Polynomy více proměnných Poznámka. V Algebře I jsme k libovolnému okruhu R sestrojili okruh polynomů R[x] nad okruhem R. Tuto konstrukci můžeme opakovat pro okruh R[x] a sestrojit okruh polynomů nad ním, jen musíme odlišit původní a nově zaváděnou proměnnou. Definice. Nechť R je okruh. Okruhem polynomů dvou proměnných nad okruhem R rozumíme okruh R[x1, x2] = R[x1] [x2]. Dále postupujeme indukcí: pro libovolné přirozené číslo n je okruhem polynomů n proměnných nad okruhem R okruh R[x1, . . . , xn] = R[x1, . . . , xn−1] [xn]. Prvky okruhu R[x1, . . . , xn] nazýváme polynomy n proměnných nad okruhem R, zřejmě je každý takový polynom možné zapsat jako konečný součet sčítanců tvaru axk1 i1 xk2 i2 . . . xkm im , kde a ∈ R, 0 ≤ m ≤ n, 1 ≤ i1 < i2 < · · · < im ≤ n a k1, . . . , km ∈ N. Pro usnadnění zápisu definujeme x0 i = 1 pro každé i = 1, . . . , n, pak je tedy tento sčítanec možno psát ve tvaru axr1 1 xr2 2 . . . xrn n , kde a ∈ R a r1, . . . , rn ∈ N0 = N ∪ {0}. Stupeň polynomu více proměnných Každý polynom f ∈ R[x1, . . . , xn] lze tedy zapsat jako konečný součet sčítanců tvaru axr1 1 xr2 2 . . . xrn n , kde a ∈ R a r1, . . . , rn ∈ N0. Součinu xr1 1 xr2 2 . . . xrn n říkáme člen, prvku a koeficient tohoto členu. Je-li f = 0, lze při zápisu f navíc požadovat, aby se žádný člen neopakoval a koeficienty byly nenulové. V tom případě členy v tomto součtu použité nazýváme členy polynomu f , o použitém koeficientu takového členu mluvíme jako o koeficientu polynomu f u tohoto členu. Stupněm členu xr1 1 xr2 2 . . . xrn n rozumíme součet r1 + · · · + rn. Stupněm st f nenulového polynomu f rozumíme největší ze stupnů jeho členů, stupeň nulového polynomu klademe roven −∞. Mají-li všechny členy polynomu f stejný stupeň, hovoříme o homogenním polynomu (často se homogenním polynomům také říká forma, například lineární forma, kvadratická forma, . . . ). Okruh polynomů více proměnných Každý nenulový polynom f ∈ R[x1, . . . , xn] je tedy součtem několika členů vybavených koeficienty z okruhu R. Součet f + g dvou takových polynomů provedeme sečtením těchto součtů, pokud nějaký člen je členem obou polynomů, úpravou axr1 1 xr2 2 . . . xrn n + bxr1 1 xr2 2 . . . xrn n = (a + b)xr1 1 xr2 2 . . . xrn n sečteme příslušné koeficienty v okruhu R. V případě a + b = 0 příslušný člen v zápisu polynomu f + g neuvedeme. Při násobení polynomů roznásobujeme součty užitím distributivního zákona, je tedy pouze třeba si rozmyslet, jak upravit součin axr1 1 xr2 2 . . . xrn n · bxk1 1 xk2 2 . . . xkn n . Uvědomme si, že i v případě, kdy okruh R není komutativní, tak v okruhu R[x] platí a · x = ax = x · a pro každé a ∈ R. Každá proměnná tedy komutuje s každou konstantou, tedy v okruhu R[x1, . . . , xn] platí a · xi = xi · a, xj · xi = xi · xj pro každé a ∈ R, i, j ∈ {1, . . . , n}. Proto axr1 1 xr2 2 . . . xrn n · bxk1 1 xk2 2 . . . xkn n = (a · b)xr1+k1 1 xr2+k2 2 . . . xrn+kn n . Součinem homogenních polynomů je homogenní polynom. Vedoucí člen, vedoucí koeficient Na množině Nn 0 máme legikografické uspořádání definované takto: pro libovolné n-tice [r1, . . . , rn], [k1, . . . , kn] ∈ Nn 0 klademe [r1, . . . , rn] < [k1, . . . , kn], právě když existuje j ∈ {1, . . . , n} tak, že pro každé i, 1 ≤ i < j platí ri = ki a současně rj < kj . Pak [r1, . . . , rn] ≤ [k1, . . . , kn] znamená [r1, . . . , rn] < [k1, . . . , kn] nebo [r1, . . . , rn] = [k1, . . . , kn]. Zřejmě (Nn 0, ≤) je řetězec. Řekneme, že člen xk1 1 xk2 2 . . . xkn n je před členem xr1 1 xr2 2 . . . xrn n , jestliže [r1, . . . , rn] < [k1, . . . , kn]. Člen nenulového polynomu f ∈ R[x1, . . . , xn], který je před všemi ostatními členy polynomu f , se nazývá vedoucí člen polynomu f , jeho koeficientu říkáme vedoucí koeficient polynomu f . Vedoucí člen ani vedoucí koeficient nulového polynomu nedefinujeme. Může se stát, že stupeň vedoucího člene polynomu f je menší než stupeň polynomu f . Vedoucí člen, vedoucí koeficient Věta. Nechť [r1, . . . , rn] ≤ [k1, . . . , kn], [r1, . . . , rn] ≤ [k1, . . . , kn]. Pak [r1 + r1, . . . , rn + rn] ≤ [k1 + k1, . . . , kn + kn]. Důkaz. Existují j, j ∈ {1, . . . , n} tak, že rj < kj , ∀i : 1 ≤ i < j =⇒ ri = ki , rj < kj , ∀i : 1 ≤ i < j =⇒ ri = ki . Označme = min{j, j }, pak r + r < k + k , ∀i : 1 ≤ i < =⇒ ri + ri = ki + ki , což bylo třeba dokázat. Důsledek. Nechť f , g ∈ R[x1, . . . , xn] jsou nenulové polynomy. Je-li součin vedoucích koeficientů polynomů f a g nenulový, je vedoucí člen součinu f · g součinem vedoucích členů polynomů f a g. Poznámka. Pokud alespoň jeden z vedoucích koeficientů není dělitel nuly, je předpoklad o nenulovosti součinu vedoucích koeficientů splněn. Je-li R obor integrity, pak tento předpoklad bude splněn vždy. Vlastnosti okruhu polynomů více proměnných Okruh polynomů více proměnných vznikl iterováním konstrukce okruhu polynomů jedné proměnné. Proto některé výsledky o okruzích polynomů jedné proměnné nám dávají důsledky pro okruhy polynomů více proměnných: Je-li R obor integrity, pak i R[x1, . . . , xn] je oborem integrity. Máme posloupnost do sebe vnořených podokruhů: R R[x1] R[x1, x2] · · · R[x1, x2, . . . , xn]. Víme, že je-li R okruh s jednoznačným rozkladem, pak i R[x] je okruh s jednoznačným rozkladem, a proto i R[x1, . . . , xn] je okruh s jednoznačným rozkladem. Speciálně pro každé těleso T je okruh T[x1, . . . , xn] okruhem s jednoznačným rozkladem. Hodnoty polynomů více proměnných Je-li R podokruh okruhu K, pak pro libovolné prvky c1, . . . , cn ∈ K a libovolný polynom f ∈ R[x1, . . . , xn] máme hodnotu f (c1, . . . , cn) ∈ K polynomu f v c1, . . . , cn. Je-li K komutativní okruh, pak pro libovolné c1, . . . , cn ∈ K je zobrazení ϕ : R[x1, . . . , xn] → K určené předpisem ϕ(f ) = f (c1, . . . , cn) homomorfismus okruhů. Předpoklad, že K je komutativní okruh, lze zeslabit: Věta. Nechť R je podokruh okruhu K, nechť c1, . . . , cn ∈ K splňují pro každé a ∈ R a každé i ∈ {1, . . . , n} platí a · ci = ci · a, pro každé i, j ∈ {1, . . . , n} platí ci · cj = cj · ci . Pak zobrazení ϕ : R[x1, . . . , xn] → K určené předpisem ϕ(f ) = f (c1, . . . , cn) je homomorfismus okruhů. Důkaz. Stačí pro libovolné a, b ∈ R, r1, . . . , rn, k1, . . . , kn ∈ N0 si uvědomit, že za těchto předpokladů acr1 1 cr2 2 . . . crn n · bck1 1 ck2 2 . . . ckn n = (a · b)cr1+k1 1 cr2+k2 2 . . . crn+kn n . Další teorie okruhu polynomů více proměnných Studium ireducibilních polynomů či ideálů okruhu R[x1, . . . , xn] je podstatně složitější než v případě polynomů jedné proměnné. Přestože je tato teorie potřeba v algebraické geometrii při studiu ploch (tedy množin kořenů polynomů více proměnných), nebudeme ji nyní budovat. Zaměříme se pouze na jeden aspekt teorie polynomů více proměnných: budeme studovat tzv. symetrické polynomy. Symetrické polynomy Definice. Nechť R je okruh. Polynom f ∈ R[x1, . . . , xn] nazýváme symetrický polynom (n proměnných), jestliže pro libovolnou permutaci α množiny {1, . . . , n} platí f (x1, . . . , xn) = f (xα(1), . . . , xα(n)). Poznámka. V předchozí definici znamená f (xα(1), . . . , xα(n)) hodnotu polynomu f v prvcích xα(1), . . . , xα(n) ∈ R[x1, . . . , xn]. Vzhledem k tomu, že R je podokruhem okruhu R[x1, . . . , xn], má tato hodnota smysl. Poznamenejme, že f (x1, . . . , xn) = f . Příklad. Každý konstantní polynom f ∈ R je symetrický. Polynom x2 1 + x2 2 je symetrický polynom dvou proměnných, není však symetrický jako polynom tří proměnných. Věta. Nechť R je okruh, f ∈ R[x1, . . . , xn]. Polynom f je symetrický, právě když pro každé i ∈ {2, . . . , n} platí f (xi , x2, . . . , xi−1, x1, xi+1, . . . , xn) = f . Důkaz. Plyne z toho, že množina transpozic {(1, 2), (1, 3), . . . , (1, n)} generuje grupu Sn. Elementární symetrické polynomy Definice. Nechť R je okruh. Následující polynomy s1, . . . , sn ∈ R[x1, . . . , xn] nazýváme elementární symetrické polynomy n proměnných: s1 = x1 + x2 + · · · + xn, s2 = x1x2 + x1x3 + · · · + x1xn + x2x3 + · · · + xn−1xn, ... sk = 1≤i1