Těleso racionálních funkcí
Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity
sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů
R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso i pro něj.
Definice. Nechť R je libovolné těleso. Podílové těleso oboru
integrity R[x] nazýváme těleso racionálních funkcí nad tělesem R,
značíme jej R(x).
Libovolný prvek tělesa racionálních funkcí je tedy zlomek, který má
ve jmenovateli i čitateli polynomy s koeficienty z tělesa R, tedy
R(x) =
f
g
; f , g ∈ R[x], g = 0 .
Operace sčítání a násobení jsou v R(x) definovány tak, jak jsme
zvyklí pracovat se zlomky. Přitom okruh polynomů R[x] je
podokruhem tělesa R(x), neboť libovolný polynom f je ztotožněn
se zlomkem f
1 .
Těleso R(c) pro prvek c, který je transcendentní nad R
Věta. Nechť R ⊆ T je rozšířením těles, c ∈ T transcendentní prvek
nad R. Pak platí
1. R[c] R(c) v T,
2. R[c] ∼= R[x], R(c) ∼= R(x),
3. stupeň rozšíření [R(c) : R] = ∞.
Důkaz. Zobrazení ϕ přiřazující každému polynomu h ∈ R[x] jeho
hodnotu v c, tj. ϕ(h) = h(c), je homomorfismus okruhů
ϕ : R[x] → T, obrazem je ϕ(R[x]) = {h(c); h ∈ R[x]} = R[c].
Protože c je transcendentní nad R, je ker ϕ = {0} a ϕ je injekce.
Tedy R[x] ∼= R[c]. R   ⊆
// _
⊆

R[c]   ⊆
// R(c)   ⊆
// T
R[x]
-
ϕ
<< <<
  ⊆
// R(x)
-
˜ϕ
;; ;;
Homomorfismus ϕ lze rozšířit na injektivní homomorfismus
˜ϕ : R(x) → T předpisem ˜ϕ h
g = h(c)g(c)−1, obrazem je
podtěleso R(c) tělesa T. Zřejmě je dimR R[x] = ∞, a proto
[R(c) : R] = ∞.
Jednoduchá, konečná a algebraická rozšíření
Definice. Nechť R ⊆ T je rozšíření těles. Řekneme, že toto
rozšíření je
jednoduché, existuje-li prvek c ∈ T, který je algebraický nad
R, takový, že T = R(c);
konečné, je-li stupeň [T : R] < ∞;
algebraické, je-li každý prvek c ∈ T algebraický nad R.
Věta. Každé jednoduché rozšíření těles je konečné.
Důkaz. Je-li T = R(c) pro c ∈ T, který je algebraický nad R, pak
víme, že [T : R] = [R(c) : R] = st f , kde f ∈ R[x] je minimální
polynom prvku c nad R.
Poznámka. Pro tělesa charakteristiky nula platí i opačná implikace,
tuto větu však budeme dokazovat až v předmětu Galoisova teorie:
Každé konečné rozšíření těles charakteristiky nula je jednoduché.
Jednoduchá, konečná a algebraická rozšíření
Věta. Každé konečné rozšíření těles je algebraické.
Důkaz. Nechť R ⊆ T je konečné rozšíření těles, pak stupeň
[T : R] = m je přirozené číslo.
Pro libovolný prvek c ∈ T jsou prvky 1, c, c2, . . . , cm lineárně
závislé nad R, neboť je jich více než dimR T = m.
Existují tedy r0, r1, . . . , rm ∈ R, ne všechny nulové, tak, že
r0 · 1 + r1 · c + r2 · c2 + · · · + rm · cm = 0.
Proto je c kořenem nenulového polynomu
r = rmxm + · · · + r1x + r0 ∈ R[x], a tedy c je algebraický nad R.
Důsledek. Nechť R ⊆ T je rozšíření těles. Jestliže těleso T
obsahuje prvek transcendentní nad R, pak [T : R] = ∞.
Konstrukce jednoduchého rozšíření
Věta. Nechť R je těleso, f ∈ R[x] normovaný ireducibilní polynom.
Pak R[x]/(f ) je těleso, které je jednoduché rozšíření tělesa R.
Přesněji: ztotožníme libovolný prvek r ∈ R s třídou r + (f )
obsahující konstantní polynom r a označíme c = x + (f ) třídu
obsahující polynom x, pak R[x]/(f ) = R(c) a f je minimální
polynom prvku c nad R.
Důkaz. Protože f je ireducibilní polynom nad tělesem R, hlavní
ideál (f ) ⊆ R[x] je maximálním ideálem okruhu polynomů R[x].
Protože R[x] je komutativní okruh, je faktorokruh T = R[x]/(f )
těleso. R   ⊆
//
π|R %%
R[x]
π

T = R[x]/(f )
Protože π|R : R → T je homomorfismus okruhů mezi tělesy, je
injektivní. Proto můžeme ztotožnit libovolný prvek r ∈ R s jeho
obrazem r + (f ) v T. Po tomto ztotožnění je R podtělesem tělesa
T, máme tedy rozšíření těles R ⊆ T.
Označme c = x + (f ) třídu obsahující lineární polynom x. Pak pro
libovolný polynom g = gmxm + · · · + g1x + g0 ∈ R[x] platí
g(c) = gmcm
+ · · · + g1c + g0 =
= (gm + (f ))(x + (f ))m
+ · · · + (g1 + (f ))(x + (f )) + (g0 + (f )) =
= (gmxm
+ · · · + g1x + g0) + (f ) = g + (f ).
Odtud T = R(c). Speciálně f (c) = f + (f ) = 0 + (f ) = 0, a tedy
c je kořenem polynomu f . Protože f je normovaný a ireducibilní
nad R, je f minimálním polynomem prvku c.
Poznámka. Je-li st f > 1, nemá polynom f v tělese R žádný kořen.
Konstrukcí z předchozí věty jsme těleso R „rozšířili na těleso
R(c), přičemž minimální polynom prvku c je právě f .
Porovnáním s důkazem věty o minimálním polynomu vidíme, že
takové rozšíření je jediné až na izomorfismus, je totiž izomorfní
s faktorokruhem R[x]/(f ).
Rozkladové těleso polynomu
Věta. Nechť R je těleso a f ∈ R[x] nekonstantní polynom. Pak
existuje rozšíření T tělesa R takové, že f se v T[x] rozkládá na
součin lineárních činitelů.
Důkaz. Větu dokážeme indukcí vzhledem ke st f .
Je-li st f = 1, stačí vzít T = R.
Nechť tedy st f > 1 a věta byla dokázána pro všechny nekonstantní
polynomy stupně menšího než st f nad libovolným tělesem (tj.
nejen nad naším R). Rozložme polynom f v R[x] na součin
ireducibilních činitelů (to lze, neboť R je těleso)
f = a · g1 · · · gk,
kde a je vedoucí koeficient polynomu f a g1, . . . , gk ∈ R[x] jsou
normované ireducibilní polynomy. Pak podle předchozí věty je
K = R[x]/(g1) rozšíření tělesa R, ve kterém má polynom g1 kořen
α = x + (g1). Existuje proto normovaný polynom q ∈ K[x] takový,
že g1 = (x − α) · q. Označme g = a · q · g2 · · · gk ∈ K[x], pak
f = (x − α) · g a st g = st f − 1.
Proto podle indukčního předpokladu existuje rozšíření T tělesa K
takové, že g se v T[x] rozkládá na součin lineárních činitelů. Pak
T je také rozšíření tělesa R takové, že f se v T[x] rozkládá na
součin lineárních činitelů.
Definice. Podle předchozí věty pro libovolný nekonstantní polynom
f ∈ R[x], kde R je těleso, existuje rozšíření R ⊆ T takové, že
f = a · (x − α1) · · · (x − αn),
kde a ∈ R, α1, . . . , αn ∈ T. Pak těleso R(α1, . . . , αn) nazýváme
rozkladové těleso polynomu f nad tělesem R.
Poznámka. Je možné dokázat, že rozkladové těleso polynomu f
nad tělesem R je určeno jednoznačně až na izomorfismus: jsou-li
K, L obě rozkladová tělesa polynomu f nad tělesem R, pak existuje
izomorfismus ϕ : K → L takový, že ϕ(r) = r pro každé r ∈ R.
Popis jednoduchých rozšíření
Věta. Nechť R ⊆ T je rozšíření těles. Pak platí: R ⊆ T je
jednoduché rozšíření, právě když existuje polynom f ∈ R[x], který
je ireducibilní nad R, a izomorfismus okruhů ψ : R[x]/(f ) → T
tak, že následující diagram komutuje
R   ⊆
// _
⊆

R[x]
π

T R[x]/(f )? _ψ
oooo
Poznámka. Tato věta je ve skriptech nepřesně formulovaná (jde
o větu 11.12 na straně 114). V jejím důkaze sice chyba není, ale
nedokazuje se zde přesně to, co je ve znění věty.
Důkaz. „⇒ Je-li T = R(c), kde c je algebraický prvek nad R,
pak jsme izomorfismus ψ získali v důkaze věty o minimálním
polynomu (tam se jmenoval ˜ϕ).
R   ⊆
// _
⊆

R[x]
π

T R[x]/(f )? _ψ
oooo
„⇐ Označme c = ψ(x + (f )) ∈ T. Pro libovolný polynom
g = gmxm + · · · + g1x + g0 ∈ R[x] platí
g(c) = gmcm
+ · · · + g1c + g0 =
= ψ(gm + (f )) · (ψ(x + (f )))m
+ · · · +
+ ψ(g1 + (f )) · ψ(x + (f )) + ψ(g0 + (f )) =
= ψ(gmxm
+ · · · + g1x + g0 + (f )) = ψ(g + (f )).
Libovolný prvek tělesa T je tedy tvaru g(c) pro vhodný g ∈ R[x],
proto T = R(c). Volbou g = f dostaneme
f (c) = ψ(f + (f )) = ψ(0 + (f )) = 0,
a tudíž c je algebraický nad R.
Podtěleso algebraických prvků
Věta. Nechť R ⊆ T je rozšíření těles. Označme A množinu všech
prvků t ∈ T, které jsou algebraické nad R. Pak A je podtěleso
tělesa T obsahující těleso R.
Důkaz. Zřejmě R ⊆ A, neboť každý r ∈ R je kořenem nenulového
polynomu x − r ∈ R[x]. Musíme dokázat, že pro každé α, β ∈ A
platí −α, α + β, α · β ∈ A, a pokud α = 0, tak také α−1 ∈ A.
Protože α je algebraický nad R, platí [R(α) : R] < ∞. Zřejmě
(R(α))(β) je nejmenší podtěleso tělesa T obsahující (R(α)) ∪ {β},
a tedy nejmenší podtěleso tělesa T obsahující R ∪ {α, β}. Proto
(R(α))(β) = R(α, β). Protože β je algebraický nad R, je také
algebraický nad R(α) a platí [R(α, β) : R(α)] < ∞. Dohromady
[R(α, β) : R] = [R(α, β) : R(α)] · [R(α) : R] < ∞. Protože každé
konečné rozšíření těles je algebraické, platí, že
−α, α + β, α · β ∈ R(α, β), a pokud α = 0, tak také
α−1 ∈ R(α, β) jsou algebraické prvky nad R.
Příklad nekonečného algebraického rozšíření
Aplikujme předchozí větu na rozšíření Q ⊆ C. Pak A je těleso
všech algebraických čísel. Proto je Q ⊆ A algebraické rozšíření.
Ukážeme, že Q ⊆ A není konečné. Pro libovolné n ∈ N je polynom
xn − 2 je ireducibilní nad Q podle Eisensteinova kriteria, a tedy je
minimálním polynomem algebraického čísla n
√
2, odkud
[Q( n
√
2) : Q] = n. Proto vektorový prostor A nad Q obsahuje
n-rozměrný vektorový podprostor pro každé n ∈ N, nemůže být
tedy konečněrozměrný.
(Ne)řešitelnost geometrických úloh pravítkem a kružítkem
Z antiky pocházejí tři problémy, jejichž řešení pravítkem a
kružítkem nebylo známo:
trisekce úhlu (rozdělit daný úhel na třetiny),
zdvojení krychle (k dané krychli sestrojit krychli
dvojnásobného objemu, tj. k úsečce dané délky najít úsečku
3
√
2-krát delší),
kvadratura kruhu (k danému kruhu sestrojit čtverec o stejném
obsahu).
Abychom mohli dokázat, že žádné řešení těchto úloh neexistuje,
musíme přesně specifikovat, co to znamená řešit úlohu pravítkem a
kružítkem.
Předpokládejme, že v rovině je zadáno konečně mnoho bodů
popisujících zadání úlohy. Těmto bodům budeme říkat význačné.
Smíme sestrojit libovolnou přímku procházející dvěma význačnými
body a libovolnou kružnici, jejímž středem je význačný bod a
poloměrem vzdálenost některých dvou význačných bodů.
Libovolný průsečík sestrojených kružnic či přímek můžeme přidat
k význačným bodům. Jde o to, jestli po konečně mnoha krocích lze
docílit toho, že mezi význačnými body je bod, který popisuje řešení
dané úlohy.
Zavedeme v této rovině soustavu souřadnic, rovinu tedy
ztotožňujeme s kartézským součinem R × R. Označme T0
podtěleso tělesa R generované x-ovými a y-ovými souřadnicemi
všech zadaných bodů. Pokud bylo přidáno celkem n význačných
bodů, definujeme tělesa T1, . . . , Tn takto: těleso Ti je generováno
tělesem Ti−1 a souřadnicemi i-tého význačného bodu.
Naším cílem je dokážat, že rozšíření těles T0 ⊆ Tn je konečné a
jeho stupeň [Tn : T0] | 2n.
Označme [xi , yi ] souřadnice i-tého význačného bodu. Tento bod byl
získán jako průsečík sestrojených přímek či kružnic, rovnice takové
přímky je tvaru ax + by = c, kde a, b, c ∈ Ti−1, rovnice takové
kružnice tvaru (x − m)2 + (y − n)2 = u, kde m, n, u ∈ Ti−1. Proto
[xi , yi ] je řešením soustavy dvou lineárních rovnic anebo soustavy
jedné lineární a jedné kvadratické rovnice s koeficienty v Ti−1
(případ dvou kružnic vede sice na soustavu dvou kvadratických
rovnic, jejich odečtením však dostaneme rovnici lineární).
Dosazením z lineární rovnice do druhé rovnice získáme rovnici
lineární nebo kvadratickou pro jednu ze souřadnic [xi , yi ]
s koeficienty v Ti−1. Minimální polynom získaného řešení nad
tělesem Ti−1 má stupeň 1 nebo 2, druhou ze souřadnic
dopočítáme z lineární rovnice. Proto [Ti : Ti−1] ≤ 2.
Z věty o násobení stupňů rozšíření dostáváme [Tn : T0] | 2n.
Neřešitelnost úlohy zdvojení krychle
Jsou dány dva body o souřadnicích [0, 0] a [0, 1], cílem je získat
bod [0, 3
√
2].
Je tedy T0 = Q.
Protože x3 − 2 je minimální polynom čísla 3
√
2 nad Q, platí
[Q( 3
√
2) : Q] = 3.
Jestliže tedy 3
√
2 ∈ Tn, pak 3 | [Tn : T0]. Tn
Q( 3
√
2)
T0 = Q
To spolu s odvozenou dělitelností [Tn : T0] | 2n dává spor 3 | 2n.
Neřešitelnost úlohy trisekce úhlu
Ukážeme, že nemůžeme sestrojit pravítkem a kružítkem úhel π
9 .
Vzhledem k tomu, že umíme sestrojit úhel π
3 jako vnitřní úhel
rovnostranného trojúhelníka, bude to znamenat, že nelze rozdělit
na třetiny libovolný zadaný úhel.
Jsou dány dva body o souřadnicích [0, 0] a [0, 1], cílem je získat
bod [cos π
9 , sin π
9 ]. Opět máme T0 = Q.
K nalezení minimálního polynomu čísla cos π
9 využijeme vzorec
cos 3α = cos3 α − 3 cos α sin2
α = 4 cos3 α − 3 cos α.
Pro α = π
9 dostáváme, že c = 2 cos π
9 je kořenem polynomu
x3 − 3x − 1. Tento kubický polynom nemá racionální kořen (±1
kořen není), a tedy je ireducibilní nad Q.
Odtud [Q(cos π
9 ) : Q] = 3 a stejně jako v předchozím případě
dostáváme spor.
Neřešitelnost úlohy kvadratury kruhu
V tomto případě využijeme toho, že π je transcendentní číslo
(tento fakt zde nebudeme dokazovat).
Jsou dány dva body o souřadnicích [0, 0] a [0, 1]. Kruh
jednotkového poloměru má obsah π. Cílem je získat bod [0,
√
π].
Opět máme T0 = Q.
Předpokládejme, že
√
π ∈ Tn, pak π ∈ Tn.
Protože π je transcendentní nad Q, plyne odtud [Tn : Q] = ∞, což
je spor s tím, že Q ⊆ Tn je konečné rozšíření.