lineárních
rovnic
V této části si ukážeme iterační metodu řešení systému lineárních rovnic,
nazývanou SOR metoda, kterou lze adaptovat i na řešení úloh lineární komplementarity,
tedy problému na který vede oceňování amerických opcí.
Nechť ω > 0 je zvolený parametr (tzv. relaxační parametr). Nechť
A = L + D + U (10.13)
je rozklad matice A na diagonální část (D) a dolní a horní trojúhelníkovou
matici (L a U).
Chceme řešit rovnici
Au = b. (10.14)
To je ekvivalentní rovnici
Du = Du + ω(b − Au). (10.15)
Z rozkladu A = L + D + U dostaneme
(D + ωL)u = (1 − ω)Du − ωUu + ωb. (10.16)
77
Matice D + ωL je invertovatelná, tedy u řeší úlohu
u = Tωu + cω (10.17)
kde
Tω = (D + ωL)−1
((1 − ω)Du − ωU) (10.18)
a
cω = ω(D + ωL)−1
b. (10.19)
Pomocí matice Tω definujeme rekurentní posloupnost přibližných řešení
úlohy Au = b,
u0
= C (10.20)
pro zvolený vektor C (např. C = 0) a
up+1
= Tωup
+ cω (10.21)
pro p = 1, 2, . . . , Pokud posloupnost up
konverguje k nějakému vektoru u,
pak zřejmě platí
u = Tωu + cω, (10.22)
tedy u je řešení původní úlohy Au = b.
Konvergenci dostaneme pomocí Banachovy věty o kontrakci. Pokud dokážeme,
že ve vhodné normě (např. spektrální, kdy je norma rovna maximu
z absolutních hodnot vlastních čísel)
Tω < 1, (10.23)
pak zobrazení
u −→ Tωu + cω (10.24)
je kontrakce
Platí následující věta:
Věta 10.1. Pro tridiagonální diagonálně dominantní matici existuje ω0 ∈
(1, 2) pro které je spektrální norma minimální, a platí
Tω0 < 1. (10.25)
78
10.3 Lineární komplementarita pro americké
opce
Pro americkou call a put opci platí parciální diferenciální nerovnost
∂V
∂t
+
σ2
2
∂2
V
∂S2
+ (r − d)S
∂V
∂S
− rV ≤ 0 (10.26)
pro všechna S ∈ (0, ∞) a t ∈ (0, T). Pro ověření tohoto tvrzení uvažujme
americký call s dividendami. Víme, že pro 0 < S < Su(t) platí BlackScholesova
rovnice, tedy nastává rovnost. Je-li naopak S ≥ Su(t) pak
V (S, t) = max(S − K, 0) = S − K (10.27)
neboť Su(t) ≥ K. Dosazením funkce S − K do levé strany Black-Scholesovy
rovnice dostaneme
(r − d)S − r(S − K) = rK − dS ≤ rK − DSu(t) ≤ 0, (10.28)
neboť platí
Su(t) ≥ K max(
r
d
, 1) (10.29)
(dk.: cvičení). Tedy hodnota americké call opce splňuje následující úlohu
lineární komplementarity
∂V
∂t
+
σ2
2
∂2
V
∂S2
+ (r − d)S
∂V
∂S
− rV ≤ 0 (10.30)
V (S, t) ≥ max(S − K, 0) (10.31)
(
∂V
∂t
+
σ2
2
∂2
V
∂S2
+ (r − d)S
∂V
∂S
− rV )(V (S, t) − max(S − K, 0)) = 0 (10.32)
pro S ∈ (0, ∞) a t ∈ (0, T).
10.4 Řešení úlohy o lineární komplementa-
ritě
Máme dánu matici A a vektory b a g. Chceme řešit úlohu o lineární komplementaritě
v diskrétním tvaru
Au ≥ b, u ≥ g (10.33)
79
a
(Au − b)(u − g) = 0, (10.34)
kde všechny tři vztahy jsou chápány po složkách.
Nechť A je tridiagonální a diagonálně dominantní matice, tedy platí
αi > |βi| + |γi|, (10.35)
pro každé i, kde αi jsou hodnoty na hlavní diagonále a βi, γi hodnoty na
vedlejších diagonálách.
10.4.1 Projektovaná SOR metoda
V každém jednotlivém kroku přejdeme od vektoru aproximace up
k up+1
tak
aby platilo
up+1
≥ g. (10.36)
Pak se ukáže že limita těchto aproximací je opravdu řešení úlohy.
Definujeme posloupnost aproximací řešení úlohy vztahy
u0
= C, up+1
= max(Tωup
+ cω, g), (10.37)
kde maximum opět bereme po složkách.
Platí
Věta 10.2. Pokud posloupnost up
konverguje k u, pak u je řešením úlohy.
Označme
F(u) = max(Tωu + cω, g). (10.38)
Zřejmě F je nelineární zobrazení. Nicméně důkaz toho že je to kontrakce se
redukuje na ověření stejné vlastnosti pro lineární operátor T.
Věta 10.3. F je kontrakce pokud Tω < 1, tedy pokud T samo o sobě je
kontrakce.
80
10.5 Numerické metody pro americké opce
Chceme řešit úlohu lineární komplementarity
(
∂u
∂t
−
∂2
u
∂x2
)(u(x, t) − g(x, t)) = 0, (10.39)
∂u
∂t
−
∂2
u
∂x2
≥ 0 (10.40)
a
u(x, t) − g(x, t)) ≥ 0 (10.41)
pro všechna x ∈ R, 0 ≤ t ≤ T. Funkce g(x, t) je transformovaná výplata
příslušného typu opce. Provedeme diskretizaci jako v případě evropských
opcí. Pro příslušné aproximace funkcí u a g označíme uj
a gj
hodnoty na
časové vrstvě tj, tedy
uj
= (uj
−N+1, . . . , uj
N−1) ∈ R2N−1
(10.42)
Opět zvolíme N tak velké, abychom mohli v krajních bodech aproximovat
řešení pomocí okrajových podmínek, jako u evropských opcí.
Můžeme vzít
uj
−N = g(x−N , tj), uj
N = g(xN , tj) (10.43)
protože pro velké hodnoty x je okrajová podmínka přibližně rovna příslušné
počáteční podmínce. Pak diskrétní verze úlohy o lineární komplementaritě
má vektorový tvar
Auj+1
≥ uj
+ bj
, uj+1
≥ gj+1
, j = 0, . . . , m − 1 (10.44)
(Auj+1
− b)i(uj+1
− gj+1
)i = 0, (10.45)
pro všechna i = 1, . . . , 2N − 1. Matice A je stejná jako u implicitní metody
pro evropské opce, tedy tridiagonální matice tvaru
A =






1 + 2γ γ
γ 1 + 2γ γ
γ . . .
. . . γ
γ 1 + 2γ






(10.46)
81
a
bj
=







γg(x−N , tj+1)
0
...
0
γg(xN , tj+1)







(10.47)
Řešení najdeme opět pomocí projektované SOR metody.
82
10.6 Příklady
Příklad 56. Najděte hodnotu americké call opce s dividendovým výnosem
3% ročně. Volatilita akcie je 0.3, úroková míra je 5% ročně, čas expirace je
0.5 roku. Realizační cena K = 15 Kč je rovna současné ceně akcie.
Příklad 57. Najděte hodnotu americké put opce na akcii bez dividendy, je-li
volatilita akcie je 0.15, úroková míra je 8% ročně, čas expirace jsou 4 měsíce,
realizační cena je K = 50 Kč a současná cena akcie je 45 Kč.
Příklad 58. Odvoďte okrajovou podmínku pro derivaci ceny americké call
opce v bodě uplatnění (podmínka (10.12)).
Příklad 59. Platí pro americké opce vždy put-call parita? Ilustrujte svoji
odpověď na příkladu.
Příklad 60. Jakým způsobem závisí hodnota hranice předčasného uplatnění
na čase? Je to rostoucí nebo klesající závislost?
83
Kapitola 11
Pravděpodobnostní rozdělení se
silnými chvosty
V této kapitole se budeme věnovat distribucím se silnými chvosty. V BlackScholesově
modelu je předpoklad normality rozdělení zdůvodněn zejména
centrální limitní větou.
Připomeňme, že Black-Scholesův model má tři základní předpoklady:
• lognormální rozdělení cen podkladového aktiva
• spojitost trajektorií cen aktiva
• nezávislost přírůstků cen za disjunktní časové intervaly
Na druhé straně, empirické výsledky ukazují odchylky od těchto předpokladů:
• silné chvosty pravděpodobnostních rozdělení
• skoky v cenách aktiv (při příchodu důležité informace, při přerušení
obchodování, ...)
• krátkodobé korelace v pohybech cen (do cca 30 minut)
11.1 Charakterizace chvostů distribucí
Jedním ze způsobů jak kvantitativně sílu chvostu charakterizovat je pomocí
existence nebo neexistence momentů. Připomeňme, že k-tý obecný moment
84
je definován jako
mk =
R
xk
f(x)dx, (11.1)
kde f(x) je hustota příslušné náhodné veličiny. Pokud mk existuje, tedy integrál
je konečný, pak musí platit
f(x) <
1
|x|n+1
(11.2)
pro |x| → ∞.
Pravděpodobnostní rozdělení se řídí tzv. mocninným zákonem, jestliže
platí
f(x) ≈
A±
|x|n+1
(11.3)
pro |x| → ∞ (tedy limita podílu obou stran je rovna jedné). V tom případě
je zřejmě pro k ≥ n
mk = ∞. (11.4)
Speciálně pro n ≤ 2 distribuce nemá konečný rozptyl. Zřejmě musí vždy být
n > 0, jinak by integrál z f(x) divergoval.
11.2 Charakterizace pomocí funkce přežití
Připomeňme, že funkce přežití SX(x) náhodné veličiny X je definována jako
pravděpodobnost, že X je větší než x, tedy
SX(x) = P(X > x) = 1 − FX(x).
Pro relativní míru síly chvostu, řekneme že X1 má lehčí chvost než X2
pokud podíl funkcí přežití X1 a X2 diverguje do nekonečna, tedy
lim
x→∞
SX1
SX2
= ∞.
Pomocí L’Hospitalova pravidla můžeme vypočet limity redukovat na vztah
pro hustoty náhodné veličiny,
lim
x→∞
SX1
SX2
= lim
x→∞
SX1
SX2
=
85
= lim
x→∞
−fX1
−fX2
.
11.3 Charakterizace pomocí funkce rizika
Připomeňme, že funkce rizika (hazard rate function) hX(x) náhodné veličiny
X je definována jako podíl hustoty a funkce přežití, tedy
hX(x) =
f(x)
S(x)
.
Chování funkce rizika také úzce souvisí s chováním chvostů pravděpodobnostního
rozdělení. Je-li funkce rizika pravděpodobnostního rozdělení rostoucí,
má rozdělení lehké chvosty. Je-li klesající, pak má těžké chvosty.
Obecně samozřejmě nemusí být ani rostoucí ani klesající, ale pro standardní
rozdělení používaná v praxi tomu tak bude.
Hraničním případem je exponenciální rozdělení, pro které je funkce rizika
konstantní.
Příklad 61. Jako příklad uveďme Paretovo rozdělení s parametry a, b, tedy
s hustotou
f(x) = aba
(x + b)−a−1
.
Funkce přežití je rovna
S(x) = ba
(x + b)−a
.
Celkem tedy
h(x) =
aba
(x + b)−a−1
ba(x + b)−a
=
a
x + b
,
což je zřejmě klesající funkce. Toto rozdělení má tedy těžké chvosty.
Analogicky je možné charakterizovat chování chvostů pomocí funkce očekávané
ztráty. Ta je definovaná vztahem
eX(y) = E(X − y|X > y).
Pokud je tato funkce klesající, má rozdělení těžký chvost, pokud je rostoucí,
má lehký chvost.
86
11.4 Stabilní distribuce
Lévyho rozdělení je speciální případ mocninného zákona, které má navíc
vlastnost stability. Objevuje se proto v obecné verzi centrální limitní věty.
Používají se při popisu “víceúrovňových jevů“, jako je velikost příjmu, amplituda
zemětřesení, atd.
Označme Lµ(x) hustotu Lévyho rozdělení s parametrem µ, kde µ ∈ [1, 2].
Platí
Lµ(x) ≈
Aµ
±
|x|µ+1
, (11.5)
kde Aµ
± jsou konstanty popisující přesnou sílu pravého a levého chvostu. Pokud
platí
Aµ
+ = Aµ
−, (11.6)
pak mluvíme o symetrickém Lévyho rozdělení. Obecné Lévyho rozdělení pak
charakterizuje ještě parametr asymetrie
β =
Aµ
+ − Aµ
−
Aµ
+ + Aµ
−
. (11.7)
S výjimkou případu krajních hodnot a µ = 3
2
neexistuje pro hustotu analytické
vyjádření. Jednoduchý popis ale existuje pro charakteristickou funkci.
Pro krajní hodnoty parametru dostaneme nejdříve pro µ = 1 Cauchyho
rozdělení s hustotou
L1(x) =
A
x2 + π2A2
. (11.8)
Pro charakteristickou funkci máme obecně následující popis,
ˆLµ(ξ) = exp(−aµ|ξ|µ
), (11.9)
kde aµ je konstanta úměrná konstantě Aµ. V limitě pro µ = 2 dostaneme
Gaussovo rozdělení, pro které
ˆL2(ξ) = exp(−cξ2
). (11.10)
Pokud součet n náhodných veličin se stejným rozdělením má opět totéž
rozdělení, pak mluvíme o stabilní distribuci. Tato vlastnost je velmi silná a
87
vzácná. Stabilními distribucemi jsou právě Lévyho distribuce (včetně limitního
případu Gaussovy distribuce).
Lévyho distribuce má také vlastnost nekonečné dělitelnosti, jak uvidíme
dále.
11.5 Limitní rozdělení
V obecné verzi centrální limitní věty, bez předpokladu konečnosti rozptylu,
hrají stabilní distribuce zcela analogickou roli jako Gaussovo rozdělení hraje
v klasickém případě.
Stabilní distribuce, tedy Lévyho a Gaussova (jako limitní případ), jsou z
definice pevnými body konvoluce. Pro jejich hustoty tedy platí, symbolicky
zapsáno,
f f = f. (11.11)
Navíc ale také fungují jako ”atraktory” pro konvoluci. Libovolná distribuce
při velkém počtu nezávislých sčítanců s tímto rozdělením konverguje ke stabilnímu
rozdělení. To je obsah Centrální limitní věty.
Pro IID náhodné veličiny s konečným rozptylem platí standardní Centrální
limitní věta, limitní distribucí je Gaussovo rozdělení.
Věta 11.1. Nechť Xi, i = 1, 2, . . . , je posloupnost nezávislých stejně rozdělených
náhodných veličin s hustotou pravděpodobnosti f, kde ˆf ∈ C2
(R).
Nechť E(Xi) = 0 a E(X2
i ) = 1. Pak hustota pravděpodobnosti
X1 + · · · + Xn
√
n
se blíží k hustotě standardizovaného normálního rozdělení, t.j.
Pr{a ≤
X1 + · · · + Xn
√
n
≤ b} →
1
√
2π
b
a
e−x2
2 dx
pro n → ∞.
Důležité při aplikaci této věty je mít na paměti, že chvosty součtu se
mohou velmi lišit od chvostů normálního rozdělení. CLV dává aproximaci
88
v centrální oblasti, o chování chvostů neříká nic. Chvosty konečného součtu
jsou kvalitativně stále stejné jako pro jednotlivé sčítance.
Poznamenejme, že tato verze CLV platí v daleko větší obecnosti. Na místo
nezávislosti stačí předpokládat že korelace Xi a Xj klesají dostatečně rychle
pro |i − j| → ∞ . Podobně lze oslabit i předpoklad stejného rozdělení. Stačí,
aby rozptyly jednotlivých Xi si byly ”dostatečně podobné”.
S vlastností atraktoru pro operaci konvoluce normálního rozdělení souvisí
další významná vlastnost normálního rozdělení. Mezi všemi distribucemi s
daným konečným rozptylem má normální rozdělení nejmenší Shannonovu
informační entropii. Ta měří informační obsah daného pravděpodobnostního
rozdělení, největší je pro konstantní náhodnou veličinu, kdy hodnotu známe
s jistotou. Shannonova informační entropie je definována jako
I(f) = − f(x) ln f(x)dx. (11.12)
Minimalizace entropie těsně souvisí s tím že při sčítání náhodných veličin
ztrácíme informaci. Z hodnoty součtu nemůžeme zjistit téměř nic o hodnotách
jednotlivých sčítanců
Pokud uvažujeme posloupnost IID náhodných veličin s mocninným zákonem
s parametrem µ < 2, tedy s nekonečným rozptylem, pak limitní distribuce je
Lévyho distribuce.
11.6 Lévyho procesy
V této kapitole se budeme zabývat širokou třídou procesů, které poskytují
přirozené zobecnění Wienerova procesu. Jejich hlavní výhodou je fakt že dovolují
do pravděpodobnostního popisu vývoje cen aktiv zahrnout skoky a
také rozdělení se silnými chvosty. Obě tyto vlastnosti jsou klíčové pro věrohodnost
modelu.
Definice 11.2. Adaptovaný stochastický proces X se nazývá Lévyho proces,
jestliže platí:
1. X0 = 0
89
2. X má přírůstky nezávislé na minulosti, tedy Xt − Xs je nezávislé na
hodnotách procesu do času s
3. X má stacionární přírůstky, tedy Xt−Xs má stejné rozdělení jako Xt−s.
4. X je stochasticky spojitý, tedy pro každé a t ≥ 0 platí
lim
h→0
P(|Xt+h − Xt| ≥ ) = 0 (11.13)
Věta 11.3. Nechť X je Lévyho proces. Pak existuje jednoznačně určená
funkce ψ tak, že
φXt (ξ) = etψ(ξ)
(11.14)
Funkce z předchozí věty se nazývá Lévyho exponent.
Definice 11.4. X je nekonečně dělitelná náhodná veličina, jestliže pro každé
N existují stejně rozdělené nezávislé náhodné veličiny X1, . . . , XN tak, že
X = X1 + X2 + · · · + XN .
S využitím charakteristické funkce můžeme otázku dělitelnosti převést na
problém kdy je (ψX)
1
N charakteristická funkce nějakého pravděpodobnostního
rozdělení.
Věta 11.5. Nechť X je Lévyho proces. Pak Xt je nekonečně dělitelné pro
každé t a platí
φXt (ξ) = (φX t
n
(ξ))n
(11.15)
Příklad 62. V případě Wienerova procesu je Lévyho exponent zřejmě roven
φXt (ξ) = e−t( ξ2
2
)
(11.16)
tedy
ψ(ξ) = −
ξ2
2
(11.17)
Pro Wienerův proces s driftem a a volatilitou b dostaneme
ψ(ξ) = −iaξ −
b2
ξ2
2
(11.18)
90
Kapitola 12
Měření rizika
Nejčastěji používanou mírou rizika ve finanční matematice je střední směrodatná
odchylka. Jedním z hlavních důvodů je nesporně fakt že vede k poměrně
jednoduchým výpočtům. Na druhé straně je s touto mírou spojena
řada problémů.
Pravděpodobnostní rozdělení se silnými chvosty, která se v praxi často
objevují, často nemívají konečnou SSO. Dalším problémem je, že SSO nesplňuje
některé žádoucí vlastnosti obvykle požadované od koherentní míry
rizika. Takovým mírám se bude věnovat následující podkapitola.
12.1 Vlastnosti míry rizika
Koherentní míra rizika m(X) náhodné veličiny X musí mít následující vlast-
nosti:
1. m(X + Y ) ≤ m(X) + m(Y ) (subaditivita)
2. platí-li X ≤ Y pro všechny možné jevy, pak musí platit m(X) ≤ m(Y )
(monotonost)
3. Pro libovolnou konstantu c > 0 platí m(cX) = cm(X) (homogenita)
4. pro libovolnou konstantu c > 0 platí m(X + c) = m(X) (invariance na
posunutí).
Uveďme několik poznámek k jednotlivým vlastnostem.
1. vlastnost, subaditivita, říká, že riziko vzniklé zkombinováním dvou aktiv
nemůže být větší než obě rizika dohromady. Volně řečeno, diverzifikace
91
nemůže nikdy zvyšovat riziko.
2. vlastnost, monotonost, znamená že pokud je ztráta z jednoho aktiva za
všech okolností větší než z druhého, pak toto aktivum má nutně větší riziko.
3. vlastnost, homogenita říká že míra rizika nezávisí na jednotkách ve
kterých riziko měříme.
4. vlastnost, invariance na posunutí lze interpretovat tak, že riziko zůstává
stejné pokud přidáme aktivum které neobsahuje žádnou nejistotu.
Jak jsme se již zmínili, SSO není koherentní mírou rizika (viz. příklad
níže).
Jak uvidíme v další části, často používaná veličina Value-at-Risk (VaR)
také nedává koherentní míru rizika.
12.2 Value-at-Risk
Obecně řečeno, hodnota Value-at-Risk popisuje vystavení riziku tak, že udává
množství kapitálu které je potřeba abychom se s jistou danou vysokou pravděpodobností
(např. 0,995) nedostali do platební neschopnosti.
Definice 12.1. Uvažujme náhodnou veličinu X měřící naši možnou ztrátu.
Hodnota Value-at-Risk na úrovni 100p%, označovaná jako V aRp(X) je definována
jako 100p percentil rozdělení veličiny X.
Jinak řečeno, je to taková hodnota, pro kterou platí
P(X > V aRp(X)) = 1 − p.
Jak ukážeme v následující části, přes značnou oblibu VaR neposkytuje koherentní
míru rizika.
V následující podkapitole budeme definovat přirozenější míru rizika, která
má již všechny požadované vlastnosti.
12.3 Tail-Value-at-Risk
Definice 12.2. Uvažujme náhodnou veličinu X měřící naši možnou ztrátu.
Tail-Value-at-Risk (TV aRp) náhodné veličiny X na úrovni 100p% je defino-
92
ván jako očekávaná ztráta za podmínky že ztráta překročila 100p percentil
rozdělení X.
Tail-Value-at-Risk můžeme tedy zapsat takto:
TV aRp(X) = E(X|X > V aRp)
a
TV aRp(X) =
∞
Vp
xf(x)dx
1 − F(Vp)
,
kde
Vp = V arp.
Dále integrací per partes dostaneme vztah
TV aRp(X) =
∞
Vp
V aRu(X)du
1 − p
.
12.4 Příklady nekoherence
V této části ukážeme dva příklady, které demonstrují že dvě v praxi nejčastěji
používané hodnoty k měření rizika, SSO a VaR, nesplňují požadavky na
koherenci, zformulované v předchozí podkapitole.
První příklad se týká VaR.
Příklad 63. Uvažujme náhodnou veličinu X, jejíž distribuční funkce nabývá
následující hodnoty:
FX(1) = 0, 95
FX(100) = 0, 96
FX(110) = 0, 99,
tedy 96 procentní kvantil je roven 100.
Uvažujme dále rozklad této náhodné veličiny na dvě části, Z a Y (nikoliv
nezávislé), tedy X = Y + Z, definované následovně
93
Y =
X pokud X ≤ 110
0 pokud X > 110
,
a
Z =
0 pokud X ≤ 110
X pokud X > 110
.
Máme tedy X = Y + Z. Distribuční funkce pro náhodnou veličinu Y splňuje
FY (1) = 0, 96
FY (100) = 0, 99
FY (110) = 1.
Je tedy
V aR96%(Y ) = 1.
Analogicky platí
FZ(0) = 0.99
je tedy 99% pravděpodobnost žádné ztráty. Odtud plyne, že 96% kvantil
musí splňovat
V aR96%(Z) ≤ 0.
Celkem dostáváme, že součet 96% kvantilů veličin Y a Z je menší než 96%
kvantil veličiny X, tedy subaditivita je porušena. V dalším příkladu ukážeme
že ani SSO nesplňuje všechny předpoklady koherence. V tomto případě bude
porušena monotonie
Příklad 64. Uvažujme dvojici náhodných veličin (X, Y ) popisujících naši
ztrátu. S pravděpodobností 0,5 nabývají hodnoty (0,10) a s pravděpodobností
0,5 nabývají hodnoty (10,10). Zřejmě ve všech scénářích platí
X(ω) ≤ Y (ω).
Na druhé straně ale náhodná veličina Y má nulovou SSO, zatímco X má
SSO větší než nula. Je tedy
σ(X) > σ(Y )
a monotonie je porušena.
94
Kapitola 13
Rozdělení extrémních hodnot
13.1 Maxima náhodných veličin
Uvažujme posloupnost nezávislých realizací stejné náhodné veličiny. V analýze
rizika je klíčové znát rozdělení, které má maximální pozorovaná hodnota
mezi prvními n realizacemi.
V praxi může jít o maximální pokles hodnoty finančního aktiva, největší
škodu při automobilové havárii, atd.
Ze zákona velkých čísel plyne, že jev který má pravděpodobnost q se při
n pozorováních objeví v průměru nq krát. Heuristicky se tedy dá říct, že při
n pozorováních očekáváme se setkat s událostmi, jejichž pravděpodobnost
je alespoň 1
n
. Řádově by tedy pro maximální hodnotu pozorovanou do n-té
realizace mělo platit
F(Mmax) ≈
1
n
,
kde F je příslušná distribuční funkce dané náhodné veličiny.
Abychom získali přesnější představu o rozdělení maximální hodnoty, uvažujme
náhodnou veličinu
xmax = max(x1, . . . , xn).
Distribuční funkci
Fmax(y) = P(xmax < y)
95
získáme snadno. Maximum je menší než y právě tehdy když jsou všechny
pozorované hodnoty menší než y. Z nezávislosti tedy máme
Fmax(y) = F(y)n
.
Pro velké hodnoty n můžeme použít aproximaci
Fmax(y) = (1 − ˜F(y))n
≈ e−nF(y)
kde
˜F(y) = 1 − F(y) = P(X ≥ y).
Z tohoto vztahu můžeme získat například pravděpodobnost kvantilu
Fmax (Q1
4
) =
1
4
,
tedy
˜Fmax(Q1
4
) = 1 − (
1
4
)
1
n ≈
ln 4
n
.
Obecně pak budeme mít
˜Fmax(Q1
4
) = 1 − p
1
n ≈ −
ln p
n
.
Tedy hodnota Mmax pro kterou platí
F(Mmax) ≈
1
n
,
bude přibližně rovna
p ≈
1
e
≈ 0, 37.
Jinak řečeno, pravděpodobnost, že Mmax bude ještě větší je asi 0,63.
Kdybychom tedy například chtěli odhadnout největší denní ztrátu S příští
rok s pravděpodobností 99%, dostaneme
Fmax(−S) ≈
− ln(0.99)
252
kde F je distribuční funkce denních změn ceny a 252 je počet obchodních
dnů.
96
Důležité je, že pro velké hodnoty n závisí rozdělení maxima pouze na
asymptotickém chování původního rozdělení pro x → ∞. Například, je-li
rozdělení exponenciální, tedy
F(x) ≈ e−ax
,
pak platí
Mmax ≈
ln n
a
,
dostáváme tedy velmi pomalý logaritmický růst s hodnotou n.
Substitucí
xmax = Mmax +
t
a
vypočteme rozdělení okolo maximální hodnoty. To je dáno Gumbelovým roz-
dělením
f(t) = e−e−t
e−t
.
Jeho nejpravděpodobnější hodnota je 0. V tomto případě je tedy hodnota
Mmax nejpravděpodobnější hodnotou maxima.
13.2 Gumbelovo rozdělení
Obecně je distribuční funkce tohoto rozdělení definována vztahem
G0,µ,θ(x) = exp(− exp(−
x − µ
θ
)),
kde µ je parametr polohy a θ je parametr měřítka. Normovanou distribuční
funkci Gumbelova rozdělení dostaneme pro µ = 0 a θ = 1, tedy
G0(x) = exp(− exp(−x)).
13.3 Fréchetovo rozdělení
Distribuční funkce tohoto rozdělení je
G1,α,µ,θ(x) = exp(−(
x − µ
θ
)−α
).
97
kde µ je parametr polohy, θ je parametr měřítka a α je parametr tvaru.
Fréchetovo rozdělení je definováno pouze pro hodnoty x > µ. Jeho normalizovaná
verze má tvar
G1,α(x) = exp(−x−α
).
13.4 Weibullovo rozdělení
V obecném případě máme pro toto rozdělení distribuční funkci
G2,α,µ,θ(x) = exp(−(−
x − µ
θ
)−α
).
kde µ je parametr polohy, θ je parametr měřítka a α je parametr tvaru.
Weibullovo rozdělení je naopak definováno pouze pro hodnoty x < µ.
Normalizovaný tvar Weibullova rozdělení pak bude
G2,α(x) = exp(−(−x)−α
)).
13.5 Zobecněné rozdělení extrémních hodnot
Toto rozdělení obsahuje předchozí tři rozdělení jako speciální případy. Normovaná
distribuční funkce tohoto rozdělení je dána vztahem
F(x) = exp −(1 +
x
α
)−α
,
neboli
Gγ(x) = exp −(1 + γx)− 1
γ ,
V limitě pro γ → 0 dostaneme v exponentu e−x
, tedy G0 je normalizované
Gumbelovo rozdělení.
13.6 Stabilita
Uvažujme nejdříve Gumbelovo rozdělení. Zřejmě platí
G0(x + ln n)n
= exp(−n exp(−x − ln n)) =
98
exp(− exp(−x)) = G0(x),
neboli
G0(x + ln n)n
= G0(x).
Odtud plyne, že rozdělení maxima n pozorování z normalizovaného Gumbelova
rozdělení má stále Gumbelovo rozdělení, pouze s posunutým parametrem
měřítka o ln n.
Pro obecnou situaci s libovolnou polohou a měřítkem dostaneme
G0,µ,θ(x)n
= G0(
x − µ
θ
)n
= G0(
x − µ
θ
− ln n) = G0(
x − µ − θ ln n
θ
)
= G0(
x − µ∗
θ
)
= G0,µ∗,θ(x),
kde
µ∗
= µ + θ ln θ.
Stejná vlastnost platí i pro Fréchetovo rozdělení. Pro normalizovanou
verzi máme
G1,α(n
1
α x)n
= exp −n(n
1
α x)−α
= exp(−x−α
) = G1,α(x),
neboli
G1,α(x)n
= G1,α(xn− 1
α ).
Odtud plyne že rozdělení n maxim z normalizovaného Fréchetova rozdělení
má samo také Fréchetovo rozdělení, jenom se změněným měřítkem.
Pro obecný tvar dostaneme
G1,α,µ,θ(x)n
= G1,α(
x − µ
θn
1
α
) = G1,α,µ,θ∗ (x),
kde
99
θ∗
= θn
1
α .
EV rozdělení jsou tedy stabilní vůči maximům. Jak ukážeme dále rozdělení
maxim velké většiny rozdělení konverguje pro n → ∞ právě k takovému
EV rozdělení. Tato rozdělení tedy hrají pro maxima zcela analogickou
roli jako hraje normální rozdělení pro součty, podle Centrální limitní věty.
100
Kapitola 14
Konvergence rozdělení
maximálních hodnot
Tvrzení zformulované na konci minulé kapitoly formalizuje následující věta
Fischer - Tippetova.
Věta 14.1. Nechť pro distribuční funkci F daného rozdělení má
F
x − bn
an
n
nedegenerovanou limitu pro n → ∞ pro nějaké konstanty an, bn. Pak
F
x − bn
an
n
→ G(x)
pro n → ∞, kde G je jedno z EV rozdělení pro nějakou hodnotu parametrů
polohy a měřítka.
Jako příklad uvažujme exponenciální rozdělení. Zvolíme-li konstanty
an = 1, bn = ln n,
pak dostaneme
P(
Mn − bn
an
≤ x) = P(Mn ≤ anx + bn)
= P(X ≤ anx + bn)n
= P(X ≤ x + ln n)n
101
= 1 − exp(−x − ln n)n
= (1 −
exp(−x)
n
n
),
což konverguje pro n → ∞ k
exp (− exp(−x))
Limitní rozdělení maxim exponenciálního rozdělení pro vhodně zvolené normovací
konstanty je tedy Gumbelovo rozdělení.
14.1 Oblasti přitažlivosti
V této části se budeme zabývat otázkou jak poznat pro dané rozdělení že
jeho maxima lze asymptoticky popsat Gumbelovým nebo Fréchetovým roz-
dělením.
V případě Fréchetova rozdělení je popis celkem jednoduchý.
14.1.1 Oblasti přitažlivosti pro Fréchetovo rozdělení
Oblastí přitažlivosti pro danou stabilní distribuci G rozumíme množinu všech
rozdělení takových, že normalizovaná maxima konvergují k tomuto rozdělení.
Taková vlastnost by zřejmě měla záviset pouze na vlastnostech chvostů těchto
rozdělení. Následující věta to potvrzuje.
Věta 14.2. Pravděpodobnostní rozdělení patří do oblasti přitažlivosti dané
EV rozdělením Gi, s normalizačními konstantami an, bn, právě tehdy, když
platí
lim
n→∞
nS(anx + bn) = − ln Gi(x).
Příklad 65. Uvažujme normalizované exponenciální rozdělení. Pro normalizační
konstanty an = 1 a bn = ln n dostaneme pro maximum
nS(x + bn) = nP(X > x + ln n) = n exp(−x − ln n)
= n exp(−x − ln n) = exp(−x)
= − ln G0(x)
102
Tedy pro tyto normalizační konstanty je limitním rozdělením Gumbelovo
rozdělení.
V následující větě zformulujeme podmínku pro to, aby normalizovaná
limitní distribuce maxima bylo Fréchetovo rozdělení.
Definice 14.3. Funkce f(x) je pomalu se měnící v nekonečnu, pokud platí
pro x → ∞
f(tx) ≈ f(x)
pro všechna t > 0.
Věta 14.4. Pokud má dané pravděpodobnostní rozdělení chvost splňující
S(x) ≈ T(x)x−a
,
kde T(x) je pomalu se měnící funkce, pak patří do oblasti přitažlivosti Fréchetova
rozdělení.
Následující postačující podmínku formuloval Von Mises.
Věta 14.5. Nechť pro pravděpodobnostní rozdělení platí
lim
x→∞
xf(x)
S(x)
= a > 0.
Pak toto rozdělení patří do oblasti přitažlivosti Fréchetova rozdělení.
Příklad 66. Uvažujme nyní Paretovo rozdělení s parametrem a = −1, tedy
s funkcí přežití
x + b
b
s normovacími konstantami
an = bn
a bn = 0. Pak maximum má v limitě Fréchetovo rozdělení.
103
14.1.2 Oblasti přitažlivosti pro Gumbelovo rozdělení
Charakterizace rozdělení která patří do oblasti přitažlivosti Gumbelova rozdělení
není tak jednoduchá jako pro Fréchetovo rozdělení.
Obecně řečeno sem patří rozdělení které mají lehčí chvosty než mocninné.
Speciálně, taková rozdělení musí nutně mít momenty všech řádů. Patří sem
například Gamma rozdělení, exponenciální, lognormální.
Chování chvostů jsou ale značně různá, patří sem jak normální rozdělení s
lehkým chvostem, tak inverzní Gaussovo rozdělení s relativně těžkým chvos-
tem.
Jako hlavní nástroj popisu oblasti přitažlivosti se používají tzv. Von Misesovy
funkce.
Definice 14.6. Nechť F je distribuční funkce náhodné veličiny X. Předpokládejme,
že existuje z ∈ R takové, že S(x) lze zapsat ve tvaru
S(x) = K exp −
x
z
1
a(t)
dt
pro nějakou kladnou konstantu K a funkci a(t), která je kladná a absolutně
spojitá, s derivací a (x), pro kterou platí
lim
x→∞
a (x) = 0.
Pak F se nazývá Von Misesova funkce, s doprovodnou funkcí a. Základní
vlastnosti shrnuje následující věta
Věta 14.7. Von Misesova funkce je absolutně spojitá s hustotou f. Doprovodnou
funkci můžeme zvolit ve tvaru
a(x) =
S(x)
f(x)
.
Dále platí
lim
x→∞
xf(x)
S(x)
= ∞.
Zřejmě je
a−1
(X) =
f(x)
S(x)
104
rovno funkci rizika.
Následující věta dává postačující podmínku pro to aby rozdělení patřilo
do oblasti přitažlivosti Gumbelova rozdělení.
Věta 14.8. Nechť distribuční funkce náhodné veličiny F je Von Misesova
funkce. Pak tato náhodná veličina patří do oblasti přitažlivosti Gumbelova
rozdělení.
Pro úplnou charakterizaci musíme zobecnit tvar Von Misesovy funkce.
Věta 14.9. Distribuční funkce F patří do oblasti přitažlivosti Gumbelovy
distribuce právě tehdy když můžeme S(x) zapsat ve tvaru
S(x) = K(x) exp −
x
z
b(t)
a(t)
dt ,
kde K a b jsou měřitelné funkce splňující
lim
x→∞
K(x) = K > 0
a
lim
x→∞
b(x) = 1
a a(t) je kladná a absolutně spojitá funkce s hustotou a (x), pro kterou platí
lim
x→∞
a (x) = 0.
Za normalizační konstanty můžeme vzít
dn = F(1 −
1
n
), cn = a(dn).
Dále můžeme vzít
a(x) =
∞
x
S(t)
S(x)
dt
Analogicky jako u Von Misesovy funkce, funkce a se nazývá doprovodná
funkce k funkci F.
Funkce a(x) je definována jako
a(x) = E(X − x|X > x),
jde tedy o ztrátovou funkci.
105
Kapitola 15
Optimální jištění opční pozice
V této části se budeme zabývat otázkou jak provést prakticky optimální zajištění
opční pozice, bez zjednodušujících (a leckdy nereálných) předpokladů
Black-Scholesova modelu.
15.1 Statické zajištění
Uvažujme investora který v čase t = 0 upsal jednu evropskou call opci a
chce zajistit tuto pozici. Předpokládejme že (například z důvodu velkých
transakčních nákladů) má možnost provést jen jednou, hned na začátku,
nákup určitého množství podkladového aktiva.
Označme toto množství A. Našim cílem je najít optimální hodnotu A
která bude minimalizovat investorovo riziko.
Celková bilance zisku pro investora je rovna
∆B = C − max(Sn − K, 0) + A
k
∆Sk.
kde ∆Sk = Sk − Sk−1
Pokud je očekávání přírůstků ceny aktiva rovno nule, t.j.
E(∆Sk) = 0
pro všechna k, pak dostaneme pro rozptyl konečného zisku investora
V = ∆S2
− (∆S)2
106
vztah
V = nD∆tA2
− 2A(Sn − S0) max((Sn − K, 0) + V0,
kde V0 je riziko samotné nekryté opce, tedy
V0 = E(max((Sn − K, 0)2
) − E(max((Sn − K, 0))2
Dostali jsme tedy jednoduchou kvadratickou závislost rizika na hodnotě
A. Snadno tedy najdeme optimální hodnotu A která minimalizuje riziko,
derivováním rovnice podle A. Dostaneme
A =
1
D∆tn
∞
K
(S − K)(S − S0)P(S|S0)dS.
Pokud by pravděpodobnostní rozdělení hodnot aktiva bylo normální, pak
lze integrál explicitně vypočíst. Dostaneme zajímavý výsledek, totiž hodnota
A bude přímo rovna pravděpodobnosti že opce bude uplatněna,
A =
∞
K
P(S|S0)dS.
V další části budeme uvažovat investora který má možnost provádět dynamický
(ale samozřejmě diskrétní) jištění.
15.2 Dynamické jištění opční pozice
Uvažujme investora který provádí dynamické jištění v časech t = 0, 1, . . . n.
Množství aktiva které bude držet v čase k označíme Ak. Závisí jak na čase
tak na současné dosažené ceně aktiva.
Celková bilance zisku investora bude rovna
∆B = C(1 + r)n
− max((Sn − K, 0)) +
k
Ak(Sk)∆Sk.
Stejně jako v předchozím případě vypočteme celkové riziko, které je opět
kvadratickou funkcí hodnot Ak. Konstantní členy pro optimalizaci uvažovat
107
nemusíme. Dále budeme předpokládat, že přírůstky jsou nekorelované, tedy
platí
E(∆Sk∆Sj) = 0
pro k = j.
Lineární a kvadratická část nám dává
k
E(A2
k)Ek(∆Sk) − 2
k
Ek(Ak∆Sk max(Sn − K, 0)),
kde očekávání Ek bereme podmíněné informacemi dostupnými v čase k. Uvažujme
pravděpodobnostní rozdělení v jednotlivých časech t = k.
Opět chceme minimalizovat riziko vzhledem k hodnotám Ak. Dostaneme
tak
Ak(x) =
1
D
∞
K
E(∆Sk)(S,k)→(S ,n)(S − K)P(S , n|S, k)dS.
kde
D = Ek(∆S2
k)
108
Literatura
[1] Hull J. C.: Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall 2012
[2] Melicherčík I., Olšarová L., Úradníček V.: Kapitoly z finančnej matematiky,
EPOS Bratislava 2005
[3] Bouchaud P., Potters, M.: Theory of Financial Risk and Derivative Pricing:
From Statistical Physics to Risk Management, Cambridge University
Press 2003
[4] Willmott P., Howison S., Dewynne, J.: The Mathematics of Financial
derivatives, A Student Introduction, Cambridge University Press 1996
[5] Klugman S., Panjer H., Willmot G.: Loss Models: From Data to Decisions,
Wiley 2006
[6] Ševčovič D., Stehlíková B., Mikula K.: Analytické a numerické metódy
oceňovania finančných derivátov, Slovenská technická univerzita 2009
[7] Etheridge A.: A Course in Financial Calculus, Cambridge University
Press 2002
[8] Baxter M., Rennie A.: Financial Calculus: An Introduction to Derivative
Pricing, Cambridge University Press 1996
[9] Wilmott P.: Paul Wilmott on Quantitative Finance, 3 Volume Set, Wiley
2006
[10] Wilmott P.: Frequently Asked Questions in Quantitative Finance, Wiley
2007
109
[11] Černý A.: Mathematical Techniques in Finance: Tools for Incomplete
Markets Princeton University Press 2009
[12] Bachelier L.: Louis Bachelier’s Theory of Speculation: The Origins of
Modern Finance, translated and commented by Davis and Etheridge,
Princeton University Press 2006
110