© Institut biostatistiky a analýz
Analýza a klasifikace dat –
přednáška 3
RNDr. Eva Koriťáková, Ph.D.
Podzim 2017
Typy klasifikátorů – podle principu klasifikace
2Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• klasifikace pomocí diskriminačních funkcí:
– diskriminační funkce určují míru příslušnosti
k dané klasifikační třídě
– pro danou třídu má daná diskriminační
funkce nejvyšší hodnotu
• klasifikace pomocí vzdálenosti od etalonů klasif. tříd:
– etalon = reprezentativní objekt(y) klasifikační třídy
– počet etalonů klasif. třídy různý – od jednoho vzorku
(např. centroidu) po úplný výčet všech objektů dané
třídy (např. u klasif. pomocí metody průměrné vazby)
• klasifikace pomocí hranic v obrazovém prostoru:
– stanovení hranic (hraničních ploch) oddělujících
klasifikační třídy
x1
x2
?
x1
x2
?
0
1
2
3
4
5
6
7
4
6
8
10
12
14
0
0.05
x1x2
x2 x1
Poznámka
• jednotlivé objekty je možno znázornit pomocí bodů v p-rozměrném
prostoru (p je počet proměnných)
3
𝐗 𝐷 =
2 12
4 10
3 8
, 𝐗 𝐻 =
5 7
3 9
4 5
pacienti
kontroly
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
Objemmozkovýchkomor
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Metrika – vzdálenost
Metrika D na X je funkce D: X × X  R, kde R je množina reálných čísel taková, že:
D0R: - < D0  D(x,y) < +, x,y  X
D(x,x) = D0, x  X
a
D(x,y) = D(y,x), x,y  X (symetrie)
D(x, y) = D0 když a jen když x = y (totožnost)
D(x, z)  D(x, y) + D(y, z), x,y,z  X ( nerovnost)
Prostor X, ve kterém metrika D definována, nazýváme metrickým prostorem.
Vzdálenost je hodnota určená podle metriky.
Poznámka: zpravidla D0=0.
4Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Metrika – podobnost
Metrická míra podobnosti S na X je funkce S: X × X  R, taková, že:
 S0R: - < S(x,y)  S0< +, x,y  X
S(x,x) = S0, x  X
a
S(x,y) = S(y,x), x,y  X (symetrie)
S(x,y) = S0 když a jen když x = y (totožnost)
S(x,y)·S(y,z)  [S(x,y) + S(y,z)]·S(x,z), x,y,z  X
Podobnost je hodnota určená podle metrické míry podobnosti.
Poznámka: zpravidla S0=1 (ale neplatí to vždy, u některých metrik je maximální
hodnota podobnosti jiná než 1)
5Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Metriky podobnosti vs. metriky vzdálenosti
Vzdálenostní míry (míry nepodobnosti) mohou být transformovány na
podobnostní míry různými transformacemi, např.:
Sij = 1/Dij
Sij = 1/(1+ Dij)
Sij = c - Dij, c  max Dij, i,j
6Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Typy měr vzdálenosti (podobnosti)
7Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• podle typu proměnné (kvalitativní proměnné, kvantitativní proměnné)
• podle počtu objektů, jejichž vztah hodnotíme – objekty (vektory), množiny
objektů (vektorů)
• deterministické (nepravděpodobností) vs. pravděpodobností míry
• výběr konkrétní metriky závisí na:
– výpočetních nárocích
– charakteru rozložení dat
– dosažení optimálních výsledků (klasifikační chyba, ztráta,...)
• chybný výběr metriky může vést k chybných závěrům analýzy (stejně jako
v klasické statistické analýze výběr nevhodného testu)
• obecně bohužel není možné dopředu doporučit vhodnou metriku pro
danou situaci
Typy metrik a konkrétní příklady
8
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení
vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich
pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m.,
Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův
korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších
sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová
metoda, m. průměrné vazby, Wardova metoda
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., RusselůvRaovův
a.k., Sokalův-Michenerův a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Metriky pro určení vzdálenosti
mezi dvěma objekty
9Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Typy metrik a konkrétní příklady
10
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení
vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich
pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m.,
Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův
korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., RusselůvRaovův
a.k., Sokalův-Michenerův a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších
sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová
metoda, m. průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Nejpoužívanější metriky pro určení vzdálenosti mezi
dvěma objekty s kvantitativními proměnnými
11Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• Euklidova metrika
• Hammingova (manhattanská) metrika
• Minkovského metrika
• Čebyševova metrika
• Mahalanobisova metrika
• Canberrská metrika
12
• zřejmě nejpoužívanější metrika s velmi názornou geometrickou
interpretací
Euklidova metrika
pacienti
kontroly
testovací subjekt
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objemmozkovýchkomor
Objem hipokampu
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objemmozkovýchkomor
Objem hipokampu
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
𝐷 𝐸 𝐱1, 𝐱2 = ෍
𝑖=1
𝑛
x1𝑖 − x2𝑖
2
13
Euklidova metrika
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• zřejmě nejpoužívanější metrika s velmi názornou geometrickou
interpretací
𝐷 𝐸 𝐱1, 𝐱2 = ෍
𝑖=1
𝑛
x1𝑖 − x2𝑖
2
• geometrickým místem bodů s toutéž Euklidovou vzdáleností od daného
bodu je povrch hyperkoule (ve dvourozměrném prostoru kružnice)
• dává větší důraz na větší rozdíly mezi souřadnicemi
žádoucí nebo nežádoucí?
• občas se používá čtverec euklidovské vzdálenosti, protože se lépe počítá
než euklidovská vzdálenost (není to ale pravá metrika vzdálenosti)
14
Hammingova (manhattanská) metrika
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• v AJ názvy: Manhattan distance, city-block distance, taxi driver distance
𝐷 𝐻 𝐱1, 𝐱2 = ෍
𝑖=1
𝑛
x1𝑖 − x2𝑖
• nižší výpočetní nároky než Euklidova metrika → použití v úlohách
s vysokou výpočetní náročností
15
Hammingova (manhattanská) metrika
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
𝐷 𝐻 𝐱1, 𝐱2 = ෍
𝑖=1
𝑛
x1𝑖 − x2𝑖
pacienti
kontroly
testovací subjekt
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objemmozkovýchkomor
Objem hipokampu
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objemmozkovýchkomor
Objem hipokampu
• geometrickým místem bodů s toutéž manhattanskou vzdáleností od
daného bodu je hyperkrychle (ve dvourozměrném prostoru čtverec)
16
Minkovského metrika
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• zobecněním Euklidovy a Hammingovy (manhattanské) metriky
𝐷 𝑀 𝐱1, 𝐱2 = ෍
𝑖=1
𝑛
x1𝑖 − x2𝑖
𝑚
Τ1 𝑚
• Euklidova metrika pro 𝑚 = 2, Hammingova (manhattanská) metrika pro
𝑚 = 1
• volba 𝑚 závisí na tom, jak moc chceme váhovat velké rozdíly mezi
proměnnými (čím větší 𝑚, tím větší váha na velké rozdíly mezi
proměnnými)
• pro 𝑚 → ∞ metrika konverguje k Čebyševově metrice
𝐷 𝐶 𝐱1, 𝐱2 = lim
𝑚→∞
𝐷 𝑀 𝐱1, 𝐱2 = max
∀𝒊
x1𝑖 − x2𝑖
17
• odvozena z Minkovského metriky pro 𝑚 → ∞
𝐷 𝐶 𝐱1, 𝐱2 = max
∀𝒊
x1𝑖 − x2𝑖
Čebyševova metrika
pacienti
kontroly
testovací subjekt
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objemmozkovýchkomor
Objem hipokampu
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objemmozkovýchkomor
Objem hipokampu
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
18
Čebyševova metrika
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• odvozena z Minkovského metriky pro 𝑚 → ∞
𝐷 𝐶 𝐱1, 𝐱2 = max
∀𝒊
x1𝑖 − x2𝑖
• používá se ve výpočetně kriticky náročných případech, kdy je pracnost
výpočtu pomocí Euklidovy metriky nepřijatelná
• geometrickým místem bodů s toutéž Čebyševovou vzdáleností od daného
bodu je hyperkrychle (ve dvourozměrném prostoru čtverec), ale jinak
orientovaná než v případě Hammingovy (manhattanské) vzdálenosti
19
Srovnání metrik
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
ρC ... Čebyševova metrika
ρE ... Euklidova metrika
ρH ... Hammingova (manhattanská) metrika
20
• pokud je potřeba použít „euklidovskou“ metriku, ale s nižší výpočetní
náročností, používá se v první řadě Hammingova nebo Čebyševova metrika
• případně kombinace obou metrik:
𝐷𝐴 𝐱1, 𝐱2 = max 2𝐷 𝐻/3; 𝐷 𝐶
• geometrickým místem bodů s toutéž vzdáleností je pak ve
dvourozměrném prostoru osmiúhelník
Srovnání metrik
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
21
Nevýhody metrik
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• je zpravidla problematické vytvářet součet rozdílů veličin s různým
rozsahem
• při začlenění korelovaných veličin se zvyšuje jejich vliv na výslednou
hodnotu
• řešení:
1. transformace proměnných:
‐ vztažení k nějakému vyrovnávacímu faktoru (střední hodnotě,
směrodatné odchylce, rozpětí i = maxj xij - minj xij) či pomocí
standardizace u𝑖𝑗 =
x 𝑖𝑗−തx 𝑗
𝜎 𝑗
; 𝑖 = 1, … , 𝑛; 𝑗 = 1, … , 𝑝 ; kde 𝑛 je počet
subjektů a 𝑝 je počet proměnných
2. váhování:
‐ např. Minkovského váhovaná metrika: 𝐷 𝑊𝑀 𝐱1, 𝐱2 = ሺσ𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 ∙ ȁx1𝑖 −
3. začlenění kovarianční matice do výpočtu:
‐ začleněním inverze kovarianční matice získáváme Mahalanobisovu
metriku (což je Euklidova metrika váhovaná inverzí kovarianční matice):
𝐷 𝑀𝐴 𝐱1, 𝐱2 = 𝐱1 − 𝐱2
𝑇 ∙ 𝐒−1 ∙ 𝐱1 − 𝐱2
22
Canberrská metrika
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• relativizovaná varianta Hammingovy (manhattanské) metriky
𝐷 𝐶𝐴 𝐱1, 𝐱2 = ෍
𝑖=1
𝑛 x1𝑖 − x2𝑖
x1𝑖 + x2𝑖
• vhodná pro proměnné s nezápornými hodnotami
• pokud se vyskytují nulové hodnoty:
– pokud jsou obě hodnoty x1𝑖 a x2𝑖 nulové, potom předpokládáme, že hodnota
zlomku je nulová
– je-li jenom jedna hodnota nulová, pak je zlomek roven 1 bez ohledu na
velikost druhé hodnoty
– někdy se nulové hodnoty nahrazují malým kladným číslem (menším než
nejmenší naměřené hodnoty)
• velice citlivá na malé změny souřadnic, pokud se oba objekty nacházejí
v blízkosti počátku souřadnicové soustavy; naopak méně citlivá na změny
hodnot proměnných, pokud jsou tyto hodnoty velké
23
Jsou dány dva vektory x1 = (0,001; 0,001)T a x2 = (0,01; 0,01)T. Předpokládejme,
že se souřadnice prvního vektoru změní na x´1 = (0,002; 0,001)T. Jaká je
Hammingova (manhattanská) a canberrská vzdálenost v obou případech a jaká
je relativní změna vzdáleností, vyvolaná uvedenou modifikací?
Příklad 1a
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
𝑑 𝐻 𝐱1, 𝐱2 = 0,001 − 0,01 + 0,001 − 0,01 = 0,009 + 0,009 = 0,018
𝑑 𝐻 𝐱′1, 𝐱2 = 0,002 − 0,01 + 0,001 − 0,01 = 0,008 + 0,009 = 0,017
𝑑 𝐶𝐴 𝐱1, 𝐱2 =
0,001−0,01
0,001 + 0,01
+
0,001−0,01
0,001 + 0,01
=
0,009
0,011
+
0,009
0,011
= 1,6364
𝑑 𝐶𝐴 𝐱′1, 𝐱2 =
0,002−0,01
0,002 + 0,01
+
0,001−0,01
0,001 + 0,01
=
0,008
0,012
+
0,009
0,011
= 1,4849
Relativní změny vzdáleností, určující citlivost té které metriky, které jsou způsobeny
změnou hodnoty první souřadnice, jsou:
∆𝑑 𝐻 =
𝑑 𝐻 𝐱1,𝐱2 −𝑑 𝐻 𝐱′1,𝐱2
𝑑 𝐻 𝐱1,𝐱2
=
0,018−0,017
0,018
=
0,001
0,018
= 0,056
∆𝑑 𝐶𝐴 =
𝑑 𝐶𝐴 𝐱1,𝐱2 −𝑑 𝐶𝐴 𝐱′1,𝐱2
𝑑 𝐶𝐴 𝐱1,𝐱2
=
1,6364−1,4849
1,6364
= 0,093
Ze získaných výsledků je zřejmé, že relativní změna vzdáleností je v případě canberrské
metriky pro toto zadání téměř dvakrát větší.
24
Nyní mějme dány dva vektory x1 = (1000; 1000)T a x2 = (100; 100)T a
předpokládejme, že se souřadnice prvního vektoru změní na x´1 = (1002; 1000)T.
Jaká je Hammingova (manhattanská) a canberrská vzdálenost v obou případech
a jaká je relativní změna vzdáleností, vyvolaná uvedenou modifikací?
Příklad 1b
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
𝑑 𝐻 𝐱1, 𝐱2 = 1000 − 100 + 1000 − 100 = 900 + 900 = 1800
𝑑 𝐻 𝐱′1, 𝐱2 = 1002 − 100 + 1000 − 100 = 902 + 900 = 1802
𝑑 𝐶𝐴 𝐱1, 𝐱2 =
1000−100
1000 + 100
+
1000−100
1000 + 100
=
900
1100
+
900
1100
= 1,6364
𝑑 𝐶𝐴 𝐱′1, 𝐱2 =
1002−100
1002 + 100
+
1000−100
1000 + 100
=
902
1102
+
900
1100
= 1,6367
Relativní změny vzdáleností, určující citlivost té které metriky, které jsou způsobeny
změnou hodnoty první souřadnice, jsou:
∆𝑑 𝐻 =
𝑑 𝐻 𝐱1,𝐱2 −𝑑 𝐻 𝐱′1,𝐱2
𝑑 𝐻 𝐱1,𝐱2
=
1800−1802
1800
=
2
1800
= 0,0011
∆𝑑 𝐶𝐴 =
𝑑 𝐶𝐴 𝐱1,𝐱2 −𝑑 𝐶𝐴 𝐱′1,𝐱2
𝑑 𝐶𝐴 𝐱1,𝐱2
=
1,6364−1,6367
1,6364
= 0,00018
Ze získaných výsledků je zřejmé, že citlivost canberrské metriky je v tomto případě
řádově nižší.
25
Nelineární metrika
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat






D),(kdyžH
D),(když0
),(
21E
21E
21N
xx
xx
xx
• kde D je prahová hodnota a H je nějaká konstanta
• i když existují doporučení, jak volit obě hodnoty na základě statistických
vlastností vektorového prostoru (např. pomocí H =
Г Τ𝑛 2
𝐷 𝑛 𝜋 𝑛
), výhodnější je
volit obě hodnoty na základě expertní analýzy řešeného problému
• ve vztahu může figurovat jakákoliv metrika vzdálenosti, nejen Euklidova
metrika
Typy metrik a konkrétní příklady
26
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení
vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich
pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m.,
Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův
korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., RusselůvRaovův
a.k., Sokalův-Michenerův a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších
sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová
metoda, m. průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Příklad
27Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Předpokládejme, že množina F obsahuje symboly {0, 1, 2}, tj. k = 3 a vektory
x a y jsou následující 6-prvkové vektory (tj. p = 6):
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
Kontingenční matice A(x,y) je:
Součet hodnot všech prvků matice A(x,y) je roven délce p obou vektorů,
tj. v našem případě:











101
021
010
),( yxA
 

2
0i
2
0j
ij 6a
Spočtěte vzdálenost obou vektorů.
Hammingova metrika vzdálenosti
28
• definována počtem pozic, v nichž se oba vektory liší







1
0
1
0
),(
k
i
k
ji
j
ijHQ aD yx
• tzn. je dána součtem všech prvků matice A, které leží mimo hlavní diagonálu.
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
Příklad:
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
dHQ(x,y) = 3
liší se ve 3 souřadnicích
𝐀 𝐱, 𝐲 =
0 1 0
1 2 0
1 0 1
𝐀 𝐱, 𝐲 =
0 1 0
1 2 0
1 0 1
dHQ(x,y) = 3
3 prvky mimo diagonálu
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Hammingova metrika vzdálenosti
29Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• pro k = 2, kdy jsou hodnoty obou vektorů binární, se definiční vztah
Hammingovy vzdálenosti transformuje na:
kde třetí člen v závorce kompenzuje případ, kdy jsou hodnoty xi i yi rovny jedné
a součet prvních členů v závorce je tím pádem roven dvěma, nicméně nastává
shoda hodnot, která k celkové vzdálenosti nemůže přispět.


p
i
iiiiHQB yxyxD
1
)2(),( yx
 

p
i
ii
p
i
iiiiHQB yxyxyxD
1
2
1
22
)()2(),( yx


p
i
iiHQB yxD
1
),( yx
• protože xi a yi nabývají hodnot pouze 0 a 1, můžeme také psát:
• díky speciálnímu případu hodnot xi a yi je možná i nejjednodušší forma:
Hammingova metrika vzdálenosti – příklad 2
30
Určete Hammingovu vzdálenost binárních vektorů
x = (0, 1, 1, 0, 1)T a
y = (1, 0, 0, 0, 1)T.
Podle definičního principu (tzn. počet pozic, ve kterých se oba vektory liší):
dHQB(x,y) = 3
Dle jiného vztahu:
3)11211()00200()01201()01201()10210(
)2(),(
1

 
++++++++
yxyxd
p
i
iiiiHQB yx
Dle dalšího vztahu:
300111)11()00()01()01()10(
)(),(
22222
1
2

 
++++
yxd
p
i
iiHQB yx
Dle posledního vztahu:
300111
1100010110
),(
1


 
p
i
iiHQB yxd yx
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Hammingova metrika vzdálenosti
31Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
V případě bipolárních vektorů, kdy jednotlivé složky
vektorů nabývají hodnot +1 a -1, je Hammingova
vzdálenost určena vztahem:
2
),(
1









p
i
ii
HQP
yxp
D yx
Příklad 3:
Určete Hammingovu vzdálenost bipolárních vektorů
x = (1, 1, 1, -1, 1)T a
y = (1, -1, 1, -1, -1)T.
Podle definičního principu (tzn. počet pozic, ve kterých se liší): dHQP(x,y) = 2
Z kontingenční matice (součet prvků mimo hlavní diagonálu):
Pomocí vztahu:
  2
2
15
2
)11111(5
2
))1(1())1()1(()11())1(1()11(5
),( 





yxHQPd
𝐀 𝐱, 𝐲 =
2 2
0 1
Metriky pro určení podobnosti
mezi dvěma objekty
32Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Typy metrik a konkrétní příklady
33
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení
vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich
pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m.,
Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův
korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., RusselůvRaovův
a.k., Sokalův-Michenerův a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších
sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová
metoda, m. průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Skalární součin
34


n
i
ii
T
ss xxS
1
212121 .),( xxxx
Většinou pro vektory x1 a x2 o stejné délce (např. a); záleží na úhlu, který svírají:
úhel 0° úhel 90° úhel 180°
Sss = a2 Sss = -a2Sss = 0
• skalární součin invariantní vůči rotaci – absolutní orientace nepodstatná, důležitý pouze úhel
• skalární součin není invariantní vůči lineární transformaci (tzn. závisí na délce vektorů)
odvození metriky vzdálenosti:
),(),( 21
2
21 xxxx ssss SaD 
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Metrika kosinové podobnosti
35
21
21
21cos
.
.
),(
xx
xx
xx
T
S 
kde je norma (délka) vektoru xi
= skalární součin vektorů o jednotkové délce
• vhodná v případě, pokud je informativní pouze relativní hodnota příznaků
• hodnoty cos(x1, x2) jsou rovny kosinu úhlu mezi oběma vektory
ix
úhel 0° úhel 90° úhel 180°
Scos = 1 Scos = -1Scos = 0
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Pearsonův korelační koeficient
36
21
21
21cos
.
.
),(
xx
xx
xx
T
S 
Metrika kosinové podobnostiPearsonův korelační koeficient
21
21
21
.
.
),(
dd
d
T
d
PCS
xx
xx
xx 
kde 𝐱 𝑑𝑖 = x𝑖1 − തx𝑖, x𝑖2 − തx𝑖, … , x𝑖𝑝 − തx𝑖
𝑇
𝐱 𝑑𝑖 jsou tzv. diferenční vektory
také nabývá hodnot z intervalu -1;1
odvození metriky vzdálenosti:
2
),(1
),( 21
21
xx
xx PC
PC
S
D


→ hodnoty se (díky dělení dvěma) vyskytují
v intervalu 0;1
→ používá se např. při analýze dat genové exprese
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Tanimotova metrika podobnosti
37Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Přičteme-li a odečteme-li ve jmenovateli výraz x1
Tx2 a podělíme-li čitatele i
jmenovatele zlomku toutéž hodnotou, dostaneme
Tanimotova podobnost vektorů x1 a x2 je nepřímo úměrná kvadrátu Euklidovy
vzdálenosti vektorů x1 a x2 vztažené k jejich skalárnímu součinu. Pokud skalární
součin považujeme za míru korelace obou vektorů, můžeme formulovat výše
uvedený vztah tak, že ST(x1,x2) je nepřímo úměrná kvadrátu Euklidovy vzdálenosti
podělené velikostí jejich korelace, což znamená, že je korelaci, jako míře
podobnosti přímo úměrná.
21
2
2
2
1
21
21 ),(
xxxx
xx
xx T
T
TS


21
2121
21
)()(
1
1
),(
xx
xxxx
xx
T
TTS



„Bezejmenná“ metrika podobnosti
38Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
21
21
21
),(
1),(
xx
xx
xx

 E
C
D
S
Vzdálenost podle metriky je rovna jedné,
když x1 = x2
a svého minima (tj. = -1) nabývá,
když x1 = -x2.
),( 21 xxCS
Typy metrik a konkrétní příklady
39
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení
vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich
pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m.,
Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův
korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., RusselůvRaovův
a.k., Sokalův-Michenerův a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších
sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová
metoda, m. průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů s kvalitativními prom.
40
1. případy obecné
2. případy s dichotomickými příznaky, pro které je definována celá řady tzv.
asociačních koeficientů.
(Asociační koeficienty až na výjimky nabývají hodnot z intervalu 0, 1,
hodnoty 1 v případě shody vektorů, 0 pro případ nepodobnosti.)
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
𝐀 𝐱, 𝐲 =
0 1 0
1 2 0
1 0 1
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
41
Obecné metriky – Hammingova metrika podobnosti
),(),( yxyx HQHQ DpS 
Příklad:
dHQ(x,y) = 3
liší se ve 3 souřadnicích
dHQ(x,y) = 3
3 prvky mimo diagonálu
sHQ(x,y) = 6 – 3 = 3 sHQ(x,y) = 6 – 3 = 3
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T
𝐀 𝐱, 𝐲 =
0 1 0
1 2 0
1 0 1
shoda ve 3 souřadnicích součet prvků na diagonále roven 3
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
42
Obecné metriky – Tanimotova metrika
Pro výpočet Tanimotovy podobnosti dvou
vektorů s kvalitativními příznaky jsou použity
všechny páry složek srovnávaných vektorů,
kromě těch, jejichž hodnoty jsou obě nulové.






1k
1i
1k
0j
ijx an 





1k
0i
1k
1j
ijy an













 1
1
1
1
1
1
),( k
i
k
j
ijyx
k
i
ii
TQ
ann
a
nnn
n
S
YXYX
YX
yx
x=0
x=1
x=2
y=0 y=1 y=2
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
43
Obecné metriky – Tanimotova metrika – příklad
Určete hodnoty Tanimotových podobností sTQ(x,x), sTQ(x,y) a sTQ(x,z), když:
x = (0, 1, 2, 1, 2, 1)T a
y = (1, 0, 2, 1, 0, 1)T a
z = (2, 0, 0, 0, 0, 2)T.
Ze zadání je množina symbolů F = {0, 1, 2}, k = 3, p = 6.
Kontingenční tabulky jsou:











200
030
001
),( xxA











002
102
100
),( zxA
1
555
5
),( 

xxTQs 5,0
345
3
),( 

yxTQs 0
125
0
),( 

zxTQs











101
021
010
),( yxA
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
44
• definovány pomocí různých prvků kontingenční matice A(x,y)
Další obecné metriky
• některé z nich používají pouze počet shodných pozic
v obou vektorech (ovšem s nenulovými hodnotami):
• některé z nich používají i shodu s nulovými hodnotami:
p
a
S
k
i
ii



1
1
1 ),( yx
00
1
1
2 ),(
ap
a
S
k
i
ii





yx
p
a
S
k
i
ii



1
0
3 ),( yx
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
45
Asociační koeficienty
A - u obou objektů sledovaný jev nastal (obě odpovídající si proměnné mají
hodnotu true, resp.1) – pozitivní shoda;
B - u objektu xi jev nastal (xik = true), zatímco u objektu xj nikoliv (xjk = false, resp.0);
C - u objektu xi jev nenastal (xik = false), zatímco u objektu xj ano (xjk = true);
D - sledovaný jev nenastal ani u jednoho z objektů (obě odpovídající si
proměnné mají hodnotu false, resp. 0) – negativní shoda.
A
D
B
C
Při výpočtu podobnosti dvou objektů sledujeme, kolikrát pro všechny souřadnice
obou vektorů xj a xj nastaly případy shody či neshody:
• A+D určuje celkový počet shod
• B+C celkový počet neshod
• A+B+C+D = p (tj. celk. počet souřadnic obou vektorů – tzn. počet proměnných)
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
46
Jaccardův – Tanimotův asociační koeficient
což je díky zjednodušení i dichotomická varianta metriky podle vztahu:
CBA
A
SJT

),( yx









 1
1
1
1
1
1
),( k
i
k
i
ijyx
k
i
ii
TQ
ann
a
S yx
Tento vztah se dominantně používá v ekologických studiích.
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
47
Další asociační koeficienty I
DCBA
A
SRR

),( yx
dichotomická varianta
metriky:
p
a
S
k
i
ii



1
1
1 ),( yx
Russelův – Raoův asociační koeficient
Sokalův – Michenerův asociační koeficient
DCBA
DA
SSM


),( yx dichotomická varianta
metriky:
p
a
S
k
i
ii



1
0
3 ),( yx
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
48
Další asociační koeficienty II
Diceův (Czekanowského) asociační koeficient
)()(
2
2
2
),(
CABA
A
CBA
A
SDC



yx
V případě Jaccardova a Diceova
koeficientu pokud nastane úplná
negativní shoda (tzn. A = B = C =0),
pak často: SJT(x,y) = SDC(x,y) = 1.
Rogersův – Tanimotův asociační koeficient
)()()(2
),(
DCBACB
DA
CBDA
DA
SRT





yx
Hamanův asociační koeficient
DCBA
CBDA
SHA



)(
),( yx
nabývá na rozdíl od všech dříve uvedených
koeficientů hodnot z intervalu -1, 1. Hodnoty -1,
pokud se příznaky pouze neshodují; hodnoty 0, když
je počet shod a neshod v rovnováze; +1 v případě
úplné shody všech příznaků
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
49
Asociační koeficienty – poznámka
Na základě četností A až D lze pro případ binárních příznaků vytvářet i
zajímavé vztahy pro již dříve uvedené míry:
Hammingova metrika
Euklidova metrika
Pearsonův korelační koeficient
CBDH ),( yx
CBDH ),( yx
)()()()(
),(
DBCADCBA
CBDA
SPC


yx
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
50
Výpočet vzdáleností z asociačních koeficientů
Z asociačních koeficientů, které vyjadřují míru podobnosti, lze
jednoduše odvodit i míry nepodobnosti (vzdálenosti) pomocí:
),(1),( yxyx XX SD 
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
51
Výpočet vzdáleností v Matlabu
Funkce:
• pdist (vzdálenost mezi páry objektů matice X či páry proměnných matice XT)
• pdist2 (vzdálenost mezi maticemi X a Y)
Výběr metrik vzdáleností u obou těchto funkcí:
• ‘euclidean’ – Euklidova metrika vzdálenosti
• ‘squaredeuclidean’ – čtverec Euklidovy metriky vzdálenosti
• ‘seuclidean’ – standardizovaná Euklidova metrika vzdálenosti
• ‘cityblock’ – Hammingova (manhattanská) metrika vzdálenosti
• ‘minkowski’ – Minkovského metrika vzdálenosti
• ‘chebychev’ – Čebyševova metrika vzdálenosti
• ‘mahalanobis’ – Mahalanobisova metrika vzdálenosti
• ‘cosine’ – 1 mínus kosinová podobnost
• ‘correlation’ – 1 mínus Pearsonův korelační koeficient
• ‘spearman’ – 1 mínus Spearmanův korelační koeficient
• ‘hamming’ – Hamminova vzdálenost (pro kvalitativní proměnné)
• ‘jaccard’ – 1 mínus Jaccardův koeficient
• lze případně nadefinovat i jinou metriku
52
Výpočet vzdáleností v R
Funkce dist na výpočet vzdáleností objektů (či subjektů) s výběrem metrik:
– „euclidean“ – Euklidovska metrika
– „maximum“ – Čebyševova metrika
– „manhattan“ – Hammingova (manhattanská) metrika
– „canberra“ – Canberrská metrika
– „minkowski“ – Minkovského metrika
Metriky pro určení vzdálenosti
mezi dvěma skupinami objektů
53Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
54
• vzdálenost mezi skupinami dána:
Vzdálenost mezi skupinami objektů
• zavedeme funkci, která ke každé dvojici skupin objektů (Ci, Cj) přiřazuje
číslo D(Ci, Cj), které podobně jako míry podobnosti či nepodobnosti
(metriky) jednotlivých objektů musí splňovat minimálně podmínky:
(S1) D(Ci, Cj)  0
(S2) D(Ci, Cj) = D(Cj, Ci)
(S3) D(Ci, Ci) = maxi,jD(Ci, Cj) (pro míry podobnosti)
(S3’) D(Ci, Ci) = 0 pro všechna i (pro míry vzdálenosti)
– „vzdáleností“ jednoho objektu s jedním či více objekty jedné skupiny
(třídy) – použitelné při klasifikaci
– „vzdáleností“ skupin (třídy, shluku) objektů či „vzdáleností“ jednoho
objektu z každé skupiny – použitelné při shlukování
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Typy metrik a konkrétní příklady
55
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení
vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich
pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m.,
Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův
korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., RusselůvRaovův
a.k., Sokalův-Michenerův a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších
sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová
metoda, m. průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Nejpoužívanější metriky pro určení vzdálenosti mezi
dvěma množinami objektů
56Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
• Metoda nejbližšího souseda
• Metoda k nejbližších sousedů
• Metoda nejvzdálenějšího souseda
• Metoda průměrné vazby
• Wardova metoda
57
Metoda nejbližšího souseda
• výhody a nevýhody použití této metody pro klasifikaci:
+ žádné předpoklady o rozložení
- citlivé na odlehlé hodnoty
- zpravidla nevhodné při nevyvážených počtech objektů ve skupinách
• je-li d libovolná míra nepodobnosti (vzdálenosti) dvou objektů a 𝜔𝑖 a 𝜔𝑗
jsou libovolné skupiny objektů, potom metoda nejbližšího souseda
definuje mezi skupinami 𝜔𝑖 a 𝜔𝑗 vzdálenost ),(min),( qp
x
x
jiNN xxdD
jq
ip






pacienti
kontroly
testovací subjekt
x1
x2
→ testovací subjekt zařadíme do třídy,
ze které je jeho nejbližší soused
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
58
Metoda k nejbližších sousedů
58
• zobecněním metody nebližšího souseda
• definována vztahem tzn. vzdálenost dvou
shluků je definována součtem nejkratších vzdáleností mezi objekty obou skupin
pacienti
kontroly
testovací subjekt
x1
x2
,),(min),( 



k
qp
x
x
jiNNk xxdD
jq
ip



• výhody a nevýhody použití této metody pro klasifikaci:
+ žádné předpoklady o rozložení
+ méně citlivé na odlehlé hodnoty
- zpravidla nevhodné při nevyvážených počtech objektů ve skupinách
→ testovací subjekt zařadíme do třídy,
která převažuje mezi jeho k nejbližšími
sousedy
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
59
• opačný princip než metoda nejbližšího souseda:
• pozn.: pro klasifikaci je obtížně použitelná
• pozn. 2: je možné zobecnění i pro více nejvzdálenějších sousedů
Metoda nejvzdálenějšího souseda
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
)x,x(dmax),(D qp
x
x
iiFN
jq
ip
C
C
CC



,)x,x(dmax),(D
k
qp
x
x
iiFNk
jq
ip




C
C
CC
60
• vychází z výpočtu centroidů pro jednotlivé skupiny
• při klasifikaci: zařazení objektu do skupiny s nejbližším centroidem
Centroidová metoda
pacienti
kontroly
testovací subjekt
x1
x2
centroid pacientů
centroid kontrol
• výhody a nevýhody použití této metody pro klasifikaci:
+ žádné předpoklady o rozložení (pokud je však centroid počítán jako
vícerozměrný průměr, může nenormalita působit trochu problémy)
+ méně citlivé na odlehlé hodnoty než metoda nejbližšího souseda
+ nebývá problém při nevyvážených počtech objektů ve skupinách
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
61
• vzdálenost dvou tříd je průměrná vzdálenost mezi všemi objekty těchto tříd
• při klasifikaci: zařazení subjektu do skupiny s nejmenší průměrnou
vzdálenosti od všech objektů dané skupiny
Metoda průměrné vazby
pacienti
kontroly
testovací subjekt
x1
x2
• výhody a nevýhody použití této metody pro klasifikaci:
+ žádné předpoklady o rozložení
+ méně citlivé na odlehlé hodnoty než metoda nejbližšího souseda
+ nebývá problém při nevyvážených počtech objektů ve skupinách
- časově náročnější než centroidová metoda při větším počtu objektů
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
62
• vzdálenost mezi třídami (shluky) je definována přírůstkem součtu čtverců
odchylek mezi těžištěm a objekty shluku vytvořeného z obou uvažovaných
shluků Ci a Cj oproti součtu čtverců odchylek mezi objekty a těžišti v obou
shlucích Ci a Cj.
• pozn. (při použití Wardovy metody pro shlukování): Metoda má tendenci
vytvářet shluky zhruba stejné velikosti, tedy odstraňovat shluky malé, resp.
velké.
• pozn. 2: pro klasifikaci se používá zřídka
Wardova metoda
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
63
Bylo provedeno měření objemu hipokampu a mozkových komor (v cm3) u
3 pacientů se schizofrenií a 3 kontrol: 𝐗 𝐷 =
2 12
4 10
3 8
, 𝐗 𝐻 =
5 7
3 9
4 5
.
Určete, zda testovací subjekt 𝐱 = 3,5 9 patří do skupiny pacientů či
kontrolních subjektů pomocí různých metod klasifikace podle minimální
vzdálenosti.
Příklad 2
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
pacienti
kontroly
testovací subjekt
1 2 3 4 5 6
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Objem hipokampu
Objemmozkovýchkomor
Typy metrik a konkrétní příklady
64
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení
vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich
pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m.,
Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův
korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., RusselůvRaovův
a.k., Sokalův-Michenerův a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších
sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová
metoda, m. průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Metriky založené na pstních charakteristikách
65
Klasifikační třídy (množiny objektů se společnými charakteristikami) nemusí
být definovány jen výčtem objektů, ale i vymezením obecnějších vlastností:
• definicí hranic oddělujících část obrazového prostoru náležející dané
klasifikační třídě
• diskriminační funkcí
• pravděpodobnostními charakteristikami výskytu objektů v dané třídě
• atd.
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Metriky založené na pstních charakteristikách
66
Základní myšlenkou je využití pravděpodobnosti způsobené chyby při klasifikaci (tzn.
zařazení objektu do skupiny). Čím více se hustoty pravděpodobnosti výskytu objektů x
v jednotlivých množinách překrývají, tím je větší pravděpodobnost chyby.
Tzn. tyto metriky splňují následující vlastnosti:
3. J nabývá maxima, pokud jsou obě množiny
disjunktní, tj. když
1. J = 0, pokud jsou hustoty pravděpodobnosti
obou množin identické, tj. když
p(x|1) = p(x|2)
2. J > 0



 0)ω()ω( 2 xxx 1 dpp
x1
f(x1)
x1
x2
x1
f(x1)
x1
f(x1)
x1
x2
x1
x2
(Jak vidíme, není mezi vlastnostmi pravděpodobnostních metrik uvedena trojúhelníková
nerovnost, jejíž splnění by se zajišťovalo obtížně.) Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Typy metrik a konkrétní příklady
67
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvantitativními proměnnými
Deterministické metriky pro určení
vzdálenosti mezi 2 množinami objektů
MEZI DVĚMA OBJEKTY
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvantitativními proměnnými
Metriky pro určení podobnosti 2 objektů
s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 objekty s kvalitativními proměnnými
Metriky pro určení vzdálenosti mezi
2 množinami objektů používající jejich
pravděpodobnostní charakteristiky
Euklidova m., Hammingova (manhattanská) m.,
Minkovského m., Čebyševova m., Mahalanobisova m.,
Canberrská m.
Skalární součin, m. kosinové podobnosti, Pearsonův
korelační koeficient, Tanimotova m.
Hammingova m.
Chernoffova m., Bhattacharyyova m. atd.
Tanimotova m., Jaccardův-Tanimotův a.k., RusselůvRaovův
a.k., Sokalův-Michenerův a.k., Dicův k.,
Rogersův-Tanimotův k., Hamanův k.
Metoda nejbližšího souseda, k nejbližších
sousedů, nejvzdálenějšího souseda, centroidová
metoda, m. průměrné vazby, Wardova metoda
MEZI DVĚMA SKUPINAMI OBJEKTŮ
Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
68Koriťáková: Analýza a klasifikace dat
Příprava nových učebních materiálů
pro obor Matematická biologie
je podporována projektem OPVK
č. CZ.1.07/2.2.00/28.0043
„Interdisciplinární rozvoj studijního
oboru Matematická biologie“