Teoretická fyzika - Základy teoretické mechaniky - Příklady
Michal Lenc - podzim 2013
1. Variační princip
Příklad 1. Odvoďte Snellův zákon pro lom a odraz na rovinném rozhraní dvou prostředí, charakterizovaných indexy lomu rij a n2.
Příklad 2. Spočtěte explicitně účinek vyjádřený pomocí počátečních a koncových souřadnic a počátečního a koncového času pro jednorozměrné případy, popsané Lagrangeovou funkcí
L = — x    ,   L = — x + g x  ,   L = — x
2 2 2 2
Návod: je výhodné psát řešení ve tvaru
tf-t t-t tf-t t-t g    / W x
x=x--+xf-l-   ,   x=x--+xf-!---—(tf-tlít-ti)
t{-t     ftf-t. ^tf-t;     ftf-t,    2mV f    ;V lJ
smco
x= V
(tf-t) sinťo(t-ti)
+ x
sin^y
(tf _t;)     f sino(tf -t;)
2. Kmity
Příklad 3. Pro dvojité rovinné kyvadlo v homogenním gravitačním poli (značení na obrázku)
m2
je Lagrangeova funkce
m, +m, l2 .2   m, l2 .2 / \
L=    2    \ q\ +^2<Pi +m2l1l2^^2co<^-^2) +
(rrij +m2)gl1 cos^ + gl2cos<^2
(D
1
Odvoďte a vyřešte Lagrangeovy rovnice za předpokladu malých kmitů (cpx <K 1, q>2 «c 1). Příklad 4. Určete Lagrangeovy rovnice pro soustavu popsanou Lagrangeovou funkcí
m/.2 .2\ m<» L = T(x+y)- —
(x2 + y2) + axy
(2)
a najděte jejich řešení.
3. Pohyb v centrálním poli
Pohyb se děje v rovině, Lagrangeova funkce v polárních souřadnicích je
L=™
2
'drV
vdty
+ r
vďľy
-U (r) .
(3)
Příklad 5. Odvoďte pro Lagrangeovu funkci (3) Lagrangeovy rovnice. Z těchto rovnic odvoďte zákon zachování momentu hybnosti a rovnici trajektorie
1
.   L = mr'
dt
d2u m d TTf l
-7 + u =---—U -
d<p2 L2 du
2 d<z>
L = mr — = konst.
(4)
Příklad 6. Jaký tvar musí mít potenciální energie v (3), aby měla trajektorie tvar kardioidy r = a (l + cos^) , a = konst. ?
(Při řešení úlohy je vhodné užít rovnici trajektorie ve tvaru (4).)
Příklad 7. Najděte řešení pohybových rovnic s potenciální energií v (3) danou vztahem
U(r) = -4  ,  cc>0 . r
Příklad 8. Částice s energií E a momentem hybnosti vzhledem k počátku souřadné soustavy velikosti L vstupuje do oblasti přitažlivého potenciálového pole. Pohyb je popsán Lagrangeovou funkcí (3). Spočtěte hodnotu rmin nej většího přiblížení k počátku.
2
4. Tuhé těleso
Příklad 9. Setrvačník v gravitačním poli (viz obrázek) má hmotnost M a jeho počáteční (nestabilní) poloha a rychlost naklánění osy jsou é?(0) = 0 , é?(0) = 0 . Lagrangeova funkce je
L = ^ll(02 + <ýsm20) + ^l3(ř + <pcos0)2-M glcosč   , (5)
kde 6,cp,\f/jsou Eulerovy úhly, \ a I3 momenty setrvačnosti a 1 je vzdálenost středu hmotnosti C od pevného bodu rotace O.
Odvoďte nejprve integrály pohybu a pak ukažte, že časová závislost úhlu náklonu je dána vztahem (není potřeba vztah integrovat)
-sin
2     I2  tg 2
(6)
Ze vztahu (6) určete konečný úhel náklonu.
Příklad 10. Vyřešte Eulerovy rovnice pro symetrický setrvačník (Ij = I2 ^ I3) a popište slovně výsledný pohyb.
5. Relativita
Příklad 11. Stanovte odchylku od vertikály pro těleso, volně padající z výšky h v homogenním gravitačním poli Země. Uvažujte pouze veličiny prvního řádu v úhlové rychlosti rotace Země.
Příklad 12. Proton s y = \j *\\-y2 j c1 dopadá na proton v klidu y = \. Po pružné srážce mají oba protony stejnou energii. Jaký je úhel mezi směry jejich pohybu?
3
Příklad 13. Odvoďte vztah pro změnu vlnové délky AA = A-A při Comptonově rozptylu rentgenového záření.
Příklad 14. Elektron a positron s hmotnostmi ir^, které jsou vázány v positroniu (analogie
vodíkového atomu, jen místo protonu je positron) s vazebnou energií Eb anihilují na dvojici
fotonů. Spočtěte nejprve za předpokladu, že positronium jako celek je v klidu energii, hybnost, rychlost a frekvenci fotonů. Potom předpokládejme, že se positronium pohybuje rychlostí v od pozorovatele (obrázek). Spočtěte frekvenci a rychlost fotonu měřenou pozorovatelem.
"vw\m/wvu
Příklad 15. Skalární (komplexní) funkce y/ je řešením vlnové rovnice
g
a V
o
glk =diag(l,-1,-1,-1)   ,   x1 =(ct,x,y,z)
dx1 dxk
Ukažte, že čtyřrozměrný vektor (hvězdička označuje komplexně sdruženou veličinu)
^    dy/      dy/* ^
J =g
splňuje rovnici kontinuity.
(V)
6. Pružná tělesa
Příklad 16. Určete složky tensoru napětí v kouli poloměru R, když deformace je způsobena pouze jejím vlastním gravitačním polem.
Příklad 17. Vypočtěte napětí v tenké kulové skořepině (s vnitřním poloměrem R-AR/2 a vnějším poloměrem R+AR/2, přitom AR«cR), s tlakem p = 0 uvnitř a tlakem p zevně.
4
7. Tekutiny
Příklad 18. Určete tvar povrchu nestlačitelné kapaliny ve válcové nádobě, rotující kolem své osy konstantní úhlovou rychlostí Q.
Příklad 19. Rozepište ve válcových souřadnicích do složek Navierovu - Stokesovu rovnici pro nestlačitelnou tekutinu
(3v 1
--h(v-grad)v =--gradp + i/Av   . (8)
dt   v        ' p
Příklad 20. Jaký je rozdíl v rychlosti zvuku ve vzduchu, chápeme-li proces jako isotermický nebo adiabatický? Který popis je správný a proč?
5