Obsah
Prolog 1
I Obyčejné diferenciální rovnice 11
1 Základní pojmy 13
1.1 Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Elementární metody řešení diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Vektorové a maticové funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Systémy diferenciálních rovnic a rovnice vyššího řádu . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Obecné vlastnosti diferenciálních rovnic 25
2.1 Existence a jednoznačnost řešení skalární ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Existence a jednoznačnost řešení systému ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Globální vlastnosti řešení systému ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Odhady řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Lineární rovnice 45
3.1 Lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Systémy lineárních ODR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Homogenní lineární systém s konstantní maticí . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Autonomní systémy 65
4.1 Fázový prostor, trajektorie, stacionární body . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Autonomní systémy v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Konzervativní systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
II Aplikace 95
5 Makroekonomické modely 97
5.1 Harrodův-Domarův model ekonomického růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Solowův-Swanův neoklasický model růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Goodwinův model hospodářského cyklu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
i
ii OBSAH
6 Chemická kinetika 111
6.1 Základní reakce enzymů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Přibližné řešení transformované úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7 Lotkovy-Volterrovy systémy 121
7.1 Vztah Lotkových-Volterrových systémů a Verhulstovy logistické rovnice . . . 122
7.2 Obecné vlastnosti Lotkových-Volterrových systémů . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3 Koloběh dusíku v planktonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4 Dissipativita konkurenčních systémů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.5 Trofický řetězec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.6 Společenstvo se dvěma trofickými úrovněmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.7 Grossbergovy systémy (zobecněné Lotkovy-Volterrovy) . . . . . . . . . . . . . 138
8 Model populace produkující škodlivé odpady 141
OBSAH iii
Následující text nemůže být považován za základní zdroj nahrazující standardní učební
texty, z něhož by bylo možné se naučit problematice obyčejných diferenciálních rovnic a jejich
aplikací. Představuje pouze podrobnou osnovu předmětu M5858 nebo poznámky z přednášky;
sám o sobě bez komentářů během přednášky je málo srozumitelný až nesrozumitelný (aby byl
s komentáři srozumitelný, je mým přáním a bude mou snahou).
V současnosti se stále jedná o polotovar; v průběhu semestru bude text (doufám) doplňován.Již
v předložené podobě však určitě obsahuje i nějaké nedůslednosti, formulační nedostatky,
překlepy nebo dokonce chyby. Budu vděčný každému, kdo mě na ně upozorní.
Říjen 2015 Zdeněk Pospíšil
Jako základní studijní k předmětu M5858 lze používat:
1. J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001 (druhé vydání), 212
stran.
Teorie obyčejných diferenciálních rovnic probraná důkladněji, než je v sylabu předmětu
M5858.
2. J. Diblík, M. Růžičková: Obyčajné diferenciálne rovnice. EDIS, 2008.
Úvod do studia základů teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Podrobně jsou probírány
zejména lineární rovnice a systémy.
3. J. Kalas, Z. Pospíšil: Spojité modely v biologii. MU, Brno 2001, 265 stran.
Doplňky k teorii autonomních systémů, aplikace diferenciálních rovnic především v populační
dynamice a teorii šíření epidemií.
4. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. MU, Brno 1998, 96 stran.
Popis některých elementárních metod řešení explicitních obyčejných diferenciálních rov-
nic.
5. R. Plch: Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. MU, Brno 1995, 29
stran.
Sbírka úloh z elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních
rovnic. Je doplněna stručným popisem potřebných metod.
Jako doplňující literaturu lze doporučit
• P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney,
1964.
Klasická monografie o teorii obyčejných diferenciálních rovnic.
• J. Kaucký: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Nakladatelství
ČSAV, Praha 1952.
Popis elementárních metod řešení obyčejných diferenciálních rovnic, je obsáhlejší než
skripta 4
iv OBSAH
• E. Kamke: Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. Band I, Gewöhliche
Differentialgleichungen. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1951.
Důkladná příručka všech rovnic řešitelných elementárními metodami.
• P. N. V. Tu; Dynamical Systems: An Introduction with Applications in Economics and
Biology. Springer, 1995.
Monografie o dynamických systémech (autonomní diferenciální a diferenční rovnice)
s aplikacemi.
• N. F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer, London-Berlin-Heidelberg-New
York-Hong Kong-Milan-Paris-Tokio, 2003 (second printing).
Učebnice deterministických modelů v biologii; první tři kapitoly obsahují aplikace probírané
v rámci předmětu M5858.
• G. Gandolfo: Economic Dynamic. Springer, 2010.
Obsahuje rozmanité matematické metody použitelné v dynamickou ekonomii, nejen diferenciální
rovnice.
• R. J. Barro, X. Sala-i-Martin: Economic growth. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts-London,
England, 1999.
Obsahuje aplikace obyčejných diferenciálních rovnic v ekonomii vykládané jiným způsobem
než v předchozí monografii.
Prolog
Nejprve se podíváme na několik zjednodušených modelů nějakých reálných procesů. Na nich
potom ukážeme, čím se tento text, a tedy předmět M5858, zabývá.
Samočištění jezera
Představme si jezero, do kterého přitéká a ze kterého odtéká voda tak, že se jeho objem
nemění. Přitom proudění je dostatečně rychlé, aby voda byla stále dokonale promíchaná.
Odpařování vody z jezera a déšť mají na množství vody v jezeře zanedbatelný vliv.
V jistém okamžiku se do jezera dostane nějaké znečištění. Znečisťující látka (polutant)
je ve vodě rozpustná nebo je tvořena malými částicemi, které mají zhruba stejnou hustotu
jako voda. Za takové situace se látka v jezeře rovnoměrně rozptýlí, její koncentrace bude
v každém okamžiku konstantní a postupně se z jezera odplaví. Chceme tento proces popsat
kvantitativně.
Označme V objem jezera a v rychlost přítoku a odtoku vody; objem V budeme vyjadřovat
v objemových jednotkách (např. m3), rychlost v v objemových jednotkách za jednotku času
(např. m3 / den). Předpokládejme, že na počátku, tj. v čase t = 0, se do jezera dostal polutant
o celkové hmotnosti m; vyjádříme ji v nějakých jednotkách hmotnosti (např. g).
Dále označme x(t) koncentraci polutantu v jezeře v čase t od okamžiku znečištění; koncentraci
budeme vyjadřovat v jednotkách hmotnosti na jednotku objemu vody (tedy např.
g / m3), čas vyjadřujeme ve stejných jednotkách, k nimž je vztažena rychlost v (tedy např. ve
dnech).
Chceme znát koncentraci polutantu v libovolném čase od vzniku znečištění, hledáme tedy
neznámou funkci x nezávisle proměnné t. Koncentrace polutantu na počátku procesu je rovna
x(0) =
m
V
. (1)
Zvolme časový interval tak krátký, že se během něho koncentrace polutantu prakticky nezmění.
Označme délku tohoto časového intervalu ∆t. Za čas ∆t od okamžiku t bude množství
polutantu v jezeře rovno V x(t+∆t). Toto množství se rovná množství polutantu, které, které
bylo v jezeře v čase t, tj. V x(t), zmenšené o množství, které za časový interval délky ∆t odteklo.
Za tento interval z jezera odteče voda o objemu v∆t a v něm bylo zhruba (v∆t)x(t)
polutantu. Celkem dostáváme
V x(t + ∆t) = V x(t) − vx(t)∆t, (2)
nebo po snadné úpravě
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
=
v
V
x(t).
1
2 OBSAH
Za předpokladu, že funkce x je diferencovatelná, můžeme v této rovnosti provést limitní
přechod ∆t → 0 a dostaneme
x′
(t) =
v
V
x(t). (3)
Hledaná funkce x tedy splňuje rovnici (3), v níž je vázána hodnota neznámé funkce a její
derivace. Dále funkce splňuje podmínku (1), v níž je dána hodnota funkce x na počátku
procesu. Nyní můžeme snadno přímým výpočtem ověřit, že funkce daná předpisem
x(t) =
m
V
e− v
V
t
splňuje rovnici (3) i podmínku (1). Je to klesající funkce, pro kterou platí
lim
t→∞
x(t) = 0.
Koncentrace znečisťující látky v jezeře tedy exponenciálně klesá; v libovolném čase od znečištění
je však polutant v jezeře stále přítomný.
Růst populace
Představme si populaci nějakých organismů. Všechny jedince budeme považovat za stejné; je
tedy přiměřenější si představovat bakterie než například obratlovce. Tyto organismy jednak
umírají, jednak dávají vznik novým jedincům. Velikost populace v nějakém okamžiku, na
počátku pozorování, považujeme za známou a budeme se snažit popsat, jak se její velikost
vyvíjí v průběhu času.
Označme tedy x(t) velikost populace v čase t. Tuto velikost můžeme vyjadřovat třeba
v počtu jedinců, v počtu jedinců vztaženém k jednotkové ploše nebo objemu živného média
(tedy jako populační hustotu) a podobně. Časová jednotka může být libovolná, je však vhodné
ji volit tak, aby byla menší než délka života jedince z uvažované populace, ale řádově s ní
srovnatelná. Zvolme nyní časový interval délky ∆t tak krátký, že jedinec, který během něho
vznikl (narodil se, oddělil se od jedince rodičovského), přežije jeho konec; dobu ∆t tedy
považujeme za mnohem kratší, než je doba života jedince. Velikost populace x(t + ∆t) za
časový interval délky ∆t od okamžiku t bude rovna velikosti populace v čase t zmenšené
o uhynulé jedince a zvětšené o jedince nově vzniklé.
Je přirozené předpokládat, že že množství uhynulých jedinců za jednotku času je úměrné
velikosti populace. Koeficient úměrnosti označíme d a nazveme ho úmrtnost (death rate).
Tento koeficient lze také interpretovat, jako klasickou pravděpodobnost, že jedinec během
jednotkového intervalu zemře; platí tedy 0 < d < 1. Za časový interval délky ∆t uhyne část
populace o velikosti dx(t)∆t.
Poněvadž všechny jedince považujeme za stejné, předpokládáme také, že každý jedinec
během jednotkového času vyprodukuje stejný počet potomků. To znamená, že množství nově
vzniklých jedinců za jednotku času je úměrné velikosti populace. Příslušný koeficient úměrnosti
označíme b a nazveme porodnost (birth rate). V živé populaci nějací noví jedinci vznikají,
proto je b > 0. Velikost části populace tvořené jedinci, kteří nově vznikli v časovém intervalu
délky ∆t, vyjádříme tedy součinem bx(t)∆t.
Provedenými úvahami jsme dospěli k rovnosti
x(t + ∆t) = x(t) + bx(t)∆t − dx(t)∆t,
OBSAH 3
kterou můžeme upravit na tvar
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
= (b − d)x(t).
Budeme předpokládat, že funkce x je diferencovatelná. Tento předpoklad není realistický,
funkce x nabývá hodnot celočíselných (pokud je velikost populace vyjádřena v počtech jedinců)
nebo racionálních (pokud je velikost populace vyjádřena jako populační hustota). Pokud
je ale populace „dostatečně velká , lze diferencovatelnou funkci považovat za přijatelnou
aproximaci velikosti populace měnící se v čase. Za tohoto předpokladu v předchozí rovnosti
provedeme limitní přechod ∆t → 0 a dostaneme rovnici
x′
(t) = (b − d)x(t). (4)
Hledaná funkce tedy opět splňuje rovnici, v níž je vázána její hodnota a hodnota její derivace.
Na počátku, v čase t = 0, můžeme velikost populace považovat za známou; označíme ji x0, tj.
x(0) = x0. (5)
Opět se snadno přímým výpočtem přesvědčíme, že funkce daná předpisem
x(t) = x0e(b−d)t
splňuje rovnici (4) i podmínku (5). Tato funkce je pro b > d (porodnost větší než úmrtnost)
rostoucí, pro b < d klesající a pro b = d konstantní. Dále platí
lim
t→∞
x(t) =



∞, b > d,
x0, b = d,
0, b < d.
To znamená, že v případě b > d velikost populace exponenciálně roste nade všechny meze1.
Pokud je b < d, populace vymírá a jedině v mezním případě b = d se velikost populace
nemění, zůstává (dynamicky) stálá.
Růst populace v omezeném prostředí
Model růstu populace (4) má v případě b > d (porodnost větší než úmrtnost) řešení, které
exponenciálně roste do nekonečna. To není v konečném světě možné, populace musí narazit na
nějaké „meze růstu . Tyto meze si však nemusíme představovat jako nějakou tvrdou hranici,
na kterou populace při svém růstu narazí. Spíše se jedná o vliv prostředí, o dostupnost zdrojů,
které v něm jsou a podobně. Růst populace se tomuto prostředí nějak přizpůsobuje.
Rovnice (4) přepíšeme ve tvaru
x′(t)
x(t)
= b − d. (6)
Poněvadž derivace funkce x (velikosti populace) vyjadřuje její změnu, můžeme levou stranu
předchozí rovnosti interpretovat jako relativní změnu velikosti populace. A ta je rovna rozdílu
1
Tento výsledek zpopularizoval Thomas Malthus ve své slavné Eseji o principu populace z roku 1798.
Nezískal ho však předvedeným výpočtem, ale empiricky — vyhodnocením údajů o velikosti osídlení nových
území v Severní Americe.
4 OBSAH
porodnosti a úmrtnosti. V prostředí, které považujeme za neomezené, tj. v němž má každý
jedinec dostatek zdrojů pro svůj život a reprodukci, jsou porodnost i úmrtnost konstantní,
jedná se o vnitřní fyziologické charakteristiky populace.
V prostředí, v němž jsou některé zdroje vzácné, mohou porodnost i úmrtnost záviset na
dostupnosti těchto zdrojů. A dostupnost zdrojů závisí na velikosti populace — čím je populace
větší, tím je pravděpodobnost, že se jedinec dostane ke zdroji menší. Porodnost a úmrtnost
populace budou tedy záviset na její velikosti, b = b(x), d = d(x). Označme g(x) = b(x)−d(x).
Pak rovnice (6) přejde na tvar
x′(t)
x(t)
= g x(t) ,
neboli
x′
(t) = x(t)g x(t) . (7)
Výraz g(x) vyjadřuje relativní přírůstek populace o velikosti x. Nazývá se růstový koeficient.
Je-li populace malá, zdrojů prostředí na jedince je dostatek a jedinec má dost energie pro
reprodukci; porodnost je tedy velká. Je-li populace velká, zdrojů na jedince je málo a ten
je proto schopen vyprodukovat jen málo potomků, pokud vůbec nějaké; porodnost je malá.
Navíc velká populace produkuje mnoho zplodin svého metabolismu, tyto odpadní produkty
bývají pro jedince toxické, proto je úmrtnost velká, může být i větší než porodnost. Z těchto
úvah můžeme učinit závěr, že růstový koeficient malé populace je malý, dokonce záporný.
Přesněji řečeno, funkce g definovaná na intervalu [0, ∞) by měla mít vlastnosti
g(0) = r > 0, lim
x→∞
g(x) < 0.
Budeme-li funkci g navíc považovat za spojitou a monotonní, bude existovat taková hodnota
K > 0, že g(K) = 0 a (x − K)g(x) < 0 (funkce g je na intervalu [0, K) kladná a na intervalu
(K, ∞) záporná).
Nejjednodušší funkce, která má tyto vlastnosti je funkce lineární
g(x) = r 1 −
x
K
.
Rovnice (7) tak získá konkrétní tvar
x′
(t) = rx(t) 1 −
x(t)
K
. (8)
Přímým výpočtem se přesvědčíme, že funkce x daná předpisem
x(t) =
Kx0
x0 + (K − x0)e−rt
vyhovuje rovnici (8) i podmínce (5). Pokud je x0 < 1
2K, pak funkce x v pravém okolí nuly
roste a je konvexní. V jistém čase t1 populace dosáhne velikosti 1
2K a její růst se zpomalí, tj.
funkce x bude na intervalu (t1, ∞) konkávní.
Pokud je x0 > K, pak funkce x je konvexní a klesající. V případě x0 = K je funkce x
konstantní. V každém případě platí
lim
t→∞
x(t) = lim
t→∞
Kx0
x0 + (K − x0)e−rt
= K;
velikost populace se v průběhu času ustálí na hodnotě K, pokud tuto hodnotu nemá již od
začátku. Veličinu K můžeme nazvat kapacita nebo úživnost prostředí.
OBSAH 5
Růst majetku
Představme si naivního člověka, který má nějaký majetek v penězích. Jeho naivita se projevuje
představou, že v bance se budou jeho peníze nějak samovolně množit, proto je uloží. Úrok
(podle reklamních materiálů výhodný) je stanovován podle aktuálního ceníku banky. Budeme
chtít popsat, jak se v průběhu času hodnota uvažovaného majetku mění.
Označme proto x = x(t) velikost majetku v čase t. Ta je vyjádřena v nějaké peněžní
jednotce, čas budeme udávat v rocích. Počáteční velikost majetku označíme x0, tedy
x(0) = x0. (9)
K uložené částce banka připisuje úrok. Jeho nominální velikost se mění, je určena aktuální
situací na trhu bankovních služeb a úrokovou sazbou centrální banky, tedy výkonností ekonomiky.
Reálná velikost úroku je oproti nominální menší o inflaci a bankovní poplatky. Označme
reálnou úrokovou míru v čase t symbolem p(t). Tato veličina bývá vyjádřena v procentech za
rok. Úroková míra se nemění plynule, k její změně dochází jen v určitých časových okamžicích.
Proto budeme funkci p nezávisle proměnné t považovat za funkci po částech konstantní. V bodech
skoku funkce r nemusí být definována, z technických důvodů ji však budeme definovat
tak, aby byla spojitá zprava v každém bodě svého definičního oboru, tj. intervalu [0, ∞).
Po uplynutí časového intervalu s levým krajním bodem t, který má délku ∆t tak malou,
že se v jeho průběhu úroková míra nezmění, bude hodnota majetku rovna její hodnotě na
začátku tohoto intervalu změněná o hodnotu reálného (nikoliv připsaného) úroku za tento
časový interval, tj.
x(t + ∆t) = x(t) +
p(t)
100
x(t)∆t.
Tuto rovnost upravíme na tvar
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
= 1
100p(t)x(t)
a provedeme limitní přechod ∆t → 0. Dostaneme rovnici
x′
(t) = 1
100p(t)x(t), (10)
v níž je vázána hodnota derivace hledané funkce x a hodnota této funkce.
Přímým výpočtem se snadno přesvědčíme, že funkce x splňující rovnici (10) a podmínku
(9) je dána výrazem
x(t) = x0e
1
100
t
0
p(τ)dτ
.
Ještě poznamenejme, že funkce po částech spojitá je integrabilní a tedy funkce x je zadána
korektně.
Z vyjádření majetku x v čase t od začátku (od uložení do banky) vidíme, že za tento čas
se majetek zvětší, resp. zmenší, pokud platí nerovnost
t
0
p(τ)dτ > 0, resp.
t
0
p(τ)dτ < 0,
tj. pokud nominální úroková míra je v průběhu času převážně větší, resp. menší, než inflace
a poplatky; v reálné ekonomice patrně nastane druhý případ.
6 OBSAH
Chladnutí kávy
V místnosti je pokojová teplota. Uvaříme si kávu a nalijeme ji do hrnku, nebo v hrnku zalijeme
mletou kávu vroucí vodou. Hrnek má tepelně izolované stěny i dno, neprobíhá přes ně žádná
výměna tepla. Hrnek nemá žádnou pokličku, hladina kávy není od okolního prostředí nijak
izolovaná. Za takové situace lze očekávat, že káva v hrnku bude chladnout. Navíc teplá káva (a
kapalina obecně) má menší hustotu, než chladná a to znamená, že ochlazená káva od hladiny
klesá a teplá káva ze dna stoupá k hladině. Tímto procesem se káva v hrnku promíchává,
takže její teplotu můžeme považovat za stejnou v celém objemu.
Chceme popsat vývoj teploty kávy v průběhu času. Za tímto účelem označíme x = x(t)
teplotu kávy v čase t; čas je vhodné uvádět v minutách, teplotu ve stupních Celsia. Teplotu
v místnosti označíme T a také ji budeme uvádět ve ◦C. Výměna tepla mezi kávou a prostředím
probíhá přes hladinu. Označíme její obsah S; můžeme ho vyjádřit v cm2.
Experimentálně byl ověřen Newtonův zákon chladnutí: zmenšení teploty za krátký časový
interval je úměrné rozdílu teplot, obsahu plochy přes kterou výměna tepla probíhá a času, po
který chladnutí probíhá. Příslušný koeficient označíme κ; při zvolených jednotkách bude mít
rozměr cm−2min−1. Označíme-li délku časového intervalu ∆t, bude mít tento zákon tvar
x(t + ∆t) − x(t) = κS x(t) − T ∆t.
Po vydělení výrazem ∆t a limitním přechodu ∆t → 0 dostaneme rovnici
x′
(t) = κS x(t) − T . (11)
Opět se jedná o rovnici vyjadřující vztah funkční hodnoty a derivace hledané funkce.
Na začátku děje byla káva vařící, její teplota byla 100◦C, tj.
x(0) = 100. (12)
Přímým výpočtem se můžeme přesvědčit, že funkce daná předpisem
x(t) = T + (100 − T)e−κSt
vyhovuje rovnici (11) i podmínce (12). Jedná se o funkci, která exponenciálně klesá od hodnoty
100◦C k pokojové teplotě T. Teplota kávy se „velice rychle vyrovnává s teplotou místnosti,
v konečném čase ale až na tuto teploty neklesne.
Dynamika mezd a zaměstnanosti
Richard M. Goodwin sestavil ve druhé polovině šedesátých let minulého století matematický
model třídního boje. S použitím méně ideologické terminologie se jedná o model časového
vývoje mezd a zaměstnanosti, ve kterém lze pozorovat vznik hospodářských cyklů. Jeho podrobné
odvození bude uvedeno v 5.3, zde pouze naznačíme výsledek.
Jedna makroekonomická charakteristika, která v modelu vystupuje je relativní zaměstnanost
l (práce, labor) vyjádřená jako podíl zaměstnaných v celkovém množství práceschopného
obyvatelstva; jedná se tedy o bezrozměrnou veličinu. Druhá je průměrná mzda w (wage) vyjádřená
v peněžních jednotkách. Obě tyto veličiny se v čase mění, tedy l = l(t), w = w(t);
tyto funkce budeme považovat za diferencovatelné. Časová změna zaměstnanosti mezd je pak
vyjádřena jako derivace těchto funkcí.
OBSAH 7
Jedním „ekonomickým zákonem je skutečnost, že při vysoké mzdě (tj. při vysoké garantované
minimální mzdě) zaměstnanost klesá (zaměstnavatelům se nevyplatí zaměstnávat
drahé pracovníky); naopak, při nízké průměrné mzdě zaměstnanost roste. Odtud plyne, že
existuje nějaká „rovnovážná úroveň mezd, při níž se zaměstnanost nemění. Tuto myšlenku
vyjádříme přesněji.
Za „změnu zaměstnanosti budeme považovat relativní změnu zaměstnanosti l, tedy hodnotu
l′(t)/l(t). Její pokles s růstem hladiny mezd budeme specifikovat zjednodušujícím předpokladem,
že tato hodnota závisí na průměrné mzdě lineárně, přičemž tato lineární funkce je
klesající, tedy
l′(t)
l(t)
= γ − σw(t), (13)
kde γ a σ jsou kladné parametry; σ vyjadřuje „citlivost změny zaměstnanosti na růst mezd,
γ vyjadřuje relativní růst zaměstnanosti při hypoteticky nulové mzdě. Parametr γ má rozměr
1/čas, parametr σ má rozměr 1/(čas · peněžní jednotka), hodnota γ/σ je „rovnovážná
hladina mezd.
William Phillips na základě údajů o nominální mzdě a zaměstnanosti v Británii v letech
1861–1957 vypozoroval závislost změny průměrné mzdy na zaměstnanosti; tato závislost není
lineární, je vyjádřena známou Phillipsovou křivkou. S rostoucí zaměstnaností roste mzda (pokud
chce hospodář při téměř úplné zaměstnanosti najít mezi práceschopným obyvatelstvem
nějakého práceochotného, musí ho přeplatit), naopak při malé zaměstnanosti mzda klesá (mezi
hladovějícími nezaměstnanými jsou lidé ochotní pracovat za alespoň nějakou mzdu). Přesněji,
za změnu mzdy budeme považovat změnu relativní a vyjádříme ji rovností
w′(t)
w(t)
= ϕ l(t) − α, (14)
kde ϕ je rostoucí spojitá funkce definovaná na intervalu (0, 1), která má vlastnost
lim
l→0+
ϕ(l) < 0, lim
l→1−
ϕ(l) > 0;
limity připouštíme i nevlastní. Parametr α vyjadřuje hodnotu Phillipsovy křivky při „rovnovážné
úrovni mezd. Veličiny α i ϕ mají rozměr „čas−1 .
Rovnice (13) a (14) můžeme přepsat ve tvaru systému
l′(t) = l(t) γ − σw(t) ,
w′(t) = w(t) ϕ (l(t) − α ,
(15)
v němž jsou vzájemně provázány hodnoty derivace neznámých funkcí l, w a jejich funkční
hodnoty.
Zákon síly
Isaac Newton definoval sílu pomocí jejího účinku na pohyb tělesa, její velikost zavedl jako
součin hmotnosti tělesa a uděleného zrychlení. Tento postulát budeme precizovat pro velice
jednoduchou situaci. Místo tělesa si budeme představovat abstraktní „hmotný bod , tj. těleso
o stejné nenulové hmotnosti m ale o nulovém objemu. Dále si budeme představovat, že tento
hmotný bod se může pohybovat pouze po přímce. Tuto přímku prohlásíme za souřadnou
osu, tj. zvolíme na ní počátek a orientaci. Polohu hmotného bodu pak vyjádříme jako jeho
8 OBSAH
souřadnici x; přitom je x reálné číslo. Poněvadž hmotný bod se pohybuje, jeho poloha je
v každém okamžiku jiná, souřadnice závisí na čase, x = x(t). Rychlost pohybu je ve fyzice
definována jako relativní změna polohy vztažená k času. Změnu polohy za krátký časový
interval délky ∆t vyjádříme rozdílem x(t + ∆t) − x(t), tedy rychlost v uvažovaném časovém
intervalu je zhruba rovna
v(t) ≈
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
a v limitě ∆t → 0 dostaneme přesně v(t) = x′(t).
Zrychlení je analogicky definováno jako relativní změna rychlosti vzhledem k času, tedy
zrychlení v uvažovaném krátkém časovém intervalu je zhruba rovno
a(t) ≈
v(t + ∆t) − v(t)
∆t
a v limitě ∆t → 0 přesně a(t) = x′′(t).
Na hmotný bod působí síla F, která nemusí být stejná v každém místě. Její velikost tedy
závisí na poloze, tj. na souřadnici bodu, F = F(x) nebo podrobněji F = F x(t) . Postulovaný
vztah mezi hmotností m hmotného bodu, jeho zrychlením a a působící silou F je
F = ma,
se zahrnutím času
F x(t) = ma(t) = mx′′
(t),
takže
x′′
(t) =
1
m
F x(t) . (16)
Časově proměnná poloha bodu tedy splňuje rovnici, v níž je vázána její hodnota a hodnota
její druhé derivace.
Shrnutí
Všechny matematické modely, které jsme výše sestavili, měly dvě společné vlastnosti:
• Ve všech jsme předpokládali, že čas plyne spojitě, je neomezeně dělitelný. Techničtěji
vyjádřeno, časový okamžik t je prvkem intervalem [0, ∞) ⊆ R a je možné provádět
limitní přechod ∆t → 0; přitom ∆t reprezentuje časový krok, délku krátkého časového
intervalu. Okamžik t = 0 v modelech označoval začátek procesu a v tomto okamžiku
většinou byl znám stav procesu (1), (5), (9), (12); výjimkou jsou poslední dva modely,
u kterých jsme však nenašli (ani nehledali) žádné řešení.
• Modelovaný proces byl vyjádřen nebo aproximován nějakou diferencovatelnou funkcí
času x = x(t) (v případě modelu změn mezd a zaměstnanosti dvojicí diferencovatelných
funkcí l = l(t), w = w(t)). Model představovala rovnice (nebo soustava rovnic) ve které
byla vázána hodnota derivace hledané funkce (hledaných funkcí) podle času v jednom
časovém okamžiku a její funkční hodnota v témže okamžiku; v modelech (3), (4), (7),
(8), (10), (11), (15) byla derivace první, v modelu (16) druhá.
OBSAH 9
Rovnice, v nichž vystupuje neznámá funkce jedné reálné proměnné a její derivace, se
nazývají diferenciální, podrobněji obyčejné diferenciální rovnice. Budou základním objektem,
kterým se budeme zabývat. Jak ukazuje ekonomický model (15) nevystačíme s jednou rovnicí,
a jak ukazuje fyzikální model (16) můžeme potřebovat i vyšší derivace, než první.
Název „diferenciální rovnice má původ v tradiční symbolice. Např. rovnici (2) můžeme
přepsat ve tvaru
V x(t + ∆t) − x(t) = −vx(t)∆t,
neboli
V ∆x(t) = −vx(t)∆t,
v níž vystupuje konečný přírůstek hledané funkce x a přírůstek nezávisle proměnné t. Pokud
přírůstky budeme považovat za infinitesimální, tj. za „nekonečně malé , poslední rovnice
dostane tvar
V dx(t) = −vx(t)dt,
což je rovnice, v níž vystupují diferenciály dx a dt hledané funkce a její nezávisle proměnné.
Ještě můžeme připomenout, že obyčejnou derivaci v tradiční symbolice zapisujeme
x′
(t) =
dx
dt
(t) nebo stručně x′
=
dx
dt
;
tento způsob zápisu je výhodný zejména v situacích, kdy ve formulích vystupuje hledaná
funkce x, nikoliv její funkční hodnota x(t) (což bude často), nezávisle proměnná v nich není
explicitně uvedena, a přitom potřebujeme nějak označit nezávisle proměnnou.
Máme-li diferenciální rovnici, chceme znát její řešení, nejlépe v explicitním tvaru. Pro
rovnice (3), (4), (8), (10) a (11) jsme takové řešení napsali. Hledání explicitních řešení diferenciálních
rovnic je věnována kapitola 1.2.
Řešení v explicitním tvaru však nelze nalézt vždy, u systémů rovnic jsou dokonce explicitní
řešení dosti vzácná. V takovém případě chceme alespoň znát, zda řešení dané nebo sestavené
rovnice existuje, zda je jediné nebo jich je víc, případně na jakém intervalu je řešení definováno.
Pokud rovnice má modelovat nějaký skutečný proces, nemůžeme znát úplně přesně hodnoty
všech parametrů rovnice, stav procesu na počátku a podobně. V takovém případě je dobré
vědět, zda drobná chyba v parametrech nebo počáteční podmínce řešení neznehodnotí. O této
problematice pojednává kapitola 2.
V obecném modelu růstu populace v omezeném prostředí (7) neznáme konkrétní tvar
pravé strany, postulujeme jen nějaké vlastnosti funkce g. Podobně u ekonomického modelu
(15) také neznáme přesný tvar pravé strany druhé rovnice, známe jen nějaké vlastnosti funkce
ϕ, která na ní vystupuje. A přesto potřebujeme i v těchto případech něco o průběhu řešení
vědět. Nelze očekávat, že z „neurčité rovnice získáme přesné kvantitativní informace, ale
můžeme se dozvědět alespoň nějaké vlastnosti řešení vyjádřené kvalitativně, např. zda je
funkce x rostoucí, klesající, ohraničená, má limitu v nevlastním bodě a podobně. Některé
základní poznatky z kvalitativní teorie diferenciálních rovnic jsou uvedeny v kapitole 4.
Podívejme se ještě jednou na rovnice (3), (4), (10) a (11). Všechny čtyři lze zapsat v jednotném
tvaru
x′
(t) = a(t)x(t) + c(t); (17)
v rovnici (3) je funkce a(t) ≡ r/V , v rovnici (4) je a(t) ≡ b−d, v rovnici (10) je a(t) = 1
100 p(t) a
v rovnici (11) je a(t) ≡ κS, v rovnici (11) je c(t) ≡ κST, v rovnicích (3), (4) a (10) je c(t) ≡ 0.
Rovnice tvaru (17) se nazývají lineární. V rovnici (11) člen c(t) = κST vyjadřoval vliv
10 OBSAH
okolního prostředí na popisovaný proces (teplotu místnosti, v níž probíhá chladnutí kávy), ve
zbývajících modelech jsme žádné „okolí popisovaného procesu neuvažovali. Proto se lineární
rovnice s c ≡ 0 nazývají homogenní (stejnorodé; celý proces se „rodí z jednoho „zdroje , nic
ho neovlivňuje), rovnice s nenulovým členem c se nazývá nehomogenní.
Ve všech uvedených řešeních se vyskytovala přirozená exponenciální funkce. Později uvidíme,
že množina řešení lineární rovnice (nebo systému lineárních rovnic) má také „pěkné
algebraické vlastnosti — může tvořit konečněrozměrný vektorový prostor. Navíc se lineární
rovnice často vyskytují v aplikacích, nebo bývají prvním přiblížením se k modelu zkoumaného
procesu. Z těchto důvodů se lineárními rovnicemi zabývá samostatná kapitola 3.
Část I
Obyčejné diferenciální rovnice
11
Kapitola 1
Základní pojmy
1.1 Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu
Převážně budeme pracovat s reálnými funkcemi jedné reálné proměnné, kterou označíme t.
Je-li x : R → R, budeme psát x = x(t) nebo x = x( · ). Obyčejnou derivaci funkce x v bodě t
(v čase t) značíme x′(t) nebo jako podíl diferenciálů, tedy
x′
(t) =
dx(t)
dt
.
Zápis x′ =
dx
dt
označuje derivaci funkce x v obecném bodě. Můžeme tedy psát ′ =
d
dt
a obecně
pro n-tou derivaci
x(n)
=
dnx
dtn
nebo stručně (n) =
dn
dtn
.
Diferenciální rovnice (podrobněji obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu) je rovnice,
v níž vystupuje neznámá funkce x = x(t), její první derivace x′ = x′(t) a hodnota nezávisle
proměnné t, tedy
F(t, x, x′
) = 0,
kde F je nějaká funkce tří proměnných. Řešením rovnice je funkce x, která ji splňuje; podrobněji
diferencovatelná funkce x definovaná na nějakém intervalu J, přičemž pro každé t ∈ J je
t, x(t), x′(t) v definičním oboru funkce F a platí F t, x(t), x′(t) = 0.
Uvedená rovnice se nazývá implicitní nebo nerozřešená vzhledem k derivaci. Pokud se
podaří derivaci x′ z rovnice vyjádřit, dostaneme explicitní rovnici nebo rovnici rozřešenou
vzhledem k derivaci.
Definice 1. Buď G ⊆ R2 množina s neprázdným vnitřkem, f : G → R. Rovnice
x′
= f(t, x) (1.1)
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu rozřešená vzhledem k derivaci.
Řešením této rovnice se rozumí diferencovatelná funkce x : J → R, kde J ⊆ R je nedegenerovaný
interval, která splňuje podmínky
t, x(t) ∈ G, x′
(t) = f t, x(t) pro každé t ∈ J;
13
14 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
pokud některý krajní bod patří do intervalu J, je v podmínkách příslušná jednostranná deri-
vace.
Graf řešení rovnice (1.1) se nazývá integrální křivka.
Příklad: G = {(t, x) ∈ R2 : t = 0}, f(t, x) =
x
t
.
Funkce x(t) = Ct, kde C ∈ R je řešením rovnice
x′
=
x
t
(1.2)
na intervalu J = (0, ∞) nebo na intervalu ˜J = (−∞, 0). Tato funkce však není řešením
rovnice na sjednocení intervalů J a ˜J (poněvadž to není interval), ani na intervalu (−∞, ∞)
(poněvadž bod 0, x(0) = (0, 0) není prvkem množiny G).
Předchozí příklad ukazuje, že diferenciální rovnice může mít více řešení.
Definice 2. Nechť G, f mají stejný význam jako v definici 1 a nechť (t0, x0) ∈ G je libovolný
bod. Úloha najít řešení rovnice (1.1), které splňuje podmínku
x(t0) = x0 (1.3)
se nazývá počáteční nebo Cauchyova úloha, podmínka (1.3) se nazývá počáteční nebo Cauchyova
podmínka.
Definice 3. Nechť x = x(t) je řešením úlohy (1.1), (1.3) na intervalu J a ˜x = ˜x(t) je řešením
úlohy (1.1), (1.3) na intervalu ˜J, t0 ∈ J ∩ ˜J. Jestliže ˜J ⊆ J a pro každé t ∈ ˜J je x(t) = ˜x(t),
řekneme, že řešení x = x(t) je prodloužením řešení ˜x = ˜x(t) a že řešení ˜x = ˜x(t) je zúžením
(restrikcí) řešení x = x(t). Jestliže řešení x = x(t) úlohy (1.1), (1.3) není zúžením žádného
jiného řešení této úlohy, řekneme, že x = x(t) je úplným (neprodlužitelným) řešením úlohy
(1.1), (1.3).
V dalším budeme pod pojmem „řešení rozumět úplné řešení.
Příklad: Nechť t0 = 0, x0 ∈ R. Funkce x(t) =
x0
t0
t je řešením úlohy
x′
=
x
t
, x(t0) = x0. (1.4)
Toto řešení je definováno na intervalu
J =
(0, ∞), t0 > 0,
(−∞, 0), t0 < 0.
Definice 4. Nechť g = g(t, C) je funkce dvou proměnných taková, že ke každému (t0, x0) ∈ G
existuje C0 ∈ R takové, že funkce x = x(t) = g(t, C0) je řešením počáteční úlohy (1.1), (1.3).
Pak se funkce g nazývá obecné řešení rovnice (1.1).
Řešení počáteční úlohy (1.1), (1.3) se nazývá partikulární řešení rovnice (1.1).
1.1. OBYČEJNÁ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU 15
Proměnnou t funkce g v předchozí definici považujeme za nezávisle proměnnou reálné
funkce g( · , C) jedné reálné proměnné; proměnnou C považujeme za parametr.
Příklad: Uvažujme rovnici (1.2), jejíž pravá strana je stejně jako v prvním příkladu definována
na množině G = (t, x) ∈ R2 : t = 0 . Množina všech jejích řešení je
{x : (0, ∞) → R : x(t) = Ct, C ∈ R} ∪ {x : (−∞, 0) → R : x(t) = Ct, C ∈ R} .
Abychom našli obecné řešení rovnice (1.2), zúžíme definiční obor její pravé strany, konkrétně,
budeme ji uvažovat definovanou na množině ˜G = (t, x) ∈ R2 : t > 0 . Pak funkce g definovaná
na množině ˜G předpisem g(t, C) = Ct je jejím obecným řešením.
Množina funkcí g( · , C) takových, že C ∈ R a g je obecné řešení rovnice (1.1) nemusí
obsahovat všechna řešení této rovnice.
Definice 5. Nechť M je množina všech řešení rovnice (1.1), g je obecné řešení této rovnice
a N je množina funkcí jedné proměnné definovaná jako
N = {g( · , C) : C ∈ R} .
Řešení x∗ ∈ M N rovnice (1.1) definované na intervalu J a takové, že ke každému t0 ∈ J
existuje C0 ∈ R, že g(t0, C0) = x∗(t0), se nazývá singulární.
Řešení ˜x ∈ M N rovnice (1.1) které není singulární, se nazývá výjimečné.
Příklad: Nechť G = {(t, x) : t ∈ R, x ≥ 0}, f(t, x) = 2
√
x. Funkce g definovaná předpisem
g(t, C) =
0, t < C,
(t − C)2, t ≥ C
je obecným řešením rovnice
x′
= 2
√
x. (1.5)
Vskutku,
dg(t, C)
dt
=
0, t < C,
2(t − C), t ≥ C,
2 g(t, C) =
0, t < C,
2|t − C|, t ≥ C
=
0, t < C,
2(t − C), t ≥ C,
takže každá z funkcí g( · , C) je řešením rovnice (1.5). Pro C = t0 −
√
x0 platí t0 ≥ C, tedy
g(t0, t0 −
√
x0) = (t0 − t0 +
√
x0)2 = x0 při libovolných hodnotách t0 ∈ R a x0 ≥ 0.
Konstantní funkce x∗, x∗(t) = 0 je evidentně také řešením rovnice (1.5). Pro libovolné
t0 ∈ R platí x∗(t0) = 0 = g(t, t0), takže x∗ je singulárním řešením této rovnice.
16 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
1.1.1 Geometrická interpretace diferenciální rovnice
Rovnice (1.1) přiřazuje každému bodu z G právě jednu hodnotu x′ = f(t, x), tedy každému
bodu (t0, x0) ∈ G lze přiřadit směrový vektor tečny k integrální křivce v bodě (t0, x0), tj.
přímky x − x0 = f(t0, x0)(t − t0). Tento vektor má souřadnice 1, f(t0, x0) . To znamená, že
rovnice (1.1) definuje na G vektorové pole1. Toto pole se nazývá směrové pole rovnice (1.1).
Každá integrální křivka rovnice (1.1) je vektorovou čárou2 směrového pole. Směrové pole
tedy poskytuje představu o průběhu řešení rovnice (1.1).
Vrstevnice funkce f, (tj. křivky zadané rovnicí f(t, x) = c) se nazývají izokliny rovnice
(1.1). Jsou to křivky, na nichž mají vektory ze směrového pole stejný směr.
1.1.2 Poznámka k terminologii a symbolice
Dosud jsme důsledně značili hledanou funkci symbolem x a její nezávisle proměnnou symbolem
t; v dynamických modelech totiž nezávisle proměnná bývá interpretována jako čas
(latinsky tempus). Někdy, zejména v geometrických aplikacích, může být užitečné značit tradičně
nezávisle proměnnou symbolem x a závisle proměnnou, tj. hledanou funkci, symbolem
y. V takovém případě rovnici (1.1) zapíšeme jako
y′
= f(x, y); přitom ′
=
d
dx
.
Rovnice (1.1) se nazývá diferenciální, přestože v ní vystupují jen nezávisle proměnná, hledaná
funkce a její derivace, nikoliv diferenciál. Terminologie je ale ospravedlněna skutečností,
že derivaci můžeme zapsat jako podíl diferenciálů a rovnici (1.1) přepsat do tvaru
dx
dt
= f(t, x).
Formálně můžeme diferenciální rovnici také zapsat jako rovnici, v níž se vyskytují závisle a
nezávisle proměnná a jejich diferenciály, tedy ve tvaru
Φ(t, x, dt, dx) = 0
nebo při jiném označení proměnných jako
Φ(x, y, dx, dy) = 0. (1.6)
Z posledního zápisu není úplně jasné, která z veličin x a y je nezávisle a která závisle proměnná.
To někdy nemusí být nedostatek, ale výhoda.
S rovnicí tvaru (1.6) je také spojena Cauchyova úloha – najít řešení této rovnice, jehož
graf (integrální křivka) prochází daným bodem (x0, y0). Tuto podmínku můžeme zapsat v některém
z tvarů
y(x0) = y0, nebo x(y0) = x0. (1.7)
1
Vektorové pole na množině G je zobrazení ϕ množiny G do (konečně rozměrného reálného) vektorového
prostoru, tj. ϕ : G → Rn
; v našem případě je n = 2.
2
Vektorová čára vektorového pole ϕ : G → R2
je křivka v Rn
taková, že vektor ϕ(t, x) je tečným vektorem
k této křivce v bodě (t, x).
1.2. ELEMENTÁRNÍ METODY ŘEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 17
1.2 Elementární metody řešení diferenciální rovnice
Slovním spojením „řešit diferenciální rovnici elementárními metodami rozumíme: „úlohu
najít řešení diferenciální rovnice převedeme na nějakou jinou – jednodušší – úlohu . Přitom
za „jednodušší úlohu považujeme takovou, která se objevuje v kursu matematické analýzy
před probíráním diferenciálních rovnic. Často jde o výpočet integrálů, proto se elementárním
metodám řešení také říkává „řešení v kvadraturách .
Při řešení diferenciálních rovnic elementárními metodami bývá užitečné rovnice zapisovat
ve tvaru (1.6) s diferenciály.
1.2.1 Exaktní rovnice
Jedná se o diferenciální rovnici ve tvaru
f(x, y)dx + g(x, y)dy = 0, (1.8)
kde funkce f a g splňují identitu
∂f
∂y
(x, y) =
∂g
∂x
(x, y). (1.9)
Výraz na levé straně rovnice (1.8) je za předpokladu (1.9) totálním diferenciálem3 nějaké
kmenové funkce F. Připomeňme si, že kmenová funkce splňuje podmínky
∂F
∂x
(x, y) = f(x, y),
∂F
∂y
(x, y) = g(x, y). (1.10)
Je-li F kmenovou funkcí diferenciálu na levé straně rovnice (1.8), pak rovnost
F(x, y) = c,
kde c je reálná konstanta, je implicitním vyjádřením řešení rovnice (1.8). O tom se snadno
přesvědčíme přímým dosazením.
Hledání řešení rovnice (1.8) jsme tedy převedli na problém hledání kmenové funkce diferenciálu
a na vyšetřování implicitně zadané funkce.
Spolu s rovnicí (1.8) uvažujme Cauchyovu podmínku (1.7). Bod (x0, y0) musí samozřejmě
ležet v průniku definičních oborů funkcí f a g. Budeme hledat takovou kmenovou funkci F,
pro niž platí F(x0, y0) = 0.
První z podmínek (1.10) splňuje funkce F daná předpisem
F(x, y) =
x
x0
f(ξ, y)dξ + ϕ(y), (1.11)
kde ϕ je nějaká diferencovatelná funkce, pro niž platí ϕ(x0) = 0. Aby byla splněna druhá
z podmínek (1.10), musí platit
∂
∂y
x
x0
f(ξ, y)dξ + ϕ′
(y) = g(x, y) ;
3
Viz např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, kap. 4
18 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
symbol ′ nyní označuje obyčejnou derivaci podle proměnné y. Z předchozí rovnosti a podmínky
ϕ(y0) = 0 plyne
ϕ(y) =
y
y0

g(x, η) −
∂
∂η
x
x0
f(ξ, η)dξ

 dη =
y
y0
g(x, η)dη −
x
x0
f(ξ, y)dξ +
x
x0
f(ξ, y0)dξ.
Dosazením do rovnosti (1.11) dostaneme hledanou kmenovou funkci F. Řešení Cauchyovy
úlohy (1.8), (1.7) je tedy implicitně dáno rovností
x
x0
f(ξ, y0)dξ +
y
y0
g(x, η)dη = 0.
Analogickým postupem můžeme najít řešení úlohy (1.8), (1.7) v implicitním tvaru
x
x0
f(ξ, y)dξ +
y
y0
g(x0, η)dη = 0.
Hledání řešení rovnice Cauchyovy úlohy (1.8), (1.7) jsme tedy převedli na problém výpočtu
integrálů a na vyšetřování implicitně zadané funkce.
Speciální případ: rovnice se separovanými proměnnými.
Rovnice tvaru
f(x)dx + g(y)dy = 0,
v níž funkce f a g jsou funkcemi právě jedné proměnné, je evidentně exaktní.
1.2.2 Rovnice na rovnici exaktní transformovatelné
Některé speciální rovnice lze vhodnou substitucí nebo úpravou (případně kombinací obou
postupů) na rovnici exaktní převést. Jedná se zejména o následující typy rovnic:
(i) Rovnice homogenní.
Nejprve připomeneme definici: Funkce h : R2 → R se nazývá homogenní řádu k, pokud
pro každou reálnou konstantu κ platí h(κx, κy) = κkh(x, y).
Homogenní diferenciální rovnice je rovnice tvaru (1.8), v níž obě funkce f a g jsou
homogenní stejného řádu. Takovou rovnici můžeme upravit na tvar
xk
f 1,
y
x
dx + xk
g 1,
y
x
dy = 0
a po vydělení výrazem xk dostaneme
f 1,
y
x
dx + g 1,
y
x
dy = 0. (1.12)
Odtud (formálně) plyne
dy
dx
= −
f 1,
y
x
g 1,
y
x
.
Dále zavedeme substituci
u =
y
x
. (1.13)
1.2. ELEMENTÁRNÍ METODY ŘEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 19
Pak
dy
dx
= −
f(1, u)
g(1, u)
a dále
du
dx
=
x
dy
dx
− y
x2
=
1
x
dy
dx
−
y
x
= −
1
x
f(1, u)
g(1, u)
+ u .
Z této rovnosti dostaneme
1
x
dx +
g(1, u)
f(1, u) + ug(1, u)
du = 0,
což je rovnice se separovanými proměnnými, tedy speciální případ rovnice exaktní.
Ještě poznamenejme, že při označení ϕ(ξ) = f(1, ξ) a ψ(ξ) = g(1, ξ) můžeme rovnici
(1.12) přepsat na tvar
ϕ
y
x
dx + ψ
y
x
dy = 0;
takové rovnici říkáme homogenní v užším smyslu.
(ii) Rovnice typu
f
ax + by + c
αx + βy + γ
dx + g
ax + by + c
αx + βy + γ
dy = 0. (1.14)
Rozlišíme tři případy:
1. c = γ = 0. Označíme
F(x, y) = f
ax + by
αx + βy
, G(x, y) = g
ax + by
αx + βy
a rovnici přepíšeme jako
F(x, y)dx + G(x, y)dy = 0.
Přitom platí
F(κx, κy) = f
aκx + bκy
ακx + βκy
= f
ax + by
αx + βy
= F(x, y)
a stejným výpočtem G(κx, κy) = G(x, y). Obě funkce F a G jsou homogenní řádu
nula. Rovnice (1.14) je v tomto případě homogenní a můžeme ji řešit substitucí
(1.13).
2. α = β = 0. V tomto případě zavedeme substituci
u =
ax + by + c
γ
,
takže rovnici přepíšeme ve tvaru
f(u)dx + g(u)dy = 0
a z ní vyjádříme
dy
dx
= −
f(u)
g(u)
. Dále platí
du
dx
=
1
γ
a + b
dy
dx
=
1
γ
a − b
f(u)
g(u)
=
ag(u) − bf(u)
γg(u)
,
20 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
takže daná rovnice se transformuje na tvar
dx +
γg(u)
ag(u) − bf(u)
du = 0,
což je rovnice se separovanými proměnnými.
3. c2 + γ2 = 0 = α2 + β2. Nejprve výraz
ax + by + c
αx + βy + γ
upravíme.
Pokud α = 0, dostaneme
ax + by + c
αx + βy + γ
=
1
α
a +
(αb − aβ)y + αc − aγ
αx + βy + γ
,
pokud β = 0, dostaneme
ax + by + c
αx + βy + γ
=
1
β
b −
(αb − aβ)y + γb − βc
αx + βy + γ
.
Nyní mohou nastat dvě možnosti:
• αb − aβ = 0. Z předchozího výpočtu pak vidíme, že rovnice je stejného typu,
jako v případě 2.
• αb−aβ = 0. Za tohoto předpokladu existuje jednoznačné řešení m, n soustavy
algebraických lineárních rovnic
am + bn = c,
αm + βn = γ.
S využitím tohoto řešení zavedeme substituce
ξ = x + m, η = y + n. (1.15)
pak dξ = dx,dy = dη a
ax + by + c
αx + βy + γ
=
a(ξ − m) + b(η − n) + c
α(ξ − m) + β(η − n) + γ
=
=
aξ + bη − (am + bn) + c
αξ + βη − (am + bn) + γ
=
aξ + bη
αξ + βη
.
To znamená, že substituce (1.15) převede rovnici (1.14) na rovnici stejného
typu, jaký je v případě 1.
(iii) Rovnice lineární
dy
dx
= a(x)y + b(x),
kde a, b jsou nějaké integrabilní funkce jedné proměnné. Tuto rovnici můžeme přepsat
ve tvaru
a(x)y + b(x) dx − dy = 0. (1.16)
Vynásobíme ji výrazem
e− a(x)dx
,
1.3. VEKTOROVÉ A MATICOVÉ FUNKCE 21
kterému říkáme integrační faktor. Dostaneme
a(x)y + b(x) e− a(x)dx
dx − e− a(x)dx
dy = 0. (1.17)
Poněvadž integrační faktor je nenulový (dokonce kladný), je tato rovnice ekvivalentní
s danou rovnicí (1.16). Platí
∂
∂y
a(x)y + b(x) e− a(x)dx
= a(x)e− a(x)dx
,
∂
∂x
−e− a(x)dx
= −e− a(x)dx
− a(x) ,
takže rovnice (1.17) je exaktní.
(iv) Rovnice Bernoulliova
dy
dx
= a(x)y + b(x)yr
,
kde r je nějaká nenulová reálná konstanta.
Zavedeme substituci
u = y1−r
.
Pak
du
dx
= (1 − r)y−r dy
dx
= (1 − r)y−r
a(x)y + b(x)yr
= (1 − r) a(x)y1−r
+ b(x) .
Bernoulliova rovnice se tedy transformuje na rovnici
du
dx
= (1 − r)a(x)u + (1 − r)b(x),
což je rovnice lineární.
1.3 Vektorové a maticové funkce
Reálný n-rozměrný vektor x je prvkem prostoru Rn. Složky (standardní souřadnice) vektoru
x budeme značit x1, x2, . . . , xn nebo (x)1, (x)2, . . . , (x)n.
Matice A o m řádcích a n sloupcích je prvkem prostoru Rmn. Její složku na i-tém řádku
a v j-tém sloupci budeme značit aij nebo (A)ij. Vektor z prostoru Rn budeme chápat jako
matici o n řádcích a jednom sloupci.
Je-li tedy x ∈ Rn a A ∈ Rmn, můžeme psát
x =





x1
x2
...
xn





, (x)i = xi, A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





, (A)ij = aij, (Ax)i =
n
k=1
aikxk.
22 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
1.3.1 Normy vektorů a matic
Normu vektoru x =





x1
x2
...
xn





, podrobněji vektorovou 1-normu nebo součtovou normu definujeme
předpisem
||x|| = ||x||1 =
n
i=1
|xi|.
Normu matice A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





, podrobněji maticovou 1-normu nebo součtovou
normu definujeme předpisem
||A|| = ||A||1 =
m
i=1
n
j=1
|aij|.
Na množině vektorů zavádíme metriku ̺(x, y) = ||x − y||, na množině matic zavádíme metriku
̺(A, B) = ||A − B||. Jedná se o součtovou neboli taxíkářskou metrikou, sr. Z. Došlá, O. Došlý:
Metrické prostory. MU, Brno 1996, I.1.1.2.iii.
• Platí: ||Ax|| ≤ ||A|| ||x||. Této vlastnosti se říká, že maticová norma je souhlasná s vektorovou
normou.
Důkaz: Pro libovolné i, k ∈ {1, 2, . . . , n} je |aik| ≤
n
j=1
|aij|. Odtud plyne
||Ax|| =
m
i=1
|(Ax)1| =
m
i=1
n
k=1
aikxk ≤
m
i=1
n
k=1
|aik| |xk| =
=
n
k=1
|xk|
m
i=1
|aik| ≤
n
k=1

|xk|
m
i=1
n
j=1
|aij|

 =
n
k=1
|xk|


m
i=1
n
j=1
|aij|

 .
1.3.2 Spojitost, derivace a integrál vektorových a maticových funkcí
Vektorová funkce, podrobnněji n-vektorová funkce, x = x(t) je zobrazení x : R → Rn,
maticová funkce, podrobněji čtvercová n-rozměrná maticová funkce, A = A(t) je zobrazení
A : R → Rn2
,
x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





, A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
...
...
...
...
an1(t) an2(t) . . . ann(t)





.
Na množině R uvažujeme přirozenou metriku, na množině Rn, resp. Rn2
, uvažujeme příslušnou
součtovou metriku. Spojitost vektorové, resp. maticové, funkce chápeme jako spojitost
1.4. SYSTÉMY DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC A ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU 23
příslušného zobrazení metrických prostorů. Podrobněji: vektorová funkce x (resp. maticová
funkce A) je spojitá v bodě t0 svého definičního oboru, jestliže ke každému kladnému číslu
ε existuje kladné číslo δ tak, že pro všechna t z definičního oboru funkce x z nerovnosti
|t − t0| < δ plyne nerovnost ||x(t) − x(t0)|| < ε (resp. ||A(t) − A(t0)|| < ε). Vektorová (resp.
maticová) funkce je spojitá právě tehdy, když všechny její složky jsou spojité.
Limitu v bodě t0, derivaci v obecném bodě t a integrál v mezích od t do t0 vektorové,
resp. maticové, funkce definujeme vztahy (v uvedeném pořadí)
lim
t→t0
x(t)
i
= lim
t→t0
xi(t),
dx
dt
(t)
i
= x′
(t) 1
= x′
i(t) ,


t
t0
x(s)ds


i
=
t
t0
xi(s)ds,
lim
t→t0
A(t)
ij
= lim
t→t0
aij(t),
dA
dt
(t)
ij
= A′
(t) ij
= a′
ij(t),


t
t0
A(s)ds


ij
=
t
t0
aij(s)ds.
1.4 Systémy diferenciálních rovnic a rovnice vyššího řádu
Definice 6. Buď G ⊆ Rn+1 množina s neprázdným vnitřkem, f : G → Rn. Rovnice
x′
= f(t, x) (1.18)
se nazývá systém n obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu nebo n-vektorová obyčejná
diferenciální rovnice prvního řádu.
Vektorovou rovnici můžeme rozepsat do složek
x′
1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),
x′
2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),
...
x′
n = fn(t, x1, x2, . . . , xn).
Počáteční podmínku k rovnici (1.18) zadáváme ve tvaru
x(t0) = x0 = x1(t0), x2(t0), . . . , xn(t0) . (1.19)
Pojmy řešení, obecné řešení, partikulární řešení, úplné řešení rovnice (1.18) jsou analogiemi
těchto pojmů z jednorozměrného případu. Obecné řešení závisí na n konstantách (paramet-
rech).
Definice 7. Buď G ⊆ Rn+1 množina s neprázdným vnitřkem, f : G → R. Rovnice
x(n)
= f t, x, x′
, x′′
, . . . , x(n−1)
(1.20)
se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu rozřešená vzhledem k nejvyšší derivaci.
Řešením této rovnice se rozumí n-krát diferencovatelná funkce x : J → R, kde J ⊆ R je
interval, která splňuje podmínky
t, x(t), x′
(t), x′′
(t), . . . , x(n−1)
(t) ∈ G, x(n)
(t) = f t, x(t), x′
(t), x′′
(t), . . . , x(n−1)
(t)
pro každé t ∈ J.
24 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY
Počáteční (Cauchyovu) podmínku pro rovnici (1.20) zadáváme ve tvaru
x(t0) = x0, x′
(t0) = x0,1, x′′
(t0) = x0,2, . . . , x(n−1)
(t0) = x0,n−1, (1.21)
kde (t0, x0,1, x0,2, . . . , x0,n−1) ∈ G.
Úplné řešení, obecné řešení, partikulární řešení rovnice (1.20) definujeme analogicky jako
u rovnic prvního řádu. Obecné řešení opět závisí na n parametrech.
Tvrzení 1. Řešení počáteční úlohy (1.20), (1.21) je ekvivalentní s řešením počátečního problému
pro systém n diferenciálních rovnic prvního řádu:
x′
1 = x2
x′
2 = x3
...
x′
n−1 = xn
x′
n = f(t, x1, x2, . . . , xn)
(1.22)
x1(t0) = x0, x2(t0) = x2,0, . . . , xn(t0) = x0,n−1, (1.23)
v tomto smyslu: Je-li x = x(t) řešením úlohy (1.20), (1.21), pak n-tice funkcí x1 = x, x2 = x′,
x3 = x′′, . . . , xn = x(n−1) je řešením úlohy (1.22), (1.23) a je-li n-tice funkcí x1 = x1(t),
x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t) řešením úlohy (1.22), (1.23), pak je funkce x = x(t) = x1(t)
řešením úlohy (1.20), (1.21).
Kapitola 2
Obecné vlastnosti diferenciálních
rovnic
Aby počáteční úloha pro diferenciální rovnici mohla být popisem (modelem) nějakého reálného
procesu, musí mít několik vlastností:
1. Existuje její řešení. Diferenciální rovnici považujeme za vyjádření (nebo alespoň idealizaci
nebo aproximaci) nějakého „zákona (přírodního, ekonomického, sociologického,.
. . ), tj. pravidla vyabstrahovaného metodami příslušné vědní disciplíny. Proces se
podle tohoto pravidla skutečně vyvíjí, tj. řešení počáteční úlohy musí existovat.
2. Řešení počáteční úlohy je jediné. Je-li proces deterministický, ze znalosti počátečního
stavu a pravidla vývoje jednoznačně plyne jeho další vývoj.
3. Řešení musí záviset na parametrech rovnice a počátečních podmínkách spojitě. Všechny
konstanty (parametry modelu) a počáteční hodnoty můžeme změřit jen s omezenou
přesností. A je žádoucí, aby malá chyba měření nezpůsobila velkou změnu řešení v konečném
čase.
4. Řešení musí být definováno v dostatečně dlouhém čase. Modelovaný proces určitě nějakou
dobu probíhá (abychom si ho vůbec povšimli) a nějakou dobu ještě probíhat bude
(aby mělo smysl ho modelovat).
Proto je potřebné se zabývat otázkou, jaké podmínky kladené na pravou stranu rovnice,
zaručí existenci řešení. Jinak řečeno, jak poznáme, že pravidlo vývoje není z procesu vyabstrahováno
naprosto špatně.
Jednoznačně se vyvíjejí procesy studované klasickou (nekvantovou) fyzikou. Procesy komplexnější
(kterým se věnuje např. vývojová a evoluční biologie, ekonomie, sociologie a podobně)
již jednoznačné být nemusí, může dojít k nějakému „větvení procesu. Proto je užitečné
studovat, kdy je řešení rovnice jediné a za jakých podmínek může dojít k nejednoznačnosti
řešení (tj. k nepredikovatelnosti vývoje). Příjemným zjištěním přitom bude, že dostatečné
podmínky pro jednoznačnost řešení počáteční úlohy jsou také dostatečnými podmínkami pro
spojitou závislost řešení na parametrech a počátečních hodnotách. Vývoj deterministických
procesů můžeme pro nepříliš vzdálený časový horizont predikovat dostatečně přesně, pokud
známe deterministické pravidlo vývoje a dostatečně přesně měříme aktuální hodnoty. V této
formulaci zůstaly velice vágní pojmy „dostatečně přesně a „nepříliš vzdálený . Co přesně
znamenají podstatně závisí na charakteru procesu.
25
26 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Udržitelnost bývá důležitou vlastností procesů, proto je dobré mít jasno v tom, do jakého
času řešení počáteční úlohy existuje. Zejména vyjasnit, zda existuje nějaká konečná hranice,
za niž řešení prodloužit nelze, nebo zda je vývoj (potenciálně) nekonečný.
V této kapitole nejprve ukážeme, jak rozhodnout o existenci a jednoznačnosti řešení jedné
skalární rovnice. Vedlejším produktem prováděných úvah budou základní metody přibližného
řešení rovnic. Poté provedené úvahy zobecníme na systémy rovnic (na vektorovou diferenciální
rovnici), v části 2.2 lokálně (v okolí počátečního bodu) a v části 2.3 globálně (na celém
intervalu řešení rovnice). V poslední části kapitoly ukážeme, jak odhadnout meze, ve kterých
se bude řešení rovnice pohybovat.
2.1 Existence a jednoznačnost řešení skalární ODR
Uvažujme počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu ve standardním
tvaru
x′
= f(t, x), x(t0) = x0. (2.1)
Na rovnost
x′
(t) = f t, x(t)
definující řešení příslušné diferenciální rovnice se můžeme prostě dívat jako na rovnost dvou
funkcí jedné reálné proměnné t. Integrací v mezích od t0 do t dostaneme
x(t) − x(t0) =
t
t0
f s, x(s) ds,
neboli
x(t) = x0 +
t
t0
f s, x(s) ds. (2.2)
Naopak, derivováním poslední rovnosti podle proměnné t dostaneme x′(t) = f t, x(t) . Navíc,
pro funkci definovanou pravou stranou rovnosti (2.2) platí x(t0) = x0. Vidíme tedy, že
počáteční úloha pro diferenciální rovnici (2.1) je ekvivalentní s integrální rovnicí (2.2).
Řešení počáteční úlohy (2.1) budeme hledat třemi různými způsoby.
2.1.1 Eulerovy polygony
Předpokládejme, že funkce f na pravé straně rovnice (2.1) je spojitá na množině [t0, t0 + a] ×
(−b, b), přičemž a > 0, b > |x0|. Interval J = [t0, t0 + a] rozdělíme na n subintervalů [ti−1, ti],
i = 1, 2, . . . , n, jinak řečeno, zvolíme dělení
D = {t0, t1, t2, . . . , tn = t0 + a} .
Norma tohoto dělení je definována vztahem
ν(D) = max {|ti − ti−1| : i = 1, 2, . . . , n} .
Dále definujeme hodnoty xi rekurentně vztahem
xi+1 = xi + (ti+1 − ti)f(ti, xi), i = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
2.1. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 27
Eulerův polygon příslušný k úloze (2.1) a dělení D je lomená čára, spojující body (t0, x0),
(t1, x1),. . . , (tn, xn). Strana Eulerova polygonu spojující body (ti−1, xi−1), (ti, xi) je úsečka se
směrnicí f(ti, xi). Jinak řečeno, je to řešení počáteční úlohy
x′
= f(ti, xi), x(ti) = xi.
Lze tedy očekávat, že se zjemňováním dělení intervalu J (tj. s růstem počtu dělících bodů
n a se zmenšováním normy dělení D) se bude Eulerův polygon „přibližovat ke grafu řešení
úlohy (2.1), k integrální křivce rovnice.
Nastíníme myšlenku důkazu, že tomu tak skutečně je. Vezmeme jeden z dělících bodů tk
dělení D, 0 < k ≤ n. Pak pro druhou souřadnici Eulerova polygonu platí
xk = xk−1 + (tk − tk−1)f(tk−1, xk−1) =
= xk−2 + (tk−1 − tk−2)f(tk−2, xk−2) + (tk − tk−1)f(tk−1, xk−1) =
= xk−2 +
k−1
i=k−2
(ti+1 − ti)f(ti, xi) =
= xk−3 + (tk−2 − tk−3)f(tk−3, xk−3) +
k−1
i=k−2
(ti+1 − ti)f(ti, xi) =
= xk−3 +
k−1
i=k−3
(ti+1 − ti)f(ti, xi) = · · · =
= x0 +
k−1
i=0
(ti+1 − ti)f(ti, xi).
Poslední suma připomíná integrální součet používaný při konstrukci Riemannova integrálu.
Takže by mohlo platit
x(tk) ≈ xk = x0 +
k−1
i=0
(ti+1 − ti)f(ti, xi) ≈ x0 +
tk
t0
f s, x(s) ds
a Eulerův polygon by mohl zhruba být řešením integrální rovnice (2.2), která je ekvivalentní
s danou úlohou (2.1). Provedená úvaha samozřejmě není důkazem, k tomu by bylo potřebné
zopakovat úvahy analogické standardní konstrukci Riemannova integrálu.
Po korektním důkazu lze zformulovat:
Tvrzení 2. Je-li funkce f : [t0, t0 + a] × (−b, b) spojitá a |x0| < b, pak má úloha (2.1) řešení
definované na intervalu [t0, t0 + a].
Zobecněním tohoto tvrzení bude Peanova věta o existenci řešení počáteční úlohy, tj.
Věta 2.
2.1.2 Picardova posloupnost
Picardova posloupnost postupných aproximací řešení úlohy (2.1) je posloupnost funkcí defi-
28 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
novaná rekurentně
x0(t) = x0,
xk+1(t) = x0 +
t
t0
f s, xk(s) ds, k = 0, 1, 2, . . . .
Pokud Picardova posloupnost stejnoměrně konverguje k funkci x, pak z faktů, že funkce f je
spojitá a interval [t0, t] je konečný, plyne
x(t) = lim
k→∞
xk(t) = lim
k→∞
xk+1(t) = x0 + lim
k→∞
t
t0
f s, xk(s) ds =
= x0 +
t
t0
f s, lim
k→∞
xk(s) ds = x0 +
t
t0
f s, x(s) ds.
Stejnoměrná limita Picardovy posloupnosti je tedy řešením integrální rovnice (2.2), takže je
také řešením počáteční úlohy (2.1). Stačí tedy ukázat, že Picardova posloupnost konverguje
stejnoměrně, případně najít podmínky, za jakých stejnoměrně konverguje.
Stejnoměrnou konvergenci Picardovy posloupnosti zaručí Lipschitzova podmínka: Řekneme,
že funkce f : J × D → R je Lipsichitzovská s konstantou L > 0 vzhledem k druhé
proměnné, pokud pro všechna t ∈ J a všechna x, y ∈ D platí
|f(t, x) − f(t, y)| ≤ |x − y|.
Předpokládejme nyní, že funkce f v rovnici (2.1) je na množině [t0, t0+a]×R Lipschitzovská
s konstantou L vzhledem k druhé proměnné. Zvolíme libovolné přirozené číslo p a kladné reálné
číslo α takové, že
α < max
1
L
, a .
Pak platí
αL < 1. (2.3)
Pro libovolná k ∈ N, t ∈ [t0 + α] nyní platí
0 ≤ |xk(t) − xk+p(t)| = x0 +
t
t0
f s, xk−1(s) ds − x0 −
t
t0
f s, xk+p−1(s) ds =
=
t
t0
f s, xk−1(s) − f s, xk+p−1(s) ds ≤
≤
t
t0
f s, xk−1(s) − f s, xk+p−1(s) ds ≤
≤ L
t
t0
|xk−1(s) − xk+p−1(s)| ds ≤ L
t0+α
t0
|xk−1(s) − xk+p−1(s)| ds ≤
≤ Lα max {|xk−1(t) − xk+p−1(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} .
2.1. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 29
Proto také
0 ≤ max {|xk(t) − xk+p(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ Lα max {|xk−1(t) − xk+p−1(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} .
Analogicky dostaneme
0 ≤ max {|xk−1(t) − xk+p−1(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ Lα max {|xk−2(t) − xk+p−2(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α}
a tedy
0 ≤ max {|xk(t) − xk+p(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ (Lα)2
max {|xk−2(t) − xk+p−2(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} .
Po k analogických krocích krocích dostaneme odhad
0 ≤ max {|xk(t) − xk+p(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤
≤ (Lα)k
max {|x0(t) − xp(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} .
Z nerovnosti (2.3) plyne, že limita výrazu na pravé straně je pro k → ∞ rovna nule. Odtud dále
plyne, že Picardova posloupnost funkcí {xk} je stejnoměrně Cauchyovská a tedy stejnoměrně
konvergentní. Ukázali jsme tak, že limita Picardovy posloupnosti je řešením počáteční úlohy
(2.1) na intervalu [t0, t0 + α].
Ještě ukážeme, že toto řešení je jediné. K tomu účelu připusťme, že existuje další řešení
y = y(t) úlohy (2.1) definované na intervalu [t0, t0 + α], které je různé od limity x Picardovy
posloupnosti, tj.
max {|x(t) − y(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} > 0. (2.4)
Poněvadž funkce x a y jsou také řešením integrální rovnice (2.2), platí pro každé t ∈ [t0, t0 +α]
nerovnost
|x(t) − y(t)| = x0 +
t0+α
t0
f s, x(s) ds − x0 −
t0+α
t0
f s, y(s) ds ≤
≤
t0+α
t0
f s, x(s) − f s, y(s) ≤ L
t0+α
t0
|x(s) − y(s)| ds ≤
≤ Lα max {|x(t) − y(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} .
Z platnosti této nerovnosti pro každé t ∈ [t0, t0 + α] dále plyne nerovnost
max {|x(t) − y(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α} ≤ Lα max {|x(t) − y(t)| : t0 ≤ t ≤ t0 + α}
a vzhledem k (2.4) také 1 ≤ Lα, což je ve sporu s (2.3).
Provedené úvahy můžeme shrnout:
Tvrzení 3. Je-li funkce f Lipschitzovská vzhledek ke druhé proměnné, pak má počáteční
úloha (2.1) jediné řešení definované na pravém okolí bodu t0.
30 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Zobecněním tohoto tvrzení bude Picardova-Lindelöfova věta o existenci a jednoznačnosti
řešení systému diferenciálních rovnic, tj. Věta 1.
Poněvadž Picardova posloupnost {xk}∞
k=0 konverguje k řešení x počáteční úlohy (2.1), lze
její člen s „dostatečně velkým indexem k považovat za přibližné řešení této úlohy.
Příklad: Uvažujme počáteční úlohu
x′
= 2t + x2
, x(0) = 0. (2.5)
Postupně budeme počítat členy Picardovy posloupnosti postupných aproximací:
x1(t) = 0 +
t
0
(2s + 02
)ds = t2
,
x2(t) = 0 +
t
0
2s + (s2
)2
ds = t2
+ 1
5 t5,
x3(t) = 0 +
t
0
2s + s2
+ 1
5s5 2
ds =
t
0
2s + s4
+ 2
5 s7 + 1
25s10 ds =
= t2
+ 1
5t5 + 1
20 t8 + 1
275 t11,
x4(t) = 0 +
t
0
2s + s2
+ 1
5s5 + 1
20s8 + 1
275 s11 2
ds =
=
t
0
2s + s4
+ 2
5 s7 + 7
50s10 + 3
110s13 + 87
22 000 s16 + 1
2 750 s19 + 1
75 625 s22 ds =
= t2
+ 1
5t5 + 1
20 t8 + 7
550 t11 + 3
1 540t14 + 87
374 000t17 + 1
55 000 t20 + 1
1 739 375t23,
atd.
2.1.3 Frobeniova metoda
Předpokládejme, že funkce f na pravé straně diferenciální rovnice v počáteční úloze (2.1) je
analytická v okolí počátečního bodu (t0, x0), tj. že na jistém okolí bodu (t0, x0) lze funkci f
vyjádřit konvergentní dvojnou mocninnou řadou se středem (t0, x0),
f(t, x) =
∞
n=0
∞
m=0
bnm(t − t0)n
(x − x0)m
. (2.6)
V takovém případě můžeme očekávat, že i řešení úlohy (2.1) bude na nějakém okolí počátečního
času t0 analytickou funkcí.
Řešení úlohy (2.1) formálně zapíšeme jako mocninnou řadu
x(t) =
∞
n=0
an(t − t0)n
. (2.7)
2.1. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SKALÁRNÍ ODR 31
Pak je x(t0) = a0, takže
a0 = x0. (2.8)
Formální mocninnou řadu (2.7) dosadíme do rovnice v (2.1):
x′
(t) =
∞
n=0
nan(t − t0)n−1
= a1 +
∞
n=1
(n + 1)an+1(t − t0)n
,
f t, x(t) =
∞
n=0
∞
m=0
bnm(t − t0)n
∞
i=0
ai(t − t0)i
− x0
m
=
=
∞
n=0
∞
m=0
bnm(t − t0)n
∞
i=1
ai(t − t0)i
m
=
=
∞
n=0

bn0(t − t0)n
+
∞
m=1
bnm(t − t0)n
∞
i=m j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)i

 =
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
n=0
∞
m=1
bnm(t − t0)n
∞
i=m j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)i
=
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
m=1
∞
n=0
bnm(t − t0)n
∞
i=m j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)i
=
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
m=1
∞
n=m
n
i=m
bn−i,m
j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)n
=
=
∞
n=0
bn0(t − t0)n
+
∞
n=1
n
m=1
n
i=m
bn−i,m
j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm (t − t0)n
=
= b00 +
∞
n=1

bn0 +
n
m=1
n
i=m
bn−i,m
j1+···+jm=i
aj1 · · · ajm

 (t − t0)n
=
= b00 +
∞
n=1

bn0 +
n
m=1
n−m
k=0
bkm
j1+···+jm=n−k
aj1 · · · ajm

 (t − t0)n
.
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin výrazu t − t0 nyní dostaneme
a1 = b00, (2.9)
an+1 =
1
n + 1

bn0 +
n
m=1
n−m
k=0 j1+···+jm=n−k
aj1 · · · ajm bkm

 , n = 1, 2, 3, . . . . (2.10)
Vidíme, že koeficienty a1, a2, a3, . . . formální řady (2.7) lze pomocí tohoto rekurentního vztahu
jednoznačně vypočítat.
Pokud mocninná řada (2.7) získaná tímto způsobem konverguje na nějakém (symetrickém)
okolí bodu t0, pak její součet je řešením počáteční úlohy (2.1). Výsledek opět shrneme:
32 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Tvrzení 4. Je-li pravá strana rovnice v (2.1) v okolí počátečního bodu (t0, x0) analytickou
funkcí tvaru (2.6) a poloměr konvergence mocninné řady (2.7), jejíž koeficienty jsou dány
výrazy (2.8), (2.9) a (2.10), je nenulový, pak součet této řady je na oboru konvergence řešením
počáteční úlohy (2.1).
Při hledání analytického řešení počáteční úlohy většinou dosadíme formální tvar řešení do
rovnice a pak porovnáme koeficienty; není potřeba si pamatovat a používat uvedené formule.
Součet prvních k členů řady, vypočítaných tímto postupem, lze pro „dostatečně velké k
považovat za přibližné řešení počáteční úlohy.
Příklad: Uvažujme opět počáteční úlohu (2.5). Její řešení budeme hledat ve tvaru mocninné
řady
x(t) =
∞
n=0
antn
. (2.11)
Z počáteční podmínky plyne 0 = x(0) = a0, takže
x′
(t) =
∞
n=1
nantn−1
= a1 + 2a2t +
∞
n=2
(n + 1)an+1tn
,
2t + x(t)2
= 2t +
∞
n=1
antn
2
= 2t +
∞
n=2


n−1
j=1
ajan−j

 tn
.
Porovnáním koeficientů dostaneme
a1 = 0, a2 = 1, an+1 =
1
n + 1
n−1
j=1
ajan−j
Z tohoto vyjádření úplnou indukcí snadno ukážeme, že všechny koeficienty an jsou nejvýše
rovny 1. To znamená, že poloměr konvergence řady (2.11) je alespoň 1.
Koeficienty řady můžeme postupně počítat:
a0 = 0, a9 = 0, a18 = 0,
a1 = 0, a10 = 0, a19 = 0,
a2 = 1, a11 = 7
550 , a20 = 1 107
5 236 000 ,
a3 = 1
3 · 0 · 0 = 0, a12 = 0, a21 = 0,
a4 = 1
4 (0 · 1 + 1 · 0) = 0, a13 = 0, a22 = 0,
a5 = 1
5 (0 · 0 + 1 · 1 + 0 · 0) = 1
5 , a14 = 1
308 , a23 = 178 677
3 311 770 000,
a6 = 1
6 (0 · 0 + 0 · 1 + 1 · 0 + 0 · 0) = 0, a15 = 0, a24 = 0,
a7 = 1
7 (1
5 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 + 1 · 0 + 0 · 1
5) = 0, a16 = 0, a25 = 0,
a8 = 1
8 (0 · 0 + 1
5 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 + 1 · 1
5 + 0 · 0) = 1
20 , a17 = 2 169
2 618 000 , a26 = 139 471
10 130 120 000 ,
atd.
2.2. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 33
2.2 Existence a jednoznačnost řešení systému ODR
V tomto oddílu se budeme zabývat počáteční úlohou (1.18), (1.19) pro vektorovou diferenciální
rovnici.
Lemma 1. Buď funkce f spojitá na G ⊆ Rn+1. Funkce x = x(t) je řešením úlohy (1.18),
(1.19) na intervalu J právě tehdy, když pro každé t ∈ J je t, x(t) ∈ G a
x(t) = x0 +
t
t0
f s, x(s) ds . (2.12)
Důkaz:
„⇒ Nechť x = x(t) je řešením úlohy (1.18), (1.19) na J. Pak
d
ds
x(s) = f s, x(s)
na J. Integrací této rovnosti podle s v mezích [t0, t] dostaneme:
[x(s)]t
s=t0
= x(t) − x(t0) =
t
t0
f s, x(s) ds
a vzhledem k (1.19) funkce x = x(t) splňuje (2.12).
„⇐ Nechť funkce x = x(t) splňuje (2.12). Pak x(t0) = x0 +
t0
t0
f s, x(s) ds = x0, tedy je
splněna podmínka (1.19). Derivováním (2.12) podle t dostaneme (1.18).
Nechť C1(J) je množina (vektorových) funkcí x = x(t) diferencovatelných na uzavřeném
intervalu J takových, že x(t0) = x0. Na této množině zavedeme metriku
̺(x, y) = max{||x(t) − y(t)|| : t ∈ J}
(metrika stejnoměrné konvergence). Prostor C1(J), ̺ je úplný (sr. Z. Došlá, O. Došlý:
Metrické prostory. MU, Brno 1996, I.1.1.2.iv a III.1.3.6.i). Dále definujme zobrazení F :
C1(J) → C1(J) předpisem:
F(x)(t) = x0 +
t
t0
f s, x(s) ds . (2.13)
Řešení úlohy (1.18), (1.19), tedy funkce, která splňuje integrální rovnici (2.12), je zřejmě pevným
bodem zobrazení F.
Podaří-li se tedy ukázat, že F je kontrakce úplného metrického prostoru C1(J), ̺ , z Banachovy
věty vyplyne, že existuje jediný pevný bod tohoto zobrazení, tedy že existuje jediné
diferencovatelné řešení úlohy (1.18), (1.19) (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické prostory. MU,
Brno 1996, IV.2. a V.1.).
34 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Věta 1 (Picard (1856–1941)–Lindelöf (1870–1946)). Buďte a, b ∈ R, a, b > 0, t0 ∈ R, x0 ∈
Rn. Označme
˜J = [t0, t0 + a], D = {x ∈ Rn
: x − x0
≤ b}, (2.14)
m = max{||f(t, x)|| : (t, x) ∈ ˜J × D}, δ = min a,
b
m
.
Nechť funkce f : ˜J × D → Rn je spojitá a vzhledem k x Lipschitzovská (tj. existuje L ∈ R
tak, že platí ||f(t, x) − f(t, y)|| ≤ L ||x − y|| pro všechna t ∈ ˜J, x, y ∈ D). Pak existuje právě
jedno řešení počátečního problému (1.18), (1.19) definované na intervalu J = [t0, t0 + δ].
Toto řešení je (stejnoměrnou) limitou posloupnosti funkcí {xn(t)}∞
n=0; tato posloupnost
je definována rekurentně vztahem
xk+1(t) = x0 +
t
t0
f s, xk(s) ds, k = 0, 1, 2, 3, . . .
Důkaz: Je-li funkce x diferencovatelná, pak je spojitá (sr. V. Novák: Diferenciální počet v R.
MU, Brno 1997, kap. V, věta 1.2). Proto je funkce y(t) = F(x)(t) diferencovatelná a pro její
derivaci platí y′(t) = f t, x(t) (sr. V. Novák: Integrální počet v R. MU, Brno 2001, 2.4,
věta 4.2). To znamená, že zobrazení F definované vztahem (2.13) zobrazuje množinu C1(J)
do sebe. Buď K > L. Na C1(J) zavedeme metriku ̺∗ vztahem
̺∗
(x, y) = max e−K(t−t0)
||x(t) − y(t)|| : t ∈ J .
Tato metrika je na C1(J) ekvivalentní s metrikou stejnoměrné konvergence ̺, neboť
e−Kδ
̺(x, y) ≤ ̺∗
(x, y) ≤ ̺(x, y) .
Prostor C1(J), ̺∗ je tedy úplný.
Položme P = {x ∈ C1(J) : ||x(t) − x0|| ≤ b pro každé t ∈ J}. Poněvadž P je uzavřená
podmnožina množiny C1(J), je prostor (P, ̺∗) úplný (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické
prostory. MU, Brno 1996, III.1.3.3). Zobrazení F zobrazuje množinu P do sebe, neboť pro
každou funkci x ∈ P platí
F(x)(t) − x0
=
t
t0
f(s, x(s))ds ≤
t
t0
f s, x(s) ds ≤ (t − t0)m ≤ δm ≤ b .
2.2. EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 35
Ukážeme, že F je kontrakcí prostoru (P, ̺∗): Pro každé t ∈ J platí
̺∗
F(x), F(y) ≤ e−K(t−t0)
||F(x)(t) − F(y)(t)|| =
= e−K(t−t0)
t
t0
f s, x(s) ds −
t
t0
f s, y(s) ds ≤
≤ e−K(t−t0)
t
t0
f s, x(s) − f s, y(s) ds ≤
≤ e−K(t−t0)
t
t0
L ||x(s) − y(s)|| ds =
= L
t
t0
e−K(t−s)
e−K(s−t0)
||x(s) − y(s)|| ds ≤
≤ L
t
t0
e−K(t−s)
̺∗
(x, y)ds =
= L̺∗
(x, y)
1
K
e−K(t−s)
t
s=t0
=
=
L
K
̺∗
(x, y) 1 − e−K(t−t0)
≤
≤
L
K
̺∗
(x, y) .
Poněvadž L < K, je
L
K
< 1, což znamená, že F je kontrakce.
Poznámka 1. Posloupnost funkcí zavedená ve větě 1 se nazývá Picardova posloupnost postupných
aproximací.
Poznámka 2. Analogické tvrzení platí, nahradíme-li ve větě 1 interval ˜J = [t0, t0 + a] intervalem
[t0 − a, t0] nebo intervalem [t0 − a, t0 + a].
Poznámka 3. Má-li funkce
f(t, x) =





f1(t, x1, x2, . . . , xn)
f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...
fn(t, x1, x2, . . . , xn)





ohraničené parciální derivace všech složek podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn na množině
˜J × D (zavedené rovností (2.14)), pak jsou předpoklady Picardovy-Lindelöfovy věty splněny.
Důkaz: Množina ˜J × D jakožto uzavřená a ohraničená podmnožina prostoru Rn+1 je
kompaktní (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Metrické prostory. MU, Brno 1996, III.3.3.16). Z ohraničenosti
parciálních derivací funkce f plyne existence čísla
M = max
∂fi(t, x)
∂xj
: i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n, (t, x) ∈ ˜J × D .
36 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Podle věty o střední hodnotě pro funkce více proměnných (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, 3.4) pro všechna t ∈ ˜J a x =
(x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ D existují čísla ξk ležící mezi xk a yk, k = 1, 2, . . . , n
taková, že
||f(t, x) − f(t, y)|| =
n
i=1
|fi(t, x) − fi(t, y)| =
=
n
i=1
n
k=1
∂fi
∂xk
(t, x1, x2, . . . , xk−1, ξk, yk+1, . . . , yn)(xk − yk) ≤
≤
n
i=1
n
k=1
∂fi
∂xk
(t, x1, x2, . . . , xk−1, ξk, yk+1, . . . , yn) |xk − yk| ≤
≤
n
i=1
n
k=1
M|xk − yk| =
n
i=1
M ||x − y|| = nM ||x − y|| ,
takže funkce f je vzhledem k x Lipschitzovská s konstantou nM.
Důsledek 1. Má-li (vektorová) funkce
f(t, x) =





f1(t, x1, x2, . . . , xn)
f2(t, x1, x2, . . . , xn)
...
fn(t, x1, x2, . . . , xn)





ohraničené parciální derivace všech složek podle každé z proměnných x1, x2, . . . , xn v jistém
okolí bodu (t0, x0), pak počáteční problém (1.18), (1.19) má v okolí t0 jediné řešení.
Důsledek 2. Má-li (skalární) funkce f(t, x1, x2, . . . , xn) ohraničené parciální derivace podle
každé z proměnných x1, x2, . . . , xn v jistém okolí bodu (t0, x0, x0,1, x0,2, . . . , x0,n), pak počáteční
problém (1.20), (1.21) má v okolí t0 jediné řešení.
Na závěr kapitoly ještě zformulujeme větu o existenci řešení počáteční úlohy:
Věta 2 (Peano 1890). Buďte a, b ∈ R, a, b > 0, t0 ∈ R, x0 ∈ Rn. Označme
˜J = [t0, t0 + a], D = {x ∈ Rn
: x − x0
≤ b},
m = max{||f(t, x)|| : (t, x) ∈ ˜J × D}, δ = min a,
b
m
.
Nechť funkce f : ˜J × D → Rn je spojitá. Pak existuje alespoň jedno řešení počátečního
problému (1.18), (1.19) definované na intervalu J = [t0, t0 + δ].
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 67–70.
2.3. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 37
2.3 Globální vlastnosti řešení systému ODR
Věta 3 (o existenci úplného řešení). Nechť funkce f : G → Rn je spojitá na otevřené množině
G ⊆ Rn+1. Je-li x = x(t) řešení rovnice (1.18), pak je toto řešení buď úplné, nebo existuje
úplné řešení y = y(t), které je prodloužením řešení x.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 73–76.
Důkaz využívá věty 2.
Definice 8. Buď G ⊆ Rn+1. Řekneme, že funkce f : G → Rn je lokálně lipschitzovská v G
vzhledem k x, jestliže ke každému (τ, a) ∈ G existuje okolí Oτ,a ⊆ G a číslo Lτ,a ∈ R tak, že
pro všechna (t, x), (t, y) ∈ Oτ,a platí ||f(t, x) − f(t, y)|| ≤ Lτ,a ||x − y||.
Věta 4 (o globální jednoznačnosti). Nechť funkce f : G → Rn je spojitá a lokálně lipschitzovská
v G vzhledem k x a nechť funkce x = x(t), y = y(t) jsou dvě řešení rovnice (1.18).
Jestliže existuje t0 takové, že x(t0) = y(t0), pak x(t) = y(t) pro všechna t, v nichž jsou řešení
x, y definována.
Důkaz: Připusťme, že existuje b > t0 takové, že x(b) = y(b). Označme c = inf{t : x(t) = y(t)}.
Funkce x, y jsou spojité (poněvadž jsou diferencovatelné).
Ukážeme, že x(c) = y(c):
Připusťme, že x(c) = y(c). Položme ε = ||x(c) − y(c)||. Pak ε > 0
K
ε
4
> 0 existuje δ > 0 tak, že pro každé t ∈ (c−δ, c) je ||y(t) − y(c)|| <
ε
4
a ||x(t) − x(c)|| <
ε
4
.
Poněvadž pro t ∈ (c − δ, c) je x(t) = y(t), platí pro t ∈ (c − δ, c) nerovnost
ε = ||x(c) − y(c)|| = ||x(c) − x(t) + y(t) − y(c)|| ≤ ||x(c) − x(t)||+||y(t) − y(c)|| ≤
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
,
což je spor, neboť ε > 0, a tedy x(c) = y(c).
Podle věty 1 nyní existuje α takové, že pro t ∈ [c, c + α] je x(t) = y(t), což je spor.
Analogicky vyloučíme možnost existence b < t0 takového, že x(b) = y(b).
Definice 9. Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.18) definované na intervalu (S, T), kde
−∞ ≤ S < T ≤ ∞.
Řekneme, že ξ ∈ Rn je
ω-limitní bod řešení x, jestliže existuje posloupnost {tk}∞
k=1 taková, že tk < T pro všechna
k ∈ N, lim
k→∞
tk = T a lim
k→∞
x(tk) = ξ;
α-limitní bod řešení x, jestliže existuje posloupnost {tk}∞
k=1 taková, že tk > S pro všechna
k ∈ N, lim
k→∞
tk = S a lim
k→∞
x(tk) = ξ;
limitní bod řešení x, jestliže je ω-limitním bodem nebo α-limitním bodem.
Množina všech ω-limitních bodů řešení x se nazývá ω-limitní množina řešení x, množina všech
α-limitních bodů řešení x se nazývá α-limitní množina řešení x, množina všech limitních bodů
řešení x se nazývá limitní množina řešení x.
Příklady:
38 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
1. x = eat je úplné řešení rovnice x′ = ax definované na intervalu (−∞, ∞). Je-li a > 0,
pak 0 je α-limitním bodem tohoto řešení a ω-limitní body toto řešení nemá. Je-li a < 0,
pak 0 je ω-limitním bodem tohoto řešení a α-limitní body toto řešení nemá. Je-li a = 0,
pak 1 je α- i ω-limitním bodem tohoto řešení.
2. x = sin
1
t
je úplné řešení rovnice x′ = −
1
t2
√
1 − x2 definované na intervalu (−∞, 0).
Interval [−1, 1] je ω-limitní množinou tohoto řešení.
3.
x
y
=
cos tg t
sin tg t
je úplné řešení soustavy rovnic
x
y
′
=



−
y
cos2 t
x
cos2 t


 definované na
intervalu −
π
2
,
π
2
. Limitní množina tohoto řešení je {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Věta 5. Nechť funkce f : G → Rn je spojitá na otevřené množině G ⊆ Rn+1 a x = x(t) je
úplné řešení rovnice (1.18) definované na intervalu (S, T). Pak platí:
T = ∞ nebo lim
t→T−
||x(t)|| = ∞ nebo každý ω-limitní bod řešení x leží na hranici G.
S = −∞ nebo lim
t→S+
||x(t)|| = ∞ nebo každý α-limitní bod řešení x leží na hranici G.
Důkaz: Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.18) definované na intervalu (S, T), T < ∞ a
buď ξ jeho ω-limitní bod. Kdyby (T, ξ) ∈ G, pak by existovalo okolí OT,ξ bodu (T, ξ) takové,
že OT,ξ ⊆ G, neboť G je otevřená. Podle věty 2 by existovalo řešení y = y(t) rovnice (1.18)
s počáteční podmínkou y(T) = ξ definované na [T, T +δ], kde δ je vhodné (malé) číslo. Funkce
z = z(t) =
x(t), S < t < T
y(t), T + δ
by byla řešením rovnice (1.18), které by bylo prodloužením řešení x, což by byl spor s úplností
řešení x.
Pro α-limitní bod se důkaz provede analogicky s využitím „levostranné varianty věty 2.
Důsledek 3. Nechť J = [t0, ∞), D = {x ∈ Rn : ||x|| < a}, kde t0 ∈ R a 0 < a ≤ ∞ a nechť
vektorová funkce f : J × D → Rn je spojitá. Pokud existuje spojitá funkce g : J → R taková,
že úplné řešení x = x(t) rovnice (1.18) definované na (S, T) splňuje pro každé t ∈ [t0, T)
podmínku ||x(t)|| ≤ g(t) < a, pak T = ∞.
Důsledek 4. Nechť J = [t0, ∞) a funkce f : J × Rn → Rn je spojitá. Jestliže existuje m ∈ R
takové, že pro každé (t, x) ∈ J ×Rn → Rn platí ||f(t, x)|| ≤ m, pak každé úplné řešení rovnice
(1.18) je definováno pro všechna t ≥ t0.
Důkaz: Buď x = x(t) úplné řešení rovnice (1.18). Podle lemma 1 je
x(t) = x(t0) +
t
t0
f s, x(s) ds .
Pro každé t, pro něž je x(t) definováno, platí
||x(t)|| = x(t0) +
t
t0
f s, x(s) ds ≤ ||x(t0)|| +
t
t0
||f(s, x(s))|| ds ≤ ||x(t0)|| + m(t − t0) .
2.3. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 39
Tvrzení tedy plyne z důsledku 3, položíme-li g(t) = ||x(t0)|| + m(t − t0).
Toto tvrzení umožňuje rozhodnout, zda lze každé řešení rovnice (1.18) prodloužit do nekonečna,
aniž bychom toto řešení znali.
Věta 6. Buď Ω ⊆ Rn+1 otevřená množina a nechť pro každé k = 1, 2, . . . je vektorová funkce
fk : Ω → Rn spojitá a (tk, ξk) ∈ Ω. Označme xk = xk(t) úplné řešení počátečního problému
x′
= fk(t, x), x(tk) = ξk.
Jestliže posloupnost funkcí {fk}∞
k=1 konverguje k funkci f∞ : Ω → Rn stejnoměrně na každé
kompaktní podmnožině K ⊆ Ω, posloupnost bodů {(tk, ξk)}∞
k=1 konverguje k bodu (t∞, ξ∞) a
počáteční úloha
x′
= f∞(t, x), x(t∞) = ξ∞
má jediné úplné řešení x∞ = x∞(t) definované na intervalu J, pak posloupnost funkcí
{xk}∞
k=1 konverguje k funkci x∞ stejnoměrně na každém intervalu [a, b] ⊆ J.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 80–82.
Příklad (Matematické kyvadlo):
Matematické kyvadlo je hmotný bod o hmotnosti m zavěšený na
nehmotném vlákně délky r na který působí pouze gravitační síla.
Lze ho realizovat jako kuličku zavěšenou na niti, přičemž průměr
kuličky je zanedbatelný vzhledem k délce niti a hmotnost niti je
zanedbatelná vzhledem k hmotnosti kuličky.
Zavedeme souřadný systém podle obrázku tak, že vodorovná osa
x směřuje zleva doprava a svislá osa y směřuje shora dolů a kyvadlo je
zavěšeno v počátku souřadnic. Označme ϕ = ϕ(t) výchylku kyvadla
od rovnovážné polohy v čase t. Poloha hmotného bodu v čase t je
dána souřadnicemi
x = x(t) = r sin ϕ(t), y = y(t) = r cos ϕ(t).
r
h
y
x
ϕ
Vektor rychlosti hmotného bodu je derivací jeho polohy podle času, velikost v = v(t)
rychlosti v čase t je euklidovskou délkou tohoto vektoru, tj.
v(t)
2
=
dx(t)
dt
2
+
dy(t)
dt
2
= rϕ′
(t) cos ϕ(t)
2
+ − rϕ′
(t) sin ϕ(t)
2
= rϕ′
(t)
2
.
Výška h = h(t) hmotného bodu nad rovnovážnou polohou y = r v čase t je rovna
h(t) = r − y(t) = r 1 − cos ϕ(t) .
Podle zákona zachování energie je součet kinetické a potenciální energie hmotného bodu
konstantní, tj.
1
2
m v(t)
2
+ mgh(t) = const;
40 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
0 2 4 6 8 10 12
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2
t
ϕ
0 2 4 6 8 10 12
−1
0
1
2
t
ϕ k=1 k=2 k=3 k = ∞
Obrázek 2.1: Řešení úloh (2.19) pro k ∈ {1, 2, 3} a řešení úlohy (2.17), tj. úlohy (2.19) pro
k = ∞. Počáteční podmínky jsou ϕ0 = 1
20π (nahoře) a ϕ0 = 1
2π (dole).
přitom g
.
= 9,823 ms−2 je gravitační zrychlení. Do předchozí rovnosti dosadíme vypočítané v
a h a dělíme ji konstantou r. Dostaneme
1
2
r ϕ′
(t)
2
+ g 1 − cos ϕ(t) = const.
Tuto rovnost derivujeme podle času
rϕ′
(t)ϕ′′
(t) + gϕ′
(t) sin ϕ(t) = 0,
a upravíme
ϕ′
(t) rϕ′′
(t) + g sin ϕ(t) = 0.
Dostáváme tedy dvě diferenciální rovnice pro časově proměnnou výchylku kyvadla ϕ = ϕ(t):
ϕ′
= 0, ϕ′′
= −
g
r
sin ϕ(t). (2.15)
Nechť na začátku procesu je výchylka hmotného bodu rovna úhlu ϕ0 = 0 a jeho rychlost, tj.
změna výchylky, je nulová (kuličku vychýlíme a pustíme). Dostáváme tak počáteční podmínky
ϕ(0) = ϕ0, ϕ′
(0) = 0. (2.16)
Řešení první z rovnic (2.15) s počáteční podmínkou (2.16) je konstantní funkce ϕ(t) ≡ ϕ0.
Toto řešení není fyzikálně realistické, neboť hmotný bod pod vlivem gravitační nemůže zůstat
vychýlený z rovnovážné polohy a nepohybovat se.
2.3. GLOBÁLNÍ VLASTNOSTI ŘEŠENÍ SYSTÉMU ODR 41
Dosavadními úvahami dostáváme model pohybu matematického kyvadla jako počáteční
úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu
ϕ′′
= −
g
r
sin ϕ, ϕ(0) = ϕ0, ϕ′
(0) = 0,
kterou můžeme podle tvrzení 1 v 1.4 přepsat jako počáteční úlohu pro systém dvou rovnic
prvního řádu
ϕ′ = ψ,
ψ′ = −
g
r
sin ϕ, ϕ(0) = ϕ0, ψ(0) = 0.
(2.17)
Tuto počáteční úlohu neumíme vyřešit explicitně. Funkci sinus však můžeme vyjádřit jako
stejnoměrně konvergentní Maclaurinovu řadu
sin ϕ =
∞
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!
.
Označme nyní x =
ϕ
ψ
. Pro k = 1, 2, . . . zavedeme vektorové funkce fk a body (tk, ξk)
následujícími formulemi
fk(t, x) = fk(ϕ, ψ) =




ψ
−
g
r
k
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!



 , tk = 0, ξk =
ϕ0
0
.
Funkce fk a body (tk, ξk) splňují předpoklady věty 6 s Ω = R3. Úloha
x′
= f∞(t, x), x(0) = x(t∞) = ξ∞ =
ϕ0
0
(2.18)
je totožná s úlohou (2.17). Poněvadž všechny parciální derivace
∂ f∞ 1
∂ϕ
=
∂ψ
∂ϕ
= 0,
∂ f∞ 1
∂ψ
=
∂ψ
∂ψ
= 1,
∂ f∞ 2
∂ϕ
=
∂ −
g
r
sin ϕ
∂ϕ
= −
g
r
cos ϕ,
∂ f∞ 2
∂ψ
=
∂ −
g
r
sin ϕ
∂ψ
= 0
jsou ohraničené, je podle poznámky 3 úloha (2.18) jednoznačně řešitelná. To znamená, že
řešení úlohy (2.17) je stejnoměrnou limitou řešení úloh
ϕ′ = ψ,
ψ′ = −
g
r
k
i=1
(−1)i+1 ϕ2i−1
(2i − 1)!
, ϕ(0) = ϕ0, ψ(0) = 0.
(2.19)
Na obrázku 2.1 je první složka řešení (výchylka kyvadla ϕ) několika těchto úloh; nahoře pro
počáteční hodnotu ϕ0 = 1
20π, dole pro ϕ0 = 1
2π. Vidíme, že v případě malé počáteční výchylky
již první člen posloupnosti dostatečně přesně aproximuje řešení úlohy (2.17). V případě velké
42 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
počáteční výchylky, dokonce maximální možné, je řešení úlohy (2.17) na uvažovaném intervalu
proměnné t dostatečně přesně aproximováno třetím členem posloupnosti řešení úloh (2.19).
Malé kmity matematického kyvadla lze tedy modelovat systémem rovnic
ϕ′
= ψ, ψ′
= −
g
r
ϕ,
který je ekvivalentní s rovnicí druhého řádu ϕ′′ +
g
r
ϕ = 0.
Věta 7 (o spojité závislosti řešení na počátečních podmínkách a parametrech). Buď Ω otevřená
množina v R1+n+m a nechť spojitá vektorová funkce g : Ω → Rn je taková, že pro
všechna τ ∈ R, ξ ∈ Rn, λ ∈ Rm splňující podmínku (τ, ξ, λ) ∈ Ω, má počáteční problém
x′
= g(t, x, λ), x(τ) = ξ
právě jedno úplné řešení x = x(t) = x(t; τ, ξ, λ). Pak toto řešení, chápané jako zobrazení
R1+1+n+m
→ Rn
,
je spojité.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 82–83.
Tato věta říká, že změní-li se málo funkce f v rovnici (1.18) a málo se změní počáteční
podmínka (1.19), pak se řešení nového — změněného — problému liší na konečném intervalu
málo od řešení původního problému.
2.4 Odhady řešení
Definice 10. Řešení x∗ = x∗(t) úlohy (1.1), (1.3) se nazývá maximální řešení, jestliže pro
každé řešení x = x(t) této úlohy platí x(t) ≤ x∗(t) pro všechna t, v nichž jsou obě řešení
definována.
Řešení x∗ = x∗(t) úlohy (1.1), (1.3) se nazývá minimální řešení, jestliže pro každé řešení
x = x(t) této úlohy platí x∗(t) ≤ x(t) pro všechna t, v nichž jsou obě řešení definována.
Příklad
Uvažujme počáteční úlohu
x′
= 3
3
√
x2, x(0) = 0. (2.20)
Přímým výpočtem ověříme, že kterákoliv z funkcí
x(t) ≡ 0, x(t) =
0, t < a,
(t − a)3, t ≥ a,
x(t) =
(t + a)3, t < −a,
0, t ≥ −a,
,
x(t) =



(t + b)3, t < −b,
0, −b ≤ t ≤ a,
(t − a)3, t ≥ a,
2.4. ODHADY ŘEŠENÍ 43
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
a) b)
t
x∗(t)
x∗
(t) x(t)
t
u(t) v(t)
x(t)
Obrázek 2.2: a) Maximální a minimální řešení počáteční úlohy (2.20). b) Odhady řešení
x = x(t) úlohy (2.21) s hodnotami t0 = x0 = 0.
kde a, b jsou nezáporné konstanty, je jejím úplným řešením. Minimální a maximální řešení
úlohy (2.20) tedy jsou funkce
x∗(t) =
t3, t < 0,
0, t ≥ 0,
x∗
(t) =
0, t < 0,
t3, t ≥ 0;
řešení je znázorněno na obrázku 2.2 a).
Věta 8 (srovnávací). Nechť t0 ∈ R, 0 < a ≤ ∞, J = [t0, ∞), G = {(t, x) ∈ Rn+1 : t ∈
J, ||x|| < a}. Nechť dále f : G → Rn je spojitá funkce a g : J × [0, a) → [0, ∞) je spojitá
funkce taková, že ||f(t, x)|| ≤ g (t, ||x||) pro (t, x) ∈ G. Buď u0 ≥ ||x0|| a u∗ = u∗(t) maximální
řešení úlohy
u′
= g(t, u), u(t0) = u0
na intervalu J.
Pak každé úplné řešení úlohy (1.18), (1.19) je definováno pro všechna t ∈ J a platí
||x(t)|| ≤ u∗
(t) pro t ∈ J .
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 91.
Příklad
Najdeme odhad řešení počátečního problému
x′
=
t + x
1 + x2
, x(t0) = x0 (2.21)
na intervalu [t0, ∞).
Pravou stranu rovnice můžeme chápat jako funkci jedné proměnné x s jedním parametrem
t. Standardními metodami diferenciálního počtu najdeme globální maximum a minimum této
funkce; konkrétně, pro každé t ∈ R platí
t −
√
t2 + 1
2
≤
t + x
1 + x2
≤
t +
√
t2 + 1
2
.
44 KAPITOLA 2. OBECNÉ VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC
Odtud plyne že
t + x
1 + x2
≤ 1
2 t +
√
t2 + 1 . Počáteční úloha
u′
=
t +
√
t2 + 1
2
, u(t0) = |x0| .
Na pravé straně této rovnice je derivace funkce u, na její levé straně je funkce jedné proměnné.
Jediné řešení úlohy je tedy dáno integrálem
u(t) = |x0| +
1
4
t2
+ t t2 + 1 − t2
0 − t0 t2
0 + 1 + ln
t +
√
t2 + 1
t0 + t2
0 + 1
a podle srovnávací věty 8 platí |x(t)| ≤ u(t) pro všechna t ≥ t0.
Řešení úlohy (2.21) pro t0 ≥ 0 lze odhadnout i jiným způsobem. V takovém případě totiž
platí
t + x
1 + x2
=
|t + x|
1 + x2
≤
t + |x|
1 + x2
≤ t + |x|.
Jediné řešení počáteční úlohy
v′
= v + t, v(t0) = |x0|
pro lineární rovnici je podle 1.2.2(iii) rovno
v(t) = |x0| + t0 + 1 et−t0
− t − 1
a podle srovnávací věty 8 platí |x(t)| ≤ v(t) pro všechna t ≥ t0 ≥ 0.
Poznamenejme ještě, že nelze říci, že by některý z uvedených odhadů u, v řešení úlohy
(2.21) byl lepší než druhý. Situace je znázorněna na obrázku 2.2 b).
Důsledek 5. Nechť symboly t0, a, J, G mají stejný význam jako ve větě 8. Nechť funkce
f : G → Rn je spojitá a nechť existuje spojitá funkce ϕ : J → [0, ∞) taková, že
||f(t, x)|| ≤ ϕ(t) ||x|| pro (t, x) ∈ G.
Pak pro každé x0 ∈ Rn takové, že
||x0|| exp
t
t0
ϕ(τ)dτ < a pro všechna t ∈ J,
jsou úplná řešení úlohy (1.18), (1.19) definována na celém intervalu J a platí
||x(t)|| ≤ ||x0|| exp
t
t0
ϕ(τ)dτ pro t ∈ J.
Důkaz plyne z věty 8 volbou g(t, u) = ϕ(t)u, u0 = ||x0||.
Jediné úplné (tedy maximální) řešení úlohy u′ = ϕ(t)u, u(t0) = u0 je podle 1.2.2(iii)
u(t) = u0 exp
t
t0
ϕ(τ)dτ.
Kapitola 3
Lineární rovnice
3.1 Lineární rovnice
Lineární diferenciální rovnice prvního řádu je tvaru
x′
= a(t)x + b(t). (3.1)
O funkcích a, b budeme předpokládat, že jsou spojité na intervalu J. Pak pro všechna t0 ∈ J,
x0 ∈ R má rovnice (3.1) s počáteční podmínkou
x(t0) = x0 (3.2)
jediné řešení; to plyne z poznámky 3 za větou 1, neboť
∂
∂x
a(t)x + b(t) = a(t)
a funkce a nabývá pouze konečných hodnot, neboť je spojitá. Toto řešení je dáno formulí
x(t) = x0e
t
t0
a(s)ds
+
t
t0
b(s)e
t
s
a(σ)dσ
ds. (3.3)
Řešení lze najít postupem uvedeným v 1.2.2 (iii) nebo stačí přímým výpočtem ověřit, že
funkce x daná rovností (3.3) skutečně řeší úlohu (3.1), (3.2).
Lineární rovnice (3.1) se nazývá homogenní, pokud b ≡ 0; v opačném případě se nazývá
nehomogenní.
Z vyjádření (3.3) vidíme, že řešení homogenní rovnice
x′
= a(t)x (3.4)
s počáteční podmínkou (3.2) je dáno výrazem
x(t) = x0e
t
t0
a(s)ds
. (3.5)
Jinak řečeno, libovolné řešení homogenní rovnice (3.4) je násobkem funkce y definované vzta-
hem
y(t) = e
t
t0
a(s)ds
(3.6)
45
46 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Toto pozorování nás opravňuje funkci y nazvat fundamentálním řešením lineární homogenní
rovnice (3.4). Ze známých vlastností exponenciální funkce plyne, že y(t0) = 1 a y(t) = 0 pro
každé t ∈ J. Jinak můžeme také říci, že množina všech řešení lineární homogenní rovnice tvoří
jednodimenzionální vektorový prostor nad polem reálných čísel a fundamentální řešení y je
bází tohoto prostoru.
Obraťme nyní pozornost na nehomogenní lineární rovnici (3.1). Lineární homogenní rovnici
(3.4) nazveme přidruženou k nehomogenní rovnici (3.1). Označme ˜x(t) druhý sčítanec na
pravé straně rovnosti (3.3). Pak platí ˜x(t0) = 0 a
˜x′
(t) = b(t)e
t
t
a(σ)dσ
+
t
t0
d
dt
b(s)e
t
s
a(σ)dσ
ds = b(t) +
t
t0
b(s)a(t)e
t
s
a(σ)dσ
ds =
= b(t) + a(t)
t
t0
b(s)e
t
s
a(σ)dσ
ds = b(t) + a(t)˜x(t).
To znamená, že funkce ˜x je partikulárním řešením nehomogenní rovnice (3.1) s počáteční
podmínkou x(t0) = 0. Počáteční hodnota x0 v podmínce (3.2) byla libovolná, proto můžeme
pravou stranu rovnosti (3.5) považovat za obecné řešení lineární homogenní rovnice. Tyto
výsledky můžeme shrnout:
Tvrzení 5. Obecné řešení nehomogenní lineární rovnice (3.1) je součtem obecného řešení
přidružené lineární homogenní rovnice a partikulárního řešení nehomogenní rovnice s nulovou
počáteční podmínkou.
S využitím fundamentálního řešení y homogenní rovnice můžeme řešení (3.3) počáteční
úlohy pro nehomogenní rovnici zapsat v některém z tvarů
x(t) = x0y(t) +
t
t0
y(t)
y(s)
b(s)ds =

x0 +
t
t0
b(s)
y(s)
ds

 y(t).
3.1.1 Lineární rovnice s konstantním koeficientem
Uvažujme lineární homogenní rovnici (3.4), v níž je funkce a konstantní, a ≡ α, tedy rovnici
x′
= αx. (3.7)
V tomto případě je
t
t0
a(s)ds =
t
t0
αds = α(t − t0), takže fundamentální řešení (3.6) rovnice
(3.7) je
y(t) = eα(t−t0)
. (3.8)
Platí tedy y ≡ 1 pro α = 0; pro α > 0, resp. α < 0 je funkce y ryze rostoucí, resp. klesající, a
platí
lim
t→∞
y(t) =



∞, α > 0,
1, α = 0,
0, α < 0.
3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE 47
Koeficient α tedy určuje kvalitativní vlastnosti řešení rovnice (3.7): pro α kladné je každé
řešení neohraničené (monotonně roste do ∞, nebo monotonně klesá do −∞), pro α záporné
každé řešení monotonně vymizí (jeho hodnota se přiblíží libovolně blízko k nule); v mezním
případě α = 0 je každé řešení konstantní.
Řešení počáteční úlohy pro lineární nehomogenní rovnici s konstantním koeficientem
x′
= αx + b(t)
a počáteční podmínkou (3.2) je podle (3.3) dáno formulí
x(t) = x0eα(t−t0)
+
t
t0
b(s)eα(t−s)
ds =

x0e−αt0
+
t
t0
b(s)e−αs
ds

 eαt
.
Pokud je i nehomogenita b konstantní, b ≡ β, platí
t
t0
b(s)eα(t−s)
ds = βeαt
t
t0
e−αs
ds =



β
α
eα(t−t0) − 1 , α = 0,
β(t − t0), α = 0.
Řešení rovnice
x′
= αx + β (3.9)
s počáteční podmínkou (3.2) je pro α = 0 dáno některým z ekvivalentních vyjádření
x(t) = x0eα(t−t0)
+
β
α
eα(t−t0)
− 1 = x0 +
β
α
eα(t−t0)
−
β
α
a pro α = 0 je
x(t) = x0 + β(t − t0).
Vidíme, že řešení x úlohy (3.9), (3.2) má pro α < 0 vlastnost
lim
t→∞
x(t) = −
β
α
a pro α ≥ 0 je řešení neohraničené (monotonně diverguje do +∞ nebo −∞).
3.1.2 Lineární rovnice s periodickým koeficientem
Nechť f je ω-periodická funkce, tj. funkce definovaná na intervalu (−∞, ∞), pro niž existuje
konstanta ω > 0 taková, že f(t + ω) = f(t). Pro ω-periodické funkce zavedeme označení
¯f =
1
ω
ω
0
f(s)ds.
Snadno nahlédneme, že
¯f =
1
ω
t+ω
t
f(s)ds
48 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
pro libovolnou hodnotu t. Veličina ¯f představuje integrální průměr hodnot funkce f přes
interval délky periody.
Buď nyní t libovolné kladné číslo a N největší celé číslo takové, že Nω ≤ t, tj. N = [t/ω].
Pak
t−Nω
0
f(s) − ¯f ds ≤ ω max f(t) − ¯f : 0 ≤ t ≤ ω < ∞,
neboť na levé straně je integrál ze spojité (a tedy ohraničené) funkce na konečném intervalu
délky nejvýše ω. Dále platí
1
t
t
0
f(s)ds =
1
t



N−1
i=0
(i+1)ω
iω
f(s)ds +
t
Nω
f(s)ds


 =
1
t

Nω ¯f +
t−Nω
0
f(s)ds

 =
=
1
t

 t − (t − Nω) ¯f +
t−Nω
0
f(s)ds

 = ¯f +
1
t
t−Nω
0
f(s) − ¯f ds.
Limitním přechodem t → ∞ odtud dostaneme
lim
t→∞
1
t
t
0
f(s)ds = ¯f.
Hodnota ¯f tedy také vyjadřuje integrální průměr z funkce f přes neomezený interval.
Uvažujme lineární homogenní rovnici (3.4) s ω-periodickou funkcí a. Označme
ϕ(t) = e
t
0
(a(s)−¯a)ds
.
Pak funkce ϕ je definovaná na celém intervalu (−∞, ∞) a je zde spojitá, je nezáporná a
splňuje podmínku ϕ(0) = 1. Poněvadž platí
t+ω
0
a(s) − ¯a ds =
t
0
a(s) − ¯a ds +
t+ω
t
a(s) − ¯a ds =
t
0
a(s) − ¯a ds + ω¯a − ¯aω =
=
t
0
a(s) − ¯a ds,
platí také
ϕ(t + ω) = e
t+ω
0
(a(s)−¯a)ds
= e
t
0
(a(s)−¯a)ds
= ϕ(t),
takže funkce ϕ je ω-periodická.
Rovnici (3.4) uvažujme s počáteční podmínkou
x(0) = x0. (3.10)
3.2. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ODR 49
Fundamentální řešení (3.6) této úlohy je
y(t) = e
t
0
a(s)ds
= e
t
0
a(s)−¯a ds+¯at
= ϕ(t)e¯at
a obecné řešení tedy je
x(t) = x0ϕ(t)e¯at
. (3.11)
Provedené úvahy můžeme shrnout:
Tvrzení 6. Řešení rovnice (3.4) s ω-periodickou funkcí a a s počáteční podmínkou (3.10) je
dáno formulí (3.11), kde ϕ je kladná, spojitá, ω-periodická funkce taková, že
ϕ′
(t) = a(t) − ¯a ϕ(t), ϕ(0) = 1.
Vyjádření (3.11) se nazývá Floquetova representace řešení úlohy (3.4), (3.10) s periodickým
koeficientem a. Můžeme ji interpretovat jako multiplikativní rozklad řešení x = x(t) na trend
e¯at a sezónní složku ϕ(t).
Ještě si promyslete, že nahrazení obecné podmínky (3.2) speciální podmínkou (3.10) nepředstavuje
pro rovnici (3.4) s periodickým koeficientem a žádnou újmu na obecnosti.
3.2 Systémy lineárních ODR
Nechť a11,, a12, . . . , a1,n, a21, a22, . . . , a2n, . . . , an1, an2, . . . , ann, b1, b2, . . . , bn jsou funkce definované
na intervalu J ⊆ R. Systém n lineárních obyčejných diferenciálních rovnic (nrozměrný
lineární systém) je tvaru
x′
1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + . . . + a1n(t)xn + b1(t)
x′
2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + . . . + a2n(t)xn + b2(t)
...
...
...
...
...
...
x′
n = an1(t)x1 + an2(t)x2 + . . . + ann(t)xn + bn(t)
Při označení
A(t) =





a11(t) a12(t) . . . a1n(t)
a21(t) a22(t) . . . a2n(t)
...
...
...
...
an1(t) an2(t) . . . ann(t)





, b(t) =





b1(t)
b2(t)
...
bn(t)





, x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





lze tento systém zapsat ve vektorovém tvaru
x′
= A(t)x + b(t). (3.12)
Tuto vektorovou rovnici nazýváme nehomogenní lineární rovnice. Spolu s rovnicí (3.12) budeme
uvažovat počáteční podmínku
x(t0) = x0. (3.13)
Rovnici
x′
= A(t)x (3.14)
nazýváme lineární homogenní rovnicí přidruženou k rovnici (3.12).
50 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Věta 9 (o existenci a jednoznačnosti řešení). Nechť maticová funkce A = A(t) a vektorová
funkce b = b(t) jsou spojité na intervalu J ⊆ R. Pak má počáteční problém (3.12), (3.13)
právě jedno řešení, které existuje na celém intervalu J.
Důkaz: Vzhledem k větám 1 a 4 stačí ukázat, že ke každému τ ∈ J existuje okolí Oτ ⊆ J
takové, že funkce A(t)x + b(t) je Lipschitzovská vzhledem k x na Rn × Oτ .
Je-li τ vnitřní bod intervalu J, existuje a ∈ R, a > 0 takové, že [τ − a, τ + a] ⊆ J.
Položme Lτ = max{||A(t)|| : t ∈ [τ −a, τ +a]} (toto maximum existuje podle druhé Weierstrassovy
věty) a Oτ = (τ − a, τ + a). Podle 1.3.1 je maticová norma souhlasná s vektorovou
normou a z toho plyne, že pro každé t ∈ Oτ a každé dva vektory x, y ∈ Rn platí nerovost
A(t)x + b(t) − A(t)y + b(t) = ||A(t)x − A(t)y|| = ||A(t)(x − y)|| ≤ ||A(t)|| ||x − y|| ≤
≤ Lτ ||x − y|| .
Je-li τ pravý krajní bod intervalu J, položíme
Lτ = max {||A(t)|| : τ − a ≤ t ≤ τ} , Oτ = (τ − a, τ]
a provedeme analogickou úvahu.
Pro levý krajní bod intervalu J provedeme důkaz podobně.
Ve dvou následujících větách jsou formulovány charakteristické vlastnosti lineárních systémů.
Právě ony určují, co znamená slovo „lineární v názvu rovnic (3.12) a (3.14).
1) Lineární kombinace řešení homogenní rovnice je řešením téže rovnice:
Věta 10 (princip superpozice). Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešení rovnice (3.14), pak také
funkce c1x(t) + c2y(t), kde c1, c2 jsou konstanty, je řešením rovnice (3.14).
Důkaz:
d
dt
c1x(t) + c2y(t) = c1x′(t) + c2y′(t) = c1A(t)x(t) + c2A(t)y(t) =
= A(t) c1x(t) + A(t) c2y(t) = A(t) c1x(t) + c2y(t) .
2) Lineární kombinace řešení nehomogenních rovnic je řešením nehomogenní rovnice se
stejnou maticí a s nehomogenitou, která je stejnou lineární kombinací nehomogenit jednotlivých
rovnic:
Věta 11. Je-li funkce y = y(t), resp. z = z(t), řešení nehomogenní rovnice
y′
= A(t)y + b(t), resp. z′
= A(t)z + d(t),
pak funkce x = x daná vztahem x(t) = c1y(t) + c2z(t) je řešením nehomogenní rovnice
x′
= A(t)x + c1b(t) + c2d(t).
Důkaz:
d
dt
x(t) = A(t)x(t) + c1b(t) + c2d(t) = A(t) c1y(t) + c2z(t) + c1b(t) + c2d(t) =
= c1 A(t)y(t) + b(t) + c2 A(t)z(t) + d(t) = c1y′(t) + c2z′(t) =
d
dt
c1y(t) + c2z(t) .
3.2. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ODR 51
Důsledek 6. Rozdíl dvou řešení nehomogenní rovnice (3.12) je řešením přidružené homogenní
rovnice (3.14).
Na závěr ještě ukážeme, že rozlišování lineárních rovnic na homogenní a nehomogenní
vyjadřuje jen rozdílný pohled na tentýž objekt. Nehomogenní rovnici lze totiž považovat za
rovnici homogenní vyšší dimense:
Věta 12. n-vektorová funkce x = x(t) je řešením počáteční úlohy (3.12), (3.13) pro nehomogenní
lineární rovnici právě tehdy, když (n + 1)-vektorová funkce
y = y(t) =
x(t)
y(t)
je řešením počáteční úlohy
y′
= B(t)y, y(t0) =
x0
1
(3.15)
pro homogenní lineární rovnici; přitom
B(t) =
A(t) b(t)
oT 0
Důkaz: Nejprve si povšimněme, že pro poslední složku řešení úlohy (3.15) platí
y′
= 0, y(t0) = 1,
takže y(t) = 1 pro všechna t. Dále platí
y′
(t) =
x′(t)
0
=
A(t)x(t) + b(t)
0
=
A(t) b(t)
oT 0
x(t)
1
= B(t)y(t).
3.2.1 Struktura řešení lineární homogenní rovnice
Množina všech n-vektorových funkcí definovaných a diferencovatelných na intervalu J tvoří
vektorový prostor nad polem reálných čísel; sčítání vektorů je definováno jako sčítání funkcí,
násobení skalárem je definováno jako násobení funkce reálným číslem,
y1 + y2 (t) = y1(t) + y2(t), αy (t) = αy(t),
nulový vektor v tomto prostoru je konstantní funkce y(t) ≡ o, kde o označuje nulový vektor
v prostoru Rn. Podle principu superpozice (věta 10) je množina všech řešení lineární homogenní
rovnice (3.14) podprostorem tohoto prostoru, neboť y(t) ≡ o je řešením této rovnice;
nazýváme ho triviální řešení.
Řekneme, že funkce y1, y2, . . . , yk z vektorového prostoru diferencovatelných n-vektorových
funkcí definovaných na intervalu J jsou lineárně nezávislé, pokud jsou lineárně nezávislé
jakožto vektory, tj. pokud z rovnosti
c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t) = o, pro všechna t ∈ J (3.16)
plyne rovnost c1 = c2 = · · · = ck = 0.
52 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
Lemma 2. Nechť maticová funkce A = A(t) je spojitá na intervalu J a y1, y2, . . . , yk jsou
řešení homogenní rovnice (3.14). Jestliže existuje t0 ∈ J takové, že vektory
y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0) ∈ Rn
jsou lineárně nezávislé, pak vektory
y1(t), y2(t), . . . , yk(t) ∈ Rn
jsou lineárně nezávislé pro každé t ∈ J.
Důkaz: Připusťme, že existuje t1 ∈ J takové, že vektory y1(t1), y2(t1), . . . , yk(t1) jsou závislé.
Pak existují konstanty c1, c2, . . . , ck, z nichž aspoň jedna je nenulová a platí
o = c1y1(t1) + c2y2(t1) + · · · + ckyk(t1).
Funkce x = x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t) je podle principu superpozice (věta 10)
řešením lineární homogenní rovnice (3.14) s počáteční podmínkou x(t1) = o. Avšak řešením
této úlohy je konstantní funkce x(t) ≡ o a podle věty 9 je toto řešení jediné. To znamená, že
funkce y1, y2, . . . , yk splňují podmínku (3.16) a proto také platí c1 = c2 = · · · = ck = 0, což
je spor.
Z tohoto tvrzení plyne: Jsou-li funkce y1, y2, . . . , yk řešením homogenní rovnice (3.14) se
spojitou maticí A a s počátečními podmínkami takovými, že vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yk(t0)
z prostoru Rn jsou lineárně nezávislé, pak jsou funkce y1, y2, . . . , yk lineárně nezávislé.
Ve vektorovém prostoru Rn existuje právě n lineárně nezávislých vektorů, které tvoří jeho
bázi. Z Lemma 1 tedy dále plyne, že i v prostoru všech řešení homogenní rovnice (3.14) se
spojitou maticí A existuje n lineárně nezávislých funkcí y1, y2, . . . , yn.
Lemma 3. Nechť maticová funkce A = A(t) je spojitá na intervalu J a y1, y2, . . . , yn jsou
lineárně nezávislá řešení homogenní rovnice (3.14). Pak libovolné řešení homogenní rovnice
(3.14) je lineární kombinací funkcí y1, y2, . . . , yn, tj. tyto funkce tvoří bázi prostoru řešení
rovnice (3.14).
Důkaz: Nechť x = x(t) je řešení počáteční úlohy (3.14), (3.13). Báze vektorového prostoru Rn
je tvořena vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yn(t0), a proto existují konstanty c1, c2, . . . , cn takové,
že
x(t0) = c1y1(t0) + c2y2(t0) + · · · + cnyn(t0).
Podle principu superpozice (věta 10) je vektorová funkce x = c1y1 +c2y2 +· · ·+cnyn řešením
rovnice (3.14). Toto řešení splňuje počáteční podmínku (3.13). Podle věty 9 je tento problém
jednoznačně řešitelný, takže x = c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn.
Odvodili jsme tak následující větu a jsme oprávněni zavést následující definici.
Věta 13. Je-li maticová funkce A = A(t), A : J → Rn2
spojitá, pak množina všech řešení
rovnice (3.14) tvoří n-rozměrný vektorový prostor.
Definice 11. Libovolná báze prostoru všech řešení lineární homogenní rovnice (3.14) se nazývá
fundamentální systém řešení rovnice (3.14).
3.2. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ODR 53
Nechť funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení
rovnice (3.14). Obecné řešení této rovnice je jejich lineární kombinace
x = x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t).
Označme yj,i = yj,i(t) = yj(t) i
,
Y = Y(t) = y1(t), y2(t), . . . , yn(t) =






y1,1(t) y1,2(t) . . . y1,n(t)
y2,1(t) y2,2(t) . . . y2,n(t)
...
...
...
...
yn,1(t) yn,2(t) . . . yn,n(t)






, c =





c1
c2
...
cn





.
Matice Y = Y(t) se nazývá fundamentální matice řešení systému (3.14). Z lineární nezávislosti
vektorových funkcí y1, y2, . . . , yn plyne, že sloupce fundamentální matice Y jsou lineárně
nezávislé pro každé t ∈ J. To znamená, že matice Y(t) je regulární, det Y(t) = 0 pro každé
t ∈ J.
Obecné řešení rovnice (3.14) lze nyní zapsat ve tvaru
x = x(t) = Y(t)c.
Symbolem c0 označme n-tici konstant takových, že funkce x = x(t) = Y(t)c0 je řešením
počátečního problému (3.14), (3.13). Z rovnosti x0 = Y(t0)c0 pak plyne, že c0 = Y(t0)−1x0.
Řešení počáteční úlohy (3.14), (3.13) tedy můžeme psát ve tvaru
x(t) = Y(t)Y(t0)−1
x0.
Pro fundamentální matici Y = Y(t) řešení systému (3.14) zřejmě platí Y′(t) = A(t)Y(t).
Fundamentální matici řešení systému (3.12) tedy můžeme definovat jako regulární maticovou
funkci, která je řešením maticové diferenciální rovnice
Y′
= A(t)Y. (3.17)
Věta 14. Nechť maticová funkce A = A(t) a vektorová funkce b = b(t) jsou spojité na
intervalu J ⊆ R. Pak obecné řešení x = x(t) vektorové rovnice (3.12) je součtem obecného
řešení přidružené homogenní rovnice (3.14) a nějakého partikulárního řešení nehomogenní
rovnice (3.12),
x(t) = Y(t)c + ˜x(t),
kde Y(t) je fundamentální matice řešení rovnice (3.14) a ˜x(t) je libovolné řešení rovnice
(3.12).
Řešení počátečního problému (3.12), (3.13) je dáno vztahem
x(t) = Y(t)c0 + ˜x(t),
kde pro konstantní vektor c0 platí c0 = Y(t0)−1 x0 − ˜x(t0) .
Důkaz: Funkce x(t) = Y(t)c + ˜x(t) je řešením rovnice (3.12), neboť podle (3.17) platí
x′
= Y′
c + ˜x′
= AYc + A˜x + b = A(Yc + ˜x) + b.
Dále platí Y(t0)c0 + ˜x(t0) = Y(t0)Y(t0)−1 x0 − ˜x(t0) + ˜x(t0) = x0.
54 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
3.2.2 Nalezení partikulárního řešení nehomogenní rovnice (3.12) – metoda
variace konstant
Řešení rovnice (3.12) hledáme ve tvaru ˜x = ˜x(t) = Y(t)c(t), kde c = c(t) je nějaká vektorová
funkce. Pak s využitím rovnosti (3.17) dostaneme
˜x′
= Y′
c + Yc′
= AYc + Yc′
˜x′
= A˜x + b = AYc + b
Odtud
A(t)Y(t)c(t) + Y(t)c′
(t) = A(t)Y(t)c(t) + b(t)
Y(t)c′
(t) = b(t) (3.18)
c′
(t) = Y(t)−1
b(t)
c(t) = η +
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds ,
kde η = c(t0) je konstantní vektor.
Obecné řešení rovnice (3.12) je tedy dáno formulí
x(t) = Y(t)

η +
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds

 = Y(t)η +
t
t0
Y(t)Y(s)−1
b(s)ds .
Aby toto řešení splňovalo počáteční podmínku (3.13), musí platit x0 = Y(t0)η, tj. η =
Y(t0)−1x0. Řešení počátečního problému (3.12), (3.13) je tedy tvaru
x(t) = Y(t)

Y(t0)−1
x0 +
t
t0
Y(s)−1
b(s)ds

 = Y(t)Y(t0)−1
x0 +
t
t0
Y(t)Y(s)−1
b(s)ds .
3.2.3 Převedení systému lineárních diferenciálních rovnic na rovnici vyššího
řádu
Podle Tvrzení 1 lze každou obyčejnou diferenciální rovnici n-tého řádu převést na systém
n diferenciálních rovnic prvního řádu. V případě lineárního systému platí i opačné tvrzení:
každý lineární systém (n-vektorovou rovnici) lze převést na jednu rovnici n-tého řádu. Postup
ukážeme na dvojrozměrném systému.
Uvažujme systém dvou rovnic
x′ = a(t)x+b(t)y+c(t),
y′ = α(t)x+β(t)y+γ(t);
(3.19)
o funkcích a, b, c, α, β, γ předpokládáme, že jsou definovány na nějakém intervalu J a jsou
na něm diferencovatelné. V případě, že existuje t0 ∈ J takové, že b(t0) = 0, je funkce b na
nějakém podintervalu I intervalu J nenulová. Pro t ∈ I z první rovnice vyjádříme druhou
složku
y =
1
b
x′
− ax − c (3.20)
3.3. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM S KONSTANTNÍ MATICÍ 55
a dosadíme ji do druhé rovnice:
y′
= αx +
β
b
x′
− ax − c + γ. (3.21)
První z rovnic (3.19) zderivujeme
x′′
= a′
x + ax′
+ b′
y + by′
+ c′
,
za y dosadíme (3.20) a za y′ dosadíme (3.21). Dostaneme
x′′
= a′
x + ax′
+
b′
b
x′
− ax − c + bαx + β x′
− ax − c + bγ + c′
=
= a + β +
b′
b
x′
− aβ − bα +
ab′ − a′b
b
x + bγ + c′
− cβ −
cb′
b
.
První složka řešení systému (3.19) je tedy na intervalu I řešením rovnice druhého řádu
x′′
− a + β +
b′
b
x′
+ aβ − bα +
ab′ − a′b
b
x = bγ + c′
− cβ −
cb′
b
,
jeho druhá složka je pak dána rovností (3.20).
V případě konstantních funkcí a, b, α, β a funkcí c, γ identicky rovných nule (homogenního
systému s konstantní maticí), dostaneme rovnici
x′′
− (a + β)x′
+ (aβ − bα)x = 0. (3.22)
Povšimněme si, že charakteristický polynom konstantní matice A =
a b
α β
je
det
a − λ b
α β − λ
= λ2
− (a + β)λ + aβ − bα = λ2
− (tr A)λ + det A,
jeho koeficienty jsou tedy shodné s koeficienty na levé straně rovnice (3.22).
Analogicky lze postupovat u systémů n rovnic.
3.3 Homogenní lineární systém s konstantní maticí
Uvažujme vektorovou rovnici
x′
= Ax. (3.23)
Konstantní maticová funkce A je definována na celé množině R. To podle věty 9 znamená,
že řešení rovnice (3.23) existuje, je definováno na intervalu J = (−∞, ∞) a pro libovolnou
počáteční podmínku (3.13) je řešení jediné.
56 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
3.3.1 „Intuitivní hledání obecného řešení
Lineární homogenní rovnice prvního řádu s konstantním koeficientem
x′
= ax
má obecné řešení Ceat. Toto pozorování vede k nápadu, že také lineární homogenní systém
s konstantní maticí by mohl mít řešení ve tvaru exponenciály.
Řešení rovnice (3.23) proto budeme hledat ve tvaru x(t) = ξeλt, kde ξ ∈ Rn je konstantní
vektor a λ je zatím neznámé číslo. Hodnota λ musí splňovat rovnosti
x′
(t) = ξλeλt
, Ax = Aξeλt
,
takže vzhledem k tomu, že eλt = 0, musí platit
Aξ = λξ.
To znamená, že λ je vlastní hodnotou matice A a ξ je příslušný vlastní vektor.
Nyní rozlišíme tři případy:
(i) Jsou-li λ1, λ2 různé vlastní hodnoty matice A a ξ1, ξ2 jsou příslušné vlastní vektory,
pak ξ1eλ1t, ξ2eλ2t jsou lineárně nezávislá řešení rovnice (3.23).
Důkaz: Tvrzení plyne z předchozího výpočtu a faktu, že vlastní vektory příslušné k různým
vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé.
(ii) Je-li λ vlastní hodnota matice A, ξ příslušný vlastní vektor, přičemž λ je k-násobným
kořenem charakteristického polynomu det(A − λE), pak funkce
ξeλt
, η1,0eλt
+ η1,1teλt
, . . . , ηk−1,0eλt
+ ηk−1,1teλt
+ · · · + ηk−1,k−1tk−1
eλt
jsou pro vhodné vektory
η1,0, η1,1, . . . , ηk−1,0, ηk−1,1, . . . , ηk−1,k−1
řešením rovnice (3.23).
Důkaz ukážeme pro k = 2. V případě vyšší násobnosti kořene charakteristické rovnice
lze postupovat analogicky.
Nechť λ je dvojnásobný kořen charakteristického polynomu. Buď B = B(s) diferencovatelná
(a tedy spojitá) maticová funkce definovaná na okolí nuly taková, že B(0) = A, λ
je pro každé s z definičního oboru funkce B jednoduchým kořenem charakteristického
polynomu matice B(s) a existuje jednoduchý kořen µ(s) = λ charakteristického polynomu,
pro nějž platí lim
s→0
µ(s) = λ. (Matici A nepatrně porušíme tak, aby se dvojnásobný
kořen rozdělil na dva různé jednoduché.)
Označme ζµ(s) (resp. ζλ(s)) vlastní vektor matice B(s) příslušný k vlastní hodnotě µ(s)
(resp. λ). Z diferencovatelnosti funkce B plyne podle věty o diferencovatelnosti implicitně
zadané funkce (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných.
MU, Brno 1999, 8.1) diferencovatelnost funkcí ζµ a ζλ, zejména tedy existence limit
lim
s→0
ζ′
λ(s) = ζλ,0, lim
s→0
ζ′
µ(s) = ζµ,0.
3.3. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM S KONSTANTNÍ MATICÍ 57
Rovnice x′ = B(s)x má podle předchozí úvahy řešení ζλ(s)eλt a ζµ(s)eµ(s)t a podle
principu superpozice 10 také řešení
ζλ(s)eλt − ζµ(s)eµ(s)t
λ − µ(s)
.
Poněvadž lim
s→0
B(s) = A, plyne z věty 7 o spojité závislosti řešení na parametrech, že
rovnice (3.23) má řešení
lim
s→0
ζλ(s)eλt − ζµ(s)eµ(s)t
λ − µ(s)
= lim
s→0
ζ′
λ(s)eλt − ζ′
µ(s)eµ(s)t − ζµ(s)tµ′(s)eµ(s)t
−µ′(s)
=
=
ζλ,0 − ζµ,0
−µ′(0)
+ ζµ(0)t eλt
;
při výpočtu limity bylo využito de l’Hôpitalovo pravidlo. Označíme-li nyní
η1,0 =
ζµ,0 − ζλ,0
µ′(0)
, η1,1 = ζµ(0),
dostaneme tvrzení.
(iii) Má-li rovnice (3.23) komplexní řešení x(t) = α(t)+iβ(t), kde α a β jsou reálné vektorové
funkce, a řešení x je lineárně nezávislé na libovolném nenulovém reálném řešení této
rovnice, pak α a β jsou lineárně nezávislými reálnými řešeními rovnice (3.23).
Důkaz: Platí
α′
(t) + iβ′
(t) = α(t) + iβ(t)
′
= A α(t) + iβ(t) = Aα(t) + iAβ(t).
Porovnáním reálných a imaginárních částí této rovnosti dostaneme, že funkce α a β
jsou řešeními rovnice (3.23).
Kdyby vektorové funkce α a β byly lineárně závislé, tj. α = cβ, pak by α + iβ =
(c + i)β a řešení α + iβ by bylo násobkem reálného nenulového řešení β. To by byl spor
s předpokladem tvrzení.
Příklady: Najdeme řešení dvojrozměrných systémů. U nich je fundamentální matice dána
dvojicí nezávislých řešení.
(i)
x′ = − x +3 y
y′ = 3 x − y
Matice A =
−1 3
3 −1
má vlastní hodnoty λ1 = 2, λ2 = −4 a příslušné vlastní vektory
ξ1 =
1
1
, ξ2 =
1
−1
. Fundamentální matice a obecné řešení systému tedy jsou
Y(t) =
e2t e−4t
e2t −e−4t ,
x(t) = c1e2t + c2e−4t,
y(t) = c1e2t − c2e−4t.
58 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
(ii)
x′ = 3
2 x −1
2 y
y′ = 1
2 x +1
2 y
Matice A =
3
2 −1
2
1
2
1
2
má dvojnásobnou vlastní hodnotu λ = 1 a k ní příslušný jediný
vlastní vektor ξ =
1
1
. Jedno řešení systému tedy je
x(t)
y(t)
=
1
1
et, druhé je tvaru
x(t)
y(t)
=
η11 + η12t
η21 + η22t
et
=
η11 η12
η21 η22
1
t
et
.
Musí tedy platit
x′(t)
y′(t)
=
η11 η12
η21 η22
0
1
et
+
1
t
et
=
η11 η12
η21 η22
1
1 + t
et
=
=
η11 + η12 + η12t
η21 + η22 + η22t
et
a současně
x′(t)
y′(t)
=
3
2 −1
2
1
2
1
2
η11 η12
η21 η22
1
t
et
=
3
2η11 − 1
2η21 + 3
2η12 − 1
2η22 t
1
2η11 + 1
2η21 + 1
2η12 + 1
2η22 t
et
.
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin proměnné t vidíme, že parametry η11, η12,
η21, η22 musí splňovat rovnosti
3
2 η11 − 1
2η21 = η11 + η12, 3
2 η12 − 1
2η22 = η12,
1
2 η11 + 1
2η21 = η21 + η22, 1
2 η12 + 1
2η22 = η22,
po úpravě
η11 −2η12 −η21 = 0,
η11 −η21 −2η22 = 0,
η12 −η22 = 0.
Tento homogenní systém algebraických lineárních rovnic splňují např. hodnoty η11 = 1,
η12 = 1, η21 = −1, η22 = 1. Druhé řešení daného systému tedy je
x(t)
y(t)
=
t + 1
t − 1
et
.
Fundamentální matice a obecné řešení systému tedy jsou
Y(t) =
et (t + 1)et
et (t − 1)et ,
x(t) = (c1 + c2 + c2t) et,
y(t) = (c1 − c2 + c2t) et.
3.3. HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ SYSTÉM S KONSTANTNÍ MATICÍ 59
(iii)
x′ = y
y′ = −4 x
Matice A =
0 1
−4 0
má ryze imaginární vlastní hodnotu λ = 2i a příslušný vlastní
vektor
1
2i
. Řešení systému tedy je
x(t)
y(t)
=
1
2i
e2it
=
1
2i
(cos 2t + i sin 2t) =
cos 2t
−2 sin 2t
+ i
sin 2t
2 cos 2t
.
Reálná a imaginární část tohoto řešení představují dvě nezávislá reálná řešení systému.
Fundamentální matice a obecné řešení daného systému tedy jsou
Y(t) =
cos 2t sin 2t
−2 sin 2t 2 cos 2t
,
x(t) = c1 cos 2t + c2 sin 2t,
y(t) = −2c1 sin 2t + 2c2 cos 2t.
3.3.2 Řešení počátečního problému metodou postupných aproximací
Řešení rovnice (3.23) s počáteční podmínkou (3.13) budeme hledat jako limitu Picardovy
posloupnosti postupných aproximací. Členy této posloupnosti jsou podle Věty 1 rekurentně
dány formulemi
xk+1(t) = x0 +
t
t0
Axk(s)ds = x0 + A
t
t0
xk(s)ds.
Obecný člen posloupnosti je
xk(t) = E + (t − t0)A +
(t − t0)2
2!
A2
+ · · · +
(t − t0)k
k!
Ak
x0,
kde E označuje jednotkovou matici. Toto tvrzení ověříme úplnou indukcí: Pro k = 0 máme
x0(t) =
(t − t0)0
0!
A0
x0 = Ex0 = x0
a z platnosti formule pro k plyne
xk+1(t) = x0 + A
t
t0
E + (s − t0)A +
(s − t0)2
2!
A2
+ · · · +
(s − t0)k
k!
Ak
x0ds =
= x0 +


t
t0
ds

Ax0 +


t
t0
(s − t0)ds

 A2
x0 + · · · +

 1
k!
t
t0
(s − t0)k
ds

 Ak+1
x0 =
= E + (t − t0)A +
1
2
(t − t0)2
A2
+
1
3!
(t − t0)3
A3
+ · · · +
1
(k + 1)!
(t − t0)k+1
Ak+1
x0.
Pokud bychom A považovali za konstantu a E za jedničku (tj. pro n = 1), je výraz v závorce
k-tým částečným součtem Taylorovy řady funkce eA(t−t0). Řešení úlohy
x′
= Ax, x(t0) = x0 (3.24)
60 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
můžeme proto formálně zapsat ve tvaru
x(t) = eA(t−t0)
x0. (3.25)
Matice eA(t−t0) je dána nekonečnou řadou
eA(t−t0)
=
∞
k=0
(t − t0)k
k!
Ak
.
Lze ukázat, že tato řada konverguje pro každé t ∈ R a tato konvergence je stejnoměrná.
Z algebry je známo, že matici A můžeme vyjádřit ve tvaru
A = PJP−1
,
kde P je regulární čtvercová matice řádu n a J je Jordanův kanonický tvar matice. Platí tedy
Ak
= PJP−1 k
= PJP−1
PJP−1
P · · · P−1
PJP−1
= PJk
P−1
.
Formuli (3.25) vyjadřující řešení úlohy (3.24) nyní můžeme přepsat do tvaru
x(t) = eA(t−t0)
x0 =
∞
k=0
(t − t0)k
k!
PJk
P−1
x0 = P
∞
k=0
(t − t0)k
k!
Jk
P−1
x0.
Příklad: Najdeme řešení počáteční úlohy pro třídimensionální lineární systém obyčejných
diferenciálních rovnic
x′ = 3x + y + z ,
y′ = −x ,
z′ = −2x − y , x(0) = x0, y(0) = y0, z(0) = z0.
V tomto případě je
x =


x
y
z

 , A =


3 1 1
−1 0 0
−2 −1 0

 , P =


−1 −1 −1
1 0 1
1 1 0

 , J =


1 1 0
0 1 1
0 0 1

 ,
takže
P−1
=


1 1 1
−1 −1 0
−1 0 −1

 , Jk
=


1 k 1
2k(k − 1)
0 1 k
0 0 1

 .
Dále platí
∞
k=0
tk
k!
= et
,
∞
k=0
tk
k!
k = t
∞
k=1
tk−1
(k − 1)!
= tet
,
∞
k=0
tk
k!
1
2k(k − 1) = 1
2t2
∞
k=2
tk−2
(k − 2)!
= 1
2t2
et
,
což znamená
∞
k=0
tk
k!
Jk
=
∞
k=0
tk
k!


1 k 1
2k(k − 1)
0 1 k
0 0 1

 =


1 t 1
2 t2
0 1 t
0 0 1

 et
.
3.4. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU 61
Nyní vypočítáme součin


−1 −1 −1
1 0 1
1 1 0




1 t 1
2 t2
0 1 t
0 0 1




1 1 1
−1 −1 0
−1 0 −1

 =
=




−1 −1 − t −1 − t − 1
2t2
1 t 1 + 1
2 t2
1 1 + t t + 1
2t2






1 1 1
−1 −1 0
−1 0 −1

 =
=




1 + 2t + 1
2t2 t t + 1
2t2
−t − 1
2 t2 1 − t −1
2t2
−2t − 1
2t2 −t 1 − t − 1
2t2



 .
a řešení dané úlohy dostaneme ve tvaru
x(t) = 1 + 2t + 1
2 t2 x0 + ty0 + t + 1
2t2 z0 et,
y(t) = − t + 1
2 t2 x0 + (1 − t) y0 − 1
2t2z0 et,
z(t) = − 2t + 1
2t2 x0 − ty0 + 1 − t − 1
2t2 z0 et.
3.4 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu
Nechť a0, a1, . . . , an−1, f jsou funkce definované na intervalu J ⊆ R. Obyčejná lineární diferenciální
rovnice n-tého řádu je rovnice tvaru
x(n)
+ an−1(t)x(n−1)
+ an−2(t)x(n−2)
+ · · · + a1(t)x′
+ a0(t)x = f(t). (3.26)
Je-li funkce f na pravé straně rovnice (3.26) nulová, f ≡ 0, rovnice se nazývá homogenní,
v opačném případě nehomogenní. Lineární homogenní rovnice n-tého řádu je tedy rovnice
x(n)
+ an−1(t)xn−1
+ an−2(t)xn−2
+ · · · + a1(t)x′
+ a0(t)x = 0. (3.27)
Tato rovnice se také nazývá homogenní rovnice přidružená k rovnici (3.26).
Spolu s rovnicí (3.26) uvažujeme počáteční podmínku
x(t0) = x0, x′
(t0) = ξ1, x′′
(t0) = ξ2, . . . , x(n−1)
(t0) = ξn−1; (3.28)
přitom t0 ∈ J.
Rovnice (3.26) je ve smyslu Tvrzení 1 ekvivalentní se systémem
x′
1 = x2
x′
2 = x3
...
...
...
...
x′
n−1 = xn
x′
n = −a0(t) x1 −a1(t) x2 −a2(t) x3 − · · · − an−1(t) xn +f(t)
62 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
tj.









x1
x2
x3
...
xn−1
xn









′
=









0 1 0 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0 0
0 0 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0 1
−a0(t) −a1(t) −a2(t) . . . −an−2(t) −an−1(t)


















x1
x2
x3
...
xn−1
xn









+









0
0
0
...
0
f(t)









.
(3.29)
První složka řešení tohoto systému je řešením rovnice (3.26).
Počáteční podmínka k vektorové rovnici (3.29) rozepsaná do složek je tvaru
x1(t0) = x0, x2(t0) = ξ1, x3(t0) = ξ2, . . . , xn(t0) = ξn−1.
Věty 9 a 13 vyslovené pro lineární systémy (vektorové lineární rovnice) prvního řádu
můžeme přeformulovat pro lineární rovnici prvního řádu:
Věta 15 (o existenci a jednoznačnosti řešení). Jsou-li všechny funkce a0, a1, . . . , an−1, f spojité
na intervalu J ⊆ R a t0 ∈ J, pak má počáteční problém (3.26), (3.28) právě jedno řešení,
které existuje na celém intervalu J.
Věta 16 (struktura řešení homogenní rovnice, princip superpozice). Jsou-li všechny funkce
a0, a1, . . . , an−1 spojité na intervalu J ⊆ R, pak množina všech řešení homogenní rovnice
(3.27) tvoří n-rozměrný vektorový prostor.
Jsme tedy opět oprávněni zavést definici:
Definice 12. Báze y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) vektorového prostoru všech řešení
rovnice (3.27) se nazývá fundamentální systém řešení.
Z ekvivalence lineární rovnice n-tého řádu (3.26) a lineárního n-rozměrného systému (3.29)
plyne, že funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení
rovnice (3.27) právě tehdy, když maticová funkce
Y = Y(t) =





y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y′
1(t) y′
2(t) . . . y′
n(t)
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)





je fundamentální maticí řešení homogenního systému přidruženého k systému (3.29). To nastává
právě tehdy, když každá z funkcí y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) je řešením
homogenní rovnice (3.27) a sloupce matice Y(t) jsou lineárně nezávislé v nějakém, a tedy
podle Lemma 1 z 3.2.1 v každém, bodě t ∈ J.
Abychom zjednodušili vyjadřování,zavedeme ještě jeden pojem:
Definice 13. Buďte ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm funkce jedné reálné proměnné. Funkce W definovaná
vztahem
W = W(t) = W(t; ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm) = det





ϕ1(t) ϕ2(t) . . . ϕm(t)
ϕ′
1(t) ϕ′
2(t) . . . ϕ′
m(t)
...
...
...
...
ϕ
(m−1)
1 (t) ϕ
(m−1)
2 (t) . . . ϕ
(m−1)
m (t)





3.4. LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU 63
se nazývá wronskián funkcí ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm.
Následující výroky jsou ekvivalentní a charakterizují řešení homogenní rovnice (3.27):
• Funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení rovnice
(3.27) na intervalu J.
• Každá z funkcí y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) je řešením rovnice (3.27) a pro
jejich wronskián platí W(t) = W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0 v nějakém t ∈ J.
• Obecné řešení rovnice (3.27) je tvaru
x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t),
kde c1, c2, . . . , cn jsou konstanty.
Nechť funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) tvoří fundamentální systém řešení
rovnice (3.27). Při označení
y = y(t) =





y1(t)
y2(t)
...
yn(t)





, c =





c1
c2
...
cn





lze obecné řešení homogenní rovnice (3.27) zapsat ve tvaru
x = x(t) = y(t)T
c.
Z Věty 14 a ekvivalence rovnice (3.26) se systémem (3.29) plyne následující tvrzení.
Věta 17. Nechť funkce a1, a2, . . . , an−1, f jsou spojité na intervalu J. Pak obecné řešení
lineární rovnice n-tého řádu (3.26) je tvaru
x(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t) + ˜x(t) = y(t)T
c + ˜x(t),
kde ˜x je libovolné partikulární řešení rovnice (3.26), y1, y2, . . . , yn je fundamentální systém
řešení přidružené homogenní rovnice (3.27) a c1, c2, . . . , cn jsou konstanty.
Partikulární řešení ˜x nehomogenní rovnice (3.26) lze analogicky jakov případě lineárních
systémů najít metodou variace konstant, pokud známe fundamentální systém řešení přidružené
homogenní rovnice (3.27).
Nechť tedy funkce y1, y2, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice
(3.27). Rovnost (3.18), která jsme odvodili při popisu metody variace konstant pro lineární
nehomogenní systémy 3.2.2, můžeme rozepsat do složek:
y1(t) c′
1 + y2(t) c′
2 + · · · + yn(t) c′
n = 0,
y′
1(t) c′
1 + y′
2(t) c′
2 + · · · + y′
n(t) c′
n = 0,
...
...
...
...
...
...
...
...
y
(n−2)
1 (t) c′
1 + y
(n−2)
2 (t) c′
2 + · · · + y
(n−2)
n (t) c′
n = 0,
y
(n−1)
1 (t) c′
1 + y
(n−1)
2 (t) c′
2 + · · · + y
(n−1)
n (t) c′
n = f(t).
(3.30)
64 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE
To je soustava lineárních (algebraických) rovnic pro derivace neznámých funkcí c1, c2, . . . , cn.
Determinant této soustavy je wronskiánem fundamentálního systému řešení y1, y2, . . . , yn a
proto je nenulový pro jakoukoliv hodnotu t. Soustava má tedy jediné řešení c′
1, c′
2, . . . , c′
n.
Hledané funkce c1 = c1(t), c2 = c2(t), . . . , cn = cn(t) z těchto derivací získáme integrací.
Obecné řešení rovnice (3.26) pak je
x(t) = c1(t)y1(t) + c2(t)y2(t) + · · · + cn(t)yn(t).
Příklad: t2x′′ + tx′ − x = 3t2
Rovnici přepíšeme do tvaru (3.26), ve kterém je koeficient u nejvyšší derivace hledané funkce
roven 1, tj.
x′′
+
1
t
x′
−
1
t2
x = 3.
Koeficienty této rovnice jsou definovány a jsou spojité na intervalu J = (0, ∞). Fundamentální
systém řešení přidružené homogenní rovnice
x′′
+
1
t
x′
−
1
t2
x = 0 (3.31)
je tvořen funkcemi
y1(t) = t, y2(t) =
1
t
.
Že tyto funkce jsou skutečně řešením rovnice (3.31) se přesvědčíme dosazením. Wronskián
těchto funkcí je roven
W(t) =
t
1
t
1 −
1
t2
= −
2
t
a je nenulový pro t > 0. Soustava rovnic (3.30) a její řešení tedy je
tc′
1 +
1
t
c′
2 = 0,
c′
1 −
1
t2
c′
2 = 3,
c′
1 = −
t
2
0
1
t
3 −
1
t2
=
3
2
, c′
2 = −
t
2
t 0
1 3
= −
3t2
2
.
Odtud integrací dostaneme
c1(t) = C1 + 3
2 t, c2(t) = C2 − 1
2t3
.
Obecné řešení rané rovnice tedy je
x(t) = t C1 + 3
2 t +
1
t
C2 − 1
2t3 =
C2
t
+ C1t + t2
.
Kapitola 4
Autonomní systémy
Budeme uvažovat systém rovnic
x′
= f(x) , (4.1)
kde f = (f1, f2, . . . , fn) : Ω → Rn, Ω ⊆ Rn je množina s neprázdným vnitřkem a bez izolovaných
bodů. Systém (4.1) se nazývá autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic,
definiční obor pravých stran Ω se nazývá fázový (nebo stavový) prostor. V celé kapitole budeme
předpokládat, že f je spojitá funkce taková, že počáteční problém (4.1) s podmínkou
x(t0) = x0 (4.2)
má jediné řešení pro každé t0 ∈ R, x0 ∈ Ω.
Věta 18. Je-li x = x(t) řešením úlohy (4.1), (4.2), pak pro každé τ ∈ R je y = y(t) = x(t+τ)
řešením rovnice (4.1) s počáteční podmínkou y(t0 − τ) = x0. Je-li x definováno na intervalu
(S, T), je y definováno na intervalu (S − τ, T − τ).
Důkaz: y′(t) =
d
dt
x(t + τ) = f x(t + τ) = f(y(t)).
Tato věta ukazuje, že autonomní systémy popisují děje invariantní vzhledem k posunutí
v čase. Bez újmy na obecnosti se tedy u autonomních systémů můžeme omezit na počátečními
problémy s počáteční podmínkou
x(0) = x0 ∈ Ω. (4.3)
4.1 Fázový prostor, trajektorie, stacionární body
Úplné řešení x = x(t) problému (4.1), (4.3) definované na intervalu (S, T), (přitom platí
−∞ ≤ S < T ≤ ∞) lze interpretovat buďto jako graf zobrazení x : (S, T) → Ω, nebo jako
orientovanou křivku C = {x(t) : S < t < T} ve fázovém prostoru Ω zadanou parametricky.
Tuto křivku nazveme trajektorií řešení x.
Křivku C+ = {x(t) : t ≥ 0}, resp. C− = {x(t) : t ≤ 0}, nazveme pozitivní, resp. negativní,
polotrajektorií systému 4.1.
Příklad: Lineární systém
x′
= −y, y′
= x
65
66 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
má řešení x(t) = r cos(t + ψ), y(t) = r sin(t + ψ), kde
r = x(0)2 + y(0)2 , cos ψ =
x(0)
x(0)2 + y(0)2
, sin ψ =
y(0)
x(0)2 + y(0)2
.
Poněvadž x(t)2 + y(t)2 = r2, jsou trajektorie řešení kružnice se středem v počátku.
Věta 19. Jsou-li x = x(t), y = y(t) řešení systému (4.1), pak jejich trajektorie buďto
splývají, nebo nemají žádný společný bod.
Důkaz: Nechť x(t1) = y(t2) pro nějaká t1, t2 ≥ 0. Podle věty 18 je z = z(t) = x(t + (t1 − t2))
řešením rovnice (4.1) s počáteční podmínkou z(t2) = x(t1). Trajektorie řešení z a x zřejmě
splývají. Současně ale z je řešením rovnice (4.1) s počáteční podmínkou z(t2) = y(t2) a
z předpokládané jednoznačné řešitelnosti problému (4.1) s libovolnou počáteční podmínkou
plyne z ≡ y.
Dále budeme předpokládat, že úplné řešení Cauchyova problému (4.1), (4.3) je pro každou
počáteční hodnotu x0 ∈ Ω definováno na intervalu (−∞, ∞).
Definice 14. Bod x∗ ∈ Ω se nazývá stacionární bod (rovnovážný bod, ekvilibrium, kritický
bod, singulární bod, degenerovaná trajektorie) rovnice (4.1), jestliže f(x∗) = 0.
Trajektorie rovnice (4.1) se nazývá cyklus, je-li uzavřenou křivkou.
Trajektorie {x(t) : t ∈ R} rovnice (4.1) se nazývá homoklinická, jestliže existuje stacionární
bod x∗ ∈ Ω takový, že lim
t→∞
x(t) = lim
t→−∞
x(t) = x∗.
Trajektorie {x(t) : t ∈ R} rovnice (4.1) se nazývá heteroklinická, jestliže existují stacionární
body x∗
1 ∈ Ω, x∗
2 ∈ Ω takové, že x∗
1 = x∗
2, lim
t→∞
x(t) = x∗
1 a lim
t→−∞
x(t) = x∗
2.
Věta 20. Libovolná trajektorie řešení autonomního systému (4.1) je právě jednoho z typů:
– stacionární bod (odpovídá konstantnímu řešením);
– cyklus (odpovídá nekonstantnímu periodickému řešení);
– trajektorie, která sama sebe neprotíná.
Důkaz plyne z vět 18 a 19.
4.1.1 Autonomní rovnice (autonomní systém na přímce)
Rovnice (4.1) pro n = 1, tj. rovnice
x′
= f(x) (4.4)
je speciálním případem rovnice se separovanými proměnnými. Podle 1.2.1 lze tedy najít její
řešení přinejmenším v implicitním tvaru. Často ovšem rozbor stavového prostoru dá názornější
představu o průběhu jejího řešení.
Stavovým prostorem Ω autonomní rovnice (4.4) je interval nebo sjednocení intervalů.
Trajektorie může být
• Přímka, pokud je stavovým prostorem celá množina R a funkce f je stále kladná nebo
stále záporná.
• Polopřímka bez krajního bodu, pokud existuje číslo a ∈ R takové, že f(a) = 0 nebo
a ∈ Ω nastává některá z (nevylučujících se) možností
(−∞, a) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x < a, nebo (a, ∞) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x > a.
4.1. FÁZOVÝ PROSTOR, TRAJEKTORIE, STACIONÁRNÍ BODY 67
• Vnitřek úsečky, pokud existují čísla a, b ∈ R taková, že (a, b) ⊆ Ω, f(x) = 0 pro x ∈ (a, b)
a
f(a) = 0 nebo a ∈ Ω a současně f(b) = 0 nebo b ∈ Ω.
V případě a ∈ Ω, b ∈ Ω se jedná o heteroklinickou trajektorii.
• Stacionární bod x∗ ∈ Ω, pokud f(x∗) = 0.
Je-li trajektorií přímka nebo vnitřek polopřímky nebo úsečky, pak je trajektorie orientovaná
souhlasně s orientací osy x, pokud f(x) > 0 ve všech bodech této přímky nebo vnitřku polopřímky
nebo úsečky. Takovým trajektoriím odpovídají rostoucí řešení rovnice (4.4). Pokud
je zde f(x) < 0, pak je trajektorie orientována proti orientaci osy x.
Nechť x∗ je stacionárním bodem rovnice (4.4) takovým, že existuje jeho pravé ryzí okolí
(x∗, x∗ + ε) ⊆ Ω tak, že f(x) = 0 pro x ∈ (x∗, x∗ + ε). Trajektorie odpovídající řešení rovnice
(4.4) s počáteční podmínkou x(0) = x0 ∈ (x∗, x∗ + ε) směřují ke stacionárnímu, resp. od
stacionárního, bodu x∗, pokud f(x) < 0, resp. f(x) > 0, na intervalu (x∗, x∗ + ε). Analogicky
můžeme vyšetřit směr trajektorií nalevo od stacionárního bodu.
Nechť nyní x∗ je vnitřní stacionární bod rovnice (4.4), tj. x∗ ∈ Ω a f(x∗) = 0. Pokud
je f′(x∗) = 0, pak je tento stacionární bod izolovaný, tj. existuje jeho ryzí okolí, v němž
f(x) = 0. Je-li přitom f′(x∗) > 0, resp. f′(x∗) < 0, pak všechny trajektorie začínající v okolí
bodu x∗ směřují od stacionárního, resp. ke stacionárnímu, bodu x∗.
4.1.2 Další vlastnosti autonomních systémů
Definice 15. Nechť x∗ je stacionární bod autonomního systému (4.1). Položme
Df(x∗
) =













∂f1
∂x1
(x∗)
∂f1
∂x2
(x∗) · · ·
∂f1
∂xn
(x∗)
∂f2
∂x1
(x∗)
∂f2
∂x2
(x∗) · · ·
∂f2
∂xn
(x∗)
...
...
...
...
∂fn
∂x1
(x∗)
∂fn
∂x2
(x∗) · · ·
∂fn
∂xn
(x∗)













.
Řekneme, že stacionární bod x∗ je hyperbolický, pokud každé vlastní číslo matice Df(x∗)
má nenulovou reálnou část. Mají-li všechna vlastní čísla matice Df(x∗) kladnou reálnou část,
řekneme, že hyperbolický stacionární x∗ bod je zdroj (source); mají-li všechna vlastní čísla
matice Df(x∗) zápornou reálnou část, řekneme, že hyperbolický stacionární bod x∗ je stok
(sink).
Homogenní lineární systém s konstantní maticí
x′
= Df(x∗
)x
se nazývá linearizace systému (4.1) ve stacionárním bodě x∗.
Matice Df(x∗) je vlastně Jacobiho maticí zobrazení f v bodě x∗, proto se někdy používá
označení Df(x∗) = J(x∗). Tato matice se někdy také nazývá variační matice systému (4.1)
a linearizace tohoto systému se nazývá variační rovnice systému (4.1).
68 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Definice 16. Neprázdná podmnožina A fázového prostoru Ω systému (4.1) se nazývá
pozitivně invariantní (invariantní vpřed, forward invariant), pokud pro libovolné řešení x( · )
systému (4.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ A platí, že x(t) ∈ A pro všechna t ≥ 0;
negativně invariantní (invariantní vzad, backward invariant), jestliže pro každé řešení x( · )
systému (4.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ A platí, že x(t) ∈ A pro všechna t ≤ 0;
invariantní, je-li současně pozitivně i negativně invariantní.
Poznámka 4. Povšimněme si ještě dvou vlastností invariantních množin:
1. Jsou-li množiny A, B ∈ Ω pozitivně (resp. negativně) invariantní, pak také množiny
A ∩ B a A ∪ B jsou pozitivně (resp. negativně) invariantní.
2. Libovolná trajektorie C systému (4.1) je invariantní množinou tohoto systému.
Definice 17. Nechť A, B ⊆ Ω, B = ∅ a ̺ je nějaká metrika na Ω ekvivalentní s euklidovskou.
Řekneme, že
množina A atrahuje (přitahuje) množinu B (množina A je atraktorem množiny B), jestliže
pro každé řešení systému (4.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ B platí, že
lim
t→∞
̺ x(t), A = 0;
množina A je (globální) atraktor, jestliže A přitahuje Ω;
množina A absorbuje množinu B, jestliže A je pozitivně invariantní a ke každému řešení x
systému (4.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ B existuje T ≥ 0 takové, že x(T) ∈ A;
množina A je globálně absorbující, jestliže absorbuje množinu Ω.
Poznámka 5. Nechť x( · ) je řešením systému (4.1) s počáteční podmínkou x(0) = x0 ∈ Ω.
Pokud množina A je ω-limitní množinou řešení x( · ), pak je pozitivně invariantním atraktorem
množiny {x0}.
Poznámka 6. Trajektorii C systému (4.1) nazveme limitní trajektorií, jestliže existuje množina
B ⊆ Ω taková, že B ∩ (Ω \ C) = ∅ a C atrahuje množinu B. Je-li C navíc cyklem, nazveme
ho limitním cyklem.
Poznámka 7. Buď i ∈ {1, 2, . . . , n}. Jestliže existují kladné konstanty K, δ takové, že pro
každý bod x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω splňující podmínku |xi| ≥ K platí
(sgn xi)fi(x) ≤ −δ|xi|,
pak množina Ai = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω : |xi| ≤ K} je globálně absorbující množinou
systému (4.1).
Důkaz: Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu Ai. Připusťme, že existuje
řešení x( · ) = x1( · ), x2( · ), . . . , xn( · ) systému (4.1) takové, že pro všechna t ≥ 0 je |xi(t)| >
K. Položme u(t) = |xi(t)|. Pak pro všechna t ≥ 0 je
u′
(t) =
d
dt
|xi(t)| = sgn xi(t) fi x(t) ≤ −δ|xi(t)| = −δu(t),
4.1. FÁZOVÝ PROSTOR, TRAJEKTORIE, STACIONÁRNÍ BODY 69
neboli
u′(t)
u(t)
≤ −δ.
Integrací této nerovnosti v mezích od 0 po t dostaneme ln u(t) − ln u(0) ≤ −δt, tj.
0 ≤ |xi(t)| = u(t) ≤ u(0)e−δt
= |xi(0)|e−δt
pro libovolné t ≥ 0. Odtud plyne, že lim
t→∞
|xi(t)| = 0, což je ve sporu s předpokladem |xi(t)| >
K > 0.
Množina Ai má neprázdný průnik s libovolnou trajektorií, je tedy neprázdná. Ukážeme, že je
navíc pozitivně invariantní. Připusťme, že existuje řešení
x( · ) = x1( · ), x2( · ), . . . , xn( · )
systému (4.1) s počáteční hodnotou x(0) ∈ Ai takové, že pro jisté t1 > 0 je x(t1) ∈ Ai, tj.
|xi(t1)| > K. Položme
M = {t ∈ R : 0 ≤ t < t1, |xi(t)| ≤ K} .
Pak 0 ∈ M, takže M je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy
T = sup M. Ze spojitosti funkce xi( · ) a z vlastností suprema plyne, že T < t1, xi(T) = K a
funkce xi( · ) je v bodě T rostoucí. Avšak
d
dt
|xi(t)|
t=T
= sgn xi(T) fi x(T) ≤ −δ|xi(t)| = −δK < 0,
což je spor s faktem, že funkce xi( · ) je v T rostoucí.
Definice 18. Systém (4.1) se nazývá dissipativní, jestliže existuje ohraničená globálně absorbující
množina.
Z definice bezprostředně plyne:
Poznámka 8. Je-li systém (4.1) dissipativní, pak každé jeho řešení je ohraničené.
V aplikacích budou užitečné následující vlastnosti dissipativních systémů:
Poznámka 9. Jestliže existují kladné konstanty K, δ takové, že pro všechna i ∈ {1, 2, . . . , n}
a všechna x ∈ Ω taková, že ||x|| ≥ K platí
(sgn xi)fi(x) ≤ −δ,
pak je systém (4.1) dissipativní a globálně absorbující je množina A = {x ∈ Ω : ||x|| ≤ K}.
Důkaz: Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu A. Připusťme, že existuje
řešení x( · ) systému (4.1) takové, že x(t) ∈ A pro všechna t ≥ 0. Pak ||x(t)|| > K pro všechna
t > 0, a tedy pro libovolné t > 0 platí
d
dt
||x(t)|| =
n
i=1
d
dt
|xi(t)| =
n
i=1
sgn xi(t) x′
i(t) =
n
i=1
sgn xi(t) fi x(t) ≤
n
i=1
(−δ) = −nδ.
Integrací této nerovnosti dostaneme ||x(t)|| ≤ ||x(0)|| − nδt, takže pro t ≥
||x(0)|| − K
nδ
je
||x(t)|| ≤ K, což je spor. Každá trajektorie má tedy s množinou A neprázdný průnik, což také
70 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
znamená, že množina A je neprázdná.
Ukážeme, že množina A je navíc pozitivně invariantní. Nechť x( · ) je řešením systému (4.1)
s počáteční podmínkou x(0) ∈ A. Připusťme, že existuje t1 > 0, pro něž x(t1) ∈ A. Pak
||x(t1)|| > K. Položme
M = {t ∈ R : 0 ≤ t < t1, ||x(t)|| ≤ K} .
Pak 0 ∈ M, takže M je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy
T = sup M. Ze spojitosti funkce ||x( · )|| a z vlastností suprema plyne, že ||x(T)|| = K a funkce
||x( · )|| je v bodě T rostoucí. Avšak
d
dt
||x(t)||
t=T
=
n
i=1
sgn xi(T) x′
i(T) =
n
i=1
sgn xi(T) fi x(T) ≤ −nδ < 0,
což je spor s tím, že funkce ||x( · )|| je v bodě T rostoucí. Pro všechna t > 0 je tedy x ∈ A a
množina A je invariantní.
Poznámka 10. Nechť ke každému i ∈ {1, 2, . . . , n} existují kladné konstanty Ki, δi takové, že
pro všechna x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω z nerovnosti |xi| ≥ Ki plyne nerovnost
(sgn xi)fi(x) ≤ −δi|xi|.
Pak je systém (4.1) dissipativní s globálně absorbující množinou
A = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Ω : |x1| ≤ K1, |x2| ≤ K2, . . . , |xn| ≤ Kn} .
Důkaz: Položme Ai = {x ∈ Ω : |xi| ≤ Ki}. Pak každá z množin Ai je podle poznámky 7
globálně absorbující množinou a A = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An. Podle poznámky 4 je množina A
pozitivně invariantní. Ukážeme, že je také globálně absorbující.
Buď x(t) libovolné řešení systému (4.1). Podle poznámky 7 existuje t1 ≥ 0 takové, že |x1(t1)| ≤
K1 pro všechna t ≥ t1. Dále existuje t2 ≥ t1 takové, že pro všechna t ≥ t2 je |x2(t2)| ≤ K2 atd.
Nakonec existuje tn ≥ tn−1 takové, že |xn(t)| ≤ Kn pro všechna t ≥ tn. Takže pro všechna
t ≥ tn je |x1(t)| ≤ K1, |x2(t)| ≤ K2, . . . , |xn(t)| ≤ Kn, tj. x(t) ∈ A.
4.2 Autonomní systémy v rovině
V tomto oddílu se budeme zabývat systémem (4.1) pro n = 2, tedy systémem
x′ = f(x, y)
y′ = g(x, y).
(4.5)
Definice 19. Křivka zadaná implicitně rovnicí f(x, y) = 0 (resp. g(x, y) = 0) se nazývá
x-nulklina (resp. y-nulklina) rovnice (4.5).
Průsečík nulklin je stacionární bod, tečna k trajektorii v jejím průsečíku s x-nulklinou
(resp. y-nulklinou) je rovnoběžná s osou y (resp. x).
Definice 20 (typy stacionárních bodů v rovině). Stacionární bod (x∗, y∗) systému (4.5) se
nazývá
bod rotace, jestliže v jeho libovolném okolí leží cyklus, obsahující (x∗, y∗) ve svém vnitřku;
4.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 71
střed, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že každá trajektorie s x(0), y(0) ∈ U je
cyklem obsahujícím (x∗, y∗) ve svém vnitřku (střed je speciálním případem bodu rotace);
ohnisko, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že pro každou trajektorii s x(0), y(0) ∈ U
platí
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
)
a pro orientovaný úhel ψ(t), který svírá vektor x(t), y(t) − (x∗, y∗) s nějakým pevným
vektorem platí
lim
t→∞
ψ(t) = ∞ nebo lim
t→∞
ψ(t) = −∞ nebo lim
t→−∞
ψ(t) = ∞ nebo lim
t→−∞
ψ(t) = −∞
(trajektorie se přibližuje ke stacionárnímu bodu (nebo se od něho vzdaluje) po spirále);
uzel, jestliže existuje jeho ryzí okolí U takové, že pro každou trajektorii s x(0), y(0) ∈ U
platí
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
)
a pro orientovaný úhel ψ(t), který svírá vektor x(t), y(t) − (x∗, y∗) s nějakým pevným
vektorem existuje vlastní lim
t→∞
ψ(t) nebo lim
t→−∞
ψ(t);
sedlo, jestliže existuje jen konečný počet trajektorií (x, y) = x(t), y(t) takových, že
lim
t→∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) nebo lim
t→−∞
x(t), y(t) = (x∗
, y∗
) .
4.2.1 Stacionární body lineárního homogenního autonomního systému
Lineární homogenní autonomní systém je lineární homogenní systém s konstantní maticí.
Budeme se tedy zabývat dvojrozměrným systémem
x′ = ax + by
y′ = cx + dy.
(4.6)
Označme
A =
a b
c d
.
Pokud det A = ad−bc = 0, má systém (4.6) jediný stacionární bod (0, 0). Vlastní čísla matice
A jsou kořeny charakteristické rovnice
a − λ b
c d − λ
= λ2
− (a + d)λ + ad − cb = λ2
− (tr A)λ + det A = 0, (4.7)
tedy při označení D = (tr A)2 − 4 det A je λ1,2 =
1
2
tr A ±
√
D .
(i) det A > 0
(i.1) tr A = 0
72 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
V tomto případě je D = −4 det A < 0 a kořeny charakteristické rovnice (4.7) jsou ryze
imaginární, λ1 = i
√
det A , λ2 = −i
√
det A , takže řešení systému (4.6) s počáteční podmínkou
x(0), y(0) = (0, 0) je
x(t)
y(t)
= ̺



cos
√
det A t − ϕ
− −
c
b
sin
√
det A t − ϕ + ˜ϕ



pro vhodné konstanty ̺, ϕ, přičemž
̺ = 0, tg ˜ϕ =
a
√
det A
, ˜ϕ ∈
2k + 1
2
π : k ∈ Z .
Jedná se o parametrické vyjádření elips se středem (0, 0), každá trajektorie je tedy cyklem se
stacionárním bodem (0, 0) ve svém vnitřku. To znamená, že stacionární bod (0, 0) je střed.
(i.2) tr A = 0
(i.2.a) det A > 1
4 (tr A)2
V tomto případě je D < 0, charakteristická rovnice (4.7) má dva různé komplexně sdružené
kořeny 1
2 tr A ± i
√
−D a systém (4.6) s počáteční podmínkou x(0), y(0) = (0, 0) má řešení
x(t)
y(t)
= ̺





cos
√
−D
2
t − ϕ
− −
c
b
sin
√
−D
2
t − ϕ − ˜ϕ





e(1
2
tr A)t
,
kde ̺, ϕ, ˜ϕ jsou vhodné konstanty, přičemž
̺ = 0, tg ˜ϕ =
d − a
√
−D
, ˜ϕ ∈
2k + 1
2
π : k ∈ Z .
Jedná se o parametrické vyjádření spirály, která se „navíjí na stacionární bod (0, 0) nebo se
z něho „odvíjí .
Pokud tr A > 0, pak lim
t→−∞
x(t)
y(t)
=
0
0
, pokud tr A < 0, pak lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
0
0
.
(i.2.b) det A < 1
4 (tr A)2
.
Nechť x(t), y(t) je řešením systému (4.6) a označme ϕ(t) úhel, který svírá přímka procházející
body (0, 0), x(t), y(t) s vodorovnou osou. Platí
tg ψ(t) =
y(t)
x(t)
, pokud x(t) = 0, cotg ψ(t) =
x(t)
y(t)
, pokud y(t) = 0.
V tomto případě je D > 0 a
√
D < |tr A|. Charakteristická rovnice (4.7) má dva reálné
různé kořeny λ1, λ2 takové, že oba mají stejné znaménko jako tr A. Nechť pro určitost λ1 < λ2
a
u =
u1
u2
, resp. v =
v1
v2
,
4.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 73
je vlastní vektor příslušný k vlastní hodnotě λ1, resp. λ2. Alespoň jedna ze souřadnic každého
z vlastních vektorů je nenulová. Obecné řešení systému (4.6) s počáteční podmínkou
x(0), y(0) = (0, 0) je
x(t)
y(t)
= α
u1
u2
eλ1t
+ β
v1
v2
eλ2t
;
přitom alespoň jedna z konstant α, β je nenulová.
Je-li tr A > 0, pak 0 < λ1 < λ2 a
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
= lim
t→−∞
α
u1
u2
eλ1t
+ β
v1
v2
eλ2t
= α
u1
u2
0 + β
v1
v2
0 =
0
0
;
je-li tr A < 0, pak λ1 < λ2 < 0 a
lim
t→∞
x(t)
y(t)
= lim
t→∞
α
u1
u2
eλ1t
+ β
v1
v2
eλ2t
= α
u1
u2
0 + β
v1
v2
0 =
0
0
.
Pokud α = 0 = u1, pak
lim
t→−∞
y(t)
x(t)
= lim
t→−∞
αu2eλ1t + βv2eλ2t
αu1eλ1t + βv1eλ2t
= lim
t→−∞
αu2 + βv2e(λ2−λ1)t
αu1 + βv1e(λ2−λ1)t
=
u2
u1
a pokud α = 0 = v1, pak
lim
t→∞
y(t)
x(t)
= lim
t→∞
αu2eλ1t + βv2eλ2t
αu1eλ1t + βv1eλ2t
= lim
t→−∞
αu2e(λ1−λ2)t + βv2
αu1e(λ1−λ2)t + βv1
=
v2
v1
.
Analogicky, pokud α = 0, pak
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
=
u1
u2
když u2 = 0, lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
v1
v2
když v2 = 0.
Pokud α = 0, pak
lim
t→±∞
y(t)
x(t)
=
v2
v1
když v1 = 0, lim
t→±∞
x(t)
y(t)
=
v1
v2
když v2 = 0.
Stacionární bod (0, 0) je v tomto případě uzel. Směrový vektor polotečny k libovolné trajektorii
ve stacionárním bodě je vlastním vektorem matice A.
(i.2.c) det A = 1
4 (tr A)2
V tomto případě je tr A = 0, neboť det A = 0, charakteristická rovnice (4.7) má dvojnásobný
kořen 1
2 tr A a systém (4.6) s počáteční podmínkou x(0), y(0) = (0, 0) má řešení
x(t)
y(t)
=
α + βt
γ + δt
e(1
2
tr A)t
,
kde α, β, γ, δ jsou nějaké konstanty, z nichž aspoň dvě jsou nenulové. Proto platí
lim
t→±∞
y(t)
x(t)
=
δ
β
pro β = 0, lim
t→±∞
x(t)
y(t)
=
β
δ
pro δ = 0,
lim
t→±∞
y(t)
x(t)
=
γ
α
pro β = 0 = δ.
74 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Je-li tr A < 0, pak
lim
t→∞
e(1
2
tr A)t
= 0, lim
t→∞
te(1
2
tr A)t
= lim
t→∞
t
e−(1
2
tr A)t
= lim
t→∞
1
−1
2 tr A e−(1
2
tr A)t
= 0
a tedy lim
t→∞
x(t)
y(t)
=
0
0
. Je-li tr A > 0 pak analogicky lim
t→−∞
x(t)
y(t)
=
0
0
.
Stacionární bod (0, 0) je v tomto případě uzel. Nyní však již obecně neplatí, že směrový
vektor polotečny k trajektorii ve stacionárním bodě je vlastním vektorem matice A; v případě
β = 0 = δ (tj. pokud vlastní hodnotě λ matice A přísluší dva lineárně nezávislé vlastní
vektory) je každá přímka procházející bodem (0, 0) polotečnou nějaké trajektorie.
Je-li b = 0, pak z podmínky det A = 1
4(tr A)2, tj. 4ad − 4bc = (a + d)2 plyne, že
c = −
1
b
a − b
2
2
.
Vlastní hodnotě λ = 1
2 (a+d) přísluší jediný (až na násobek skalárem) vlastní vektor
2b
a − d
.
Je-li b = 0, pak z podmínky det A = 1
4(tr A)2 plyne (a − d)2 = 0, tj. a = d. Matice
a 0
c a
má pro c = 0 jednoznačně určený vlastní vektor
0
1
příslušný k vlastní hodnotě λ = a; pro
c = 0 je každý vektor vlastním vektorem matice
a 0
0 a
příslušným k vlastní hodnotě λ = a.
Nyní můžeme předchozí tvrzení upřesnit. Je-li a2 + d2 > 0, pak směrový vektor polotečny
k trajektorii ve stacionárním bodě (0, 0) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastní
hodnotě λ = 1
2 tr A. Je-li a2 + d2 > 0, pak každý nenulový vektor je směrovým vektorem
polotečny k nějaké trajektorii ve stacionárním bodě (0, 0).
(ii) det A < 0
V tomto případě je D > (tr A)2
≥ 0, což znamená, že rovnice (4.7) má dva reálné různé
kořeny λ1, λ2. Poněvadž
√
D > |tr A|, mají tyto kořeny opačná znaménka. Nechť pro určitost
λ1 < 0 < λ2. Označme v1, resp. v2, vlastní vektor matice A příslušný k vlastní hodnotě λ1,
resp. λ2. Obecné řešení systému (4.6) je podle 3.3
x(t)
y(t)
= αv1eλ1t
+ βv2eλ2t
,
kde α, β jsou nějaké konstanty. Pro α = 0 = β je
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
= (βv2) lim
t→−∞
eλ2t
= o,
pro α = 0 = β je
lim
t→∞
x(t)
y(t)
= (αv1) lim
t→∞
eλ1t
= o
a pro α = 0 = β je
lim
t→−∞
x(t)
y(t)
= ||αv1|| lim
t→−∞
eλ1t
+ ||βv2|| lim
t→−∞
eλ2t
= ∞ + 0 = ∞,
4.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 75
det A
tr A
det A = 1
4 (tr A)
2
střed
ohnisko
stok
zdroj
uzel
stok
zdroj
sedlo
Obrázek 4.1: Typy izolovaných stacionárních bodů dvourozměrného autonomního lineárního
homogenního systému (4.6) v závislosti na hodnotách stopy a determinantu jeho matice.
lim
t→∞
x(t)
y(t)
= ||αv1|| lim
t→∞
eλ1t
+ ||βv2|| lim
t→∞
eλ2t
= 0 + ∞ = ∞.
To znamená, že stacionární bod (0, 0) je sedlo. Směrový vektor polotečny ke trajektorii, která
směřuje ke stacionárnímu, resp. od stacionárního, bodu, je vlastním vektorem matice A příslušným
k záporné, resp. kladné, vlastní hodnotě.
Výsledky provedené analýzy lineárního dvourozměrného systému (4.6) s konstantní maticí
jsou shrnuty graficky na obrázku 4.1.
Věta 21. Uvažujme autonomní systém
x′ = ax + by + P(x, y)
y′ = cx + dy + Q(x, y) ,
(4.8)
kde P, Q jsou funkce dvou proměnných spojité v okolí počátku. Nechť ad − bc = 0 a nechť
existuje ε > 0 takové, že
lim
(x,y)→(0,0)
|P(x, y)| + |Q(x, y)|
(|x| + |y|)1+ε
= 0 .
Je-li bod (0, 0) uzlem nebo ohniskem pro systém (4.6), pak je stejného typu i pro systém (4.8).
Je-li bod (0, 0) středem pro systém (4.6), pak je bodem rotace nebo ohniskem pro systém (4.8).
Je-li bod (0, 0) sedlem pro systém (4.6) a funkce P, Q mají spojité parciální derivace podle
obou proměnných v okolí počátku, pak je (0, 0) sedlem i pro systém (4.8).
Důkaz: P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney
1964, kap. VIII.
Důsledek 7. Nechť (x∗, y∗) je stacionárním bodem systému (4.5) (tj. f(x∗, y∗) = g(x∗, y∗) =
0) a funkce f, g mají spojité druhé parciální derivace podle obou proměnných v okolí bodu
(x∗, y∗). Označme
f1 =
∂f
∂x
(x∗
, y∗
), f2 =
∂f
∂y
(x∗
, y∗
), g1 =
∂f
∂x
(x∗
, y∗
), g2 =
∂f
∂y
(x∗
, y∗
)
76 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
a nechť f1g2 − f2g1 = 0.
Pak je bod (x∗, y∗) uzlem, ohniskem nebo sedlem pro systém (4.5), je-li počátek stacionárním
bodem stejného typu pro lineární homogenní systém
x′ = f1x + f2y
y′ = g1x + g2y .
(4.9)
Je-li počátek středem pro systém (4.9), je bod (x∗, y∗) buďto ohniskem nebo bodem rotace pro
systém (4.5).
Důkaz: Podle Taylorovy věty pro funkce dvou proměnných (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, 5.2) existuje okolí O(x∗,y∗) stacionárního
bodu (x∗, y∗) takové, že ke každému (x, y) ∈ O(x∗,y∗) existuje číslo ϑ ∈ (0, 1) tak, že platí
f(x, y) = f(x∗
, y∗
) +
∂f(x∗, y∗)
∂x
(x − x∗
) +
∂f(x∗, y∗)
∂y
(y − y∗
)+
+
1
2
∂2f x∗ + ϑ(x − x∗), y∗ + ϑ(y − y∗)
∂x2
(x − x∗
)2
+
+ 2
∂2f x∗ + ϑ(x − x∗), y∗ + ϑ(y − y∗)
∂x∂y
(x − x∗
)(y − y∗
)+
+
∂2f x∗ + ϑ(x − x∗), y∗ + ϑ(y − y∗)
∂y2
(y − y∗
)2
=
= f1(x − x∗
) + f2(y − y∗
) + P(x − x∗
, y − y∗
),
kde jsme symbolem P(x − x∗, y − y∗) označili Taylorův zbytek v uvedeném tvaru.
Ze spojitosti druhých parciálních derivací funkce f a z druhé Weierstraßovy věty plyne,
že existuje konstanta K taková, že pro všechna (x, y) ∈ O(x∗,y∗) platí
∂2f(x, y)
∂x2
≤ K,
∂2f(x, y)
∂x∂y
≤ K,
∂2f(x, y)
∂y2
≤ K.
Odtud plyne, že
|P(x − x∗
, y − y∗
)| ≤
1
2
K|x−x∗
|2
+2K|x−x∗
||y−y∗
|+K|y−y∗
|2
=
K
2
|x−x∗
|+|y−y∗
|
2
.
Analogicky ukážeme, že existuje konstanta L a funkce Q takové, že na okolí stacionárního
bodu (x∗, y∗) platí
g(x, y) = g1(x − x∗
) + g2(y − y∗
) + Q(x − x∗
, y − y∗
),
přičemž
|Q(x − x∗
, y − y∗
)| ≤
L
2
K |x − x∗
| + |y − y∗
|
2
.
Nyní budeme vyšetřovat průběh malých odchylek řešení systému (4.5) od stacionárního bodu
(x∗, y∗), tj. zavedeme nové neznámé funkce
ξ = ξ(t) = x(t) − x∗
, η = η(t) = y(t) − y∗
.
4.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 77
(jinak lze říci, že posuneme stacionární bod (x∗, y∗) do počátku.) Funkce ξ, η jsou řešením
autonomního systém tvaru
ξ′
= f1ξ + f2η + P(ξ, η),
η′
= g1ξ + g2η + Q(ξ, η).
Pro funkce P, Q platí nerovnost |P(ξ, η)| + |Q(ξ, η)| ≤ M |ξ| + |η|
2
, kde M = max {K, L}.
Pro libovolné ε ∈ (0, 1) nyní dostaneme
0 ≤ lim
(ξ,η)→(0,0)
|P(ξ, η)| + |Q(ξ, η)|
|ξ| + |η|
1+ε ≤ lim
(ξ,η)→(0,0)
M |ξ| + |η|
2
|ξ| + |η|
1+ε = M lim
(ξ,η)→(0,0)
|ξ| + |η|
1−ε
= 0
a tvrzení plyne z věty 21.
S použitím terminologie zavedené v definici 15 můžeme část tohoto tvrzení přeformulovat:
Je-li (x∗, y∗) hyperbolický stacionární bod systému (4.5), pak je stejného typu jako stacionární
bod (0,0) linearizace tohoto systému ve stacionárním bodě (x∗, y∗).
Věta 22 (Dulacovo kritérium). Nechť funkce f, g jsou spojitě diferencovatelné na Ω a existují
jednoduše souvislá otevřená množina B ⊆ Ω a spojitě diferencovatelná funkce q : B → R tak,
že výraz
F(x, y) =
∂ q(x, y)f(x, y)
∂x
+
∂ q(x, y)g(x, y)
∂y
je pro všechna (x, y) ∈ B nezáporný nebo je pro všechna (x, y) ∈ B nekladný, přičemž množina
{(x, y) ∈ B : F(x, y) = 0} má míru 0. Pak v množině B neexistuje cyklus systému (4.5).
Důkaz: Připusťme, že existuje cyklus C ⊆ B rovnice (4.5) a nechť jeho parametrické vyjádření
je
x = ϕ(t), y = ψ(t);
přitom funkce ϕ, ψ vyjadřují ω-periodické řešení systému (4.5), tedy
ϕ′
(t) = f ϕ(t), ψ(t) , ψ′
(t) = g ϕ(t), ψ(t) .
Předpokládejme, že křivka C je orientována kladně a má
tvar oválu, tj. existují na ní právě dva body, v nichž je
tečna rovnoběžná s osou y a právě dva body, v nichž je
tečna rovnoběžná s osou x. Označme A množinu ohraničenou
křivkou C, [a, b] průmět množiny A na osu x,
t0 hodnotu parametru pro niž ϕ(t0) = ϕ(t0 + ω) = b, α
nejmenší kladné číslo pro něž ϕ(t0 + α) = a.
Dále zavedeme funkce m = m(x), resp. M = M(x),
takové, že jejich graf na intervalu [a, b] splývá s dolním,
resp. horním, obloukem křivky C. Pak
y
xba
M(x)
m(x)
C
A
m(x) = ψ ϕ−1
(x) = ψ(t) pro t ∈ [t0 + α, t0 + ω],
M(x) = ψ ϕ−1
(x) = ψ(t) pro t ∈ [t0, t0 + α].
78 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Z předpokladů věty a obecných vlastností integrálu plyne, že
A
F(x, y) = 0. (4.10)
Podle Fubiniovy věty nyní platí
I =
A
∂
∂y
q(x, y)g(x, y)dxdy =
=
b
a



M(x)
m(x)
∂
∂y
q(x, y)g(x, y)dy


 dx =
b
a
[q(x, y)g(x, y)]
M(x)
y=m(x) dx =
=
b
a
q x, M(x) g x, M(x) dx −
b
a
q x, m(x) g x, m(x) dx.
V integrálech zavedeme substituci x = ϕ(t), tedy dx = ϕ′(t)dt = f ϕ(t), ψ(t) dt,
I =
t0
t0+α
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt−
−
t0+ω
t0+α
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt =
= −
t0+ω
t0
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) dt =
= −
C
q ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) ds,
kde
C
Φ(x, y)ds označuje křivkový integrál z funkce Φ přes uzavřenou křivku C. Analogicky
ukážeme, že
J =
A
∂
∂x
q(x, y)f(x, y)dxdy =
C
q ϕ(t), ψ(t) f ϕ(t), ψ(t) g ϕ(t), ψ(t) ds.
Odtud plyne, že
A
F(x, y) =
A
∂ q(x, y)f(x, y)
∂x
+
∂ q(x, y)g(x, y)
∂y
dxdy = J + I = 0,
což je ve sporu s (4.10).
V případě, že by křivka byla orientovaná záporně, provedeme důkaz stejně s příslušnou
změnou znamének.
Pokud by na křivce C existovalo k > 2 bodů, v nichž je tečna rovnoběžný s osou y,
rozdělili bychom interval [t0, t0 + ω] na k subintervalů [t0, t0 + α1], [t0 + α1, t0 + α1 + α2], . . . ,
[t0 + ω − αk, t0 + ω] takových, že na každém z nich oblouk křivky C splyne s grafem nějaké
funkce proměnné x.
4.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 79
Důsledek 8 (Bendixsonovo kritérium). Nechť funkce f, g jsou spojitě diferencovatelné na Ω
a existuje jednoduše souvislá otevřená množina B ⊆ Ω tak, že výraz
∂f(x, y)
∂x
+
∂g(x, y)
∂y
je pro všechna (x, y) ∈ B nezáporný nebo je pro všechna (x, y) ∈ B nekladný, přičemž množina,
na níž je tento výraz nulový má míru 0. Pak v množině B neexistuje cyklus systému
(4.5).
Věta 23 (Poincaré (1854–1912)-Bendixson (1861-1935)). Jestliže rovnice (4.1) má trajektorii
C+ = {x(t) : t ≥ 0}, která je ohraničená a její uzávěr neobsahuje stacionární body rovnice
(4.1), pak existuje cyklus rovnice (4.1), který leží v C+.
Důkaz: P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-LondonSydney
1964, kap. VII.
Příklad: Jednoduchý model producent-konzument
V tomto modelu si pod pojmem „producent můžeme představit populaci, která využívá
nějaký neomezený zdroj1, např. zelené rostliny, které využívají sluneční světlo a atmosférický
uhlík. Taková populace by rostla s nějakým kladným růstovým koeficientem, sr. str. 2–4.
„Konzumentem budeme rozumět populaci, pro niž producent představuje zdroj; může
jít například o herbivora živícího se příslušnou rostlinou2. Pro populaci konzumenta je kapacita
prostředí (sr. str. 4) určená velikostí populace producenta. V nejjednodušším přiblížení
můžeme tyto veličiny považovat za úměrné.
Populace konzumenta spotřebovává, a tím ničí, jedince z populace producenta; jinak řečeno,
zvětšuje úmrtnost producentů. Budeme opět jednoduše předpokládat, že toto zvětšení
úmrtnosti producentů je úměrné velikosti populace konzumentů.
Označme N1 = N1(t), resp. N2 = N2(t), velikost populace producenta, resp. konzumenta,
v čase t. Vývoj těchto velikostí můžeme na základě uvedených zjednodušujících předpokladů
(užitím analogických úvah jako na str. 2–4) modelovat systémem dvou autonomních rovnic
dN1
dt
= (r1 − aN2)N1,
dN2
dt
= r2N2 1 −
N2
bN1
.
(4.11)
Parametry r1, r2, a, b jsou kladné; r1 je čistý růstový koeficient populace producenta (relativní
přírůstek velikosti za jednotku času v případě, že populace producenta není konzumovaná),
a je koeficient úměrnosti mezi úmrtností producentů způsobenou konzumenty a velikostí populace
konzumentů (podíl producentů zkonzumovaných populací konzumentů o jednotkové
velikosti za jednotku času v populaci jednotkové velikosti), r2 je maximální možný růstový
koeficient populace konzumenta (relativní přírůstek velikosti populace za jednotku času v případě,
že má neomezený přísun poptravy), b je koeficient úměrnosti mezi úživností prostředí
pro konzumenta a velikostí populace producenta.
1
Ve skutečnosti žádný zdroj není neomezený. Populace navíc potřebuje prostor, který je konečný. Přesnější
by tedy bylo říkat, že pro potřeby modelu zanedbáváme nebo neuvažujeme všechna přirozená omezení.
2
Stručně můžeme mluvit o modelu „tráva-kráva .
80 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
y
x1
1
Obrázek 4.2: Vlevo: fázový portrét systému (4.12). Vpravo: hypotetická možnost existence
cyklu v případě, že stacionární bod je ohnisko a stok.
Velikosti populací jsou čísla nezáporná. Velikost populace producenta v uvažovaném modelu
musí navíc být nenulová, neboť je ve jmenovateli zlomku na pravé straně druhé z rovnic
(4.11). To znamená, že stavový prostor systému (4.11) je množina Ω = (0, ∞) × [0, ∞).
Velikosti populací i čas vyjádříme v nějakých „přirozených jednotkách . Měřítko závisle i
nezávisle proměnných (stavových proměnných i času) změníme tak, že položíme
x =
ab
r1
N1, y =
a
r1
N2, τ = r1t, ̺ =
r2
r1
.
Pak je
dx
dτ
=
d
ab
r1
N1
dt
dt
dτ
=
ab
r1
(r1 − aN2) N1
1
r1
=
ab
r2
1
r1 − a
r1
a
y
r1
ab
x = (1 − y)x,
dy
dτ
=
d
a
r1
N2
dt
dt
dτ
=
a
r1
r2N2 1 −
N2
bN1
1
r1
=
ar2
r2
1
r1
a
y 1 −
r1
a
y
a
r1x
= ̺y 1 −
y
x
,
Použitá substituce tedy transformuje systém (4.11) na jednodušší systém
dx
dτ
= (1 − y)x,
dy
dτ
= ̺y 1 −
y
x
(4.12)
s jediným kladným bezrozměrným parametrem ̺. Stavovým prostorem je opět množina Ω =
(0, ∞) × [0, ∞).
Poněvadž x = 0, má systém (4.12) jedinou x-nulklinu, polopřímku y = 1, a jedinou ynulklinu,
polopřímku y = x. V důsledku toho má jediný stacionární bod (x∗, y∗) = (1, 1).
Pod polopřímkou y = 1 směřují trajektorie doprava, nad ní směřují doleva. Nad polopřímkou
y = x směřují trajektorie dolů, pod ní nahoru. Fázový portrét systému (4.12) je zobrazen na
obr. 4.2 vlevo. Z něho je vidět, že trajektorie mohou obíhat v kladném smyslu stacionární
bod. Není ovšem jasné, zda se k němu přibližují, vzdalují se od něho nebo tvoří uzavřené
křivky. Z fázového portrétu tedy není možné uhodnout průběh řešení systému (4.12).
4.2. AUTONOMNÍ SYSTÉMY V ROVINĚ 81
y
x1
1
y
x1
1
Obrázek 4.3: Trajektorie systému (4.12) se dvěma různými hodnotami parametru ̺. Vlevo:
̺ = 0,5 a stacionární bod je ohnisko, vpravo: ̺ = 8 a stacionírní bod je uzel.
Vyšetříme linearizaci systému (4.12). Máme
Df(x) =



1 − y −x
̺
y
x
2
̺ − 2̺
y
x


 ,
tedy
J∗
= Df (1, 1) =
0 −1
̺ −̺
a dále
tr J∗
= −̺ < 0, det J∗
= ̺ > 0, (tr J∗
)2
− 4 det J∗
= ̺(̺ − 4).
Odtud vidíme, že stacionární bod (1, 1) je stok. V případě ̺ > 4 je to uzel, v případě ̺ < 4
je to ohnisko.
Tento výsledek ovšem ještě nevylučuje, že by ve stavovém prostoru nemohl být cyklus.
Ten by mohl být uzavřenou křivkou, na niž se z jejího vnějšku trajektorie navíjejí a do vnitřku
se z ní trajektorie odvíjejí; taková možnost je naznačena na obr 4.2 vpravo. Existenci cyklu
systému (4.12) vyloučíme Dulacovým kriteriem (věta 22). Položíme
q(x, y) =
1
xy
.
Pak je
F(x, y) =
∂
∂x
1
y
− 1 +
∂
∂y
̺
1
x
−
y
x2
= −
̺
x2
< 0
pro všechna x > 0 a proto neexistuje cyklus systému (4.12) v kladném kvadrantu (0, ∞) ×
(0, ∞).
Trajektorie systému (4.12) pro dvě různé hodnoty parametru ̺ jsou zobrazeny na obr. 4.3;
vlevo je stacionární bod (1, 1) ohniskem, vpravo uzlem.
82 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
4.3 Stabilita
Definice 21 (Persidskij (1903–1970)). Nechť x0 = x0(t) je řešení systému (4.1) definované na
intervalu [0, ∞). Řešení x0 se nazývá stejnoměrně stabilní, jestliže ke každému ε > 0 existuje
δ > 0 tak, že pro každé t0 ≥ 0 všechna řešení x = x(t) systému (4.1) splňující podmínku
||x(t0) − x0(t0)|| < δ existují pro všechna t ≥ t0 a splňují pro ně nerovnost ||x(t) − x0(t)|| < ε.
Není-li řešení x0 = x0(t) systému (4.1) stejnoměrně stabilní, nazývá se nestabilní.
Definice 22 (Ljapunov (1857–1918)). Nechť x0 = x0(t) je řešení systému (4.1) definované
na intervalu [0, ∞). Řešení x0 se nazývá stejnoměrně asymptoticky stabilní, je-li stejnoměrně
stabilní a existuje δ > 0 tak, že pro každé t1 ≥ 0 a všechna řešení x = x(t) systému (4.1)
splňující podmínku ||x(t1) − x0(t1)|| < δ platí lim
t→∞
||x(t) − x0(t)|| = 0.
Ze struktury prostoru řešení lineárního homogenního systému s konstantními koeficienty
(sr. 3.3) plynou následující tři věty.
Věta 24. Buď A konstantní matice. Jestliže všechny kořeny její charakteristické rovnice
det(A − λE) = 0 (vlastní čísla matice A) mají nekladnou reálnou část a ty s nulovou reálnou
částí jsou jednoduché, pak řešení x0 = x0(t) ≡ o lineárního autonomního systému
x′
= Ax (4.13)
je stejnoměrně stabilní.
Věta 25. Jestliže alespoň jedno vlastní číslo matice A má kladnou reálnou část, pak řešení
x0 = x0(t) ≡ o lineárního autonomního systému (4.13) je nestabilní.
Věta 26. Řešení x0 = x0(t) ≡ o lineárního autonomního systému (4.13) je stejnoměrně
asymptoticky stabilní právě tehdy, když každé vlastní číslo matice A má zápornou reálnou
část.
Uvažujme nyní perturbovaný lineární systém s konstantními koeficienty
x′
= Ax + g(x) . (4.14)
Věta 27. Buď Y = Y(t) fundamentální matice řešení systému (4.13). Jestliže existují konstanty
K > 0 a γ <
1
K
takové, že
t
0
Y(t)Y(s)−1
ds ≤ K pro t ≥ 0 (4.15)
a ||g(x)|| ≤ γ ||x|| pro x ∈ Ω, pak řešení x0 = x0(t) ≡ o systému (4.14) je stejnoměrně
asymptoticky stabilní.
Důkaz: J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 130–131.
Poznámka 11. Podmínka (4.15) zaručí stejnoměrnou asymptotickou stabilitu nulového řešení
systému (4.13). Věta říká, že je-li perturbace g v jistém smyslu dostatečně malá, zůstává
zachována stejnoměrná asymptotická stabilita nulového řešení rovnice (4.14).
4.3. STABILITA 83
Z hlediska aplikací je důležité vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability konstantních
řešení (stacionárních bodů) rovnice (4.1).
Je-li funkce f dvakrát spojitě diferencovatelná a f(x∗) = o, pak podle Taylorovy věty
pro funkce více proměnných platí
f(x) = A(x − x∗
) + r1(x, x∗
) ,
kde A = (aij) =
∂fi
∂xj
(x∗) a r1 je příslušný Taylorův zbytek. Vyšetřování stejnoměrné
asymptotické stability konstantních řešení rovnice (4.1) lze transformací y = x − x∗ převést
na vyšetřování stejnoměrné asymptotické stability nulového řešení rovnice
y′
= Ay + g(y),
kde g(y) = r1(y + x∗, x∗) a tu vyšetřit podle věty 27.
Věta 28. Buď x∗ stacionární bod systému (4.1) a nechť zobrazení f je spojitě diferencova-
telné.
Mají-li všechna vlastní čísla variační matice Df(x∗) = J(x∗) záporné reálné části, pak
konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (4.1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Pokud existuje vlastní číslo variační matice Df(x∗) = J(x∗) s kladnou reálnou částí, pak
je konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (4.1) nestabilní.
Důkaz: J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 137–138.
První tvrzení věty 28 říká, že stok je asymptoticky stabilní, sr. def. 15.
4.3.1 Kvalitativní vlastnosti řešení dvourozměrného autonomního systému
(4.5)
Nechť (x∗, y∗) je stacionární bod systému (4.5), funkce f, g jsou dvakrát spojitě diferencovatelné
a J(x∗, y∗) je variační matice tohoto systému v bodě (x∗, y∗). Spojením definice 20,
důsledku 7 a věty 28 dostaneme dostatečné podmínky pro to, aby stacionární bod (x∗, y∗) byl
sedlem, stabilním nebo nestabilním uzlem a ohniskem; tyto podmínky jsou shrnuty v tabulce
4.1.
det J(x∗, y∗) < 0 sedlo
tr J(x∗, y∗)
2
≥ 4 det J(x∗, y∗) nestabilní uzel
tr J(x∗, y∗) > 0
tr J(x∗, y∗)
2
< 4 det J(x∗, y∗) nestabilní ohnisko
tr J(x∗, y∗)
2
≥ 4 det J(x∗, y∗) stabilní uzel
det J(x∗, y∗) > 0
tr J(x∗, y∗) < 0
tr J(x∗, y∗)
2
< 4 det J(x∗, y∗) stabilní ohnisko
Tabulka 4.1: Klasifikace stacionárních bodů systému (4.5). Uvedené podmínky jsou dostatečné
pro to, aby stacionární bod (x∗, y∗) byl typu uvedeného v posledním sloupci tabulky; J(x∗, y∗)
označuje variační matici systému (4.5) ve stacionárním bodě (x∗, y∗).
84 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
4.3.2 Přímá Ljapunovova metoda
V této části budeme symbolem ϕ(t; x0) = ϕ1(t; x0), . . . , ϕn(t; x0) označovat řešení počáteční
úlohy (4.1), (4.2).
Definice 23. Buď ˆx ∈ Ω a G okolí bodu ˆx ve fázovém prostoru Ω. Spojitá funkce V : G → R
se nazývá ljapunovská funkce systému (4.1) v bodě ˆx, jestliže
(i) V (ˆx) = 0 a V (x) > 0 pro každé x ∈ G \ {ˆx}.
(ii) Pro každé η ∈ G je složená funkce V ◦ϕ( · ; η) (tj. V ϕ(t; η) chápeme jako funkci jedné
reálné proměnné t) nerostoucí pro všechna t ≥ 0.
Věta 29. Existuje-li ljapunovská funkce systému (4.1) v bodě x∗, pak x∗ je stacionárním
bodem systému (4.1) a konstantní řešení x(t) ≡ x∗ tohoto systému je stejnoměrně stabilní.
Pokud navíc podmínku (ii) z definice 23 lze nahradit silnější podmínkou
(ii∗) Pro každé η ∈ G je složená funkce V ◦ ϕ( · ; η) klesající pro všechna t ≥ 0,
pak je konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (4.1) stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Důkaz: Pokud by existovalo τ > 0 takové, že ϕ(τ; x∗) = x∗, pak by V ϕ(τ; x∗) > 0 =
V ϕ(0; x∗) a funkce V ϕ( · ; x∗) by nebyla nerostoucí. Bod x∗ je tedy stacionárním bodem
systému (4.1).
Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že x∗ = o. V opačném případě bychom totiž
mohli systém (4.1) substitucí y = x − x∗ transformovat na systém y′ = f(y + x∗), pro který
je o stacionárním bodem.
Buď ε > 0 libovolné číslo takové, že {x ∈ Rn : ||x|| ≤ ε} ⊆ G a označme
γ = min {V (x) : ||x|| = ε} .
Pak γ > 0 a V (x) ≥ γ pro každé x takové, že ||x|| = ε. Ze spojitosti funkce V plyne, že
existuje δ > 0 takové, že |V (x) − 0| = V (x) < γ pro všechna x taková, že ||x|| < δ. Zřejmě je
δ < ε.
Buď dále ξ ∈ Ω takové, že ||ξ|| < δ. Pak V ϕ(0; ξ) < γ a poněvadž funkce V ϕ( · ; ξ) je
nerostoucí, platí
V ϕ(t; ξ) < γ pro všechna t > 0 z definičního oboru funkce ϕ( · ; ξ). (4.16)
Kdyby nyní existovalo t1 > 0 takové, že ||ϕ(t1, ξ)|| ≥ ε, pak by ze spojitosti funkce ||ϕ( · ; ξ)||
a z Bolzanovy věty plynula existence t0 ∈ (0, t1) takového, že ||ϕ(t0; ξ)|| = ε a platilo by
V ϕ(t0; ξ) ≥ γ, což by byl spor s (4.16).
Pro všechna t > 0 z definičního oboru funkce ϕ( · ; ξ) tedy platí ||ϕ(t; ξ)|| < ε. Odtud
navíc podle důsledku 3 věty 5 plyne, že ϕ( · ; ξ) je definována pro všechna t > 0. Tvrzení
o stejnoměrné stabilitě je tedy dokázáno.
V případě, že ξ = x∗, platí: ϕ(t; ξ) = ϕ(t; x∗) = x∗ pro každé t ≥ 0, takže lim
t→∞
ϕ(t; ξ) =
x∗.
Nechť ξ = x∗ = o a funkce V ϕ( · ; ξ) je klesající. Poněvadž funkce V ϕ( · ; ξ) je monotonní,
existuje
lim
t→∞
V ϕ(t; ξ) = α ∈ R (4.17)
4.3. STABILITA 85
a z nezápornosti funkce V plyne α ≥ 0. Připusťme α > 0. Z toho, že
lim
x→x∗
V (x) = V (x∗
) = 0,
plyne existence t2 > 0 a β > 0 takových, že ||ϕ(t; ξ)|| ≥ β pro všechna t ≥ t2. Pro všechna
t ≥ t2 je tedy
β ≤ ||ϕ(t; ξ)|| ≤ ε.
Položme v(z) = V ϕ(1; z) − V ϕ(0; z) . Funkce v je podle věty 7 spojitá na kompaktní
množině {z ∈ Rn : β ≤ ||z|| ≤ ε} a je zde záporná. Podle Weierstrassových vět existuje
∆ = max {v(z) : β ≤ ||z|| ≤ ε} ;
je ∆ < 0 a pro k ∈ N platí
V ϕ(t2 + k; ξ) = V ϕ(t2 + k; ξ) − V ϕ(t2 + k − 1; ξ) + V ϕ(t2 + k − 1; ξ) =
= v ϕ(t2 + k − 1; ξ) + V ϕ(t2 + k − 1; ξ) = . . .
· · · =
k
i=1
v ϕ(t2 + i − 1; ξ) + V ϕ(t2; ξ) ≤ k∆ + V ϕ(t2; ξ) .
Poněvadž lim
k→∞
k∆ = −∞, je také lim
k→∞
V ϕ(t2 + k; ξ) = −∞, což je spor s (4.17). Tento
spor dokazuje, že α = 0. Ze spojitosti funkce V , z faktu ϕ(t; ξ) = x∗ pro t > 0 a ξ = x∗,
z podmínky (i) v definici 23 a ze vztahu (4.17) nyní plyne lim
t→∞
ϕ(t; ξ) = x∗. Tím je dokázáno
i tvrzení o stejnoměrné asymptotické stabilitě.
Důsledek 9. Buď V : G → R diferencovatelná funkce, která splňuje podmínku (i) z definice
23 a nechť pro každé x ∈ G platí
˙V (x) =
n
i=1
∂V (x)
∂xi
fi(x) ≤ 0. (4.18)
Funkce V je ljapunovskou funkcí systému (4.1) v bodě x∗ a tedy konstantní řešení x(t) ≡ x∗
tohoto systému je stejnoměrně stabilní.
Jestliže pro každé x ∈ G \ {x∗} platí ˙V (x∗) < 0, pak funkce V splňuje podmínku (ii∗)
z věty 29 a tedy konstantní řešení x(t) ≡ x∗ tohoto systému je stejnoměrně asymptoticky
stabilní.
Důkaz: Pro každé η ∈ G a každé t ≥ 0 je x = ϕ(t, η) ∈ G a podle věty o derivaci složené
funkce platí
d
dt
V ϕ(t; η) =
n
i=1
∂V
∂xi
ϕ(t; η)
dϕi(t; η)
dt
=
n
i=1
∂V
∂xi
ϕ(t; η) fi ϕ(t; η) =
=
n
i=1
∂V (x)
∂xi
fi(x) = ˙V (x).
Odtud a ze známých vět o vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné pomocí derivace
plynou obě tvrzení.
86 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Je-li U diferencovatelná funkce definovaná na G ⊆ Ω, pak výraz ˙U(x) definovaný vztahem
˙U(x) =
n
i=1
∂U(x)
∂xi
fi(x)
se nazývá derivace funkce U vzhledem k systému (4.1).
Příklad
Uvažujme Verhulstovu logistickou rovnici
x′
= rx 1 −
x
K
. (4.19)
Kladné stacionární řešení této rovnice je x ≡ K. Položme G = (0, ∞) a
V (x) =
K
2r
(x − K)2
.
Pak V (K) = 0, V (x) > 0 pro x = K a dále
˙V (x) =
∂
∂x
K
2r
(x − K)2
rx 1 −
x
K
=
K
2r
2(x − K)rx
K − x
K
= −x(x − K)2
< 0
pro každé x > 0, x = K. Funkce V je tedy ljapunovskou funkcí rovnice (4.19) a její stacionární
řešení x ≡ K je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Položme nyní
W(x) =
x
K
ξ − K
ξ
dξ.
Pak W(K) = 0. Pro x > K je horní mez integrálu větší než dolní a integrujeme kladnou
funkci; pro x ∈ (0, K) naopak je horní mez integrálu menší než dolní a integrujeme zápornou
funkci. Integrál je tedy pro jakékoliv x = K kladný, takže W(x) > 0 pro x ∈ G {K}. Dále
pro tato x platí
˙W(x) =
x − K
x
rx 1 −
x
K
= −
r
K
(x − K)2
≤ 0
pro každé x > 0, přičemž rovnost nastane pouze pro x = K. Funkce W je tedy také ljapunovskou
funkcí Verhulstovy logistické rovnice (4.19).
Příklad především ukazuje, že ljapunovských funkcí rovnice (a tím spíše systému) může
být více. Pokud však Verhulstovu rovnici chápeme jako model růstu populace (sr. str. 4), pak
má druhá z uvedených ljapunovských funkcí i jistou interpretaci.
Integrovaný výraz vyjadřuje relativní odchylku velikosti populace od kapacity prostředí (tj.
od rovnovážné velikosti) vzhledem k velikosti populace. To lze chápat jako jakousi „sílu nebo
„napětí , které na populaci dané velikosti působí. Tuto „sílu jsme integrovali podle velikosti
populace na intervalu od rovnováhy do jisté hodnoty velikosti populace, což vyjadřuje „něco
jako práci , kterou je potřeba vykonat na vychýlení velikosti populace z rovnovážné hodnoty.
Jinak řečeno, výraz W(x) vyjadřuje jakousi „potenciální energii populace o velikosti x.
Tuto „fyzikální metaforu lze ještě vylepšit. Populace se musí nacházet na nějakém území.
Jeho rozlohu označíme S; vyjadřujeme ji v jednotkách, které jsou druhou mocninou jednotky
délky (m2). Za velikost populace budeme považovat její celkovou biomasu na uvažovaném
4.3. STABILITA 87
území; vyjadřujeme ji v jednotkách hmotnosti (kg). Pro populaci velikosti x zavedeme její
„potenciální energii výrazem
E(x) = r2
SW(x).
Růstový koeficient r je vyjádřen v jednotkách, které jsou převrácenou hodnotou jednotky času
(s−1) a veličina W je vyjádřena ve stejných jednotkách, jako velikost populace (kg). Veličina
E zavedená předchozí rovností je tedy vyjádřena v jednotkách kg m2s−2, tj. v joulech. Ještě
poznamenejme, že integrací můžeme funkci E vyjádřit ve tvaru
E(x) = r2
S x − K 1 + ln
x
K
.
Funkce E nabývá svého minima v hodnotě K, tj. v hodnotě, ke které se přibližuje velikost
populace. Výsledek lze nyní zformulovat: populace se vyvíjí tak, aby minimalizovala svou
potenciální energii.
Důsledek 10. Buď V : G → R diferencovatelná funkce, která splňuje podmínku (i) z definice
23 a nechť pro každé x ∈ G platí nerovnost (4.18). Jestliže existuje diferencovatelná
funkce F : G → R taková, že
A = x : ˙V (x) = 0 = {x : F(x) = 0}
a pro každé x ∈ A {x∗} platí
˙F(x) =
n
i=1
∂F(x)
∂xi
fi(x) = 0, (4.20)
pak funkce V splňuje podmínku (ii∗) z věty 29 a tedy konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému
(4.1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Důkaz: Množina A je (n − 1)-rozměrná diferencovatelná varieta (nadplocha) a vektor
ν(x) =
∂F(x)
∂x1
,
∂F(x)
∂x2
, . . . ,
∂F(x)
∂xn
T
je normálovým vektorem k této varietě v bodě x ∈ A.
Nechť nyní bod x ∈ A {x∗} je libovolný. Vektor f(x) je tečným vektorem k trajektorii
systému (4.1) v bodě x. Z nerovnosti (4.20) nyní plyne, že vektory ν(x) a f(x) nejsou kolmé,
tedy že vektor f(x) není tečným vektorem k varietě A v bodě x. Jinak řečeno, trajektorie
varietu A v bodě x protíná pod nějakým nenulovým úhlem, přechází z jedné její strany na
druhou. Jestliže tedy existuje nějaké t1 ≥ 0 takové, že ϕ(t1; η) = x, pak existuje ε > 0 takové,
že ϕ(t1 + τ; η) ∈ A a ϕ(t1 − τ; η) ∈ A, tj. ˙V ϕ(t1 + τ; η) < 0 a ˙V ϕ(t1 − τ; η) < 0, pro
všechna τ ∈ (0, ε). Funkce ˙V ◦ϕ( · ; η) je tedy v bodě t1 klesající. Poněvadž bod x ∈ A {x∗}
byl libovolný, je tato funkce klesající v každém t ≥ 0.
Příkladem na použití tohoto tvrzení je vyšetřování stability kladného stacionárního řešení
v modelu trofického řetězce, viz 7.5.
88 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
4.4 Konzervativní systémy
Nejprve připomeneme dva pojmy, jeden z analýzy a druhý z lineární algebry: Operátor ∇ (nabla,
gradient) přiřazuje spojitě diferencovatelné skalární funkci F proměnných x1, x2, . . . , xn
vektorovou funkci
∇F =
∂F
∂x1
,
∂F
∂x2
, . . . ,
∂F
∂xn
T
.
stejných proměnných.
Matice A se nazývá antisymetrická (polosymetrická, anglicky skew-symmetric), pokud platí
rovnost A = −AT .
Definice 24. Funkce U : Ω → R se nazývá první integrál (invariant) systému (4.1), je-li
spojitě diferencovatelná a v každém bodě x ∈ Ω pro její derivaci vzhledem k systému (4.1)
platí
˙U(x) = ∇U(x)T
f(x) =
n
i=1
∂U
∂xi
(x)fi(x) = 0.
Řekneme, že systém (4.1) je konzervativní, jestliže existuje jeho první integrál.
Věta 30. Nechť U : Ω → R je první integrál systému (4.1) a nechť x( · ) je řešení systému
(4.1). Pak je funkce U x( · ) konstantní.
Důkaz:
d
dt
U(x(t) =
n
i=1
∂U
∂xi
x(t)
d
dt
xi(t) =
n
i=1
∂U
∂xi
x(t) fi x(t) = 0.
První integrál tedy vyjadřuje veličinu, která je na trajektoriích systému (4.1) konstantní,
tj. veličinu, která se v průběhu vývoje systému zachovává; název „invariant je tedy adekvátní.
Systém je konzervativní, pokud zachovává (konzervuje) veličinu U. V aplikacích může jít např.
o celkovou energii nebo hmotu a podobně.
Větu lze přeformulovat i takto: trajektorie systému (4.1) jsou vrstevnicemi prvního integrálu.
Znalost prvního integrálu tedy poskytuje informaci o řešení systému (4.1).
Znalost několika prvních integrálů umožňuje také zmenšit dimenzi systému (4.1). Uvažujme
systém (4.1) s počáteční podmínkou (4.3). Nechť k je přirozené číslo splňující nerovnosti
1 ≤ k < n, U1, U2, . . . , Uk jsou první integrály systému (4.1) a nechť vektory
∇U1(x0), ∇U2(x0), . . . , ∇Uk(x0) jsou lineárně nezávislé. Definujme zobrazení Φ =: Ω → Rk,
Φ = (Φ1, Φ2, . . . , Φk)T předpisem
Φ(x) =





U1(x) − U1(x0)
U2(x) − U2(x0)
...
Uk(x) − Uk(x0)





.
Toto zobrazení je spojitě diferencovatelné. Označme
x0 = (x0)1, (x0)2, . . . , (x0)n)
T
= (x0,1, x0,2, . . . , x0,n)T
y = (x1, x2, . . . , xk)T
, z = (xk+1, xk+2, . . . , xn)T
,
4.4. KONZERVATIVNÍ SYSTÉMY 89
y0 = (x0,1, x0,2, . . . , x0,k)T
, z0 = (x0,k+1, x0,k+2, . . . , x0,n)T
.
Pak je Φ(y0, z0) = o a z lineární nezávislosti vektorů ∇U1(x0), ∇U2(x0), . . . , ∇Uk(x0) plyne
det











∂
∂y1
Φ1(y0, z0)
∂
∂y2
Φ1(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φ1(y0, z0)
∂
∂y1
Φ2(y0, z0)
∂
∂y2
Φ2(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φ2(y0, z0)
...
...
...
...
∂
∂y1
Φk(y0, z0)
∂
∂y2
Φk(y0, z0) · · ·
∂
∂yk
Φk(y0, z0)











=
= det











∂
∂x1
U1(x0)
∂
∂x2
U1(x0) · · ·
∂
∂xk
U1(x0)
∂
∂x1
U2(x0)
∂
∂x2
U2(x0) · · ·
∂
∂xk
U2(x0)
...
...
...
...
∂
∂x1
Uk(x0)
∂
∂x2
Uk(x0) · · ·
∂
∂xk
Uk(x0)











= 0.
Jsou splněny předpoklady věty o implicitním zobrazení (viz např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, Věta 8.5). To znamená, že existuje
jediné spojité zobrazení Ψ = (Ψ1, Ψ2, . . . , Ψk)T : Rn−k → Rk takové, že Φ Ψ(z0), z0 = o.
Substitucí
z1 = xk+1, z2 = xk+2, . . . , zn−k = xn
přejde systém (4.1) na systém
z′
1 =fk+1(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k),
z′
2 =fk+2(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k),
...
z′
n−k=fn(Ψ1(z1, z2, . . . , zn−k), Ψ2(z1, z2, . . . , zn−k), . . . , Ψk(z1, z2, . . . , zn−k), z1, z2, . . . , zn−k).
Stručně řečeno, složky x1, x2, . . . , xk vypočítáme ze soustavy rovnic
U1(x1, x2, . . . , xn) = U1(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
U2(x1, x2, . . . , xn) = U2(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
...
Uk(x1, x2, . . . , xn) = Uk(x0,1, x0,2, . . . , x0,n),
tak, že je vyjádříme v závislosti na složkách xk+1, xk+2, . . . , xn, a pak je dosadíme do posledních
n − k rovnic systému (4.1). Obecněji: vyjádříme k neznámých funkcí pomocí zbývajících
n − k a dosadíme je do příslušných n − k z původních diferenciálních krovnic.
Příklad
Uvažujme dvourozměrný systém
x′ = x(y − 1),
y′ = −xy
(4.21)
90 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
se stavovým prostorem Ω = (0, ∞) × (0, ∞). První integrál tohoto systému lze hledat tak, že
druhou rovnici vydělíme rovnicí první. Dostaneme
dy
dx
= −
xy
x(y − 1)
=
y
1 − y
,
což je rovnice se separovanými proměnnými, sr. 1.2.1. Její řešení je implicitně dáno rovnicí
x + y − ln y = const.
Funkce U : Ω → R definovaná vztahem
U(x, y) = x + y − ln y (4.22)
je prvním integrálem systému (4.21), neboť
˙U(x, y) = 1 · x(y − 1) + 1 −
1
y
· (−xy) = xy − x − xy + x = 0.
Pokud funkce x = x(t), y = y(t) jsou řešením systému (4.21) s počáteční podmínkou
x(0) = x0, y(0) = y0, (4.23)
pak pro všechna t ≥ 0 platí
x(t) + y(t) − ln y(t) = U x(t), y(t) = U(x0, y0) = x0 + y0 − ln y0,
tedy
x(t) = y(t) + ln y(t) + x0 + y0 − ln y0. (4.24)
Dosazením tohoto vyjádření funkce x do druhé rovnice systému (4.21) dostaneme
y′
= −y y + ln
y
y0
+ x0 + y0 . (4.25)
Druhá složka řešení počátečního problému (4.21), (4.23) je tedy řešením (skalární autonomní)
rovnice (4.25) s počáteční podmínkou y(0) = y0; jeho první složka je pak dána rovností (4.24).
Definice 25. Nechť existuje antisymetrická matice S a spojitě diferencovatelná funkce H :
Ω → R taková, že pro všechna x je f(x) = S∇H(x). Pak se systém (4.1) nazývá hamiltonovský,
funkce H se nazývá hamiltonián systému (4.1).
Hamiltonovský systém je tedy tvaru
x′
= S∇H(x).
Věta 31. Hamiltonovský systém je konzervativní, hamiltonián je jeho invariantem.
Důkaz: Nejprve si všimněme, že pro libovolný vektor x ∈ Rn a antisymetrickou matici S řádu
n platí
vT
Sv = vT
Sv
T
= vT
ST
v = −vT
Sv
a tedy vT Sv = 0. Odtud plyne, že
∇H(x)T
f(x) = ∇H(x)T
S∇H(x) = 0.
4.4. KONZERVATIVNÍ SYSTÉMY 91
Příklad
Systém (4.21) vyjádříme v logaritmických souřadnicích, tj. zavedeme substituci
ξ = ln x, η = ln y. (4.26)
Pak je
ξ′
=
x′
x
= y − 1 = eη
− 1, η′
=
y′
y
= −x = −eξ
.
Transformace (4.26) převádí systém (4.21) na systém tvaru
ξ′ = eη − 1,
η′ = −eξ,
(4.27)
který můžeme vektorově zapsat jako
ξ
η
′
=
0 1
−1 0
eξ
eη − 1
.
Matice na pravé straně této rovnice je antisymetrická. K tomu, aby funkce H = H(ξ, η) byla
hamiltoniánem systému (4.27) stačí, aby splňovala vztahy
∂H
∂ξ
= eξ
,
∂H
∂η
= eη
− 1,
tj. aby byla kmenovou funkcí diferenciálu eξdξ + (eη − 1) dη. Zřejmě stačí volit
H(ξ, η) = eξ
+ eη
− η.
Ještě si můžeme povšimnout, že hamiltonián H systému (4.27) je invariantem (4.22) systému
(4.21) transformovaným substitucí (4.26).
Definice 26. Existuje-li přirozené číslo k, 1 ≤ k < n a existují-li zobrazení
g = (g1, g2, . . . , gk) : Rn−k
→ Rk
, h = (h1, h2, . . . , hn−k) : Rk
→ Rn−k
tak, že pro všechna x ∈ Ω je
f(x) = f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fn(x1, x2, . . . , xn) =
= g1(xk+1, xk+2, . . . , xn), g2(xk+1, xk+2, . . . , xn), . . . , gk(xk+1, xk+2, . . . , xn),
h1(x1, x2, . . . , xk), h2(x1, x2, . . . , xk), . . . , hn−k(x1, x2, . . . , xk) ,
pak se systém (4.1) nazývá bipartitní.
Při označení y = (x1, x2, . . . , xk), z = (xk+1, xk+2, . . . , xn) lze bipartitní systém zapsat ve
tvaru
y′
= g(z), z′
= h(y).
Neznámé funkce jsou rozlišeny na dvě sady; derivace funkcí z první sady závisí pouze na
funkcích z druhé sady a naopak.
92 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
Příklad (Newtonovy zákony pohybu)
Uvažujme hmotný bod X o hmotnosti m, který má v čase t souřadnice x = x(t), y = y(t),
z = z(t) a na nějž působí síla F = (Fx, Fy, Fz), která může záviset na poloze bodu X.
Polohu bodu X lze zapsat jako vektor x = (x, y, z)T . Označme po řadě v = (vx, vy, vz)T ,
a = (ax, ay, az)T , p = (px, py, pz)T rychlost, zrychlení a hybnost bodu X.
Zákon setrvačnosti říká, že pokud je hmotný bod v klidu nebo vykonává rovnoměrný
přímočarý pohyb, pak jeho hybnost („množství pohybu ) je konstantní a úměrná rychlosti s
koeficientem úměrnosti m, tj. p = mv. Ze zákona setrvačnosti tak dostáváme
x′
= v =
1
m
p a dále a = x′′
=
1
m
p′
, tj. p′
= ma.
Síla působí zrychlení hmotného bodu; definujeme ji jako úměrnou tomuto zrychlení opět s
koeficientem úměrnosti m, tj. F = ma. První dva Newtonovy pohybové zákony tedy můžeme
vyjádřit ve tvaru bipartitního systému
x′
=
1
m
p, p′
= F (x). (4.28)
Nechť nejprve nepůsobí žádná síla, F = o. Pak funkce
U(x, p) = U(x, y, z, px, py, pz) = px + py + pz
je prvním integrálem systému
x′
=
1
m
p, p′
= o. (4.29)
Vskutku
∇U(x, y, z, px, py, pz) = (0, 0, 0, 1, 1, 1)T
, f(x, y, z, px, py, pz) =
px
m
,
py
m
,
pz
m
, 0, 0, 0
T
,
takže ∇UT f = 0. Analogicky se lze přesvědčit, že každá z funkcí
U1(x, p) = px, U2(x, p) = py, U3(x, p) = pz, U4 = p2
x + p2
y + p2
z
je prvním integrálem systému (4.29); uvedené první integrály U4, resp. U1, U2, U3, vyjadřují
zákon zachování hybnosti, resp. jejích složek.
Uvažujme nyní centrální sílu působící v počátku, tj. sílu, která bod X přitahuje k počátku
nebo ho od něj odpuzuje. O velikosti síly budeme předpokládat, že je přímo úměrná hmotnosti
bodu X a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu X od počátku (takovou
přitažlivou silou je například síla gravitační). Platí tedy
Fx(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
x
x2 + y2 + z2
, Fy(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
y
x2 + y2 + z2
,
Fz(x, y, z) = c
m
x2 + y2 + z2
z
x2 + y2 + z2
, tj. F (x) =
cm
||x||3 x,
kde || · || nyní označuje euklidovskou velikost (normu) vektoru. Je-li konstanta úměrnosti c
kladná, jedná se o přitažlivou sílu, je-li záporná, jedná se o sílu odpudivou. Systém (4.28) je
nyní tvaru
x′
=
1
m
p, p′
=
cm
||x||3 x. (4.30)
4.4. KONZERVATIVNÍ SYSTÉMY 93
V souřadnicích ho lze rozepsat
x′ =
1
m
px, p′
x =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
x,
y′ =
1
m
py, p′
y =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
y,
z′ =
1
m
pz, p′
z =
cm
(x2 + y2 + z2)3/2
z.
Fázový prostor tohoto systému je množina Ω = (x, p) ∈ R3+3 : ||x|| > 0 . Pro funkci H :
Ω → R definovanou předpisem
H(x, p) =
||p||2
2m
+
cm
||x||
, tj. H(x, y, z, px, py, pz) =
1
2m
(p2
x + p2
y + p2
z) +
cm
x2 + y2 + z2
platí
∂H
∂x
= −
cmx
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂y
= −
cmy
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂z
= −
cmz
(x2 + y2 + z2)3/2
,
∂H
∂px
=
px
m
,
∂H
∂py
=
py
m
,
∂H
∂pz
=
pz
m
.
(4.31)
Tedy ∇HT f = 0 a funkce H je prvním integrálem systému (4.30). Výraz
1
2m
(p2
x +p2
y +p2
z) =
1
2m
(m2
x′2
+m2
y′2
+m2
z′2
) =
1
2
m(x′2
+y′2
+z′2
) =
1
2
m x′ 2
=
1
2
m ||v||2
vyjadřuje kinetickou energii hmotného bodu X, výraz
cm
x2 + y2 + z2
=
cm
||x||
vyjadřuje jeho energii potenciální. První integrál je tedy celkovou mechanickou energií hmotného
bodu X, která se zachovává.
Z vyjádření (4.31) vidíme, že systém (4.30) lze také zapsat ve tvaru








x
y
z
px
py
pz








′
=








0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
−1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0






























∂
∂x
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂y
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂z
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂px
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂py
H(x, y, z, px, py, pz)
∂
∂pz
H(x, y, z, px, py, pz)






















94 KAPITOLA 4. AUTONOMNÍ SYSTÉMY
nebo stručně
x
p
′
=
O E
−E O
∇H(x, p),
kde O, resp. E, je nulová, resp. jednotková, matice. Odtud vidíme, že první integrál H je
současně hamiltoniánem systému (4.30). Označíme-li nyní
∇x =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
T
, ∇p =
∂
∂px
,
∂
∂py
,
∂
∂pz
T
můžeme systém (4.30) také zapsat jako hamiltonovský systém
x′
= ∇pH(x, p), p′
= −∇xH(x, p).
Část II
Aplikace
95
Kapitola 5
Makroekonomické modely
5.1 Harrodův-Domarův model ekonomického růstu
Základní ekonomickou veličinou je produkce. Produkovat může subjekt, který vlastní kapitál.
Kapitálem jsou nejen peníze, ale především budovy, stroje, zařízení a podobně. Kapitál vzniká
a obnovuje se investicemi. Budeme tedy uvažovat tři ekonomické ukazatele, tj. tři časově
závislé proměnné – produkci Y = Y (t), kapitál K = K(t) a investice I = I(t). Kdekoliv je
vyvíjena jakákoliv ekonomická aktivita, tam je nějaká produkce; proto je veličina Y kladná.
A jak již bylo řečeno, z toho, že je produkce plyne, že byl kapitál; tedy i veličina K je kladná.
První model dynamiky produkce sestavíme na základě tří postulátů:
HD1 Kapitál vzniká investicemi a mizí amortizací.
HD2 Do tvorby kapitálu je investován stálý podíl produktu.
HD3 Relativní přírůstek kapitálu se projevuje relativním přírůstkem produkce.
Označme δ podíl kapitálu, který se za jednotku času znehodnotí amortizací, κ čas, za který
se z investované částky stane kapitál. Typicky je κ = 1, neboť investice z jednoho období jsou
v následujícím období již kapitálem. S těmito symboly upřesníme postulát HD1 jako rovnost
K(t + ∆t) = K(t) +
1
κ
I(t)∆t − δK(t)∆(t),
neboli
K(t + ∆t) − K(t)
∆t
=
1
κ
I(t) − δK(t).
Budeme dále předpokládat, že čas plyne spojitě a veličina K je diferencovatelná. Pak můžeme
limitním přechodem ∆t → 0 vyjádřit postulát HD1 ve tvaru diferenciální rovnice
K′
=
1
κ
I − δK. (5.1)
Předpoklad HD2 je vyjádřen rovností
I = (1 − s)Y, (5.2)
kde s ∈ (0, 1). Parametr s vyjadřuje podíl produkce, který není investován, tedy je spotřebován
nebo uspořen. Z nerovnosti s < 1 a kladnosti veličiny Y plyne, že také veličina I je
kladná.
97
98 KAPITOLA 5. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
Předpoklad HD3 formálně zapíšeme jako rovnost
K′
K
=
Y ′
Y
. (5.3)
Z této rovnosti plyne
0 =
K′
K
−
Y ′
Y
=
K′Y − KY ′
Y 2
Y
K
=
K
Y
′
Y
K
.
Poněvadž veličiny K a Y jsou kladné, plyne odtud, že
K
Y
′
= 0 a tedy existuje konstanta
r ∈ R, že
K
Y
= r, (5.4)
neboli
K = rY. (5.5)
Naopak, z této rovnosti plyne K′ = rY ′ a vydělením této rovnosti rovností (5.5) dostaneme
rovnost (5.3). Předpoklad HD3 lze tedy ekvivalentně vyjádřit rovností (5.3) nebo (5.5).
Z rovností (5.3), (5.1), (5.2) a (5.5) nyní dostaneme
Y ′
Y
=
1
κ
I
K
− δ =
1
κ
(1 − s)Y
K
− δ =
1 − s
κr
− δ,
tedy
Y ′
Y
=
1 − s
κr
− δ = const, (5.6)
relativní rychlost růstu produkce je za předpokladů HD1, HD2 a HD3 konstantní. Označme
ji g a z rovnice (5.6) dostaneme
Y (t) = Y0egt
,
kde Y0 = Y (0) je počáteční produkce. Znaménko konstanty g určuje, zda produkce roste nebo
klesá. Konstanta r je podle (5.4) poměrem produkce a kapitálu, vyjadřuje tedy kapitálovou
náročnost jednotky produkce. Závěr analýzy modelu nyní můžeme přeformulovat:
je-li r <
1 − s
κδ
pak produkce roste,
je-li r =
1 − s
κδ
pak produkce stagnuje,
je-li r >
1 − s
κδ
pak produkce klesá.
Nebo stručně: je-li kapitálová náročnost jednotky produkce příliš velká, pak produkce nemůže
růst.
5.2 Solowův-Swanův neoklasický model růstu
Budeme uvažovat uzavřenou ekonomiku, tj. takovou, že jedinými produkčními faktory jsou
kapitál a práce, nikoliv zahraniční obchod. Kromě (agregátní) produkce Y = Y (t), kapitálu
K = K(t) a investic I = I(t) do modelu zahrneme i práci L = L(t). Práci pro potřeby modelu
5.2. SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL RŮSTU 99
stotožníme s vytvářenou hodnotou1, měříme ji tedy ve stejných jednotkách (penězích) jako
veličiny Y , K, nebo I. Práce vždy vytváří hodnotu, proto je veličina L kladná.
Budeme předpokládat, že kapitál a investice splňují postuláty HD1 a HD2, tedy rovnosti
(5.1) a (5.2). Dále budeme postulovat:
SS1 Relativní růst (změna) práce je konstantní, odpovídá přirozenému přírůstku (nebo úbytku)
obyvatelstva.
SS2 Jedinými produkčními faktory jsou kapitál a práce.
Postulát SS1 lze zapsat jako rovnost
L′
L
= λ, (5.7)
kde λ ∈ R je nějaká konstanta. Postulát SS2 zapíšeme rovností
Y = f(K, L). (5.8)
Funkce f se nazývá (agregátní) produkční funkce. Poněvadž všechny tři veličiny K, L, Y
považujeme za kladné, je
f : (0, ∞) × (0, ∞) → (0, ∞).
Aby funkce f vystihovala ekonomickou realitu, budeme předpokládat, že vyhovuje třem přirozeným
požadavkům
pf1 Malá změna produkčního faktoru vyvolá malou změnu produkce, přitom zvětšení výrobního
faktoru nevede ke zmenšení produkce.
pf2 Produkce není závislá na tom, v jakých (peněžních) jednotkách vyjadřujeme produkci a
produkční faktory.
pf3 Platí zákon klesajících výnosů: dodatečná jednotka produkčního faktoru nevytvoří větší
produkt, než jednotka předcházející a mezní produkt při neomezeném růstu produkčního
faktoru klesá k nule.
Postulát pf1 říká, že produkční funkce je spojitá a neklesající v každé své proměnné. Změna
jednotky je totéž, co vynásobení proměnné nějakou kladnou konstantou. Postulát pf2 tedy
požaduje, aby pro každé α > 0 platilo
f(αK, αK) = αY = αf(K, L), (5.9)
tj. produkční funkce je homogenní prvního řádu. Označme na chvíli jednotku kapitálu ∆K.
Zákon klesajících výnosů pro kapitál nyní můžeme zapsat ve tvaru
f(K, L) − f(K − ∆K, L) ≥ f(K + ∆K, L) − f(K, L) −−−−→
K→∞
0
pro libovolnou hodnotu L. Uvedenou nerovnost můžeme také přepsat ve tvaru
f(K, L) ≥
1
2
f(K − ∆K, L) +
1
2
f(K + ∆K, L).
1
Poznamenejme, že hodnota obecně není totéž, co produkce.
100 KAPITOLA 5. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
Analogicky vyjádříme zákon klesajících výnosů pro práci. Obecně přeformulujeme (zesílíme!)
postulát pf3 výrokem: pro každé γ ∈ (0, 1) a všechny K1, K2, L1, L2 > 0 platí
f γK1 + (1 − γ)K2, γL1 + (1 − γ)L2 ≥ γf(K1, L1) + (1 − γ)f(K2, L2), (5.10)
tj. funkce f je konkávní, a
lim
K→∞
f(K + K1, L1) − f(K, L1) = 0 = lim
L→∞
f(K, L + L1) − f(K1, L) . (5.11)
Nyní zavedeme novou veličinu k, nazvanou míra vybavenosti práce kapitálem, vztahem
k =
K
L
. (5.12)
S využitím rovností (5.1), (5.7), (5.2), (5.8) a (5.9) postupně dostaneme
k′
k
=
L
K
K
L
′
=
L
K
K′L − KL′
L2
=
K′
K
−
L′
L
=
1
κ
I
K
− δ − λ =
1 − s
κ
Y
K
− (δ + λ) =
=
1 − s
κ
f(K, L)
K
− (δ + λ) =
1 − s
κ
L
K
f
K
L
, 1 − (δ + λ) =
1 − s
κ
f(k, 1)
k
− (δ + λ).
Tímto způsobem dostáváme základní dynamickou rovnici neoklasického modelu
k′
= −(δ + λ)k +
1 − s
κ
f(k, 1). (5.13)
Funkci f( · , 1) : (0, ∞) → (0, ∞) nazýváme produkční funkce v intenzivním tvaru. Je to spojitá
neklesající konkávní funkce, pro kterou podle (5.11) platí
lim
k→∞
f(k + k1, 1) − f(k, 1) = 0
pro každé k1 > 0. Z monotonie a nezápornosti funkce f( · , 1) plyne existence limity
lim
k→0+
f(k, 1) = f0 ≥ 0.
Fázovým prostorem jednorozměrné autonomní rovnice (5.13) je interval (0, ∞). Stacionární
bod k∗ této rovnice splňuje rovnnost
κ(δ + λ)k∗
= (1 − s)f(k∗
, 1). (5.14)
Izolovaný stacionární bod rovnice (5.13) v jejím fázovém prostoru existuje právě tehdy, když
δ + λ > 0, tj. případný úbytek obyvatelstva (práce) je pomalejší, než amortizace kapitálu, a
současně existuje ε > 0 takové, že
f(k, 1) > κ
δ + λ
1 − s
k (5.15)
pro k ∈ (0, ε), viz obr. 5.1. V takovém případě je pravá strana rovnice (5.13) kladná pro
k < k∗ a záporná pro k > k∗. To znamená, že za takové situace pro každé řešení k = k(t)
rovnice (5.13) platí
lim
t→∞
k(t) = k∗
,
5.2. SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL RŮSTU 101
k
κ(δ + λ)k
(1 − s)f(k, 1)
k∗
k
κ(δ + λ)k
(1 − s)f(k, 1)
k
(1 − s)f(k, 1)
κ(δ + λ)k
a) b) c)
Obrázek 5.1: Řešení rovnice (5.14) pro stacionární bod k∗ základní dynamické rovnice neoklasického
modelu (5.13). Na vodorovné ose je současně fázový portrét rovnice (5.13). a) δ+λ > 0
a je splněna podmínka (5.15). b) Není splněna podmínka (5.15). c) Neplatí δ + λ > 0.
vybavenost práce kapitálem se ustálí na konstantní hodnotě k∗ > 0.
Podle (5.9) platí rovnost
f(k, 1) = f
K
L
, 1 =
1
L
f(K, L) =
Y
L
.
Odtud plyne, že pro kapitálovou náročnost produkce r = r(t) platí
r =
Y
K
=
Y
L
L
K
=
f(k, 1)
k
.
Ze spojitosti funkce f( · , 1) nyní plyne, že existuje limita
r∗
= lim
t→∞
r(t) = lim
t→∞
Y (t)
K(t)
= lim
t→∞
f k(t), 1
k(t)
=
f(k∗, 1)
k∗
, (5.16)
tj. kapitálová náročnost produkce se ustálí na jisté hodnotě. Porovnáním se vztahem (5.4),
který je ekvivalentní s postulátem HD3 vidíme, že Harrodův-Domarův model je limitním
případem modelu Solowova-Swanova. Harrodův-Domarův model popisuje rovnovážnou ekonomiku,
v níž produkce roste stejně rychle jako kapitál.
Pokud δ + λ > 0, ale není splněna podmínka (5.15), pak je pravá strana rovnice (5.13)
záporná; každé její řešení tedy konverguje k nule. Pokud δ + λ < 0, pak je pravá strana
rovnice (5.13) kladná a každé její řešení diverguje do nekonečna. V obou takových případech
ekonomika spěje ke kolapsu – vymizí kapitál nebo práce (tj. veškeré obyvatelstvo bude nezaměstnané).
V reálné ekonomice tedy úbytek obyvatelstva nemůže být rychlejší než amortizace
kapitálu a mezní produkt malého kapitálu musí být dostatečně velký.
5.2.1 Speciální produkční funkce
Leontiefova produkční funkce
f(K, L) = min {aK, bL} ,
kde a, b jsou kladné konstanty, vyjadřuje předpoklad, že kapitál a práce mají na produktu
pevný podíl. V případě, že aK < bL, tj. je nedostatek kapitálu, k produkci přispívá veškerý
102 KAPITOLA 5. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
kapitál, ale část práce je neproduktivní. V případě, že aK > bL, tj. je nedostatek pracovní
síly, zůstává část kapitálu ladem. Pouze v nepravděpodobném případě aK = bL je veškerý
kapitál i práce produktivní.
Produkční funkce v intenzivním tvaru je
f(k, 1) = min{ak, b}.
Kladný izolovaný stacionární bod rovnice (5.13) s Leontiefovou
produkční funkcí existuje pouze tehdy, když je splněna podmínka
(5.15), v tomto případě konkrétně když
a > κ
δ + λ
1 − s
,
f(k, 1)
k
b
b
a
tj. podíl kapitálu na produkci je dostatečně velký, kapitál je dostatečně efektivně využíván.
Za takové situace je f(k∗, 1) = b, takže podle (5.14) je
lim
t→∞
K(t)
L(t)
= k∗
=
(1 − s)b
κ(δ + λ)
.
Odtud a z předchozí nerovnosti dostaneme
lim
t→∞
aK(t)
bL(t)
=
a(1 − s)
κ(δ + λ)
> 1,
což znamená, že ve stabilizované ekonomice je bL < aK a tedy v ní zůstává nevyužitý kapitál.
Naopak, pokud by platila opačná nerovnost
a < κ
δ + λ
1 − s
,
ekonomika by konvergovala k nulové vybavenosti práce kapitálem a v důsledku toho k nulové
produkci. Ani jeden ze scénářů samozřejmě nepředstavuje žádoucí stav.
Dvakrát diferencovatelná produkční funkce
Produkční funkce f = f(K, L) je podle pf1 neklesající a podle (5.10) konkávní v obou svých
proměnných. U dvakrát diferencovatelné produkční funkce tyto požadavky poněkud zesílíme
– budeme předpokládat, že funkce f je v obou svých proměnných rostoucí a ryze konkávní,
tj. že pro všechna kladná K, L splňuje nerovnosti
∂f
∂K
(K, L) > 0,
∂2f
∂K2
(K, L) < 0,
∂f
∂L
(K, L) > 0,
∂2f
∂L2
(K, L) < 0. (5.17)
Zákon klesajících výnosů ve tvaru
lim
K→∞
∂f
∂K
(K, L) = 0 = lim
L→∞
∂f
∂K
(K, L) (5.18)
doplníme předpokladem: pokud se v ekonomice objeví nový produkční faktor, pak jeho mezní
výnos je obrovský; přesněji řečeno, budeme předpokládat, že platí
lim
K→0+
∂f
∂K
(K, L) = ∞ = lim
L→0+
∂f
∂K
(K, L). (5.19)
5.2. SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL RŮSTU 103
Podmínky (5.18) a (5.19) se nazývají Inadovy. Produkční funkce, která má vlastnosti (5.9),
(5.17), (5.18) a (5.19) se nazývá neoklasická.
Tvrzení: V neoklasické funkci jsou oba produkční faktory podstatné, zmizí-li jeden z nich,
zmizí i produkce, tj.
lim
K→0+
f(K, L) = 0 = lim
L→0+
f(K, L). (5.20)
Pokud některý z produkčních faktorů roste neomezeně, pak neomezeně roste i produkce, tj.
lim
K→∞
f(K, L) = ∞ = lim
L→∞
f(K, L). (5.21)
Důkaz: Pro funkci f podle de l’Hospitalova pravidla a podle Inadovy podmínky (5.18) platí
lim
L→∞
f(K, L)
L
= lim
L→∞
∂f(K, L)
∂L
= 0 pro libovolné K > 0.
Z homogenity funkce f nyní plyne
0 = lim
L→∞
f(K, L)
L
= lim
L→∞
f
K
L
, 1 = lim
k→0+
f(k, 1)
a dále
lim
K→0+
f(K, L) = lim
K→0+
L f
K
L
, 1 = L lim
k→0+
f(k, 1) = 0,
což je první z rovností (5.20).
Z homogenity funkce f, z de l’Hospitalova pravidla a z Inadovy podmínky (5.19) plyne
lim
K→∞
f(K, L) = lim
K→∞
f 1,
L
K
1
K
= lim
K→∞
−
L
K2
f′
|2 1,
L
K
−
1
K2
= L lim
l→0+
f′
|2(1, l) = ∞
(symbol f′
|2(x, y) označuje parciální derivaci funkce f podle druhé proměnné v bodě (x, y)).
To je první z rovností (5.21). Platnost druhých rovností (5.20) a (5.21) ukážeme analogicky.
Z první rovnosti (5.20), de l’Hospitalova pravidla a druhé Inadovy podmínky (5.19) plyne
lim
k→0+
f(k, 1)
k
= lim
k→0+
∂f(k, 1)
∂k
= ∞.
Z této rovnosti dále plyne, že je splněna podmínka (5.15).
Rovnice (5.13) s neoklasickou produkční funkcí f má jediné kladné stacionární řešení k∗,
které je globálně asymptoticky stabilní.
Cobbova-Douglasova produkční funkce
f(K, L) = AKb
L1−b
,
kde A > 0, b ∈ (0, 1) je neoklasická; o tom se lze přesvědčit snadným přímým výpočtem.
Konstanta A vyjadřuje produkci při jednotkovém kapitálu i práci. Z rovnosti
Y = AKb
L1−b
104 KAPITOLA 5. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
je vidět, že k danému množství kapitálu K a požadované produkci Y lze určit potřebné
množství práce
L =
1−b Y
AKb
,
které tuto produkci zajistí. Naopak, k danému množství práce L lze určit množství kapitálu
K =
b Y
AL1−b
,
které zajistí požadovanou produkci Y . Cobbova-Douglasova produkční funkce tedy vyjadřuje
produkci v takové ekonomice, v níž jsou kapitál a práce neomezeně substituovatelné.
Cobbova-Douglasova produkční funkce v intenzivním tvaru je
f(k, 1) = Akb
,
takže základní rovnice neoklasického modelu (5.13) je tvaru
k′
= −(δ + λ)k + A
1 − s
κ
kb
. (5.22)
To je rovnice Bernoulliova, kterou podle 1.2.2.vi řešíme substitucí
x = k1−b
.
Tato substituce převede rovnici (5.22) na lineární nehomogenní rovnici
x′
= −(1 − b)(δ + λ)x + A
(1 − s)(1 − b)
κ
,
která má podle 1.2.2.iii řešení
x(t) = x0 −
A(1 − s)
κ(δ + λ)
e−(1−b)(δ+λ)t
+
A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
kde x0 je počáteční hodnota. Poněvadž pro δ + λ > 0 platí
lim
t→∞
x(t) =
A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
dostaneme pro ustálenou hodnotu vybavenosti práce kapitálem vyjádření
k∗
= lim
t→∞
k(t) = lim
t→∞
1−b
x(t) = 1−b A(1 − s)
κ(δ + λ)
,
tedy
(k∗
)1−b
=
A(1 − s)
κ(δ + λ)
.
Odtud s využitím definice Cobbovy-Douglasovy produkční funkce a porovnáním se vztahem
(5.16) dostaneme
κ(δ + λ)
1 − s
=
A
(k∗)1−b
=
A(k∗)b
k∗
=
f(k∗, 1)
k∗
= r∗
.
Poměr produkce a kapitálu v rovnovážné ekonomice s neomezeně substituovatelnou prací a
kapitálem je tedy rovna konstantě
κ
δ + λ
1 − s
.
5.3. GOODWINŮV MODEL HOSPODÁŘSKÉHO CYKLU 105
5.3 Goodwinův model hospodářského cyklu
Práce v Solowovu-Swanovu modelu je abstraktní veličina, představuje vlastně hodnotu prací
vytvořenou. Nyní budeme jako práci L = L(t) označovat množství zaměstnaného obyvatelstva,
které za svou práci dostává mzdu W = W(t). Přesněji řečeno, W označuje nějakou
střední hodnotu mzdy jednoho pracovníka. Dále budeme uvažovat množství N = N(t) práceschopného
(nebo práceochotného) obyvatelstva. Pro zjednodušení zavedeme ještě veličiny:
produktivita práce
a =
Y
L
(5.23)
(střední množství produktu vytvořeného jedním pracujícím člověkem), relativní zaměstnanost
v =
L
N
(5.24)
a podíl mzdy na produkci
u =
W
a
=
WL
Y
. (5.25)
Ekonomiku budeme považovat za rovnovážnou, tj. budeme předpokládat, že produkce Y ,
kapitál K a investice I splňují postuláty HD1 a HD3 Harrodova-Domarova modelu, tedy
rovnost (5.1) a ekvivalentní rovnosti (5.3), (5.4). Dále budeme postulovat:
G1 Veškerá čistá produkce, tj. produkce bez vyplacených mezd, je investována.
G2 Relativní změna počtu obyvatel je konstantní.
G3 Projevuje se stálý technický pokrok, tj. konstantní relativní růst produktivity práce.
G4 Změna mzdové sazby závisí na zaměstnanosti.
Postulát G1 nahrazuje předpoklad o investování HD2 z Harrodova-Domarova modelu. Postuláty
G1, G2 a G3 zapíšeme po řadě rovnostmi
I = Y − WL, (5.26)
N′
N
= β, (5.27)
a′
a
= α, (5.28)
kde α > 0, β ∈ R jsou nějaké konstanty. V postulátu G4 budeme změnu považovat za relativní
a postulát zpřesníme vyjádřením
W′
W
= ϕ(v), (5.29)
kde ϕ : [0, 1) → R je diferencovatelná funkce, jejímž grafem je Phillipsova křivka. Její vlastnosti,
které byly zjištěny empiricky, formálně vyjádříme tak, že funkce ϕ je na svém definičním
oboru rostoucí a konvexní, zejména
ϕ′
(v) > 0 pro v ∈ [0, 1) (5.30)
a splňuje nerovnosti
ϕ(0) = ϕ0 < 0, (5.31)
106 KAPITOLA 5. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
tj. při malé zaměstnanosti (velké nezaměstnanosti) mzdy klesají (je-li práce vzácná, lidé jsou
ochotni pracovat za nízkou mzdu),
lim
v→1−
ϕ(v) = ϕ1 > 0, (5.32)
tj. při velké zaměstnanosti mzdy rostou (chceme-li při téměř plné zaměstnanosti získat nového
pracovníka, musíme ho přeplatit); přitom připouštíme i ϕ1 = ∞ (to je dokonce obvyklejší
předpoklad).
Podle (5.1), (5.26), (5.4) a (5.25) platí
K′
K
=
1
κ
I
K
− δ =
1
κ
Y − WL
K
− δ =
1
κ
Y
K
1 −
WL
Y
− δ =
r
κ
(1 − u) − δ.
Odtud a z rovnosti (5.3) při označení σ =
r
κ
dostaneme
Y ′
Y
= σ(1 − u) − δ. (5.33)
Nyní vyjádříme relativní změnu zaměstnanosti pomocí rovností (5.24), (5.23), (5.27), (5.33)
a (5.28).
v′
v
=
N
L
L
N
′
=
N
L
L′N − LN′
N2
=
L′
L
−
N′
N
=
a
Y
Y
a
′
− β =
a
Y
Y ′a − Y a′
a2
− β =
=
Y ′
Y
−
a′
a
− β = σ(1 − u) − δ − α − β.
Tedy při označení γ = σ − α − β − δ máme
v′
v
= −σu + γ. (5.34)
Relativní změnu podílu mzdy na produkci vyjádříme pomocí rovností (5.25), (5.29) a (5.28).
u′
u
=
a
W
W
a
′
=
a
W
W′a − Wa′
a2
=
W′
W
−
a′
a
= ϕ(v) − α,
tj.
u′
u
= ϕ(v) − α. (5.35)
Rovnice (5.35) a (5.34) představují model vývoje podílu mezd na produkci a relativní zaměstnanosti.
Můžeme je přepsat v obvyklém tvaru
u′ = u ϕ(v) − α ,
v′ = v(γ − σu);
(5.36)
připomeňme, že fázový prostor systému (5.36) je množina Ω = [0, ∞) × [0, 1) a že parametry
α, σ jsou kladné.
Ze druhé rovnice systému (5.36) plyne diferenciální nerovnost u′ ≤ γv a tedy podle srovnávací
věty 8 platí
v(t) ≤ v(0)eγt
.
5.3. GOODWINŮV MODEL HOSPODÁŘSKÉHO CYKLU 107
Uvažujme nejprve γ < 0. Pak
lim
t→∞
v(t) = 0.
Ze spojitosti funkce ϕ a podmínky (5.30) odtud plyne, že existuje t1 ≥ 0 takové, že ϕ( v(t) ≤
0 pro t ≥ t1. Podle první rovnice systému (5.36) pro t ≥ t1 platí u′(t) ≤ −αu(t), takže
u(t) ≤ u(t1)e−αt. Proto také
lim
t→∞
u(t) = 0.
Případ γ < 0 popisuje ekonomiku, která spěje k podivnému stavu – nikdo nepracuje a na
produkci se mzda nepodílí2.
Dále budeme realističtěji předpokládat, že γ > 0.
Pokud ϕ1 < α, pak z první rovnice systému (5.36) plyne, že u′ ≤ u(ϕ1 − α) a tedy pro
všechna t ≥ 0 je
u(t) ≤ u(0)e(ϕ1−α)t
.
To znamená, že existuje t2 ≥ 0 takové, že
u(t) ≤
γ
2σ
pro t ≥ t2.
Podle druhé rovnice systému (5.36) pro t ≥ t2 platí
v′
(t) = v(t) γ − σu(t) ≥ v(t) γ − σ
γ
2σ
=
1
2
γv(t),
takže v(t) ≥ v(t2)e
1
2
γt
. To znamená, že existuje T ≥ t2 takové, že
lim
t→T−
v(t) = 1.
Podle věty 5 řešení nelze prodloužit za čas T. V případě ϕ1 < α tedy ekonomika v konečném
čase dospěje k plné zaměstnanosti, ale v tom okamžiku přestanou platit „ekonomické zákony ,
ze kterých byl Goodwinův model sestaven3.
Je-li ϕ1 > α (což je zejména splněno, pokud ϕ1 = ∞), pak existuje v∗ ∈ (0, 1) takové, že
ϕ(v∗) = α, tj. v∗ = ϕ−1(α). Systém (5.36) má v tomto případě dva stacionární body
(0, 0) a (u∗
, v∗
) =
γ
σ
, ϕ−1
(α) .
Variační matice systému (5.36) je
J(u, v) =
ϕ(v) − α uϕ′(v)
−σv γ − σu
,
tedy
J(0, 0) =
ϕ0 − α 0
0 γ
, det J(0, 0) = γ(ϕ0 − α) < 0,
2
To připomíná lidovou charakteristiku reálného socialismu, který fungoval v sedmdesátých a osmdesátých
letech dvacátého století v Československé socialistické republice: „Občané předstírají, že pracují, stát předstírá,
že platí.
3
Ekonomika s plnou zaměstnaností a s malým až zanedbatelným podílem mezd na produkci je snem komunistů
— všichni budou pracovat (práce se stane první životní nutností), ale peníze již za komunismu nebudou.
Tomuto ideálu se v realitě nejvíce přiblížil Pol Pot.
108 KAPITOLA 5. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
J(u∗
, v∗
) =
0
γ
σ
ϕ′(v∗)
−σv∗ 0
, det J(u∗
, v∗
) = γv∗
ϕ′
(v∗
) > 0, tr J(u∗
, v∗
) = 0.
Podle 4.3.1 je triviální stacionární bod (0, 0) sedlo. O typu stacionárního bodu (u∗, v∗) nelze
podle tohoto kritéria rozhodnout.
Budeme hledat vyjádření trajektorií systému (5.36). Vydělením jeho rovnic dostaneme
dv
du
=
v(γ − σu)
u ϕ(v) − α
,
což je obyčejná rovnice se separovanými proměnnými. Podle 1.2.1 je její řešení implicitně dáno
rovností
ϕ(v) − α
v
dv =
γ − σu
u
du,
po úpravě
σu − ln (uγ
vα
) +
v
v0
ϕ(x)
x
dx = const;
přitom v0 ∈ (0, 1) je nějaká konstanta vyjadřující počáteční zaměstnanost. Levou stranu
poslední rovnosti označíme G(u, v). Trajektorie systému (5.36) jsou tedy vrstevnicemi funkce
G.
Poněvadž platí
∂G
∂u
= σ −
γ
u
= −
γ − σu
u
,
∂G
∂u
(u∗
, v∗
) = 0,
∂G
∂v
=
ϕ(v)
v
−
α
v
=
ϕ(v) − α
v
,
∂G
∂v
(u∗
, v∗
) = 0,
∂2G
∂u2
=
γ
u2
> 0,
∂2G
∂u∂v
= 0,
∂2G
∂v2
=
vϕ′(v) − ϕ(v) − α
v2
,
∂2G
∂v2
(u∗
, v∗
) =
ϕ′(v∗)
v∗
> 0,
je stacionární bod (u∗, v∗) lokálním minimem funkce G, a ta je v nějakém jeho okolí konvexní.
To znamená, že trajektorie systému (5.36) začínající v okolí stacionárního bodu (u∗, v∗) jsou
uzavřenými křivkami, stacionární bod je střed.
Možné umístění nulklin ve fázovém prostoru spolu s trajektoriemi systému (5.36) je znázorněno
na obr. 5.2. Vidíme, že i v případě γ > 0, ϕ1 > α je možné, že vývoj ekonomiky
dospěje v konečném čase k plné zaměstnanosti a malému podílu mzdy na produkci, pokud je
počáteční stav ekonomiky dostatečně daleko od rovnováhy. Jinak zaměstnanost kolísá kolem
jisté rovnovážné hodnoty, v ekonomice se střídají období prosperity a útlumu; Goodwinův
model tedy svým způsobem vysvětlil vznik a nevyhnutelnost hospodářského cyklu.
Obecně platí
∇G(u, v) =



−
γ − σu
u
ϕ(v) − α
v


 , tedy ∇G(u, v)T
u ϕ(v) − α
v(γ − σu)
= 0,
5.3. GOODWINŮV MODEL HOSPODÁŘSKÉHO CYKLU 109
ϕ1 < α ϕ1 > α
γ < 0
v
u
1
v
u
1
ϕ−1
(α)
γ > 0
v
uγ
σ
1
v
u
1
ϕ−1
(α)
γ
σ
Obrázek 5.2: Trajektorie a nulkliny systému (5.36) pro možné kombinace parametrů
což znamená, že funkce G je prvním integrálem (invariantem) systému (5.36). Dále při označení
x = ln u, y = ln v dostaneme
x′
= ϕ (ey
) − α, y′
= γ − σex
. (5.37)
Systém (5.36) lze tedy transformovat na systém bipartitní; fázovým prostorem transformovaného
systému je množina R × (−∞, 0].
Pro funkci
H(x, y) = G (ex
, ey
) = σex
− γx − αy +
ey
v0
ϕ(η)
η
dη = σex
− γx − αy +
y
ln v0
ϕ(eξ
)dξ
(integrál jsme transformovali substitucí ξ = ln η) platí
∂H
∂x
= σex
− γ,
∂H
∂y
= −α + ϕ (ey
) ,
takže systém (5.37) můžeme přepsat ve tvaru
x
y
′
=
0 −1
1 0
∇H(x, y).
Systém (5.37) je tedy hamiltonovský s hamiltoniánem H.
110 KAPITOLA 5. MAKROEKONOMICKÉ MODELY
Kapitola 6
Chemická kinetika
6.1 Základní reakce enzymů
Uvažujme reakci nějakého substrátu S a enzymu E, které spolu vytvoří nestabilní komplex
SE, z kterého dále vznikne nějaký produkt P a volný enzym.1 Schematicky tuto reakci můžeme
zapsat takto
S + E
k1
⇋
k−1
SE, SE
k2
→ P + E,
nebo stručně
S + E
k1
⇋
k−1
SE
k2
→ P + E.
Dvojitá šipka ⇋ vyjadřuje, že reakce je vratná, jednoduchá šipka → vyjadřuje, že reakce
může probíhat jen jedním směrem. Kladné parametry k1, k−1, k2 označují reakční rychlost.
Zhruba řečeno, za jednotku času vznikne z jednotkového množství substrátu S za přitomnosti
jednotkového množství enzymu E množství k1 komplexu SE a podobně. Přesně budou reakční
rychlosti zavedeny dále.
Označme s = s(t). . . koncentrace substrátu S v čase t,
e = e(t). . . koncentrace enzymu E v čase t,
c = c(t). . . koncentrace komplexu SE v čase t,
p = p(t). . . koncentrace produktu P v čase t.
Michaelis a Menten2 navrhli jako model vývoje koncentrací v čase následující systém čtyř
obyčejných nelineárních diferenciálních rovnic
ds
dt
= −k1se + k−1c,
de
dt
= −k1se + (k−1 + k2)c,
dc
dt
= k1se − (k−1 + k2)c,
dp
dt
= k2c
(6.1)
1
Místo o enzymu bychom mohli mluvit o katalyzátoru, substrát by představoval výchozí látku a produkt
výslednou.
2
L. Michaelis, M. I. Menten. Die Kinetik der Invertinwirkung. Biochem. Z. 49, 333-369, 1913
111
112 KAPITOLA 6. CHEMICKÁ KINETIKA
Tento model vyjadřuje, že změny koncentrací považujeme za přímo úměrné koncentracím,
reakční rychlosti k jsou příslušné koeficienty úměrnosti. Budeme předpokládat, že na počátku
je koncentrace substrátu rovna s0 a koncentrace enzymu je rovna e0, komplex SE ani produkt
P nejsou na počátku přítomny. Spolu se systémem (6.1) tedy uvažujeme počáteční podmínky
s(0) = s0, e(0) = e0, c(0) = 0, p(0) = 0. (6.2)
Nejprve si všimněme, že veličina p se nevyskytuje v prvních třech rovnicích systému (6.1).
Koncentrace s, e a c jsou tedy řešením prvních tří rovnic z (6.1), koncentraci produktu můžeme
vyjádřit ze čtvrté rovnice integrací
p(t) = k2
t
0
c(σ)dσ. (6.3)
Množství enzymu E se v průběhu reakce nemění a enzym se vyskytuje jednak jako volný a
jednak jako vázaný v komplexu SE. To vzhledem k počáteční podmínce (6.2) znamená, že
by mělo platit e(t) + c(t) = e0 pro všechna t ≥ 0. Model (6.1) je skutečně v tomto smyslu
adekvátní, neboť
d
dt
(e + c) =
de
dt
+
dc
dt
= 0, (e + c)(0) = e0.
Veličina e+c je prvním integrálem systému (6.1) a proto koncentraci enzymu můžeme vyjádřit
jako
e(t) = e0 − c(t) (6.4)
a dosadit do první a třetí rovnice systému (6.1). Dostaneme
ds
dt
= −k1e0s + (k1s + k−1)c,
dc
dt
= k1e0s − (k1s + k−1 + k2)c. (6.5)
Časový průběh koncentrací substrátu S a komplexu SE je tedy řešením systému dvou obyčejných
autonomních nelineárních diferenciálních rovnic (6.5) s počáteční podmínkou
s(0) = s0, c(0) = 0, (6.6)
průběh koncentrací volného enzymu E a produktu P je dána výrazy (6.4) a (6.3).
Změníme měřítko tak, aby všechny veličiny byly bezrozměrné, tj. zavedeme substituci
τ = k1e0t, x =
s
s0
, y =
c
e0
; (6.7)
veličina x vyjadřuje koncentraci substrátu a veličina y koncentraci komplexu SE v jednotkách
počáteční koncentrace substrátu a enzymu. Časová jednotka je určena rychlostí reakce
substrátu a enzymu. Platí
dx
dτ
=
d
dt
s
s0
dt
dτ
=
1
s0
− k1e0s + (k1s + k−1)c
1
k1e0
= −
s
s0
+
c
e0
s
s0
+
k−1
s0k1
c
e0
=
= −x + x +
k−1
k1s0
y,
6.1. ZÁKLADNÍ REAKCE ENZYMŮ 113
dy
dτ
=
d
dt
c
e0
dt
dτ
=
1
e0
k1e0s − (k1s + k−1 + k2)c
1
k1e0
=
s
e0
−
s
e0
c
e0
−
k−1 + k2
k1e0
c
e0
=
=
s0
e0
x −
s0
e0
x +
k−1 + k2
k1s0
y.
Při označení
K =
k−1 + k2
k1s0
, λ =
k2
k1s0
, ε =
e0
s0
(6.8)
se systém (6.5) substitucí (6.7) transformuje na systém
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)y,
dy
dτ
=
1
ε
x − (x + K)y (6.9)
s počátečními podmínkami
x(0) = 1, y(0) = 0. (6.10)
Poznamenejme, že parametry K, λ a ε jsou kladné a K > λ.
Úlohu (6.9), (6.10) nelze řešit explicitně. Proto ji budeme analyzovat ve fázovém prostoru.
Nulklinu proměnné x můžeme vyjádřit jako graf funkce
ϕ(x) =
x
x + K − λ
.
Derivace
dx
dτ
je pro y > ϕ(x) kladná, pro y < ϕ(x) záporná. Situace
je znázorněna na obrázku:
y
x
ϕ(x)
Podobně vyjádříme y-nulklinu jako graf funkce ψ(x) =
x
x + K
a vyšetříme
znaménka derivací:
y
x
ψ(x)
Poněvadž ϕ(0) = ψ(0) = 0 a ϕ(x) > ψ(x) pro všechna x > 0, vypadá fázový portrét systému
(6.9) tak, jak je znázorněno na obr. 6.1 Vidíme, že systém (6.9) má jediný stacionární
bod (0, 0) a že množina M = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ϕ(1) je jeho pozitivně
invariantní množinou (na úsečce {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1} směřují trajektorie nahoru, na úsečce
x, ϕ(1) : 0 ≤ x ≤ 1 dolů, na úsečce {(0, y) : 0 ≤ v ≤ ϕ(1)} směřují trajektorie doprava
a na úsečce {(1, y) : 0 ≤ v ≤ ϕ(1)} doleva). Variační matice systému (6.9) v obecném bodě
(x, y) je
J(x, y) =



y − 1 x + K − λ
1
ε
(1 − y) −
1
ε
(x + K)


 ,
takže ve stacionárním bodě (0, 0) platí
J(0, 0) =



−1 K − λ
1
ε
−
K
ε


 , tr J(0, 0) = −
K + ε
ε
< 0, det J(0, 0) =
λ
ε
> 0,
114 KAPITOLA 6. CHEMICKÁ KINETIKA
y
x1
ϕ(1) ϕ(x) =
x
x + K − λ
ψ(x) =
x
x + K
0
Obrázek 6.1: Fázový portrét systému (6.9) a jeho trajektorie s počátečním bodem (6.9) a
hodnotou parametru ε = 10
11 .
tr J(0, 0)
2
− 4 det J(0, 0) =
K + ε
ε
2
−
4λ
ε
=
1
ε2
(K + ε)2
− 4λε =
=
1
ε2
K2
+ 2Kε + ε2
− 4λε + λ2
− λ2
=
1
ε2
K2
− λ2
+ 2Kε + (λ − ε)2
> 0,
neboť K > λ. Stacionární bod (0, 0) je podle 4.3.1 stabilní uzel (což bylo vidět z fázového
portrétu i bez výpočtů). Pro řešení úlohy (6.9), (6.10) tedy platí
lim
τ→∞
x(τ) = 0, lim
τ→∞
y(τ) = 0.
Výsledkem reakce je vyčerpání veškerého substrátu S, nebude volný ani vázaný s enzymem
v komplexu SE. Z trajektorie řešení úlohy (6.9), (6.10), která je rovněž zobrazena na obr. 6.1,
je také vidět, že složka x řešení této úlohy k nule monotonně klesá. Složka y nejdříve roste, v
jistém čase τ0 dosáhne svého maxima
ymax =
x(τ0)
x(τ0) + K
= 1 −
K
x(τ0) + K
a pak monotonně klesá k nule.
Nyní můžeme kvalitativně popsat řešení původní úlohy (6.1), (6.2), viz obr. 6.2. Koncentrace
s substrátu S monotonně klesá k nule. Koncentrace c komplexu SE roste ke své
maximální hodnotě, která je menší než byla počáteční koncentrace e0 enzymu E, a pak monotonně
klesá k nule. Koncentrace e volného enzymu E nejprve klesá, v okamžiku t0, kdy je
koncentrace komplexu SE maximální, dosáhne svého minima a pak monotonně roste k počáteční
hodnotě e0. Koncentrace p produktu P roste z nulové hodnoty, růst se nejprve zrychluje
(funkce je konvexní), od okamžiku t0 se začne zpomalovat (funkce je konkávní).
6.2 Přibližné řešení transformované úlohy
Charakteristickým rysem reakcí enzymu se substrátem je to, že koncentrace enzymu je výrazně
menší, než koncentrace substrátu, e0 ≪ s0. To vzhledem k (6.8) znamená, že
0 < ε ≪ 1,
parametr ε je „skoro nula . Také můžeme říci, že pravá strana druhé rovnice systému (6.9) je
„skoro nekonečno , nebo že pravá strana první rovnice tohoto systému je zanedbatelně malá
6.2. PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ TRANSFORMOVANÉ ÚLOHY 115
tt00
s0
e0
e
p
s
c
Obrázek 6.2: Průběh řešení úlohy (6.1), (6.2)
ve srovnání s pravou stranou druhé rovnice. Veličina x se mění „nesrovnatelně pomaleji , než
veličina y, takže veličina x je vzhledem k y „skoro konstantní . Z těchto důvodů budeme x
ve druhé z rovnic systému (6.9) považovat za konstantní parametr a tuto rovnici vyřešíme.
Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými, takže její řešení splňující druhou podmínku
z dvojice (6.10), tj. podmínku y(0) = 0, dostaneme ve tvaru
y(τ) =
x
x + K
1 − e− x+K
ε
τ
. (6.11)
Platí pro ně
y0 = lim
τ→∞
y(τ) =
x
x + K
.
„Rychle se měnící proměnná veličina (funkce) y se tedy „velice rychle ustálí na hodnotě
y0. Ovšem hodnota x se také mění, i když „pomalu . Tato změna je popsána první rovnicí
systému (6.9). V ní můžeme proměnou y považovat za parametr rovný ustálené hodnotě y0.
S využitím počáteční podmínky (6.10) tak dostaneme počáteční úlohu
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)
x
x + K
= −λ
x
x + K
, x(0) = 1.
Řešení této úlohy, které je „trochu jiné než řešení původní úlohy (6.9), (6.10) a proto ho
označíme symbolem x0, je implicitně dáno rovností
x0(τ) + K ln x0(τ) = 1 − λτ. (6.12)
Takto definovanou funkci x0 můžeme považovat za první složku přibližného řešení úlohy (6.9),
(6.10). Její druhou složku vyjádříme jako
y0(τ) =
x0(τ)
x0(τ) + K
; (6.13)
tato funkce však nesplňuje druhou z počátečních podmínek (6.10).
Funkce x0( · ), y0( · ) definované vztahy (6.12) a (6.13) se nazývá pseudo- nebo quasistacionární
aproximace řešení úlohy (6.9), (6.10). V mnoha aplikacích je tato aproximace
dostatečně přesná. Na obrázku 6.3 je trajektorie řešení úlohy (6.9), (6.10) s hodnotou parametru
ε = 1
10 ; vidíme, že trajektorie řešení s „malou hodnotou parametru ε skutečně od
jistého bodu téměř splývá s y-nulklinou, tj. s funkcí y =
x
x + K
.
116 KAPITOLA 6. CHEMICKÁ KINETIKA
y
x0 1
y =
x
x + K
y = ϕ(x)
Obrázek 6.3: Nulkliny systému (6.9) a jeho trajektorie s počáteční podmínkou (6.10) a hodnotou
parametru ε = 1
10 .
Řešení úlohy (6.9), (6.10) si tedy lze představit tak, že v „kratičkém časovém intervalu od
začátku reakce se veličina x (relativní množství substrátu) „nestačí změnit , takže má stále
počáteční hodnotu 1. V tomto „kratičkém čase veličina y (relativní množství komplexu SE
vzhledem k množství enzymu) rychle dosáhne své quasi-stacionární hodnoty. Tento „rychlý
nárůst je popsán rovností (6.11) do níž je dosazeno x = 1, quasi-stacionární hodnota je tedy
1/(1 + K). Dále se veličiny x a y vyvíjejí tak, jak je popsáno rovnostmi (6.12) a (6.13).
Ještě můžeme specifikovat délku zmíněného „kratičkého časového intervalu pro dosažení
quasi-stacionárního stavu. Předpokládejme, že jsme schopni měřit koncentrace s relativní
přesností γ. Pak čas δ, za nějž veličina y naroste do quasi-stacionární hodnoty 1/(1 + K) je
přibližně dána přibližnou rovnicí
1
1 + K
1 − e− 1+K
ε
δ
≈ (1 − γ)
1
1 + K
,
tedy
δ ≈
ε
1 + K
ln
1
γ
. (6.14)
Popsanou aproximaci řešení lze získat i jiným způsobem méně se odvolávajícím na intuici:
řešení úlohy (6.9), (6.10) budeme hledat ve tvaru Taylorových řad v proměnné ε. Předpokládejme
tedy, že řešení úlohy (6.9), (6.10) je tvaru
x(τ) =
∞
n=0
εn
xn(τ), y(τ) =
∞
n=0
εn
yn(τ).
Za předpokladu, že tyto řady, chápané jako řady funkcí proměnné τ, konvergují stejnoměrně
(k tomu při ε < 1 stačí, aby všechny funkce x0( · ), y0( · ) byly ohraničené stejnou konstantou),
platí
dx
dτ
=
∞
n=0
εn dxn
dτ
=
dx0
dτ
+
∞
n=1
εn dxn
dτ
,
dy
dτ
=
∞
n=0
εn dyn
dτ
, tj. ε
dy
dτ
=
∞
n=1
εn dyn−1
dτ
6.2. PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ TRANSFORMOVANÉ ÚLOHY 117
a současně
dx
dτ
= −x + (x + K − λ)y = −
∞
n=0
εn
xn(τ) +
∞
n=0
εn
xn(τ) + K − λ
∞
n=0
εn
yn(τ) =
= −
∞
n=0
εn
xn(τ) + (K − λ)
∞
n=0
εn
yn(τ) +
∞
n=0
n
i=0
xiyn−i εn
=
=
∞
n=0
−xn + (K − λ)yn +
n
i=0
xiyn−i εn
=
= −x0 + (x0 + K − λ)y0 +
∞
n=1
−xn + (K − λ)yn +
n
i=0
xiyn−i εn
,
ε
dy
dτ
= x − (x + K)y =
∞
n=0
xn − Kyn −
n
i=0
xiyn−i εn
=
= x0 − (x0 + K)y0 +
∞
n=1
xn − Kyn −
n
i=0
xiyn−i εn
.
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin ε získáme nekonečný systém rovnic
dx0
dτ
= −x0 + (x0 + K − λ)y0, 0 = x0 − (x0 + K)y0,
dx1
dτ
= −x1 + (K − λ)y1 + x0y1 + x1y0,
dy0
dτ
= x1 − Ky1 − x0y1 − x1y0,
...
...
Z první dvojice rovnic dostaneme
y0(τ) =
x0(τ)
x0(τ) + K
, x0(τ) + K ln x0(τ) = C − λτ,
tedy quasi-stacionární aproximaci řešení (6.12), (6.13). V tomto případě však tato aproximace
závisí na jedné integrační konstantě C a ta závisí na počátečních podmínkách. Počáteční
podmínky (6.10) lze zapsat ve tvaru
1 =
∞
n=0
εn
xn(0), 0 =
∞
n=0
εn
yn(0),
takže z věty o jednoznačnosti Taylorových řad plyne
x0(0) = 1, y0(0) = 0, xn(0) = yn(0) = 0 pro n = 1, 2, . . .
První z těchto podmínek lze splnit volbou C = 1 stejně jako v (6.12), ale druhou z nich splnit
nelze. Odtud plyne, že alespoň jedna ze složek x, y řešení úlohy (6.9), (6.10) nemůže být
analytickou funkcí parametru ε.
118 KAPITOLA 6. CHEMICKÁ KINETIKA
Aby bylo možné splnit počáteční podmínky, je třeba v pravém okolí bodu τ = 0 hledat
řešení úlohy (6.9), (6.10) jiným způsobem. Zavedeme novou nezávisle proměnnou
σ =
τ
ε
. (6.15)
Pro ε → 0 je σ → ∞, takže změnou časového měřítka (6.15) „natáhneme malé okolí [0, δ)
na „velice dlouhou dobu . Substitucí (6.15) se úloha (6.9), (6.10) transformuje na úlohu
dX
dσ
= −εX + ε(X + K − λ)Y,
dY
dσ
= X − (X + K)Y, (6.16)
X(0) = 1, Y (0) = 0. (6.17)
Kvalitativní analýza úlohy (6.16), (6.10) dá stejné výsledky jako v 6.1.
Řešení úlohy (6.16), (6.17) budeme opět hledat ve tvaru Taylorových řad v proměnné ε,
tj. ve tvaru
X(σ) =
∞
n=0
εn
Xn(σ), Y (σ) =
∞
n=0
εn
Yn(σ).
Pak je
dX
dσ
=
dX0
dσ
+
∞
n=1
εn dXn
dσ
,
dY
dσ
=
dY0
dσ
+
∞
n=1
εn dYn
dσ
a současně
dX
dσ
=
∞
n=1
−Xn−1 + (K − λ)Yn−1 +
n−1
i=0
XiYn−i−1 εn
,
dY
dσ
= X0 − (X0 + K)Y0 +
∞
n=1
Xn − KYn −
n
i=0
XiYn−i εn
.
Z počátečních podmínek (6.17) dostaneme
X0(0) = 1, Y0(0) = 0, Xn(0) = Yn(0) = 0 pro n = 1, 2, . . .
Nulté aproximace X0, Y0 řešení úlohy (6.16), (6.10) jsou řešením počáteční úlohy
dX0
dσ
= 0,
dY0
dσ
= X0 − (X0 + K)Y0, X0(0) = 1, Y0(0) = 0,
takže
X0(σ) = 1, Y0(σ) =
1
K + 1
1 − e−(K+1)σ
.
Vrátíme se k původní nezávisle proměnné τ = εσ a dostaneme novou aproximaci řešení úlohy
(6.9), (6.10) ve tvaru
X0(τ) = 1, Y0(τ) =
1
K + 1
1 − e− K+1
ε
τ
; (6.18)
tyto funkce splňují počáteční podmínky (6.10).
Řešení úlohy (6.9), (6.10) lze v okolí bodu τ = 0, tj. na intervalu [0, δ) pro vhodné malé
kladné číslo δ, aproximovat funkcemi (6.18). Tato část řešení úlohy se nazývá singulární nebo
6.2. PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ TRANSFORMOVANÉ ÚLOHY 119
1
1
1 + K
τ0
x
Y0y0
y
x0
X0
Obrázek 6.4: Řešení úlohy (6.9), (6.10) s parametrem ε = 0.2. Plná čára — přesné řešení,
čárkovaná čára — vnější řešení, tečkovaná čára — vnitřní řešení.
vnitřní řešení. Na intervalu (δ, ∞) lze použít quasi-stacionární aproximaci (6.12), (6.13); tato
část řešení úlohy se nazývá nesingulární nebo vnější řešení.
No obr. 6.4 je znázorněno přibližné a přesné řešení úlohy (6.9), (6.10) s parametrem
ε = 0.2; vidíme, že již v tomto případě je přibližné řešení dosti blízké přesnému. Navíc, první
složka řešení, tj. funkce x, je i v pravém okolí nuly přesněji aproximována vnějším řešením
než vitřním.
Ještě odhadneme parametr δ — časový okamžik, od něhož vnější řešení lépe než vnitřní
aproximuje druhou složku řešení úlohy (6.9), (6.10). Je to taková hodnota nezávisle proměnné,
v níž mají funkce y0 a Y0 stejnou hodnotu, y0(δ) = Y0(δ). Takové číslo δ existuje podle
Bolzanovy věty, neboť
y0(0) − Y0(0) =
1
1 + K
> 0, lim
δ→∞
y0(δ) − Y0(δ) = −
1
K + 1
< 0.
Můžeme tedy řešit soustavu rovnic
1
K + 1
1 − e− K+1
ε
δ
=
ξ
ξ + K
, ξ + K ln ξ = 1 − λδ.
Vyjádřit řešení explicitně pomocí elementárních funkcí nelze, proto řešení odhadneme. Označme
na chvíli F(ξ) = ξ + K ln ξ − 1 + λδ. Pak je
F(1) = λδ > 0, lim
ξ→0+
F(ξ) = −∞ < 0, F′
(ξ) = 1 +
K
ξ
pro ξ > 0.
To znamená, že řešení druhé z rovnic, tj. rovnice F(ξ) = 0, leží v intervalu (0, 1) a funkce F
je na tomto intervalu rostoucí. Odtud dále plyne, že existuje konstanta ˜ξ ∈ (0, 1) taková, že
pro řešení ξ druhé z rovnic platí
0 < ξ ≤ ˜ξ < 1.
Z první rovnice nyní dostaneme
0 < δ =
ε
K + 1
ln
ξ + K
K(1 − ξ)
≤
ε
K + 1
ln
˜ξ + K
K(1 − ˜ξ)
.
Tato nerovnost vyjadřuje, že hodnota δ je malá stejného řádu, jako ε, tj. δ = O(ε). Tento
odhad souhlasí s vyjádření. (6.14).
120 KAPITOLA 6. CHEMICKÁ KINETIKA
Řešení původní úlohy (6.5), (6.6) můžeme nyní zapsat ve tvaru
s(t) = s0x0(k1e0t) + O
e0
s0
,
c(t) =



k1s0e0
k1s0 + k−1 + k2
1 − e−(k1s0+k−1+k2)t + O
e0
s0
, 0 ≤ t ≤ O
e0
s0
,
k1s0x0(k1e0t)
k1s0x0(k1e0t) + k−1 + k2
+ O
e0
s0
, t ≥ O
e0
s0
;
přitom funkce x0( · ) je implicitně dána rovnicí (6.12).
Kapitola 7
Lotkovy-Volterrovy systémy
x′
i = xi

bi −
n
j=1
aijxj

 , i = 1, 2, . . . , n. (7.1)
Tyto systémy modelují vývoj společenstva (časové změny velikostí jednotlivých populací,
z nichž se společenstvo skládá). Neznámé funkce a parametry interpretujeme následovně:
xi = xi(t) . . . velikost i-té populace
bi . . . růstový koeficient izolované i-té populace (vnitřní koeficient růstu i-té populace)
bi > 0 . . . i-tá populace je soběstačná (producent)
bi ≤ 0 . . . i-tá populace závisí na jiných populacích (konzument)
aii . . . koeficient vnitrodruhových vztahů i-té populace
aii > 0 . . . v i-té populaci se projevuje vnitrodruhová konkurence
aii < 0 . . . v i-té populaci se projevuje vnitrodruhová kooperace
aij . . . koeficient vlivu j-té populace na i-tou
min {aij, aji} > 0 . . . i-tá a j-tá populace jsou ve vztahu konkurence
max {aij, aji} < 0 . . . i-tá a j-tá populace jsou ve vztahu mutualismu (symbiózy)
aij < 0 < aji . . . j-tá populace je kořistí (hostitelem) i-té populace;
i-tá populace je predátorem (parazitem) j-té populace
aij > 0 . . . j-tá populace je amenzalistou i-té populace
aij < 0 . . . j-tá populace je komenzalistou i-té populace
Fázový prostor systému (7.1) je n-rozměrný uzavřený kladný orthant
¯Rn
+ = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0} .
121
122 KAPITOLA 7. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
7.1 Vztah Lotkových-Volterrových systémů a Verhulstovy logistické
rovnice
Logistickou rovnici
x′
= rx 1 −
x
K
,
v níž jsou oba parametry r (vnitřní koeficient růstu) a K (kapacita prostředí pro modelovanou
populaci) kladné, lze považovat za jednorozměrný Lotkův-Volterrův systém s b1 = r
a a11 = r/K, tedy za model soběstačné populace s vnitrodruhovou konkurencí (tak byla
Verhulstova rovnice sestavena). Také platí K = b1/a11; odtud lze usoudit, že pro soběstačnou
populaci s vnitrodruhovou konkurencí představuje podíl vnitřního koeficientu růstu a
koeficientu vnitrodruhové konkurence kapacitu prostředí neovlivněnou ostatními populacemi
společenstva.
Jinou interpretaci logistické rovnice lze získat následující úvahou: Označme
y = 1 −
x
K
=
K − x
K
.
Poněvadž y′ = −x′/K, dostaneme
x′ = rxy
y′ = −
r
K
xy.
(7.2)
Jedná se o dvojrozměrný Lotkův-Volterrův systém s parametry
b1 = b2 = 0, a11 = a22 = 0, a12 = r, a21 = −
r
K
.
Proměnnou y lze interpretovat jako relativní dostupnost zdrojů pro modelovanou populaci
vzhledem k celkové kapacitě prostředí K. Velikost populace a relativní dostupnost zdrojů jsou
tedy ve vztahu predace, obě tyto „složky společenstva nejsou ani producenty ani konzumenty
a neprojevuje se u nich žádný vnitrodruhový vztah.
Poznamenejme, že systém (7.2) nemá izolované stacionární body.
Systém (7.2) lze také přepsat ve vektorovém tvaru
x
y
′
=
r
K
0 xy
−xy 0
1
K
=
r
K
0 xy
−xy 0
∇(x + Ky).
Matice
S = S(x, y) =
r
K
0 xy
−xy 0
je antisymetrická. To znamená, že systém (7.2) je hamiltonovský a funkce H(x, y) = x + Ky
je jeho hamiltoniánem (sr. definici 25 a větu 31). Invariantem systému (7.2) je součet velikosti
populace a (absolutní) dostupnosti zdrojů. Tento invariant je podle definičního vztahu
proměnné y také roven
x + Ky = x + K 1 −
x
K
= K,
což je kapacita prostředí z Verhulstovy logistické rovnice. Tyto výsledky jsou matematicky
triviální, umožňují ale alternativní interpretaci kapacity prostředí a tím snad i lepší vhled do
problematiky populační ekologie.
7.2. OBECNÉ VLASTNOSTI LOTKOVÝCH-VOLTERROVÝCH SYSTÉMŮ 123
7.2 Obecné vlastnosti Lotkových-Volterrových systémů
Zavedeme označení
b =



b1
...
bn


 , A =



a11 · · · a1n
...
...
...
an1 · · · ann


 ,
matice A se nazývá matice interakcí společenstva. Pro libovolný vektor v = (v1, v2, . . . , vn)T
položíme
diag v =







v1 0 · · · 0 0
0 v2 · · · 0 0
...
...
...
...
...
0 0 · · · vn−1 0
0 0 · · · 0 vn







a vektory ze standardní orthonormální báze n-rozměrného vektorového prostoru označíme ej,
ej
=





δ1j
δ2j
...
δnj





, kde δij =
0, i = j
1, i = j
je Kroneckerův symbol.
Systém (7.1) lze zapsat jako vektorovou rovnici
x′
= diag x (b − Ax) . (7.3)
Je-li matice A regulární, existuje nejvýše jeden stacionární bod x∗ = A−1b systému (7.1)
takový, že všechny jeho složky jsou kladné. Takový stacionární bod budeme nazývat vnitřní.
Pokud vnitřní stacionární bod existuje, lze tuto skutečnost interpretovat jako možnou koexistenci
všech populací společenstva, přičemž koexistující populace mají dynamicky stálé
velikosti dané složkami vektoru x∗.
Parciální derivace pravé strany rovnice (7.3) podle j-té proměnné je
∂
∂xj
diag x (b − Ax) =
∂
∂xj
diag x (b − Ax) + diag x
∂
∂xj
(b − Ax) =
= diag ej
(b − Ax) + diag x −A · ej
a pro vnitřní stacionární bod x∗ platí b − Ax∗ = O. Proto variační matice systému (7.1) ve
vnitřním stacionárním bodě x∗ je
J(x∗
) = − diag x∗
· A.
Odtud a z 28 plyne:
Věta 32. Buď x∗ stacionární bod systému (7.1), jehož všechny složky jsou nenulové. Mají-li
všechna vlastní čísla matice diag x∗ · A kladnou reálnou část, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗
systému (7.1) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Pokud existuje vlastní číslo matice diag x∗ · A které má zápornou reálnou část, pak je
konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (7.1) nestabilní.
124 KAPITOLA 7. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Poznámka 12. Pro čtvercovou matici M položme SM = 1
2 M + MT . Matice SM je zřejmě
symetrická.
Pro každý n-rozměrný vektor v a čtvercovou matici M řádu n platí
vT
Mv = vT
SMv.
Důkaz: Poněvadž vT Mv je číslo, tj. čtvercová matice řádu 1, platí
vT
Mv = vT
Mv
T
= vT
MT
v.
Odtud plyne
vT
Mv = 2vT 1
2
(M + MT
) −
1
2
MT
v = 2vT
SM v − vT
MT
v = 2vT
SM v − vT
Mv
a tato rovnost je již ekvivalentní s dokazovaným vztahem.
Věta 33. Buď x∗ = (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n) = A−1b vnitřní stacionární bod systému (7.1). Jestliže
existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T se všemi složkami kladnými a existuje okolí U
bodu x∗ takové, že pro všechna x ∈ U je výraz
(x − x∗
)T
S(diag c A) (x − x∗
) (7.4)
nezáporný, pak funkce
V (x) = V (x1, x2, . . . , xn) =
n
i=1
ci
xi
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ
je ljapunovskou funkcí systému (7.1), tj. konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (7.1) je stejnoměrně
stabilní.
Pokud je výraz (7.4) pro všechna x ∈ U \ {x∗} kladný, pak je toto řešení stejnoměrně
asymptoticky stabilní.
Důkaz: Funkce V je definována pro všechna x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0. Platí
V (x∗
) =
n
i=1
ci
x∗
i
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ = 0.
Pro každé xi > 0 je
xi
x∗
i
ξ − x∗
i
ξ
dξ ≥ 0,
neboť integrovaná funkce je kladná pro xi > x∗
i (tj. v případě, že horní mez integrálu je větší,
než dolní mez) a záporná pro xi < x∗
i (horní mez integrálu menší než dolní mez). Rovnost
nastane právě tehdy, když xi = x∗
i . Odtud plyne, že pro x = x∗ a takové, že všechny jeho
složky jsou kladné, platí V (x) > 0.
Dále podle věty o derivaci integrálu jako funkce horní meze platí
∂V (x)
∂xi
= ci
xi − x∗
i
xi
,
7.3. KOLOBĚH DUSÍKU V PLANKTONU 125
a poněvadž b = Ax∗, platí dále
bi =
n
j=1
aijx∗
j ,
takže derivace funkce V vzhledem k systému (7.1) je
˙V (x) =
n
i=1
ci
xi − x∗
i
xi
xi

bi −
n
j=1
aijxj

 =
n
i=1
ci (xi − x∗
i )


n
j=1
aijx∗
j −
n
j=1
aijxj

 =
= −
n
i=1
n
j=1
(xi − x∗
i ) ciaij xj − x∗
j = − (x − x∗
)T
(diag c A) (x − x∗
) =
= − (x − x∗
)T
S (diag c A) (x − x∗
)
(poslední rovnost plyne z poznámky 12). Věta nyní plyne z věty 29 a a jejího důsledku 9.
Důsledek 11. Nechť systém (7.1) má vnitřní stacionární bod x∗ = (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n).
Jestliže existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T se všemi složkami kladnými takový,
že matice
S (diag c A) (7.5)
je pozitivně semidefinitní, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (7.1) je stejnoměrně
stabilní.
Pokud je matice (7.5) pozitivně definitní, pak konstantní řešení x(t) ≡ x∗ systému (7.1)
je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Poznámka 13. Nechť jsou splněny předpoklady Věty 33. Ljapunovská funkce systému (7.1)
je tvaru
V (x) =
n
i=1
ci xi − x∗
i 1 − ln
xi
x∗
i
a její derivace vzhledem k systému (7.1) je rovna
˙V (x) = −(x − x∗
)T
S(diag cA)(x − x∗
).
7.3 Koloběh dusíku v planktonu
Uvažujme proces schématicky znázorněný na obrázku 7.1: Ve fytoplanktonu probíhá fotosyntéza
a při ní se dusík z okolního prostředí váže v jeho buňkách; fytoplankton slouží jako
potrava pro zooplankton, takže dusík ze zkonzumovaného fytoplanktonu se stává součástí zooplanktonu.
Plankton v důsledku svého metabolismu dusík opět vylučuje do okolního prostředí
a také při rozkladu mrtvého planktonu se dusík uvolňuje. Dusík z prostředí není odebírán ani
není nějakým způsobem do něho přidáván. Dusíku vylučovaného planktonem je tím více,
čím je více planktonu, dusíku vázaného ve fytoplanktonu přibývá tím více, čím je více volného
dusíku a fytoplanktonu; dusíku vázaného v zooplanktonu přibývá tím více, čím více
je fytoplanktonu pozřeného zooplanktonem a toho je tím více, čím více je fytoplanktonu i
zooplanktonu. Označme po řadě N, P a Z množství dusíku v prostředí, vázaného ve fytoplanktonu
a vázaného v zooplanktonu. Všechny tyto veličiny se mění s časem, tj. N = N(t),
126 KAPITOLA 7. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
✲ ✲
✻
❄ ❄
a b
c dN
dusík v prostředí
P
fytoplankton
Z
zooplankton
Obrázek 7.1: Schéma koloběhu dusíku
P = P(t) a Z = Z(t). Celkové množství dusíku v systému je rovno V = N + P + Z. Koloběh
dusíku lze nejjednodušeji modelovat systémem rovnic
N′ = aP + bZ − cNP,
P′ = cNP − dPZ − aP,
Z′ = dPZ − bZ;
všechny parametry a, b, c, d jsou kladné.
Nejprve si všimněme, že V ′ = N′ + P′ + Z′ = 0, což znamená, že celkové množství dusíku
V je konstantní. Proto lze množství dusíku v prostředí vyjádřit jako N(t) = V − P(t) − Z(t)
a dosadit do druhé a třetí rovnice systému. Dostaneme
P′ = (V c − a)P − cP2 − (c + d)PZ = P V c − a − cP − (c + d)Z ,
Z′ = −bZ + dPZ = Z − b + dP .
(7.6)
Jedná se tedy o Lotkův-Volterrův systém s vektorem růstových koeficientů a maticí interakcí
b =
V c − a
−b
a A =
c −(c + d)
d 0
.
To je systém typu dravec-kořist; dravcem je zooplankton, kořistí fytoplankton. Variační matice
systému (7.6) v obecném bodě je
J(P, Z) =
V c − a − 2cP − (c + d)Z −(c + d)P
dZ −b + dP
,
Systém (7.6) má vždy triviální stacionární bod
s0 =
0
0
vyjadřující nepřítomnost planktonu. Variační matice v triviálním stacionárním bodě, její stopa
a determinant jsou
J(s0) =
V c − a 0
0 −b
, tr J(s0) = c V −
a
c
− b, det J(s0) = −bc V −
a
c
,
Pokud pro množství dusíku platí
V >
a
c
, (7.7)
pak det J(s0) < 0 a podle 4.3.1 to znamená, že triviální stacionární bod s0 je sedlo. Pokud
naopak
V <
a
c
,
7.3. KOLOBĚH DUSÍKU V PLANKTONU 127
pak det J(s0) > 0, tr J(s0) < −b < 0 a tr J(s0)
2
− 4 det J(s0) = (V c − a + b)2 ≥ 0,
což znamená, že s0 je stabilní uzel.
Je-li splněna nerovnost (7.7), pak má systém (7.6) další stacionární bod
s1 =
V −
a
c
0
,
vyjadřující dynamicky stálé množství fytoplanktonu bez přítomnosti zooplanktonu. Variační
matice systému (7.7) ve stacionárním bodě s1 je
J(s1) =
−c V − a
c −(c + d) V − a
c
0 d V − a
c − b
,
její stopa a determinant jsou
tr J(s1) = d V −
a
c
−
b
d
− c V −
a
c
, det J(s1) = −cd V −
a
c
V −
a
c
−
b
d
.
Pokud navíc množství dusíku splňuje podmínku
V >
a
c
+
b
d
, (7.8)
pak det J(s1) < 0 a stacionární bod je sedlo. Je-li naopak
V <
a
c
+
b
d
,
pak det J(s1) < 0, tr J(s1) < 0 a
tr J(s1)
2
− 4 det J(s1) = d V −
a
c
−
b
d
+ c V −
a
c
2
≥ 0,
což znamená, že stacionární bod je stabilní uzel.
Vnitřní stacionární bod systému (7.6) je
P∗
Z∗ = A−1
b =
1
d(c + d)
0 −(c + d)
d c
V c − a
−b
=




b
d
c
c + d
V −
a
c
−
b
d



 .
Vidíme, že P∗ > 0 a pokud je splněna podmínka (7.8), pak také Z∗ > 0; v takovém případě
je tedy možná koexistence fyto- i zooplanktonu. Dále platí
J(P∗
, Z∗
) = −




b
d
O
O
c
c + d
V −
a
c
−
b
d




0 −(c + d)
d c
=
=





0
b(c + d)
d
−
cd
c + d
V −
a
c
−
b
d
−
c2
c + d
V −
a
c
−
b
d





.
128 KAPITOLA 7. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Je-li splněna podmínka (7.8), pak
tr J(P∗
, Z∗
) = −
c2
c + d
V −
a
c
−
b
d
< 0, det J(P∗
, Z∗
) = bc V −
a
c
−
b
d
> 0,
což znamená, že reálná část vlastních čísel variační matice J(P∗, Z∗) je záporná, a tedy vnitřní
stacionární řešení (P∗, Z∗) systému (7.6) je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Povšimněme si, že kladná stacionární hodnota P∗ nezávisí na celkovém množství dusíku
V . Pokud se tedy zvětší přísun živin, nemá z toho užitek fytoplankton, ale jeho predátor
zooplankton.
Z dosud provedených úvah a výpočtů lze učinit závěr, že přežívání planktonu je závislé na
celkovém množství dusíku v prostředí:
(i) V <
a
c
plankton nepřežívá,
(ii)
a
c
< V <
a
c
+
b
d
přežívá pouze fytoplankton,
(iii)
a
c
+
b
d
< V fyto- i zooplankton dlouhodobě koexistují.
Povšimněme si, že podmínku (iii) lze splnit pouze v případě
V >
b
d
; (7.9)
v opačném případě by totiž mělo být V −
b
d
>
a
c
> 0 a současně V −
b
d
≤ 0.
Výsledky lze ovšem interpretovat i jinak. Předpokládejme, že platí podmínka (7.9) a příslušné
nerovnosti i závěry z nich plynoucí přepíšeme do tvaru:
(i) c <
a
V
plankton nepřežívá,
(ii)
a
V
< c <
a
V
+
ab
V (V d − b)
přežívá pouze fytoplankton,
(iii)
a
V
+
ab
V (V d − b)
< c fyto- i zooplankton dlouhodobě koexistují.
Koeficient c vyjadřuje, s jakou intenzitou je dusík z prostředí vázán do biomasy fytoplanktonu.
Tato vazba vzniká procesem fotosyntézy, jejíž intenzita roste s množstvím slunečního světla
a to se mění s ročním obdobím. Při stálém množství dusíku se s rostoucím množstvím světla
nejprve objeví fytoplankton, poté i zooplankton; v zimě se plankton nevyskytuje, na jaře se
nejprve objeví fytoplankton a poté s prodlužujícím se dnem i zooplankton.
7.4 Dissipativita konkurenčních systémů
Uvažujme společenstvo n soběstačných populací, z nichž každá projevuje vnitrodruhovou
konkurenci a každá z populací je amenzalistou jiné nebo ji neovlivňuje (zejména tedy každé
dvě populace mohou být ve vztahu konkurence). Vývoj takového společenstva lze modelovat
systémem (7.1) s kladnými parametry bi, aii, i = 1, 2, . . . , n a s nezápornými parametry aij
7.5. TROFICKÝ ŘETĚZEC 129
pro i = j. S využitím poznámky 10 ukážeme, že takový systém je dissipativní, tedy že všechny
složky jeho řešení jsou ohraničené:
Nechť ε > 0 a i ∈ {1, 2, . . . , n} jsou libovolná. Položme
Ki =
bi
aii
+ ε, δi = εaii.
Pak Ki > 0, δi > 0 a pro všechna xj ≥ Kj, j ∈ {1, 2, . . . , n} platí
xi

bi −
n
j=1
aijxj

 ≤ xi(bi − aiixi) ≤ xi(bi − aiiKi) = xiaii
bi
aii
− Ki =
= xiaii(Ki − ε − Ki) = −εxiaii = −δixi,
takže předpoklady poznámky 10 jsou splněny.
Poněvadž kladná konstanta ε je libovolně malá, pro každé řešení
x( · ) = x1(·), x2(·), . . . , xn(·)
systému (7.1) s bi > 0, aii > 0, aij ≥ 0, i, j = 1, 2, . . . , n existuje T ≥ 0 takové, že pro všechna
t ≥ T je
x1(t) ≤
b1
a11
, x2(t) ≤
b2
a22
, . . . , xn(t) ≤
bn
ann
.
V dlouhém časovém horizontu populace nepřekračují velikost danou kapacitou prostředí pro
populace izolované.
7.5 Trofický řetězec
Trofický řetězec je takové společenstvo, v němž je první druh producentem a každý jiný
druh je nesoběstačným specializovaným predátorem právě jednoho dalšího druhu. Označíme
x1 velikost populace producenta, x2 velikost populace jeho predátora, x3 velikost populace,
která je predátorem populace o velikosti x2, atd. Každá z populací na některé trofické úrovni
nemusí být tvořena jedním biologickým druhem, může jít o společenstvo organismů majících
stejný způsob obživy. Trofický řetěz o n úrovních lze tedy modelovat systémem
x′
1 = x1(r − ax1) − p1x1x2
x′
2 = −d2x2 + q2x1x2 − p2x2x3
...
x′
k = −dkxk + qkxk−1xk − pkxkxk+1
...
x′
n−1 = −dn−1xn−1 + qn−1xn−2xn−1 − pn−1xn−1xn
x′
n = −dnxn + qnxn−1xn,
(7.10)
parametry r, d2, d3, . . . , dn, q2, q3, . . . , qn, p1, p2, . . . , pn−1 jsou kladné, parametr a je nezáporný
(producent může, ale nemusí projevovat vnitrodruhovou konkurenci).
130 KAPITOLA 7. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Existence vnitřního stacionárního bodu
Hledejme nyní podmínky, které zaručí existenci takového stacionárního bodu x∗. Jeho souřadnice
splňují n-rozměrný systém algebraických rovnic
ax∗
1 + p1x∗
2 = r,
qkx∗
k−1 − pkx∗
k+1 = dk, k = 2, 3, . . . , n − 1.
qnx∗
n−1 = dn.
(7.11)
„Prostřední rovnice tohoto systému lze přepsat ve tvaru rekurentních formulí
x∗
k−1 =
1
qk
pkx∗
k+1 + dk nebo x∗
k+1 =
1
pk
qkx∗
k−1 − dk , k = 2, 3, . . . , n − 1. (7.12)
Poněvadž všechny koeficienty pk, qk, dk jsou kladné, plyne z tohoto vyjádření:
(i) je-li x∗
ℓ0
> 0 pro nějaké l0 ∈ {2, 3, . . . , n} ,
pak je x∗
ℓ > 0 pro všechna ℓ ∈ ℓ0, ℓ0 − 2, ℓ0 − 4, . . . ,
1
2
3 + (−1)ℓ0
;
(ii) je-li x∗
ℓ1
≤ 0 pro nějaké ℓ1 ∈ {1, 3, . . . , n − 2} ,
pak je x∗
ℓ < 0 pro všechna ℓ ∈ ℓ1 + 2, ℓ1 + 4, . . . , n −
1
2
1 − (−1)ℓ1+n
.
Podle poslední rovnice systému (7.11) je
x∗
n−1 =
dn
qn
.
Z první rekurentní formule (7.12) postupně vyjádříme
x∗
n−3 =
1
qn−2
pn−2x∗
n−1 + dn−2 =
pn−2
qn−2
dn
qn
+
dn−2
qn−2
,
x∗
n−5 =
1
qn−4
pn−4x∗
n−3 + dn−4 =
pn−4
qn−4
pn−2
qn−2
dn
qn
+
pn−4
qn−4
dn−2
qn−2
+
dn−4
qn−4
,
atd. Celkem dostaneme
x∗
n−(2ℓ+1) =
ℓ
i=0
dn−2i
qn−2i
ℓ
j=i+1
pn−2j
qn−2j
, pro ℓ = 0, 1, . . .
n
2
− 1, (7.13)
kde [ξ] označuje celou část z čísla ξ a klademe
k−1
j=k
αj = 1 pro libovolné přirozené k a každou
posloupnost {αj}∞
j=0.1 Přímým výpočtem se lze přesvědčit, že (7.13) je skutečně řešením
druhé až n-té rovnice systému (7.11).
1
Uvedená konvence je přirozeným rozšířením rovnosti
k
j=m
αj = αk
k−1
j=m
αj , která platí pro libovolné k > m,
také pro k = m.
7.5. TROFICKÝ ŘETĚZEC 131
Nechť nejprve je n sudé. V tomto případě lze rovnost (7.13) přepsat na tvar
x∗
2k−1 = x∗
n−(2(n
2
−k)+1) =
n
2
−k
i=0
dn−2i
qn−2i
n
2
−k
j=i+1
pn−2j
qn−2j
=
n
2
i=k
d2i
q2i
i−1
j=k
p2j
q2j
, k = 1, 2, . . . ,
n
2
.
Z tohoto vyjádření je vidět, že všechny souřadnice stacionárního bodu x∗ s lichými indexy
jsou kladné. Pro jeho první souřadnici platí
x∗
1 =
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (7.14)
Z první rovnice systému (7.11) nyní dostaneme
x∗
2 =
r − ax∗
1
p1
,
a ze druhé rekurentní formule (7.12)
x∗
4 =
1
p3
(q3x∗
2 − d3) =
q3
p3
r − ax∗
1
p1
−
d3
p3
,
x6 =
1
p5
(q5x∗
4 − d5) =
q5
p5
q3
p3
r − ax∗
1
p1
−
q5
p5
d3
p3
−
d5
p5
,
atd. Obecně
x∗
2k =
r − ax∗
1
p1
k−1
i=1
q2i+1
p2i+1
−
k−1
i=1
d2i+1
p2i+1
k−1
j=i+1
q2j+1
p2j+1
, k = 1, 2, . . . ,
n
2
.
Souřadnice x∗
1 je vyjádřena formulí (7.14). Tedy platí
x∗
n = x∗
2n
2
=
r − ax∗
1
p1
n
2
−1
ℓ=1
q2ℓ+1
p2ℓ+1
−
n
2
−1
i=1
d2i+1
p2i+1
n
2
−1
j=i+1
q2j+1
p2j+1
=
=


n
2
−1
ℓ=1
q2ℓ+1
p2ℓ+1



r − ax∗
1
p1
−
n
2
−1
i=1
d2i+1
p2i+1
i
j=1
p2j+1
q2j+1

 =
=

 1
p1
n
2
−1
ℓ=1
q2ℓ+1
p2ℓ+1



r − a
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
− p1
n
2
−1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1

 .
Nutnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby všechny souřadnice stacionárního bodu x∗ byly
kladné, je tedy podle tvrzení (i) a (ii) nerovnost
r > p1
n
2
−1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
n
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (7.15)
132 KAPITOLA 7. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Nechť nyní je n liché. V tomto případě lze rovnost (7.13) přepsat na tvar
x∗
2k = xn−(2(n−1
2
−k)+1) =
n−1
2
−k
i=0
dn−2i
qn−2i
n−1
2
−k
j=i+1
pn−2j
qn−2j
=
n−1
2
i=k
d2i+1
q2i+1
i−1
j=k
p2j+1
q2j+1
,
k = 1, 2, . . . ,
n − 1
2
.
Z něho je vidět, že všechny souřadnice stacionárního bodu x∗ se sudými indexy jsou kladné.
Zejména jeho druhá souřadnice je
x∗
2 =
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
. (7.16)
Je-li a = 0, dostaneme z první rovnice systému (7.11)
x∗
1 =
r − p1x∗
2
a
,
ze druhé rekurentní formule (7.12) nyní můžeme postupně vyjádřit
x∗
3 =
1
p2
(q2x∗
1 − d2) =
q2
p2
r − p1x∗
2
a
−
d2
p2
,
x∗
5 =
1
p4
(q4x∗
3 − d4) =
q4
p4
q2
p2
r − p1x∗
2
a
−
q4
p4
d2
p2
−
d4
p4
,
atd. Obecně dostaneme
x∗
2k−1 =
r − p1x∗
2
a
k−1
i=1
q2i
p2i
−
k−1
i=1
d2i
p2i
k−1
j=i+1
q2j
p2j
, k = 1, 2, . . . ,
n + 1
2
.
Odtud s využitím (7.16) vyjádříme
x∗
n = x∗
2n+1
2
−1
=
r − p1x∗
2
a
n−1
2
ℓ=1
q2ℓ
p2ℓ
−
n−1
2
i=1
d2i
p2i
n−1
2
j=i+1
q2j
p2j
=
=

1
a
n−1
2
ℓ=1
q2ℓ
p2ℓ



r − p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
− a
n−1
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j

 .
Pro liché n a a = 0 tedy dostáváme jako nutnou a dostatečnou podmínku pro to, aby všechny
souřadnice stacionárního bodu x∗ byly kladné, nerovnost
r > p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
n−1
2
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (7.17)
Pokud je n liché a a = 0, dostaneme z první rovnice systému (7.11) rovnost
x∗
2 =
r
p1
.
7.5. TROFICKÝ ŘETĚZEC 133
Současně však musí platit rovnost (7.16), takže soustava rovnic (7.11) má řešení (a to nekonečně
mnoho řešení; stacionární bod není v takovém případě izolovaný) pouze tehdy, když
r = p1
n−1
2
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
.
Pravděpodobnost, že tato rovnost bude splněna pro systém (7.10) modelující reálné společenstvo,
je však nulová.
Povšimněme si ještě, že nerovnosti (7.15) a (7.17) lze zapsat jednotně ve tvaru
r > p1
[n−1
2 ]
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
+ a
[n
2 ]
i=1
d2i
q2i
i−1
j=1
p2j
q2j
. (7.18)
Závěr: Je-li a > 0 (základní zdroj je omezený, v populaci producenta je vnitropopulační
konkurence), pak vnitřní stacionární bod systému (7.10) existuje (je možná koexistence všech
populací tvořících trofický řetězec) právě tehdy, když je splněna podmínka (7.18) (vnitřní
koeficient růstu producenta je dostatečně velký).
Je-li a = 0 (základní zdroj je neomezený), pak vnitřní stacionární bod systému (7.10)
existuje pouze pro sudé n (je možná koexistence pouze sudého počtu trofických úrovní);
vnitřní stacionární bod v takovém případě existuje právě tehdy, když je splněna podmínka
r > p1
n
2
−1
i=1
d2i+1
q2i+1
i−1
j=1
p2j+1
q2j+1
.
Stabilita vnitřního stacionárního bodu
Matice interakcí a vektor růstových koeficientů jsou
A =









a p1 0 · · · 0 0 0
−q2 0 p2 · · · 0 0 0
0 −q3 0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · −qn−1 0 pn−1
0 0 0 · · · 0 −qn 0









, b =









r
−d2
−d3
...
−dn−1
−dn









.
Položme
c1 = 1, c2 =
p1
q2
, c3 =
p1p2
q2q3
, . . . , cn−1 =
p1p2 · · · pn−2
q2q3 · · · qn−1
, cn =
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn
.
134 KAPITOLA 7. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Pak je
diag c A =

















a p1 0 · · · 0 0 0
−p1 0
p1p2
q2
· · · 0 0 0
0 −
p1p2
q2
0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · −
p1p2 · · · pn−2
q2q3 · · · qn−2
0
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn−1
0 0 0 · · · 0 −
p1p2 · · · pn−1
q2q3 · · · qn−1
0

















,
takže
S (diag c A) =









a 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 · · · 0 0 0
0 0 0 · · · 0 0 0









z čehož plyne
(x − x∗
)T
S(diag c A) (x − x∗
) = a(x1 − x∗
1)2
≥ 0.
Pokud existuje vnitřní stacionární bod x∗ uvažovaného systému, pak je příslušné konstantní
řešení stejnoměrně stabilní.
Podle Poznámky 13 je derivace ljapunovské V funkce vzhledem k systému (7.1) rovna
˙V (x) = −a(x1 − x∗
1)2
.
Je-li a = 0 (zdroje pro primárního producenta, tj. pro populaci na nejnižší trofické úrovni,
jsou neomezené), pak je ˙V (x) = 0 pro všechna x z fázového prostoru systému (7.1).
Nechť a > 0. Stejnoměrnou asymptotickou stabilitu stacionárního řešení x(t) ≡ x∗ v tomto
případě ukážeme podle Důsledku 10 Věty 29. Máme
M = x : ˙V (x) = 0 = {x : x1 − x∗
1 = 0} .
Položíme-li F(x) = x1 − x∗
1, je
∂F(x)
∂xi
=
1, i = 1,
0, jinak,
takže pro x ∈ M platí
˙F(x) = x∗
1(r − ax∗
1) − p1x∗
1x2 = x∗
1(r − ax∗
1 − p1x2).
Připomeňme, že pro první dvě souřadnice vnitřního stacionárního bodu x∗ podle (7.11) platí
r − ax∗
1 − p1x∗
2 = 0.
Celkem tak dostáváme, že ˙F(x) = 0 pro x ∈ M {x∗}, což znamená, že stacionární bod x∗
je stejnoměrně asymptoticky stabilní.
Tento výsledek můžeme přeformulovat tak, že vnitrodruhová konkurence na nejnižší trofické
úrovni (omezení zdrojů) stabilizuje společenstvo.
7.6. SPOLEČENSTVO SE DVĚMA TROFICKÝMI ÚROVNĚMI 135
7.6 Společenstvo se dvěma trofickými úrovněmi
Uvažujme společenstvo tvořené dvěma skupinami druhů — producenty (kořistí) a konzumenty
(predátory). Mezi druhy uvnitř jednotlivých trofických úrovní nejsou žádné interakce a konzumenti
nemohou bez producentů přežít. Je-li takové společenstvo tvořeno n druhy producentů
a m druhy konzumentů, lze jeho vývoj popsat systémem Lotkových-Volterrových rovnic tvaru
x′
i = xi ri −
m
k=1
aikyk , i = 1, 2, . . . , n,
y′
j = yj −sj +
n
k=1
bjkxk , j = 1, 2, . . . , m;
(7.19)
xi označuje velikost i-tého druhu producentů, yj velikost j-tého druhu konzumentů, parametry
ri, sj, aij, bji jsou kladné. Systém (7.19) můžeme při zavedení vektorů x = (x1, x2, . . . , xn)T ,
y = (y1, y2, . . . , ym)T , r = (r1, r2, . . . , rn)T , s = (s1, s2, . . . , sm)T , a matic
A = aij 1≤i≤n
1≤j≤m
=





a11 a12 . . . a1m
a21 a22 . . . a2m
...
...
...
...
an1 an2 . . . anm





, B = bji 1≤j≤m
1≤i≤n
=





b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
...
...
...
bm1 bm2 . . . bmn





zapsat vektorově
x′ = diag x (r − Ay),
y′ = diag y (−s + Bx),
nebo ve tvaru
x
y
′
= diag
x
y
r
−s
−
O A
B O
x
y
,
kde O označuje nulovou matici.
Příklad: klasický Lotkův-Volterrův systém dravec-kořist
Uvažujme společenstvo jednoho producenta a jednoho konzumenta (jednoho dravce a jeho
kořisti). V takovém případě je n = m = 1 a systém (7.19) je tvaru
x′ = x(r − ay),
y′ = y(−s + bx).
(7.20)
Tento systém má vnitřní stacionární bod
(p, q) =
s
b
,
r
a
.
Systém (7.20) můžeme přepsat na tvar
x′
x
= r − ay,
y′
y
= −s + bx,
neboli
d
dt
ln x = r − ay,
d
dt
ln y = −s + bx.
136 KAPITOLA 7. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Při označení u = ln x, v = ln y dostaneme
u′ = r − aev,
v′ = −s + beu,
což je systém bipartitní. Bezprostředně vidíme, že tento systém můžeme psát ve tvaru
u′ =
∂
∂v
(rv − aev) ,
v′ = −
∂
∂u
(su − beu) ,
nebo vektorově
u
v
′
=
0 1
−1 0
∇ (su − beu
+ rv − aev
) . (7.21)
Systém (7.20) je tedy ekvivalentní s hamiltonovským systémem (7.21). Jeho hamiltonián
(invariant) v původních proměnných je
H(x, y) = s ln x − bx + r ln y − ay = b
s
b
ln x − x + a
r
a
ln y − y =
= b (p ln x − x) +
a
b
(q ln y − y) .
Transformace systému (7.19) na systém bipartitní
Stavové proměnné xi, yj transformujeme na nové, které označíme ui, vj a definujeme rov-
nostmi
ui = ln xi, vj = ln yj, i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m. (7.22)
Pak
u′
i =
x′
i
xi
= ri −
m
k=1
aikyk = ri −
m
k=1
aikevk
, v′
j = −sj +
n
k=1
bjkeuk
.
Zavedeme označení
eu
= (eu1
, eu2
, . . . , eun
) , ev
= (ev1
, ev2
, . . . , evm
) .
Systém (7.19) se transformuje na tvar
u′
= r − Aev
, v′
= −s + Beu
; (7.23)
derivace první sady proměnných závisí pouze na druhé sadě, derivace druhé sady proměnných
závisí pouze na první sadě. Systém (7.19) lze tedy substitucí (7.22) transformovat na systém
bipartitní.
Invariant systému (7.19)
Hodnota aij vyjadřuje množství i-tého druhu kořisti, kterou za jednotku času zničí predátoři
j-tého druhu za předpokladu, že populace i-tého druhu kořisti i j-tého druhu predátora měly
jednotkovou velikost. Stručněji, aij je specifická úmrtnost i-tého druhu kořisti způsobená
populací j-tého druhu predátora o jednotkové velikosti. Hodnota bji je specifická porodnost
7.6. SPOLEČENSTVO SE DVĚMA TROFICKÝMI ÚROVNĚMI 137
j-tého druhu predátora po konzumaci jednotkového množství populace i-tého druhu kořisti.
Poměr bji/aij lze tedy chápat jako efektivitu, s jakou se úbytek i-tého druhu kořisti přeměňuje
do růstu populace j-tého druhu predátora. Předpokládejme nyní, že každý druh predátora
využívá všechny druhy kořisti stejně efektivně, tj. že ke každému j = 1, 2, . . . , m existuje
konstanta cj > 0 taková, že
bji
aij
= cj pro všechny indexy i = 1, 2, . . . , n.
Jinak řečeno, nechť existuje vektor c = (c1, c2, . . . , cm)T pro nějž platí
BT
= A diag c, neboli B = diag c AT
. (7.24)
Předpokládejme dále, že existuje vnitřní stacionární bod systému (7.19), tj. že existují vektory
p = (p1, p2, . . . , pn)T , q = (q1, q2, . . . , qm)T se všemi složkami kladnými, takové že Aq = r,
Bp = s, tj.
ri =
m
k=1
aikqk pro i = 1, 2, . . . , n, sj =
n
k=1
bjkpk pro j = 1, 2, . . . , m. (7.25)
Poznamenejme, že v případě m = n nemusí být některý z vektorů p, q určen jednoznačně.
Pak vnitřní stacionární bod není izolovaný.
Definujme nyní funkci H : Rn+m
+ → R předpisem
H(x, y) = H(x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn) =
n
i=1
(pi ln xi − xi) +
m
j=1
1
cj
(qj ln yj − yj) .
Pokud x, y jsou řešením systému (7.19), která mají všechny složky v každém čase kladné,
pak platí
d
dt
H(x, y) =
n
i=1
pi
x′
i
xi
− x′
i +
m
j=1
1
cj
qj
y′
j
yj
− y′
j =
n
i=1
(pi − xi)
x′
i
xi
+
m
j=1
1
cj
(qj − yj)
y′
j
yj
=
=
n
i=1
(pi − xi) ri −
m
k=1
aikyk +
m
j=1
1
cj
−sj +
n
k=1
bjkxk (qj − yj) =
=
n
i=1
(pi − xi)
m
k=1
aikqk −
m
k=1
aikyk +
m
j=1
1
cj
−
n
k=1
bjkpk +
n
k=1
bjkxk (qj − yj) =
=
n
i=1
m
k=1
(pi − xi)aik(qk − yk) −
n
k=1
m
j=1
(pk − xk)
bjk
cj
(qj − yj) = 0,
neboť bjk/cj = akj. Jinak řečeno, funkce H je na trajektoriích systému (7.19) konstantní, je
invariantem (prvním integrálem) tohoto systému.
Transformace systému (7.19) na hamiltonovský
Opět použijeme transformaci (7.22) a s využitím vztahů (7.25) vyjádříme transformovaný
systém (7.23) jako u′ = A(q − ev), v′ = −B(p − eu). Podmínka (7.24) nyní umožňuje přepsat
tento systém ve tvaru
u′
= A(q − ev
), v′
= −(A · diag c)T
(p − eu
). (7.26)
138 KAPITOLA 7. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Invariant H systému (7.19) vyjádříme také v proměnných u a v,
H(u, v) =
n
i=1
(piui − eui
) +
m
j=1
1
cj
(qjvj − evj
).
Platí
∂H
∂ui
(u, v) = pi − eui
,
∂H
∂vj
(u, v) =
1
cj
(qj − evj
), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m.
Při označení ∇u =
∂
∂u1
,
∂
∂u2
, . . . ,
∂
∂un
T
, ∇v =
∂
∂v1
,
∂
∂v2
, . . . ,
∂
∂vm
T
tedy je
∇uH(u, v) = p − eu
, ∇vH(u, v) = (diag c)−1
(q − ev
),
takže systém (7.26) je tvaru
u′
= A diag c ∇vH(u, v), v′
= −(A diag c)T
∇uH(u, v),
neboli
u
v
′
=
O A diag c
−(A diag c)T O
∇uH(u, v)
∇vH(u, v)
,
symbol O označuje nulovou matici. Pokud tedy platí (7.24) a existuje vnitřní stacionární bod
systému (7.19), lze tento systém transformovat na systém hamiltonovský.
Modely společenstev tvořených producenty a jejich konzumenty, které mají vnitřní stacionární
bod a splňují podmínku (7.24), mají v populační ekologii podobný význam jako Newtonovy
zákony v mechanice (srov. 4.4).
7.7 Grossbergovy systémy (zobecněné Lotkovy-Volterrovy)
Vlivy populací tvořících společenstvo na růst jednotlivých populací nemusí být tvaru přímé
úměrnosti. Proto může být realističtější místo systému (7.1) uvažovat systém
x′
i = gi(xi)

bi −
n
j=1
aijfj(xj)

 , i = 1, 2, . . . , n. (7.27)
Funkce fi, gi, i = 1, 2, . . . , n jsou definovány a spojité na intervalu [0, ∞) a splňují podmínky:
• (∀i)gi(0) = 0 . . . je-li velikost i-té populace nulová (tj. i-tá populace ve společenstvu
není), pak nulovou zůstane; uvažujeme tedy izolovaná společenstva, kde nedochází k imigraci
nových druhů.
• (∀i)(∀ξ > 0)gi(ξ) > 0 . . . skutečnost, zda je i-tá populace soběstačná nebo ne, nezávisí
na její velikosti; neuvažujeme tedy např. Alleeho efekt.
• (∀j)fj(0) = 0 . . . není-li j-tá populace ve společenstvu přítomná, nijak neovlivňuje růst
ostatních populací.
7.7. GROSSBERGOVY SYSTÉMY (ZOBECNĚNÉ LOTKOVY-VOLTERROVY) 139
• (∀j)fj je rostoucí . . . s rostoucí velikostí populace roste i její vliv na růst populací ostat-
ních.
Systém (7.27) lze zapsat vektorově:
x′
= G(x) b − Af(x) ,
kde
G(x) = G(x1, x2, . . . , xn) = diag g1(x1), g2(x2), . . . , gn(xn) ,
f(x) = f1(x1), f2(x2), . . . , fn(xn)
T
.
Poněvadž všechny složky zobrazení f : Rn → Rn jsou rostoucí (tedy prosté) funkce, je
toto zobrazení prosté a existuje k němu zobrazení inverzní f−1
= (f−1
1 , f−1
2 , . . . , f−1
n ). Je-li
matice interakcí společenstva A regulární, existuje nejvýše jeden vnitřní stacionární bod
x∗
= (x∗
1, x∗
2, . . . , x∗
n) = f−1
A−1
b
systému (7.27), tj. takový bod, že x∗
1 > 0, x∗
2 > 0, . . . , x∗
n > 0, který lze opět interpretovat
jako dynamicky stálé velikosti všech populací koexistujících ve společenstvu.
Analogicky jako v důkazu věty 33 ověříme, že pokud existuje okolí U vnitřního stacionárního
bodu x∗ a existuje konstantní vektor c = (c1, c2, . . . , cn)T se všemi složkami kladnými,
pro něž je výraz
f(x) − f(x∗
)
T
S(diag c A) f(x) − f(x∗
)
nezáporný pro každé x ∈ U, pak je funkce
V (x) = V (x1, x2, . . . , xn) =
n
i=1
ci
xi
x∗
i
fi(ξ) − fi(x∗
i )
gi(ξ)
dξ
ljapunovskou funkcí systému (7.27) ve stacionárním bodě x∗. Odtud je vidět, že tvrzení
důsledku 11 platí také pro systém (7.27).
140 KAPITOLA 7. LOTKOVY-VOLTERROVY SYSTÉMY
Kapitola 8
Model populace produkující
škodlivé odpady
Označme N = N(t) velikost nějaké populace v čase t. Specifická míra růstu nebo růstový
koeficient p této populace je definován jako relativní změna velikosti populace, tj.
p =
N′
N
.
Vývoj populace je tedy modelován diferenciální rovnicí
N′
= pN. (8.1)
V případě konstantního růstového koeficientu dostaneme klasický Malthusův1 model růstu
populace N(t) = N0ept, kde N0 = N(0) je počáteční velikost populace. V něm je exponenciální
růst (pro p > 0) nebo úbytek (pro p < 0) velikosti populace nerealistický.
Model (8.1) se přiblíží realitě, pokud specifickou míru růstu p nebudeme považovat za
nezávislou konstantu populace, ale za veličinu závislou na její velikosti, tedy p = p(N), nebo
obecněji na nějakých „projevech její velikosti, tj. p = p F(N) , kde F je nějaký funkcionál,
tedy zobrazení z množiny funkcí do množiny reálných čísel.
V tomto oddílu budeme uvažovat populaci, která produkuje odpady svého metabolismu,
které jsou toxické, nebo přinejmenším zmenšují schopnost přežívání populace. Tyto odpady se
v prostředí hromadí, ale také rozkládají, mizí nebo přeměňují v něco, co populaci neomezuje.
Budeme tedy předpokládat:
1. V čistém prostředí (bez uvažovaných odpadů) je specifická míra růstu rovna nějaké
konstantě r (vnitřnímu koeficientu růstu, intrinsic growth rate).
2. V každém okamžiku populace produkuje odpad, jehož množství je úměrné velikosti
populace. Množství odpadu vyprodukovaného v čase t označíme Pp(t); platí pro něho
Pp(t) = cN(t), kde c je nějaká kladná konstanta.
3. Odpad se rozkládá konstantní relativní rychlostí δ > 0, tj. označíme-li P(t) množství
odpadu v čase t a neuvažujeme jeho produkci, platí
P′
(t) = −δP(t). (8.2)
1
Správněji malthusovský, Thomas Robert Malthus (1766–1834) model v takovém tvaru nikdy nepublikoval.
141
142 KAPITOLA 8. MODEL POPULACE PRODUKUJÍCÍ ŠKODLIVÉ ODPADY
4. Specifická míra růstu populace klesá s rostoucím množstvím odpadu. Budeme uvažovat
nejjednodušší možnost, že tato závislost je lineární.
5. Existuje jistá velikost populace K > 0, při které je populace se svým prostředím v
dynamické rovnováze, její velikost se v čase nemění. Konstanta K představuje kapacitu
prostředí (úživnost) pro uvažovanou populaci.
Uvažujme na chvíli idealizovanou situaci, že pouze v čase s vzniklo množství Pp(s) odpadu
a žádný další odpad není do prostředí dodáván. Množství odpadu v čase t > s tedy bude podle
předpokladů 2. a 3. řešením rovnice (8.2) s počáteční podmínkou P(s) = Pp(s) = cN(s), tj.
P(t) = cN(s)e−δ(t−s). V reálné situaci se však odpad v prostředí kumuluje, v čase t ho tedy
bude množství, které zůstalo ze všech odpadů vzniklých až do okamžiku t, tj. množství odpadu
závislé na celé předchozí historii velikosti populace bude
F(N) =
t
−∞
cN(s)e−δ(t−s)
ds.
Předpoklad 4. lze nyní přepsat ve tvaru
p = p F(N) = α − βF(N),
kde β > 0. Z předpokladu 1. plyne, že p(0) = r, tj. α = r. Pro funkci ˜N = ˜N(t) ≡ K podle
předpokladu 5. nyní platí
0 = p F( ˜N) = r − βF( ˜N) = r − βc
t
−∞
Ke−δ(t−s)
ds = r −
βcK
δ
e−δ(t−s)
t
s=−∞
= r −
βcK
δ
.
Odtud dostaneme, že βc =
rδ
K
a specifická míra růstu populace je
p = r

1 −
δ
K
t
−∞
N(s)e−δ(t−s)
ds

 .
Model (8.1) je tedy nyní ve tvaru integrodiferenciální2 rovnice
N′
(t) = rN(t)

1 −
δ
K
t
−∞
N(s)e−δ(t−s)
ds

 . (8.3)
Zavedeme nové neznámé funkce x a y novou nezávisle proměnnou τ následujícími vztahy:
τ = rt, x(τ) =
δ
rK
N
τ
r
, y(τ) =
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds.
2
V této rovnici vystupuje neznámá funkce N za znakem integrálu i jako derivovaná.
143
Pak
x′
(τ) =
dx(τ)
dτ
=
δ
rK
N′ τ
r
1
r
=
δ
r2K
rN
τ
r


1 −
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds


 =
=
δ
rK
rK
δ
x(τ)


1 −
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds


 = x(τ) 1 − y(τ) ,
y′
(τ) =
dy(τ)
dτ
=
δ
K
d
dτ
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds =
=
δ
K



1
r
N
τ
r
e−δ(τ
r
− τ
r ) −
δ
r
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds


 =
=
δ
rK
N
τ
r
−
δ
r
δ
K
τ
r
−∞
N(s)e−δ(τ
r
−s)ds = x(τ) −
δ
r
y(τ).
Rovnice (8.3) se tedy transformuje na dvourozměrný autonomní systém
x′ = x(1 − y),
y′ = x −
δ
r
y.
(8.4)
Nejprve si všimněme, že uzavřený první kvadrant ¯R2
+ = (x, y) ∈ R2; x ≥ 0, y ≥ 0 je pozitivně
invariantní množinou tohoto systému. Uzavřená polopřímka {(0, y) : y ≥ 0} je totiž
pozitivně invariantní množinou (x(t) ≡ 0, y(t) = y0e−(δ/r)t je řešením systému (8.4) pro každé
y0 ≥ 0), pro řešení s počáteční podmínkou x(0) = x0 > 0, y(0) = 0 platí x′(0) > 0, y′(0) > 0
a tedy příslušná trajektorie směřuje dovnitř prvního kvadrantu.
Systém (8.4) má stacionární body(0, 0) a (x∗, y∗) =
δ
r
, 1 a jeho variační matice je
J(x, y) =
1 − y −x
1 −
δ
r
.
Tedy J(0, 0) =
1 0
1 −
δ
r
, det J(0, 0) = −
δ
r
> 0, takže stacionární bod (0, 0) je sedlo. Dále
J(x∗
, y∗
) =



0 −
δ
r
1 −
δ
r


 , det J(x∗
, y∗
) =
δ
r
> 0, tr J(x∗
, y∗
) = −
δ
r
< 0,
tr J(x∗
, y∗
)
2
− 4 det J(x∗
, y∗
) =
δ
r2
(δ − 4r),
144 KAPITOLA 8. MODEL POPULACE PRODUKUJÍCÍ ŠKODLIVÉ ODPADY
y
xδ
r
0
1
y
xδ
r
0
1
a) b)
Obrázek 8.1: Fázový portrét systému (8.4) a jeho trajektorie s počáteční podmínkou 0 <
x(0) ≪ 1, y(0) = 0. a) δ ≥ 4r, b) δ < 4r. Oba obrázky mají stejné měřítko na ose x.
N
t
K
0
N
t
K
0
a) b)
Obrázek 8.2: Průběh řešení úlohy (8.3), (8.5). a) δ = 4r, b) δ = 1
2r.
takže v případě δ ≥ 4r je vnitřní stacionární bod (x∗, y∗) stabilní uzel, v opačném případě
se jedná o stabilní ohnisko. Fázové portréty systému systému (8.4) v obou případech jsou
znázorněny na obr. 8.1.
S využitím Dulacova kriteria (věta 22) vyloučíme existenci cyklu v prvním kvadrantu.
Položíme q(x, y) =
1
x
. Pak
∂
∂x
1
x
x(1 − y) +
∂
∂y
1
x
x −
δ
r
y = −
δ
rx
< 0
pro všechna x > 0. Uvnitř prvního kvadrantu tedy neexistuje cyklus systému (8.4).
Uvažujme nyní situaci, že na počátku (v čase t = 0) se dostane malá populace do nového
prostředí. K rovnici (8.3) přidáme tedy počáteční podmínky
N(0) = N0, N(t) = 0 pro t < 0. (8.5)
Počáteční podmínky pro systém (8.4) v tomto případě budou
x(0) =
δ
rK
N0, y(0) =
δ
K
0
−∞
N(s)eδs
ds = 0;
145
Trajektorie systému (8.4) s těmito počátečními podmínkami jsou také zobrazeny na obr. 8.1.
Z provedené analýzy systému (8.4) plyne, že pro řešení N počáteční úlohy (8.3), (8.5) platí
lim
t→∞
N(t) =
rK
δ
x∗
= K;
funkce N konverguje k hodnotě K v případě δ ≥ 4r monotonně, viz obr. 8.2 a), v opačném
případě s tlumenými oscilacemi, viz obr. 8.2 b).