Užití hlavní věty o faktorokruzích
Věta. Nechť R je okruh. Pak existuje jediný homomorfismus
okruhů f : Z → R. Jeho jádro ker f je hlavní ideál okruhu Z
generovaný charakteristikou okruhu R, tj. ker f = (char R).
Důkaz. Z definice f (1) = 1R, tedy pro každé přirozené číslo n platí
f (n) = f (1 + · · · + 1
n
) = f (1) + · · · + f (1)
n
= n1R,
a tedy také f (−n) = −f (n) = −(n1R) = (−n)1R. Jediná možnost,
jak homomorfismus f : Z → R definovat, je předpisem f (n) = n1R
pro každé n ∈ Z, což skutečně dává homomorfismus. Rovnost
ker f = (char R) plyne z definice charakteristiky okruhu.
Důsledek. Každý okruh R charakteristiky nula obsahuje podokruh
izomorfní s okruhem celých čísel Z. Každý okruh R charakteristiky
n = 0 obsahuje podokruh izomorfní s okruhem Zn zbytkových tříd
modulo n.
Důkaz. Plyne z hlavní věty o faktorokruzích pro homomorfismus
okruhů f : Z → R a toho, že Z/(n) = Zn.
Podtělesa
Definice. Nechť T je těleso. Libovolný podokruh R tělesa T
takový, že pro každé a ∈ R, a = 0 platí a−1 ∈ R, nazýváme
podtělesem tělesa T. Říkáme též, že T je rozšířením tělesa R.
Anebo také, že R ⊆ T je rozšířením těles (v literatuře se hojně
používá zápis: T/R je rozšířením těles).
Jinými slovy: podokruh R tělesa T je podtělesem, jestliže R je
těleso.
Příklad. Každé těleso charakteristiky p = 0 obsahuje podtěleso
izomorfní s Zp.
Věta. Nechť R je těleso a T netriviální okruh. Pak každý
homomorfismus okruhů ϕ : R → T je injektivní.
Důkaz. Nechť ϕ : R → T je homomorfismus okruhů, pak ker ϕ je
ideál R a 1 /∈ ker ϕ, vždyť ϕ(1) = 1 = 0, tj. ker ϕ = R. Proto ker ϕ
je nulový ideál, jiné ideály už těleso R nemá.
Příklad podtělesa
Důsledek. Každé těleso charakteristiky nula obsahuje podtěleso
izomorfní s Q.
Důkaz. Nechť R je těleso, char R = 0. Pak jediný homomorfismus
okruhů ϕ : Z → R, který je určen předpisem ϕ(m) = m1 pro každé
m ∈ Z, je injektivní. Proto ϕ(n) = 0 pro každé n ∈ N.
Definujme zobrazení ψ : Q → R takto: pro libovolné m ∈ Z, n ∈ N
položme ψ(m
n ) = ϕ(m)(ϕ(n))−1. Tento předpis je korektní, neboť
pro každé k ∈ N platí
ϕ(km)(ϕ(kn))−1
= ϕ(k)ϕ(m)(ϕ(k)ϕ(n))−1
= ϕ(m)(ϕ(n))−1
.
Definované zobrazení je zřejmě homomorfimus okruhů, podle
předchozí věty injektivní.
Podtěleso generované množinou
Věta. Nechť I = ∅ je libovolná množina taková, že pro každé i ∈ I
je dáno podtěleso Ri tělesa T. Pak i∈I Ri je podtěleso tělesa T.
Důkaz je zřejmý.
Důsledek. Nechť T je těleso. Systém všech podtěles tělesa T
uspořádaný inkluzí je úplný svaz.
Definice. Nechť T je těleso. Předchozí věta nám umožňuje
definovat podtěleso tělesa T generované množinou M ⊆ T jako
průnik všech podtěles tuto množinu obsahujících. Je to tedy
nejmenší podtěleso tělesa T obsahující M.
Je-li M = R ∪ {c1, . . . , cn}, kde R je podtěleso tělesa T a
c1, . . . , cn ∈ T, pak podtěleso generované množinou
R ∪ {c1, . . . , cn} značíme R(c1, . . . , cn).
Poznámka. Připomeňme, že je-li T okruh, R jeho podokruh a
c1, . . . , cn ∈ T, pak podokruh generovaný množinou
R ∪ {c1, . . . , cn} značíme R[c1, . . . , cn]. V situaci z definice mají
tedy smysl oba zápisy, zřejmě platí R[c1, . . . , cn] ⊆ R(c1, . . . , cn).
Stupeň rozšíření těles
Je-li R podtělesem tělesa T, pak můžeme aditivní grupu (T, +)
chápat jako vektorový prostor nad tělesem R: skalárním násobkem
vektoru t ∈ T skalárem r ∈ R je součin r · t počítaný v tělese T.
Axiomy vektorového prostoru jsou splněny:
pro každé skaláry r1, r2 ∈ R a každé vektory t1, t2 ∈ T platí
(r1 + r2) · t1 = r1 · t1 + r2 · t1,
r1 · (t1 + t2) = r1 · t1 + r1 · t2,
r1 · (r2 · t1) = (r1 · r2) · t1,
1 · t1 = t1,
(v T platí distributivní zákony, násobení je asociativní a 1 je
jednička). Máme tedy definovánu dimenzi dimR T ∈ N ∪ {∞},
zřejmě tato dimenze nemůže být nula.
Definice. Nechť R ⊆ T je rozšířením těles. Jeho stupněm [T : R]
rozumíme dimenzi vektorového prostoru T nad tělesem R, tj.
[T : R] = dimR T.
Multiplikativnost stupně rozšíření
Věta. Nechť R ⊆ S, S ⊆ T jsou rozšíření těles. Pak platí
T
[T:S]
[T : R] = [T : S] · [S : R], S
[S:R]
R
[T:R]
kde užíváme konvence n · ∞ = ∞ · n = ∞ pro každé n ∈ N ∪ {∞}.
Důkaz. Je-li [S : R] = ∞, pro každé n ∈ N v S existuje n lineárně
nezávislých prvků nad R, protože S ⊆ T, jsou tyto prvky v T a
platí [T : R] = ∞.
Je-li [T : S] = ∞, pro každé n ∈ N v T existuje n lineárně
nezávislých prvků nad S. Ty jsou lineárně nezávislé i nad R, a
proto [T : R] = ∞.
Nechť n = [T : S] ∈ N, m = [S : R] ∈ N. Nechť α1, . . . , αn je báze
T nad S, β1, . . . , βm báze S nad R. Ukážeme, že αi βj
(1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) je bází T nad R. Nechť γ ∈ T je libovolný.
Pak existují δ1, . . . , δn ∈ S, že γ = n
i=1 δi αi . Existují tedy
εij ∈ R, že δi = m
j=1 εij βj pro každé i. Dosazením
γ =
n
i=1
m
j=1
εij βj αi =
n
i=1
m
j=1
εij (αi βj ).
Tedy αi βj (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) je množina generátorů T nad R.
Je-li n
i=1
m
j=1 εij (αi βj ) pro nějaké εij ∈ R nulový vektor, pak
z lineární nezávislosti α1, . . . , αn nad S dostaneme, že
m
j=1 εij βj = 0 pro každé i = 1, . . . , n a z lineární nezávislosti
β1, . . . , βm nad R dostaneme, že εij = 0 pro každé i, j.
Tedy αi βj (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) je báze T nad R.
Algebraické a transcendentní prvky
Mějme rozšíření těles R ⊆ T a polynom
f = anxn
+ · · · + a1x + a0 ∈ R[x].
Pak je také f ∈ T[x], a proto pro každé c ∈ T můžeme uvažovat
hodnotu f (c) = an · cn + · · · + a1 · c + a0 ∈ T. Připomeňme, že c
se nazývá kořenem polynomu f , je-li f (c) = 0.
Definice. Nechť R ⊆ T je rozšířením těles, c ∈ T. Řekneme, že
prvek c je algebraický nad tělesem R, jestliže existuje nenulový
polynom f ∈ R[x], jehož je c kořenem. V opačném případě říkáme,
že prvek c je transcendentní nad tělesem R.
Poznámka. O komplexním čísle c říkáme, že je algebraické (resp.
transcendentní), je-li c algebraické (resp. transcendentní) nad
tělesem racionálních čísel Q.
Minimální polynom algebraického prvku
Věta. Nechť R ⊆ T je rozšířením těles, c ∈ T algebraický prvek
nad R. Pak c je kořenem právě jednoho normovaného
ireducibilního polynomu f ∈ R[x]. Navíc platí
1. pro libovolný h ∈ R[x] je h(c) = 0, právě když f | h v R[x],
2. R(c) = R[c] v T,
3. 1, c, c2, . . . , cn−1, kde n = st f , je bází vektorového prostoru
R[c] nad R,
4. stupeň rozšíření [R(c) : R] = st f .
Důkaz. Zobrazení ϕ, které každému polynomu h ∈ R[x] přiřadí
jeho hodnotu v c, tj. ϕ(h) = h(c), je homomorfismus okruhů
ϕ : R[x] → T. Obrazem v tomto homomorfismu je
ϕ(R[x]) = {h(c); h ∈ R[x]} = R[c], neboť je to podokruh tělesa
T, a to nejmenší z těch, co obsahují R ∪ {c}. Na diagram
R   ⊆
// _
⊆

R[c]   ⊆
// T
R[x]
ϕ
<< <<
užijeme hlavní větu o faktorokruzích.
R   ⊆
// _
⊆

R[c]   ⊆
// T
R[x]
ϕ
99 99
π// // R[x]/ ker ϕ
?
˜ϕ
OOOO
∀h ∈ R[x] : ϕ(h) = h(c)
Z definice ker ϕ = {h ∈ R[x]; h(c) = 0}. Protože c je algebraický,
je ker ϕ = {0}. Protože R je těleso, je každý ideál v R[x] hlavní.
Proto existuje f ∈ R[x], f = 0, splňující (f ) = ker ϕ. Protože
asociované prvky generují týž hlavní ideál, lze předpokládat, že f je
normovaný. Protože (f ) = {h ∈ R[x]; f | h}, platí bod 1.
Protože R[c] je podokruhem tělesa, je to obor integrity, totéž platí
o okruhu R[x]/ ker ϕ, který je s ním izomorfní. Tedy (f ) = ker ϕ je
prvoideál okruhu R[x], což znamená, že f je ireducibilní nad R a
(f ) je maximální ideál okruhu R[x], tedy R[x]/ ker ϕ je těleso,
proto je těleso i s ním izomorfní R[c]. Je tedy R[c] = R(c).
Označme n = st f . Zvolme libovolně polynom h ∈ R[x] a vydělme
jej se zbytkem polynomem f . Máme
h = q · f + r, q, r ∈ R[x], st r < n.
Pak h(c) = q(c) · f (c) + r(c) = r(c). Odtud
R[c] = {h(c); h ∈ R[x]} =
= {r(c); r ∈ R[x], st r < n} =
= {r0 + r1 · c + · · · + rn−1 · cn−1
; r0, . . . , rn−1 ∈ R}.
Přitom r(c) = 0 znamená f | r, což kvůli st r < n = st f nastane
jedině pro r = 0, tedy 1, c, c2, . . . , cn−1 je bází vektorového
prostoru R[c] nad R. Proto [R(c) : R] = n.
Definice. Polynom f ∈ R[x] z předchozí věty nazýváme minimální
polynom algebraického prvku c ∈ T nad R.