5   Pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce, výpočet pravděpodobností pomocí distribučních funkcí
5.1   Binomické rozdělení Bin(n, 6)
• X ~ Bin(n, 6»)
• X... počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je vyjádřena parametrem 9.
• pravděpodobnostní funcke:
' (2)6X(1 - 6)n~x   pro x = 0, ...,n;
p(x)
• distribuční funkce:
0 jinak.
t=0
• vlastnosti: E(X) = n9; rozptyl: D(X) = n9(l - 6)
dbinom(x, N, p), pbinom(x, N, p)
Příklad 5.1. Předpokládejme, že pravděpodobnost výskytu dermatoglifického vzoru mrna palci pravé ruky mužů české populace, Pr(vír) = 0.533. Pravděpodobnost výskytu ostatních vzorů na palci pravé ruky u mužů potom bude Pr(ostatní) =........................... Vypočítejte, jaká je pravděpodobnost, že mezi 10 muži bude výskyt vzoru vír
a. právě u šesti mužů;
b. nejvýše u šesti mužů;
c. alespoň u šesti mužů;
d. u dvou, tří, čtyř nebo pěti mužů.
X ...............................................................................................................
Počet pokusů: n = ..........., pravděpodobnost úspěchu: 9 = ...........
ad a.
## [1] 0.2290077
S pravděpodobností...........% bude výskyt vzoru vír právě u šesti mužů z deseti.
ad b.................................................................................................................................
## [1] 0.7686567 ## [1] 0.7686567
S pravděpodobností...........% bude výskyt vzoru vír nejvýše u šesti mužů z deseti.
1
ad c.
## [1] 0.4603509 ## [1] 0.4603509
S pravděpodobností...........% bude výskyt vzoru vír alespoň u šesti mužů z deseti.
ad d............................................................................................................................................................................
## [1] 0.5335248 ## [1] 0.5335248
S pravděpodobností...........% bude výskyt vzoru vír u dvou, tří, čtyř nebo pěti mužů z deseti.
Příklad 5.2. Nakreslete graf pravděpodobnostní funkce a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ Bin(10, 0.533).
X~Bin(10,0.533)
X~Bin(10,0.533)
Analogickým způsobem můžeme získat grafy pravděpodobnostních a distribučních funkcí binomického rozdělení pro různá n a 9 a sledovat vliv těchto parametrů na vzhled grafů.
Příklad 5.3. V rodině je 10 dětí. Za předpokladu, že chlapci i dívky se rodí s pravděpodobností 0.5 a pohlaví se formuje nezávisle na sobě, určete pravděpodobnost, že v této rodině je
a) právě 5 chlapců;
b) nejméně 3 a nejvýše 8 chlapců.
n =...........; úspěch = narození chlapce; pravděpodobnost úspěchu 9 = ...........;
ad a) ## [1] 0.2460938
2
ad b) ## [1] 0.9345703
Pravděpodobnost, že v 10 členné rodině je právě pět chlapců je........... %. Pravděpodobnost, že v 10 členné rodině
je nejméně 3 a nejvýše 8 chlapců je ........... %.
Příklad 5.4. Je pravděpodobnější vyhrát se stejně silným soupeřem tři partie ze čtyř nebo pět partií z osmi, když nerozhodný výsledek je vyloučen a výsledky jsou nezávislé?
Úspěch je výhra partie se stejně silným soupeřem, když remíza je vyloučena; pravděpodobnost úspěchu 9 =...........;
a) ni = ........... , %i = ........... ;
b) n2 = ........... , x2 = ............
ad a) ## [1] 0.25
## [1] 0.21875
Pravděpodobnější je, že se stejně silným soupeřem vyhrajeme...........partie/partií ze/z ............
Příklad 5.5. Dvacetkrát nezávisle na sobě házíme třemi mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň v jednom hodu padnou tři líce?
n =........... ; úspěch je padnutí tří líců při hodu třemi mincemi; 9 = ........... ;
## [1] 0.9307912
Pravděpodobnost, že v alespoň jednom hodu padnou tři líce je ........... %.
5.2   Poissonovo rozdělení Po (A)
• X ~ Po(X)
• Náhodná veličina X udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu, přičemž k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Parametr A > 0 je střední počet těchto událostí. Píšeme X ~ Po (A).
• pravděpodobnostní funkce:
ÍXX — e~x   pro x=0,l,...; xl (1) 0 jinak.
• distribuční funkce:
^) = E7Te"A- (2)
• vlastnosti: E(X) = A; rozptyl: D{X) = A
• dpois(x, lambda), ppois(x, lambda)
Příklad 5.6. Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se řídí rozdělením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k alespoň jedné poruše?
X ..................................................................................................................;
časová jednotka............................................; X ~ Po(A =............);
P(X > 1) =.........................=.........................=.......................
3
## [1] 0.8646647 ## [1] 0.8646647
Pravděpodobnost, že během směny dojde k alespoň jedné poruše je........... %.
Příklad 5.7. Nakreslete graf pravděpodobnostní funkce a distribuční funkce náhodné veličiny X ~ Po(5).
X~Po(5) X~Po(5)
0 5 10 15 0 5 10 15
x x
Příklad 5.8. Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je pravděpodobnost, že během 4 minut ústředna zapojí
a. právě jeden hovor? ## [1] 0.3678794
b. alespoň dva hovory? ## [1] 0.2642411
c. nejméně tři a nejvýše čtyři hovory?
## [1] 0.07664155 ## [1] 0.07664155
d. nejvýše pět hovorů? ## [1] 0.9994058
X..................................................................................................................;
časová jednotka............................................; X ~ Po(A =............);
Pravděpodobnost, že během 4 minut zapojí ústředna právě jeden hovor je........... %. Pravděpodobnost, že během
4 minut zapojí ústředna právě alespoň dva hovory je ........... %. Pravděpodobnost, že během 4 minut zapojí
ústředna nejméně tři a nejvýše čtyři hovory je........... %. Pravděpodobnost, že během 4 minut zapojí ústředna
právě nejvýše pět hovorů je ........... %.
4