Vzorová písemná zkouška z předmětu „Pravděpodobnost a statistika“
Příklad 1.: (14 bodů) U 11 náhodně vybraných aut jisté značky bylo zjišťováno jejich stáří
(znak X – v letech) a cena (znak Y – v tisících Kč).
Výsledky: (5, 85), (4, 103), (6, 70), (5, 82), (5, 89), (5, 98), (6, 66), (6, 95), (2, 169), (7, 70),
(7, 48). Pro úsporu času máte uvedeny číselné charakteristiky (zaokrouhlené na dvě desetinná
místa): m1 = 5,28, m2 = 88,63, s1
2
= 2,02, s2
2
= 970,85, s12 = -40,89. Najděte rovnici regresní
přímky znaku Y na znak X a vypočtěte regresní odhad ceny auta, které je staré 3 roky.
Příklad 2.: (12 bodů) Koupená láhev z jistého pivovaru má vadný uzávěr. Je známo, že
pivovar má dva automaty na plnění lahví. První má kapacitu 1000 lahví za hodinu, druhý
1500 lahví za hodinu. Z tohoto počtu má v průměru vadný uzávěr 5 lahví z 1. automatu a 12
lahví z 2. automatu. S jakou pravděpodobností pochází koupená láhev z 2. automatu?
Příklad 3.: (12 bodů) V jedné dílně pracují nezávisle na sobě tři dělníci. Náhodná veličina Xi
udává počet zmetků, které vyrobí i-tý dělník za jednu směnu, i = 1, 2, 3. Dlouhodobým
pozorováním byly zjištěny hodnoty pravděpodobnostní funkce πi(xi) , i = 1, 2, 3.
1.dělník 2.dělník 3.dělník
x1 π1(x1) x2 π2(x2) x3 π3(x3)
0 0,01 0 0,09 0 0,00
1 0,52 1 0,63 1 0,41
2 0,36 2 0,28 2 0,52
3 0,11 3 0,00 3 0,07
Jaká je střední hodnota počtu zmetků vyrobených v této dílně za jednu pracovní směnu?
Příklad 4.: (14 bodů) Náhodná veličina X má normální rozložení se střední hodnotou E(X) =
-2 a s rozptylem D(X) = 4, náhodná veličina Y má normální rozložení se střední hodnotou
E(Y) = 5 a s rozptylem D(Y) = 16. Náhodné veličiny X a Y jsou stochasticky nezávislé.
Náhodná veličina Z je určena vztahem Z = 3X - 2Y +12. Určete pravděpodobnost toho, že
náhodná veličina Z nabude kladné hodnoty.
Příklad 5.: (12 bodů) Náhodná veličina X znamená počet zásahů terče při čtyřech
nezávislých výstřelech, přičemž pravděpodobnost zásahu je při každém výstřelu 0,8.
Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X.
Příklad 6.: (12 bodů) Diskrétní náhodný vektor (X,Y) má simultánní pravděpodobnostní
funkci s hodnotami π(0,-1) = 0, π(0,0) = c, π(0,1) = 2c, π(1,-1) = c, π(1,0) = 2c, π(1,1) = c,
π(2,-1) = 2c, π(2,0) = c, π(2,1) = 0, π(x,y) = 0 jinak. Určete konstantu c.
Příklad 7.: (12 bodů) Při prodávání hamburgerů bylo zjištěno, že 75% zákazníků používá
hořčici, 80% kečup a 65% obojí. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný zákazník
použije alespoň jednu z těchto přísad?
Příklad 8.: (12 bodů) Je známo, že náhodná veličina X se řídí rozložením N(2,4).
Najděte číslo k tak, že platí P(X ≤ k) = 0,95.
Hodnocení:
(90, 100] … A, (80, 90] … B, (70, 80] … C, (60, 70] … D, (50, 60] … E, [0, 50] … F