Binomické rozdělení
Příklad 1 (binomické rozdělení; maximálně věrohodný odhad p). Nechť X ~ Bin(N,p) a realizace X jsou x = n. Předpokládejme, že jsme pozorovali (a) x = 2, (b) x = 10 a (c) x = 18 úspěchů v N = 20 pokusech.
a) Pomocí R vypočítejte maximálně věrohodný odhad p. Výsledek zobrazte do grafu spolu s logaritmickou funkcí věrohodnosti.
b) Naprogramujte Newton-Raphsonovu iterační metodu. Touto metodou nahraďte funkci optimize(), nalezněte maximálně věrohodný odhad parametru p, výsledek zaneste do grafu spolu s logaritmickou funkcí věrohodnosti (grafy budou stejné, jako grafy vygenerované v části (a)).
c) Pomocí R vypočítejte maximálně věrohodný odhad p. Výsledek zobrazte do grafu spolu s funkcí věrohodnosti.
ad a) ## [1] 0.1000006 ## [1] 0.5 ## [1] 0.8999994
Logaritmus verohodnostni funkce + MLE parametru p - funkce optimizeQ
0.0     0.2     0.4     0.6     0.8     1.0 0.0     0.2     0.4     0.6     0.8     1.0 0.0     0.2     0.4     0.6     0.8 1.0
pravděpodobnost p pravděpodobnost p pravděpodobnost p
maximum v bode p=0.1 maximum v bode p=0.5 maximum v bode p=0.9
ad b) ## [1] 0.1 ## [1] 0.5 ## [1] 0.9
1
Logaritmus verohodnostni funkce + MLE parametru p - Newton Raphsonova metoda
0.0     0.2     0.4     0.6     0.8     1.0 0.0     0.2     0.4     0.6     0.8     1.0 0.0     0.2     0.4     0.6     0.8 1.0
pravděpodobnost p pravděpodobnost p pravděpodobnost p
maximum v bode p=0.1 maximum v bode p=0.5 maximum v bode p=0.9
ad c) ## [1] 0.09998216 ## [1] 0.5 ## [1] 0.9000178
Příklad 2 (X(p) a rozptyl pro p; X ~ Bin(N,p)). Z funkce věrohodnosti odvoďte pozorovanou Fisherovu míru informace I{p) a rozptyl Var [p].
2
Příklad 3 (maximálně věrohodné odhady; binomické rozdělení). Za předpokladu, že náhodná proměnná X má binomické rozdělení, vypočítejte maximálně věrohodný odhad p pomocí logaritmu funkce věrohodnosti l(p\x.). Porovnejte tento odhad s výrazem ^2^=1 Xi/N. Realizacemi náhodné proměnné X jsou následující binární proměnné:
(a) pohlaví (sex; data: one-sample-probability-sexratio.txt, kde označení pohlaví 'dívka' ('f') přeznačíme na 1 a označení pohlaví 'chlapec' ('m') přeznačíme na 0;
(b) pohlaví (sex; data: two-samples-probabilities-sexratio.txt), kde označení pohlaví 'muž' ('m') přeznačíme na 1 a označení pohlaví 'žena' (T) přeznačíme na 0.
V případě (a) počítáme pravděpodobnost výskytu děvčat a v případě (b) pravděpodobnost výskytu chlapců.
## [1] "a) Odhad parametru p= 0.4804" ## [1]  "b) Odhad parametru p= 0.5274"
Příklad 4.      1. Nakreslete škálovaný logaritmus funkce věrohodnosti binomického rozdělení. Na a;-ové ose bude p a na y-ové ose ln£(p) = l(p\x) — max(Z(p|x)). Porovnejte ln£(p) s kvadratickou aproximací vypočítanou
pomocí Taylorova rozvoje \n£(p) = ln ^ ~ — \l{p){p — p)2-
2. Nechť skóre funkce S(p) = JMn L(p|x). Vezmeme-li derivaci kvadratické aproximace uvedené výše, dostaneme
S(p) = ~Z(p)(p — P) anebo — X~1/2(p)S(p) ~ X1/2(p)(p — p). Potom zobrazením pravé strany na a;-ové ose a levé strany na y-ové ose dostaneme asymptoticky lineární funkci s jednotkovým sklonem. Asymptoticky také platí X1/2(p)(p — p) ~ ÍV(0,1), Je postačující mít rozsah a;-ové osy (—2; 2), protože funkce je asymptoticky (lokálně) lineární na tomto intervalu. Rozumně škálujte y-vou osu. Zobrazte pro (&) n = 8, N = 10, (b) n = 80, N = 100 a (c) n = 800, N = 1000 (p e (0.5; 0.99)). Okomentujte rozdíly mezi (a), (b) a (c).
n-1-r
-2-10        1 2 linearita skoré funkce - skalovana p n=8, N=10
n-1-r
-2-10        1 2 linearita skoré funkce - skalovana p n=80, N=100
~i-1-r
-2-10        1 2 linearita skoré funkce - skalovana p n=800, N=1000
3