logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ logo-MU ČASOVÉ ŘADY prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz, UKB A1, 6.NP, dv.č.613 logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz XIV. PARAMETRICKÁ DEKOMPOZICE ČASOVÝCH ŘAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ MODELY SKLADBY ČASOVÉ ŘADY þADITIVNÍ MODEL ČASOVÉ ŘADY þx(n) = r(n) + z(n) + s(n) + ν(n) þ þMULTIPLIKATIVNÍ MODEL ČASOVÉ ŘADY þx(n) = r(n)×z(n)×s(n)×ν(n) þ þSMÍŠENÉ MODELY þ þr(n) je monotónní trend časové řady, z(n) dlouhodobá repetiční složka s periodou významně delší než je doba sledování časové řady, s(n) je oscilační sezónní složka, jejíž perioda je kratší ve srovnání s délkou časové řady a ν(n) je šumová složka, přičemž se zpravidla očekává, že reprezentuje tzv. bílý šum s normálním rozdělením, nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem. Směs trendu s dlouhodobými oscilacemi bývá často nazývána drift levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ MODELY SKLADBY ČASOVÉ ŘADY þADITIVNÍ MODEL ČASOVÉ ŘADY þx(n) = r(n) + z(n) + s(n) + ν(n) þ þ þ þ þ þ þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ MODELY SKLADBY ČASOVÉ ŘADY þMULTIPLIKATIVNÍ MODEL ČASOVÉ ŘADY þx(n) = r(n)×z(n)×s(n)×ν(n) þ þ þ þ þ þ þ þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ MODELY SKLADBY ČASOVÉ ŘADY þMULTIPLIKATIVNÍ MODEL ČASOVÉ ŘADY þx(n) = r(n)×z(n)×s(n)×ν(n) þ þ þ þ þ þ þ þLineární přístup preferuje aditivní model. Proto je snaha převést multiplikativní vazby na aditivní Þ logaritmická transformace þ ?!? þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz LOGARITMICKÁ TRANSFORMACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz LOGARITMICKÁ TRANSFORMACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY þaproximace trendu zvolenou posloupností; þfrekvenční filtrace filtry typu dolní propust; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY APROXIMACE TRENDU þtyp, příp. řád posloupnosti aproximující pomalu se měnící složku; þzpůsob odhadu parametrů jejího modelu. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY APROXIMACE TRENDU þPOLYNOMIÁLNÍ APROXIMACE þlineární trend; þkvadratický trend; þ þodhad parametrů pomocí metody nejmenších čtverců levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY APROXIMACE TRENDU þPOLYNOMIÁLNÍ APROXIMACE Polynomiální aproximace časové řady hodnot tělesné hmotnosti (aproximace vychází z hodnot levé poloviny časové řady) – vlevo nahoře: lineární aproximace; vpravo nahoře: aproximace polynomem 2. stupně; vlevo dole: aproximace polynomem 3. stupně; vpravo dole: aproximace polynomem 4. stupně levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þEXPONENCIÁLNÍ APROXIMACE þjednoduchý exponenciální trend þr(n) = k0.k1n, pro n = 0,1,2,…,N-1. þje-li k0 kladné, pak je pro k1 > 1 posloupnost r(n) rostoucí, pro k1Î(0; 1) klesající. þpro záporné k0 ztrácí posloupnost r(n) monotónní průběh, posloupnost sice zachovává podle velikosti koeficientu k1 rostoucí, či klesající charakter, ale její hodnoty oscilují s měnící se polaritou. þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY APROXIMACE TRENDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þEXPONENCIÁLNÍ APROXIMACE þexponenciální trend s omezením þr(n)=k2+k0.k1n, pro k0<0, k1Î(0; 1) a k2>0, þ resp. SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY APROXIMACE TRENDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þEXPONENCIÁLNÍ APROXIMACE þlogistický trend SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY APROXIMACE TRENDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þEXPONENCIÁLNÍ APROXIMACE þGompertzův trend þln[r(n)]=k2+k0.k1n, pro k1>0, þ resp. þ , pro k1 > 0 SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY APROXIMACE TRENDU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þsystémy s klouzavým průměrem (MA – moving average); þautoregresivní systémy (AR) þ þa jejich sériovým spojením lze získat þ þ autoregresivní systémy s klouzavým průměrem (ARMA). þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þsystémy s klouzavým průměrem (MA – moving average); þautoregresivní systémy (AR) þ þa jejich sériovým spojením lze získat þ þ autoregresivní systémy s klouzavým průměrem (ARMA). þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þFILTRY S KLOUZAVÝM PRŮMĚREM (MA) þ þ þs rovnoměrnými vahami; þs nerovnoměrnými vahami; SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMA FILTRY S ROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þ þ þ þFrekvenční přenosová funkce posloupnosti hR(n) je SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMA FILTRY S ROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þSoučet M členů geometrické řady v závorce s jednotkovým první þ þčlenem a s kvocientem je . Proto pro þ frekvenční přenosovou funkci je dále þ þ þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMA FILTRY S ROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þFunkce je pro daný nekauzální tvar impulzní charakteristiky reálná periodická funkce spojité proměnné Ω s periodou Ωs = 2p/Ts þ þ þ þ þZ toho jsou frekvence, kdy prochází nulou þ þ . Tyto frekvence jsou tedy nepřímo úměrné þdélce impulzní odezvy. þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE Funkce prochází nulou, když je argument funkce sinus v čitateli roven celočíselným násobkům p, tj. . levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz POZNÁMKA þJe-li třeba použít filtr s impulzní odezvou se sudým počtem vzorků (ekonomika, epidemiologie, demografie) vytváří se filtr s lichým počtem vzorků zprůměrněním dvou po sobě jdoucích výstupních vzorků. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz POZNÁMKA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz POZNÁMKA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPokud je cílem získat data očištěná o drift, pak lze odhad driftu od vstupní posloupnosti odečíst, ovšem vstupní posloupnost musí být zpožděna o t = (M-1)/2 vzorků, tj. zpoždění způsobené průchodem časové řady FIR filtrem. SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þtrojúhleníkové okno (Bartlettovo, Feierovo); þHammingovo okno; þBlackmanovo okno; þmocninové kosinové posloupnosti; þ………… . þ þ þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þtrojúhelníková váhová posloupnost þ þ þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þtrojúhelníková váhová posloupnost þ þ þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þHammingova váhová posloupnost þ þ þ þ þ þKdyž α = 25/46 (α @ 0,543478261) þje maximálně potlačen první þpostranní lalok spektrální funkce þ þ þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þHammingova váhová posloupnost þ þ þ þkde þ þ þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þBlackmanova váhová posloupnost þ þ þ þ þ þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þMA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þkosinová váhová posloupnost þ þ þ þ þ þ þkde þ þ þ þ þ þ SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz váhová funkce šířka hlavního laloku spektrální funkce [dB] pokles velikosti prvního vedlejšího laloku vůči hlavnímu laloku spektrální funkce [rad/s] rovnoměrné váhy Bartletova Hammingova Blackmanova 4π/MTs 8π/MTs 8π/MTs 12π/MTs -13 -27 -43 -58 Základní vlastnosti čtyř základních systémů s klouzavým průměrem SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE MA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE MA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þSavitzkého-Golayův filtr þKoeficienty impulzní odezvy jsou určovány pomocí aproximace úseku časové řady polynomiální funkcí. Je tedy kombinací polynomiální aproximace a filtrace systémem s klouzavým průměrem. þ þPrincip výpočtu koeficientů filtru si ukažme na příkladu, kdy úseky s pěti vzorky budeme centrálně aproximovat polynomem třetího stupně. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE MA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þSavitzkého-Golayův filtr þPředpokládejme, že v každém intervalu časové řady známe hodnoty x(n+i), i= -2, -1, …, 2. Chceme-li těchto pět hodnot v každém intervalu časové řady proložit kubickou parabolou, pak koeficienty této paraboly určíme minimalizací celkové kvadratické odchylky mezi skutečnou hodnotou vzorku časové řady a jejím odhadem, tj. výrazu þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE MA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þSavitzkého-Golayův filtr þDerivováním uvedeného výrazu podle parametrů b0,… …, b3 získáme soustavu čtyř lineárních rovnic þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE MA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þSavitzkého-Golayův filtr þPro konkrétní hodnoty i a jejich součty dostáváme þ þ þ þ þ þ þZde se projevuje další, tentokrát numerická, výhoda lichého počtu vzorků zkoumaného intervalu, protože pro liché j platí þ þ . þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE MA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þSavitzkého-Golayův filtr þZe všech parametrů je užitečná pouze hodnota , protože ta určuje odhad hodnoty časové řady uprostřed daného intervalu, tj. pro i = 0 (další výhoda lichého počtu vzorku). Stačí proto vyřešit soustavu složenou z první a třetí rovnice a to navíc jen pro jednu jedinou neznámou . þ þ þa po rozepsání součtových členů levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE MA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þSavitzkého-Golayův filtr þHodnoty vzorků impulzní odezvy v tomto případě jsou {-3/35, 12/35, 17/35, 12/35, -3/35}. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE MA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þSavitzkého-Golayův filtr þ stupeň polynomu 3. (2.) stupeň 5. (4.) stupeň délka intervalu 5 7 9 11 13 {-3, 12, 17, 12, -3}/35 {-2, 3, 6, 7, 6, 3, -2}/21 {-21, 14, 39, 54, 59, 54, 39, 14, -21}/231 {-36, 9, 44, 69, 84, 89, 84, 69, …}/429 {-11, 0, 9, 16, 21, 24, 25, 24, 21, …}/143 {0, 0, 1, 0, 0} {5, -30, 75, 131, 75, -30, 5}/231 {15, -55, 30, 135, 179, 135, 30, …}/429 {18, -45, -10, 60, 120, 143, 120,…}/429 {110, -198, -135, 110, 390, 600, 677,…}/2431 Hodnoty vzorků impulzní odezvy S-G filtru pro různé délky intervalů a různé stupně aproximujících polynomů (silně je vyznačen střední vzorek posloupnosti) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE MA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI þSavitzkého-Golayův filtr þ þ Frekvenční charakteristiky vybraných S-G filtrů ve frekvenčním rozsahu do poloviny vzorkovací frekvence – a) 3. stupeň, délka intervalu 7; b) 3. stupeň, délka intervalu 11; c) 5. stupeň, délka intervalu 7; d) 5. stupeň, délka intervalu 11; a) b) c) d) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ þSavitzkého-Golayův filtr þKomentář: þProdlužováním aproximovaného intervalu se zužuje šířka prvního laloku (přenášeného frekvenčního pásma), naopak zvyšováním stupně aproximujícího polynomu se rozšiřuje pásmo přenášených frekvencí, tj. šířka prvního laloku frekvenční charakteristiky. MA FILTRY S NEROVNOMĚRNÝMI VAHAMI SEPARACE DRIFTU ČASOVÉ ŘADY FREKVENČNÍ FILTRACE