9   Parametrické úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech z normálních rozdělení a jednom náhodném výběru z alternativního rozdělení
9.1    Testy o dvou nezávislých náhodných výběrech
Nechť Xn .. .Xíni je náhodný výběr z rozdělení N{[ii,o\) a X2\ ■ ■ ■ X2n2 Je na ném nezávislý náhodný výběr z rozdělení N({i2, cr|), přičemž n\ > 2 a n2 > 2. Označme M\, M2 výběrové průměry a S2,S2 výběrové rozptyly a
(m - 1)S2 + (n2 - Í)S22
ni + n2 — 2
je vážený průměr výběrových rozptylů.
1. Pivotová statistika
U
(M1 - M2) - (//! - M2)
ÍV(0,1)
slouží k řešení úloh o /íi — /i2, když a cr| známe. 2. Pokud <j\ = <j2 = u2, pak pivotová statistika
T
(Mi - M2) - (mi - m2)
í(ni + n2 - 2)
slouží k řešení úloh o /ij — /i2, když crj, cr| neznáme, ale víme, že jsou shodné. 3. Pokud a\ = a\ = cr2, pak pivotová statistika
(m +n2- 2)S2 2 = -5--X (ni + n2 - 2)
slouží k řešení úloh o neznámém společném rozptylu cr-.
4. Pivotová statistika
F
S2/S2
F(ni - 1,7?2 - 1)
slouží k řešení úloh o -j-.
2
1
Dvouvýběrové testy - Kritické obory
1. Nechť Xn, .. .Xini je náhodný výběr z N(ni, er2), a X21, .. . X2n2 Je na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení -/V(/i2, er|), přičemž ri\ > 2, n2 > 2 a er2, er2 známe. Nechť c je konstanta.
• Testujeme H0 : fii — /z2 = c oproti ířn : /ii — /i2 7^ c, případně iř12 : /ii — /i2 < c, či iř13 : /Zi — /z2 > c.
• Takovýto test se nazývá dvouvýběrový z-test
• Realizace testové statistiky:
_ (mi - m2) - c
• kritický obor pro oboustrannou alternativu ířn:      = (—oo;ua/2) U (iíi-q/2, 00)
• kritický obor pro levostrannou alternativu i?i2:      = (—oo;ua)
• kritický obor pro pravostrannou alternativu H13: W = (iíi_q,;oo)
ua je a kvantil standardizovaného normálního rozdělení .. . qnorm(alpha,0,l).
2. Nechť Xn, .. -Xini je náhodný výběr z N(ni, cr2), a X21, ■ ■ ■ ^2n2 Je na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení -/V(/i2, er2), přičemž ni > 2, n2 > 2 a er2 neznáme. Nechť c je konstanta.
• Testujeme Hq : fix — /i2 = c oproti iín : /ii — /i2 7^ c, případně íři2 : /zi — /z2 < c, či .H13 : /ii — /i2 > c.
• Takovýto test se nazývá dvouvýběrový t-test
• Realizace testové statistiky:
_ (mi - m2) - c to —-1
• kritický obor pro oboustrannou alternativu ířn:      = (—00; íQ/2(ni + n2 — 2)) U (íi-Q/2(?zi + n2 — 2), 00)
• kritický obor pro levostrannou alternativu i?i2: W = (—00; ta(ni + n2 — 2))
• kritický obor pro pravostrannou alternativu H13: W = (íi-Q(n1 + n2 — 2); 00)
íQ(n1 + n2 — 2) je a kvantil Studentova rozdělení o rii + n2 — 2 stupních volnosti . .. qt(alpha,nl+n2-2).
3. -
4. Nechť Xn, .. -Xini je náhodný výběr z N(ni, cr2), a X21, .. . X2„2 je na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení -/V(/i2, er2), přičemž n± > 2, n2 > 2.
cr2 cr2 cr2 cr2
• Testujeme Hq : -j- = 1 oproti H\\ : -7 7^ 1, případně i3i2 : -j- < 1 či H13 : -j- > 1.
<T2 <T2 <T2 <T2
• Takovýto test se nazývá F-test.
• Realizace testové statistiky:
• kritický obor pro oboustrannou alternativu H\\\ W = (0; -F1Q,/2(n1 — 1, n2 — 1)) U (-Fi-q/2(?t.1 — 1, n2 — 1), 00)
• kritický obor pro levostrannou alternativu i?i2:      = (0; Fa{n\ — l,n2 — 1))
• kritický obor pro pravostrannou alternativu h13:      = {F\-a{n\ — l,n2 — 1); 00)
— 1, Ti2 — 1) je a kvantil Fisher-Snedecorova rozdělení o n\ — 1 a n2 — 1 stupních volnosti ... qf(alpha,nl-l,n2-l).
2
Intervaly spolehlivosti
1. IS pro /ii — fi2, když o\,o\ známe (využití statistiky U) (a) Oboustranný IS (d, ti):
m1-m2- \ — + —ux-a.li ;m1-m2- \ — + —ua/2
(b) Levostranný IS (d;oo):
(c) Pravostranný IS (—00; ti):
mi — m2 — \ — H—00 V «1 «2
/ u 1     u 2
-oo; TOl — TO2 — 4/--1--Uc
V «1 n2
ua je a kvantil standardizovaného normálního rozdělení .. . qnorm(alpha,0,l). 2. IS pro ni — /j,2, když o\,a\ neznáme, ale víme, že jsou shodné (využití statistiky T) (a) Oboustranný IS (d, ti):
m1-m2-s*\l— + — íi-Q/2(ni +n2-2);ra1-ra2 - s*\ ~~ + ~ Wafai + n2 - 2) u ni     n2       ' y ni n2
(b) Levostranný IS (d;oo):
(c) Pravostranný IS (—00; h):
mi — m2 — s*W--1--ri_q,(ni + n2 — 2) ; 00
u ni n2
-00 ; mi — m2 — s* < /--1--rQ (ni + n2 — 2)
u ni n2
ta(ni + n2 — 2) je a kvantil Studentova rozdělení o ni + n2 — 2 stupních volnosti . .. qt(alpha,nl+n2-2). 3. IS pro společný neznámý rozptyl a2 (využití pivotové statistiky K) (a) Oboustranný IS (d, ti):
(ni +n2- 2)sl (m +n2- 2)í
(b) Levostranný IS (d, 00)
v^i-Q/2(ni + n2 - 2) ' X2a/2(ni + n2 - 2) ^
(ni +n2 - 2)S2 XÍ-a(ni +n2 - 2) '
(ni+n2-2)s;;
(c) Pravostranný IS (—00; ti)
Xa(ni + w2 — 2) je a kvantil %2 rozdělení o ni + n2 — 2 stupních volnosti . .. qchisq(alpha,nl+n2-2). 4. IS pro podíl rozptylů —\ (využití pivotové statistiky F) (a) Oboustranný IS (d, ti):
s1/s2 si/s2
Fi-a/2{ni - l,n2 - 1) ' Fa/2(ni - l,n2 - 1)
(b) Levostranný IS (d; 00)
vFi_Q(ni -l,n2- 1)
(c) Pravostranný IS (—00; ti)
sí/s2
Fa(ni - l,n2 - 1)/
Fa(rii — l,n2 — 1) je a kvantil Fisher-Snedecorova rozdělení o ni — 1 a n2 — 1 stupních volnosti ... qf(alpha,nl-l,n2-l).
3
9.2   Test o jednom náhodném výběru z alternativního rozdělení
• n-krát nezávisle na sobě provádíme tentýž pokus; sledujeme nastání úspěchu nějakého jevu
• pst nastání úspěchu je 0
• náh. výběr X\,.. ., Xn, kde Xi = 1, pokud nastal úspěch, Xi = 0, pokud nenastal úspěch, je z alternativního rozdělení
X ~ Alt ((9).
bodový odhad parametru 0:
n
M = zT.x'
n
i=l
9.2.1   Podmínka dobré aproximace
0(1-0) > 9
• musí být splněna
• zaručuje nám spolehlivé testování a stanovení IS pro parametr 0 alternativního rozdělení.
9.2.2   Testování hypotézy
• Nechť X1,...,Xn ~ Alt(0).
• Testujeme nulovou hypotézu Hq : 0 = c oproti alternativní hypotéze H\ : 0 =/= c, případně H12 : 0 < c, či        : 0 > c.
• Nejprve ověříme podmínku dobré aproximace: nc(l — c) > 9.
• Testování kritickým oborem
Testovací statistika
M-c , N
T0 = -j== ^ N(0,1
I c{\-c)
1. kritický obor pro oboustrannou alternativu iřn: W = (—oo;ua/2) U (ui_a/2, 00)
2. kritický obor pro levostrannou alternativu H12: W = (—oo;ua)
3. kritický obor pro pravostrannou alternativu Hi3: W = (ui-a;oo)
ua je a kvantil standardizovaného normálního rozdělení .. . qnorm(alpha,0,l).
• Testování intervalem spolehlivosti
1. oboustranná alt. H\\ —> oboustranný 100(1 — a) % empirický interval spolehlivosti pro parametr
/           m(l — m)                       míl — m) \ {d,h)= I m - y---iíW2 ; m - y---ua/2 J
2. levostranná alt. íř12 —> pravostranný 100(1 — a) % empirický interval spolehlivosti pro parametr 0
/                  /m(l-m) \ (—00, n) = I —00 ;m-y-ua I
3. pravostranná alt. ií13 —> levostranný 100(1 — a) % empirický interval spolehlivosti pro parametr 0
/           m(l-m) \ (a, 00) = I m — y-u±-a ; 00 I
ua je a kvantil standardizovaného normálního rozdělení . .. qnorm(alpha,0,l).
• Testování pomocí p-hodnoty
1. oboustranná alt. H\\ —>• p-val = 2min{Pr(To < ro),Pr(To > ío)}
2. levostranná alt. H12 —>• p-val = Pr(To < ío)
3. pravostranná alt. h13 —>• p-val = Pr(To > íq) = 1 — Pr(To < íq)
4