Diskrétní deterministické modely — cvičné písemky
Písemka obsahuje tři úlohy, dvě na explicitní řešení diferenčních rovnic, jednu na kvalitativní analýzu asymptotického chování řešení.
Explicitní řešení rovnic:
• Lineární rovnice homogenní i nehomogenní.
• Lineární rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty,
- nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou,
- nehomogenní rovnice řešené užitím variace konstant nebo Duhamelova principu.
• Systémy lineárních rovnic s konstantní maticí homogenní a nehomogenní.
• Rovnice transformovatelné na rovnice lineární:
- Riccatiho rovnice,
- rovnice homogenní.
Kvalitativní analýza autonomních rovnic:
• hledání stacionárních řešení skalární rovnice (prvního nebo druhého řádu) nebo dvojrozměrného systému,
• vyšetřování stability stacionárních řešení,
• hledání cyklů skalární rovnice a vyšetřování jejich stability.
1
1. Najděte obecné řešení rovnice
2. Najděte obecné řešení systému rovnic
x{t + 1) = -x{t) + y{t) y(t + l)= 2y(t)+t.
3. Uvažujte autonomní rovnici druhého řádu
x(t + l) = rx(t) (l-^L^j
parametry r a K jsou kladné. Najděte všechny její rovnovážné body a vyšetřete jejich stabilitu.
Uvedenou rovnici interpretujte.
fteš
eni:
4(l + z0)(-3)*-(4-a;o)2*                  2(4 - sp) 3(1+ x0)
l      = m , „N/ -m , /„—;-^r = -———, , ,xt+:
(1 + x0)(-3)* + (4 - x0)2* 4 _ So + (i + So) (_|)*   i + XQ + (4 _ So) (_|)*
2. x(í) = 2*A+(-l)*B-±í-±, y(t) = 3 • 2*A - t - 1,
podrobněji:
x(í) = i(3x0 - yo + 5*0 - i)(-l)í_í0 + %(yo + *o + 1)2*"*° -\t-\, y(t) = (i/o + ío + 1)2*"*° - í - 1
r - 1
3. Rovnovážné body jsou x\ = 0 a x*2 = K-.
• 0 < r < 1 ^ x* je stabilní, x\ je nestabilní
• 1 < r < 2 =>■     je nestabilní,     je stabilní
• 2 < r =>■ a;J oba rovnovážné body jsou nestabilní
Rovnice může modelovat vývoj velikosti populace, u níž vnitrodruhová konkurence působí se zpožděním jedné generace. Parametr r je vnitřní koeficient růstu (maximální možný přírůstek velikosti populace, růstový koeficient populace bez vnitrodruhové konkurence, biotický potenciál modelované populace), parametr K vyjadřuje kapacitu (úživnost) prostředí; ta závisí na růstovém koeficientu a je (1--) -násobkem parametru K.
2
1. Najděte řešení počáteční úlohy
x(t + l)2 - (2 + t)x(t + l)x(í) + 2tx(t)2 = 0,   x(l) = 1.
2. Najděte obecné řešení rovnice
x(t + 2) - x(t) = Ťt sin (^tj .
3. Uvažujte autonomní systém
H(t + 1)  = rH(t)exp(-aP(t)),
P(t + 1)  =  cH{ť) [1 - exp ( - aP(t))] ;
parametry r, a a c jsou kladné. Najděte rovnovážný bod systému s oběma souřadnicemi kladnými a vyšetřete jeho stabilitu.
Řešení:
1. Dvě řešení: Xl(t) = 2*"1, x2(t) = (t - 1)!
2. x(t) = A + + ^2*(8 - 5í) sin (|í)
3. • r < 1 rovnovážný bod uvnitř prvního kvadrantu neexistuje
/lrlnr lnr\
• r > 1 rovnovážný bod--,-        je nestabilní
V ac r — 1    a /
3