Domácí úloha z 13. října 2016 (odevzdává se 20. října 2016)
1. Nechť B je množina všech posloupností, jejichž všechny prvky leží v množině {0,1}, uspořádaná obvyklým způsobem, tj. pro libovolné posloupnosti (in)~ 1( (yn)^Li £ B platí
(Snadno si rozmyslíte, že (B,<) je svaz izomorfní se svazem všech podmnožin množiny N, je to tedy Booleova algebra.)
Nechť P je podmnožina všech posloupností z B, které jsou periodické. Dokažte, že (P, <) je spočetná Booleova algebra, která nemá žádný atom.
(Platí dokonce, že až na izomorfismus je to jediná bezatomární spočetná Booleova algebra, to však dokazovat nemusíte.)
2. Nechť J, J jsou ideály komutativního okruhu R. Označme S množinu všech součinů prvků ideálu I s prvky ideálu J, tj.
(a) Dokažte, že je-li alespoň jeden z ideálů J, J hlavní, pak S je ideálem okruhu R.
(b) Nalezněte příklad ukazující, že S vždy být ideálem okruhu R ne-
S = {a ■ b; a E I, b E
J}.
musí.
1