Domácí úkol ze čtvrtého cvičení
Příklad 4. Skripta, příklad 31 na straně 122. Nalezněte parametrické i neparametrické
vyjádření součtu a průniku podprostorů B1, B2, kde:
• B1 : X = A + t1u1 + t2u2 = [2, 1, 4, 0, 0] + t1(1, 0, 1, 1, 0) + t2(0, −1, −1, 2, 1);
• B2 : X = B + s1v1 + s2v2 + s3v3 = [3, 0, 1, 3, 2] + s1(1, 1, 0, 0, 1) + s2(1, −1, 0, 3, 1) +
+ s3(1, 0, −2, 1, 1).
Řešení. Algoritmem předvedeným na cvičení:
1. Převést vyjádření obou podprostorů na parametrické. Zřejmě splněno.
2. Upravíme na schodovitý tvar matici, která je složená z vektorů obou zaměření
a z vektoru, jehož počáteční bod leží v jednom podprostoru a koncový
ve druhém. Sestavíme tuto matici a dále řešíme. Podle doporučení dáváme
podprostor s větší dimenzí jako první.








1 1 0 0 1
1 −1 0 3 1
1 0 −2 1 1
1 0 1 1 0
0 −1 −1 2 1
1 −1 −3 3 2








∼ · · · ∼








1 1 0 0 1
0 −2 0 3 0
0 0 −2 −1
2
0
0 0 0 −3
4
−1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0








3. Vyjádříme parametricky součet a průnik. Pro vyjádření součtu stačí vzít libovolný
bod libovolného z obou podprostorů, zaměření součtu tvoří vektory z nenulových
řádků upravené matice výše (nebo jejich libovolný nenulový násobek). Tedy
B1+B2 = [2, 1, 4, 0, 0]+p1(1, 1, 0, 0, 1)+p2(0, −2, 0, 3, 0)+p3(0, 0, 4, 1, 0)+p4(0, 0, 0, 3, 4).
Pro vyjádření průniku postupujeme takto: protože body v průniku leží jak v B1, tak
současně v B2, obě parametrická vyjádření můžeme porovnat. Dále vektory převedeme
na jednu a body na druhou stranu („odečtením bodů“ získáme vektor).
[2, 1, 4, 0, 0] + t1u1 + t2u2 = [3, 0, 1, 3, 2] + s1v1 + s2v2 + s3v3
t1u1 + t2u2 − s1v1 − s2v2 − s3v3 = (1, −1, −3, 3, 2)
Toto je ovšem soustava pěti rovnic o pěti neznámých, kterou řešíme.






1 0 −1 −1 −1 1
0 −1 −1 1 0 −1
1 −1 0 0 2 −3
1 2 0 −3 −1 3
0 1 −1 −1 −1 2






=⇒
t1 = u
t2 = 1 + u
s1 = 0
s2 = u
s3 = −1
Upozornění: výsledek není parametrické vyjádření průniku! Abychom dostali
parametrické vyjádření, musíme dosadit řešení do některého z vyjádření B1, B2
(uděláme to pro B1).
[2, 1, 4, 0, 0] + u(1, 0, 1, 1, 0) + (1 + u)(0, −1, −1, 2, 1) = [2 + u, −u, 3, 2 + 3u, 1 + u]
B1 ∩ B2 : X = [2, 0, 3, 2, 1] + u(1, −1, 0, 3, 1)
4. Vyjádříme neparametricky součet a průnik. Převedeme obě dvě získaná parametrická
vyjádření podle postupu z minulého domácího úkolu.
+ :




1 1 0 0 1
0 −2 0 3 0
0 0 4 1 0
0 0 0 3 4



 =⇒
a = 3t
b = −6t
c = t
d = −4t
e = 3t
=⇒ (a1, b1, c1, d1, e1) = (3, −6, 1, −4, 3)
: 1 −1 0 3 1 =⇒
a = t − 3v − w
b = t
c = u
d = v
e = w
=⇒
(a1, b1, c1, d1, e1) = (1, 1, 0, 0, 0)
(a2, b2, c2, d2, e2) = (0, 0, 1, 0, 0)
(a3, b3, c3, d3, e3) = (3, 0, 0, −1, 0)
(a4, b4, c4, d4, e4) = (1, 0, 0, 0, −1)
Z výsledků sestavíme odpovídající soustavy:
B1 + B2 : 3x1 − 6x2 + x3 − 4x4 + 3x5 + f1 = 0
B1 ∩ B2 : x1 + x2 + f2 = 0
+ x3 + f3 = 0
3x1 − x4 + f4 = 0
x1 − x5 + f5 = 0
Zbývá dopočítat absolutní členy rovnic f1, f2, f3, f4, f5 – f1 zjistíme např. dosazením
bodu [2, 1, 4, 0, 0] (leží v součtu), zbylé členy např. dosazením bodu [2, 0, 3, 2, 1].
Výsledná neparametrická vyjádření jsou tedy:
B1 + B2 : 3x1 − 6x2 + x3 − 4x4 + 3x5 − 4 = 0
B1 ∩ B2 : x1 + x2 − 2 = 0
+ x3 − 3 = 0
3x1 − x4 − 4 = 0
x1 − x5 − 1 = 0