Domácí úloha z 1. listopadu 2018 (odevzdává se 8. listopadu 2018)
1. Nalezněte rozkladové těleso K polynomu / = x6 — 5 G Q[x] nad Q a určete stupeň [K : Q]. (Nezapomeňte zdůvodnit, proč je nalezené těleso skutečně hledané rozkladové těleso a proč je stupeň takový, jaký tvrdíte.)
2. Nechť p je libovolné prvočíslo, a G Zp, a / 0. Dokažte, že polynom xp — x + a G Zp[rr] je ireducibilní nad Zp.
[Návody:
1. Vyjděte z definice, co je rozkladové těleso polynomu /: najdete nějaké těleso obsahující Q, které už je tak velké, že je nad ním možné polynom / rozložit na lineární činitele (například C), hledané rozkladové těleso K získáte jako nejmenší podtěleso tohoto tělesa, které obsahuje Q a také všechny kořeny polynomu /.
2. Daný polynom xp — x + a G Zp[x] je možné v okruhu Zp[x] rozložit na součin normovaných ireducibilních polynomů. Zvolme libovolný normovaný ireducibilní polynom / G který je dělitelem polynomu xv — x + a. Sestrojme těleso L = Zp[x]/(/) a označme a = x + (/). Pak a je kořenem polynomu /, a tedy i polynomu xp — x + a. Opakovaně užijte úvahu, že obraz kořene polynomu / ve Frobeniově automorrismu je opět kořen polynomu /, k tomu, abyste ukázali, že polynom / má alespoň p různých kořenů, a tedy st / > p. Odtud odvoďte / = xp — x + a. ]
1