OBSAH 1
Obsah
I Jak pracovat s MATLABem 1
Úvod 2
1 Začínáme s MATLABem 3
1.1 Popis prostředí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Základní ovládání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Nápověda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Jednoduché výpočty, proměnné a matice 10
2.1 MATLAB jako kalkulátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Proměnné, matice a jejich definování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Funkce pro tvorbu matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Některé speciální výrazy a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Obecná pravidla pro příkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Maticové operace 21
3.1 Transpozice matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Sčítání a odčítání matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Maticové násobení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Maticové dělení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Umocňování matic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Operace po složkách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Logické operace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 Smíšené operace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Manipulace s maticemi 30
4.1 Základní manipulace s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Změna struktury matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Základní funkce lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Další funkce pro manipulaci s maticemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Logické operace 42
5.1 Relační operátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Logické operátory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Logické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Funkce find() a exist() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 Textové řetězce 49
6.1 Vytváření řetězců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Základní manipulace s řetězci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Funkce pro manipulaci s řetězci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Funkce eval a feval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7 Vyhodnocování výrazů 56
7.1 Výraz jako textový řetězec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Symbolický výraz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3 Výraz jako INLINE funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.4 Polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Práce se soubory 63
8.1 Záznam práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.2 Ukládání a načítání proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3 Soubory v systému MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.4 Cesta k souborům . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.5 Další příkazy pro práci se soubory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9 Práce s grafikou 68
9.1 Funkce plot() a její použití . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.2 Vzhled grafu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.3 3D grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.4 Vlastnosti grafických objektů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10 Programování v MATLABu 83
10.1 Dávkové soubory (skripty) a funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.2 Lokální a globální proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.3 Základní programové struktury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.3.1 Větvení programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.3.2 Cykly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.4 Nástrahy při programování v MATLABu . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.5 Ladění programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Seznam použité literatury 95
1
Část I
Jak pracovat s MATLABem
ÚVOD 2
Úvod
MATLAB (z anglického MATrix LABoratory) je interaktivní programovací prostředí a
skriptovací programovací jazyk pro operační systémy Windows, Linux i MacOS. Jedná
se o systém vhodný pro vědecké a inženýrské výpočty, modelování, simulace, analýzu
a vizualizaci dat, vývoj algoritmů a aplikací včetně tvorby grafického uživatelského
rozhraní. Velké uplatnění má zejména v technických oborech a ekonomii. Možnosti
MATLABu rozšiřují knihovny funkcí, tzv. toolboxy, soubory M-funkcí zaměřené na
specifické účely (statistika, optimalizace, symbolické výpočty, neuronové sítě, zpracování
signálů a obrazu, apod.).
Autor MATLABu, firma The MathWorks, Inc. (http://www.mathworks.com/), stejně
jako její zástupce pro Českou republiku a Slovensko, firma HUMUSOFT (http://www.
humusoft.cz/), poskytují svému prostředí značnou podporu. Uživatelé na výše zmíněných
webových stránkách mohou získat informace o instalaci, nových produktech
a rozšířeních, nabízí kurzy, školení apod. Licenční a instalační soubory jsou pro studenty
a zaměstnance Masarykovy univerzity k dispozici na Intranetovém serveru MU.
K systému MATLAB existují i volně šiřitelné alternativy jako Octave (www.octave.
org), Scilab (www.scilab.org) nebo FreeMat (http://freemat.sourceforge.net/),
ty ovšem nedosahují takové kvality jako MATLAB.
Tento studijní text je určen především pro studenty předmětů ”M4130 a M4130c Výpočetní
matematické systémy”, předpokládá pouze základní znalosti lineární algebry,
práce na počítači a základy programování. Cílem textu je seznámit studenty se syntaxí
MATLABu, maticí jako základním stavebním prvkem tohoto prostředí a maticovým
uvažováním, závěr textu je věnován grafickému zobrazení dat a tvorbě vlastních skriptů
a funkcí. Text je doplněn o množství jak demonstračních příkladů usnadňující pochopení
příkazů, tak příkladů určených pro samostatné řešení.
Návod je psán pro verzi MATLABu 8.3. Přestože MATLAB pracuje od verze 6 s okenní
strukturou, příkazová řádka i nadále zůstává základním komunikačním prostředkem a
většina příkazů by měla být funkční i ve verzích nižších.
Jan Koláček, Kateřina Konečná
KAPITOLA 1. ZAČÍNÁME S MATLABEM 3
Kapitola 1
Začínáme s MATLABem
Základní informace
Novější verze MATLABu pracují s tzv. okenní strukturou. Jedná se o interaktivní prostředí,
ve kterém má velká část příkazů pro manipulaci a základní ovládání také své
ekvivalenty v podobě klikacích ikonek. V této kapitole se nejdříve naučíme v tomto
prostředí orientovat – popíšeme jednotlivá okna, ze kterých se prostředí skládá, uvedeme
jejich funkce a možnosti. Dále se zaměříme na základní syntaxi jazyka, nakonec
se seznámíme s nápovědním systémem a všemi jeho možnostmi.
Výstupy z výuky
Studenti
• se seznámí s okenní strukturou MATLABu a jejích využitím
• umí využít příkazové řádky
• ovládají základní syntaxi jazyka
• umí využívat nápovědního systému
1.1 Popis prostředí
Spouštění MATLABu je závislé na použitém operačním systému. V Linuxu zpravidla
MATLAB spouštíme zadáním příkazu matlab v příkazové řádce, ve Windows spouštíme
kliknutím na příslušnou ikonu nebo program najdeme v menu. Dřívější verze
MATLABu pracovaly výhradně s příkazovou řádkou, od verze MATLAB 6 pracují
s okenní strukturou, která je uživatelsky přívětivější (Obr. 1.1).
KAPITOLA 1. ZAČÍNÁME S MATLABEM
Základem grafického rozhraní MATLABu je Command Window (příkazové okno), dále
Current folder (okno pro správu aktuální složky), Workspace (pracovní prostor) a Command
history (okno historie příkazů). Jednotlivá okna lze uspořádat podle vlastního
uvážení.
• Command window je tvořen příkazovým řádkem sloužícím ke spouštění jednotlivých
příkazů, skriptů či funkcí a zobrazování jejich výstupů
• Current folder obsahuje informace o souborech v aktuální složce, lze měnit obsah
adresáře, spouštět funkce
• Workspace obsahuje informace o všech definovaných proměnných (rozměr, typ,
velikost v paměti), poklikáním na jejich název lze v editoru polí (Editor) zobrazit
jejich obsah
• Command history je tvořen seznamem dříve použitých příkazů nejen od posledního
spuštění, příkazy lze poklikáním přenést do příkazové řádky a znovu spustit
nebo kliknutím pravým tlačítkem myši vybrat některou z položek kontextového
menu
Obrázek 1.1: Okenní struktura MATLABu.
V horní části hlavní pracovní plochy v nástrojové liště se nachází ikony pro nastavení
a manipulaci s proměnnými, kódy a okny (Obr. 1.2).
4
KAPITOLA 1. ZAČÍNÁME S MATLABEM
Obrázek 1.2: Nástrojová lišta s ikonami.
Záložka Home usnadňuje práci se soubory (skupina ikon File), obsahuje ikonky pro
pohodlné otvírání již existujících souborů, vytváření nových souborů a jejich ukládání,
import dat (Import Data), správu proměnných (skupina ikon Variable), dále ikonky
vlastního uspořádání okenní struktury (Layout), nastavení vlastností (Preferences) či
cesty k adresářům (Set Path).
Záložka Plots umožňuje grafické znázornění zvolených proměnných, záložka Apps obsahuje
klikací prostředí pro prokládání křivek daty, optimalizaci, analýzu signálu apod.
V případech, kdy je kód upravován (otevřen v okně Editor), se zobrazí další tři nové
záložky: Editor, Publish a View. Tyto záložky obsahují funkce právě pro práci a úpravu
kódu. Záložka Editor usnadňuje práci s kódy. Skupina ikon File umožňuje otevírání a
ukládání existujících kódů, tvorbu nových kódů, prohledávání a porovnávání souborů.
Skupina Edit obsahuje ikony pro vkládání předdefinovaných funkcí a komentářů, odsazování
textu, skupina Navigate obsahuje ikony pro pohyb v souboru, Breakpoints ikony
pro práci s ’breakpoints’ a Run ikony pro spouštění kódu.
Záložka Publish obsahuje ikony pro grafickou úpravu kódu a View ikony pro členění
okna editoru a vlastního kódu.
1.2 Základní ovládání
Jak již bylo řečeno v odstavci výše, MATLAB spustíme příkazem matlab v příkazové
řádce nebo poklikáním na odpovídající ikonu. Program se ukončuje příkazem exit
nebo zavřením okna, v němž program běží.
Po spuštění programu prostředí dominuje Command window s příkazovou řádkou, do
které jsou zadávány veškeré příkazy. Příkazy je možné zadávat, pokud je aktivní prompt
>> na začátku řádku, příkazy spouštíme klávesou ENTER. Po spuštění příkazu se na
následujících řádcích objevují výstupy.
>> 3 + 5 příkaz s výpisem výstupní hodnoty, výstup je dočasně uchován v proměnné
ans. Při spuštění dalšího příkazu, jehož výstup není přiřazen do žádné proměnné, je
hodnota proměnné ans přepsána aktuální hodnotou
ans =
8
Přiřazení příkazu do proměnné se realizuje promocí =, obsah této proměnné může být
kdykoliv zobrazen zadáním názvu proměnné do příkazové řádky. Při zadávání názvů
proměnným bychom měli dodržovat určitá pravidla:
5
KAPITOLA 1. ZAČÍNÁME S MATLABEM
• názvy proměnných se mohou skládat z písmen (a–z, A–Z), číslic (0–9) a podtržítka,
žádné jiné symboly nejsou povoleny
• proměnné musí začínat písmenem
• proměnné mohou mít až 31 znaků
• rozlišují se malá a velká písmena (case sensitive)
• pro desetinnou čárku se používá desetinná tečka
• měli bychom se vyvarovat používání názvů vestavěných funkcí a proměnných
>> a = -2.3 přiřazení hodnoty do proměnné a
a =
-2.3
>> A MATLAB je case sensitive, proměnná A nebyla definována. Chybová hlášení
jsou zvýrazňována červenou barvou. Současně je na výstupu nabídnuta možná alternativa
(a), a to pouze v případě, kdy je definována proměnná podobného názvu
Undefined function or variable ’A’.
Did you mean:
>> a
Vložíme-li za příkaz středník (;), zamezíme vypisování výstupu na obrazovku. Na jeden
řádek je možné zadávat i více příkazů, pak je oddělujeme čárkou nebo středníkem.
Pokud chceme příkaz rozdělit na více řádků, můžeme použít tři tečky (...) jako pokračovací
znaky.
>> a1 = 7; příkaz s potlačením výpisu výstupu
>> a1 zobrazení proměnné a1
a1 =
7
>> a2 = ... příkaz na více řádků
0.025
a2 =
0.025
>> a3 = (2-4)*7, a4 = a2 více příkazů na řádku s výpisem výstupů
a3 =
-14
a4 =
0.025
Provedené příkazy nelze upravit přímo, úprava je možná jen editací v dalším příkazu.
K listování v historii příkazů slouží klávesy ↑ a ↓ . Klávesy → a ← slouží k pohybu
kurzoru v aktuální příkazové řádce. Při použití části příkazu následovaného klávesou
6
KAPITOLA 1. ZAČÍNÁME S MATLABEM
↑ budou nabízeny především příkazy se shodným začátkem.
Pro přerušení výpočtu prováděného příkazu lze použít klávesovou zkratku CTRL+C,
smazání příkazového řádku se provádí klávesou ESC.
Symbol % se používá jako komentář, veškerý text za tímto znakem není vyhodnocován.
>> % b = 15/4 komentář (zobrazuje se zeleně)
>> a ↑ doplní příkaz posledním definovaným příkazem začínajícím výrazem a, v našem
případě a3 = (2-4)*7, a4 = a2
1.3 Nápověda
Velmi důležitou součástí softwaru MATLAB je nápovědní systém, který obsahuje kompletní
dokumentaci k celým knihovnám funkcí.
Jedním ze základních příkazů pro vyvolání nápovědy je samostatný příkaz help, který
v Command Window zobrazuje všechny základní tématické oblasti spolu s cestou a
jednoduchým popisem.
>> help výpis části seznamu tématických oblastí
HELP topics:
Documents\MATLAB - (No table of contents file)
matlab\testframework - (No table of contents file)
matlab\demos - Examples.
matlab\graph2d - Two dimensional graphs.
matlab\graph3d - Three dimensional graphs.
matlab\graphics - Handle Graphics.
matlab\plottools - Graphical plot editing tools
...
Pro zobrazení seznamu funkcí s jednoduchým popisem pro konkrétní tématickou oblast
slouží příkaz help nazev tematicke oblasti.
>> help graph2d výpis části seznamu funkcí tématické oblasti graph2d
Two dimensional graphs.
Elementary X-Y graphs.
plot - Linear plot.
loglog - Log-log scale plot.
semilogx - Semi-log scale plot.
semilogy - Semi-log scale plot.
7
KAPITOLA 1. ZAČÍNÁME S MATLABEM
polar - Polar coordinate plot.
plotyy - Graphs with y tick labels on the left and right.
...
Pro zobrazení nápovědy konkrétní funkce slouží příkaz help nazev funkce. Nápověda
obsahuje název funkce, její základní popis, způsob použití, odkaz na hypertextovou
variantu nápovědy, funkce s touto funkcí související, popř. funkce stejného názvu obsažené
v jiných knihovnách.
>> help sin nápověda k funkci sin (sinus)
sin - Sine of argument in radians
This MATLAB function returns the sine of the elements of X.
Y = sin(X)
Reference page for sin
See also asin, asind, sind, sinh
Other functions named sin
fixedpoint/sin, symbolic/sin
Stejný způsob použití a výstupu jako funkce help má i funkce helpwin s jediným rozdílem
– zobrazení výstupu v samostatném okně. Práce s nápovědním systémem se tak
může stát pro uživatele přehlednější a pohodlnější.
Hypertextová nápověda zobrazuje mnohem podrobnější dokumentaci v samostatném
okně. Nápovědu můžeme vyvolat samostatným příkazem doc, který zobrazuje seznam
všech nainstalovaných toolboxů, postupným rozklikáváním jednotlivých témat se můžeme
dostat k nápovědě konkrétní funkce. K ní se můžeme dostat rovněž zadáním
příkazu doc nazev funkce. Nápověda obsahuje kromě detailnějšího popisu samotné
funkce také popis vstupních a výstupních parametrů, mnohdy obsahuje rozbalovací
menu (obsahující např. grafické znázornění, příklady použití apod.).
Hypertextová nápověda umožňuje vyhledávání v knihovnách (Refine by Product),
podle kategorie (Refine by Category) nebo podle typu (Refine by Type).
>> doc sin
Alternativou k příkazu doc je nápověda v menu Home → Resources → ikona otazníku
nebo Home → Resources → Help → Documentation nebo klávesová zkratka F1.
8
KAPITOLA 1. ZAČÍNÁME S MATLABEM
Příkazem demo vyvoláme tematicky rozlišený seznam demonstračních programů obsahující
příklady použití či návodná videa. Alternativou je vyvolání z menu Home →
Resources → Help → Examples.
Informace o aktuální verzi MATLABu a nainstalovaných knihovnách získáme použitím
příkazu ver.
Příklady k procvičení
1. Definujte následující proměnné:
• proměnnou k s hodnotou 5
• proměnnou l s hodnotou -8.3645
2. Spočítejte obsah S trojúhelníka, znáte-li délku strany a = 5 cm (proměnná a) a
výšku na stranu a va = 3 cm (proměnná va).
3. Zobrazte několika způsoby nápovědu k funkci pow2() a stručně ji popište.
Řešení.
1. k = 5, l = -8.3645
2. a = 5, va = 3, S = (a * va)/2
3. help pow2 nebo doc pow2 nebo záložka Home → Resources → Help → Documentation/klávesová
zkratka F1/ikona otazníku + do Search Documentation
napsat pow2. Příkaz pow2(n) spočítá 2n
.
9
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE 10
Kapitola 2
Jednoduché výpočty, proměnné a
matice
Základní informace
Systém MATLAB je využíván jako nástroj pro jednoduché matematické výpočty stejně
jako složitější maticové počty a algoritmy z nich vycházející. Za základní stavební
kámen systému lze považovat matici, v této kapitole se proto zaměříme především na
to, jak matice vytvářet, jak generovat posloupnosti či náhodné hodnoty. Na samotném
závěru kapitoly se seznámíme s některými speciálními výrazy a různými způsoby výpisu
hodnot.
Výstupy z výuky
Studenti
• jsou schopni systém používat jako inteligentní kalkulačku
• umí určit funkční hodnoty elementárních matematických funkcí
• dokáží definovat proměnné, vektory a matice
• umí vytvořit nulovou, jedničkovou a jednotkovou matici, umí generovat posloupnosti
a náhodné prvky
• dokáží vyjmenovat některé speciální výrazy, umí měnit způsob výpisu hodnot
• znají obecná pravidla pro definování příkazů, rozlišují vstupní a výstupní para-
metry
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE
2.1 MATLAB jako kalkulátor
V MATLABu lze provádět libovolné výpočty, které lze běžně počítat na kalkulačce.
Jednotlivé výrazy můžeme seskupovat pomocí běžných operátorů (+, –, *, /, ˆ), které
jsou podrobněji rozebrány v Kapitole Maticové operace. Priorita operátorů je řízena
umístěním kulatých závorek, ty zároveň slouží i pro argumenty vestavěných či vlastních
funkcí.
Mezi nejpoužívanější vestavěné funkce patří:
• goniometrické funkce a funkce k nim inverzní: sin(), cos(), tan(), cot(),
asin(), acos(), atan(), acot(),
• hyperbolické funkce a funkce k nim inverzní: sinh(), cosh(), tanh(), coth(),
asinh(), acosh(), atanh(), acoth(),
• exp() (exponenciální funkce), log() (přirozený logaritmus), log10() (dekadický
logaritmus), log2() (logaritmus se základem 2), pow2(n) (n-tá mocnina 2),
pow2(n, m) (n ∗ 2m
), sqrt() (2. odmocnina)
• abs() (absolutní hodnota)
MATLAB má ve své paměti zabudovány i některé konstanty: pi (Ludolfovo číslo), i,
j (imaginární jednotky), eps, realmin, realmax.
>> pi Ludolfovo číslo
ans =
3.1416
>> 3*(15.8+3^8) - sin(pi/12) + sqrt(4.8)
ans =
1.9732e+04 výstup značí hodnotu 1.9732 ∗ 104
>> abs(sin(3*pi/2))
ans =
1
Pro celočíselné zaokrouhlování se používají následující funkce:
round zaokrouhlení k nejbližšímu celému číslu
floor zaokrouhlení směrem k minus nekonečnu
ceil zaokrouhlení směrem k plus nekonečnu
fix zaokrouhlení směrem k nule
>> r = round(-3.46)
r =
-3
11
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE
>> fl = floor(-3.46)
fl =
-4
>> c = ceil(-3.46)
c =
-3
>> f = fix(-3.46)
f =
-3
Poznámka. Zaokrouhlování čísla 5: Kladné prvky s hodnotou 5 za desetinnou čárkou
jsou zaokrouhlovány směrem nahoru (k nejbližšímu většímu přirozenému číslu), záporné
prvky s hodnotou 5 za desetinnou čárkou jsou zaokrouhlovány směrem dolů
(k nejbližšímu menšímu celému číslu).
>> round(11.5)
ans =
12
>> round(-5.5)
ans =
-6
2.2 Proměnné, matice a jejich definování
Výstup jakékoliv operace může být uložen (pomocí znaku =) v proměnné, kterou lze
použít při dalších výpočtech. Pro připomenutí, název proměnné je libovolná posloupnost
písmen, číslic a znaku začínající písmenem.
>> x = 12*sin(pi/2)
x =
12
>> x8 = 8*x definování nové proměnné x8 pomocí proměnné x
x8 =
96
Proměnné mohou být číselnými hodnotami, vektory či maticemi. Numerické hodnoty,
resp. vektory jsou považovány za matice typu 1 x 1, resp. 1 x n či n x 1 (pro řádkový
či sloupcový vektor), kde n je délka vektoru. Matice můžeme definovat výčtem jejích
prvků v hranatých závorkách, přičemž jednotlivé prvky na řádku oddělujeme mezerou
nebo čárkou, jednotlivé řádky matice oddělujeme středníkem.
12
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE
>> u = [1 2 3 4] řádkový vektor
u =
1 2 3 4
>> v = [-1; -2; -3] sloupcový vektor
v =
-1
-2
-3
>> w = [1 3 -2]’ sloupcový vektor můžeme vytvořit i transpozicí (operátor ’) řádkového
vektoru
w =
1
3
-2
>> A = [1 -1 2 -3; 3 0 4 5; 3.2, 5, -6 12] matice, kvůli jednomu reálnému
prvku jsou i ostatní celočíselné prvky matice zobrazovány jako desetinná čísla
A =
1.0000 -1.0000 2.0000 -3.0000
3.0000 0 4.0000 5.0000
3.2000 5.0000 -6.0000 12.0000
Prázdnou matici lze vytvořit příkazem [].
>> o = []
o =
[]
Matice lze vytvářet pomocí už definovaných proměnných, je ovšem potřeba kontrolovat,
aby souhlasily typy jednotlivých proměnných.
>> y = [x, 2*x, 3*x]
y =
12 24 36
>> B = [A; u]
B =
1.0000 -1.0000 2.0000 -3.0000
3.0000 0 4.0000 5.0000
3.2000 5.0000 -6.0000 12.0000
1.0000 2.0000 3.0000 4.0000
13
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE
>> C = [A, v]
C =
1.0000 -1.0000 2.0000 -3.0000 -1.0000
3.0000 0 4.0000 5.0000 -2.0000
3.2000 5.0000 -6.0000 12.0000 -3.0000
>> D = [A; v] příkaz nelze provést kvůli nevyhovujícím rozměrům
Error using vertcat
Dimensions of matrices being concatenated are not consistent.
Seznam definovaných proměnných lze získat příkazem who. Příkaz whos zobrazí seznam
proměnných i s jejich typy a dalšími informacemi. Smazat definované proměnné
je možno příkazem clear nazev promennych (názvy proměnných jsou odděleny čárkami),
příkazem clear all smažeme všechny definované proměnné.
>> who
Your variables are:
A B C a a1 a2 a3 a4 ans c f fl o r u
v x x8 y
>> clear C a3 a4 c o r y smazání proměnných C, a3, a4, c, o, r, y
>> whos
Name Size Bytes Class Attributes
A 3x4 96 double
B 4x4 128 double
a 1x1 8 double
a1 1x1 8 double
a2 1x1 8 double
ans 1x1 8 double
f 1x1 8 double
fl 1x1 8 double
u 1x4 32 double
v 3x1 24 double
x 1x1 8 double
x8 1x1 8 double
2.3 Funkce pro tvorbu matic
Pro vytvoření matic větších rozměrů (obecně rozměrů m x n, m řádků, n sloupců) je
možné použít některých funkcí MATLABu:
14
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE
zeros(m, n) nulová matice (na všech pozicích jsou nulové hodnoty)
ones(m, n) jedničková matice (na všech pozicích jsou hodnoty rovny jedné)
eye(m, n) jednotková matice (na hlavní diagonále jsou jedničky, jinde nuly)
rand(m, n) matice s náhodnými prvky mezi 0 a 1
randn(m, n) matice s prvky mající standardizované normální rozdělení
Všechny výše uvedené funkce je možné zadávat pouze s jedním parametrem – v takovém
případě je vytvořena čtvercová matice příslušného řádu.
>> Z = zeros(2,5) nulová matice o 2 řádcích a 5 sloupcích
Z =
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
>> O = ones(3,4) jedničková matice o 3 řádcích a 4 sloupcích
O =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
>> I = eye(5,8) jednotková matice o 5 řádcích a 8 sloupcích
O =
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
>> o = ones(0,5) prázdná matice
o =
Empty matrix: 0-by-5
>> O1 = ones(3) čtvercová jedničková matice
O1 =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
>> R1 = rand(3,5) náhodná matice o 3 řádcích a 5 sloupcích
R1 =
0.8147 0.9134 0.2785 0.9649 0.9572
0.9058 0.6324 0.5469 0.1576 0.4854
0.1270 0.0975 0.9575 0.9706 0.8003
>> R2 = randn(4) čtvercová náhodná matice s prvky z normálního rozložení
R2 =
-0.2050 1.4172 1.6302 -0.3034
-0.1241 0.6715 0.4889 0.2939
1.4897 -1.2075 1.0347 -0.7873
1.4090 0.7172 0.7269 0.8884
15
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE
Jelikož jsou vektory považovány za matice s jedním řádkem nebo jedním sloupcem, pomocí
výše uvedených funkcí a nastavením jednoho z argumentů na hodnotu 1 můžeme
vytvářet i vektory. Vektor, jehož prvky tvoří aritmetickou posloupnost (tzv. „ekvidistantní
vektor), je možné vytvořit pomocí operátoru : (dvojtečka). Příkaz a : b
vygeneruje aritmetickou posloupnost prvků od a do b s krokem 1. Pro jiný krok mezi
jednotlivými prvky lze použít příkaz a : d : b, kde d je délka kroku, je možno použít
i záporný krok.
>> x = 1:10 vytvoření posloupnosti s krokem 1
x =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
>> y = 0:2:12 vytvoření posloupnosti sudých čísel
y =
0 2 4 6 8 10 12
>> z = 0.5 : 0.1 : 1.1
z =
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
>> x1 = 15:-2:7 vytvoření posloupnosti se záporným krokem
x1 =
15 13 11 9 7
>> x2 = 2:3:15
x2 =
2 5 8 11 14
Příkazy a : b, popř. a : d : b, lze nahradit příkazy colon(a, b), popř. colon(a,
d, b).
>> x3 = colon(2,3,15) analogie k 2:3:15
x3 =
2 5 8 11 14
Další alternativou pro generování ekvidistantních vektorů jsou příkazy linspace() a
logspace():
x = linspace(a, b, n) generuje aritmetickou posloupnost prvků x od a do b. Třetí
parametr n je volitelný, udává počet prvků posloupnosti x, jeho implicitní nastavení
na n=100 lze libovolně měnit.
x = logspace(a, b, n) generuje vektor x s desítkovou logaritmickou škálou prvků
od 10^a do 10^b. Třetí parametr délky posloupnosti n je volitelný, jeho implicitní nastavení
je n=50. Příkaz je ekvivalentní příkazu 10.^linspace(a, b, n).
>> x = linspace(-1, 4, 8)
x =
-1.0000 -0.2857 0.4286 1.1429 1.8571 2.5714 3.2857
4.0000
16
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE
>> x = logspace(0, 1, 5) ekvivalentní příkazu 10.^linspace(0, 1, 5)
x =
1.0000 1.7783 3.1623 5.6234 10.0000
>> x = 10.^linspace(0, 1, 5)
x =
1.0000 1.7783 3.1623 5.6234 10.0000
2.4 Některé speciální výrazy a funkce
Zvláštní postavení mezi proměnnými má proměnná ans (z anglického answer), do které
se automaticky přiřazují hodnoty, jež nebyly přiřazeny explicitně do proměnné.
>> pi
ans =
3.1416
Dále i a j jsou imaginární jednotky pro práci s komplexními čísly. Další speciální hodnotou
je eps – je to rozdíl mezi 1 a nejbližším vyšším zobrazitelným číslem. Příkazem
realmin a realmax zjistíme hodnotu nejmenšího, resp. největšího zobrazitelného čísla
podle normy IEEE. Hodnoty Inf a −Inf vznikají např. při dělení nulou a symbolizují
nekonečné hodnoty (+∞ nebo −∞). Hodnotu NaN (Not a Number) dostaneme jako
výsledek neurčitého výrazu – např. 0/0.
Způsob výpisu hodnot můžeme ovlivnit příkazem format:
format long výpis na plný počet desetinných míst
format short výpis na omezený počet desetinných míst
format bank výpis na 2 desetinná místa (implicitní)
format hex hexadecimální výpis
format rat hodnoty jsou aproximovány zlomky
format compact potlačí se vynechávání řádku při výpisu
format loose zapne se vynechávání řádku při výpisu
>> pi
ans =
3.1416
>> format long
>> pi
ans =
3.141592653589793
>> format rat
17
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE
>> pi
ans =
355/113
>> abs(1+i) absolutní hodnota komplexního čísla a+i·b je definována jako
√
a2 + b2
ans =
1.4142
2.5 Obecná pravidla pro příkazy
Na jednu řádku můžeme zadat několik příkazů oddělených čárkou nebo středníkem,
který potlačuje výstup na obrazovku:
příkaz1, příkaz2, příkaz3, atd.,
přičemž za posledním příkazem na řádce čárka být nemusí. Pokud je příkaz příliš
dlouhý, můžeme ukončit řádku třemi tečkami (...), příkaz pak pokračuje na další
řádce.
Jednotlivé příkazy mohou být jednoduché příkazy MATLABu (who, clear, dir),
příkazy definující proměnné (A = [1 2; 3 4];), volání MATLABovských programů –
tzv. skriptů, nebo volání MATLABovských funkcí. Toto volání má v obecném případě
tvar:
[v1, v2, ..., vm] = nazev funkce(p1, p2, ..., pn)
v1, ..., vm jsou výstupní parametry, p1,..., pn jsou parametry vstupní. Pokud je
výstupní parametr jen jeden, nemusí být uzavřen v hranatých závorkách. Funkce také
nemusí mít žádné vstupní nebo výstupní parametry, také je možné zadávat různý počet
vstupních nebo výstupních parametrů pro tutéž funkci.
>> A = rand(3);
>> s = size(A)
s =
3 3
>> [x, y] = size(A)
x =
3
y =
3
>> sl = size(A, 2)
sl =
3
Vykřičník na začátku příkazu provede příkaz operačního systému, např. příkazem
!netscape spustíme známý internetový prohlížeč.
18
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE
Příklady k procvičení
1. Spočítejte velikost úhlu α při vrcholu A trojúhelníku ABC, znáte-li délku protilehlé
strany a = 5 cm a přilehlé strany b = 3 cm.
2. Vypište hodnotu Ludolfova čísla, pak:
a) jej zaokrouhlete k nejbližšímu celému číslu,
b) jej zaokrouhlete k plus nekonečnu,
c) jej zobrazte jako zlomek,
d) jej zobrazte na plný počet desetinných míst.
3. Třemi způsoby vygenerujte vektor u1 délky 10 s počáteční hodnotou 2 a krokem
0.2.
4. Vygenerujte náhodný vektor délky 5
a) s názvem u2 a prvky z intervalu [0, 1],
b) s názvem u3 a prvky z intervalu [−2, 4],
c) s názvem u4 a celočíselnými prvky z intervalu [−8, 1].
5. Vygenerujte matici s rozměry 5x3
a) s názvem A1 a prvky z intervalu [−12, 5],
b) s názvem A2 a celočíselnými prvky z intervalu [1, 7].
6. Vytvořte matici B rozměrů 4x5 sestavenou z vektoru u4 a matice A2.
7. Vytvořte matici rozměrů 4x9
a) s názvem C1, maticí B v levém bloku a jednotkovou maticí v pravém bloku,
b) s názvem C2, maticí B v levém bloku a maticí obsahující hodnoty 0.5 v pravém
bloku.
Řešení.
1. a = 5, b = 3
alpha = tan(a/b)
2. exp(1)
a) round(exp(1))
b) ceiling(exp(1))
c) format rat, exp(1)
d) format long, exp(1)
3. 1. způsob: u1 = 2:0.2:3.8,
2. způsob: u1 = colon(2, 0.2, 3.8),
3. způsob: u1 = linspace(2, 3.8, 10)
19
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ VÝPOČTY, PROMĚNNÉ A MATICE
4. a) u2 = rand(1, 5)
b) u3 = 6*rand(1, 5) - 2
c) u4 = round(9*rand(1, 5) - 8)
5. a) A1 = rand(17*rand(5, 3) - 12)
b) A2 = round(6*rand(5, 3)+1)
6. B = [u4; A2’]
7. a) C1 = [B, eye(4)]
b) C2 = [B, 0.5 + zeros(4)] nebo
C2 = [B, 0.5 + zeros(4, 4)] nebo
C2 = [B, 0.5 + ones(4)] nebo
C2 = [B, 0.5 + ones(4, 4)]
20
KAPITOLA 3. MATICOVÉ OPERACE 21
Kapitola 3
Maticové operace
Základní informace
Již ze samotného názvu systému MATLAB, který pochází z anglického MATrix LABoratory,
je zřejmé, že zde hlavní roli při práci bude hrát matice. Proto je velmi důležité
se nejen naučit porozumět maticovým operacím, ale také je umět výhodně využívat.
Cílem následující kapitoly je rozšířit již známé maticové operace o operace méně známé
a demonstrovat práci s nimi na jednoduchých příkladech.
Výstupy z výuky
Studenti
• seznámí se s transpozicí reálných i komplexních matic
• ovládají sčítání a odčítání matic
• umí správně použít maticové násobení a umocňování matic
• umí vysvětlit rozdíl mezi pravostranným a levostranným násobením a dělením
matic
• dokáží definovat operace po složkách
3.1 Transpozice matic
Transpozici matic označuje jednoduchý apostrof (’), případně jednoduchý apostrof
s tečkou (.’). V případě reálných matic mezi těmito operátory není rozdíl, oba definují
transponovanou matici. Pokud ovšem má matice A komplexní prvky, příkazem X=A’
KAPITOLA 3. MATICOVÉ OPERACE
získáme matici X, která vznikne transpozicí matice A, ale také její prvky budou komplexně
sdružené k prvkům matice A, tj. xij = aji.
Pokud bychom chtěli získat pouze transponovanou matici X bez komplexně sdružených
prvků, tj. xij = aji, je třeba použít jednoduchý apostrof s tečkou (.’).
>> A = [1 1+i; 2-3*i i]
A =
1.0000 + 0.0000i 1.0000 + 1.0000i
2.0000 - 3.0000i 0.0000 + 1.0000i
>> X = A’ transpozice s komplexně sdruženými prvky
X =
1.0000 + 0.0000i 2.0000 + 3.0000i
1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.0000i
>> X = A.’ transpozice bez komplexně sdružených prvků
X =
1.0000 + 0.0000i 2.0000 - 3.0000i
1.0000 + 1.0000i 0.0000 + 1.0000i
3.2 Sčítání a odčítání matic
Symboly + a - označují sčítání a odčítání matic. Matice musí mít shodné dimenze.
Operace jsou prováděny po složkách, tj. xij = aij ± bij. Přičítání a odčítání konstanty
k matici se realizuje po složkách, tj. konstanta je přičtena, popř. odečtena, ke každému
prvku matice.
>> A = [1 5; 2 3];
>> B = [0 1; -3 2];
>> X = A + B
X =
1 6
-1 5
>> c = 2;
>> X = A + c odpovídá xij = aij + c
X =
3 7
4 5
>> X = c - B odpovídá xij = c − bij
X =
2 1
5 0
22
KAPITOLA 3. MATICOVÉ OPERACE
3.3 Maticové násobení
Symbol * označuje maticové násobení. Operace je definována, pokud jsou vnitřní rozměry
dvou operandů stejné, tj. pokud je počet sloupců prvního činitele shodný s počtem
řádků druhého činitele. Nechť A je typu n × k a B typu k × m, výsledná matice X bude
typu n × m a platí xij =
k
r=1
airbrj.
Při násobení matice konstantou je operace provedena po složkách.
>> A = [1 5 0; -1 2 3]
A =
1 5 0
-1 2 3
>> B = [0 1 1; 1 -3 2; -1 4 2; 1 0 3]
B =
0 1 1
1 -3 2
-1 4 2
1 0 3
>> X = A * B součin se neprovede kvůli nesouhlasným rozměrům činitelů
Error using *
Inner matrix dimensions must agree.
>> X = A * B’
X =
5 -14 19 1
5 -1 15 8
>> c = 2;
>> X = A * c odpovídá xij = aij ∗ c
X =
2 10 0
-2 4 6
>> X=c*B odpovídá xij = c ∗ bij
X =
0 2 2
2 -6 4
-2 8 4
2 0 6
3.4 Maticové dělení
V MATLABu existují dva způsoby dělení matic – levostranné \ a pravostranné / dělení.
Obecně platí
23
KAPITOLA 3. MATICOVÉ OPERACE
X = A \ B je řešením A ∗ X = B,
X = B / A je řešením X ∗ A = B.
Je-li A regulární čtvercová matice, potom X = A\B, resp. X = B/A, formálně odpovídají
levostrannému, resp. pravostrannému, násobení matice B maticí inverzní k matici A; tj.
inv(A)*B resp. B*inv(A). Funkce inv() slouží pro výpočet inverzní matice, výpočet
pomocí levostranného, resp. pravostranného, dělení je získán přímo, bez výpočtu in-
verze.
Je-li matice A obecně typu k × n, B musí být typu k × m, výsledná matice X = A\B
bude typu n × m. Pravostranné dělení X = B/A je definováno pomocí levostranného
dělení jako X = B/A, což je ekvivalentní (A’\B’)’.
Při dělení matice konstantou se dělení provádí po složkách, výsledek pravostranného i
levostranného dělení je stejný.
>> A = [1 5 0; -1 2 3; 1 2 1];
>> b = [1 3 2]’;
>> x = A \ b můžeme se přesvědčit, že tento příkaz je ekvivalentní příkazu x =
inv(A) * b
x =
0.6875
0.0625
1.1875
>> x = inv(A) * b
x =
0.6875
0.0625
1.1875
>> c = 2;
>> x = c \ A
x =
0.5000 2.5000 0
-0.5000 1.0000 1.5000
0.5000 1.0000 0.5000
>> x = A / c
x =
0.5000 2.5000 0
-0.5000 1.0000 1.5000
0.5000 1.0000 0.5000
24
KAPITOLA 3. MATICOVÉ OPERACE
3.5 Umocňování matic
Pro maticové umocňování se používá symbol ^. Předpokládejme, že A je čtvercová
matice a p je skalár. Při umocňování mohou nastat tyto případy:
1. X = A^p
(a) p > 0 celé číslo ⇒ X = A ∗ A ∗ · · · ∗ A
p
(b) p = 0 ⇒ X = I . . . jednotková matice (lze vytvořit příkazem eye(size(A)))
(c) p < 0 celé číslo ⇒ X = A−1
∗ A−1
∗ · · · ∗ A−1
p
(d) p není celé číslo ⇒ uvažujme diagonální matici D =



λ1 0
...
0 λn


 , kde
λ1, . . . , λn jsou vlastní čísla matice A, a matici V , jejíž sloupce jsou vlastní
vektory příslušné postupně těmto vlastním číslům ([V,D] = eig(A)). Platí
tedy vztah A∗V = V ∗D, což je v tomto případě jakási motivace pro výpočet
mocniny. Lze ukázat, že platí Ap
∗ V = V ∗ Dp
, kde Dp
=



λp
1 0
...
0 λp
n


 .
Odtud dostáváme vztah pro výpočet X = V ∗ Dp
/V .
2. X = p^A
Při výpočtu opět vycházíme ze vztahu A ∗ V = V ∗ D, kde V a D jsou výše
popsané matice. Odtud je pA
∗ V = V ∗ pD
, kde pD
=



pλ1
0
...
0 pλn


 . Odtud
opět dostáváme vztah pro výpočet X = V ∗ pD
/V .
Pokud matice A není čtvercová nebo pokud p není skalár, výpočet skončí chybovým
hlášením.
>> A = [1 3; 3 2];
>> p = 0.5;
>> [V, D] = eig(A) výpočet vlastních čísel (diagonální prvky matice D) a vlastních
vektorů (sloupce matice V)
V =
-0.7630 0.6464
0.6464 0.7630
D =
-1.5414 0
0 4.5414
25
KAPITOLA 3. MATICOVÉ OPERACE
>> X = A^p
X =
0.8904 + 0.7228i 1.0510 - 0.6123i
1.0510 - 0.6123i 1.2407 + 0.5187i
>> X = V*D^p/V
X =
0.8904 + 0.7228i 1.0510 - 0.6123i
1.0510 - 0.6123i 1.2407 + 0.5187i
>> Y = p^A
Y =
1.7126 -1.4144
-1.4144 1.2411
>> Y = V*p^D/V
Y =
1.7126 -1.4144
-1.4144 1.2411
3.6 Operace po složkách
V MATLABu lze též provádět tzv. „operace po složkách . Tyto operace se definují
tak, že před operaci, kterou chceme provádět po složkách, zadáme tečku (.). U operací,
které se automaticky provádí po složkách (sčítání a odčítání), přidání tečky nemá
smysl a výpočet končí chybovým hlášením. Uvažujme tedy libovolný maticový operátor
◦ ∈ {∗, /, \, ˆ}. Pro provádění operací po složkách musí být obě matice shodné
dimenze, výstup bude mít tutéž dimenzi. Obecně tedy pro prvky matice X=A.◦B platí
xij = aij ◦ bij.
Poznámka. Mezi operátory, u nichž má význam operace po složkách patří také transpozice,
která je blíže popsána v odstavci Transpozice matic.
>> A = [1 2; 3 4]
A =
1 2
3 4
>> B = [2 4;6 8]
A =
2 4
6 8
>> X = A*B
X =
14 20
30 44
26
KAPITOLA 3. MATICOVÉ OPERACE
>> X = A.*B
X =
2 8
18 32
>> X = B/A
X =
2 0
0 2
>> X = B./A
X =
2 2
2 2
>> X = B^A neexistuje
Error using ^
Inputs must be a scalar and a square matrix.
To compute elementwise POWER, use POWER (.^) instead.
>> X = B.^A
X =
2 16
216 4096
Operace po složkách lze také provádět tehdy, pokud jedna z matic je skalár. V tomto
případě má tečka smysl pouze u operace umocňování, neboť ostatní operace se provedou
po složkách automaticky.
>> c = 2;
>> X = A/c dělení konstantou s operátorem / vrací stejný výsledek jako s operátorem
./
X =
0.5000 1.0000
1.5000 2.0000
>> X = A./c
X =
0.5000 1.0000
1.5000 2.0000
>> X = A^c při umocňování je tečka podstatná
X =
7 10
15 22
>> X = A.^c
X =
1 4
9 16
27
KAPITOLA 3. MATICOVÉ OPERACE
>> X = c^A
X =
10.4827 14.1519
21.2278 31.7106
>> X = c.^A
X =
2 4
8 16
3.7 Logické operace
Mezi tyto operace patří relační operátory a logické funkce. Více se o nich dozvíme
v Kapitole 5.
3.8 Smíšené operace
Jednotlivé operace (logické i aritmetické) je možné vzájemně efektivně kombinovat.
Priorita operací je následující (od nejvyšší po nejnižší):
1. umocňování: ^ .^
2. násobení, dělení: * .* \ .\ / ./
3. sčítání, odčítání: + -
4. relační operátory: == ~= < <= > >=
5. negace: ~
6. logické spojky ’a’ a ’nebo’: & |
Prioritu výše uvedených operátorů můžeme řídit pomocí kulatých závorek.
Všechny operátory pro práci s maticemi uvedené v této kapitole mají své ekvivalenty:
funkce význam operátor
plus plus +
uplus unární plus +
minus minus −
uminus unární minus −
mtimes maticové násobení *
times násobení po prvcích .*
mpower maticová mocnina ^
power mocnina po prvcích .^
mldivide levé maticové dělení \
mrdivide pravé maticové dělení /
ldivide levé dělení po prvcích .\
rdivide pravé dělení po prvcích ./
28
KAPITOLA 3. MATICOVÉ OPERACE
Příklady k procvičení
1. Jsou dány matice A = [1 0 -1; 2 1 1], B = [2 -2 1; 0 1 2], C = [1 0 1;
0 1 1; 1 0 0] a D = [3 5 -6; 1 1 -2; 0 -2 0]. Vyřešte následující rovnice:
a) A + X1 = B,
b) (A - X2) * C = B,
c) A’*(X3 - B) = D.
2. Vytvořte komplexní matici F, jejíž reálná část bude tvořena maticí X1 a imaginární
část maticí X2.
a) Vytvořte k ní transponovanou matici F1.
b) Vytvořte k ní transponovanou matici F2, která bude navíc obsahovat komplexně
sdružené prvky.
3. Je dána matice E = [1 2; -1 1].
a) Vytvořte matici E1, která bude druhou mocninou matice E.
b) Vytvořte matici E2, která bude obsahovat druhé mocniny prvků matice E.
c) Vytvořte matici E3 funkčních hodnot funkce kotangens v bodech E.
Řešení.
1. A = [1 0 -1; 2 1 1], B = [2 -2 1; 0 1 2], C = [1 0 1; 0 1 1; 1 0 0],
D = [3 5 -6; 1 1 -2; 0 -2 0]
a) X1 = B - A
b) X2 = A - B/C
c) X3 = A’\ D+B
2. F = X1 + i*X2
a) F1 = F.’
b) F2 = F’
3. E = [1 2; -1 1]
a) E1 = E^2
b) E2 = E.^2
c) E3 = cot(E)
29
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI 30
Kapitola 4
Manipulace s maticemi
Základní informace
Pro praktické řešení problémů je důležitá dobrá orientace v možnostech, které systém
nabízí. Následující kapitola nabízí přehled a praktické ukázky použití nejdůležitějších
a často používaných funkcí a příkazů pro manipulaci s maticemi.
Výstupy z výuky
Studenti
• dokáží vytvářet submatice a zjistit rozměry matice
• seznámí se s maticovými operacemi - sčítání, odčítání, násobení, dělení
• umí použít funkci reshape() a znají funkce pro překlápění a otáčení matice
• ovládají základní funkce lineární algebry
• demonstrují práci s diagonálami matice
• aplikují funkce min(), max(), sum(), prod()
4.1 Základní manipulace s maticemi
Pro zjištění rozměrů matice slouží příkaz size(). Tento příkaz má i volitelný druhý
argument – v případě hodnoty 1 vrací počet řádků matice, v případě hodnoty 2 vrací
počet sloupců matice. Příkaz size() lze použít i pro zjištění rozměrů vektoru, alternativním
příkazem pro počet prvků (řádkového i sloupcového) vektoru je příkaz
length(). Příkaz length() lze použít i pro matici, v tomto případě vrací její největší
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
rozměr.
>> A = [1 -1 2 -3; 3 0 4 5; 3.2, 5, -6 12]
A =
1.0000 -1.0000 2.0000 -3.0000
3.0000 0 4.0000 5.0000
3.2000 5.0000 -6.0000 12.0000
>> [r, sl] = size(A) výstup funkce size() lze uložit do 2-prvkového vektoru,
první prvek udává počet řádků matice A, druhý počet sloupců
r =
3
sl =
4
>> r1 = size(A, 1) počet řádků matice A
r1 =
3
>> u = [3 -1 2]
u =
3 -1 2
>> size(u)
ans =
1 3
>> length(u) počet prvků vektoru
ans =
3
>> length(A) největší rozměr matice A
ans =
4
Na jednotlivé prvky matice je možné se odkazovat pomocí kulatých závorek – tj.
A(r,sl) je prvek matice A na r-tém řádku a v s-tém sloupci. Toto vyjádření lze použít
i obecněji, kdy první parametr je vektor obsahující indexy vybraných řádků a druhý
parametr je vektor sloupcových indexů.
>> A(2,3) prvek na 2. řádku a ve 3. sloupci matice A
ans =
4
>> A([1 3],[4 2]) prvky na 1. a 3. řádku a 4. a 2. sloupci matice A
ans =
-3 -1
12 5
31
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
>> A([1 3],[4 2]) = eye(2) do takto vybraných prvků je možno také při zachování
správných rozměrů provádět přiřazení
A =
1.0000 0 2.0000 1.0000
3.0000 0 4.0000 5.0000
3.2000 1.0000 -6.0000 0.0000
Symbol : (dvojtečka) slouží pro výběr celého řádku/sloupce matice.
>> u1 = A(:, 3) výběr 3. sloupce matice A
u1 =
2
4
-6
>> u2 = A(2,:) výběr 2. řádku matice A
u2 =
3 0 4 5
>> A(2,:) = [] smazání 2. řádku matice A
A =
1.0000 0 2.0000 1.0000
3.2000 1.0000 -6.0000 0.0000
Poznámka. Přiřazení o = []; A(:,3) = o nefunguje, vrací chybové hlášení.
Matice stejných rozměrů lze sčítat a odčítat (operátory +, -), při přičtení konstanty
k matici je konstanta přičtena ke každému prvku matice.
Matice vhodných rozměrů lze násobit (operátor *), při násobení matice konstantou je
konstantou přenásoben každý prvek matice. Dělení je v MATLABu dvojího druhu –
pravostranné a levostranné: \ a /.
Všechny operátory jsou podrobněji popsány v Kapitole 3.
Na matice lze rovněž aplikovat všechny běžné matematické funkce (sin(), sqrt(), . . . ),
které jsou popsány v Odstavci 2.1. Tyto funkce jsou na matice aplikovány po složkách
(člen po členu).
4.2 Změna struktury matice
V MATLABu je možné měnit strukturu již existujícím objektům, např. přeskládat
matici do matice jiných rozměrů. Příkazem B = reshape(A, m, n) lze po sloupcích
přeskládat matici A do matice B o m řádcích a n sloupcích. Obě matice A i B musí mít
stejný počet prvků, v opačném případě příkaz skončí chybovým hlášením.
32
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
>> A = [1:6; 7:12]
A =
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
>> B = reshape(A, 3, 4)
B =
1 8 4 11
7 3 10 6
2 9 5 12
Pokud bychom chtěli matici přeskládat po řádcích, museli bychom matici nejdřív transponovat
a nakonec opět transponovat celý příkaz.
>> B = (reshape(A’, 4, 3))’
B =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
Překlopit matici, tj. obrátit pořadí řádků, resp. sloupců, je možné provést příkazem
flipud(), resp. fliplr(). Matici lze „otočit o 90 stupňů proti směru hodinových
ručiček příkazem rot90(), přičemž další nepovinný parametr udává, kolikrát má být
rotace provedena.
>> C1 = flipud(B) převrácené pořadí řádků
C1 =
9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4
>> C2 = fliplr(B) převrácené pořadí sloupců
C2 =
4 3 2 1
8 7 6 5
12 11 10 9
>> C3 = rot90(B, 3) třikrát otočená matice B o 90 ◦
proti směru hodinových ruči-
ček
C3 =
9 5 1
10 6 2
11 7 3
12 8 4
Jedním z dalších příkazů, které využívají dvojtečku, je A(:). A(:) na pravé straně přiřazovacího
příkazu označuje všechny sloupce matice A seskládané do jednoho dlouhého
33
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
sloupcového vektoru.
>> A = [1 2; 3 4; 5 6]
A =
1 2
3 4
5 6
>> b = A(:)
b =
1
2
3
4
5
6
Pokud již matice A existuje, lze A(:) použít i na levé straně přiřazovacího příkazu ke
změně tvaru nebo velikosti matice. Potom A(:) označuje matici se stejnými rozměry
jako matice A, prvky za přiřazovacím příkazem jsou do matice A umisťovány po sloupcích.
Tato operace je zahrnuta ve funkci reshape().
>> A(:) = 11:16 změní šestiprvkový řádkový vektor 11:16 na matici stejných rozměrů
jako A, tj. 3 × 2
A =
11 14
12 15
13 16
4.3 Základní funkce lineární algebry
V MATLABu je implementováno velké množství funkcí a algoritmů lineární algebry.
Podrobný výpis lze získat pomocí nápovědy ”help matfun”.
Zde vyjmenujeme jen některé základní:
det() determinant matice
rank() hodnost matice
norm() maticová nebo vektorová norma
trace() stopa matice (součet diagonálních prvků)
inv() inverzní matice
pinv() pseudoinverzní matice
lu() LU rozklad
34
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
qr() QR rozklad
svd() singulární rozklad
eig() vlastní hodnoty a vektory matice
poly() charakteristický polynom matice
Syntaxi jednotlivých funkcí zjistíme nejlépe pomocí nápovědy.
>> A = [3 -1; 2 0];
>> d = det(A) determinant
d =
2
>> h = rank(A) hodnost matice A
h =
2
>> tr = trace(A) stopa matice A, ekvivalentní příkaz: sum(diag(A))
tr =
3
>> [L, U] = lu(A) rozklad matice A na dolní (L) a horní (U) trojúhelníkovou matici,
jejich součinem dostáváme původní matici (A = L*U)
L =
1.0000 0
0.6667 1.0000
U =
3.0000 -1.0000
0 0.6667
>> p = poly(A) charakteristický polynom matice A, výstup odpovídá polynomu
p(x) = x2
− 3x + 2
p =
1 -3 2
4.4 Další funkce pro manipulaci s maticemi
Dvojí úlohu má funkce diag(). Její aplikací na vektor získáme diagonální matici s argumentem
na hlavní diagonále. Pokud funkci použijeme na matici, výstupem je vektor
jejích diagonálních prvků. Pokud chceme pracovat s jinou diagonálou než s hlavní, můžeme
použít jako druhý parametr funkce diag() číslo diagonály, přičemž kladná čísla
se použijí pro diagonály nad hlavní diagonálou a záporná pod ní.
35
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
>> A = round(10*rand(5)) celočíselná matice s prvky od 0 do 10
A =
8 7 8 4 5
7 0 7 4 4
4 3 3 8 6
7 0 10 8 7
2 1 0 2 8
>> x = diag(A) vektor diagonálních prvků
x =
8
0
3
8
8
>> B = diag(x,2) nulová matice s prvky x na 2. diagonále nad hlavní diagonálou
B =
0 0 8 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 3 0 0
0 0 0 0 0 8 0
0 0 0 0 0 0 8
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
>> C = diag(pi, -2)
C =
0 0 0
0 0 0
3.1416 0 0
>> D = diag(diag(A)) diagonální matice
D =
8 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 8 0
0 0 0 0 8
Pomocí funkcí tril() a triu() vyrobíme z dané matice dolní nebo horní trojúhelníkovou
matici, přičemž je možné podobně jako u funkce diag() použít další nepovinný
parametr pro posunutí diagonály.
36
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
>> L1 = tril(A) dolní trojúhelníková matice
L1 =
8 0 0 0 0
7 0 0 0 0
4 3 3 0 0
7 0 10 8 0
2 1 0 2 8
>> L2 = tril(A,2)
L2 =
8 7 8 0 0
7 0 7 4 0
4 3 3 8 6
7 0 10 8 7
2 1 0 2 8
Funkce max() hledá maximální prvek vektoru, pokud na výstupu uvedeme i druhý výstupní
parametr, uloží se do něj index maximálního prvku. Při použití funkce max() na
matici se hledají maximální prvky v jednotlivých sloupcích, do volitelného druhého výstupního
parametru jsou ukládány řádkové indexy maximálního prvku v daném sloupci.
Podobně funguje funkce min().
>> x = rand(1,6)
x =
0.2760 0.6797 0.6551 0.1626 0.1190 0.4984
>> M = max(x)
M =
0.6797
>> [m, ind] = min(x) minimální prvek vektoru x i se svou pozicí
m =
0.1190
ind =
5
>> A = rand(4) náhodná matice
A =
0.9597 0.7513 0.8909 0.1493
0.3404 0.2551 0.9593 0.2575
0.5853 0.5060 0.5472 0.8407
0.2238 0.6991 0.1386 0.2543
>> [M, r ind] = max(A)
M =
0.9597 0.7513 0.9593 0.8407
r ind =
1 1 2 3
37
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
U komplexních matic se maximum či minimum hledá mezi absolutními hodnotami
prvků.
>> K = round(2*rand(3)) + i*round(2*rand(3)) náhodná komplexní matice
s celočíselnými hodnotami reálné a imaginární části
K =
1.0000 + 2.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 2.0000i
1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 2.0000i 2.0000 + 2.0000i
1.0000 + 1.0000i 2.0000 + 0.0000i 1.0000 + 2.0000i
>> absK = abs(K) absolutní hodnoty prvků komplexní matice K
absK =
2.2361 0 2.0000
1.0000 2.0000 2.8284
1.4142 2.0000 2.2361
>> [m, r] = min(K) minima komplexní matice K a jejich řádkové indexy
m =
1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 2.0000i
r =
2 1 1
>> u = [1 3 0 3];
>> [m, ind] = max(u) v případě více shodných maximálních prvků je vybrán prvek
s nižším indexem
m =
3
ind =
2
K vzestupnému seřazení vektoru se používá funkce sort(), u komplexních hodnot se
řazení provádí podle absolutních hodnot. Do druhého nepovinného výstupního parametru
je umístěna třídicí permutace indexů. Při použití funkce sort() na matice dochází
k řazení v rámci jednotlivých sloupců.
>> u = [1 3 0 3];
>> [y, ind] = sort(u)
y =
0 1 3 3
ind =
3 1 2 4
>> u(ind) odpovídá seřazenému vektoru
ans =
0 1 3 3
38
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
>> A = [1 0 1; 2 1 3; -1 2 1]
A =
1 0 1
2 1 3
-1 2 1
>> [y, ind] = sort(A)
y =
-1 0 1
1 1 1
2 2 3
ind =
3 1 1
1 2 3
2 3 2
Funkci sort(A) lze použít i se dvěma dalšími argumenty: dim, mode, kde A značí matici
nebo pole, dim dimenzi, podle které má být provedeno řazení (1 - po sloupcích,
2 - po řádcích), mode zajišťuje způsob řazení: implicitní nastavení ’ascend’ řadí vzestupně,
’descend’ vzestupně.
>> sort(A, 2)
ans =
0 1 1
1 2 3
-1 1 2
>> sort(A, 2, ’descend’)
ans =
1 1 0
3 2 1
2 1 -1
Pro sčítání a násobení prvků vektoru slouží funkce sum() a prod(). Aplikujeme-li tyto
funkce na matici, příslušná operace je provedena po sloupcích.
>> f = prod(1:5) faktoriál čísla 5
f =
120
Poznámka. Obecně lze n!, n ∈ N0 spočítat příkazem prod(1:n) i pro n=0, protože
součin přes prázdnou matici je roven 1.
>> f = prod(1:0)
f =
1
39
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
Pro zjištění součtu, popř. součinu, všech prvků matice je třeba funkci sum(), popř.
prod(), použít dvakrát.
>> soucet = sum(sum(A)) součet všech prvků matice A
soucet =
10
Poznámka. Pro připomenutí, pro zjištění rozměrů matice lze použít funkci size() ve
dvojí formě – s = size(A) nebo [r, sl] = size(A). Funkce length() vrací délku
řádkového či sloupcového vektoru. Pokud ji aplikujeme na matici, dostáváme maximální
z rozměrů; je ekvivalentní příkazu max(size(A)).
Příklady k procvičení
1. Vygenerujte celočíselnou náhodnou matici A rozměrů 5x6 s prvky z intervalu
[−7, 7].
a) Vytvořte matici A1, která bude obsahovat sudé sloupce matice A.
b) Zjistěte rozměry matice A1.
c) Z matice A1 vytvořte matici A2, která bude obsahovat mít vyměněný druhý a
třetí sloupec.
d) Dvěma způsoby vytvořte z matice A matici A3, která bude mít opačné pořadí
řádků.
e) Spočítejte součet řádkových maxim matice A.
f) Vytvořte matici A4, která bude obsahovat pouze diagonální prvky matice A.
g) Vytvořte matici A5, která bude obsahovat stejné prvky jako matice A a pod
diagonálou hodnoty 3.
h) Vytvořte čtvercovou matici A6, která bude obsahovat matici A a na posledním
řádku její sloupcové součiny.
2. Vytvořte matici B rozměrů 10x10, která bude po řádcích obsahovat posloupnost
čísel 0, 1, 2, atd.
3. Vygenerujte náhodné celé číslo a z intervalu [−3, 3] a náhodné přirozené číslo n
z intervalu [1, 10]. Pak spočítejte n
i=0 an
.
Řešení.
1. A = round(14 * rand(5, 6) - 7)
a) A1 = A(:, 2:2:6) nebo A1 = A(:, 2:2:size(A,2))
b) [r, sl] = size(A1)
c) A2 = A1(:, [1 3 2])
nebo pomocí permutační matice A2 = A1 * [1 0 0; 0 0 1; 0 1 0]
d) 1. způsob: A3 = A(size(A,1):-1:1, :),
40
KAPITOLA 4. MANIPULACE S MATICEMI
2. způsob: A3 = flipud(A)
e) sum(max(A’))
f) A4 = diag(diag(A))
g) A5 = A - tril(A, -1) + 3*ones(size(A)) - triu(3*ones(size(A)))
h) A6 = [A; prod(A)]
2. B = (reshape(0:99, 10, 10))’
3. a = round(6 * rand(1)-3), n = round(9 * rand(1)+1)
sum(a.^(0:n))
41
KAPITOLA 5. LOGICKÉ OPERACE 42
Kapitola 5
Logické operace
Základní informace
Kapitola je zaměřena na relační a logické operátory a funkce, jejichž správné pochopení
je důležité nejen pro samotnou práci v MATLABu, ale je rovněž důležitým předpokladem
při programování.
Výstupy z výuky
Studenti
• dokáží vyjmenovat a použít relační operátory
• dokáží uvést příklady logických operátorů a použít je na příkladech
• znají logické funkce pro testování nulových a nenulových, prázdných a reálných
matic
• umí použít funkci find()
5.1 Relační operátory
Relační operátory slouží k porovnávání proměnných. Jedná se o následující operátory:
== test rovnosti
~= test nerovnosti
< menší
<= menší nebo rovno
>= větší nebo rovno
> větší
KAPITOLA 5. LOGICKÉ OPERACE
Porovnávat je možné jen matice stejných rozměrů nebo matici se skalárem. Při porovnávání
se vytvoří matice příslušných rozměrů obsahující jedničky a nuly podle toho,
zda je příslušná relace splněna nebo není.
>> A = [1 2 3; 4 5 6];
>> B = [1 1 1; 8 7 6];
>> c = 5;
>> X = (A == B)
X =
1 0 0
0 0 1
>> Y = (A >= B)
Y =
1 1 1
0 0 1
>> Z = (A < c)
Z =
1 1 1
1 0 0
Při porovnávání komplexních proměnných se kromě testu na rovnost nebo nerovnost
porovnává pouze reálná část.
>> u = [1+1*i, -3*i, 5];
>> d = 1+1*i;
>> x = (u == d)
x =
1 0 0
>> y = (u >= d)
y =
1 0 1
5.2 Logické operátory
Mezi logické operátory patří:
& logické ’a současně’
| logické ’nebo’
~ logicky zápor
xor vylučovací ’nebo’ (buď a nebo)
Jednotlivé operátory se aplikují na matice, případně na matici a skalár, podobně jako
relační operátory. Výstupem logických operátorů je, stejně jako u relačních operátorů,
matice obsahující nuly a jedničky podle toho, zda bylo porovnání nepravdivé či prav-
43
KAPITOLA 5. LOGICKÉ OPERACE
divé. Jednotlivé operace jsou prováděny po složkách. Nula je brána jako nepravdivá
hodnota a nenulové hodnoty (včetně Inf a NaN) jsou brány jako pravdivé hodnoty.
>> A = -2:2;
>> B = zeros(1,5);
>> C = ones(1,5);
>> X1 = A|B
X1 =
1 1 0 1 1
>> X2 = A|C
X2 =
1 1 1 1 1
>> X3 = ~A
X3 =
0 0 1 0 0
>> X4 = xor(A,pi)
X4 =
0 0 1 0 0
Pro logické operátory rovněž existují ekvivalentní funkce:
logický operátor ekvivalentní funkce
A & B and(A,B)
A|B or(A,B)
~A not(A)
5.3 Logické funkce
Logické funkce jsou takové funkce, které na svém výstupu vrací matice či skaláry obsahující
nuly a jedničky podle typu dané funkce:
isinf(A)
vrací matici stejného typu jako A s jedničkami na místech, kde je hodnota Inf
nebo -Inf, na zbylých místech jsou nuly
isnan(A)
vrací matici stejného typu jako A s jedničkami na místech, kde je hodnota NaN,
na zbylých místech jsou nuly
isfinite(A)
vrací matici stejného typu jako A s jedničkami na místech, kde nejsou hodnoty
Inf, -Inf nebo NaN, na zbylých místech jsou nuly
44
KAPITOLA 5. LOGICKÉ OPERACE
all(A)
je-li A vektor, funkce vrací jedničku, pokud jsou všechny hodnoty nenulové, jinak
vrací nulu. Je-li A matice, funkce all() je aplikována na jednotlivé sloupce matice
A a výstupem je řádkový vektor obsahující nuly nebo jedničky pro jednotlivé
sloupce.
any(A)
funguje podobně jako all(), vrací jedničku pokud je alespoň jeden prvek nenu-
lový.
isempty(A)
vrací 1, pokud A je prázdná matice
isreal(A)
vrací 1, pokud A je reálná matice (ne komplexní)
islogical(A)
vrací 1, pokud A je logická matice. Charakter logické matice mají všechny výsledky
relačních a logických operátorů a logických funkcí.
isstr(A)
vrací 1, pokud je A textová matice
isnumeric(A)
vrací 1, pokud je A číselná matice (ne textová)
>> A = [1, 0, Inf; NaN, -3, 2.5];
>> isfinite(A)
ans =
1 1 0
0 1 1
>> isempty(A)
ans =
0
>> isstr(A)
ans =
0
>> all(A)
ans =
1
>> any(A)
ans =
1 1 1
45
KAPITOLA 5. LOGICKÉ OPERACE
5.4 Funkce find() a exist()
Další užitečnou funkcí je funkce find(), která vrací indexy nenulových prvků vstupního
vektoru nebo matice.
Možnosti použití funkce find():
I = find(x) do proměnné I umístí indexy nenulových prvků vektoru
x
I = find(A) do proměnné I umístí indexy nenulových prvků matice
A, ty jsou brány po sloupcích
[I,J] = find(A) umístí do I řádkové indexy a do ”J” sloupcové indexy
nenulových prvků matice ”A”
[I,J,K] = find(A) do proměnné K navíc umístí příslušné nenulové prvky
[I,J,K] = find(x) do proměnné I umístí řádkové indexy, do proměnné
J sloupcové indexy nenulových prvků vektoru x a do
proměnné K jeho nenulové hodnoty
I = find(x, k, ’first’) do proměnné I umístí indexy nejvýše k prvních nenulových
hodnot x
I = find(x, k, ’last’) do proměnné I umístí indexy nejvýše k posledních nenulových
hodnot x
Častým použitím funkce find() jsou případy, kdy vektor x nebo matice A jsou logické
vektory/matice, tzn. jsou výstupem porovnávacích operací.
>> x = -2:2;
>> [I,J,K] = find(x)
I =
1 1 1 1
J =
1 2 4 5
K =
-2 -1 1 2
>> I = find(x, 3, ’last’)
I =
2 4 5
>> A = [-2 0; 1 -1];
>> [I,J] = find(A >= 0) hledá nezáporné prvky matice A a jejich indexy
I =
2
1
J =
1
2
46
KAPITOLA 5. LOGICKÉ OPERACE
Existenci a typy objektů MATLABu lze testovat pomocí funkce exist(). Výstupem
příkazu ex = exist(’A’) jsou následující možnosti proměnné ex:
0 objekt s názvem A neexistuje
1 A je proměnná
2 A je m-soubor v běžném adresáři nebo v MATLABPATH
3 A je MEX-soubor v běžném adresáři nebo v MATLABPATH
4 A je kompilovaná funkce v systému SIMULINK1
5 A je interní (předkompilovaná) funkce MATLABu
6 A je předkompilovaná m-funkce s názvem A.p. Soubor A.p lze vytvořit pomocí
příkazu pcode (více viz help pcode)
7 A je adresář
Při kolizi názvů (existují-li různé objekty se stejným názvem) platí následující priorita:
1. proměnná
2. interní funkce
3. funkce MEX (napřed pracovní adresář, pak MATLABPATH od začátku)
4. příkaz jako p-soubor (napřed pracovní adresář, pak MATLABPATH od začátku)
5. příkaz jako m-soubor (napřed pracovní adresář, pak MATLABPATH od začátku)
Funkci exist() je možné také použít se dvěma parametry:
exist(’A’, ’var’) testuje, zda je A proměnná
exist(’A’, ’builtin’) testuje, zda je A interní funkce
exist(’A’, ’file’) testuje, zda je A soubor
exist(’A’, ’dir’) testuje, zda je A adresář
Výstupní hodnota je tak 1, pokud A jako daný typ existuje, v opačném případě je
výstupní hodnotou 0.
Příklady k procvičení
1. Vygeneruje náhodné celočíselné matice A a B s rozměry 5x5 a prvky v intervalu
[−1, 2].
a) Zjistěte počet nulových prvků matice A.
b) Zjistěte počet nenulových prvků matice A.
c) Zjistěte, na kolika pozicích se shodují prvky matice A a B.
d) Zjistěte, na kolika pozicích jsou prvky matice A větší než prvky matice B.
e) Zjistěte řádkové součty záporných prvků matice B.
f) Vytvořte matici C mající hodnotu -5 na pozicích, kde má B kladné prvky, na
ostatních pozicích má matice C stejné prvky jako B.
g) Zjistěte řádkové počty kladných prvků matice A.
1
SIMULINK je nadstavba MATLABu pro simulaci a modelování dynamických systémů.
47
KAPITOLA 5. LOGICKÉ OPERACE
h) Zjistěte, kolik obsahuje matice A hodnot plus/minus nekonečno.
i) Zjistěte, zda se v řádcích matice A vyskytují nuly.
j) Vypište řádkové i sloupcové indexy nulových prvků matice B.
Řešení.
1. A = round(3 * rand(5) - 1), B = round(3 * rand(5) - 1)
a) sum(sum(A == 0)) nebo
sum(sum(~A)) nebo
length(find(A == 0)) nebo
length(find(~A))
b) sum(sum(A ~= 0)) nebo
sum(sum(~~A)) nebo
length(find(A ~= 0)) nebo
length(find(A)) nebo (méně efektivní)
prod(size(A)) - sum(sum(~A)), apod.
c) sum(sum(A == B)) nebo
length(find(A == B))
d) sum(sum(A > B)) nebo
length(find(A > B))
e) sum((B .* (B < 0))’)
f) C = B; C(B > 0) = -5 nebo
C = -5 * (B > 0) + B .* (B <= 0)
g) sum((A > 0)’)
h) sum(sum(isinf(A)))
i) any(A’)
j) [r, sl] = find(B == 0) nebo
[r, sl] = find(~~B)
48
KAPITOLA 6. TEXTOVÉ ŘETĚZCE 49
Kapitola 6
Textové řetězce
Základní informace
Textový řetězec je posloupnost jednotlivých znaků uzavřených mezi jednoduchými apostrofy.
V této kapitole se zaměříme na práci s textovými řetězci, na jejich vytváření,
spojování, vyhledávání a nahrazování. Dále se zaměříme na převod numerických hodnot
na textový řetězec a naopak a v samotném závěru kapitoly ukážeme využití textových
řetězců při vyhodnocování matematických výrazů.
Výstupy z výuky
Studenti
• umí vytvářet textové řetězce a skládat je do vektorů i matic
• dokáží převádět textový řetězec na číselný vektor, i naopak
• umí použít funkce pro převod čísla na řetězec, umí vytvářet a odstraňovat mezery
z textových řetězců
6.1 Vytváření řetězců
Textový řetězec je posloupnost znaků ohraničená apostrofy (’). Pokud má řetězec obsahovat
jako jeden ze znaků i apostrof, musíme jej zdvojit.
KAPITOLA 6. TEXTOVÉ ŘETĚZCE
>> s1 = ’abcdef’
s1 =
abcdef
>> s2 = ’123’’45’
s2 =
123’45
Řetězce je možno skládat do matice, ovšem pouze za předpokladu, kdy jsou všechny
řádky stejné délky. V opačném případě je nutné použít funkci char() nebo str2mat(),
které řádky kratší délky doplní mezerami. Takto vytvořené matice mají příznak textových
polí, to zjistíme pomocí příkazu whos nebo funkce isstr().
>> S1 = [’1.radek’; ’2.radek’; ’3.radek’; ’4.radek’]
S1 =
1.radek
2.radek
3.radek
4.radek
>> S2 = char(’1.radek’, ’2.radek’, ’3.radek’, ’posledni radek’)
S2 =
1.radek
2.radek
3.radek
posledni radek
>> S3 = str2mat(’1.radek’, ’2.radek’, ’3.radek’, ’posledni radek’)
S3 =
1.radek
2.radek
3.radek
posledni radek
Pokud chceme složit více řetězců do jednoho řádku, použijeme k tomu stejný způsob,
jakým definujeme číselné matice, tj. všechny prvky uzavřeme do hranatých závorek.
Tento způsob má uplatnění zejména v případech, kdy některý z řetězců získáme jako
výstup funkce.
>> s3 = [’abcdef’, ’123’, ’45’]
s3 =
abcdef12345
>> s4 = [’Číslo pí je rovno přibližně ’, num2str(pi), ’.’] funkce
num2str() slouží k převodu čísla na textový řetězec
s4 =
Číslo pí je rovno přibližně 3.1416.
50
KAPITOLA 6. TEXTOVÉ ŘETĚZCE
6.2 Základní manipulace s řetězci
Převod textového řetězce na číselný vektor můžeme provést pomocí funkce double(),
přičemž jednotlivým znakům se přiřadí jejich kód (0 - 255) podle ASCII tabulky. Zpětný
převod číselného vektoru na znakový řetězec lze provést použitím funkce char().
>> x = double(’ABCDabcd’)
x =
65 66 67 68 97 98 99 100
>> s = char(32:64)
s =
!"#$%&’()*+,-./0123456789:;<=>?@
Znaky se dělí do několika skupin. Znaky s kódem menším než 32 mají speciální význam:
konec řádku (kódy 10 a 13), konec stránky (kód 12), tabulátor (kód 8) apod. Znaky
s kódy vyššími se běžně zobrazují na obrazovce, přičemž znaky s kódy většími než 127
se mohou lišit podle operačního systému nebo nastaveného jazyka.
V MATLABu existuje několik funkcí k testování typů objektů, jejich název zpravidla
začíná slabikou is* a výstupem je hodnota 1, pokud objekt daného typu nabývá,
v opačném případě je výstupem 0. Celý seznam těchto funkcí lze zobrazit příkazem
doc is*, níže je uveden seznam nejpoužívanějších z nich.
isletter(a) testuje, zda jsou jednotlivé složky proměnné a písmena
(’A’ - ’Z’, ’a’ - ’z’)
isspace(a) testuje, zda je proměnná a mezerového typu (mezera - kód
32, tabulátor apod.)
isnumeric(a) testuje, zda je a číselná proměnná
isstrprop(a, ’type’) testuje, zda je proměnná a daného typu, argument ’type’
je textový řetězec specifikující daný typ: ’alpha’ (písmena),
’alphanum’ (číslice a písmena), ’digit’ (číslice),
’wspace’ (mezera), ’lower’ (malá písmena), ’upper’
(velká písmena), další viz doc isstrprop
Převod čísla na řetězec je možné pomocí funkce num2str() nebo int2str(), která
číslo zaokrouhlí. Opačný převod provádí funkce str2num(), je možno použít i funkci
eval().
Řetězec dané délky obsahující pouze mezery lze vytvořit pomocí funkce blanks(n),
kde argument n označuje počet mezer. Funkce deblank(a) naopak odstraní mezery
z konce textového řetězce a.
51
KAPITOLA 6. TEXTOVÉ ŘETĚZCE
>> s1 = [’123’, blanks(3), ’abc’, blanks(2)]
s1 =
123 abc
>> d1 = double(s1) převod na číselný vektor odpovídající kódům ASCII tabulky
d1 =
49 50 51 32 32 32 97 98 99 32 32
>> s2 = deblank(s1) odstranění mezer
s2 =
123 abc
>> d2 = double(s2)
d1 =
49 50 51 32 32 32 97 98 99
6.3 Funkce pro manipulaci s řetězci
S řetězci je možné provádět řadu operací pomocí funkcí k tomu určených. Nejdůležitější
z nich jsou:
strcat(s1, s2, ..., sN) – spojuje řetězce, které jsou na vstupu, do jednoho.
strvcat(s1, s2, ..., sN) – umísťuje řetězce do matice jako řádky, přitom je doplňuje
mezerami na stejnou délku.
strcmp(s1, s2) – porovnává vstupní řetězce s1 a s2. Vrací hodnotu 1, pokud jsou
řetězce stejné, v opačném případě vrací 0.
strncmp(s1, s2, n) – funguje podobně jako funkce strcmp() s tím rozdílem, že
porovnává pouze prvních n prvků vstupních řetězců.
strcmpi(s1, s2) – funguje podobně jako funkce strcmp(), ale nerozlišuje malá a
velká písmena.
strncmpi(s1, s2, n) – funguje podobně jako funkce strcmpi(), porovnává pouze
prvních n prvků vstupních řetězců.
findstr(s1, s2) – vyhledává v delším řetězci kratší z nich. Jako výstup vrací indexové
pozice, na kterých začíná kratší řetězec v delším. Pokud se v něm nevyskytuje,
výstupem je prázdná matice.
strfind(s1, s2) – funguje podobně jako funkce findstr(), vyhledává řetězec s2
v řetězci s1.
52
KAPITOLA 6. TEXTOVÉ ŘETĚZCE
strrep(s1, s2, s3) – funkce prohledává řetězec s1, pokud v něm najde řetězec s2,
nahradí jej řetězcem s3.
[s1, s2] = strtok(s) – najde úvodní část vstupního řetězce ukončenou mezerou a
vrátí ji na výstup do proměnné s1. Případné počáteční mezery jsou vypuštěny.
Ve druhé výstupní proměnné s2 je obsažen zbytek vstupního řetězce.
upper(s) – převede malá písmena ve vstupním řetězci s na velká.
lower(s) – převede velká písmena ve vstupním řetězci s na malá.
6.4 Funkce eval a feval
Funkce eval() slouží k vyhodnocení vstupního řetězce. Funkce je užitečná zejména
v případě, kdy potřebujeme spočítat hodnotu nějakého výrazu pro různé hodnoty parametrů
v něm obsažené.
>> s = ’sin(2*pi*a*x)’;
>> x = 0:0.01:1;
>> a = 1;
>> y = eval(s);
y =
0 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0000 -0.5878 -0.9511
-0.9511 -0.5878 -0.0000
Funkce feval(funkce, hodnota) slouží k vyhodnocení funkce. Jejím prvním vstupním
argumentem je textový řetězec obsahující název funkce, která má být vyhodnocena
(funkce), druhý parametr obsahuje hodnotu (hodnota), která se předá volané funkci
jako vstupní parametr.
Následující tři příkazy dávají stejný výstup:
>> x = 0:0.01:1;
>> y = sin(x);
>> y = feval(’sin’, x);
>> y = eval(’sin(x)’);
Pokud má volaná funkce více parametrů, jsou uvedeny jako další parametry funkce
feval().
53
KAPITOLA 6. TEXTOVÉ ŘETĚZCE
>> x = -1:2;
>> y = feval(’diag’, x, 1);
y =
0 -1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 2
0 0 0 0 0
Funkce feval() se využívá zejména v případě, kdy voláme různé funkce, jejichž názvy
jsou obsaženy v textovém řetězci.
Příklady k procvičení
1. Definujte následující tři textové řetězce: t1 = ’Textovy retezec’, t2 = ’je
posloupnost znaku’ a t3 = ’uzavrena v apostrofech.’.
a) Vytvořte řádkový vektor t poskládaný z řetězců t1, t2 a t3.
b) Vytvořte matici T obsahující řetězce t1, t2 a t3 v řádcích.
c) Zjistěte rozměry matice T.
d) Zjistěte počet mezer ve druhém řádku matice T s koncovými mezerami i bez
nich a porovnejte s počtem mezer v řetězci t2.
e) Vypište pozice, na kterých se v textovém řetězci t1 nachází řetězec ’e’.
f) Zjistěte, na kolika pozicích vektoru t se nachází řetězec ’o’.
g) Zjistěte, v kolika sloupcích matice T se nachází mezera.
h) Každý výskyt řetězce ’z’ ve vektoru t nahraďte otazníkem.
2. Definujte funkci ea·x
a pro a=0.5 a ekvidistantní vektor x délky 5 s počátečním
bodem 0 a koncovým bodem 3 vyčíslete.
Řešení.
1. t1 = ’Textovy retezec’, t2 = ’je posloupnost znaku’, t3 = ’uzavrena v
apostrofech.’
a) t = [t1, ’ ’, t2, ’ ’, t3] nebo
t = [t1, blanks(1), t2, blanks(1), t3] nebo
b) T = char(t1, t2, t3) nebo
T = strvcat(t1, t2, t3)
c) size(T)
54
KAPITOLA 6. TEXTOVÉ ŘETĚZCE
d) s koncovými mezerami: sum(isspace(T(2,:))) nebo
sum(isstrprop(T(2,:), ’wspace’))
bez koncových mezer: sum(isspace(deblank(T(2,:)))) nebo
sum(isstrprop(deblank(T(2,:)), ’wspace’))
v řetězci t2: sum(isspace(t2)) nebo
sum(isstrprop(t2, ’wspace’))
e) findstr(’e’, t1) nebo
findstr(t1, ’e’) nebo
strfind(t1, ’e’)
f) length(findstr(’o’, t)) nebo
length(findstr(t, ’o’)) nebo
length(strfind(t, ’o’))
g) sum(sum(isspace(T)) >= 1) nebo
sum(sum(isstrprop(T, ’wspace’)) >= 1) nebo
sum(sum(double(T) == 32) >= 1)
h) strrep(t, ’z’, ’?’)
2. f = ’exp(a*x)’
a = 0.5, x = linspace(0, 3, 5)
y = eval(f)
55
KAPITOLA 7. VYHODNOCOVÁNÍ VÝRAZŮ 56
Kapitola 7
Vyhodnocování výrazů
Základní informace
Matematické výrazy a funkce mohou být v MATLABu zadány několika způsoby. V této
kapitole si ukážeme možnosti zadání těchto funkcí, způsoby výpočtu funkčních hodnot
či hledání jejich kořenů. Poslední část kapitoly je věnována polynomům, pro jejichž
manipulaci byly v MATLABu vyvinuty speciální funkce.
Výstupy z výuky
Studenti
• umí vyhodnotit výraz jako textový řetězec, znají rozdíl mezi vyhodnocováním
proměnných jako skalárů, vektorů a matic
• umí pracovat se symbolickými výrazy, umí převádět textový řetězec na symbolický
výraz a vyhodnocovat jej
• znají funkce pro derivování, integrování a zjednodušení symbolického výrazu
• definují výraz jako INLINE funkci, dokáží takto definované výrazy vyhodnocovat
• umí konstruovat polynomy, dokáží použít funkce pro určení kořenů a vyhodnocení
polynomu v bodě i matici bodů
7.1 Výraz jako textový řetězec
Chceme-li vyhodnotit výraz zadaný jako textový řetězec, použijeme funkci eval() blíže
popsanou v minulé kapitole.
KAPITOLA 7. VYHODNOCOVÁNÍ VÝRAZŮ
Vyhodnocení výrazu x2
+ xy + 1 v bodech x = 2, y = 3 pomocí textového řetězce:
>> f = ’x^2+x*y+1’;
>> x = 2;
>> y = 3;
>> z = eval(f)
z =
11
Trochu jiná situace však nastane, pokud proměnné x a y budou vektory, např. x =
[0, 1], y = [1, 2], a tedy z = [1, 4]. Je třeba si totiž uvědomit, že MATLAB bude výše
definovaný výraz f vyhodnocovat maticově, tj. operace umocňování a násobení bude
provádět maticově. Vyhodnocení v tomto případě selže, protože vektory x a y nemají
příslušné rozměry pro tyto operace. Navíc nás ani maticové vyhodnocení nezajímá,
neboť chceme, aby se jednotlivé operace provedly po složkách. Musíme tedy ”dodat”
tečky před operace násobení a umocňování (případně ještě dělení). To se dá provést
buď ručně nebo pomocí funkce vectorize().
>> f = vectorize(’x^2+x*y+1’)
f =
x.^2+x.*y+1
>> x = [0 1];
>> y = [1 2];
>> z = eval(f)
z =
1 4
Takový postup platí samozřejmě i v případě, že by x a y nebyly vektory, ale matice
(samozřejmě stejných rozměrů).
>> x = [0 1 2; -1 2 3];
>> y = [1 2 -1; 0 3 1];
>> z = eval(f)
z =
1 4 3
2 11 13
Pro řešení rovnic slouží funkce solve().
>> g = ’x^2 - 2*x - 3’;
>> solve(g)
ans =
3
-1
57
KAPITOLA 7. VYHODNOCOVÁNÍ VÝRAZŮ
7.2 Symbolický výraz
MATLAB umí pracovat i se symbolickými výrazy (podobně jako např. MAPLE). Je
však nutné, aby příslušná verze MATLABu obsahovala knihovnu pro práci se symbolickými
výrazy (Symbolic Toolbox). To lze zjistit např. příkazem ver, který vypíše
verzi MATLABu a všechny nainstalované knihovny. Pomocí funkce sym() můžeme libovolný
textový řetězec převést na symbolický výraz. Vyhodnocení takto definovaného
výrazu se provede pomocí funkce subs(f, old, new), kde f je symbolický výraz nebo
textový řetězec, old udává proměnné jako textové řetězce. Pokud je proměnných více,
musí být odděleny čárkou, uzavřeny ve složených závorkách a záleží na jejich pořadí.
Argument new udává hodnoty proměnných, ve kterých má být funkce vyčíslena. Jejich
pořadí se řídí pořadím proměnných uvedeným v argumentu old.
Vyhodnocení výrazu x2
+ xy + 1 v bodech x = 2, y = 3 pomocí symbolického vý-
razu:
>> f = sym(’x^2+x*y+1’);
>> z = subs(f ,{’x’, ’y’}, {2, 3})
z =
11
>> z1 = subs(’sin(x)’, ’x’, pi/2) vyhodnocení funkce sin(x) v bodě x = π
2
z1 =
1
V případě, že proměnné x a y jsou vektory, resp. matice, syntaxe je podobná. POZOR!
Symbolické výrazy nevektorizujeme!
>> f = sym(’x^2 + x*y + 1’);
>> z = subs(f, {’x’, ’y’}, {[0 1], [1 2]})
z =
[1, 4]
Poznámka. Funkce sym() rovněž slouží ke konverzi čísel či číselných matic do různých
formátů: sub(A, ’r’) do tvaru racionálních čísel, sub(A, ’d’) do tvaru desetinných
čísel.
Pro řešení rovnic slouží funkce solve().
>> g = sym(’x^2 - 2*x - 3’);
>> solve(g)
ans =
3
-1
58
KAPITOLA 7. VYHODNOCOVÁNÍ VÝRAZŮ
Funkce symvar() slouží k nalezení proměnných v zadaném výrazu, přitom známé
funkce a konstanty ignoruje.
>> symvar(’log(pi*x) - sin(i*y)’)
>> ans =
’x’
’y’
Práce se symbolickými výrazy má mnoho výhod. K dispozici jsou funkce pro derivování
(diff()), integrování (int()), zjednodušení výrazů (simplify()), převod výrazu do
do jeho LATEXovské reprezentace (latex()) a mnoho dalších.
7.3 Výraz jako INLINE funkce
Poslední možností, jak vyhodnotit daný výraz, je definovat ho jako tzv. INLINE funkci
příkazem inline(). Samotné vyhodnocení je prováděno pouhým zapsáním dané hodnoty
do kulatých závorek za funkci.
>> f = inline(’x^2 + 1’)
>> z = f(2)
z =
5
V případě, že funkce obsahuje více proměnných, je jejich pořadí dáno abecedně. Vlastní
pořadí proměnných lze definovat pomocí dalších argumentů – čárkami oddělené textový
řetězce názvů proměnných v požadovaném pořadí.
>> f1 = inline(’x^2 + x*y + 1’, ’x’, ’y’); příkaz ekvivalentní příkazu s implicitním
nastavení pořadí proměnných f = inline(’x^2 + x*y + 1’);
>> z1 = f1(2, 3)
z1 =
11
>> f2 = inline(’x^2 + x*y + 1’, ’y’, ’x’); výměna pořadí proměnných pro
vyhodnocování funkce
>> z2 = f2(2, 3)
z2 =
16
V případě, že proměnné x a y jsou vektory, resp. matice, syntaxe je podobná – aby
byly operace prováděny po složkách, je potřeba dodat tečky před příslušné operace
nebo funkci vektorizovat pomocí funkce vectorize().
59
KAPITOLA 7. VYHODNOCOVÁNÍ VÝRAZŮ
>> f = inline(’x^2 + x*y + 1’, ’x’, ’y’);
>> f = vectorize(f);
>> z = f([0 1], [1 2])
z =
1 4
7.4 Polynomy
V MATLABu existuje několik funkcí usnadňujících práci s polynomy. Jsou to především
funkce pro tvorbu polynomů, jejich vyhodnocování, výpočet kořenů, apod. S polynomy
lze samozřejmě zacházet stejně jako s výrazy popsanými výše, tento přístup ovšem není
tak efektivní.
Polynom je v MATLABu definován jako posloupnost koeficientů seřazených od členu
s nejvyšší mocninou po absolutní člen. Nulové hodnoty v této posloupnosti odpovídají
chybějícím členům polynomu.
>> p = [2 -3 0 5 -4]; zápis polynomu p(x) = 2x4
− 3x3
+ 5x − 4
Základní funkce pro práci s polynomy:
y = polyval(p, x) vyhodnocení polynomu p v daném
bodě/vektoru x
y = polyvalm(p, A) vyhodnocení polynomu p v matici bodů A
k = roots(p) kořeny k polynomu p
p = poly(k) sestrojení polynomu p, jehož kořeny jsou k
pd = polyder(p) derivace pd polynomu p
pint = polyint(p, k) integrál pint polynomu p. k označuje integrační
konstantu, není-li uvedena, je volena
nulová integrační konstanta
p = conv(p1, p2) součin p polynomů p1 a p2
[podil, zbytek] = deconv(p1, p2) dělení polynomů p1 a p2 se zbytkem, podil
obsahuje podíl polynomů, zbytek obsahuje
jejich zbytek
p = poly2sym(c) převod polynomu zadaného koeficienty do
symbolické reprezentace
>> pol = poly2sym(p)
pol =
2*x^4 - 3*x^3 + 5*x - 4
>> y1 = polyval(p, 1) vyhodnocení polynomu p v bodě 1
y1 =
0
60
KAPITOLA 7. VYHODNOCOVÁNÍ VÝRAZŮ
>> y2 = polyval(p, -1:1) vyhodnocení polynomu p v bodech -1, 0, 1
y2 =
-4 -4 0
>> A = [-1 0; 1 2];
>> Y1 = polyval(p, A) vyhodnocení polynomu p po složkách v matici A
Y1 =
-4 -4
0 14
>> Y1 = polyvalm(p, A) vyhodnocení polynomu p (maticově) v matici A, ekvivalentní
příkaz: 2*A^4 - 3*A^3 + 5*A - 4*eye(2)
Y1 =
-4 0
6 14
>> k = roots([1 0 -1]) kořeny polynomu x2
− 1
k =
-1
1
>> p1 = poly([-1 1]) polynom p s kořeny -1, 1
p1 =
1 0 -1
>> pd = polyder(p) derivace polynomu p
pd =
8 -9 0 5
>> p = conv([1 -1], [2 0]) součin p(x) = 2x2
− 2x polynomů p1(x) = x − 1 a
p2(x) = 2x
p =
2 -2 0
>> [podil, zbytek] = deconv(p, p1) podíl a zbytek při dělení polynomu p polynomem
p1
podil =
2 -3 2
zbytek =
0 0 0 2 -2
Příklady k procvičení
1. Definujte funkci f(x) = x4
+ 4x3
+ 3x2
− 4x − 4 jako:
a) textový řetězec f1,
b) symbolický výraz f2,
c) inline funkci f3,
d) polynom f4.
61
KAPITOLA 7. VYHODNOCOVÁNÍ VÝRAZŮ
2. Spočítejte funkční hodnoty funkcí f1, f2, f3 a f4 v bodech x = [0 1 2 3].
3. Pro f1, f2 a f4 řešte rovnici f(x) = 0.
4. Vyčíslete první derivaci funkce f(x) v bodech x pomocí symbolického výrazu a
polynomu.
5. Vyčíslete integrál z funkce f(x) v bodech x pomocí symbolického výrazu a poly-
nomu.
Řešení.
1. a) f1 = ’x^4 + 4*x^3 + 3*x^2 - 4*x - 4’
b) f2 = sym(’x^4 + 4*x^3 + 3*x^2 - 4*x - 4’)
c) f3 = inline(’x^4 + 4*x^3 + 3*x^2 - 4*x - 4’)
d) f4 = [1 4 3 -4 -4]
2. x = 0:3
a) y1 = eval(vectorize(f1))
b) y2 = subs(f2, ’x’, x)
c) f3 = vectorize(f3), y3 = f3(x)
d) y4 = polyval(f4, x)
3. a) res1 = solve(f1)
b) res2 = solve(f2)
c) res4 = roots(f4)
4. a) yd2 = eval(vectorize(diff(f2)))
b) yd4 = polyval(polyder(f4), x)
5. a) yint2 = eval(vectorize(int(f2)))
b) yint4 = polyval(polyint(f4), x)
62
KAPITOLA 8. PRÁCE SE SOUBORY 63
Kapitola 8
Práce se soubory
V praktických situacích často pracujeme s daty, která jsou uložena v externích souborech,
v průběhu práce potřebujeme ukládat záznam práce, některé proměnné obsahující
důležité výstupy či celý workspace. V této kapitole se seznámíme s příkazy pro manipulaci
se soubory a adresáři a nastavení cesty k nim.
Základní informace
Výstupy z výuky
Studenti
• umí prováděné příkazy i s výsledky ukládat do souboru
• znají funkce pro ukládání a načítání proměnných
• dokáží zjistit název pracovního adresáře a vypsat jeho obsah, dokáží se pohybovat
mezi adresáři
8.1 Záznam práce
Prováděné příkazy i s výstupy je možné zaznamenávat do tzv. žurnálu, ukládat lze
pomocí příkazu diary. Příkaz diary on zapne ukládání a všechny další příkazy i s jejich
výstupy budou ukládány v pracovním adresáři do souboru s názvem diary. Příkaz
diary off toto ukládání přeruší a uzavře soubor, přičemž nové použití příkazu nesmaže
původní obsah souboru a nově provedené příkazy i s výstupy do souboru přidá.
Použití samotného příkazu diary bez parametrů přepne režim ukládání, tj. pokud bylo
ukládání zapnuto, pak ho vypne a naopak.
KAPITOLA 8. PRÁCE SE SOUBORY
Ukládání do souboru s jiným názvem dosáhneme pomocí příkazu diary jmeno souboru
nebo ekvivalentním příkazem diary(’nazev souboru’), kde nazev souboru je libovolný
název souboru. Další použití příkazu diary bez parametrů se pak bude vztahovat
ke zvolenému souboru.
8.2 Ukládání a načítání proměnných
Pro uložení proměnných do souboru slouží příkaz save. Jeho použití bez parametrů
uloží všechny definované proměnné do souboru s názvem matlab.mat.
Pro uložení pouze vybraných proměnných do námi zvoleného souboru zadáme jako
první parametr název souboru a jako další parametry (odděleny čárkami nebo mezerami)
názvy proměnných, které chceme uložit. Uložené soubory mají automaticky
příponu .mat. Je možné zadat i příponu jinou.
>> who seznam definovaných proměnných
Your variables are:
a A b c u v x
>> save data uloží všechny definované proměnné do souboru data.dat
>> save data1 a b c proměnné a, b a c uloží do souboru data1.mat
>> save(’data1’, ’a’, ’b’, ’c’) ekvivalentní příkaz k příkazu save data1 a
b c
Načíst data z uloženého souboru můžeme příkazem load. Použijeme-li ho bez parametrů,
načtou se všechny uložené proměnné ze souboru matlab.mat. Příkaz load je možné
použít podobně jako příkaz save.
Pokud má soubor s uloženými daty jinou příponu než .mat, musí se při načítání jeho
obsahu použít parametr ”-MAT” (lze použít i malá písmena: -mat).
>> load data1 načte všechny proměnné uložené v souboru data1.mat, ekvivalentní
příkaz: load(’data1’)
>> load data1.dat -MAT načte všechny proměnné uložené v souboru data1.dat
Data lze uložit do souboru i v tzv. ASCII tvaru, který je běžně čitelný v textovém editoru.
Dosáhneme toho užitím volby -ASCII:
save data2.dat X -ASCII
V tomto souboru ovšem není uložen název proměnné X, pouze její obsah. Při načítání
souboru, který má jinou koncovku než .mat, se automaticky předpokládá, že jsou
v ASCII tvaru. Z takového souboru je možné ovšem načíst pouze jednu proměnnou,
která má navíc stejný název jako je název původního souboru (bez přípony). Takové
soubory je možné vytvářet i ručně, případně jako výstup práce jiných programů. Je
ovšem nutno mít na paměti, že data v nich obsažená musí mít tvar matice, tj. každý
řádek musí mít stejný počet sloupců.
64
KAPITOLA 8. PRÁCE SE SOUBORY
8.3 Soubory v systému MATLAB
MATLAB většinu příkazů, které provádí, hledá v souborech, které tyto příkazy obsahují
jako funkce. Přípona těchto souborů je .m, proto se taky nazývají m-soubory (m-file).
Tyto soubory obsahují jednak zápis algoritmu, pomocí něhož se provádí daný výpočet
či dané operace, a nápovědu, která se vypisuje příkazem help.
Některé funkce jsou tzv. vnitřní, ty jsou uloženy v předkompilované podobě v knihovně
funkcí a příslušný m-soubor obsahuje jen nápovědu. Pomocí příkazu which zjistíme,
kde se soubor s daným programem či funkcí nachází, nebo zda se jedná o vnitřní funkci
MATLABu.
>> which poly
C:\Program Files\MATLAB\R2014a\toolbox\matlab\polyfun \poly.m
>> which eig
built-in (C:\Program Files\MATLAB\R2014a\toolbox\matlab\matfun\@single\
\eig) % single method
Další funkce mohou být uloženy v tzv. mex-souborech (s příponou .mex). Ty jsou vytvořeny
v některém jiném programovacím jazyce (C, FORTRAN) a jsou speciálně
zpracovány tak, aby je bylo možné používat v MATLABu.
Datové soubory, jak už bylo řečeno, mají standardně příponu .mat.
8.4 Cesta k souborům
Programy a funkce spouštěné při práci v MATLABu jsou vyhledávány v adresářích,
k nimž je nastavená cesta – tzv. matlabpath. Její obsah zjistíme příkazem path nebo
matlabpath. Pokud chceme do této cesty přidat nějaký další adresář, můžeme to provést
pomocí funkce path(path,’dalsi adresar’) nebo příkazem
addpath dalsi adresar.
Proměnná dalsi adresar musí obsahovat textový řetězec s cestou k danému adresáři.
Konkrétní tvar cesty závisí na použitém operačním systému.
>> path(path, ’d:\user\matlab’) přidání nové cesty v MS Windows
>> addpath d:\user\matlab ekvivalentní způsob pro přidání nové cesty v MS Win-
dows
>> addpath /home/user/matlab přidání nové cesty v UNIXu
Pokud na konci příkazu addpath přidáme přepínač -BEGIN, nový adresář se uloží na
začátek seznamu a bude pak prohledáván jako první. Uložení na konec seznamu je
možné zadat přepínačem -END. Ke smazání adresáře ze seznamu slouží příkaz rmpath.
65
KAPITOLA 8. PRÁCE SE SOUBORY
8.5 Další příkazy pro práci se soubory
Výpis obsahu pracovního adresáře zjistíme příkazem dir nebo ls. Můžeme také použít
hvězdičkovou konvenci – příkazem dir *.mat vypíšeme všechny datové soubory
s příponou .mat v daném adresáři.
Chceme-li zjistit, ve kterém adresáři se právě nacházíme, použijeme příkaz pwd, který
zobrazí textový řetězec kompletní cesty do aktuální složky. Pro změnu pracovního adresáře
slouží příkaz cd jiny adresar, kde jiny adresar je cesta k novému adresáři.
>> addpath(pwd) aktuální adresář je možné přidat do cesty pro prohledávání
>> cd matlab/data změna pracovního adresáře
Pro výpis obsahu zvoleného souboru můžeme použít funkci type(filename), kde
filename je název zvoleného souboru. Pokud předem zadáme příkaz more on, výpis
dlouhého souboru bude zobrazován po stránkách. Vypnutí stránkování provedeme
příkazem more off (implicitní nastavení).
Další užitečné funkce:
copyfile(’source’, ’destination’) funkce pro kopírování souborů z původního
umístění ’source’ na nové místo ’destination’
delete(’fileName’) funkce pro mazání souborů
rmdir(’folderName’) funkce pro mazání adresářů
lookfor topic pro zadaný výraz topic prohledává nápovědu
edit příkaz pro vyvolání editoru pro psaní kódu, jeho nastavení závisí na operačním
systému. Editor lze rovněž vyvolat z menu Editor → New.
Příklady k procvičení
1. Veškerý záznam práce uložte do souboru ZaznamPrace.
2. Načtěte soubor v.mat, ve kterém je uložen vektor v. Zjistěte jeho délku a počet
záporných prvků.
3. Vektor v seskládejte po sloupcích do čtvercové matice A a tu uložte do souboru
A.mat.
4. Ukončete ukládání záznamu práce do souboru.
Řešení.
1. diary ZaznamPrace nebo
diary(’ZaznamPrace’)
66
KAPITOLA 8. PRÁCE SE SOUBORY
2. load v, delka = length(v), zap = sum(v < 0)
3. A = reshape(v, sqrt(delka), sqrt(delka)), save A.mat A
4. diary off
67
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU 68
Kapitola 9
Práce s grafikou
Základní informace
Nedílnou součástí vědeckotechnických výpočtů, analýz, modelů či simulací je prezentace
dat či grafické výstupy. Následující kapitola obsahuje základní typy grafů, seznamuje
s potřebnými funkcemi pro potřebnou úpravu grafů a dává návod, jak lze požadovaného
vzhledu grafu dosáhnout interaktivně.
Výstupy z výuky
Studenti
• ovládají základní příkazy pro vykreslení grafu, dokáží určit definiční obor a spočítat
funkční hodnoty
• dokáží použít parametry ovlivňující barvu, styl čáry a znak pro vykreslení jednotlivých
bodů
• umí konstruovat více grafů do jednoho grafického okna, znají funkce pro zapínání
a vypínání přepisování v grafu
• dokáží zobrazit mřížku v grafu, znají příkazy pro popisky os i název grafu
• umí vykreslit více grafů do jednoho grafického okna
• zobrazí funkce dvou proměnných, umí zvolit barevné škálování a měnit úhel pohledu
na trojrozměrný obrázek
• umí měnit vlastnosti grafických objektů
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
9.1 Funkce plot() a její použití
Základním příkazem pro kreslení grafů funkcí jedné proměnné je funkce plot(), která
při implicitním nastavení spojuje zadané body úsečkami.
plot(x) pro vstupní vektor x vykreslí spojnicový graf s indexy 1:length(x)
na ose x a hodnotami vektoru x na ose y. Pro vstupní matici x vykreslí
v jednom okně spojnicový graf pro každý sloupec matice.
plot(x, y) vykreslí spojnicový graf hodnot y na pozicích x.
Graf funkce sin(2x) + cos(x) na intervalu [0, π]:
>> x = linspace(0, pi); vygenerování (implicitně 100) hodnot na ose x, pro které
má být funkce zobrazena
>> y = sin(2*x) + cos(x); výpočet funkčních hodnot
>> plot(x, y) vykreslení grafu (Obr. 9.1)
Obrázek 9.1: Výstup funkce plot(x, y).
Poznámka. Vykreslená funkce vypadá hladce, ve skutečnosti se ovšem jedná o lomenou
čáru, jednotlivé body jsou spojovány úsečkami. Vzhled grafu tak velmi ovlivňuje
hustota bodů na ose x (Obr. 9.2).
69
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
>> x = linspace(0, pi, 7); vygenerování menšího počtu hodnot na ose x
>> y = sin(2*x) + cos(x);
>> plot(x, y) vykreslení grafu (Obr. 9.2)
Obrázek 9.2: Výstup funkce plot(x, y) pro menší počet vygenerovaných bodů.
Funkce plot(), může obsahovat ještě další volitelný parametr. Jedná se o textový řetězec,
pomocí něhož můžeme ovlivňovat barvu a styl vykreslené čáry a symbol pro
zobrazení jednotlivých bodů, které jsou spojovány úsečkami. Každá barva, styl čáry a
symbol mají svůj znak, jejich kombinací do textového řetězce zvolíme vzhled grafu.
Znaky pro barvu:
y žlutá (yellow)
m fialová (magenta)
c modrozelená (cyan)
r červená red
g zelená (green)
b modrá (blue)
w bílá (white)
k černá (black)
Znaky pro styl čáry:
- plnou čarou
-- čárkovaně
: tečkovaně
-. čerchovaně
70
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
Znaky pro symboly zobrazených bodů:
. tečka
o kroužek
+ křížek
* hvězdička
s čtvereček (square)
d kosočtverec (diamond)
v trojúhelník (otočený dolů)
^ trojúhelník (otočený nahoru)
< trojúhelník (otočený doleva)
> trojúhelník (otočený doprava)
p pentagram
h hexagram
>> x = [1, 2, 3];
>> y = [1, 3, 2];
>> plot(x, y, ’r--*’) vykreslení daných bodů červenou čárkovanou čarou s body
vyznačenými hvězdičkami (Obr. 9.3)
Obrázek 9.3: Výstup funkce plot(x, y, ’b--k*’).
71
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
>> plot(x, y, ’+r’) vykreslí pouze zadané body bez spojování úsečkou. V případě,
že explicitně nezadáme barvu, je volena automaticky.
Funkce plot() umožňuje kreslit více grafů najednou, stačí je zadat jako další její parametry.
Pro každý graf můžeme uvést parametry pro styl vykreslení.
>> x = linspace(0, 2*pi);
>> y1 = sin(x);
>> y2 = cos(x);
>> y3 = sin(2*x);
>> plot(x, y1, x, y2, x, y3) vykreslí tři grafy uložené v proměnných y1, y2 a
y3, všechny pro stejný definiční obor daný proměnnou x (Obr. 9.4)
Obrázek 9.4: Výstup funkce plot(x, y1, x, y2, x, y3).
>> x = linspace(-2, 10, 20);
>> y = exp(x);
>> plot(x, y, ’b--’, x, y, ’r*’) vykreslení bodů jinou barvou než je barva
spojovacích čar (Obr. 9.5)
72
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
Obrázek 9.5: Výstup funkce plot(x, y, ’b--’, x, y, ’r*’).
9.2 Vzhled grafu
MATLAB obsahuje několik funkcí, díky nimž si uživatel může přizpůsobit vzhled grafu
podle vlastních představ, obsahuje funkce pro popisky os, název grafu, vkládání textu
do grafu, apod.
Níže jsou uvedeny nejpoužívanější funkce a příkazy:
• hold on přepínač pro zapnutí přikreslování dalších grafů do již existujícího grafu.
Pro vypnutí této vlastnosti slouží příkaz hold off
• grid on zapne zobrazení mřížky pro lepší orientaci v grafu, vypnout lze příkazem
grid off
• text(x, y, ’text’) do obrázku na místo o souřadnicích [x, y] umístí popisek
text
• gtext(’text’) do obrázku na místo interaktivně zvolené myší umístí popisek text
• xlabel(’popisx’) vytvoří popis osy x
• ylabel(’popisy’) vytvoří popis osy y
• title(’nazev’) vytvoří název obrázku
• legend(pozice, ’popis’) vytvoří legendu grafu tvořenou čárkami oddělenými
textovými řetězci s popisem, je zobrazena na místě daném numerickou hodnotou parametru
pozice (pozice může být dána i textovým řetězcem – více viz doc legend):
73
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
-1 vpravo mimo osy
0 uvnitř os
1 pravý horní roh
2 pravý levý roh
3 dolní levý roh
4 dolní pravý roh
• axis([xmin xmax ymin ymax]) numerické hodnoty xmin, xmax, ymin, ymax pro
úpravu rozsahů os
• figure() otevře nové prázdné okno
>> plot(x, y, ’b--’) výstup je zobrazen na Obr. 9.6
>> grid on zapnutí mřížky
>> xlabel(’x’) popis osy x
>> ylabel(’y’) popis osy y
>> title(’Graf funkce y=e^x’) název grafu
>> hold on zapne funkci přikreslování dalších objektů do vytvořeného grafu
>> plot(x, y, ’r*’) přidání bodů do grafu
Obrázek 9.6: Demonstrace funkcí title(), xlabel(), ylabel() a příkazů grid on a
hold on.
Vzhled grafu lze měnit také přímo z menu grafu Edit → Figure properties ..., kde lze
měnit barva pozadí či název grafu (Obr. 9.7). Poklikáním na vykreslenou křivku lze
zobrazit další menu (Obr. 9.8), kde lze měnit typ grafu, barvu, styl a tloušťku čáry a
symbolů.
74
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
Obrázek 9.7: Menu Figure Properties .... Obrázek 9.8: Menu Figure Properties ....
Poklikáním na osy grafu nebo v menu Edit → Axes properties ... lze v dalším otevřeném
menu (Obr. 9.9)měnit popisky, rozsahy a barvy os, lze zapnout mřížka, ohraničení grafu,
apod.
Obrázek 9.9: Menu Axes Properties ....
Složený obrázek obsahující více grafů v jednom okně lze vytvořit funkcí subplot(m,
n, p). Parametr m udává počet obrázků svisle, n počet obrázků vodorovně, parametr
p pozici pro umístění grafu při aktuálním volání funkce plot(). Pozice jsou číslovány
po řádcích.
75
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
>> x = 0:0.01:1;
>> y1 = sin(pi*x); y2 = sin(2*pi*x); y3 = sin(3*pi*x); y4 =
sin(4*pi*x);
>> subplot(2, 2, 1)
>> plot(x, y1, ’r’)
>> subplot(2, 2, 2)
>> plot(x, y2, ’b’)
>> subplot(2, 2, 3)
>> plot(x, y3, ’g’)
>> subplot(2, 2, 4)
>> plot(x, y4, ’k’)
Obrázek 9.10: Funkce subplot().
Vytvořený graf lze uložit v menu grafického okna File → Save as....
9.3 3D grafika
Pro kreslení grafů funkcí dvou proměnných můžeme použít základní funkce:
mesh(X, Y, Z) vytvoří 3D síťovaný graf
surf(X, Y, Z) vytvoří 3D síťovaný graf s barevně vyplněnými ploškami
Parametry X a Y jsou jsou matice nezávislých proměnných, třetí parametr Z obsahuje
76
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
matici funkčních hodnot. V případě vynechání nezávislých proměnných je graf indexován
rozměry matice Z.
Pro snadnější vytváření dvojrozměrných grafů slouží funkce meshgrid(), která vytvoří
z jednorozměrných vektorů nezávislých proměnných dvourozměrné sítě vhodné pro definování
grafu dané funkce. Použitím [X, Y] = meshgrid(x, y) vytvoříme z vektorů
x a y síť bodů, jejíž souřadnice jsou uloženy v maticích X a Y.
>> x = 0:0.05:1;
>> y = 0:0.05:1;
>> [X, Y] = meshgrid(x, y);
>> Z = sin(pi*(X+Y)); výpočet funkčních hodnot. POZOR! Je nutno počítat s maticemi
X a Y, ne s vektory x a y!
>> mesh(X, Y, Z) vykreslení síťovaný graf funkce sin(π(x + y)) pro x, y ∈ [0, 1]
(Obr. 9.11)
>> surf(X, Y, Z) vykreslení síťovaný graf s vyplněnými ploškami pro funkci
sin(π(x + y)), x, y ∈ [0, 1] (Obr. 9.12)
Obrázek 9.11: Výstup funkce mesh(X, Y,
Z)
Obrázek 9.12: Výstup funkce surf(X, Y,
Z)
Vykreslené graf obsahují celou škálu barev podle funkčních hodnot v jednotlivých
bodech. Barevnou stupnici tohoto škálování lze při okraji grafu zobrazit příkazem
colorbar.
Úhel pohledu na trojrozměrný obrázek lze nastavit funkcí view(az, el). Parametr az
udává azimut v rovině nezávislých proměnných, tj. otočení ve stupních kolem osy z;
kladné hodnoty udávají otočení proti směru hodinových ručiček. Parametr el udává
tzv. elevaci, což je úhel směru pohledu s rovinou nezávislých proměnných. Implicitně
77
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
je nastaven azimut -37.5◦
a elevace 30◦
.
V MATLABu je od verze 5.3 možné nastavovat úhel pohledu pomocí myši přímo v obrázku
volbou v panelu nástrojů (na Obr. 9.13 vyznačeno červeně). Podobně lze výběrem
položky v menu obrázku nastavovat i vlastnosti dvojrozměrných grafů.
>> surf(X, Y, Z)
>> colorbar
>> view(16, 12)
Obrázek 9.13: Zobrazení stupnice škálování barev a natočení grafu.
Pro vykreslování křivek v 3D prostoru se používá funkce plot3(x, y, z), jejíž vstupními
argumenty jsou vektory x, y a z stejných rozměrů. Pokud by vstupními argumenty
byly matice, funkce by vykreslila křivky postupně pro sloupce těchto matic.
>> t = 0:pi/50:10*pi;
>> plot3(sin(t), cos(t), t) vykreslí křivku v prostoru (Obr. 9.14)
Dalšími užitečnými funkcemi pro tvorbu 3D grafiky mohou být např. funkce contour()
(vrstevnicový graf), meshc() (síťovaný graf doplněný vrstevnicemi), waterfall() (podobný
síťovanému grafu, dělající iluzi vodopádu), quiver() (vektorové pole), apod.
78
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
Obrázek 9.14: Výstup funkce plot3(sin(t), cos(t), t).
Pro ukládání grafů slouží funkce print() se syntaxí
příkaz popis
print(gcf, ’-dpdf’, ’nazev.pdf’) ukládání ve formátu PDF
print(gcf, ’-deps’, ’nazev.eps’) ukládání ve formátu EPS
print(gcf, ’-dpng’, ’nazev.png’) ukládání ve formátu PNG
print(gcf, ’-djpeg’, ’nazev.jpeg’) ukládání ve formátu JPEG,
kde gcf označuje handle (odkaz) na ukládaný objekt.
9.4 Vlastnosti grafických objektů
Každý grafický objekt, jako je například graf funkce, popis os, titulek obrázku, ale i
obrázek jako celek, má spoustu grafických vlastností. Mezi tyto vlastnosti patří třeba
barva grafu, tloušťka čáry grafu, velikost písma a použitý druh písma (font) apod.
Výpis všech vlastností lze získat pomocí funkce get(), nastavit vlastnosti lze pomocí
funkce set(). Předtím je ale potřeba, aby byl definován ukazatel na daný grafický
objekt, tzv. handle. Ten vytvoříme přiřazením grafického příkazu do proměnné.
79
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
>> x = linspace(0, pi);
>> y = sin(x);
>> p = plot(x, y) vykreslení funkce sinus spolu s přiřazením do proměnné p. Protože
příkaz není ukončen středníkem, vypíše se hodnota definované proměnné p (není
důležitá), zadáním příkazu get(p) získáme výpis všech vlastností vykresleného grafu.
p =
176.0278
>> get(p) výpis vlastností grafu
DisplayName: ’’
Annotation: [1x1 hg.Annotation]
Color: [0 0 1]
LineStyle: ’-’
LineWidth: 0.5000
Marker: ’none’
MarkerSize: 6
MarkerEdgeColor: ’auto’
MarkerFaceColor: ’none’
XData: [1x100 double]
YData: [1x100 double]
ZData: [1x0 double]
BeingDeleted: ’off’
ButtonDownFcn: []
Children: [0x1 double]
Clipping: ’on’
CreateFcn: []
DeleteFcn: []
BusyAction: ’queue’
HandleVisibility: ’on’
HitTest: ’on’
Interruptible: ’on’
Selected: ’off’
SelectionHighlight: ’on’
Tag: ’’
Type: ’line’
UIContextMenu: []
UserData: []
Visible: ’on’
Parent: 175.0216
XDataMode: ’manual’
XDataSource: ’’
YDataSource: ’’
ZDataSource: ’’
80
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
Vlastnosti grafu lze měnit pomocí funkce set(p, ’PropertyName’, PropertyValue),
kde ’PropertyName’ označuje název vlastnosti (ve výpisu text před dvojtečkou) a
PropertyValue její novou hodnotu.
Příklady k procvičení
1. Nakreslete graf funkce f1(x) = x2
pro x ∈ [−2, 2]. Graf řádně otitulkujte.
2. Červeně přikreslete graf funkce f2(x) = x4
.
3. Do nového grafického okna nakreslete tyto grafy vedle sebe.
4. Jedním příkazem vykreslete pro x ∈ [−6, 6] graf funkce
f3(x) =
(x + 3)3
+ x x <= 0
(x − 2)4
+ (x − 5)2
+ 1 x > 0
.
5. Pro x, y ∈ [−2, 2] vykreslete graf funkce g(x) = x2
+ y2
.
Řešení.
1. x = linspace(-2, 2);
plot(x, x.^2)
title(’Graf 2. mocniny’), xlabel(’osa x’), ylabel(’osa y’)
2. hold on
plot(x, x.^4, ’r’)
3. figure
subplot(1, 2, 1)
plot(x, x.^2), title(’2. mocnina’), xlabel(’x’), ylabel(’y’)
subplot(1, 2, 2)
plot(x, x.^4), title(’4. mocnina’), xlabel(’x’), ylabel(’y’)
4. x = linspace(-6, 6); figure
y = ((x+3).^3 + x).*(x <= 0) + ((x-2).^4 + (x-5).^2 + 1).*(x > 0);
plot(x, y)
81
KAPITOLA 9. PRÁCE S GRAFIKOU
5. x = linspace(-2, 2); y = x; figure
[X, Y] = meshgrid(x, y);
surf(X, Y, X.^2 + Y.^2)
82
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU 83
Kapitola 10
Programování v MATLABu
Základní informace
MATLAB je prostředí nejen pro výpočty, modelování, simulace a grafické zobrazení
dat, ale také programovací prostředí, které svým uživatelům umožňuje vytváření svých
vlastních programů či přizpůsobení již existujících funkcí podle vlastních potřeb. Pro
tvorbu těchto funkcí je nezbytně nutné, aby uživatel dobře porozuměl rozdílu mezi dávkovým
souborem a funkcí a dalším základním věcem jako lokální a globální proměnné
a základní programové struktury.
Výstupy z výuky
Studenti
• umí vytvářet jednoduché vlastní skripty a funkce, znají rozdíl mezi nimi
• rozlišují lokální a globální proměnné
• ovládají schémata větvení programu pomocí příkazů ”if” a ”switch”, umí tyto
příkazy demonstrovat na jednoduchých příkladech
• orientují se v příkazech cyklů ”while” a ”for”, znají rozdíly v jejich použití
• seznámí se s některými alternativami pro větvení programů a cyklů
• dokáží použít příkazy pro ladění programu
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
10.1 Dávkové soubory (skripty) a funkce
Programy v MATLABu, které si může uživatel běžně vytvořit, lze rozdělit do dvou
skupin: dávkové soubory neboli skripty a funkce. Hlavní rozdíl mezi nimi je v tom, že
funkce může pracovat se vstupními a výstupními proměnnými, dávkový soubor nikoliv.
Další rozdíl je v lokálních a globálních proměnných, ten bude popsán dále. Obě skupiny
programů řadíme mezi tzv. M-fajly, neboť jsou uloženy v souborech s příponou .m –
např. dávka1.m, funkce2.m apod.
Dávkový soubor obsahuje příkazy MATLABu, které bychom mohli zadávat přímo
z klávesnice. Důvodem jejich uložení do souboru může být třeba to, že stejnou sekvenci
příkazů budeme potřebovat vícekrát. Důležitou roli zde má soubor s názvem
”startup.m”, který se vykoná při každém spuštění programu MATLAB, pokud existuje
v adresáři, v němž MATLAB pouštíme. V souboru ”startup.m” může být např.
úvodní nastavení formátu, otevření záznamu práce příkazem diary, atd.
Příklad obsahu souboru startup.m:
format compact
diary on
disp(’Program MATLAB Vás vítá!’)
disp(’ ’)
disp(’Vás pracovní adresář je:’)
disp(pwd)
Funkce musí začínat hlavičkou, která má tvar:
function [vystupni parametry] = nazev funkce(vstupni parametry)
a měla by končit příkazem end.
Vytvořená funkce musí být uložena v souboru s příponou .m. Je doporučováno volit
shodný název pro funkci i soubor, v opačném případě je při volání funkce rozhodující
název souboru.
Seznamy vstupních a výstupních parametrů jsou seznamy proměnných oddělených čárkami.
Tyto proměnné je možné libovolně používat v příkazech uvnitř funkce, přičemž
všechny výstupní proměnné by měly mít přiřazenou hodnotu před ukončením běhu
funkce. Pokud je výstupní proměnná jen jedna, nemusí být uzavřena v hranatých závorkách.
Vstupní ani výstupní proměnné nejsou povinné, hlavička funkce může v tomto
případě vypadat následovně:
function funkce1
Na řádcích pod hlavičkou může být umístěna nápověda k funkci. Jedná se o řádky
začínající znakem % (komentáře) obsahující popis chování funkce. Nápověda se zobrazí
pomocí funkce help nazev funkce nebo doc nazev funkce.
Příklad jednoduché funkce:
84
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
function [P,o] = trojuh(a, b, c)
% [P,o] = trojuh(a, b, c)
% Funkce pro výpočet obvodu a obsahu trojúhelníka
% a, b, c - délky stran
% P - obsah, o - obvod
o = a+b+c;
s = o/2;
P = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));
end
Uvedené příkazy uložíme do souboru s názvem trojuh.m v pracovním adresáři nebo
v adresáři, do kterého je nastavena cesta.
Názvy skutečných proměnných, které předáváme funkci jako parametry, se samozřejmě
nemusí shodovat se jmény proměnných ve funkci samotné, vstupní parametry je možné
zadávat i přímo pouze hodnotami.
>> [x,y] = trojuh(3, 4, 5)
x =
6
y =
12
V případě, že při volání použijeme méně výstupních parametrů, než je v definici funkce,
jsou funkcí přiřazeny příslušné hodnoty zleva, pokud tuto situaci neřeší funkce samotná.
>> trojuh(3, 4, 5) získáme pouze obsah trojúhelníka, jehož hodnota bude je přiřazena
v proměnné ans
Funkce je ukončena po vykonání všech příkazů, které obsahuje. Je také možné funkci
ukončit dříve pomocí příkazu return. Předčasné ukončení činnosti funkce dosáhneme
též funkcí error(’chyba’), která navíc vyvolá zvukový signál a vypíše textový řetězec
chyba.
>> A = [];
>> [m, n] = size(A);
>> if m*n == 0 % matice a je prazdna
error(’Prazdna matice!’); % vypis chyboveho hlaseni (cervene) v
pripade, ze je podminka splnena
end
Prazdna matice!
85
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
10.2 Lokální a globální proměnné
Všechny proměnné definované v MATLABu jsou implicitně považovány za lokální,
tj. nejsou známy mimo aktivní prostředí, kterým může být volaná funkce nebo pracovní
okno s příkazovým řádkem. Tedy pokud jsme v pracovním okně definovali na
příkazovém řádku proměnnou x, pak ve volané funkci bude tato proměnná neznámá.
Pokud si uvnitř funkce definujeme také proměnnou x nebo tak bude označen vstupní,
případně výstupní parametr, nebude to mít žádný vliv na proměnnou x definovanou
v příkazovém řádku. Naopak jakékoliv proměnné definované během práce nějaké funkce
nejsou známy mimo tuto funkci.
Výjimku tvoří dávkové soubory, ve kterých jsou známé proměnné definované v prostředí,
odkud byly zavolány. Naopak pokud v dávce nějaké proměnné definujeme, jsou
pak známé i po jejím ukončení.
Mějme soubor davka1.m obsahující příkazy
[P1, o1] = trojuh(3, 4, 5);
[P2, o2] = trojuh(7, 8, 9);
Po zadání příkazu davka1 z příkazové řádky jsou definovány proměnné P1, o1, P2,
o2 obsahující spočtené hodnoty. Podobně bychom mohli tyto hodnoty použít v nějaké
funkci, která by obsahovala příkaz davka1.
V případě, že potřebujeme použít nějakou proměnnou definovanou v příkazové řádce
i v nějaké funkci, musíme ji deklarovat jako globální pomocí příkazu global, a to jak
v příkazové řádce tak v těle funkce. Tato deklarace by se měla použít před přiřazením
hodnoty této proměnné.
10.3 Základní programové struktury
Mezi základní programové struktury patří příkaz větvení a příkaz cyklu. Tyto struktury
je samozřejmě možné použít i v příkazové řádce MATLABu. Nejprve se tedy zmíníme
o větvení programu.
10.3.1 Větvení programu
Větvení se provádí příkazem if. Syntaxe jeho použití se řídí následujícím schématem:
if podmínka1
příkazy1
elseif podmínka2
příkazy2
else
příkazy3
end
86
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
Větve else a elseif jsou samozřejmě nepovinné, přičemž elseif je možné použít
vícekrát. Příkazů v každé větvi může být víc. Znázorněné odsazení je nepovinné a je
použito kvůli větší přehlednosti. Všechny podmínky, příkazy i klíčová slova je možné
uvést v jediném řádku, v tomto případě je nutno použít oddělovač příkazů, tedy čárku
nebo středník.
Podmínky po klíčových slovech if a elseif jsou obecně matice. Platí, že podmínka
je splněna, jestliže všechny její prvky jsou nenulové. Například pokud má podmínka1
tvar A==B, kde A, B jsou matice, pak tento výraz vrátí matici s jedničkami nebo nulami,
podle toho, zda se jednotlivé odpovídající prvky shodují nebo ne. Větev příkazy1 by
se provedla jen v tom případě, že výsledná matice obsahuje jenom jedničky.
Klíčové slovo elseif je možné nahradit dvojicí else a if, ovšem potom je potřeba
o jeden end více. Schéma by pak vypadalo následovně:
if podmínka1
příkazy1
else
if podmínka2
příkazy2
else
příkazy3
end
end
Jako příklad vytvoříme soubor davka1.m. Po zadání příkazu davka1 z příkazové
řádky je uživatel vyzván, aby zadal libovolné číslo. Po zadání hodnoty a stisknutí klávesy
ENTER se vypíše na obrazovku, jestli uživatel zadal kladné nebo záporné číslo.
s = input(’Zadejte libovolne cislo: ’)
if s < 0
disp(’Zadali jste zaporne cislo.’);
elseif s > 0
disp(’Zadali jste kladne cislo.’);
else
disp(’Vami zadana hodnota je bud 0 nebo to neni cislo!’);
end
Dalším typem větvení je switch. Syntaxe jeho použití se řídí následujícím schématem:
switch výraz
case případ1
příkazy1
case případ2
příkazy2
...
87
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
otherwise
příkazy jiné
end
Tento typ větvení se používá především v situacích, kdy proměnná výraz nabývá
více hodnot. Přepínač switch sleduje hodnotu proměnné výraz a pro jednotlivé případy
(case) provede příslušné příkazy. Pokud nenastane žádný z popsaných případů,
vykonají se příkazy jiné. Znázorněné odsazení je nepovinné a je použito kvůli větší
přehlednosti.
Jako příklad vytvoříme soubor davka2.m, ve kterém je uživatel vyzván, aby zadal
číslo, které odpovídá pořadí dne v týdnu. Po zadání hodnoty a stisknutí klávesy ENTER
se vypíše na obrazovku den, který odpovídá zadanému číslu.
s = input(’Zadejte poradi dne v tydnu: ’) switch s
case 1
disp(’Zadali jste cislo pro pondeli.’);
case 2
disp(’Zadali jste cislo pro utery.’);
case 3
disp(’Zadali jste cislo pro stredu.’);
case 4
disp(’Zadali jste cislo pro ctvrtek.’);
case 5
disp(’Zadali jste cislo pro patek.’);
case 6
disp(’Zadali jste cislo pro sobotu.’);
case 7
disp(’Zadali jste cislo pro nedeli.’);
otherwise
disp([’Zadane cislo ’,num2str(s),’ neodpovida zadnemu dni!’]);
end
10.3.2 Cykly
Pro cyklus jsou v MATLABu dva příkazy. Je to příkaz while a příkaz for.
Cyklus while se používá v případech, kdy předem neznáme počet průběhů cyklem,
který je závislý na předem splnění dané podmínky. Použití příkazu while vypadá
následovně:
while podmínka
příkazy
end
88
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
Pro vyhodnocení podmínky podmínka platí v podstatě tatáž pravidla jako pro příkaz
if. Příkazy mezi while a end se vykonávají, pokud je podmínka pravdivá.
Jako příklad vytvoříme soubor davka3.m, po jehož spuštění z příkazové řádky je
uživatel vyzván, aby zadal nějaký text. Po zadání textu a stisknutí klávesy ENTER
se vypíše na obrazovku libovolná permutace textu. Zadá-li uživatel pouze klávesu ENTER,
dávka se ukončí.
s = input(’Zadejte libovolny text (konec = ’’ENTER’’): ’,’s’);
n = length(s);
while n ~= 0
disp(’Libovolna permutace zadaneho textu je:’);
disp(s(randperm(n)));
s = input(’Zadejte libovolny text (konec = ’’ENTER’’): ’,’s’);
n = length(s);
end;
Příkaz for se používá především v případech, kdy předem známe počet průchodů
cyklem. Jeho syntaxe je následující:
for prom=výraz
příkazy
end
Výraz v uvedeném přiřazení dá obecně matici. Proměnná prom je pak sloupcový vektor,
který v průběhu cyklu postupně nabývá hodnot jednotlivých sloupců této matice. Velmi
typické je následující použití:
for k=1:n
příkaz
end
Je třeba si uvědomit, že výraz ”1:n” vytvoří matici o jednom řádku a n sloupcích,
hodnoty v tomto řádku budou čísla od 1 do n, takže proměnná k bude postupně
nabývat těchto hodnot. V tomto případě se tedy chová příkaz for podobně, jak to
známe z jiných programovacích jazyků. Pokud je jako výraz použita nějaká konstantní
matice a v průběhu cyklu ji změníme, proměnná prom bude nabývat původních hodnot
sloupců matice. Běh obou cyklů je možné předčasně přerušit, slouží k tomu příkaz
”return”. Tato situace může nastat třeba při řešení soustavy lineárních rovnic, kdy
během výpočtu zjistíme, že matice soustavy je singulární.
V MATLABu je často možné nahradit použití cyklu jedním nebo několika příkazy,
pokud využijeme některé již definované funkce. Jako příklad nám může sloužit výpočet
faktoriálu. Pokud chceme vypočítat faktoriál z čísla n v běžném programovacím jazyce,
postupujeme obvykle následovně:
89
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
faktor = 1;
for k = 1:n
faktor = faktor * k;
end
Pro tento účel stačí v MATLABu napsat příkaz
faktor = 1;
for k = 1:n
faktor = faktor * k;
faktor = prod(1:n);
end
Tento příkaz dá správný výsledek i pro n=0, neboť součin přes prázdnou matici dává
jako výsledek jedničku.
10.4 Nástrahy při programování v MATLABu
Výše naznačený postup – totiž práce s vektory a s maticemi nikoliv v cyklech, ale se
všemi prvky v jediném příkazu najednou – je pro MATLAB typický. V tom také spočívá
jedna z velkých předností tohoto systému – možnost psát programy velmi efektivně.
Skrývá se zde ale také kámen úrazu, dokonce i pro zkušené programátory, kteří mohou
být navyklí na jiný způsob práce.
Uveďme jednoduchý příklad. Potřebujeme definovat nějakou funkci po částech,
dejme tomu f(x) bude mít hodnotu x^2 pro x < 0 a hodnotu x^3 pro x >= 0. První
věc, která by mnohé napadla, je udělat to následovně:
function y = f(x)
if x < 0
y = x^2;
else
y = x^3;
end
Tento postup je zajisté správný, pokud by se jednalo o program řekněme v jazyce
C nebo Pascal, kde při počítání funkčních hodnot pro nějakou množinu bodů postupujeme
v cyklu. Ale v MATLABu je zvykem, že jako argument funkce může být použit
vektor nebo matice, funkce pak vrátí vektor či matici stejného řádu, kde na odpovídajících
místech budou funkční hodnoty v původních bodech. Tohle výše uvedená funkce
evidentně nedělá.
Vypadá to, že stačí, když opravíme operátor ^ na operátor .^, který pracuje po
složkách. Tato úprava ale nestačí. Jak bylo vysvětleno výše, výraz za klíčovým slovem
if je matice nul a jedniček stejného řádu jako proměnná x. Stačí, aby nula byla je-
90
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
diná, a provede se druhá větev programu. Tedy jestliže jediná složka matice x bude
nezáporná, pak výsledkem budou na všech místech výstupu třetí mocniny. Pokud ale
budou všechny složky záporné, výsledek bude kupodivu správný.
Pokusme se funkci opravit. Jeden ze způsobů, jak to udělat, je provést přiřazování
v cyklech. Výsledek pak vypadá takto:
function y = f1(x)
[m,n] = size(x); % zjištění rozměrů matice
y = zeros(size(x)); % definice výstupní matice stejných rozměrů
for k = 1:m
for l = 1:n
if x(k,l) < 0
y(k,l) = x(k,l)^2;
else
y(k,l) = x(k,l)^3;
end
end
end
end
Tento postup je po stránce výsledků správný, ztrácí se jím ale veškeré výhody
MATLABu. Problém lze vyřešit mnohem efektivněji. Jednak by bylo možné použít
pouze jeden cyklus ve tvaru for k = 1:m*n a při indexování pak zadávat pouze jeden
index, např. y(k) = x(k)^2;
Lze se ale obejít bez cyklů úplně. Stačí, jestliže vytvoříme dvě matice stejného řádu
jako x, první bude mít jedničky na místech záporných složek x a nuly jinde, u druhé
tomu bude naopak. Tyto matice vynásobíme druhými resp. třetími mocninami složek x
a po sečtení vyjde správný výsledek. Pro lepší pochopení uvedeného postupu uvedeme
následující program:
function y = f2(x)
p1 = x < 0;
p2 = x >= 0;
y = p1.*x.^2 + p2.*x.^3;
end
Je dokonce možné provést zkrácení na jediný řádek, pokud nepočítáme hlavičku
funkce:
function y = f3(x)
y = (x<0).*x.^2 + (x>=0).*x.^3;
end
91
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
Tato verze je nejen daleko kratší, ale rovněž funguje rychleji, protože provádění cyklů je
v MATLABu poměrně pomalé, kdežto pro manipulaci s maticemi se používají interní
MATLABovské funkce, které pracují daleko efektivněji.
10.5 Ladění programu
Běžně se stává, že hotový program sice pracuje, ale chová se podivně nebo jeho výsledky
nejsou ve shodě s očekáváním. V tomto případě je potřeba najít chybu, v čemž
mohou pomoci ladící prostředky MATLABu. V novějších verzích je ladění umožněno
v rámci editoru programů, který je součástí MATLABu. Popíšeme ale i prostředky,
které umožňují ladění z příkazové řádky.
K ladění slouží následující příkazy:
dbstop, dbstep, dbclear, dbcont, dbstack, dbtype, dbquit, dbup, dbdown, dbstatus
Příkazem dbstop je možné nastavit zastavení programu v daném místě. Syntaxe
příkazu je
dbstop in m-file zastaví v daném souboru obsahujícím
funkci na prvním příkazu
dbstop in m-file at line zastaví v daném souboru na dané
řádce
dbstop in m-file at subfun zastaví v daném souboru na začátku
dané podfunkce
dbstop if error zastaví v případě chyby
dbstop if warning zastaví v případě varování
dbstop if naninf zastaví v případě výskytu hodnoty
Inf nebo NaN
dbstop if infnan zastaví v případě výskytu hodnoty
Inf nebo NaN
Po zastavení běhu programu je možné kontrolovat hodnoty proměnných jejich výpisem,
případně je opravovat. Příkazem dbstack můžeme zobrazit posloupnost volání
jednotlivých funkcí v místě zastavení. Příkazem dbtype můžeme zobrazit daný soubor
včetně čísel řádků. Pokud chceme zobrazit řádky v daném rozmezí, použijeme dbtype
mfile n1:n2.
Příkaz dbstep provede příkaz na řádce, kde se běh programu zastavil. Příkazem
dbstep n se provede n řádků od místa zastavení. Pokud je na místě zastavení volání
funkce a chceme pokračovat s laděním uvnitř této funkce, použijeme příkaz dbstep
in.
Pomocí příkazu dbcont se spustí další běh programu. Příkazem dbquit se předčasně
ukončí činnost laděného programu. Pokud chceme zjistit, jaké byly hodnoty proměnných
v nadřazené funkci nebo v základním prostředí, lze použít příkaz dbup, který
92
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
zajistí zavedení proměnných z prostředí nadřízeného funkci, v níž se právě nacházíme.
Opačně funguje funkce dbdown.
Seznam všech míst zastavení získáme příkazem dbstatus. Odstranit bod zastavení
lze pomocí dbclear.
Příklady k procvičení
1. Vytvořte funkci nasobky(), která pro vstupní parametry k a n vypíše prvních k
násobků čísla n.
2. Vytvořte funkci test(), která pro vstupní vektor známek (1 – 5) testu z matematiky
určí četnosti jednotlivých hodnocení. Výstup uložte do matice – v prvním
sloupci hodnocení, ve druhém sloupci počet hodnocení.
Funkce by také měla zkontrolovat, zda se opravdu jedná o celočíselný vstupní
vektor s hodnotami 1, 2, . . . , 5, v opačném případě by měla skončit chybovým
hlášením.
3. Vytvořte funkci soucet(), která bude náhodně generovat hodnoty z intervalu
[0, 1], dokud jejich součet nepřevýší hodnotu vstupního parametru s. Funkce na
svém výstupu vypíše vektor vygenerovaných hodnot vektor a jejich součet suma.
Funkce by měla ověřit, zda je s numerická hodnota větší než 1, v opačném případě
by měla skončit chybovým hlášením.
Řešení.
1. function[vystup] = nasobky(k, n)
% pro zadana "k" a "n" vypise prvnich "k" nasobku cisla "n"
vystup = (1:k) .* n;
end
2. function[vystup] = test(v)
% pro zadany vektor hodnoceni testu vypocita jejich cetnosti
if (isnumeric(v) == 0) | any(v - round(v) ~= 0) | any(v < 1) ...
| any(v > 5)
error(’Spatne zadana hodnoceni!’)
end
for i = 1:5
cetnost(i) = sum(v == i);
93
KAPITOLA 10. PROGRAMOVÁNÍ V MATLABU
vystup = [1:5; cetnost]’;
end
3. function[vektor, suma] = soucet(s)
if isnumeric(s) == 0 | s <= 1
error(’Spatne zadana hodnota s!’)
end
suma = 0;
while suma <= s
suma = suma + rand(1);
end
end
94
SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY 95
Seznam použité literatury
[1] DUŠEK, F. MATLAB a SIMULINK - úvod do užívání. Univerzita Pardubice,
2000. 147 s. ISBN 80-7194-273-1
[2] PÄRT-ENANDER, Eva. The Matlab handbook. Harlow: Addison-Wesley, 1997.
423 s. ISBN 0-201-87757-0
[3] The Matworks, autoři MATLABu a SIMULINKu. The Mathworks.[online], [září
2014]. Dostupné z WWW: <http://www.mathworks.com/>
[4] ZAPLATÍLEK, K., DOŇAR, B. MATLAB pro začátečníky. 1. vydání. Praha: BEN
- technická literatura, 2003. 144 s. ISBN 80-7300-095-4