5   Pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce, výpočet pravděpodobností pomocí distribučních funkcí
• experiment složený z opakování jednoho náhodného pokusu stále dokola
• provedu pokus —y hodím kostkou —y nastane jev
• pravděpodobnost = jak velká je naděje, že daný jev nastane
• náhodná veličina X ... zobrazení ze základního prostoru do množiny reálných čísel
— podle dat dělíme náhodné veličiny na diskrétní a spojité
• diskrétní
— pstní fce p(x)
* P(X = x)
— distribuční fce F(x)
* P(X < x)
5.1   Binomické rozdělení Bin(n, 9)
• X ~ Bm(n,d)
• X... počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je vyjádřena pomocí parametru 9.
Příklad 5.1. Nakreslete graf pravděpodobnostní funkce a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ Bin(6,0.5).
#graf   pravděpodobnostní funkce x    <-  0:6
px  <-  dbinom(x,   size=6, prob=0.5)
plot(x,   px ,   type='h',   main='X~Bin(6 , 0.5) ' ,   ylab='pravdepodobnostniufunkce' ,   xlab = 'x ' )
points(x,   px,   col='red',   pch=19, cex=0.8)
#graf   distribuční funkce
Fx  <-  pbinom(x,   size=6, prob=0.5)
n    <-  length(Fx)
plot(x,   Fx,   type='n',   main='X~Bin(6,0.5)',   ylab='distribucniufunkce',
xlab='x',   xlim = c(-1,n) ,   ylim = c(0 , 1)) segments(x,   Fx,   x+1, Fx) arrows(0,     0,   -1,   0, length=0.l) arrows(n-1 ,1,     n,   1,   length = 0.l) points(x,   Fx,   col='red',   pch=19, cex=0.8)
points(x,   c(0,   Fx [-n]) ,   col='red',   bg='white',   pch=21, cex=0.8)
1
5.2   Poissonovo rozdělení Po(A)
• X ... udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu (resp. v jednotkové oblasti), přičemž k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Parametr A > 0 je střední počet těchto událostí.
• počet zákazníků, kteří vešli do pekárny za jeden den
• počet tramvají, které přijeli na zastávku za půl hodiny
• A > 0; EX = X; DX = X
• dpois(x, lambda)
• ppois(x, lambda)
Příklad 5.3. Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se řídí rozdělením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k alespoň jedné poruše?
l-dpois(0, lambda=2) l-ppois(0, lambda=2)
5.3   Spojitá náhodná veličina
• nabývají lib. hodnoty z daného intervalu
• změříme výšku člověka:
— pst, vybraný člověk bude měřit 140-145 cm Pr(140 cm < X < 145 cm)
— pst, vybraný člověk bude vyšší než 170 cm Pr(X > 170 cm)
• hustota f(x)
— pravděpodobnost realizace X v libovolném intervalu I se dá vyjádřit jako plocha pod
• X ~ Po(A).
• pstní fce
křivkou hustoty f(x)
(2)
Pr(X = x) = 0 ... plocha pod bodem je čára a obsah je tedy 0. f(x) > 0 ; plocha pod celou křivkou hustoty = 1 Gaussova křivka hustoty
2
• distribuční funkce F (x)
analogie distribuční funkce v diskrétním případě
F (x) = Pr(X < x) Pr(X < x) = f*^ f(t)át
— F{x) .. .pst, že náhodná veličina X nepřekročí hodnotu x
— Pr(X > x) = Pr(X > x) = 1 - Pr(X < x) = 1 - Pr(X < x). • spojité náhodné veličiny se řídí spojitým rozdělením
— Exponenciální Ex{\)
— Normální N(fi, a2)
— Standardizované normální N(0,1)
— odvozeniny od N(0,1)
5.4   Exponenciální rozdělení Exp(A)
• X... udává dobu čekání na příchod nějaké události, která se může dostavit každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. Přitom j vyjadřuje střední hodnotu doby čekání.
• doba potřebná k obsloužení zákazníka
• doba během níž přijede tramvaj na zastávku bez ohledu na dobu, kdy přijela poslední tramvaj
• náhodná veličina X ~ Ex{\)
* Chi-kvadrátové x2 {n)
* Studentovo t (n)
* Fisherovo-Snedecorovo F(ni, n2)
• hustota
(3)
. A>0; E(X) = {,D(X) • f (x) ... dexp(x, lambda)
_ j_
— A2
• F (x) ... pexp(x, lambda)
3
Příklad 5.4. Nakreslete graf hustoty a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ Exp(2). #graf hustoty
x    <-  seq(from=0,   to=2.5, length=512) fx  <-  dexp(x, rate=2)
plot(x,   fx ,   type='l',   main='X~Exp(2)',   xlab='x', col='red')
#graf   distribuční funkce Fx  <-  pexp(x, rate=2)
plot(x,   Fx,   main='X~Exp(2)',   xlab='x',   ylab='distribucniufunkce',   type='l', col=' red ' )
Příklad 5.5. Doba do ukončení opravy v opravně obuvi je náhodná veličina, která se řídí exponenciálním rozdělením se střední dobou opravy 3 dny. Jaká je pravděpodobnost, že oprava bude ukončena do dvou dnů?
pexp(2, rate=l/3)
5.5   Normální rozdělení N(/i, a2)
• nejpoužívanější ze všech rozložení
• X ~ N(ii,a2)
• hustota
/(*)
• E(X) = fi- D(X) = a2.
standardizované normální rozložení
• p = 0, a2 = 0
• X ~ N(0,1)
• hustota:
• distribuční funkci ÍV(0,1) značíme
• normální rozdělení je symetrické okolo nuly —y $(—x) = 1 —        (platí jen pro ÍV(0,1).
• f(x) ... dnorm(x, /i, \fa2)
• F(x) ... pnorm(x, /i, \fa2)
Vlastnosti normálního rozložení
• Pokud X ~ N(/i,a2), potom X ~ ^ ^ JV(0,1)
a
• Pokud X ~ N(fi, a2), potom Y = a + bX ~ N (a + bfi, b2a2)
a
(4)
4
Příklad 5.7. Nakreslete graf hustoty a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ N{—1,2). #graf hustoty
x <- seq(from=-5, to=3, length=512) fx  <-  dnorm(x,     mean=-l, sd=sqrt(2))
plot(x,   fx ,   type='l',   main = bquote(paste('XU~UN(u' , mu, '= -1,u' ,sigma"2, '=2U) ')) , xlim=c(-4.5,2.5), col=;red')
#graf   distribuční funkce
Fx  <-  pnorm(x,   mean=-l, sd=sqrt(2))
plot(x,   Fx,   type='l',   main=bquote(paste('XU~UN(umu,'=-1,usigma~2=2U)')), xlim=c(-4.5,2.5),
ylab='distribucniufunkce', col='red')
Příklad 5.9. Životnost baterie v hodinách je náhodná veličina, která má normální rozdělení se střední hodnotou 300 hodin a směrodatnou odchylkou 35 hodin. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná baterie bude mít životnost
a) alespoň 320 hodin?
b) nejvýše 310 hodin?
a) Pr(X > 320) = Pr(X > 320) = l-Pr(X < 320) = l-Pr(X < 320) = 1-Pr \ < 3"(' ~ ''
'a2 v a2
1 _ Pr (y < 320353°°) = 1 - $(0.5714286)
l-pnorm(320,   mean=300, sd=35) 1-pnorm((320-300)/35,   mean=0, sd=l)
b) Pr(X < 310) = Pr(X < 310)
pnorm(310,   mean=300, sd=35)
Pro zajímavost: ( Nedělali jsme na hodině )
Příklad 5.11. Nakreslete graf hustoty dvourozměrného standardizovaného normálního rozložení, source(;AS-funkce.R')
x    <-  seq(from=-3,   to=3, length=40) y    <-  seq(from=-3,   to=3, length=40) nx  <- length(x) ny  <- length(y)
z    <-  matrix(NA,   nrow=nx, ncol=ny) f or ( i  in  1 : nx ) { f or ( j   in  1 : ny ) {
z[i,j]     <-  norm2(x[i],   y[j],   mul=0,   mu2=0,   sigmal=l, sigma2=l)
}
>
color <-  terrain.colors( 12)
5
stredy <-   (z[-l,   -1]   + z[-l,   -ncol(z)]   + z[-nrow(z),   -1]   + z[-nrow(z), -ncol(
z)])/4
stredy.col   <-  cut(stredy , 12)
persp(x,   y,   z,   col  =  color [stredy.col] ,   phi  =  30,   theta = -45)
6