Ideály okruhu (R, +, ·)
Definice. Nechť R je okruh. Podmnožina I ⊆ R se nazývá ideál
okruhu R, jestliže
I = ∅;
∀a, b ∈ I : a + b ∈ I;
∀a ∈ I ∀r ∈ R : a · r, r · a ∈ I.
Poznámka. Pro libovolný okruh R tvoří {0} i R ideály okruhu R.
Evidentně jde o nejmenší a největší ideál okruhu R.
Věta 1. Nechť I ⊆ R je ideál okruhu R, pak
I je podgrupa grupy (R, +);
1 ∈ I, právě když I = R.
Ideál generovaný množinou
Věta 2. Nechť S = ∅ je libovolná množina taková, že pro každé
s ∈ S je dán ideál Is okruhu R. Pak s∈S Is je ideál okruhu R.
Důsledek. Nechť R je okruh. Systém všech ideálů okruhu R
uspořádaný inkluzí je úplný svaz.
Definice. Nechť R je okruh. Předchozí věta nám umožňuje
definovat ideál okruhu R generovaný množinou M ⊆ R jako průnik
všech ideálů tuto množinu obsahujících. Je to tedy nejmenší ideál
okruhu R obsahující M, značíme jej (M). Je-li M = {a1, . . . , an},
píšeme místo (M) také (a1, . . . , an).
Věta 3. Nechť R je komutativní okruh, a1, . . . , an ∈ R. Pak
(a1, . . . , an) = {r1a1 + · · · + rnan; r1, . . . , rn ∈ R}.
Definice. Nechť R je komutativní okruh, a ∈ R. Ideál
(a) = {ra; r ∈ R} nazýváme hlavní ideál okruhu R generovaný
prvkem a.
Dělitelnost v komutativním okruhu a ideály
Věta 4. Nechť R je komutativní okruh, a, b, c ∈ R.
1. (a) = {x ∈ R; a | x};
2. (a) ⊆ (b), právě když b | a;
3. (a) = (b), právě když a ∼ b;
4. (a) = R, právě když a ∈ R×;
5. (a) ∩ (b) = (c), právě když c je nejmenší společný násobek
prvků a, b;
6. (a, b) = (c), právě když c je největší společný dělitel prvků a, b
a současně je c ve tvaru c = ra + sb pro vhodné r, s ∈ R.
Definice. Okruh R se nazývá okruh hlavních ideálů, jestliže
R je obor integrity;
každý ideál okruhu R je hlavní.
Příklad. Okruh Z je okruh hlavních ideálů. Každé těleso je okruh
hlavních ideálů. Okruh zbytkových tříd Zm je okruh hlavních
ideálů, právě když je m prvočíslo.
Věta 5. Nechť R je netriviální komutativní okruh. Pak R je těleso,
právě když R a {0} jsou jediné ideály okruhu R.
Věta 6. Nechť R je těleso. Pak každý ideál okruhu polynomů R[x]
je hlavní.
Důsledek. Nechť R je těleso. Pak okruh polynomů R[x] je okruh
hlavních ideálů.
Příklad. Okruh Z[x] není okruh hlavních ideálů, neboť například
ideál (x, 2) není hlavní.
Věta 7. Nechť f : R → S je homomorfismus okruhů. Pak platí:
1. je-li J ideál okruhu S, pak f −1(J) = {x ∈ R; f (x) ∈ J} je
ideál okruhu R;
2. jestliže f je surjektivní a I je ideál okruhu R, pak
f (I) = {f (x); x ∈ I} je ideál okruhu S.
Důsledek. Jádro libovolného homomorfismu okruhů f : R → S je
ideál okruhu R, vždyť ker f = f −1({0}).