6 Výpočet číselných charakteristik náhodných veličin, aplikace Moi-vreovy — Laplaceovy věty 6.1 Kvantily vybraných spojitých rozdělení a-kvantil náhodné veličiny X značíme xa. Normální rozdělení N(p,, a2) Náhodná veličina pochází z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2. X ~ N(n, a2). Pro /i = 0, a2 = 1 se jedná o standardizované normální rozdělení U ~ N(0,1). a-kvantil standardizovaného normálního rozdělení značíme u{a). Standardizované normální rozdělení je symetrické okolo nuly, proto pro kvantily tohoto rozdělení platí vztah u{a) = —m(1 — a). X2 rozdělení s n stupni volnosti x'2(n) Nechť Xi,..., Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ ÍV(0,1), i = 1,..., n. Pak náhodná veličina x = x2 +... + xl má x'2 rozdělení s n stupni volnosti X~x\n). a-kvantil x'2 rozdělení s n stupni volnosti značíme Xn(a)-Studentovo rozdělení s n stupni volnosti t(n) Nechť Xi, X'2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, X\ ~ ÍV(0,1), X2 ~ x'2(n)- Pak náhodná veličina Xi V n má Studentovo rozdělení s n stupni volnosti X ~ t{n). a-kvantil Studentova rozdělení s n stupni volnosti značíme tn{a). Studentovo rozdělení je symetrické okolo nuly, proto pro kvantily tohoto rozdělení platí vztah t(a) = -t(l - a). Fisherovo-Snedecorovo rozdělení s ri\ a ni stupni volnosti F(n\,n-i) Nechť Xi,..., Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ X2{ni)i i = 1, 2. Pak náhodná veličina x _ Xi/ni X2/n2 má Fishorovo rozdělení s ni a n2 stupni volnosti X ~ F(rii, n2). a-kvantil Fisherova rozdělení s ni a n2 stupni volnosti značíme Fni iIJ2 (a) Pro kvantily Fisherova rozdělení platí následující vztah Fni,n2(a) = - tl_ay ± rt\ ,712 \ J Příklad 6.1. Najděte medián a horní a dolní kvartil náhodné veličiny U ~ -/V(0,1). ## [1] 0 ## [1] -0.6744898 ## [1] 0.6744898 Příklad 6.2. Najděte dolní kvartil náhodné veličiny X ~ iV(3,5). ## [1] 1.491795 Příklad 6.3. Určete kvantil X25(0.025). ## [1] 13.11972 Příklad 6.4. Určete kvantily í30(0.99) a íi4(0.05). ## [1] 2.457262 ## [1] -1.76131 Příklad 6.5. Určete kvantily F5i20(0.975) a F2,i0(0.05). ## [1] 3.289056 ## [1] 0.0515573 6.2 Výpočet střední hodnoty a rozptylu diskrétních náhodných veličin Příklad 6.6. Náhodná veličina X udává počet ok při hodu kostkou. Vypočtěte její střední hodnotu a rozptyl. ## [1] "EX = 3.5" ## [1] "DX = 2.91667" Příklad k samostatnému řešení Příklad 6.7. Postupně se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů. Další se zkouší jen tehdy, když předchozí je spolehlivý. Každý z přístrojů vydrží zkoušku s pravděpodobností 0.8. Náhodná veličina X udává počet zkoušených přístrojů. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. X nabývá hodnot 1, 2, 3, 4 a její pravděpodobnostní funkce je vr(l) = 0.2, tt(2) = 0.8*0.2 = 0.16, vr(3) = 0.82*0.2 = 0.128, tt(4) = 0.83 * 0.2 + 0.84 = 0.512, vr(0) = 0 jinak. ## [1] "EX = 2.952" ## [1] "DX = 1.4697 2 6.3 Výpočet koeficientu korelace diskrétních náhodných veličin Příklad 6.8. Objektem zájmu rozsáhlé studie bylo sledování pohřebního rituálu dnes již vymřelého ale v minulosti velmi dlouho přetrvávajícího a rozsáhlého jihoamerického kmene. Součástí pohřebního rituálu tohoto kmene bylo odsekávání článků prstů na rukou a nohou zemřelého a jejich následné obětování bohům jako dar, aby zemřelého přijali mezi sebe. Zemřelému tak byl na ruce odetnut buď jeden nebo dva prsty a na noze tři nebo čtyři prsty. Dále bylo zjištěno, že domorodci odtínali jeden prst na ruce a tři prsty na noze zemřelého s pravděpodobností 0.1, dva prsty na ruce a tři prsty na noze s pravděpodobností 0.3, jeden prst na ruce a čtyři prsty na noze s pravděpodobností 0.35 a dva prsty na ruce a čtyři prsty na noze s pravděpodobností 0.25. Určete korelaci znaků X - počet odetnutých prstů na rukou &Y- počet odetnutých prstů na nohou. ## EX EY DX DY CXY RXY ## Charakteristiky 1.6 3.55 0.24 0.2475 -0.08 -0.3282 Příklad 6.9. Náhodná veličina X udává příjem manžela (v tisících dolarů) a náhodná veličina Y příjem manželky (v tisících dolarů). Je známa simultánní pravděpodobnostní funkce ir(x,y) diskrétního náhodného vektoru (X, Y): tt(10, 10) = 0.2, tt(10, 20) = 0.04, vr(10, 30) = 0.01, vr(10, 40) = 0, vr(20,10) = 0.1, vr(20, 20) = 0.36, vr(20, 30) = 0.09, vr(20,40) = 0, 7r(30,10) = 0, vr(30,20) = 0.05, vr(30,30) = 0.1, vr(30,40) = 0, vr(40,10) = 0, vr(40,20) = 0, 7r(40, 30) = 0, 7r(40, 40) = 0.05, ir(x, y) = 0 jinak. Vypočtěte koeficient korelace příjmů manžela a manželky. Náhodná veličina X i náhodná veličina Y nabývají hodnot 10, 20, 30, 40. Tabulka pravděpodobnostních funkcí n(X, Y) X - příjem manžela Y - příjem manželky 10 20 30 40 E 10 0.2 0.04 0.01 0 20 0.1 0.36 0.09 0 30 0 0.05 0.1 0 40 0 0 0 0.05 E i ## EX EY DX DY CXY RXY ## Charakteristiky 20 20 60 70 49 0.7561 Příklady k samostatnému řešení Příklad 6.10. Diskrétní náhodný vektor (X, Y) má simultánní pravděpodobnostní funkci s hodnotami 7r(0, —1) = c, 7r(0, 0) = tt(0, 1) = tt(1, -1) = vr(2, -1) = 0, tt(1, 0) = tt(1, 1) = vr(2,1) = 2c, vr(2, 0) = 3c, tt(x, y) = 0 jinak. Určete konstantu c a vypočtěte R(X,Y). Tabulka pr. funkcí n (X, Y) X Y -1 0 1 E 0 c 0 0 c 1 0 2c 2c 4c 2 0 3c 2c 5c E c 5c 4c 1 ## EX EY DX DY CXY RXY ## Charakteristiky 1.4 0.3 0.44 0.41 0.18 0.4238 3 Příklad 6.11. Zkoumali jsme potomky kosmanů. Náhodná veličina X udává počet manželských potomků, které samice porodila a náhodná veličina Y počet nemanželských potomků, které samice porodila. Je známa simultánní pravděpodobnostní funkce ir(x,y) diskrétního náhodného vektoru (X,Y): Tabulka simultánní pstní fce tt(X,Y) X - počet manž.p. Y - počet nemanž.p. 1 2 3 1 0.2 0.04 0.01 2 0.15 0.36 0.09 3 0.05 0.1 0.0 Vypočtěte koeficient korelace manželských a nemanželských potomků. ## EX EY DX DY CXY RXY ## Charakteristiky 1.9 1.7 0.39 0.41 0.11 0.2751 6.4 Aplikace Moivrovy a Laplaceovy věty Příklad 6.12. Pravděpodobnost úspěchu při jednom pokusu je 0.3. S jakou pravděpodobností lze tvrdit, že počet úspěchů ve 100 pokusech bude v mezích od 20 do 40? Výpočet proveďte a) přesně; b) pomocí aproximace normálním rozdělením. ## [1] 0.9786144 ## [1] 0.9786144 ## [1] 0.9772632 Příklad 6.13. Pravděpodobnost, že zakoupený elektrospotřebič bude vyžadovat opravu během záruční doby, je rovna 0.2. Jaká je pravděpodobnost, že během záruční doby bude nutno ze 400 prodaných spotřebičů opravit více než 96? Výpočet proveďte a) přesně; b) pomocí aproximace normálním rozdělením. ## [1] 0.02138855 ## [1] 0.02275013 Příklad k samostatnému řešení Příklad 6.14. Pravděpodobnost, že určitý typ výrobku má výrobní vadu, je 0.05. Jaká je pravděpodobnost, že ze série 1000 výrobků bude mít výrobní vadu nejvýše 70? Výpočet proveďte a) přesně; b) pomocí aproximace normálním rozdělením. ## [1] 0.9976697 ## [1] 0.9981455 4