logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
•INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
logo-MU
ČASOVÉ ŘADY
(SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY)
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz,

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VII. FREKVENČNÍ TRASFORMACE
 — FUNKCE SPOJITÉ V ČASE –

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ČASOVÁ ŘADA
http://www.cssd.cz/image.php?id=16790
þPreference politických stran v ČR v období od 8/2004 do 3/2008

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
OSCILACE
Časový záznam budicího impulzu Amplitudově-frekvenční spektrum budicího impulzu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þtříparametrickou harmonickou funkci lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách
þ amplituda x úhlový kmitočet a počáteční fáze x úhlový kmitočet:
þC1 = C1(ω)    a    φ1 = φ1(ω);
è
è
þ
þ
þspektrum amplitud   spektrum počátečních fází
HARMONICKÁ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2).
HARMONICKÁ FUNKCE
•
•

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þx(t) = 10.cos(2p.10t + p/2) + 5.cos(2p.15t)
HARMONICKÁ FUNKCE
•
•

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
!!! FREKVENČNÍ SPEKTRUM !!!
þ Frekvenční spektrum funkce je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých
harmonických složek, ze kterých se funkce skládá, v závislosti na frekvenci.
þ
þ! ZAPAMATOVAT NA VĚKY !
C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
9
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY
þFourierova analýza – snaha vyjádřit (rozložit, rozvinout) funkci jako součet jednoduchých funkcí
(harmonických funkcí, složek).
þpočty těchto harmonických složek, jejich amplitudy, frekvence a fázové posuny jednoznačně
charakterizují analyzovanou funkci.
þ
þFourierova řada
þFourierův integrál, Fourierova transformace
þ
þFourierovy řady mohou být vyjádřeny buď v klasickém, trigonometrickém nebo komplexním tvaru.
þ
þzpracovávat můžeme spojité i diskrétní signály.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
•V
10
•Nechť funkce f(x) má v okolí U(x0) bodu x0 derivace až do řádu n+1 včetně
•Taylorova řada
•
•
•Maclaurinova řada, tj. Taylorova řada pro x0 = 0
TAYLORŮV ROZVOJ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Image169 Image170 Image168 Image171 Image172 Image167
•n = 1
•n = 2
•n = 3
•n = 4
•n = 5
TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCE y = sin(x)
PRO x = 0

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
12
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY
FOURIEROVY ŘADY
þpoznali jsme, že funkci je možné vyjádřit jako mocninou řadu
njinou možností je vyjádřit funkci jako trigonometrickou řadu (tj. jako součet harmonických funkcí
(signálů)).
npomocí trigonometrických řad lze vyjádřit obsáhlejší třídu funkcí než mocninnými řadami.
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
13

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
14

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
15

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
16

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
17

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
18

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
19

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
20

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
21

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
22
þTrigonometrická řada
nuvedený vztah můžeme použít pouze, jestliže řada na pravé straně konverguje.
nkonverguje-li řada, potom je její součet periodickou funkcí proměnné x s periodou 2π.
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY
FOURIEROVY ŘADY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
23
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY
FOURIEROVY ŘADY
þkaždou periodickou funkci f(x) = f(x+kX), která splňuje tzv. Dirichletovy podmínky lze vyjádřit
uvedenou trigonometrickou řadou, kde se koeficienty (amplitudy) an, bn vypočítají ze vztahů

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
24
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY
FOURIEROVY ŘADY
þkaždou periodickou funkci f(x) = f(x+kX), která splňuje tzv. Dirichletovy podmínky lze vyjádřit
uvedenou trigonometrickou řadou, kde se koeficienty (amplitudy) an, bn vypočítají ze vztahů
co tyhle vztahy znamenají?
jak je interpretovat?

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
25
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY
FOURIEROVY ŘADY
þDirichletovy podmínky
* Funkce musí být absolutně integrovatelná přes jednu periodu X tj.
* Funkce musí mít na intervalu (x; x + X) konečný počet nespojitostí a konečný počet maxim i minim.
nDirichletovy podmínky jsou postačující, nikoliv nutné.
nVšechny fyzikálně realizovatelné funkce splňují D.p.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
26
þuvedená trigonometrická řada s koeficienty určenými z výše uvedených vztahů se nazývá
(trigonometrická) Fourierova řada (příslušná k funkci f).
þ
þFourierova řada se zjednoduší, je-li funkce f lichá nebo sudá.
þPro lichou funkci platí
þ
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY
FOURIEROVY ŘADY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
27
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY
nPro sudou funkci platí

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
28
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY
þPříklad 1: Rozviňme funkci f(x) = x ve Fourierovu řadu.
þ
þ Funkce f(x) je lichá, a proto an = 0. Koeficienty bn spočítáme ze vztahu
• Integrací per partes dostaneme

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY
þKoeficient bn je tedy
•Výsledná Fourierova řada má tvar
obr135

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
30
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY
þPříklad 2: Rozviňme ve Fourierovu řadu funkci
obr139

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
31
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY
nVýsledná Fourierova řada má tvar
nFunkce f(x) je lichá, a proto an = 0. Koeficienty bn spočítáme takto
nPro n sudé je bn = 0, pro n liché je

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
32
ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY
þZobecnění pro funkce s periodou T.
þ Fourierova řada (příslušná k funkci f) má tvar

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HARMONICKÁ FOURIEROVA ŘADA
•kde výraz
•nazýváme n-tou harmonickou složkou funkce s(t)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
OSCILACE
Časový záznam budicího impulzu Amplitudově-frekvenční spektrum budicího impulzu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkaždou periodickou funkci f(t+kT)=f(t), (která vyhovuje Dirichletovým podmínkám), můžeme rozložit
ve Fourierovu řadu
•kde cn jsou komplexní Fourierovy koeficienty
•Ω – úhlový kmitočet základní harmonické složky (základní harmonická);
FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
•pro n = 0 je
•což je střední hodnota funkce f(t).
•Pro reálné funkce f(t) je ċ-n= ċ*n.
FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLADY
SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPomocný výpočet:
•Pro n = 0 je                         I(0) = 2a
•Pro n ≠ 0
PŘÍKLADY
SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLADY
SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
•Šířka impulsů – J,výška – D, perioda T
PŘÍKLADY
SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Fwobdelniku
PŘÍKLADY
SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLADY
SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU
þCo se stane, když posuneme obdélníkový pulz z předešlého příkladu tak, aby nástupná hrana
obdélníka byla v počátku časové osy?
•

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLADY
SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU
þCo se stane, když posuneme obdélníkový pulz z předešlého příkladu tak, aby nástupná hrana
obdélníka byla v počátku časové osy?
•
•

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLADY
SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU
þCo se stane, když posuneme obdélníkový pulz z předešlého příkladu tak, aby nástupná hrana
obdélníka byla v počátku časové osy?
•
•
•

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY
þjednotkový skok (Heavisidova funkce)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þjednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t)
þ splňuje vztah
•
•zjednodušeně:
• jednotkový impulz δ(t) je velice úzký (limitně s nulovou šířkou) a velice (limitně nekonečně)
vysoký obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnotě šířky Þ mohutnost je jednotková
JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þzavádí spektrální popis jednorázových (aperiodických) veličin – můžeme jej získat z Fourierovy
řady limitním prodloužením periody signálu T→¥
Tdoinf
FOURIEROVA TRANSFORMACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þkmitočet základní harmonické složky
þΩ = 2p/T
þkdyž T→¥, pak Ω→dω→0
þ Graficky to představuje zhušťování spektrálních čar s prodlužující se periodou až v limitním
případě je vzdálenost mezi spektrálními čarami nulová. Pro aperiodický funkci budou spektrální čáry
na sebe navazovat - nΩ→ω
•Suma ve výše uvedeném vztahu přechází v integrál s mezemi od - ¥ do ¥.
FOURIEROVA TRANSFORMACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
•pro T→¥ je T= 2p/dω, meze integrálu budou pro nekonečně trvající veličinu od - ¥ do ¥. Pro T →¥
budou rovněž amplitudy spojitého spektra jednorázového impulsu nekonečně malé. Dosaďme za cn do
vztahu na předchozím obrázku
FOURIEROVA TRANSFORMACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVA TRANSFORMACE
•Označme
•Fourierova transformace
•Funkci S(ω) nazveme spektrální funkcí dané veličiny. Ta už nevyjadřuje skutečné zastoupení
jednotlivých harmonických složek, nýbrž jen jejich poměrné zastoupení.
•Fourierova transformace převádí funkci s(t) z časové domény na funkci S(ω) v kmitočtové oblasti.

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPro časovou funkci můžeme psát vztah
•zpětná Fourierova transformace
FOURIEROVA TRANSFORMACE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FOURIEROVA TRANSFORMACE
VLASTNOSTI
•Princip superpozice ( ! podmínka linearity ! )
•s1(t) + s2(t) ~ S1(ω) + S2(ω)
•a.s(t) ~ a.S(ω)
•Lineární kombinaci funkcí odpovídá lineární kombinace jejich spekter
•Změna znaménka
•s(-t) ~ S*(ω)
•Změna měřítka
•s(t/a) ~ a.S(aω), kde a > 0

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
Translace funkce
s(t-t) ~ S(ω).e-jωt
Transpozice spektra
S(ω-Ω) ~ s(t).ejΩt
Konvoluce funkcí
FOURIEROVA TRANSFORMACE
VLASTNOSTI

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
•Jednotkový skok σ(t) nevyhovuje podmínce absolutní integrovatelnosti, nemá Fourierův integrál.
•Pomůžeme si pomocí funkce A.e-βt.
•Pro A=1 a β=0 je tato
•funkce ekvivalentní
•jednotkovému skoku.
•
•Platí tedy, že S(ω)=1/jω.
•
PŘÍKLADY
SPEKTRUM JEDNOTKOVÉHO SKOKU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
PŘÍKLADY
SPEKTRUM JEDNOTKOVÉHO SKOKU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
•s(t) = A.σ(t) – A. σ(t-τ)
obdelnik
PŘÍKLADY
SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
•Průchody nulou pro
•ωt/2 = kπ, k=1,2,…,
•resp.
•2πft/2 = kπ
•a tedy
•f = k/t
Fw1obd
PŘÍKLADY
SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
! SHRNUTÍ !
þ
þ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT !
þ
þspojitá periodická funkce má diskrétní frekvenční spektrum – pro rozklad jsme použili Fourierovu
řadu; þspojitá jednorázová funkce má spojité frekvenční spektrum– pro rozklad jsme použili
Fourierovu transformaci.
þ
þ! A VĚDĚT PROČ !
C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf