1   Parametrické úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech z normálních rozdělení a jednom náhodném výběru z alternativního rozdělení
Parametrické úlohy o dvou nezávislých náhodných výběrech z normálních rozdělení
Příklad 1.1. Interval spolehlivosti pro parametrickou funkci yui —1x2' Bylo vylosováno 11 stejně starých selat téhož plemene. Šesti z nich byla předepsána výkrmná dieta č. 1 a zbylým pěti výkrmná dieta č. 2. Průměrné denní přírůstky v Dg za dobu půl roku jsou následující:
dieta č. 1 dieta č. 2
62 54 55 60 53 58 52   56   49   50 51
Zjištěné hodnoty považujeme za realizace dvou nezávislých náhodných výběrů pocházejících z rozdělení N(pi,a2) a N(fi2, o"2)- Sestrojte 95 % empirický interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot yui — 112-
## [1] "dh = 0.992" ## [1]  "hh = 9.808"
IS= (0.9920; 9.8080) S pravděpodobností alespoň 0.95 platí, že 0.99 Dg < Li\ — L12 < 9.81 Dg. Příklad 1.2. Testování hypotéz o parametrických funkcích     — 112, o"i/o"2:
1. Pro datový soubor z příkladu 1.1 testujte na hladině významnosti a = 0.05 hypotézu, že
a) rozptyly hmotnostních přírůstků selat při obou výkrmných dietách jsou shodné;
b) obě výkrmné diety mají stejný vliv na hmotnostní přírůstky selat.
2. Výsledek testování podpořte krabicovým diagramem. Shapirův test normality
## [1] "Dieta 1: 0.6195" ## [1]  "Dieta 2: 0.4272"
ad a) Testování hypotézy o shodě rozptylů.
i. Testování pomocí kritického oboru
## [1] "tO = 1.7534" ## [1] "wl = 0.1354" ## [1]  "w2 = 9.3645"
ii. Testování pomocí intervalu spolehlivosti
## [1]  "dh = 0.1872" ## [1]  "hh = 12.9541"
iii. Testování pomocí p-hodnoty ## [1]  "p.val = 0.6063"
Hq o shodě rozptylů a\ a a\ nezamítáme na hladině významnosti a = 0.05.
1
Upozornení: V prípade zamítnutí hypotézy o shodě rozptylů by bylo zapotřebí použít test se samostatnými odhady rozptylu.
ad b) Testování hypotézy o shodě středních hodnot
i. Testování pomocí kritického oboru
## [1]  "tO = 2.7712" ## [1]  "wl = -2.2622" ## [1]  "w2 = 2.2622"
ii. Testování pomocí intervalu spolehlivosti
V příkladu 1.1 jsme zjistili, že 95 % oboustranný interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot yui — /j-2 má tvar
IS = (0.9920; 9.8080).
iii. Testování pomocí p-hodnoty ## [1]  "p.val = 0.0217"
Hq o shodě středních hodnot /ii a /j.2 zamítáme na hladině významnosti a = 0.1.
Poznámka: K otestování nulové hypotézy o rozdílu středních hodnot /ii — /j.2 dvou nezávislých náhodných výběrů z normálních rozdělení můžeme použít funkci t.test(x.y) s argumentem alternative='two.sideď (oboustranná alternativa) a argumentem var.equal=T (rozptyly obou náhodných výběrů si jsou rovné).
x <- c(62, 54, 55, 60, 53, 58) y <- c(52, 56, 49, 50, 51)
t.test(x, y, alternative='two.sideď, var.equal=T)
Upozornění: Pokud bychom na hladině významnosti a = 0.05 zamítli nulovou hypotézu o shodě rozptylů a\ a o\, mohli bychom k otestování nulové hypotézy o shodě středních hodnot /ii a /j.2 použít opět funkci t.test s argumentem alternative='two.sideď (oboustranná alternativa) a argumentem var.equal=F. Tento argument modifikuje klasický í-test na í-test s Welschovou aproximací stupňů volnosti, která se používá v případě, že rozptyly obou náhodných výběrů nejsou shodné.
Krabicový diagram
Hmotnostni prirustky selat
Krabicový graf
dieta c.1
dieta c.2
2
Příklad k samostatnému řešení
Příklad 1.3. Načtěte datový soubor vyska.txt, který obsahuje údaje o výšce 48 studentek VŠE v Praze (proměnná vyska) a obor jejich studia (1 - národní hospodářství, 2 - informatika).
a) Pomocí S-W testu ověřte na hladině významnosti a = 0.1 předpoklad o normalitě výšek v obou skupinách studentek.
b) Na hladině významnosti a = 0.1 testujte hypotézu o shodě rozptylů výšek studentek v daných dvou oborech studia.
c) Na hladině významnosti a = 0.1 testujte hypotézu o shodě středních hodnot výšek studentek v daných dvou oborech studia.
d) Výpočet doplňte krabicovými diagramy. Shapirův test normality
## [1] "Narodni hospodářství: 0.6068" ## [1] "Informatika: 0.1119"
Testování hypotézy o shodě rozptylů
i. Testování pomocí kritického oboru
## [1] "tO = 1.9873" ## [1] "wl = 0.5033" ## [1]  "w2 = 2.0905"
ii. Testování pomocí intervalu spolehlivosti
## [1] "dh = 0.9506" ## [1]  "hh = 3.9487"
iii. Testování pomocí p-hodnoty ## [1]  "p.val = 0.1249"
Hq o shodě rozptylů a'f a a\ nezamítáme na hladině významnosti a = 0.1.
Testování hypotézy o shodě středních hodnot
i. Testování pomocí kritického oboru
## [1]  "tO = 1.744" ## [1]  "wl = -1.6787" ## [1]  "w2 = 1.6787"
ii. Testování pomocí intervalu spolehlivosti
## [1] "dh = 0.1095" ## [1]  "hh = 5.7334"
iii. Testování pomocí p-hodnoty
## [1]  "p.val = 0.0878"
Hq o shodě středních hodnot /ii a /j.2 zamítáme na hladině významnosti a = 0.1. Krabicový diagram
Vyska studentek VSE
Krabicový graf
narodni hospodářství
obor
informatika
1.1   Parametrické úlohy o jednom náhodném výběru z alternativního rozdělení
Příklad 1.4. Asymptotický interval spolehlivosti pro parametr 9 alternativního rozdělení: Může politická strana, pro niž se v předvolebním průzkumu vyslovilo 60 z 1000 dotázaných osob, očekávat se spolehlivostí 0.95, že by v této době ve volbách překročila 5 % hranici pro vstup do parlamentu?
Ověření podmínky n6{l - 6») > 9: 1000 * 0.06 * 0.94 = 56.4 > 9.
## [1]  "dh = 0.0476"
95 % empirický interval spolehlivosti má tvar:
(0.0476.; oo)
S pravděpodobností přibližně 0.95 je tedy 9 > 0.0476. Protože tento interval zahrnuje i hodnoty nižší než 0.05, nelze vyloučit, že strana získá méně než 5% hlasů.
Příklad k samostatnému řešení
Příklad 1.5. Přírůstky cen akcií na burze (v %) u 10 náhodně vybraných společností dosáhly těchto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4. Sestrojte 95% asymptotický empirický interval spolehlivosti pro pravděpodobnost, že přírůstek ceny akcie překročí 8.5%.
## [1] "dh = 0.0964" ## [1]  "hh = 0.7036"
0.096 < 9 < 0.704 s pravděpodobností aspoň 0.95.
4
Příklad 1.6. Testování hypotézy o parametru 9 alternativního rozdělení: Určitá cestovní kancelář organizuje zahraniční zájezdy podle individuálních přání zákazníků. Z několika minulých let ví, že 30 % všech takto organizovaných zájezdů má za cíl zemi X. Po zhoršení politických podmínek v této zemi se cestovní kancelář obává, že se zájem o tuto zemi mezi zákazníky sníží. Ze 150 náhodně vybraných zákazníků v tomto roce má 38 za cíl právě zemi X. Potvrzují nejnovější data pokles zájmu o tuto zemi? Volte hladinu významnosti a = 0.05.
Splnění podmínky n6(l - 6) > 9: 150 * 0.3 * 0.7 = 31.5 > 9.
a) Testování pomocí kritického oboru
## [1] "tO = -1.2472" ## [1]  "wl = -1.6449"
b) Testování pomocí intervalu spolehlivosti ## [1]  "hri = 0.3117"
IS = (-oo; 0.3117)
c) Testování pomocí p-hodnoty ## [1]  "p.val = 0.1062"
Hq nezamítáme na asymptotické hladině významnosti a = 0.05.
5