Zkoušková písemka z Geometrie 2
Varianta V
Datum: 24. 12. 2015
Jméno:
1 2 3 4 Σ
1) (5 × 1 b.) Udejte příklad (pokud takový příklad neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) dvou přímek v E3 s odchylkou π
3
;
(b) nadrovinu v A3, která odděluje body [5, 5, −3] a [2, 4, −5];
(c) dvou mimoběžných rovin v A5, které nemají žádný společný směr;
(d) tří bodů A, B, C v E2 takových, že obsah rovnoběžníku ABCD je roven 4;
(e) dvou afinních podprostorů B1, B2 v A3 takových, že dim(U) + dim(V) = dim(U + V).
2) (5 b.) V A4 jsou dány podprostory B1 a B2.
B1 : x1 + x2 + 2x3 − x4 − 9 = 0
3x1 − 5x2 − x4 − 11 = 0
B2 : X = [5, 5, 3, 2] + s(1, 1, −2, −2) + t(3, 1, 0, 4)
Určete polohu obou podprostorů a neparametricky vyjádřete jejich součet.
3) V E3 jsou dány přímky p : X = [3, 2, −1] + s(2, 0, 1) a q : X = [4, −2, 2] + t(1, −1, 5).
(a) (1 b.) Dokažte, že jsou přímky p a q mimoběžné.
(b) (1 b.) Určete odchylku přímek p a q.
(c) (3 b.) Parametricky vyjádřete přímku r, která je různoběžná s p a q a prochází bodem
M[−3, 2, 4] .
4) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV , kde |AB| = |AV | = 8 cm.
(a) (1 b.) Jehlan vhodně umístěte do kartézské soustavy souřadnic.
(b) (1 b.) Určete odchylku stěn ABV a BCV .
(c) (1 b.) Určete vzdálenost bodu D od roviny stěny BCV .
(d) (2 b.) Určete vzdálenost hrany AV a úhlopříčky BD.