I.
Plošná jasnost galaxií – radiální profily, objemová hustota svítivosti.
Eliptické galaxie, bulge spirálních galaxií
(Literatura: Binney & Merrifield, Galactic Astronomy, str. 179-180, 185-192)
Označení:
r – sférická souřadnice, R – projektovaný poloměr (cylindrická souřadnice)
I(R) – plošná hustota svítivosti neboli plošná jasnost (surface brightness)
j(r) – objemová hustota svítivosti (luminosity density)
L – svítivost (luminosity), M – hmotnost, Σ – plošná hustota hmoty (surface density)
de Vaucouleursův profil: I (R) = Ie exp {– 7.67 [(R/Re)1/4
– 1] }
Sersićův profil: I (R) = Ie exp {– bn [(R/Re)1/n
– 1] }
Hubble-Reynoldsův profil:
I0
I (R) = —————
[1 + (R/a)] 2
Modifikovaný Hubbleův profil:
I0
I (R) = —————
1 + (R/a) 2
Úlohy
1. a) Vysvětlete význam parametrů Re a Ie u de Vaucouleursova a Sersićova profilu.
b) Jaký je vztah mezi centrální plošnou jasností I (R=0) a Ie u de Vaucouleursova profilu ?
c) Jaká je u de Vaucouleursova profilu průměrná plošná jasnost uvnitř poloměru Re ?
2. a) Napište vztah mezi svítivostí L(R) uvnitř projektovaného poloměru R a plošnou jasností
I (R).
b) Napište obdobný vztah mezi hmotností M(R) uvnitř projektovaného poloměru R a
plošnou hustotou hmoty Σ (R).
c) Jak vypadá L(R) pro modifikovaný Hubbleův profil ?
d) Ukažte, že pro Hubble-Reynoldsův profil i modifikovaný Hubbleův profil svítivost L(R)
(a tím pádem i hmotnost M(R)) diverguje pro R  ∞.
3. a) Napište vztah mezi plošnou jasností I(R) a objemovou hustotou svítivosti j(r).
b) Jak vypadá I(R), je-li j(r) tzv. power-law, tj. j (r) = jo (ro / r)α
, (α > 1) ?
c) Ukažte, že pro j (r) = j0 / [1 + (R/a)2
]3/2
je I(R) dána modifikovaným Hubbleovým
profilem.
II.
Potenciál a hustota galaxií, Poissonova rovnice, radiální síla, kruhová a úniková rychlost –
Sférické modely.
(Literatura: Binney & Tremaine, Galactic Dynamics, str. 30-41)
Úlohy
1. Najděte potenciál uvnitř a vně homogenní sféry o poloměru RS:
a) integrací Poissonovy rovnice;
b) s využitím 1. a 2. Newtonova teorému.
Načrtněte radiální průběh tohoto potenciálu.
2. Spočítejte a načrtněte radiální průběh následujících veličin vně a uvnitř gravitačního pole
homogenní sféry:
a) radiální síla
b) kruhová rychlost
c) úhlová rychlost rotace po kruhové dráze
d) perioda rotace po kruhové dráze
e) úniková rychlost
3. Napište a vyřešte pohybovou rovnici pro částici pohybující se po radiální dráze uvnitř homogenní
sféry.
4. Předpokládejte, že kruhová rychlost v dané galaxii je konstantní a galaxie je sféricky symetrická.
Ukažte, jak pro takovou galaxii vypadají následující veličiny:
a) potenciál
b) hustota
c) hmotnost uvnitř sféry o daném poloměru r.
d) perioda rotace po kruhové dráze.
5. a) Spočítejte a načrtněte radiální průběh kruhové rychlosti a úhlové rychlosti rotace pro tzv.
Plummerovu sféru (tato sféra má hustotu ρ (r) = ρ0 / [1 + (R/b)2
]5/2
a potenciál
Φ = -GM / [r2
+ b2
]1/2
, kde M je hmotnost sféry a G gravitační konstanta).
b) Srovnejte tyto průběhy s kruhovou a úhlovou rychlostí pro gravitační pole hmotného bodu
a homogenní sféry.
c) Pro jakou hodnotu r/b má maximum radiální síla a kruhová rychlost ?
III.
Pohyb částice ve sféricky symetrickém potenciálu.
Úhlová a epicyklická frekvence, velikost a tvar epicyklu
(Literatura: Binney & Tremaine, Galactic Dynamics, str. 120-124)
Označení:
Ω – úhlová rychlost rotace (úhlová frekvence) po kruhové dráze
κ - epicyklická frekvence
Úlohy
2
1. Napište vztahy mezi:
a) potenciálem a úhlovou frekvencí
b) epicyklickou frekvencí a potenciálem
c) epicyklickou frekvencí a úhlovou frekvencí
(Pozn.: Předpokládejte blíže neurčený sféricky symetrický potenciál).
2. Spočítejte a načrtněte radiální profily κ, Ω a κ/Ω pro:
a) potenciál hmotného bodu;
b) potenciál homogenní sféry;
c) galaxii s plochou rotační křivkou.
3. Jaký je poměr poloos epicyklu pro
a) potenciál hmotného bodu;
b) potenciál homogenní sféry;
c) galaxii s plochou rotační křivkou ?
IV.
Pohyb částice v poli galaktické příčky
Pohybová rovnice v rotující soustavě. Lindbladovy rezonance, korotace.
(Literatura: Binney & Tremaine, Galactic Dynamics, str. 135-137, 146-149)
Označení:
Ω – úhlová rychlost rotace (úhlová frekvence) po kruhové dráze
κ - epicyklická frekvence
OLR – vnější Lindbladova rezonance
ILR – vnitřní Lindbladova rezonance
CR – korotace
Úlohy
1. Napište pohybovou rovnici částice v souřadné soustavě rotující konstantní rychlostí.
Předpokládejte přitom, že částice se pohybuje v rovině, tj. napište tuto rovnici pro 2-dimenzionální
případ, a to jednak v polárních, jednak v kartézských souřadnicích.
2. Napište vztahy pro Lindbladovy rezonance a korotaci v potenciálu slabé příčky.
3. Jaký je poměr poloměrů OLR a CR v galaxii se slabou příčkou a plochou rotační
křivkou ?
4. Je pozorována galaxie, jejíž příčka má velkou poloosu 2 kpc. Za předpokladů, že příčka
končí na vlastní korotaci a že galaxie má plochou rotační křivku s kruhovou rychlostí 200
km/s, určete úhlovou rychlost pohybu příčky, její rotační periodu a polohu OLR.
5. Předpokládejte, že simulace galaxie vede ke vzniku příčky s úhlovou rychlostí 60
km/s/kpc. Za předpokladu ploché rotační křivky (s kruhovou rychlostí 300 km/s) určete
polohy CR a OLR.
3