M9750 Robustní a neparametrické statistické metody
cvičení 5 - robustní odhady parametru polohy, Jamesův - Steinův odhad
1. Pro stejná data jako z předchozího cvičení (náhodný výběr z normálního rozdělení N(0,1) o rozsahu n = 30) uvažujte následující R-odhady: Hodgesův-Lehmannův odhad se skóry an(i) = i, medián se skóry an(i) = 1 a van der Waerdenův odhad se skóry an(i) = fc-1 (^).
(a) Nakreslete grafy funkcí Sn(t) pro všechny odhady.
(b) Najděte příslušné odhady a porovnejte je.
(c) Odhady z bodu (b) porovnejte s jejich teoretickými formulemi.
2. Zkoumejte chování následujících odhadů: průměru, mediánu, Huberova odhadu, 5% a 10% useknutého a winsorizovaného průměru a Hodgesova-Lehmannova odhadu pro různá rozdělení na základě náhodného výběru o rozsahu n = 30. Uvažujte následující rozdělení (vždy s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem; POZOR na parametrizaci v R): normální, logistické, t-rozdělení s 3 stupni volnosti a Cauchyho (s parametry 0,1).
(a) Nejprve vygenerujte náhodný výběr o rozsahu n z daného rozdělení a proveďte dané odhady. Celý postup opakujte 10 000 krát.
(b) Odhadněte střední hodnotu, rozptyl a střední čtvercovou chybu všech odhadů a výsledky porovnejte.
3. Zkoumejte chování vícerozměrného výběrového průměru a Jamesova - Steinova odhadu na základě náhodného výběru z p-rozměrného normálního rozdělení o rozsahu n = 30 se střední hodnotou 0 = (1,..., 1)' a varianční maticí S = a2lp. Pro jednoduchost volte p = 3 a a2 = 1.
(a) Pro daný náhodný výběr spočítejte oba příslušné odhady a spočtěte jejich empirickou střední čtvercovou chybu.
(b) Celý postup opakujte 10 000 krát. Na základě těchto simulací odhadněte střední čtvercovou chybu obou odhadů (průměr empirických středních čtvercových chyb).
(c) Výsledky z bodu (b) porovnejte. Výsledek porovnejte i s teoretickou hodnotou střední čtvercové chyby pro výběrový průměr.
Aby všem vycházely stejné výsledky, nastavte před každým během simulace generátor náhodných čísel pomocí příkazu set. seed(1234).
Funkce, které by se mohly hodit: apply, hubers, mvrnorm z knihovny MASS, winsor.mean z knihovny psych a hl.loc z knihovny ICSNP.