evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Sbírka pro předmět Středoškolská fyzika v příkladech 1 a 2 Mechanika: kinematika - zadání a výsledky 1. Na obrázku 1 je graf závislosti dráhy hmotného bodu na čase. s Obrázek 1: 01 234567Í s (a) Jaká je velikost rychlosti hmotného bodu v čase 2 s? i40m.s4 B. 20 m.s-1 C. 10 m.s"1 D. 5 m.s-1 [B.] (b) Jaká je velikost rychlosti hmotného bodu v čase 5 s? A. 70 m.s-1 B. 35 m.s-1 C. 14 m.s"1 D. 5 m.s-1 [D.] (c) Jaká je velikost průměrné rychlosti hmotného bodu na konci páté sekundy? A. 70 m.s-1 B. 35 m.s-1 C. 14 m.s"1 D. 5 m.s-1 [C] Proveďte výpočet a správnou odpověď fyzikálně zdůvodněte. 2. Uvažujte pohyb tělesa, které je vrženo v homogenním poli Země vodorovným směrem počáteční rychlostí vq (viz obrázek 2). Za určitou dobu svého pohybu je těleso v bodě P. (a) Který směr má okamžitá rychlost tělesa v bodě P? A. směr A B. směr B C. směr C D. směr D [C] (b) Který směr má síla působící na těleso v bodě P? A. směr A B. směr B C. směr C D. směr D [B.] 1 sociální MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OPVzdělávání mládeže a tělovýchovy pro konkurenceschopnost fond V ČR EVROPSKÁ UNIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁN Obrázek 2: Svou odpověď fyzikálně zdůvodněte, napište i případné fyzikální významy ostatních zobrazených směrů. Vlak se rozjížděl po dobu £=75 s se stálým zrychlením a=0,2m.s 2. Jakou dráhu urazil v poslední vteřině? [14,9 m] 4. -k Nákladní vlak jede rychlostí vi = 36km.h_1. Za 30 minut z téže stanice vyjíždí týmž směrem expres rychlostí v2 = 72 km.h-1. Za jaký čas t od odjezdu nákladního vlaku a v jaké vzdálenosti s od stanice dožene expres nákladní vlak? Úlohu řešte analyticky i graficky [1 h, 36 km, viz obrázek 9 ] 5. * Z měst A a B, vzdálenost mezi nimiž je L = 120 km, současně vyjely proti sobě dva automobily rychlostmi v\ = 20km.h~1 a v2 = 60km.h_1. Každý automobil se poté, co projede 120 km, zastaví. Za jakou dobu tav jaké vzdálenosti s od města C, které se nachází na půl cesty mezi městy A a B, se setkají automobily? Úlohu řešte analyticky i graficky. Sestrojte graf závislosti vzdálenosti / mezi automobily na čase. [si s2 -- -±+vl.t \ - v2.t = -- -30 km, -30 km, viz obrázky 10,11] Tyč AB délky / se opírá svými konci o podlahu a o stěnu. Najděte závislost souřadnice y konce tyče B na čase t při pohybu konce tyče A s konstantní rychlostí v ve směru zakresleném na obrázku 3, jestliže na počátku měl konec A souřadnici x0. [y x0 + v.t.] 7. Dva vlaky jedou proti sobě rychlostmi v\ = 36km.h_1 a v2 = 54km.h~1. Cestující v prvním vlaku pozoruje, že druhý vlak přejíždí kolem něho po dobu t = 6 s. Jaká je délka druhého vlaku? [/ = (vi + v2).t = 150 m.] 8. * Motorová loď, která má délku / = 300 m, se pohybuje v přímém kurzu v klidné vodě rychlostí v\. Člun, mající rychlost v2 = 90 km.h-1, projede vzdálenost od zádi pohybující se motorové lodi k její přídi a zpět za čas t = 37,5 s. Určete rychlost vx motorové lodi. ,- [vi = Jv2 (v2 - f) = 15IT1.S-1] 2 sociální - -;- MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, fond v CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 3: 9. Nákladní vlak délky li = 630 m a expres délky l2 = 120 m jedou současně po dvou paralelních kolejích ve stejném směru rychlostmi vi = 48,6 km.h-1 a v2 = 102,6 km.h-1. Za jak dlouho předjede expres nákladní vlak? [t = 10. Plavec přeplavává řeku, mající šířku h. Pod jakým úhlem a ke směru proudu musí plavat, aby přeplaval na protější břeh v co nejkratším čase? Kde v tomto případě vyjde z řeky a jakou dráhu s přeplave, jestliže je rychlost proudění řeky u a rychlost plavce vůči vodě v? 50 s] [s ^vV v2.] 11. ** Koráb pluje na západ rychlostí v. Je známo, že vítr duje z jihozápadu. Rychlost větru, naměřená na palubě korábu, je rovna u0. Najděte rychlost větru m vůči zemi. [u = -^ + ^J 12. Těleso mající počáteční rychlost v0 = 2 m.s-1 se pohybovalo po dobu t\ = 3 s rovnoměrně, po dobu t2 = 2 s se zrychlením a2 = 2m.s~2, po dobu Í3 = 5 s se zrychlením a3 = lm.s~2, po dobu í4 = 2 s se zrychlením a4 = — 3m.s~2 a po čas £5 = 2 s rovnoměrně rychlostí, kterou získal na konci intervalu 14. Najděte koncovou rychlost v, uraženou dráhu s a průměrnou rychlost vp na této dráze. Un Úlohu řešte analyticky i graficky. [t) = 5m.s 1, s=82,5m, vp = 5, 9 m.s 1, obrázek 12] 13. * Svítilna umístěná ve vzdálenosti R0 = 3 m od svislé stěny vrhá na tuto stěnu od svislé stěny vrhá na tuto stěnu úzkou štěrbinou ve svém obalu proužek světla. Svítilna se rovnoměrně otáčí kolem své osy a počet obrátek za 1 s je n = 0.5 s-1. Při otáčení svítilny běží proužek světla po stěně po horizontální přímce. Máme zjistit rychlost proužku světla v čase t = 0,1 s od toho okamžiku, kdy byl světelný paprsek kolmý na stěnu. [v = lim Aí- As _ -Rq27to >0 Aí — cos2 2-Knt lO^m.s-1.] 3 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ 14. * Pozorovatel stojící v okamžiku rozjezdu elektrického vlaku u jeho začátku zaznamenal, že první vagón projel mimo něj za dobu r = 4 s. Kolik sekund se bude kolem něj pohybovat n-tý (sedmý) vagon? Považujte pohyb za rovnoměrně zrychlený. [rn = ri(y/ň — \/n — 1) n = 7 : r7 = 0, 8 s.] 15. Je známo, že bod za 10 s urazil dráhu s = 30 m, přičemž se jeho rychlost zvětšila pětkrát. Máme určit zrychlení pohybu, je-li toto zrychlení konstantní. [a = U fel = 0,4m.s-2] L t£ [n+lj ' 1 16. -k Jakou rychlostí a jakým směrem musí letět letadlo, aby za 1 h uletělo přesně na sever dráhu s = 200 km, fouká-li během letu vítr od severovýchodu pod úhlem a = 35° k poledníku rychlostí v\ = 30 km.h-1? [vL = J í|)2 + v\ + 1vx f cos a = 225 m.s-1, sin/3 = ^sina = 0.076 ] 17. Dva ostrovy A a B leží uprostřed řeky ve vzdálenosti s = 0,5 km od sebe ve směru proudu, jehož rychlost je v\ = 2, 5km.h_1. Na břehu proti A ve směru, který je kolmý na směr proudu, je přístav ve vzdálenosti s = 0,5 km od A. Veslař pluje na loďce jednou z ostrova A na ostrov B a zpět, po druhé z ostrova A k přístavu a zpět. Rychlost loďky v klidné vodě jest v2. (a) Za jaké podmínky může veslař vykonat první cestu? [v2 > v{[ (b) Za jaké podmínky může přeplout z ostrova A k přístavu po přímé dráze? [v2 > v{[ (c) Jaký kurz musí udržovat v předešlém případě, je-li v2 = 5 km.h_1?[sin a = ^, a = 60°] (d) * Může vykonat obě cesty (od A k B a zpět a od A k přístavu a zpět) za stejnou dobu? [cesta ABA trvá vždy delší čas] (e) * Při jaké rychlosti v2 trvá první cesta dvakrát tak dlouho jako druhá? N = 7fe«i = 2,9km.h-1] 18. * Bílý kruh s černou výsečí (viz obrázek 4) (středový úhel a = 40°) otáčí se kolem osy, která jde středem kruhu a kolmo k jeho rovině. (a) Počet obrátek je n = 1500 za minutu. Co budeme pozorovat na kruhu, budeme-li ho v temné místnosti osvětlovat světelnými záblesky, kterých je 100 za 1 s a z nichž každý trvá 0,003 s? (Neonka připojená k střídavému napětí.) Uvažte, že rovina osvětlovaná světlem, které bliká jasněji než lOkrát za sekundu, zdá se tím jasnější, čím delší jsou časové intervaly, během kterých je osvětlována. [4 černé kruhové výseče o vrcholovém úhlu 67°.] (b) Řešte tento úkol při n = 1470 obrátkách za minutu. [výseče ubíhají vzad proti směru otáčení disku, a to o 0,5 obrátek za sekundu.] 4 sociální ~ -;- MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OPVzdělávání fond V CR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Obrázek 4: 19. Těleso se začíná otáčet s konstantním úhlovým zrychlením e = 0,04s~2. Za jak dlouho od začátku otáčení bude celkové zrychlení libovolného bodu tělesa svírat se směrem rychlosti téhož bodu úhel a = 76°? [t = = 10 s] 20. Jaký je vztah mezi rychlostí pohybu středu valící se kuličky o poloměru r a mezi její úhlovou rychlostí u, valí-li se kulička bez klouzání po dvou rovnoběžných kolejničkách, mezi kterými je vzdálenosti d (viz obrázek 5). [v = uj.yr2 — ^-] 21. * Koule o poloměru r = 16 cm navlečená na vodorovnou osu se valí po vodorovné rovině rychlostí v = 60cm.s_1. Opisuje při tom kružnici o poloměru R = 30 cm (viz 6). Vypočítejte celkovou úhlovou rychlost koule a úhel, který svírá s vodo-rovnou rovinou! [uj = t)J^ + ^ = 4,25 s-1 ] 22. * Volně padající těleso urazilo posledních h\ = 20 m své dráhy za dobu r = 0, 5 s. Vypočtěte výšku h, ze které těleso padalo. [h = ^2hl^2 ^ = 901 23. Jakou rychlostí v0 je nutno hodit těleso svisle dolů s výšky h = 40 m, aby dopadlo (a) o r = 1 s dříve než při volném pádu? \vfí = 9T^Y^h 9li = 2,4 m.s 1 1 (b) o r = 1 s později než při volném pádu? r — 1 — -i i [ 1~ — 1 Sj 1)q — o; O 111. S .J 24. ^ Dvě tělesa jsou vržena z jednoho bodu kolmo vzhůru se stejnou počáteční rychlostí v0 = 24, 5 m.s-1, v časovém intervalu r = 0, 5 s po sobě. (a) Za jakou dobu od okamžiku, kdy bylo vrženo druhé těleso, a v jaké výšce h se tělesa srazí? [ t = = 2, 25 s, h = vfg - ^ = 30,3 m ] (b) Jaký je fyzikální smysl řešení, je-li r > ^? 5 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 5: -4-► d 25. ** Na obrázku 7 je znázorněn pokus sloužící k ilustraci druhého pohybového zákona. Z nádobky A postavené na pohybujícím se vozíčku B odkapávají ve stejných časových intervalech kapky. Stopy kapek CCC jsou vzdáleny jedna od druhé tak, že intervaly mezi nimi tvoří aritmetickou řadu. To se považuje za důkaz toho, že se vozíček pohybuje rovnoměrně zrychleně. Máme si ověřit, zda je tento důkaz správný, uvážíme-li, že kapky padají v parabolických drahách. [ano, je-li doba mezi dopady kapek konstantní] 26. * Chlapec hází míč na stěnu, která je ve vzdálenosti 5 m od něho, rychlostí 16 m.s-1. V jakém směru je nutno hodit míč, aby nejvyšší bod jeho dráhy po odrazu byl právě nad hlavou chlapce? (Předpokládejte, že se míč odráží od stěny se stejnou rychlostí, s jakou dopadl, a že úhel odrazu je roven úhlu dopadu.) [ai = 25° a2 = 65°.] 27. Světový rekord ve vrhu diskem byl 53,1 m. (a) Jakou minimální rychlostí je nutno hodit disk, aby proletěl tuto vzdálenost, jestliže g = 9,815 m.s~2? Odpor vzduchuje možné zanedbat. Předpokládejme, že místo, ze kterého se disk hází, je ve stejné výši jako místo dopadu disku. ^o = V/5k = 22)83m.S-1] (b) Co by se stalo při stejné počáteční rychlosti a stejném úhlu vrhu na rovníku, kde g = 9,78 m.S-2? [/ = 53,3m] (c) Jaké údaje by měly být přidány k číslům, která udávají rekordy v hodu dis- 6 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ I kem, aby mohla být určena počáteční rychlost disku, která vlastně charakterizuje výkon sportovce? 28. Ze stříkačky stříká proud vody pod úhlem a = 32° k horizontální rovině a dopadá ve vzdálenosti s = 12 m od stříkačky Plocha otvoru stříkačky je S = 1 cm2. Kolik vody vystříká stříkačka za r = 1 min? [V = Sr^J^^ = 691.] 29. * Kámen byl vržen na cíl. Jednou svírala jeho počáteční rychlost s horizontální rovinou velký úhel (horní skupina úhlů), po druhé malý úhel (dolní skupina úhlů). Počáteční rychlost byla v obou případech stejná. Jaké musí být elevační úhly v prvním a druhém případě, aby doba, za kterou doletí kámen v prvním případě na cíl, byla n = 2 krát větší než v případě druhém? [siná! = n sina2, sina2 = a2 = 26°34', ol\ = 63°26'. ] 7 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ 30. Kámen byl hozen z výšky h = 2,1 m nad povrchem Země pod elevačním úhlem a = 45° a dopadl na Zemi ve vzdálenosti s = 42 m od místa, ze kterého byl hozen. Jakou rychlostí byl kámen vržen, jak dlouho letěl a jaké největší výše dosáhl? [Vq = -2— /Zfc:= 19 8IT1.S-1, L u 2 cos a V s.tga+A ' ' h = (Ih+s.tga)2 = 19 1m Umax 40+s.tga) ±Zl' 1 m> 2(fe+s.tga) 3s.] 31. ** Pružná kulička dopadne na šikmou rovinu z výšky /i = 20 cm. V jaké vzdálenosti od místa dopadu opět dopadne na nakloněnou rovinu? Uhel, který svírá nakloněná rovina s rovinou horizontální, je a = 37°. [/ = 8h sin a = 96 cm.] 32. * Kámen byl hozen rychlostí v0 = 20 m.s-1 pod elevačním úhlem a = 60°. Určete poloměr křivosti R jeho trajektorie (a) v kulminačním bodě (b) v okamžiku dopadu na zem. Nápověda: rovnice trajektorie šikmého vrhu vyjádřete parametricky v závislosti na čase, křivost se počítá jako R x y x y (x2 + ŕ? 2 2 [R1 = ^^L = 10,2 m,] [R2 = —^— = 82m.] L ^ g cos a 1 33. -k Několik nakloněných rovin (ai, a2, • • •) rná stejný průmět b = 30 cm do roviny vodorovné (viz 8). (a) Jaký musí být úhel a sklonu roviny, aby doba klouzání předmětu po ní byla rovna t = 0,4s? (Tření je zanebatelné!) [sin 2a = -^,a1= 24°58' a a2 = 65°2'] (b) Při jakém úhlu a je doba klouzání nejmenší? [a2 = 45°] 34. Dokažte poučku: Jestliže z nějakého bodu A začne současně klouzat ve žlábcích položených různými směry pod vlivem tíže několik kuliček, potom v libovolném okamžiku pohybu jsou všechny na povrchu jedné a téže koule. (Odpor vzduchu a tření zanedbejte). 8 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 8: b Literatura a prameny k dalšímu procvičování [1] Kolářová Růžena, Sálach S., Plazak T., Sanok S., Pralovszký, B.,500 testových úloh z fyziky pro studenty středních škol a uchazeče o studium na vysokých školách. Prométheus, Praha 2004, 2.vydání. [2] Široká Miroslava, Bednařík Milan, Ordelt Svatopluk Testy ze středoškolské fyziky. Prométheus, Praha 2004, 2. vydání [3] Lepil Oldřich, Široká Miroslava Sbírka testových úloh k maturitě z fyziky. Prométheus, Praha 2001,1. vydání [4] Ostrý Metoděj, Fysika v úlohách 516 rozřešených příkladů, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1958 [5] TypBeB JI. T., KopTHeB A. B., Kyu,eHKo A. H., JlaTBeB B. B., MiiHKOBa C. E., IlpoTononoB P. B., PyÔJieB K). B., TniijeHKO B. B., IIIeneTypa M. H., CôopnuK 3adaH no o6cw,eMy nypcy KeHu,eB B. B., MaKHnieB T.JL, 3adanu no (pumne ôjičt nocmynawv^ux e ey3u, HayKa, MocKBa 1987 9 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ Obrázek 9: [9] Koubek Václav, Lepil Oldřich, Pišút Ján, Rakovská Mária, Široký Jaromír, Tomanová Eva, Sbírka úloh z fyziky 11.díl pro gymnázia, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1989 [10] Ungermann Zdeněk, Simerský Mojmír, Kluvanec Daniel, Volf Ivo, 27. ročník Fyzikální olympiády brožura, Státní pedagogické nakladatelství, Praha 1991 [11] Klepl Václav, Elektrotechnika v příkladech, Práce, Praha 1962 [12] Říman Evžen, Slavík Josef B., Šoler Kliment, Fyzika s příklady a úlohami, příručka pro přípravu na vysokou školu, Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1966 [13] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy I, Prométheus, Praha 2007 [14] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy II, Prométheus, Praha 2008 [15] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy III, Prométheus, Praha 2008 [16] Bartuška Karel, Sbírka řešených úloh z fyziky pro střední školy IV, Prométheus, Praha 2008 [17] vlastní tvorba 10 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ 11 evropský sociální fond v ČR EVROPSKÁ UNIE MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, mládeže a tělovýchovy 8 t OP Vzděláváni pro konkurenceschopnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDELÁVANÍ 12