Opakování: faktorizace grup
Nechť (G, ·) je grupa, H její podgrupa. Každý prvek a ∈ G určuje
svou levou třídu a · H = {a · h; h ∈ H}. Přitom
∀a, b ∈ G : (a · H = b · H ⇔ a ∈ b · H ⇔ b−1 · a ∈ H).
Rozklad grupy G podle podgrupy H je množina všech levých tříd
G/H = {a · H; a ∈ G}.
Věta. Nechť (G, ·) je grupa a H její normální podgrupa. Pak na
rozkladu G/H lze zavést operaci · takto: pro libovolné a, b ∈ G
definujeme předpisem (a · H) · (b · H) = (a · b) · H součin levých
tříd a · H a b · H. Navíc platí: (G/H, ·) je grupa. Zobrazení
π : G → G/H dané předpisem π(a) = a · H pro libovolné a ∈ G
(tedy každý prvek grupy G je zobrazen na třídu, do níž patří) je
surjektivní homomorfismus grup, jehož jádro ker π = H.
Definice. Grupa G/H z předchozí věty se nazývá faktorgrupa
grupy G podle (normální) podgrupy H. Homomorfismus π se
nazývá projekce grupy G na faktorgrupu G/H.
Faktorizace okruhů
Nechť (R, +, ·) je okruh, I jeho ideál. Pak I je (normální) podgrupa
komutativní grupy (R, +), máme tedy faktorgrupu (R/I, +),
přičemž R/I = {a + I; a ∈ R}, kde a + I = {a + h; h ∈ I}.
Platí ∀a, b ∈ R : (a + I = b + I ⇔ a ∈ b + I ⇔ a − b ∈ I),
a operace + na R/I je definována pomocí reprezentantů:
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I pro každé a, b ∈ R.
Věta. Nechť I je ideál okruhu R. Na faktorgrupě (R/I, +) lze
definovat násobení pomocí reprezentantů, tedy
(a + I) · (b + I) = (a · b) + I pro každé a, b ∈ R. Pak (R/I, +, ·) je
okruh a projekce π : R → R/I je surjektivním homomorfismem
okruhů s jádrem ker π = I.
Definice. Okruh R/I z předchozí věty se nazývá faktorokruh
okruhu R podle ideálu I. Homomorfismu π říkáme projekce
okruhu R na faktorokruh R/I.
Důsledek. Ideály okruhu R jsou právě jádra homomorfismů R → K
okruhu R do vhodných okruhů K.
Vlastnosti faktorokruhů
Příklad. Pro libovolné přirozené číslo m máme hlavní ideál (m)
okruhu Z. Pak (m) = {k · m; k ∈ Z} = [0]m, a proto pro libovolné
a ∈ Z je a + (m) = {a + k · m; k ∈ Z} = [a]m. Tudíž faktorokruh
Z/(m) = Zm, okruh zbytkových tříd modulo m.
Věta. Nechť I je ideál okruhu R. Pak platí:
1. je-li R komutativní okruh, pak je R/I komutativní okruh;
2. R/I je triviální okruh, právě když R = I.
Definice. Nechť I je ideál okruhu R. Řekneme, že I je maximální
ideál okruhu R, jestliže R = I a současně neexistuje žádný ideál J
okruhu R splňující I J R.
Poznámka. Množina všech ideálů daného okruhu R tvoří vzhledem
k inkluzi úplný svaz. Odstraněním největšího ideálu, čímž je R,
nám zůstane uspořádaná množina. Maximální ideály okruhu R jsou
právě maximální prvky v této uspořádané množině.
Maximální ideály, prvoideály
Věta. Nechť I je ideál komutativního okruhu R. Pak faktorokruh
R/I je těleso, právě když I je maximální ideál okruhu R.
Definice. Nechť I je ideál okruhu R. Řekneme, že I je prvoideál
okruhu R, jestliže R = I a současně pro libovolné prvky a, b ∈ R
platí implikace a · b ∈ I =⇒ a ∈ I nebo b ∈ I.
Věta. Nechť I je ideál komutativního okruhu R. Pak faktorokruh
R/I je obor integrity, právě když I je prvoideál okruhu R.
Důsledek. Jestliže I je maximální ideál komutativního okruhu R,
pak I je prvoideál okruhu R.
Věta. Nechť R je těleso a f ∈ R[x], f = 0, následující výroky jsou
ekvivalentní:
1. (f ) je maximální ideál okruhu R[x];
2. (f ) je prvoideál okruhu R[x];
3. f je ireducibilní polynom nad R.
Opakování: Hlavní věta o faktorgrupách
Věta (Hlavní věta o faktorgrupách). Nechť f : G → K je
homomorfismus grup, H normální podgrupa grupy G splňující
H ⊆ ker f . Nechť π : G → G/H je projekce grupy G na
faktorgrupu G/H.
Pak existuje, a to jediné, zobrazení f : G/H → K splňující
f ◦ π = f .
G
f //
π
!!
K
G/H
f
==
Navíc platí:
f je homomorfismus grup,
f je injekce, právě když H = ker f ,
f je surjekce, právě když f je surjekce.
Důsledek. Je-li f : G → K surjektivní homomorfismus grup, pak
platí G/(ker f ) ∼= K.
Hlavní věta o faktorokruzích
Věta (Hlavní věta o faktorokruzích). Nechť f : R → K je
homomorfismus okruhů, I ideál okruhu R splňující I ⊆ ker f . Nechť
π : R → R/I je projekce okruhu R na faktorokruh R/I.
Pak existuje, a to jediné, zobrazení f : R/I → K splňující
f ◦ π = f .
R
f //
π
K
R/I
f
==
Navíc platí:
f je homomorfismus okruhů,
f je injekce, právě když I = ker f ,
f je surjekce, právě když f je surjekce.
Důsledek. Je-li f : R → K surjektivní homomorfismus okruhů, pak
platí R/(ker f ) ∼= K.