© Institut biostatistiky a analýz
RNDr. Eva Koriťáková
Podzim 2016
Vícerozměrné metody - cvičení
Cvičení 2
Vícerozměrné normální rozdělení
a vícerozměrný t-test
2Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Vícerozměrné normální
rozdělení
3Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Motivace
4
Histogram of x3
x3
Frequency
60 65 70 75 80 85 90 95
0102030
60 65 70 75 80 85 90 95
Diastolický tlak μ
σ
Histogram Hustota jednorozměrného
normálního rozdělení
Motivace – pokračování
5
Dvourozměrný
histogram
Hustota dvourozměrného
normálního rozdělení
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Vícerozměrné normální rozdělení
6
𝑓 x1, … , x 𝑘 =
1
2𝜋 𝑘 Σ
∙ exp −
1
2
𝐱 − 𝝁 𝑇 𝚺−1 𝐱 − 𝛍
Hustota vícerozměrného normálního rozdělení:
𝛍 - vektor středních hodnot 𝚺 - kovarianční matice
Hustota dvourozměrného normálního rozdělení:
ρ - korelace mezi X a Y;
σ – směrodatná odchylka
𝑓 x =
1
2𝜋 𝜎2
∙ exp −
x − μ 2
2𝜎2
Hustota jednozměrného normálního rozdělení:
μ - střední hodnota σ2 – rozptyl
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Hustota u nekorelovaných a korelovaných proměnných
7Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2-10123
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-1 0 1 2 3
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-3 -2 -1 0 1 2 3-3-2-10123
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
-1 0 1 2 3
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
x1
x1
x2
x2
x1
x2f(x1,x2)
x1
x2f(x1,x2)
A)
B)
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2-10123
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-1 0 1 2 3
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3-2-10123
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
-1 0 1 2 3
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
x1
x1
x2
x2
x1
x2f(x1,x2)
x1
x2f(x1,x2)
A)
B)
Nekorelované proměnné
(μ1 = μ2 = 0, σ1 = σ2 =1,
ρ= 0)
Korelované proměnné
(μ1 = μ2 = 0, σ1 = σ2 =1,
ρ= 0,5)
Vícerozměrný průměr a kovarianční matice
• vícerozměrný průměr (např. pro datový soubor se 2 proměnnými):
• výběrová kovarianční matice (např. pro datový soubor se 2 proměnnými):
8Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
ത𝐱 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
x𝑖1
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
x𝑖2
𝐒 =
s11 s12
s21 s22
, kde s11 =
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
x𝑖1 − തx1
2
Výpočet rozptylu a směrodatné odchylky - opakování
9Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
• Příklad čtverců odchylek od průměru pro n = 3.
• Rozptyl je možno značně ovlivnit odlehlými pozorováními.




n
i
i xx
n
s
1
22
)(
1
1
0,269 0,547 0,638 0,733
x1 x2 x3x
Rozptyl:
Směrodatná odchylka:




n
i
i xx
n
s
1
2
)(
1
1
Úkol 1
• Spočtěte vícerozměrný průměr a výběrovou kovarianční matici pro soubor
3 subjektů, u nichž byly naměřeny hodnoty objemu hipokampu a
mozkových komor, přičemž naměřené hodnoty byly zaznamenány do
následující datové matice:
10Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
𝐗 =
2 12
4 10
3 8
Úkol 1 - řešení
11
Vícerozměrný průměr:
ത𝐱 =
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
x𝑖1
1
𝑛
෍
𝑖=1
𝑛
x𝑖2 =
1
3
2 + 4 + 3
1
3
12 + 10 + 8 = 3 10
s11 =
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
x𝑖1 − തx1
2 =
1
3−1
2 − 3 2 + 4 − 3 2 + 3 − 3 2 =
1
2
1 + 1 + 0 = 1
ID
Objem
hipokampu
Objem
mozkových komor
1 2 12
2 4 10
3 3 8
1 2 3 4 5
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
Objemmozkovýchkomor
Kovarianční matice:
→ 𝐒 =
1 −1
−1 4
ID
Objem
hipokampu
Objem
mozkových komor
1 2 12
2 4 10
3 3 8
s22 =
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
x𝑖2 − തx2
2 =
1
3−1
12 − 10 2 + 10 − 10 2 + 8 − 10 2 = 4
s21 = s12 =
1
𝑛−1
σ𝑖=1
𝑛
x𝑖1 − തx1 x𝑖2 − തx2 =
1
3−1
൫ 2 − 3 ሺ12 −
𝐒 =
s11 s12
s21 s22
, kde:
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou
podmínkou vícerozměrné normality?
12
+
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou
podmínkou vícerozměrné normality?
13
+
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Je normalita v jednorozměrném prostoru jedinou
podmínkou vícerozměrné normality?
14
+
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0
50
100
150
200
250
300
350
400
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Vícerozměrná odlehlá
hodnota (outlier)
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Ověření dvourozměrné normality
15
Bagplot = „bivariate boxplot“ (tzn. „dvourozměrný krabicový graf“)
v softwaru Statistica: Graphs – 2D Graphs – Bag Plots
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Ověření dvourozměrné normality
16
Vykreslení regulační elipsy („control“ elipse):
v softwaru Statistica: Graphs – Scatterplots – na záložce Advanced zvolit Elipse Normal
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Normalizace dat
• Převod na normální rozdělení (normalita je předpokladem řady
statistických testů).
• Např. logaritmická transformace: X = ln(Y) nebo X = ln(Y+1), pokud data
obsahují hodnotu 0
• Další příklady:
– odmocninová transf. (pro proměnné s Poissonovým rozložením nebo
obecně data typu počet jedinců, buněk apod.: nebo
– arcsin transfomace (pro proměnné s binomickým rozložením)
– Box-Coxova tranformace
f(y)
y
f(x)
ln (y)
X = ln(Y)
Asymetrické rozdělení Normální rozdělení
Medián Průměr
Medián PrůměrGeometrický průměr
YX  1 YX
17Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Vícerozměrný t-test
18Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Jednorozměrný dvouvýběrový t-test
• Srovnáváme dvě skupiny dat, které jsou na sobě nezávislé – mezi objekty
neexistuje vazba.
• Příklady: srovnání objem hipokampu u mužů a u žen, srovnání kognitivního
výkonu podle dvou kategorií věku,...
19
ҧ𝑥1 ҧ𝑥2
21
11
*
21
nns
cxx
t



0
1
2
3
Pacienti Kontroly
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
• Předpoklad: normalita dat v OBOU skupinách, shodnost (homogenita)
rozptylů v obou skupinách
• Testová statistika: , kde 𝑠∗ je vážená směrodatná odchylka,
c je konstanta, o kterou se rozdíl průměrů má lišit (většinou rovna 0)
Vícerozměrný t-test
• Srovnáváme dvě skupiny dat, které jsou na sobě nezávislé – mezi objekty
neexistuje vazba.
• Na rozdíl od jednorozměrného dvouvýběrového t-testu jsou dvě skupiny
dat popsány více proměnnými.
20
0
1
2
3
4
5
6
7
4
6
8
10
12
14
0
0.05
x1x2
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Vícerozměrný t-test
Jednorozměrný dvouvýběrový t-test:
• testová statistika: 𝑇 =
ҧ𝑥 𝐷− ҧ𝑥 𝐻 −𝑐
𝑠∗
1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
, kde 𝑇~𝑡 𝑛 𝐷 + 𝑛 𝐻 − 2
• 𝑠∗
2 je vážený rozptyl vypočtený jako 𝑠∗
2 =
𝑛 𝐷−1 𝑠 𝐷
2
+ 𝑛 𝐻−1 𝑠 𝐻
2
𝑛 𝐷−1 + 𝑛 𝐻−1
• c je konstanta, o kterou se rozdíl průměrů má lišit (většinou c = 0)
• nulová hypotéza zamítnuta, pokud 𝑇 > 𝑡1− Τ𝛼 2 𝑛 𝐷 + 𝑛 𝐻 − 2
21
Studentovo rozdělení
Vícerozměrný t-test:
• Hotellingova T2 testová statistika: 𝑇2
= ഥ𝒙 𝐷 − ഥ𝒙 𝐻 − 𝒄 𝑇
S∗
1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
−1
ഥ𝒙 𝐷 − ഥ𝒙 𝐻 − 𝒄
• kde S∗ je vážená kovarianční matice: S∗ =
𝑛 𝐷−1 S 𝐷+ 𝑛 𝐻−1 S 𝐻
𝑛 𝐷−1 + 𝑛 𝐻−1
• T2 ~ T2(p,n-p-1) ; pro malé nD a nH je lepší použít: 𝐹 =
𝑛−𝑝−1
𝑝
𝑇2
𝑛−2
, kde n=nD+nH
• nulová hypotéza zamítnuta, když 𝐹 > 𝐹1−𝛼 𝑝, 𝑛 − 𝑝 − 1
Je ekvivalentní testu:
𝑇2 =
ҧ𝑥 𝐷− ҧ𝑥 𝐻 −𝑐
𝑠∗
1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
2
= ҧ𝑥 𝐷 − ҧ𝑥 𝐻 − 𝑐 𝑠∗
2 1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
−1
ҧ𝑥 𝐷 − ҧ𝑥 𝐻 − 𝑐 , kde T2 ~ F (1, nD+nH -2)
F rozdělení
F rozdělení
Hotellingovo rozdělení
Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Úkol 2
• Zjistěte, zda se liší skupina pacientů se schizofrenií od zdravých subjektů na
základě parametrů popisujících objem mozkových struktur subjektů.
22Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
pacienti
kontroly
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
Objemmozkovýchkomor
𝐗 𝐷 =
2 12
4 10
3 8
, 𝐗 𝐻 =
5 7
3 9
4 5
Úkol 2
• Zjistěte, zda se liší skupina pacientů se schizofrenií od zdravých subjektů na
základě parametrů popisujících objem mozkových struktur subjektů.
23Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
𝐗 𝐷 =
2 12
4 10
3 8
, 𝐗 𝐻 =
5 7
3 9
4 5
Úkol 2 - řešení
24Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Vícerozměrné průměry: ത𝐱 𝐷 =
1
𝑛 𝐷
σ𝑖=1
𝑛 𝐷
x𝑖1
1
𝑛 𝐷
σ𝑖=1
𝑛 𝐷
x𝑖2 = 3 10
ത𝐱 𝐻 =
1
𝑛 𝐻
σ𝑖=1
𝑛 𝐻
x𝑖1
1
𝑛 𝐻
σ𝑖=1
𝑛 𝐻
x𝑖2 = 4 7
Výběrové kovarianční matice:
𝐒 𝐷 =
s11
𝐷
s12
𝐷
s21
𝐷
s22
𝐷 =
1 −1
−1 4
𝐒 𝐻 =
s11
𝐻
s12
𝐻
s21
𝐻
s22
𝐻 =
1 −1
−1 4
Vážená kovarianční matice:
𝐒∗ =
1 −1
−1 4
𝑇2 = ഥ𝒙 𝐷 − ഥ𝒙 𝐻 − 𝒄 𝑇 S∗
1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
−1
ഥ𝒙 𝐷 − ഥ𝒙 𝐻 − 𝒄
Úkol 2 - řešení
25Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
Vícerozměrné průměry: ത𝐱 𝐷 =
1
𝑛 𝐷
σ𝑖=1
𝑛 𝐷
x𝑖1
1
𝑛 𝐷
σ𝑖=1
𝑛 𝐷
x𝑖2 = 3 10
ത𝐱 𝐻 =
1
𝑛 𝐻
σ𝑖=1
𝑛 𝐻
x𝑖1
1
𝑛 𝐻
σ𝑖=1
𝑛 𝐻
x𝑖2 = 4 7
Výběrové kovarianční matice:
𝐒 𝐷 =
s11
𝐷
s12
𝐷
s21
𝐷
s22
𝐷 =
1 −1
−1 4
𝐒 𝐻 =
s11
𝐻
s12
𝐻
s21
𝐻
s22
𝐻 =
1 −1
−1 4
Vícerozměrný t-test:
n 6
p 2
T2 3,5
F 1,31
df1 = p 2
df2 = n-p-1 3
α 0,05
F-crit 9,55
p-hodnota 0,389
Vážená kovarianční matice:
𝐒∗ =
1 −1
−1 4
𝑇2 = ഥ𝒙 𝐷 − ഥ𝒙 𝐻 − 𝒄 𝑇 S∗
1
𝑛 𝐷
+
1
𝑛 𝐻
−1
ഥ𝒙 𝐷 − ഥ𝒙 𝐻 − 𝒄
Úkol 2 – řešení v softwaru R
26Koriťáková: Vícerozměrné metody - cvičení
install.packages("ICSNP")
library("ICSNP")
Xd=matrix(c(2,4,3,12,10,8),3,2)
Xh=matrix(c(5,3,4,7,9,5),3,2)
HotellingsT2(Xd, Xh)
Použití softwaru R jako kalkulačky:
S=solve(2/3*matrix(c(1,-1,-1,4),2,2)) # výpočet inverzní matice
b=matrix(c(-1,3),1,2) # vektor s hodnotami rozdílu souřadnic centroidů
t2=b%*%S%*%t(b) # výpočet testové statistiky T2
F=(3/2)*(t2/4) # výpočet testové statistiky F
qf(0.95,2,3) # 95% kvantil F rozdělení pro stupně volnosti 2 a 3
1-pf(F,2,3) # p-hodnota