Teoretická fyzika - Základy teorie elektromagnetického pole Michal Lenc - podzim 2013 Obsah 1. Úvod.......................................................................................................................4 1.1 Maxwellovy rovnice...................................................................................................4 1.2 Energie a hybnost elektromagnetického pole.............................................................5 1.3 Elektřina a magnetismus............................................................................................7 1.4 Podmínky na rozhraní................................................................................................8 1.5 Elektromagnetické vlny..............................................................................................9 2. Elektrostatika........................................................................................................10 2.1 Coulombův zákon....................................................................................................10 2.2 Newtonův zákon.......................................................................................................10 2.3 Poissonova rovnice...................................................................................................11 2.3.1 Greenova funkce..................................................................................................11 2.3.2 Greenova věta.......................................................................................................11 2.4 Elektrostatická energie nábojů.................................................................................13 2.5 Multipólový rozklad pole.........................................................................................13 2.5.1 Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích...................................................13 2.5.2 Legendreovy polynomy........................................................................................14 2.5.3 Kulové funkce......................................................................................................15 2.6 Pole bodových nábojů ve vakuu...............................................................................16 2.7 Dielektrická koule v homogenním poli....................................................................17 3. Magneto statika.....................................................................................................18 3.1 Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou...................................................18 3.2 Magnetické pole kruhové smyčky............................................................................19 4. Kvasistacionární pole...........................................................................................20 1 4.1 Skin-efekt.................................................................................................................20 4.2 Vzájemná indukčnost a vlastní indukčnost..............................................................22 4.3 Komplexní odpor......................................................................................................23 5. Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí...................................................24 5.1 Mikroskopické Maxwellovy rovnice.......................................................................24 5.2 Maxwellovy rovnice pro prostředí s triviálními materiálovými vztahy...................26 6. Časově proměnná elektromagnetická pole ve vakuu...........................................27 6.1 Rovinná a kulová vlna..............................................................................................27 6.2 Obecné řešení nehomogenní rovnice pro potenciály...............................................27 6.3 Pole časově proměnného dipólu...............................................................................28 6.4 Lienardův - Wiechertův potenciál............................................................................30 6.5 Ztráta energie zářením..............................................................................................32 7. Rozptyl záření volnými náboji.............................................................................33 7.1 Thomsonův vzorec....................................... ............................................................33 7.2 Modifikace Thomsonova vzorce..............................................................................34 7.3 Index lomu................................................................................................................34 8. Elektromagnetické pole v dispersním prostředí...................................................35 8.1 Maxwellovy rovnice....................................... ...........................................................35 8.2 Disipace energie.......................................................................................................37 8.3 Fázová a grupová rychlost........................................................................................38 9. Rovnice elektromagnetického pole ve čtyřrozměrném zápisu.............................39 9.1 Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity....................................................39 9.2 Náboj v elektromagnetickém poli............................................................................39 9.3 Tenzor elektromagnetického pole............................................................................40 9.4 První pár Maxwellových rovnic...............................................................................42 9.5 Druhý pár Maxwellových rovnic.............................................................................42 9.6 Tensor energie - hybnosti........................................................................................43 2 Vlnová rovnice a rovinné vlny 1. Uvod 1.1 Maxwellovy rovnice Základ teorie elektromagnetického pole tvoří Maxwellovy rovnice a pohybové rovnice náboje v elektromagnetickém poli. Maxwellovy rovnice popisující elektromagnetické pole vytvářené ve vakuu volnými náboji hustoty p a proudy hustoty j jsou s0 dt -VxB = f0-+J , VB = 0 jU0 dt (1.1) Druhý Newtonův zákon pro částici s nábojem e je Ě + vxB dp dt (1.2) Konstanty v (1.1) jsou dány volbou soustavy jednotek SI. Intenzita elektrického pole je udávána ve Virf1, indukce magnetického pole má jednotku T. Platí —!— = c2 , ju0 =4;rl(r7Hirr1 , c = 299792458 m s"1 . (1.3) S0 //Q Zavádíme také indukci elektrického Ď = e0 Ě a intenzitu magnetického pole H = b///0 . Pomocí těchto veličin můžeme Maxwellovy rovnice přepsat do tvaru vb = 0 , VxĚ = -— , dt (1.4) - - - - SD - VD=p , VxH=-+j . dt První řádek rovnic v (1.4) určuje charakter pole, druhý řádek rovnic spojuje pole se zdroji. Ve tvaru (1.4) platí rovnice i v látkovém prostředí, na rozdíl od vakua jsou však v látkovém prostředí vztahy mezi vektory indukce a intenzity netriviální a často velmi komplikované. To, že za základní vektory pole považujeme právě elektrickou intenzitu a magnetickou indukci, je dáno charakterem Lorentzovy síly v (1.2) a prvním řádkem rovnic v (1.4). S využitím Gaussovy a Greenovy věty JdivXdV = ^XdŠ , Jx-dS = ^rotXdf (1.5) v <9v s as získáme integrální tvar Maxwellových rovnic 3>(M)=0 O(E)=0 U(M)=^^+J u(E)=_dOs dt dt 4 Rovnice vyjadřují tyto zákony: 1) Neexistuje magnetický náboj, tedy tok magnetické indukce O^ = 0) BdS uzavřenou plochou <9V je nulový, siločáry magnetického pole jsou uzavřené křivky. 2) Gaussova věta: tok elektrické indukce 0^ = 0) ĎdŠ plochou dV uzavírající objem V je roven náboji v tomto objemu obsaženému Q = J pdV . 3) Zobecněný Ampérův zákon: magnetomotorické napětí ~U^ = (j) Hdí vytvořené na křivce d S ohraničující plochu S je rovno součtu časové změny toku elektrické indukce dOJ^/dt = d^J Ďdsjykt touto plochou a proudu tekoucího touto plochou J=JsJdS. 4) Faradayův indukční zákon: elektromotorické napětí U^ = ^" É-dl vytvořené na křivce dS ohraničující plochu S je rovno záporně vzaté časové změně toku magnetické indukce touto plochou — dOJ^/dt = — d| J BdS j ^dt. 1.2 Energie a hybnost elektromagnetického pole Mějme testovací částici s energií s a hybností p . Při přechodu ke spojitému rozložení náboje a proudu je Ař=F-Af = —F-jAt , F=pĚAV + JxBAV ^> — — =J Ě . (1.7) p AV At Energie získaná částicí za jednotku času je tedy j • E AV, je tedy práce vykonaná polem za jednotku času vztažená ne jednotku objemu — j • E . S využitím vztahu Ě-(VxH)-H-(VxĚ) = V-(HxĚ) (1.8) odvodíme z Maxwellových rovnic výraz H.^ + É.^ = -J.Ě-V(ĚxH) . (1.9) dt dt J v / Na pravé straně vystupuje hustota vykonané práce a nějaký tok, výraz na levé straně můžeme tedy interpretovat jako časovou změnu hustoty energie W. Po zavedení veličin časové změny hustoty energie a Poyntingova vektoru S 5 dW ^ dB ~ dD -= h---h E-- dt dt dt S = ExH (1.10) můžeme (1.9) psát v integrálním tvaru jako 0-jWdV + JJ-ĚdV +|S-ndS = 0 V prostředí popsaném materiálovými vztahy D = F F^ F Bi = H>MÍ Hk má hustota energie jednoduché vyjádření w = -(ěď + bh) . (1.11) (1.12) (1.13) Obdobnou úvahu jako pro energii pole můžeme provést pro jeho hybnost. Při přechodu ke spojitému rozložení náboje je 1 Ap A p = F At , F =pEAV +jxBAV =>--^ = /?E + jxB . (1.14) ť J AV At Z Maxwellových rovnic odvodíme výraz ~ ÔB 3Ď . Dx-+-xB = St dt (1.15) Ě(vĎ)-Bx(VxH) + h(vb)-Ďx(VxĚ)- JxB-/?Ě . Poslední dva členy na pravé straně popisují Lorentzovu sílu, můžeme tedy výraz na levé straně interpretovat jako časovou změnu hustoty hybnosti pole G = ĎxB . Provedeme úpravu výrazů v (1.15) ' j=idxj{ 2 a zákon zachování má pak tvar d (1.16) 1 r Ď v dĚ T?. ÔĎ^ 2 — ľj ' 1 f B v dŔ -h díT 2 5Xj 5xi, (1.17) — JGidV + |PidV+ 2TijnjdS = 0 v J j=i (1.18) 6 Rozdělení na prostředí a pole provedené v (1.18) není jednoznačné. Definovali jsme Maxwellův tensor napětí T;j jako1 T;j =-(eíDj +HíBj) + ^Jíj(Ě Ď + HB) (1.19) a hustotu hybnosti prostředí Pí=/?Eí+(JxB).+^ Ď.^-É.^p_+B.M-H.5B (1.20) č?Xj č?Xj č?Xj č?Xj Takto definovaný Maxwellův tensor určuje tok hybnosti z uvažovaného objemu. Jeho stopa je rovna hustotě energie 3 W-^TH=0 . (1.21) i=l 1.3 Elektřina a magnetismus Pro statické (na čase nezávislé) jevy můžeme zvlášť studovat elektrostatiku a zvlášť magnetostatiku, jak je vidět z Maxwellových rovnic (1.4). Pro elektrostatiku je V-Ď = p , VxĚ = 0 (1.22) a pro magnetostatiku VxH = J , V-B = 0 . (1.23) Řešíme-li úlohu pro homogenní prostředí s triviálními vztahy mezi indukcí a intenzitou, tj. Ď = Sls0Ě , B = //r//0H , (1.24) vede substituce Ě = -V0 (1.25) k tomu, že rovnice s rotací v (1.22) je splněna identicky a rovnice s divergencí dává Poissonovu rovnici A^ = —. (1.26) Naopak substituce B = VxÄ (1.27) vede k tomu, že rovnice s divergencí v (1.23) je splněna identicky a rovnice s rotací vede na rovnici2 1 Jsou možné i jiné definice, které se vždy shodují pro vakuum. Vzhledem k obtížnosti experimentálního ověřování v jiném prostředí není otázka správného rozdělení hybnosti mezi „pole" a „hmotu" rozřešena. 7 A^-V(V-Ä) = -JuiJu0] • (L28) Vektorový potenciál nezmění hodnotu magnetické indukce, přičteme-li k původnímu vektoru gradient libovolné skalární funkce (rotgradf =0). Toho můžeme využít k volbě takového potenciálu A= Ä + V f , jehož divergence je nulová3 a místo (1.28) máme opět (vektorovou) Poissonovu rovnici AA=-//r//0J . 1.4 Podmínky na rozhraní Máme-li dvě homogenní prostředí se společným rozhraním, řešíme rovnice pole zvlášť v každém z nich. Potom musíme zajistit, aby byly na společném rozhraní splněny podmínky plynoucí z Maxwellových rovnic. Na obrázku4 je popis všech potřebných veličin: n normála a f tečna k rozhraní, rovnoběžné s rozhraním jsou i podstavy válce o ploše AS a delší hrany obdélníku délky A£. Kratší hrany obdélníka i stěny válce mají zanedbatelné délky. Povrchová hustota náboje je označena a, povrchová hustota proudu K (má složky pouze podél rozhraní). Integrální tvar Maxwellových rovnic s divergencemi je Ď ňdS= JyPdV (Ď2-Ď1)-nAS = ť7ÄS a <^B-ndS = 0 (B2-B1)ňAS = 0 . 2 rotrotV = Vx(VxV) = v(V-V)-(V-V)v = grad(divV)-AV . 3 div A=0 znamená, že funkci f volíme j ako řešení rovnice A f =-divA. 4 J. d. Jackson: Classical Electrodynamics (John Wiley@Sons, 1999), Figure 1.4. 8 Integrální tvar rovnic s rotacemi je § Ě-(txň)d£ = 0 (Ě2-É,)-(txn)A^ = 0 a ý Ŕ-(txň)d£ = J J-fdS (ři2-^-(txň)A£ = K-fA£ . Členy J* dÉ/dtdS a JsdĎ/dt dS mají omezený integrand a v limitě malé plochy jdou k nule, proto jsme je v posledních dvou vztazích ani nepsali. Máme tak pro normálové složky (Ď2-Ď1)-n = ť7 , (B2-B1)-ň = 0 (1.29) a pro tečné složky5 ňx(Ě2-Ě1) = 0 , nx(H2-H!)=K . (1.30) 1.5 Elektromagnetické vlny Zavedeme-li pro popis časově proměnného elektromagnetického pole vektorový a skalární potenciál vztahy B = VxA , Ě = -V0- — , (1.31) dt máme po dosazení do Maxwellových rovnic A^V-Ä=-^ , dt sn d2 Ä r ^ dt d0_ dt ■Mo J S využitím kalibrační transformace (tj. transformace, která nevede ke změnám vektorů E a B) Ä^Ä+Vy/ , (t>^(t>-^- (1.33) dt můžeme dosáhnout, aby platilo V-A+^o//0^ = 0 (1.34) dt a dostáváme tak pro potenciály nehomogenní vlnovou rovnici Platí X' t xn =t • nxX a vektor t je libovolný tečný vektor k rozhraní. 9 A^- AA- c2 dt2 ~ ^0 i a2 Ä 2 a,2 -A) J (1.35) 2. Elektrostatika 2.1 Coulombův zákon Síla, kterou působí náboj q2 (nacházející se v místě 2) na náboj v místě 1 je - 1 q, q2 ^ _ h ^ I M — ~j 3 ri2 ' ri2 — _ r2 ' ri2 — Fl _ r2 4^0 r12 a síla, kterou působící náboj (nacházející se v místě 1) na náboj q2 v místě 2 je - 1 q,q2^ _ h H ^2 — ~! 3 r21 ' r21 — r2 _ ri ' r21 — r2 _ ri ' 4^0 r21 je tedy (2.1) F,=-F2 (2.2) (2.3) 2.2 Newtonův zákon Newtonův gravitační zákon zde uvádíme pro porovnání. Síla, kterou působí hmotnost rr^ (nacházející se v místě 2) na hmotnost nij v místě 1 je - m, ir^ ^ _ h -I M — ^ 3 r21 ' r21 — r2 _ ri ' r21 — |r2 ~~ *1 \ (2.4) a síla, kterou působí hmotnost (nacházející se v místě 1) na hmotnost m2 v místě 2 je F, =G m.m2 ri2 ' ri2 ri r2 ' ri2 Fl r2 (2.5) M 2 je tedy samozřejmě opět Ft = - F 2 • 10 2.3 Poissonova rovnice 2.3.1 Greenova funkce6 Poissonovu rovnici pro elektrostatické pole -A0 = -^ (2.6) i rovnici pro gravitační pole A^ = 4^-G// (2.7) budeme psát jednotným způsobem jako H|^) = |J) , (2.8) kde H=-A a |J) = p/sQ nebo |j) = -4^G//. Předpokládejme, že známe vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru H WH|x') = (x|Í24|0^j]|4 = Z'ita^(^,KW • (2-9) V m / m Předpokládejme dále, že žádná z vlastních hodnot není rovna nule. Položíme pak Greenovu funkci rovnu (x|G|x') = (x|Í2^|0^j]|x>Z-f^(x,)^W • <2-10) V m m / m m Potom dostáváme (x|GH|x') = (x|^IO^j][S^k.><^l]|x,): (2.11) Řešení Poissonovy rovnice tak zapíšeme ve tvaru (x|V/) = (x|G|j) = J(x|G|x/)(x/|j)dx/ (2.12) nebo ^(x)=ET^(x)í^(x/)J(x/)dx/ • <2-13) n \ 2.3.2 Greenova věta Všimněme si nejprve působení laplaciánu na funkci l/r . Máme 6 Tento odstavec možno vynechat. 11 všude, kde je tato funkce dobře definována, tedy s výjimkou bodu r = 0. Použitím Gaussovy věty na kouli se středem v počátku máme V-^V-jdV = -4^ . (2.15) K Pokud považujeme A(l/r)za funkci, je její chování neobvyklé. Zapisujeme ji pomocí Diracovy delta funkce jako A- = -4xó(3)(r) . (2.16) r Z Gaussovy věty plyne Greenova věta. Mějme identity V-(uVv) = uV-(Vv) + (Vu)-(Vv) , V-(vVu) = vV-(Vu) + (Vv)-(Vu) . Po odečtení rovnic a užití Gaussovy věty dostáváme Greenovu větu j"(uAv-vAu)dV= j"(uVv-vVu)ňdS . (2.17) v av Máme teď pro u = tf> a v=l/r A0 = --^ , A- = -4^J(3)(f) . (2.18) e0 r Rozšíříme-li integrační oblast na celý prostor a předpokládáme-li dostatečně rychlý pokles funkcí v nekonečnu, dostáváme c '(f)=:n- v /ďr/ . (2.19) f-f Ve dvourozměrném případě je postup podobný. Všimněme si nejprve působení laplaciánu na funkci ln r . Máme Vlnr=^ , V-(Vlnr) = 0 (2.20) všude, kde je dobře definována, tedy s výjimkou bodu r = 0. Použitím Gaussovy věty na kružnici se středem v počátku máme |V-(Vlnr)dS = 2^ , (2.21) K je tedy chování funkce A(lnr) neobvyklé. Zapisujeme je pomocí Diracovy delta funkce jako 12 d2f; (2.23) A ln r = 27TÔ(2\ľ) . (2.22) Z Greenovy věty potom dostáváme (pozor na podmínky v nekonečnu a "rozměr" ln r ) ^^="2^Hf/)lnlF-1 2.4 Elektrostatická energie náboju. Elektrostatickou energii spojitého rozložení náboje U=|j><*dV můžeme pro soustavu bodových nábojůp(ľ ) = ^aea 3® (r-ŕ^) zdánlivě snadno napsat jako důsledek prostého dosazení 1" ' ' (2.25) (2.24) Z Coulombova zákona máme Z- > 4^0~rab ■■■a b Fa "rb (2.26) Musíme tedy vyloučit působení pole vytvořeného daným bodovým nábojem sama na sebe, abychom mohli psát konečný výraz pro energii U 1 ^ e»£b £0 a*b rab (2.27) 2.5 Multipólový rozklad pole. 2.5.1 Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích je a 1 d r or f dif/ dv 1 r2sin# 89 d f . „dw^ sin#—í-09 i ay r2 sin29 d rQ r dO D dr k rovnicím A+4 1 R3 A siné* 2B, B7 5 R3 R COSé*: siné* , 2B.1 R J (2.52) cosé? Pole v nekonečnu musí nabývat původní hodnoty, je tedy At = E . Pole v počátku musí být konečné, a to vyžaduje B2 =0. Zbývající rovnice pro Bj a Aj snadno vyřešíme, takže máme 1+ Sl £l s, — £~, R H 2sx + s2 r~ Zapíšeme teď předchozí výsledek v obecnějším tvaru É f Ercos(9 0B-td£ = ^jyňdS =//0 J . (3.9) S í s 3.2 Magnetické pole kruhové smyčky Do vztahu pro vektorový potenciál (3.4) dosadíme za proudovou hustotu j (r') d3 r' = J ô[^p' -a^S^z'^e^, p' d p1 dz' dJ 2 (3 10) A»(/>'z): //0 J T a ^2 ;rk f _k2^ V 2y K (k)-E (k) , k2 4a p (a + p) + z2 a K (k) resp. E (k) jsou eliptické integrály z/2 K (k) d^ ir/2 - k2 sin2 £ , E(k)= j^/l-k^in2^ . (3.11) Při výpočtu indukce potřebujeme derivace eliptických integrálů (výrazy získáme vhodnými úpravy integrandů derivovaných výrazů) 5 E (k) _ E (k)-K (k) dK(k)_ E (k) K (k) dk k '5k k(l-k2) k Potom máme pro složky indukce (azimutální složka je = 0) B>,z) = -^ = £! (3.12) Bz(p,z) ôz 2^ p^(a+pf + ldp\_MoJ 1 2 , _2 , 2 K(k)+/a +VZ,EM (a-p) +z Z7 ô/> 2^ ^(a + p)2 + Z definice (3.11) máme pro malé hodnoty k2 K(k)+;2"^22"z22E(k) (a-p) +z (3.13) (3.14) . 1t i k2 1- k2^ 1 + — , E (k) = — ~ ~2 4 V ; 2 V 4, (3.15) takže pro pole na ose dostáváme známé výrazy (které by ovšem šly odvodit snadněji) //0 J a2 B>=0,z) = 0 , Bz(p=0,z)^ /2 2 a2 + z2 (3.16) 19 Poznámka: Perioda matematického kyvadla délky 1 s maximální uhlovou výchylkou (pmax je dána výrazem '1 T = 4./-K sin^ = 2n A f ( 2 ^ 1 + ^+... { 2) \ U 4 (3.17) 4. Kvasistacionární pole. 4.1 Skin-efekt. Maxwellovy rovnice v přiblížení kvasistacionárního pole dB VE = 0 , VxE dt (4.1) VxB = //0crE , VB = 0 . vedou na AE = jU0(7 dE dB VxE . (4.2) dt dt Uvažujme nekonečný přímý drát kruhového průřezu. V důsledku symetrie má elektrické i magnetické pole jedinou složku É = E(r)exp{-iŕyt}éz , B = B(r)exp{-iŕyt}é?, (4.3) a máme tedy j__d_ r dr f dE ^ v dr J + k2E = 0 , io>B =-- dr (4.4) kde jsme označili k = ^ = i±í , 5 ô ô Řešeními rovnic (4.4) konečnými na ose jsou ' ju0coa (4.5) E(r) = KJ0(kr) , B(r) = -i — KJj(kr) (D (4.6) Konstantu úměrnosti K získáme pomocí jedné nebo druhé následující podmínky (proud protékající drátem má danou hodnotu resp. tok magnetického pole plochou protínanou drátem musí mít danou hodnotu) 7 Následující vztah můžeme chápat jako definici přiblížení kvasistacionárnflio pole: u proudů uvažujeme pouze proud daný Ohmovým zákonem. 20 2^-o-JE(r)rdr = 1 , 2^RB(R) = //gI . Máme tedy uvnitř vodiče E(r)_ 1 kRJo(kr) ^ B(r)_ //0I J,(kr) ctttK2 2J!(kR) Pro malé hodnoty frekvence je E(r) 1 2xR J^kR) //0I r a x R zatímco pro velké hodnoty máme v blízkosti r « R 2^-RR I ,1/2 B 1/2 exp< R-r exp< i R-r 2^-R^rJ * [ J J [ v Vztahy (4.9) získáváme užitím pouze prvního členu v rozvoji Besselových funkcí J0(z)í«l , J^z^z , vztahy (4.10) pak získáváme z asymptotického rozvoje Besselových funkcí iV" f 2 V'2 cos v + - 2 2 50 MHz 50 Hz 02 0.4 0.6 (4.7) (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) Průběh relativní hodnoty hustoty proudu pro měděný drát poloměru 1 mm se specifickým odporem l/cr=l,555-10~8 fim při dvou různycň frekvencích ( f =50Hz a f =50MHz) je ukázán na obrázku. Je vidět, že při síťové frekvenci je skin-efekt zanedbatelný. 21 4.2 Vzájemná indukčnost a vlastní indukčnost. Uvažujme dvě geometricky pevné cívky s proměnným proudem v cívce 2. Indukované napětí v cívce 1 vyvolané změnou pole buzeného cívkou 2 je U, md) (i) (i) 4^ A) ^2 ()- dL (2) Po dosazení dostáváme (4.13) U, =M, dL - „x M 1 "*\2 ' ivA12 dt OO ()(2) d£2 -dix (4.14) ri"r2 Pokud by tekl proměnný proud cívkou 1, bylo by indukované napětí v cívce 2 U2=M21^ , M21=M12 = M . dt (4.15) Ale také změna magnetického toku cívkou 1 vytvoří indukované napětí v této cívce, stejné platí pro cívku 2. Obecně tedy můžeme psát U, j dlj A dl2 dl, T dl2 L—L + M—- , U, =M—L-L,—-M dt dt 2 dt ^ dt Časová změna energie magnetického pole je rovna záporně vzaté práci dW dt dL dL f -U^-U.I^LI^+LJ, dt dt M 1 dt 2 dt takže pro energii magnetického pole je W = |liI12+|l2I22-MI1I2 , L^M2 . Energii magnetického pole máme ovšem také vyjádřenu jako W = -JBHdV = -|J AdV . 2 y 2 v Při odvození rovnosti obou výrazů v (4.19) je postupně využito vztahů B = VxÄ , H-(VxÄ)-Ä(VxH) = V-(ÄxH) , VxH = J Vztahu pro energii využijeme pro výpočet vlastní indukčnosti (4.16) (4.17) (4.18) (4.19) (4.20) Poznámka: normála k ploše je dána pravidlem pravé ruky, tedy ve směru vektorového součinu tečny a vnitřní normály k orientované (proti směru hodinových ručiček) uzavřené kňvce na ploše. 22 L = —^ÍB'ďV . Al Jv (4.21) Uvažujme dvě cívky ve tvaru solenoidu každou o N závitech těsně na sobě. Průřez cívek je S a jejich délka i . Pole první a druhé cívky jsou tedy přibližně Bj ^/^ N Ij// , B2 » NI2// a pro indukčnosti máme L,ä;L2ä!-Mä!//0N2S//. Pro energii magnetického pole pak w^/iN^S( )2 _ 2i v 1 2) 4.3 Komplexní odpor Pro obvod s odporem, kondenzátorem a indukčnosti v sériovém zapojení máme U=RI + Q + Lí!i , I=í£ , C dt dt tedy pro harmonický průběh U =U0 exp{-kyt] , I = I0 exp{-kyt] dostáváme vztah (4.22) U=ZI , Z = R-i co L 1 co C (4.23) (4.24) (4.25) Vezmeme-li reálnou část (4.25), dostáváme U0 cos(ť»t - qí) I co L 1 R co R C (4.26) |R2 + co C Pro soustavu induktivně vázaných obvodů má zobecnění rovnice (4.23) tvar Ca V dt dt který pro periodické děje dává f i ^ Ua=2Zab!b > Zab= ^+^7" ^ab"^1^ ■ b ^ a^J (4.27) (4.28) Vlastní frekvence dostaneme z podmínky řešitelnosti soustavy rovnic pro proudy při všech Ua=0,tedy det(Zab) = 0 . (4.29) Rovnice (4.27) lze formálně získat dosazením lagrangiánu £ a disipativní funkce 9^ 23 -I^^f + I^ • »-?i^T (4.30, V dt J do obecného vztahu d d£ d£ dSK dt dt (4.31) Jde tedy o analogii k souboru tlumených harmonických oscilátorů buzených vnější silou. 5. Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí 5.1 Mikroskopické Maxwellovy rovnice Náboje a proudy rozdělíme na ty, kterou jsou vázané na prostředí a na vnější náboje a proudy. Mikroskopické Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí tedy budou s0 dt 1 - - de - - - — Vxh = s0 — + py+ jext , V-h=0 jU0 dt (5.1) Vytvoříme střední hodnoty9 a dostaneme V-Ě» + ^ , VxĚ = -^ , s0 dt — VxB = *0 —+ (/>v)+L , V-B = 0 //0 dt (5.2) kde jsme označili (é) = Ě , (h) = B . (5.3) Celkový náboj vázaný na prostředí, plně uzavřené uvnitř oblasti V je roven nule {v(/?)dV = 0 (p) = -V-P , (5.4) přičemž P=0 vně materiálu. Potom je totiž z Gaussovy věty nulovost celkového náboje zaručena {v(p)dV = -{vV-PdV = {sP-ňdS=0 . (5.5) 9 Je to obdoba situace v mechanice kontinuity: středujeme přes malý objem, který sice obsahuje dostatek atomů či molekul pro vyhlazení mikroskopických fluktuací, ale stále jej můžeme z makroskopického hlediska považovat za „bod" prostředí. 24 Uvažujme dipólový moment jY (p)dV = -jY (VP)dV = - jY (ň-P)dS + J(P-V)f dV = JPdV (5.6) Zavedeme-li vektor indukce elektrického pole D = sQ E + P , odvodili jsme již rovnici divĎ = Axt . (5.7) Proveďme nyní řez materiálem tak, aby byl plně uzavřen uvnitř nějaké plochy S. Celkový proud touto plochou vázaný na prostředí je dán celkovou hodnotou časové změny průmětu vektoru polarizace J(/?v)-ndS --ndS (py) = VxM+- , , dt x 1 dt (5.8) přičemž M =0 vně materiálu. Při této volbě je průměrná hodnota proudu řezem rovna nule: lim — o J VxM + — IndSdt dt (5.9) ÍTÍ{íoÍM-d^t + js[p(T)-P(0)].hds} = 0 Uvažujme magnetický moment -Jf x(pv)dV=-Jf x(VxM)dV = -Jf x(hxM)dS --J(MxV)xf dV = JMdV (5.10) 2J v ' 2' ^ s ^ v Střední hodnotu (pv) můžeme vyjádřit také následujícím způsobem: derivujeme rovnici (5.7) parciálně podle času a s využitím rovnice kontinuity pro vnější náboje dostáváme div 6>D dt + Je 0 6>D dt ^ Jexl=rotH (5.11) kde H je (zatím neurčený) vektor intenzity magnetického pole. Dosazením za jext do (5.2) pak máme 6>P (pv) = — rotM + X 1 ju0 dt (5.12) kde jsme označili M = B — ju^ H . Definice vektorů polarizace P a magnetizace M pomocí momentů je důležitá pro jednoznačnost, jinak by vyhovovaly také P + Vxf a M+Vf . Povšimněme si, že spojení rovnic (5.4) a (5.8) dává rovnici kontinuity i pro vnitřní náboje 25 ^^ + V-(/?v) = 0 . (5.13) Vynecháme-li teď indexy „ext" u vnějších nábojů, dostáváme konečný tvar Maxwellových rovnic (1.4) VB = 0 , VxĚ = -— , dt (5.14) - - - - ÔD - VD=p , VxH=-+j . dt Materiálové vztahy jsou pak Ď = ^0Ě + P , H=—(B-M) . (5.15) /V ' V kovových materiálech pokládáme J = <7É . (5.16) 5.2 Maxwellovy rovnice pro prostředí s triviálními materiálovými vztahy V homogenním izotropním lineárním prostředí bez disperse máme jednoduché materiálové vztahy Ď = sTs0Ě , H = —-—B . (5.17) UM) Zavedeme-li pro popis elektromagnetického pole vektorový a skalární potenciál B = VxA , É = -V>-— , (5.18) dt máme po dosazení do Maxwellových rovnic A^V-Ä- P dt £T£0 dzA ■? dj} dt dt S využitím kalibrační transformace (5.19) A A- sT //r s0 //0 -^j- - V V-A+£rJuT£0Ju0 — můžeme mít Ä^Ä+Vy/ , ^(t)-— (5.20) dt V-A+£ru£niu()^- = 0 (5.21) 11 00 dt a dostáváme tak pro potenciály nehomogenní vlnovou rovnici 26 A^- c2 dt2 sT s0 A A n2^A Označili jsme rychlost světla ve vakuu c a index lomu n 1 n =siJui . 4£o ^0 (5.22) (5.23) 6. Časově proměnná elektromagnetická pole ve vakuu 6.1 Rovinná a kulová vlna Vlnová rovnice v jednorozměrném případě a vlnová rovnice pro sféricky symetrické řešení v trojrozměrném případě jsou <3V(x,t) 1 d2i//(x,t) dx2 dt2 0 , J_d_ r2 dr dy/(r,t) dv 1 d>(r,t) c2 at2 (6.1) 0 . Obecné řešení těchto rovnic je y/(x,t)= f ^"fj + g^ + fj ' (6.2) Vhodnou volbou funkcí f a g dostaneme rovinnou vlnu jdoucí ve směru nebo proti směru osy x respektive rozbíhavou nebo sbíhavou kulovou vlnu y/(x,t) = Aexp ( \ X \ P C Ot AA-——- = -//0j :2 dt2 ^(ŕj,t): A 71sn p r2,t *12 ď t *12 (6.5) (6.6) Ä(f;,t): \7t r2,t *12 dJí (6.7) x12 kde r12=|ři_r2| • P° derivování a integraci dá čitatel integrandu pravou stranu nehomogenní rovnice, jmenovatel je funkce, která je řešením homogenní vlnové rovnice. 6.3 Pole časově proměnného dipólu Uvažujme všechny náboje soustředěny kolem počátku souřadnic. Pak můžeme pro vektorový potenciál psát A(f,t): A \7tx „ C ) 4-7TV neboli Skalární potenciál spočteme integrací kalibračního vztahu dt ^ = -c2V-Ä . Jednoduchými úpravami dostaneme V-A= 4;rr3 VxA=--\fx 4;rr d J x\ x d2 J r ät plt~čJ+čätTPlt~č d ~( r | r <32 Y r 5tpr čJ+čätTPlt č (6.8) (6.9) (6.10) (6.11) Skalární potenciál je tedy 28 ^(F,t): 1 f 4;r£0 r3 r^ r <3 Y r Pro intenzity dostaneme É(f,t): 4xs0ľ p t— t r-p t-- + — r) 1 c J c ô2 p t dt2 xr xr 4xŕ ôt Dostatečně daleko od dipólu máme É (r, t) kde jsme označili 1 iĎ(t.L )xň . B(F.t) = -Ä-ÍĎ[t ' 4xsnc r l c j Attc r N t D| t-- =-V^xn , n ľ c J dt2 r Pro hustotu energie máme W s0 Eh--B /4) 1 1 167t2 c4 £•„ r2 D2 a Poyntingův vektor je Platí přirozeně S = — ExB M0 1 1 16;r2c3 sn r2 D2 n (6.12) (6.13) (6.14) (6.15) (6.16) (6.17) W Příklad: Vezměme rozložení proudu ve tvaru cn J (f ,t) = J £(x)£(y)sin[ ^Jcos(ŕyt)éz , 0t)ez 7t00 (6.18) (6.19) (6.20) a podle (6.15) t^i r i 2LJ co . . . f r ,^ D| t--=--srn 6/srn o? t--|e„ c j n \ c (6.21) 29 Příklad: V kvantové teorii vezmeme místo integrálu z proudové hustoty maticový element operátoru proudu mezi počátečním a koncovým stavem elektronu v atomu. Ze Schrôdingerovy rovnice ih dy/{ 2m -A+V -ih j dt 2m -A+V (6.22) J dostaneme po úpravě d i *\ h — / * — —X^í )+^~ v'l^f v^f j=° dtv 1 ' 1' 2mi Vztah (6.23) umožňuje zapsat „rovnici kontinuity" dpn (6.23) dt + V-jfi=0 , (6.24) kde hustota náboje a hustota proudu odpovídající přechodu i —» f jsou ■? eh Pii = z¥iV f ' Jfi 2 mi 7ffV(Ci -y/-^l y/í (6.25) Vynásobení (6.24) vektorem r a malou úpravou získáme vztah d 7(ř^i^) + |^[ř(j«)J+£[ř(j«) 51 <3y + 'yj dz '(U Jf (6.26) Dosadíme jfi dané tímto vztahem do (6.8). Integrály s derivacemi podle prostorových souřadnic dají nulu, takže zbude jen první člen s derivací podle času. Porovnání s (6.9) vede k výrazu pro dipólový moment. Vezmeme přitom v úvahu, že pro stacionární stavy ^i(ř,t) = ui(f)exp^--^-Eitj , y/{ (f ,t) = u* (f)exp[j-Ef tj . (6.27) S označením co{i =(Ef - E^/h můžeme psát pro dipólový moment vyvolaný elektronovým přechodem i —> f pfi(t) = exp(iŕyfit)ej7u*f (f)u;(f)d3ř . (6.28) 6.4 Lienardův - Wiechertův potenciál Ať se nabitá částice pohybuje po zadané trajektorii r = rQ (t) . Hustota náboje je pak p(ř,t) = eJ(3)(ř-ř0(t)) . (6.29) Vzorec pro skalární potenciál přepíšeme jako 30 ^(f,t): Ax sn A n sn p(?',ť) r - r S r - r ť - t + ■ dťďf J R(.') r - r ť - t + ■ dť , kde jsme označili Ř(ť) = r -f0 (ť) ,R(ť) = Ŕ(ť) • S pomocí vztahu ť -1 + ■ R(ť) _ S(ť-tľ) V j ! R(Q-%) cR(tr) t =t ■ napíšeme výraz pro skalární potenciál jako e 1 ^(f,t): 4^0 r(t) r(k)Hk) R(tr) t = t —^ . Výraz pro vektorový potenciál je pak obdobně Ä(f,t) e//0 4- R(g_R(0-v(0 R(0 t = t--^ Vezměme teď jednoduchý případ pohybu s konstantní rychlostí podél osy nalezení časového zpoždění přepíšeme na c2(t-tr)2 = (x-vtr)2 + y2 + z2 , odkud V L J t =t ■ vx 1 c c (x-vt)2 + íl-J|(y2 + z2) 1/2 Jmenovatel výrazů (6.32) a (6.33) pro potenciály můžeme psát jako , x v(x-vtr) c(t-tr)--^-Ij- = c vx f „2 \ Po malé úpravě pak dostáváme ^(f,t): 1 1 Ansc 1/2 pro skalární potenciál a A(f,t) = (A4(f,t),0,0) , \{r,t) e A) 1 4;r (i-r) 1/2 31 pro vektorový potenciál, kde jsme označili (x-vt)2 l-ßz 2 2 + y + z 1/2 Vektor intenzity elektrického pole je Ě(ř,t): 1 1 1/2 *3 4^o (l-/?2) r a vektor indukce magnetického pole je (x-vt,y,z) B(f,t): 1/2 r*3 ^ (l-^2) (0,-z,y) (6.39) (6.40) (6.41) Pro vektor hustoty impulsu pole G = s0 E x B dostáváme G(f,t) e2 Mo 1 v .2 1 /?2 *6 (y2 + z2,-y(x-vt),-z(x-vt)) 16^2 r a pro hustotu energie W = (s0E2 + B2/ju^jl výraz l (x-vt)2+(l + /?2)(y2 + z2) W(f,t): 32^2^0 l-/?2 (6.42) (6.43) 6.5 Ztráta, energie zářením Pro Poyntingův vektor dipólového elektromagnetického pole jsme měli výrazy (6.15) a (6.17). Pro jednu nerelativistickou částici s nábojem e, která se pohybuje se zrychlením w je pak Ď=ewxn (6.44) a intenzita záření vychází jako dl =S-hr2dQ: w2sin2#dQ 16 7Z1 s0 c3 (6.45) Po integraci přes celý prostorový úhel dostaneme pro vyzařovanou intenzitu ((£ je energie částice) dt + « eĚ0cos(<»t - a) . (7.2) Pro intenzitu dipólového záření kmitajícího náboje máme podle (6.46) dl 16^"2£-nm2c3 E0 xn cos2 (ryt - a)dQ, ■ 32tt snm c 2 „3 0 E2 sin2 #dQ (7.3) a pro střední hodnotu Poyntingova vektoru dopadající vlny 1 S =c£0E2cos2(ť»t -a) = — C£"0E2 , (7.4) takže diferenciální účinný průřez je der: v4^-£-Qmc' j sin2 #dQ (7.5) Celkový účinný průřez je pak dán Thomsonovým vzorcem 3 f Y 8 2 -71 r 3 e (7.6) Veličina re označuje tzv. klasický poloměr elektronu. Vztah pro poloměr získáme tak, že položíme elektrostatickou energii elektronu „poloměru" re rovnu klidové energii 4^0 re mc (7.7) 33 Poznámka o „poloměrech": Za základ vezmeme redukovanou (tj. podělenou 2 x) Comptonovu vlnovou délku elektronu a (bezrozměrnou) konstantu jemné struktury a — a =- . (7.8) 2tz mc 4ft£0hc Bohrův poloměr dostaneme jako podíl, klasický poloměr jako součin těchto veličin X 4xs0h2 e2 aB=- =-°— , ve = Xa = --- . (7.9) a me 4 s0 mc 7.2 Modifikace Thomsonova vzorce Uvažujme nyní nikoliv volný náboj, ale tlumený oscilátor, tedy —y + Y--\-co2r =— E0cosť»t . (7.10) dt dt m Pro dipólový moment p = ef odsud dostáváme e2 (g>1 ~ řy2)cosť»t + ycoúncot 2 2 co m (co2-co2) + y Celkový účinný průřez je v tomto případě 8^2 co4 E0 . (7.11) - 3-( 2 2Y+ — ■ (7-12) -> lco0 -co \ + y co 7.3 Index lomu Definujeme polarizovatelnost a(co) jako konstantu úměrnosti ve vztahu mezi (lokálním) elektrickým polem Eloc a dipólovým momentem p . Vyjdeme z komplexního zápisu (7.10) d2f df 9 _ e + y— + co20x = — Elocexp(-iřyt) . (7.13) dt2 dt u m Potom e2 p = s0a(co)Eloc , a(co) =--—-- . (7.14) £0mco0 -\yco- co Polarizace je pak P = N p . Musíme ovšem uvážit, jaké pole působí na náboj. Připomeňme z elektrostatiky, že je-li v dielektriku s homogenním polem dutina, je lokální pole rovno 4c = É , Ěloc = Ě + -P , Ěloc=Ě+-Lp , (7.15) £0 J£0 podle toho, jde-li o štěrbinu podél nebo napříč pole nebo o kulovou dutinu. Pro úplnost poznamenejme, že pro magnetické pole máme v podobné situaci 34 Bl0C=B-M , Bl0C = B , B1oc = B-|m . (7.16) Pro dielektrika uvažujeme o vázaných nábojích uvnitř kulové dutiny, můžeme tedy psát P= " e0E (7.17) l—Na 3 a pro index lomu (za velmi častého předpokladu //(&>) = //„) n2 = l + ^- . (7.18) 1 —Na 3 Obvyklá forma tohoto vztahu je (Clausius - Mossotti) 2 i 3^T^=Na . (7.19) n2 + 2 Ve vodiči uvažujeme o téměř volných elektronech (nevázaných k atomu, tedy coQ = 0) a dále máme pro konstantu y (ze dvou různých vyjádření proudu a zápisu změny hybnosti za dobu mezi srážkami) Ne2 j = y =- . (7.20) mcr Také lokální pole je rovno vnějšímu, opět díky neustálému pohybu téměř volných elektronů. Odtud máme pro index lomu v kovu i &l t Ne2 n2 = l--E- , eo2=— . (7.21) a>2+ia>a>l%- me° a 8. Elektromagnetické pole v dispersním prostředí. 8.1 Maxwellovy rovnice Maxwellovy rovnice pro Fourierovy složky (píšeme obecně bez vyznačení prostorové proměnné) počítané jako -t co f(t)=— f f(o>)exp(-ifi>t)dfi> (8.1) jsou W-B(eo) = 0 , WxH(eo) = -ieoĎ(eo) , V-D(») = 0 , VxE(ú)) = iú)B(a>) . 35 Předpoklad lineárního a příčinného vztahu mezi intenzitou a indukcí elektrického pole připouští následující vztah Ď(t) = s0 Ě(t) + jVe(r)Ě(t-r)dr . v o J Podobně pro magnetické veličiny B(t) = //0 H(t) + jVm(r)H(t-r)dr . v o j Fourierova transformace (8.3) a (8.4) vede k výrazům Ď(co) = e0 s(co)Ě(co) , B(co) = //0//(řy)H (co) kde (8.3) (8.4) (8.5) s(co) = \ + jVe(r)exp(i<»r)dr , ju(co) = \ + J^JTm (r)exp (i ty r)dr . (8.6) Z tohoto vyjádření máme hned s(-co) = s* (co) , ju(-co) = ju (co) a lim £•(<») = 1 , lim jj(co) = \ . (8.7) (8.8) Komplexní veličiny s (co) a ju(co) je zvykem značit pomocí reálných a imaginárních částí jako s(co) = s' (co) + is" (co) , ju(co) = m'(co) + iju" (co) . (8.9) Pro dielektrika nabývá s (co) při co^O konečnou hodnotu statické relativní permitivity. Pro kovy je chování zajímavější. Z porovnání dvou tvarů (VxHJ(ía^O) dostáváme - i co s (co -» 0)E (co -»0)-»£rE (&> -^0) => ^(»^0)^ — S využitím vztahů (8.5) můžeme Maxwellovy rovnice (8.2) přepsat na V-B(») = 0 , VxB(co) = -ico—^-E(eo) , V-Ě(co) = 0 , VxÉ(ŕy) = iŕyB(ŕy) , kde 1 (8.10) (8.11) £0 Mí) 2 c , s (co) ju (co) = n2 (co) . (8.12) 36 Vhodnou volbou kalibrace potenciálů je 0(co) = O ,V ■ A(co) = 0, takže Ě(co) = icoÁ(co) , B(co) = VxÁ(co) (8.13) a pro vektorový potenciál máme Helmholtzovu rovnici - z v co2 n2 (co) - , , AA(co) +-^A(řy) = 0 . (8.14) c 8.2 Disipace energie Vezměme nyní výraz (1.9) -V-S = H.^+Ě.^ . (8.15) dt dt Uvažujme monochromatickou elektromagnetickou vlnu. Poněvadž pravá strana (8.15) obsahuje kvadratické výrazy, musíme pracovat s reálnými reprezentacemi pole, tj. dosazovat Ě =^É(<»)exp(-iť»t) + É*(ť»)exp(iť»t)J , dl) = ia>^> \^-s (co) É (co) exp (- i co t) + s* [co) Ě* [co) exp (i co t) (8.16) (8.17) H = ~[H (<»)exp(-iť»t) + H* (ť»)exp(iřyt)^| , SB- = ia>^ ju[co)ÍÍ (řy)exp(-iřyt) + ju (co)Ř* (co)exp(icot)~^ . Pro časovou střední hodnotu Poyntingova vektoru - 1 T Š(fi>)=]im-j"Š(fi>,t)dt (8-18) dostáváme ze vztahu (8.15) dosazením z (8.16) a (8.17) ■V • S (co) = — s0 s" (co) IÉ (cof + //0 jf (co)\Ú (co)\ (8.19) 2 Energie přidávaná do jednotky objemu prostředí přicházející elektromagnetickou vlnou je proměňována na teplo. Podle druhé věty termodynamické musí být toto teplo při disipaci energie vytvářeno, musí tedy být cos"(co)>0 , cojď(co)>0) . (8.20) 37 8.3 Fázová a grupová rychlost Uvažujme šíření vlny ve směru osy z. Předpokládejme, že prostředí má jen slabou dispersi, tedy kvadrát indexu lomu bude součinem reálných částí permitivity a permeability (čárky vynecháváme) a vlnu napíšeme jako A= a(ry-ť»0)exp con(co) z - cot J. dco (8.21) Amplitudová funkce je soustředěna kolem centrální frekvence coQ, takže podstatnou roli bude hrát jen malá „grupa" vln s blízkými frekvencemi. Provedeme rozvoj fáze kolem centrální frekvence con(co) conn(con) -^-Lz-cot= 0 v o;z-^0t+nWL t dco (8.25) Není triviální to ukázat, ale podmínka skutečně splněna je. 38 9. Rovnice elektromagnetického pole ve čtyřrozměrném zápisu 9.1 Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity Hustotu náboje píšeme jako dQ = pdV , P = 2»3)(ř-řa) . (9.1) Ze vztahu dQdx1 = pdVdx1 = p—dVdt = -p—dQ dt c dt (9.2) porovnáním geometrických vlastností (dva skaláry dQ - element náboje a dQ - element čtyřobjemu a jeden čtyřvektor dx1) vyplývá, že musíme definovat další čtyřvektor (proudu) ľ = p^- = (cp,pv) = (cp, J) . Ve výrazu pro účinek můžeme pak psát při přechodu ke spojitému rozdělení náboje eJAdx1 = JpAdxMV^JA j'dQ . Náboj, který ubude v nějakém objemu, můžeme zapsat dvojím způsobem d -jpdV = $ J-ndS (9.3) (9.4) (9.5) S pomocí Gaussovy věty pak z (9.5) plyne V-j + d p ~dt dV = 0 (9.6) J tedy (objem je libovolný) rovnice kontinuity (9.7) d t d x1 Zákon zachování náboje (rovnice kontinuity) zaručuje, že při kalibrační transformací se účinek změní pouze o divergenci dx1 0 •f \\idQ. a+|4 jidQ = jajidQ + dx1 dx1 dQ . (9.8) 9.2 Náboj v elektromagnetickém poli Účinek pro nabitou částici v elektromagnetickém poli, který je invariantní a má „minimální interakci", můžeme zvolit jako S =-mc jds-e j^dx1 , Ä=í —,A (9.9) 39 Lagrangeova funkce a zobecněná hybnost jsou L = -mc Ji—-h-eA-v-e^ , P=^ d L m v + eA= p + eA Je pak 10 — = eV(Ä-v)-eV^ = e(v-v)Ä+evx(VxÄ)-eVr4 , —íp + eÁ) = —+ e—+ e(v-V)Ä dtv i dt dt 1 7 Lagrangeova rovnice je tedy kde jsme označili ^ = e(Ě + vxB) , dt E = -Vé-— , B = VxA dt Ve čtyřrozměrné notaci SS = S í b b ^ -mcjds -ej^dx1 b mc J x1 du. +e-^4-Jx' dxk - e-^-íx1 dx1 dxk dxk (mcu; + e AjJx1 Použili jsme při odvození integraci per partes a vztahy Sds = uidSx1 , ÔAt=^ôxk . dx Obvyklým postupem dostáváme výraz pro zobecněnou hybnost P1 =mcuI +e Á a pohybovou rovnici dUi C k tj ô\ ÔJ\ mc—L = eFiku , Fik =—---^ . d s d x1 d x 9.3 Tenzor elektromagnetického pole Ve vztahu (9.17) jsme zavedli tenzor elektromagnetického pole 10 Pň úpravě použijeme identitu známou z vektorové V(a-b) = (a-v)b +(b-v)á + bx(Vxá) + áx(Vxb). 40 { o Ex/c Ey/c Ez/c^ -Ex/c o -Bz By -Ey/c Bz o -Bx -Ez/c -By Bx o j f í 0 -Ex/c -Ey/c -Ez/ Ex/c 0 -Bz By Ey/c Bz 0 -Bx lEz/c "By Bx 0 .(9.18) Při Lorentzově transformaci se tenzor elektromagnetického pole transformuje podle vztahu Fik=A' A! F k 'inn m ' ~n Označíme-li ^ = l/^/l-/?2 , dostáváme při transformaci x°=r(x,0+^x;i) , x^^+Ax'0) , x2 neboli v maticovém zápisu J2 -,/3 x1 = a; x' /k A! ^ / /?;/ 0 0^ Py y o o o o 0 1 o 0 0 1 J transformační vztah pro tensor pole í C\ TJ/Ol 0 f/u1 r(f/02+/?f/12) r(f/03+/?f/13)^ f/10 0 r(f/12+/?f/02) r(f/13+/?f/03) r(f/20+/?f/21) r(f/21+af/2°) ^(f/30+/?F/31) r(f/31+/?f/3°) Převedeno do vektorů intenzity a indukce ex = e; , Ey=r(E;+vB;) B. = B' , B 0 -7 132 ; /23 o Ez=r(Ez-VBy) v B = y B' +^E; z / I z 2 y (9.19) (9.20) (9.21) (9.22) (9.23) V nerelativistickém přiblížení (V/c—»0) přechází (9.23) na ÉiÉ'-VxB7 , B = B7 . (9.24) Invarianty pole můžeme zkonstruovat z tenzoru pole. Poněvadž je antisymetrický, zúžení nedává nic a máme až kvadratické výrazy gÍmgknfikfmn = fikfik=inv , fik fmn = fik *fik = inv . (9.25) Duální tenzor vyjádřený pomocí intenzity elektrického pole a indukce magnetického pole má tvar 41 f0 -Bx -Bz Bx 0 -Ez/c Ey/c By Ez/c 0 -Ex/c -Ey/c Ex/c 0 (9.26) Invarianty mají pak vyjádření f Ě2 B > Fik*Fik = 4 EB (9.27) 9.4 První pár Maxwellových rovnic Z vyjádření tensoru elektromagnetického pole pomoci potenciálu snadno odvodíme platnost vztahu ô E, SFkl öFH ^ (9.28) d x1 5 x1 d xk Na levé straně je úplně antisymetrický tensor třetího řádu, představuje pouze čtyři různé rovnice. Zřetelněji je to vidět, užijeme-li zápis pomocí duálního (pseudo)vektoru iklm lm 0 (9.29) Nultá komponenta dává tvrzení o nezřídlovém charakteru magnetického pole, další tři komponenty Faradayův indukční zákon VB=0 , VxE dB ~dt (9.30) 9.5 Druhý pár Maxwellových rovnic Druhý pár Maxwellových rovnic odvodíme z variačního principu. Za Lagrangeovu funkci elektromagnetického pole zvolíme přirozeně známý invariant s vhodnou konstantou rf i ^ Aľ+-—FikFik 4 A> 1 c dQ 1 (9.31) 2 A, B2 +j-A dVdt J S uvážením F1 SFik = Fik SF1 dostáváme c j^A+ —FikJFü 2A> 1 d _ 1 j1 +-—FIk—-^4 2//0 o x dQ: d (9.32) E 2/4, <3x dQ Po integraci per partes ve (9.32) 42 ÓS c//0 •f dV1 JAdQ-—Mfí1c JAdSk c//0 J (9.33) Druhý pár Maxwellových rovnic je tedy dFik <3x (9.34) Nultá komponenta je rovnice pro divergenci indukce elektrického pole (zobecnění Gaussovy věty elektrostatiky), zbývající tři pro rotaci intenzity magnetického pole (Ampérův zákon doplněný Maxwellovým posuvným proudem) VD = p VxH=^+j . dt (9.35) 9.6 Tensor energie - hybnosti Tensor energie - hybnosti dostaneme z teorému Noetherové při transformaci, odpovídající translaci souřadnic X;=^ , Qf = 0 , Ť/(x) = qA!J^_ (9.36) Tady je index j vlastně indexem "náhodně" tensorovým. Takto získaný tensor energie hybnosti Tlk není obecně symetrický. Pro Lagrangeovu funkci elektromagnetického poleje dh dh 1 dqA, d A,. jU0 a tensor energie - hybnosti vychází nesymetrický ■FIJ (9.37) rjik___J_ g gi d A km 1 ik dx1 — e F F (9.38) K výrazu pro Tlk můžeme ovšem přidat člen, zaručující symetrii, který přitom neovlivní celkovou hybnost rp ik _^ r-pik _ ik dr ~ä7 (9.39) Požadavek symetrie se objevuje proto, aby byl splněn i zákon zachování momentu hybnosti, definovaného vztahem Mikl = x; Tkl - xkTn , tedy ÔMikl dx1 0 o TIk=TkI (9.40) Pro elektromagnetické pole tensor ŕ snadno najdeme jako iW 1 A F (9.41) 43 takže výsledný tensor energie - hybnosti bude rpik _ 1 gi^'F^+V^F1 /'o V 4 (9.42) Zapsáno pomocí třírozměrných veličin rp ik ' 1 ^ w -s, kde W 1 f 1 (9.43) 1 S = — ExB M0 (9.44) a fí=snE E„ + — B B„ -Wó „ ap 0 a p a p a p (9.45) i2 + — B2 V J jsou hustota energie a Poyntingův vektor a j_ Mo je Maxwellův tensor napětí. 9.7 Vlnová rovnice a rovinné vlny Vezmeme druhý pár Maxwellových rovnic (ve vakuu) a dosadíme vyjádření pole pomocí potenciálů ĚIl-.o , F» = g.ig»ÍM ^Al dxk dx1 dx n 52Ak kl ô Ä --S - r i p) vk a „k a „i (9.46) 0 dxW dxkdx' Lorentzova kalibrační podmínka zjednoduší (9.46) na vlnovou rovnici d x Pomoci d'Alembertova operátoru 0 ki d2 K d xk d x1 □ = A 1 d2 0 . (9.47) 2 '1*2 c ot (9.48) máme pak ve třírozměrném zápisu dtp _Jíi + V-A=0 , Ué = Q , DA=0 . dt (9.49) Hledáme-li řešení ve tvaru rovinné vlny, jde vlastně o konstantní čtyřvektor násobený komplexní jednotkou. Je pak 44 Ä =Re{aiexp(ikj xJ)j , k; k' = O , 1^=0 . (9.50) Poslední vztah ve (9.50) je dán Lorentzovou kalibrační podmínkou. Čtyřvektor hybnosti zapisujeme jako r co ^ k =—n h2=l (9.51) Velmi jednoduše popíšeme pomocí charakteristik rovinné monochromatické vlny Dopplerův jev. Mějme zdroj světla, který je v klidu v soustavě . Soustava se pohybuje vzhledem k laboratorní soustavě K rychlostí V. Ať je úhel mezi směrem pohybu zdroje a směrem šíření světla a . Potom platí >) Ak1 >)- n l°= — c kl to) k'-lk0 k), co, (9.52) (o) to) cos a, (o) 1 co k =—cos a a odtud co = co,r ^7 "(0) l-/?cosa Pro rychlosti malé ve srovnání s rychlostí světla máme (9.53) f co ~ co. '(o) V 1 h—cos oc h----cos2or c 2 c2 (9.54) J Tensor energie - hybnosti je 2 -Wk1 kk W 1 a1 a* + Re|a' a; exp^ikj xj )J (9.55) co 2jU0 Ve střední hodnotě podle času je druhý člen ve výrazu pro hustotu energie roven nule. Oba invarianty (9.27) jsou rovny nule. Se speciální volbou kalibrace (spojené ovšem s jednou určitou inerciální souřadnou soustavou) máme Á=(o,Ä) , Ä= aycos(<»t - kx + a)ey + azsin(řyt-kx + a)éz , E = ŕyaysin(ŕyt-kx + a)éy-ryazcos(řyt-kx + a)éz , (9.56) B = kaz cos(ť»t - kx + «)ey + kay sin(ť»t - k x + a)