Minimální polynom algebraického prvku
Věta. Necht R C T je rozšírením těles, c G T algebraický prvek nad R. Pak c je kořenem právě jednoho normovaného ireducibilního polynomu f G R[x]. Navíc platí
1. pro libovolný h G R[x] je h{c) — 0, právě když f \ h v R[x],
2. R(c) = R[c] v T,
3. 1, c, c2,..., cn~ľ, kde n = st f, je bází vektorového prostom R[c] nad R,
4. stupeň rozšírení [R (c) : R] = str.
Důkaz. Protože c je algebraický prvek nad R, můžeme mezi všemi normovanými polynomy z R[x], jejichž je c kořenem, zvolit polynom co možná nejmenšího stupně a označit jej f. Označme n = st f. Zřejmě n > 0. Kdyby f — g - h pro nějaké nekonstantní polynomy g, h E R[x], tak by bylo možné je zvolit oba normované a dostali bychom spor, protože st g < n, st h < n a přitom c by byl kořenem alespoň jednoho z nich. Je tedy f ireducibilní.
Zvolme libovolný h G R[x] takový, že h(c) — 0. Vydělíme-li polynom h polynomem f se zbytkem, dostaneme polynomy q,r G R[x] takové, že h = q • ŕ + r, přičemž st r < r?. Protože 0 = h(c) = q(c) • ŕ(c) + r(c) = r(c), kdyby r nebyl nulový polynom, existoval by v R[x] normovaný polynom stupně str mající kořen c, což by byl spor s naší volbou polynomu f. Proto f | h v /?[x]. Protože opačná implikace je zřejmá, dokázali jsme bod 1.
Je jasné, že normovaný polynom s kořenem c splňující bod 1 je jediný (kdybychom měli takové polynomy dva, každý z nich by dělil toho druhého).
Podle věty o podokruzích generovaných množinou platí, že libovolný prvek a G R[c] je tvaru a = h(c) pro nějaký polynom h G R[x\. Dělením se zbytkem opět dostaneme polynomy q,r G R[x] takové, že h = q • f + r, přičemž st r < n. Opět a = h(c) = q(c) • f (c) + r(c) = r(c). Proto 1, c, c2,..., cn_1 generují vektorový prostor /?[c] nad /?; kdyby tyto vektory byly lineárně závislé, existoval by v R[x] nenulový polynom stupně menšino než n, který by měl c za kořen, a to by byl spor. Dokázali jsme bod 3.
Zbývá ukázat, že R(c) = R[c], jinými slovy, že R[c] je těleso.
Víme, že libovolný nenulový prvek a G R[c] je tvaru a = /7(c). Protože h(c) — a ^ 0, tak f \ h, a protože ŕ je ireducibilní, tak jsou f a h nesoudělné. Proto jejich největší společný dělitel 1 lze vyjádřit Bezoutovou rovností, tedy existují polynomy a, b G R[x] tak, že 1 = a • f + b • h. Dosazením c odtud dostaneme
1 = a(c) • f (c) + b(c) • h(c) = b(c) • h(c) = b(c) • a
Je tedy b(c) G /?[c] inverzní prvek k prvku a v okruhu R[c\. Dokázali jsme bod 2, díky níž z bodu 3 plyne bod 4.
Definice. Polynom f G /?[x] z předchozí věty nazýváme minimální polynom algebraického prvku c G T" nad /?.