Domácí úloha z 10. listopadu 2016 (odevzdává se 24. listopadu 2016)
1. Nalezněte rozkladové těleso K polynomu / = x6 — 6 G Q[x] nad Q a určete stupeň [K : Q].
2. Nalezněte rozkladové těleso F polynomu / = x5 + x + 1 G Z2[x] nad Z2 a určete stupeň [F : 1*2].
3. Polynom f = x4 + ax3 + 6x2 + ex + d G C [x] má kořeny cti, a2, a3, «4 (každý kořen je zde uveden tolikrát, kolik je jeho násobnost). Nalezněte normovaný kubický polynom g(x) = x3 + Ax2 + B x + C mající kořeny
Ä = («1 + «2)(a3 + "4),
(32 = («1 + a3)(a2 + a4), Ä = ("i + «4) («2 + «3), tj. vyjádřete koeficienty A, B, C pomocí koeficientů a, b, c, d.
Poznámky k zadání:
U prvních dvou úloh nezapomeňte zdůvodnit, proč je nalezené těleso skutečně hledané rozkladové těleso a proč je stupeň takový, jaký tvrdíte.
Postup popsaný ve třetí úloze umožňuje řešit polynomiální rovnice 4. stupně, umíme-li řešit polynomiální rovnice 3. stupně (na což máme Carda-novy vzorce). Substitucí y = x + | převedeme daný polynom do tvaru, kdy je koeficient u y3 nulový. Bez újmy na obecnosti tedy lze předpokládat, že pro daný polynom / platí a = 0. Pak kořeny vzniklého kubického polynomu g(x) = x3 + Ax2 + Bx + C splňují
Ä = («i + oe2)(a3 + «4) = —(«i + oí2)2, (52 = («i + a3)(a2 + a4) = -(«i + a3)2,
Ä = («1 + «4) («2 + «3) = — («i + QÍ4)2, neboť «! + a2 + «3 + a4 = 0. Vypočteme-li     (32, (33, dostaneme
«1 -	1- a2	
«1 -	\~ «3	= ±v/-&:
Cti "	1- «4	= ±V-P3:
odkud snadno dopočítáme všechny kořeny původního polynomu /, například
2ai = (a1 + a2) + (a1 + a3) + (a1 + a4), 2a2 = («1 + a2) — («1 +a3) — («1 + a4) atd.]
1