Skupina D
2.1 Vlastnosti základních funkcí
2.1 Základní vlastnosti funkce sin(x)
1. Definiční obor: D(f) = (-00;00)
2. Obor hodnot: H(f) = <-1;1>
3. Spojitost: je spojitá
4. Ohraničenost: je ohraničení zdola i shora
5. Periodicita: je periodická
6. Parita:
7. Monotónnost: je
8. Limity funkce:
2.2 Základní vlastnosti funkce x3
1. D(f) = (-«•;-)
2. H(f) = (--;-)
3. Je spojitá
4. Není ohraničená
5. Není periodická
6. Parita
7. Je monotónni
8. Limity funkce:
-ti     0      i     2ji    3rc    4ji -3-2-10123
x
x
2.2 Výpočty limit
2.3 Homérovo schéma
1) x2 - 3x + 2
možné kořeny: ±1 ±2
	1	-3	2
1	1	-2	0
-1	1	-4	6
2	1	-1	0
Kořeny: -2, 1 Výsledek: (x - 2) (x - 1)
2) x3 - 3x2 - 6x + 8
možné kořeny: ±1 ±2 ±4 ±8
	1	-3	-6	8
1	1	-2	-8	0
1	1	-2	-10	-2
-1	1	-3	-5	5
2	1	0	-8	
-2	1	-4	0	
1	1	-3	-3	
4	1	0		
Kořeny: -1; 2; -4
Výsledek: (x - l)(x + 2)(x - 4)
2.4 Limity funkcí ve vlastním bodě
1)
2)
3)
lim
x^2
x3 + x- 5 = 23 + 2- 5 = 5
Um
5*+ 3*
1 = 2 = 3
Um
x3 - 4x2 - x + 4    43 - 4 * 43 - 4 + 4    64-64-4 + 4
x2 — 2x — 8
42 - 8 - 8
0
Zim
(x3 - 4x2 - x + 4)'    (3x2 -8x-l + 0)    3* 42 - 8*4-1 15
4)
x^4    (x2 - 2x - 8)' 2x - 2 * 1 2*4-2
2x2 + x + 3    2 * (3)2 + (-3) + 3    2 * 9 - 3 + 3
Um
x^-3
3x + 5
3 * (-3) + 5
-9 + 5
18 ^4
9 2
2.5 Limity funkcí v nevlastním bodě 1)
3x2 + 2
2)
limx^m---= oo
5x2 — x4 — 6x6 + x3    —6x6 — x4 — x3 + 5x2
lirriy
x2-xá + 4 -Xá+X2 + 4
x2   x     x4J _ ,. ^6+ x     x     5 J
3)
4)
1 3      14       „ timx^-co 6
*64 -r -£> (*■-«*-V)
4* + 6* _ (4-00 + 6~m) limx^-co    ^    - (4-0°)
Zim^_ro (-)* + (-)* = limx^ (-)* + (-)* = 1 + 0 = 1
4      1       1 4
x2-x3+4 -x3+x2+4 X(~x + xž+x^
5x2-5x4 + x + 3    -5x4 + 5x2+x + 3    x4(_$ + JL + J_ +
OC^
5)
6)
7)
Zim
4* - 5     .        (4)* 5
5-i        éy-2 1
3*+ 5* 3^ + 5^    oo     3 5
Umx^m ——— = lim^co ——— = — = ijY + ijY = 0 + 0 = 0
6        4 1
3x6 - 1 + 4x2 3x6 + 4x2 - 1 x (3 +     ~ ^s)
00 3x3 - x2 + 4x4 - x6    x6 + 4x4 + 3x3 - x2      ,       4     3 l4
xz    xá    x y
8)
4x_gx     4co_gco     _00       4 g H^eo = = — = (-)* - (-)* = -00
2.3 Výpočty derivací
2.6 Derivace prvního řádu funkce 1)
fx2 — x + 1\     (2x — l)cosx + (x2 — x + l)sínx
2)
3)
4)
cos(x)   / COS2X
_ 1
x6 — x 6 — x° + cos(x) — Zm(x))' = 6x5 + 6x 7 — sinx--
x
e * \,    e x(l — x) — e x      xe x
1-xl (1-x)2
3x
(3xřan(x) + (3x — x4)ex)' = 3tanx H--~—h (3 — 4x3)e* + e*(3x — x4)
coszx
3x cos2x
= 3tanx H--~—h ex(3 — 4x3 + 3x — x4)
--
5)
(2 cos(x) sin(x) — e*tan(x))' = — 2sín2x + 2cos2x — e*tanx
cos2x
6)
x2-2x + l\      (2x - 2)(4x-2) - (x2 - 2x + 1)(4)    (8x2 - 4x - 8x + 4) - 4x2 + 8x - 4
4x-2   / 4(2x-l)2 (2x-l)2
4x2 — 4x     x(x — 1) = (2x - l)2 = (2x - l)2
(x7 + 3x5 - 2x2 + x + 7)' = x + 15x4 - 4x + 1
8)
(3cos2(x) — 4cos(x2))' = —6cos(x)sin(x) + 8xsín(x)
2.7 Derivace druhého řádu funkce
1)
((x5 - x)e*) " = (e*(x5 - x) + (5x4 - 1) exY = ex(xs - x) + 2(5x4 - l)ex + (20x3)ex
2)
(2 cos(x) ex)" = (—2sínxex + 2cosxex)' = —2cosxex — 2sínxex — 2sínxex + 2cosxex = —4sinxex
3)
(ln(cos(x)) + ln(ln(x)))" - nevychází podle zadání
4)
(x7 + 3x5 - 2x2 + x + 7)" = (7x6 + 15x4 - 4x + 1)' = 42x5 + 60x3 - 4
2.4 LHospitalovo pravidlo
2.8
1)
x3 - 4x2 - x + 4     .        43 - 4 * 42 - 4 + 4 0 x 4    x2-2x-8 * 4      16-8-8 0
(x3 - 4x2 - x + 4)' _ 3x2 - 8x - 1 _ .        48 - 32 - 1 _ 5
2)
Nelze
3)
(x2 - 2x - 8) 2x - 2 x " 8-2
x3 - 4x2 + x + 4 . 64-64-4 + 4 8 *4    x2-2x-8 * 4    16-8-8 0
2x3-5x2-4x + 3       54-45 - 12 + 3 0
limr^o-=—--= H---—--= —
x 3 x2 - 9 9-9 0
(2x3 - 5x2 - 4x + 3)' _ 6x2 - lOx - 4 _ 54 - 30 - 4 _ 10
llm^3 (X2 _ gy = ^ = g =T